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LUZ Y TELESCOPIO

Algunas relaciones

Félix García Rosillo

Grupo Cielo Profundo AAM

Marzo 2014

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LOS MANTRAS EN CIENCIA

Usualmente los libros de texto recogen los fundamentos de cada ciencia como algo sabido

Una coletilla típica es algo así como “…es fácil demostrar…y no lo vamos a hacer aquí”

Se repiten “mantras” que pondrían en dificultades a un experto que pretendiera demostrarlos

Esto no quiere decir que esos fundamentos no sean ciertos, sino que la costumbre y la necesidad de avanzar impiden demostrar todos los fundamentos de una ciencia, por que sino uno nunca haría algo nuevo, nunca iría mas allá

Como aficionados quizás sea esta la parte que mas nos puede interesar, entender el porque de las relaciones básicas

Sobre como funciona la ciencia en este aspecto y en otros muchos, es recomendable (por no decir obligatorio) leer “La estructura de las revoluciones científicas” (Thomas Kuhn, 1962)

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¿Qué dicen los libros sobre el tema que nos ocupa?

“Es fácil ver que…el máximo flujo de la energía luminosa al ojo se obtiene cuando el diámetro del objetivo es igual que el diámetro de la pupila….multiplicado por la amplificación…”

“Si crece el diámetro del objetivo, crece la pupila de salida…dicho de otro modo dado un diámetro de objetivo, se puede aumentar la luminosidad del objeto disminuyendo la amplificación, y por lo tanto aumentando el diámetro de la pupila de salida”

“…la brillantez de la imagen de un objeto extendido es directamente proporcional al cuadrado del diámetro de la pupila de entrada , pero también es inversamente proporcional al cuadrado de la amplificación”

“La brillantez de la imagen de un objeto puntual…es directamente proporcional al cuadrado de diámetro de la pupila de entrada…y es independiente de la amplificación del telescopio”

¿PEROOOO...COMO SE “VISUALIZA” TODO ESTO? 3

¿Qué ve el ojo?

El ojo ve fotones que excitan procesos fisicoquímicos y generan señales que son enviadas y procesadas en el cerebro

¿Que son los fotones?

Son los cuantos energéticos de la interacción electromagnética. Son “lo que vemos”, lo que interacciona con los componentes de nuestro ojo. Aunque hay fotones que no podemos ver

Realmente “no vemos cosas”: “Vemos” la interacción de los fotones con las cosas y con nuestros ojos

¿Como ve fotones el ojo?

El ojo no percibe los fotones según la energía que suman, sino de modo logarítmico

Una vez más ¿que ve el ojo humano?

El ojo percibe diferencias en luminancia (contraste), que coloquialmente denominamos brillo. La luminancia es una magnitud fotométrica, se da en lm/m2sr=cd/m2 que es el equivalente radiométrico de la radiancia, dada en W/m2sr

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Área de salida del ocular As= πPS2/4

Pupila de salida del ocular PS=Dt/M

Diámetro de la pupila Po ~0.6 cm

Área pupila Ao= πPo2/4

Diámetro del objetivo Dt

Área del objetivo At= πDt2/4

Definiciones básicas

Objetivo

Ocular

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Dt PS Po

Diámetro del objeto h Área del objeto* An= πh2/4

h

*Por simplificar suponemos un objeto redondo y omitiremos su ángulo solido. h es su longitud medida en un plano referencia como la retina del ojo

Un poco de mates

F

D Arco

Para ángulos pequeños Arco~ D y podemos poner

D=αF

La longitud de la circunferencia es

L=2πF

Luego para un ángulo α tendremos

Arco=αF

*La relación exacta viene dada por el seno

sen()=D/F . Además sen()~ para ángulos pequeños.

Como Arco~ D tenemos otra vez D=αF.

Similar aproximación se puede hacer con la tg()~

F

7

Estrella u

Objetivo

Ocular

Efecto del aumento M=Fobjetivo/Focular=Dt/PS

PS=Dt/M

El aumento y la pupila de salida 1

El objeto se ha expandido debido al aumento M

h Mh Fobjetivo

Focular

Dt/2

PS/2

*Dt/2=Fobjetivo

*PS/2=Focular

*La relación exacta viene dada por la tangente

tg()=PS/2Focular=Dt/2Fobjetivo además tg()~

M1h

8

El aumento y la pupila de salida 2

h

h M2h

PS1=Dt/M1

M1< M2

PS1>PS2

M=Dt/PS

Fobjetivo

Fobjetivo

Focular 1

Focular 2

Focular 1 >Focular 2

PS2=Dt/M2

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El aumento y la pupila de salida 3

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Deducción de las relaciones de la Luminancia con

M, Dt, PS y Po

Área del objeto

1 Año luz, área objeto= An1

2 Años luz, área objeto= An2

x Años luz, área del objeto en la Tierra= An

h

Como si lo viéramos Ao/An veces 12

Área del objeto y área de la pupila del ojo

Retina

El ojo funciona como un objetivo. Recoge toda la luz del objeto que llega a la pupila desde los diferentes ángulos que domina la “apertura” angular que subtiende la pupila

PODEMOS IMAGINAR EL OJO…

Realmente no hay muchas imágenes, hay muchos ángulos (los que subtiende la pupila) que recogen luz del objeto. Se forma una sola imagen en el cerebro con las señales recibidas en la retina

Globo ocular

Fotones recibidos por unidad de área*

f

Diámetro

y área

Po

Ao=πPo2/4

Fotones

Caso Ps ≤ Po, Ojo desnudo

f Ao

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Objeto extenso

A la entrada de la pupila

*Por simplificar, realmente habría que hablar de unidad de área y estereoradian

Bo=f Ao/An

Fotones por unidad de área en la retina*

es decir brillo o luminancia:

Los fotones por unidad de área f en la retina respecto a los que salieron del objeto, se han multiplicado por Ao/An por que el ojo contiene un objetivo (la pupila) de área Ao

Fotones emitidos por unidad de área*

Diámetro

y área

Dt

At=πDt2/4 f

Fotones

f At

Caso Ps ≤ Po, Objetivo de telescopio

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Objeto extenso

A la salida del objetivo

*Por simplificar, realmente habría que hablar de unidad de área y estereoradian

Área expandida* ocupada por el objeto a

la salida del ocular:

π(Mh/2)2 = M2 An

Fotones que entran desde el objetivo

(f At)

Caso Ps ≤ Po, Ocular y ojo en el telescopio

Ocular

Imagen desde el objetivo

Fotones que entraron en el objetivo divididos entre el área que ocupan en el ocular*,es decir brillo o luminancia:

Bt= (f At) /(M2An)

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Objeto extenso

h Mh

PS

Po

*Por simplificar, realmente habría que hablar de unidad de área y estereoradian

Caso Ps ≤ Po, BRILLO

BRILLO DEL OCULAR/BRILLO A OJO DESNUDO

Objetos extensos:

Y simplificando

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Objeto extenso

2

2

222

4

4

tt

t n t

o oo o

n

A DfB M A A

A PB M Af M

A

Caso Ps≤Po, BRILLO

Como hemos tenido en cuenta que

Ps ≤Po

usando Dt/M=PS, tenemos también

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Objeto extenso

M=Dt/Po=33.33

Dt= 20 cm

Área expandida ocupada por el objeto a la salida del ocular:

π(Mh/2)2 = M2 An

Fotones que entran desde el objetivo

(f At)

Caso Ps > Po, Ocular y ojo en el telescopio

Ocular

Imagen desde el objetivo

Fotones que entraron en el objetivo divididos entre el área que ocupan en el ocular,es decir brillo o luminancia:

(f At) /(M2An)

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Objeto extenso

h Mh

PS

Po

.....pero solo se aprovecha la porción Ao/As pues el resto cae fuera de la pupila*

(f As) /An

Usando M2=(Dt/PS)2=At/As

Bt=(f As) /An)x(Ao/As)=fAo/An

*Consultar la transparencia “Área del objeto y área de la pupila del ojo”

Caso Ps > Po, BRILLO

“BRILLO” DEL TELESCOPIO/”BRILLO” A OJO

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Objeto extenso

M=Dt/Po=33.33

Dt= 20 cm

1

o

t n

oo

n

Af

B A

ABf

A

Cualquier Ps , BRILLO

LUMINANCIA DEL TELESCOPIO/LUMINANCIA A OJO

20

Objeto extenso

21

Bt/

Bo

Dt (cm)

M

22

¿Qué es el logaritmo?

A=10b=10x10x10x10x10x………………x10

b veces

Si b es grande esto no hay quien lo maneje. Se inventa el logaritmo de manera que:

lg(A)=b

Idéntica información en escalas más compactas

A=10b lg(A)=b

Escalas muy diferentes Escalas muy

parecidas

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Logaritmo y luminancia

• Lo “gracioso” es que el ojo para ver, hace el logaritmo de la luminancia y “ve en magnitudes”

• Esto facilita poder ver en escalas enormes de luminancia

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mo

-mt

Dt (cm)

M

•A mayor aumento magnitud a ojo mo mas negativa (mas brillo) que al telescopio

•A mayor diámetro este efecto se ve retardado

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Objetivo Ocular

Efecto del aumento: ninguno pues al ser la estrella un punto “sin área”, M=1

Estrella u Objeto puntual

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Estrella u Objeto puntual

“BRILLO” DEL TELESCOPIO/”BRILLO” A OJO

Estrella u objeto puntual es Bt/Bo=(Dt/Do)2/M2

pero con M=1:

2

t t

o o

B D

B D

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PARA FINALIZAR: ALGUNAS CUESTIONES Y DUDAS

¿Y si acumulamos estrellas?

¿A partir de que número de estrellas o estrellas por unidad de área o lo que sea, la descripción pasa a ser la de objeto extenso?¿Donde y como se pasa al límite?. Al final un cúmulo es un montón de estrellas individuales y puntuales muy juntas.

¿Por qué no es recomendable ajustar PS a 0.6 cm?

Hay métodos para calcular el tamaño de la pupila. Cada pupila tiene diferente diámetro según la persona y la edad. El centro de la pupila ve con mas calidad general que su borde. Así pues es preferible no ajustarse en exceso al aumento teórico mínimo calculado con 0.6 cm o calcular el tamaño real de cada pupila en particular y no acercarse demasiado al límite del diámetro da la pupila.

¿El aumento Mmin que da Bt/Bo=1 es fácil de alcanzar?

Es difícil tener un ocular que de Mmin. =Dt/0.6=fobjetivo/focular. Por ejemplo en mi caso los mínimos aumentos corresponderían a un ocular de unos 60 mm que daría un aumento de 21x con pupila de salida de 0.6 cm. Realmente tengo un ocular de 40 mm que da un aumento de 31x y una pupila de salida de 0.4 cm. Con el reductor de focal f/6.3 llegaría a 19.7 aumentos y una PS de 6.3 mm. Habría que tener cuidado en caso de usar reductor de focal o telescopios refractores al aumentar la pupila de salida por la menor calidad de los bordes de la pupila, como se comenta en el punto anterior.

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Bibliografía

•McCluney WR. Introduction to radiometry and Photometry. Boston-London: Artech House.

•Cayless Ma, Marsden AM. Lamps and lighting. London: Edward Arnold, 1983.

•Malacara D,Malacara JM. Telescopios y estrellas. México: La ciencia para todos 2011.

•Kitchin CR. Astrophysical Techniques. Bristol: Adam Hilger Lt, 1984.

•Cabrera JM, López Fj. Apuntes de Optica Geometrica. Madrid: Departamento de Física de Materiales .Universidad Autónoma de Madrid, 1996.

•Covington MA. Telescopios modernos para aficionados. Madrid: Akal, 2005.

•Alba i Montagut F. Telescopio y Observación astronómica. Lerida: Dilagro Ediciones, 1983.

•IESNA lighting Handbook. New York: IESNA, 1995.

•International Dark-Sky Association-Information Sheet #99. Terminology and units in lighting and Astronomy.

•Nagler A. An Eyepiece primer. Sky and Telescope.

•Mac Robert A. The stellar magnitude system. Sky and Telescope.

•Mac Robert A. A pupil primer. Sky and Telescope.

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Aumento, luminancia y detalle

1X 21X

Efecto del aumento a la misma luminosidad

La nebulosa de Orión de la foto pequeña es similar a como la vemos a ojo y tiene el mismo brillo (luminosidad=lumenes por unidad de area y sr) que la foto grande...pero es 21 veces mas pequeña que la imagen de la derecha. En la foto grande se pueden apreciar más detalles que en la foto pequeña. Este ejemplo corresponde al aumento que suministra el brillo máximo (idéntico que visto a ojo) para un telescopio de 125 mm de apertura.

30

h

h

Apéndice: ¡Otra deducción!

fAt/An xAs/At

Bt=fAtAs/AnAt =fAs/An

Bt/Bo=As/Ao =(Ps/Po)2

=(Dt/Po)2/M2

*Esta deducción es conceptualmente diferente a la anterior…parece que todos los caminos llevan a Roma hasta los equivocados

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Apéndice: Aumentos

φ θ θ

Fobjetivo Focular s ss

Aumento M= φ / θ

tg(θ)~θ=h/ (Fobjetivo+s) ~ h/ Fobjetivo

h

tg(φ)~ φ =h/ (Focular+ss) ~ h/ Focular

M= Fobjetivo / Focular *He simplificado pero estrictamente la

deducción completa no desprecia s ni ss

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mo

-mt

Dt (cm) M

•A mayor aumento magnitud a ojo mo mas negativa (mas brillo) que al telescopio

•A mayor diámetro este efecto se ve retardado

Apéndice: Otro ángulo mo-mt