llei dels grans nombres, teorema central del l mit ...84.89.132.1/~satorra/p/p2014l8c.pdf · n...

Llei dels Grans Nombres, Teorema Central delLımit, distribucions asimptotiques

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 1 / 17

Continguts

1 Suma de variables independentsLlei dels Grans Nombres (LL. dels GN)Teorema del Lımit Central (TLC)

2 Preparem l’examen final

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 2 / 17

Suma de variables independents

Ens preguntem per la distribucio aproximada de

Y = X1 + X2 + . . .Xn

quan n es gran, i les Xjs son (mutuament) independents. Per exemple: ladistribucio aproximada de la binomial B(n, p) (que es suma de n deBernouilli independents) quan n es gran; de la χ2

n (que es la suma deN(0,1) al quadrat independents), quan n es gran; de la nota Y deProbabilitat que es el resultat de la suma de molts factors independents;etc.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 3 / 17

Esperances, variancies

Suposem Xj ’s independents amb la mateixa mitjana µ i variancia σ2. Enaquest cas, si Y = X1 + X2 + . . .Xn, clarament

E (Y ) = nµ; V (Y ) = nσ2

De fet, el valor esperat i variancia del promitg X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/nson

E (X n) = µ; V (X n) = σ2/n

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 4 / 17

Lımit en probabilitat: Llei dels Grans Nombres (Jacob[Jacques, James] Bernoulli, 1713)

Ens preguntem pel valor del promitg X n quan n es gran.

Suposem: Xj independents amb E (Xj) = µ i V (Xj) = σ2. Per exemple,X1, . . . ,Xj , . . .Xn observacions independents de una X (n tirades d’un daui observar el no. X , de 1 a 6, de la cara). Llei dels Grans Nombres:

Per tot ε > 0,lim

n→+∞P(| X n − µ |> ε) = 0

Direm que X n tendeix a µ en probabilitat. Escriurem

X nP→ µ

El promitg X n s’apropa a µ = E (X ) tan com volguem, quan augmentem nObservacio important: aixo passa amb independencia de la distribucio deX

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 5 / 17

ExempleTirem un dau 1000 vegades: X1, . . .X1000, X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/nX 1000 sera aproximadament igual a ?

La llei dels grans nombres:

X 1000 ≈ µ = E (X ) = (1 + 2 + . . . 6)/6 = 3.5

X n s’aproximara a 3.5 com vulguem nomes cal augmentar el nombre n detirades? Quin n fa que X n sigui aproximacio de µ amb un marge d’errordonat (ε).R:

> mean(sample(1:6, 10, replace = T))

[1] 4

> mean(sample(1:6, 100, replace = T))

[1] 3.61

> mean(sample(1:6, 1000, replace = T))

[1] 3.509

> mean(sample(1:6, 10000, replace = T))

[1] 3.4766

> mean(sample(1:6, 100000, replace = T))

[1] 3.49472

> mean(sample(1:6, 1000000, replace = T))

[1] 3.499939

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 6 / 17

Teorema del Lımit Central

Si les Xj tenen valor esperat µ i variancia σ2, son independents, i n esgran, la distribucio de X n = (X1 + X2 + . . .Xn)/n es aproximadamentNormal, amb valor esperat µ i variancia σ2/n. Escriurem

X nD→ N(µ,

σ2

n),

Direm que X n convergeix en distribucio a N(µ, σ2

n ). O de manera mesprecisa

√n(X n − µ)

D→ N(0, σ2)

Observacio important: aixo passa amb independencia de la distribucio deX

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 7 / 17

Tenim l’aproximacio:

X n ≈ N(µ,σ2

n)

Exemple: Tirem un dau (de sis cares) 1000 vegades, X 1000 = 1n

∑i Xi es

el valor mitja de les 1000 tirades. Volem saber P(3.4 ≤ X 1000 ≤ 3.6)

el TCL ens diu que

X 1000 ≈ N(3.5,σ2

1000) = N(3.5, 0.045643552)

ja que σ2 = (5×7)/121000 = (35/12)/1000 = 0.002916667 = 0.054006182

Probabilitat P(3.4 ≤ X 1000 ≤ 3.6) = P(−1.85164 < X 1000−3.50.054 < 1.85164)

= 1− 2pnorm(−1.85164) = 0.9359225

Em emprat 3.5−3.40.054 = 0.1

0.054 = 1.85164

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 8 / 17

Figure : TCL

!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((1

!"#$%&'

!"#$%&'

!"! !"# !"# !"# !"# !"#

!"!

!"#

!"#

!"#

!"#

!"#

!"#

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 9 / 17

Figure : TCL

promitg de n uniformes, n = 3

promitg

Density

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 10 / 17

Figure : TCL

!"#$%&'()*(+(,+%-#"$*./((+(0(((12

!"#$%&'

!"#$%&'

!"# !"# !"# !"# !"# !"#

!!

!!

!!

!

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 11 / 17

Practica amb :

Exercici 2 de la Llista 5

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 12 / 17

Mes sobre valor esperat, variancia y distribucio de combinacions devariables independents, la segona de l’aassignatura: ESTADISTICA

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 13 / 17

Preparem l’examen final

Un Examen Tipus Test

Entre 25 i 30 preguntes del tipus del Test 1 i Test 2 fets als seminaris.Totes les preguntes seran noves

Respostes en Fulla de Lectura Optica: Instruccions per emplenar lafulla de lectura optica

Us donarem el Formulari i Taules que teniu a la web: Formulary andTables

Podeu portar calculadora simple (no tindreu acces a R)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 14 / 17

El pintor de pis, que planificava fer barana de balco d’atic (Enrique,Barcelona, 27 de novembre del 2014, aquest matı, abans de sortir de casa)

“manana no podre hacer balcon, dan un 95% de probabilidad delluvia” (“si, lo miro en mi mobil”) “si podeis despejar el corredor,que es lo que hare manana, ya que no podre trabajar balcon”

“. . . no hay nada que nunca pasepero procuro que no me pase ”

Hi ha coses que son molt probables; coses que son poc probables;coses que son mes probables que altres; Recordeu les llogiques A, B, i C(aquesta ultima, la llogica cientıfica, de la rao, del sentit comu, la queajuda a planificar, la llogica de la Barbacoa, la del pintor!)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 15 / 17

FINAL DE CLASSES!

. . . que les probabilitats us he siguin favorables i BONA SORT !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 16 / 17

FINAL DE CLASSES!

. . . que les probabilitats us he siguin favorables i BONA SORT !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 16 / 17

Figure : Forges, El Paıs, 24 Novembre 2014

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2014 17 / 17