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Colegio José Hernández / Plan de Continuidad Pedagógica - SEGUNDA PARTE.
Matemática / 4° año A / Profesor Oscar Paes Rodriguez
LOS NÚMEROS REALES.
ACTIVIDAD 001 /// Represente en la recta real los siguientes conjuntos; y luego
defínalos utilizando intervalos.
a) …todos los números reales mayores a 4. INTERVALO:
b) …todos los números reales menores a -4. INTERVALO:
c) …todos los números reales mayores o iguales a 0. INTERVALO:
d) …todos los números reales menores o iguales a 13. INTERVALO:
e) …todos los números reales positivos. INTERVALO:
f) …todos los números reales no negativos. INTERVALO:
g) …todos los números reales mayores a 3 y menores a 10. INTERVALO:
h) …todos los números reales mayores o iguales a -5 y menores a 7. INTERVALO:
i) …todos los números reales menores o iguales a 1. INTERVALO:
Símbolos a utilizar
[ ] cuando es ≤ 𝑜 ≥ ( corchetes cuando es menor o igual y cuando es mayor o igual) y
( ) cuando es < 𝑜 > ( paréntesis cuando es menor y cuando es mayor) = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −1}
Ejemplo:
…todos los números reales mayores a 0 y menores o iguales a 20. INTERVALO: (0;20]
( ]
ACTIVIDAD 002 /// Complete el siguiente cuadro.
Conjunto def inido por
comprensión
Conjunto
def inido por
interva los
Conjunto representado en la recta rea l
4;2B
𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −1}
𝐸 = {𝑥 ∈ ℝ/0 ≤ 𝑥 ≤7
2}
3;3G
𝐹 = {𝑥 ∈ ℝ/−4 ≤ 𝑥 < 4}
6;2I
𝐽 = {𝑥 ∈ ℝ/−2 ≥ 𝑥}
𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶
𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶
𝑬𝑱𝑬𝑴𝑷𝑳𝑶
𝐻 = {𝑥 ∈ ℝ/−4 < 𝑥 < 11} 𝐻 = (−4; 11)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
∈ (𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒); ℝ (𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠); /(𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒)
Se lee: “x” pertenece a reales tal que -4 es menor a “x” y “x”es menor a 11
link de apoyo: https://youtu.be/C2LMxJtw7K8
ACTIVIDAD 003 /// Complete en cada caso con “<”, “>” o “=” según corresponda.
Para tener en cuenta antes de empeza r…
|−2| esas l ineas verticales se l lama módulo o valor absoluto, que es la distancia que hay desde el cero
hasta dicho número. Eso signif ica que el módulo s iempre es posit ivo, ejemplo:
|3| = 3; |−3| = 3; |−10| = 10; |11| = 11; |−96| = 96
a) 0,6 0,6 b) 11 4 11 4
c) 3 17 17 3 d) 5 . 2 . 3 3 .10
e) 15 ( 4) 15 4 f) 2 5 9 2 5 9
g) 30 30
1 12 3 2 3
h) 12 14 14 12 12 14 2
i) ( 10).( 2) 10 . 2 j) ( 10).( 2) 10 . 2
EJEMPLO
a) 10 10 10 10 b) 1 1 2 2 1 1
10 + 10 … … . . −10 − 10 (hay un signo (-), por −|0| … … … . |0|
20 > −20 lo tanto queda negativo, 0 = 0
El módulo de -10 es igual
a 10 y por el signo de adelante
queda -10)
ACTIVIDAD 004 /// Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones con módulo, y
defina el conjunto solución de las mismas uti lizando intervalos o l laves según corresponda.
a) 2.1 4 2x b) 2 4 8x c)3
1 32
x
d)4 2
1 53
x e) 4 2 1
53
x f)
1. 2 4
2x
g) 2 3 2. 1 16x h) 2. 10 2 4x i)3 5 11
22 2 2
x
j) 3 2 1
73
x k)2.1 3 18x l)
31,5
2
x
m) 10 .5 15x n) 4 3 10x o) 25 3 6 20x
Ejemplo:
a) 7
. 4 1 153
x
|𝑥 − 4| ≥ (15 − 1):7
3 despejamos el módulo y resolvemos lo que podemos
|𝑥 − 4| ≥ 6 hasta tener esta expresión y sacamos dos flechitas 𝑥 − 4 ≥ 6 𝑥 − 4 ≤ −6 Sacamos el módulo Sacamos el módulo y cambiamos
y escribimos la expresión el signo de la desigualdad (𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜, 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠
como esta ≥, 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 ≤) y también
cambiamos el signo del número
En ambos casos procedemos a resolver una inecuación de primer grado
𝑥 ≥ 6 + 4 𝑥 ≤ −6 + 4
𝑥 ≥ 10 𝑥 ≤ −2
Ahora que significa esto!!!!!!!
𝑥 ≥ 10 todos los números mayores o iguales que 10, 𝑥 ≤ −2 todos los números menores o iguales que -2
Si lo representamos en una recta numérica queda:
] [
Si lo queremos representar como intervalo, queda: C.S.= (−∞;−2] ∪ [10; +∞)
b)1
3 5 102
x Este ejercicio se puede hacer de dos formas…
Primera forma:
−10 ≤ 2 +1
2𝑥 ≤ 10 resolvemos lo que se puede (-3+5) y luego se despeja para ambos lados
−10 − 2 ≤1
2𝑥 ≤ 10 − 2
−12:1
2≤ 𝑥 ≤ 8:
1
2
−24 ≤ 𝑥 ≤ 16
A ésta solución la podemos leer como −24 ≤ 𝑥 (“x” mayor o igual a -24) y 𝑥 ≤ 16 (“x” menor o igual a 16)
Para representarlo en la recta numérica:
[ ] Para expresarlo por intervalo: 𝑏 = [−24; 16]
Segunda forma:
|−3 +1
2𝑥 + 5| ≤ 10 se resuelve lo que se pueda (−3 + 5)
|2 +1
2𝑥| ≤ 10 en este paso sacamos las dos flechitas
2 +1
2𝑥 ≤ 10 2 +
1
2𝑥 ≥ −10 damos vuelta el signo de la desigualdad y cambiamos el sigo del número
1
2𝑥 ≤ 10 − 2
1
2𝑥 ≥ −10 − 2 despejamos “x”
𝑥 ≤ 8:1
2 𝑥 ≥ −12:
1
2
𝑥 ≤ 16 𝑥 ≥ −24
Se representa en la recta real y por intervalos igual que la otra forma
c)
18 . 3 5
2 29
x
ecuaciones con módulo se resuelven algo parecido que las inecuaciones, veamos…
8 +1
2|3 + 5𝑥| = 2.9 despejamos el módulo
1
2|3 + 5𝑥| = 18 − 8
|3 + 5𝑥| = 10:1
2
|3 + 5𝑥| = 20 Ahora sí, sacamos las dos flechitas
3 + 5𝑥 = 20 3 + 5𝑥 = −20 acá lo único que cambiamos el signo del numerito y despejamos
5𝑥 = 20 − 3 5𝑥 = −20 − 3
𝑥 = 17: 5 𝑥 = −23: 5
𝑥 =17
5 𝑥 =
−23
5
Para representarlo en la recta real, se representa con un punto
Para representarlo en intervalo van con llaves 𝑐 = {−23
5;
17
5}
OJO!!!!!!!
EJEMPLO
EL MÓDULO NO EXISTE CUANDO 1
2|𝑋 + 3| + 10 = 6 despejamos
|2𝑋 + 2| = −6 1
2|𝑋 + 3| = 6 − 10
ESTE NÚMERO ES NEGATIVO |𝑋 + 3| = −4:1
2
|𝑋 + 3| = −8 acá no sacamos las dos flechitas
∄ ponemos esa “E” al revés que significa que no tiene solución
Link de ayuda:
https://www.youtube.com/watch?v=Sr1YreAajps
https://www.youtube.com/watch?v=R1d6zO8Iu3o;
https://www.youtube.com/watch?v=Ogxr5wwVMAw
https://www.youtube.com/watch?v=Bfb0efPKb-0
josue14_paes@hotmail.com
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