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CÁLCULO PROPOSICIONAL

Linda Natalia Rodríguez vera Karen Daniela Zapata RealpeCesar Augusto ÁlvarezMaikol Monje Penagos

Introducción

• ¿ que es pensar con lógica?

• “Si dices una verdad, te mataremos en la horca, y si mientes te mataremos en la silla eléctrica”

rta : “me van a matar en la silla eléctrica”

Conceptos fundamentales de lógica matemática

1. LA PROPOSICIÓN Y LA APLICACIÓN EN LAS MATEMÁTICAS. PROCESO DE VERIFICAION DE LA VERDAD DE UNA PROPOSICIÓN.

Ejemplo: p: 2 es numero par q: 2 es número primo como también r: 2 es numero par y primo.

Ejemplo de proposiciones sin sentido completo: Neiva, el lunes es

Ejemplo de proposiciones que no se le pueden asignar el valor de verdad verdad o falsoHola , x+5=10

Una formula matemática sintetiza una proposición considerada verdadera, por ejemplo el área de un trapecio

Como también: El área del circulo , rectángulo entre otras.

2. CONECTIVOS Y OPERACIONES PROPOSICIONALES

2.1 NEGACIÓN

El símbolo de la expresión significa que el valor de la verdad de la negación es verdadera si p es falsa y falsa si p verdadera.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de los ladosEl perímetro no es la suma de las longitudes de los lados.

P

V F

F V

2.2. CONJUNCIÓNLa conjunción de dos proposiciones es verdadera si y solo si las dos proposiciones son verdaderas.

p q p Λ q

V V V

V F f

F v F

F F F

p q p ˅ qv v f

v f v

f v v

f f f

2.3. DISYUNCIÓN La disyunción de dos proposiciones es falsa cuando las dos son verdaderas o las dos son falsas

Disyunción se divide en dos :• INCLUSIVA (o matemática) : o lo uno o lo otro.• EXCLUSIVA(o cotidiana): o lo uno o lo otro pero no ambos

2.4. CONDICIONAL O IMPLICACIONUna proposición condicional es falsa si y solo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

P q p→q

V V V

V F F

F V V

F F V

Directa Reciproca contradirecta contrarreciproca

H→T T→H ~H→~T ~T→~H

2.5 BICONDICIONAL O EQUIVALENCIA

• Un bicondicional es verdadero si y solo si y ambas proposiciones son verdaderas o ambas son falsas

P q p↔q

V V V

V F F

F v f

F F V

2.6 NEGACIÓN DE LAS OPERACIONES LÓGICAS

1. negación de la conjunción o primera ley de De Morgan la negación de la conjunción equivale a la disyunción de las negaciones de las proposiciones

2. Negación de la disyunción o segunda ley de Morgan. La negación de la disyunción equivale a la conjunción de las negaciones de las proposiciones.

3. Negación del condicional. la negación del condicional equivale a la conjunción del antecedente con la negación del consecuente del condicional.

4. Negación del bicondicional la negación del bicondicional equivale al bicondicional de la negación de una de sus proposiciones

FORMULAS BIEN FORMADAS DEL CALCULO PROPOSICIONAL

TAUTOLOGIAS

• Su importancia se debe a que las leyes de la lógica del calculo proposicional son tautologías y son los esquemas de razonamiento.

Contradicción Una formula bien formada es contradicción si solo si es falsa independientemente de los valores de las proposiciones atómicas

Para comenzar la discusión de estos temas, analicemos las dos formas bien formadas: p v (p) y p(p) construyamos su tabla:

p (~p) p v (~p) p v (~p)

V F V F

F V V F

Observación

una fbf no es tautología ni contradicción se llama formulas bien formada indeterminadas o contingencia; se caracterizan por ser algunas veces verdaderas y otras falsas

p q pvp ~(pvp) p→~[(pvp)]

1 1 0 1 11 0 1 0 00 1 1 0 00 0 1 0 1

IMPLICACIONES TAUTOLÓGICASN° IMPLICACION NOMBRE1 (p ˄(p→q))→q Ley de separación o modus ponendo ponens2 ((-q) ˄(p→q))→(-p) Ley modus tollendo tollens3 (p v q ) ˄(-p))→q Ley modus tollendo ponens4 (p ˄q)→q Ley de simplificación5 (p ˄q)→(p ˄q) Ley de adjunción6 (p v q ) →q Ley de simplificación disyuntiva7 p →(p v q ) Ley de adición8 ((p →q ) ˄(q→r))→(p→r) Ley de silogismo hipotético9 ((p v q ) ˄(p→r) ˄(q→s))→(r v s ) Ley de silogismo disyuntivo

10 ((p˄q ) →r)→(p→(q˄r) Ley de importación11 (p→(q˄r) →((p˄q ) →r) Ley de exportación12 (p↔q) → (p→q) Ley del Bicondicional13 (p↔q) →(q→p) Ley del Bicondicional14 ((p→q)˄(q→p)) →(p↔q) Ley del Bicondicional15 (p↔q) →((p→q)˄(q→p)) Ley del Bicondicional16 (p→(q˄(-q) →(-p) Ley del absurdo

EQUIVALENCIAS TAUTOLÓGICAS N° EQUIVALENCIA NOMBRE2 P↔(-(-P) Ley de doble negación2 (p→q)↔((-q)→(-p)) Ley de la contraposición o contra reciproca

3 -(p˄q) ↔((-p) v (-q)) Primera ley de Morgan

4 -(pvq) ↔((-p) ˄ (-q)) Segunda leu de Morgan5 (p˄q) ↔(q˄p) Ley conmutativa de la conjunción6 (pvq) ↔(qvp) Ley conmutativa de la disyunción7 (p↔q)↔ (q↔p) Ley conmutativa del Bicondicional8 (p→q) ↔((-p) v q) Ley de equivalencia entre condicional y disyunción9 -(p→q) ↔(p ˄ (-q)) Ley de negación del condicional

10 (p↔q) ↔((p→q)˄(q→p)) Leyes del Bicondicional

11 -(p↔q) ↔ ((-p)↔q) Ley de negación del Bicondicional12 -(p↔q) ↔ (p↔(-q)) Ley de negación del Bicondicional

13 (p v(q˄r)↔((pvq)˄(pvr)) Ley distributiva de la disyunción con conjunción

14 (p˄(qvr) ↔((p˄q)v(p ˄r)) Ley distributiva de la conjunción con la disyunción

15 (p v(qvr) ↔((p v q) v r) Ley asociativa de la disyunción

16 (p ˄(q˄r) ↔((p˄q) ˄ r) Ley asociativa de la conjunción

17 (p↔(q↔r))↔((p↔q)↔r) Ley asociativa del bicondicional

GRACIAS POR SU ATENCIÓN