linealizacion de edo
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Linealizacion de Sistemas de EcuacionesDiferenciales con Retardo
Angel Gabriel Estrella Gonzalez
Cuerpo Academico de Ecuaciones Diferenciales yAnalisis, FMAT-UADY
Mayo, 2008
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Puntos de Equilibrio
Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria
x = f (x). (1)
Una solucion constante o punto de equilibrio x(t) = x0 cumplef (x0) = 0.
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Linealizacion
Tomemos una perturbacion de este punto de equilibrio x0, estoes, una solucion cercana de la forma x(t) = x0 + εu(t),entonces
x = εu = f (x)
= f (x0 + εu),
donde podemos usar una aproximacion de Taylor obteniendo
εu = f (x0 + εu) ≈ f (x0) + f ′(x0)εu= εf ′(x0)u.
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Linealizacion
Definiendo J = f ′(x0) obtenemos la ecuacion
u = Ju (2)
que recibe el nombre de linealizacion de (1) cerca del punto deequilibrio x0.
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
1 Una ecuacion diferencialPuntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
2 Sistema de ecuaciones diferenciales
3 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discreto
4 Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
5 Ejemplos
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
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Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Ecuacion caracterıstica
Supongamos que la solucion u de la linealizacion
u = Ju (3)
es de la formau(t) = Ceλt
donde λ ∈ C, entonces al sustituir obtenemos
λu = Ju
por lo tanto λ = J
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Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Ecuacion caracterıstica
Proposicion
Si x0 es una solucion de equilibrio de la ecuacion (1), secumplen los siguientes casos.
a) Si J = f ′(x0) < 0 entonces x0 es asintoticamente(exponencialmente) estable.
b) Si J = f ′(x0) > 0 entonces x0 es asintoticamente(exponencialmente) inestable.
c) Si J = f ′(x0) = 0 no podemos concluir algo acerca de x0
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Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Resumen
Ecuacion:x = f (x)
Punto de equilibrio:
x0, f (x0) = 0
Linealizacion:u = Ju, con J = f ′(x0)
Ecuacion caracterıstica :
λ = J = f ′(x0)
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Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Resumen
Ecuacion:x = f (x)
Punto de equilibrio:
x0, f (x0) = 0
Linealizacion:u = Ju, con J = f ′(x0)
Ecuacion caracterıstica :
λ = J = f ′(x0)
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Resumen
Ecuacion:x = f (x)
Punto de equilibrio:
x0, f (x0) = 0
Linealizacion:u = Ju, con J = f ′(x0)
Ecuacion caracterıstica :
λ = J = f ′(x0)
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Una ecuacion diferencialSistema de ecuaciones diferenciales
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de EquilibrioLinealizacionEcuacion caracterıstica
Resumen
Ecuacion:x = f (x)
Punto de equilibrio:
x0, f (x0) = 0
Linealizacion:u = Ju, con J = f ′(x0)
Ecuacion caracterıstica :
λ = J = f ′(x0)
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de Equilibrio
Sistema de ecuaciones diferencialesSupongamos que x , y satisfacen el sistema
x = f1 (x , y) (4)y = f2 (x , y)
Similarmente al caso de una ecuacion, un punto de equilibrio osolucion constante (x0, y0) satisface
f1(x0, y0) = 0, (5)f2(x0, y0) = 0. (6)
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Ejemplos
Linealizacion
Una solucion cercana al punto de equilibrio de la forma(x , y) = (x0 + εu, y0 + εv) cumple
x = εu = f1 (x0 + εu, y0 + εv) , (7)y = εv = f2 (x0 + εu, y0 + εv) . (8)
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Ejemplos
Linealizacion
Aproximaciones de Taylor en dos variables
fi (x0 + εu, y0 + εv)
≈ fi(x0, y0) + D1fi(x0, y0) · εu + D2fi(x0, y0) · εv= ε [D1fi(x0, y0) · u + D2fi(x0, y0) · v ] , (9)
donde Dj fi es la derivada de fi con respecto a la j-esimavariable.
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Ejemplos
Linealizacion
Combinando (7, 8) con (9) obtenemos el sistema
u = D1f1(x0, y0) · u + D2f1(x0, y0) · v , (10)v = D1f2(x0, y0) · u + D2f2(x0, y0) · v , (11)
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Ejemplos
Linealizacion
Usando notacion matricial[uv
]= J
[uv
], (12)
donde
J =
[D1f1 D2f1D1f2 D2f2
], (13)
las derivadas parciales se evaluan en el punto de equilibrio(x0, y0).El sistema (13) recibe el nombre de linealizacion de (4)
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
Para encontrar la ecuacion caracterıstica, supongamos(u, v) = (C1eλt , C2eλt), sustituyendo en (12) obtenemos
λeλt[
C1C2
]= eλtJ
[C1C2
],
de donde
λ
[C1C2
]= J
[C1C2
],
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Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
o equivalentemente
[λI − J]
[C1C2
]= 0,
y este sistema tienen una solucion no trivial si
det [λI − J] = 0.
donde J esta definida por (13). Esta ultima ecuacion esconocida como la ecuacion caracterıstica de (4)
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Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
Ya que estamos trabajando en el caso de dos ecuaciones yobtenemos matrices de 2 X 2, podemos calcular eldeterminante que aparece en la ecuacion caracterısticaanterior para escribirla como
λ2 − Tλ + δ = 0
donde T y δ son la traza y el determinante de la matriz Jrespectivamente.
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Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
Podemos aplicar la formula cuadratica para resolver estaecuacion y obtener el siguiente resultado
Proposicion (Acerca de la linealizacion, Perko p.25)
Sean δ = det(J) y T = Tr(J),
a) Si δ < 0 entonces (12) tiene un punto silla en el origen.
b) Si δ > 0 y T 2 − 4δ ≥ 0 entonces (12) tiene un nodo en elorigen; es estable si T < 0 y es inestable si T > 0.
c) Si δ > 0, T 2 − 4δ < 0 y T 6= 0, entonces (12) tiene un focoen el origen; es estable si T < 0 y es inestable si T > 0.
d) Si δ > 0 y T = 0 entonces (12) tiene un centro en el origen
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Ejemplos
Resumen
Ecuacion:
x = f1 (x , y) ,
y = f2 (x , y)
Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface
f1(x0, y0) = 0,
f2(x0, y0) = 0.
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Ejemplos
Resumen
Ecuacion:
x = f1 (x , y) ,
y = f2 (x , y)
Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface
f1(x0, y0) = 0,
f2(x0, y0) = 0.
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Ejemplos
Resumen
Linealizacion: [uv
]= J
[uv
],
donde
J =
[D1f1 D2f1D1f2 D2f2
],
Ecuacion caracterıstica :
λ2 − Tλ + δ = 0
donde T y δ son la traza y el determinante de la matriz Jrespectivamente.
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Ejemplos
Resumen
Linealizacion: [uv
]= J
[uv
],
donde
J =
[D1f1 D2f1D1f2 D2f2
],
Ecuacion caracterıstica :
λ2 − Tλ + δ = 0
donde T y δ son la traza y el determinante de la matriz Jrespectivamente.
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Ejercicio
Encuentre la ecuacion caracterıstica para el sistema
x = f1 (x , y , z) ,
y = f2 (x , y , z) ,
z = f3 (x , y , z) .
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de Equilibrio
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoConsideremos un sistema de la forma
x = f1 (x , y , xT , yT ) (14)y = f2 (x , y , xT , yT )
donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (15)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (16)
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Puntos de Equilibrio
Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoConsideremos un sistema de la forma
x = f1 (x , y , xT , yT ) (14)y = f2 (x , y , xT , yT )
donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (15)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (16)
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Ejemplos
Linealizacion
Una solucion cercana al punto de equilibrio de la forma(x , y) = (x0 + εu, y0 + εv) cumple
x = εu = f1 (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT ) , (17)y = εv = f2 (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT ) . (18)
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Ejemplos
Linealizacion
Por medio de aproximaciones de Taylor de funciones de cuatrovariables tenemos
fi (x0 + εu, y0 + εv , x0 + εuT , y0 + εvT )
≈ fi(x0, y0, x0, y0) + D1fi(x0, y0, x0, y0) · εu + D2fi(x0, y0, x0, y0) · εv+D3fi(x0, y0, x0, y0) · εuT + D4fi(x0, y0, x0, y0) · εvT
= ε[D1fi(x0, y0, x0, y0) · u + D2fi(x0, y0, x0, y0) · v+D3fi(x0, y0, x0, y0) · uT + D4fi(x0, y0, x0, y0) · vT ]
= ε [D1fi · u + D2fi · v + D3fi · uT + D4fi · vT ] , (19)
donde Dj fi es la derivada parcial de fi con respecto a la j-esimavariable evaluada en el punto (x0, y0, x0, y0)
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Linealizacion
Combinando (17, 18) con (19) obtenemos el sistema
u = D1f1 · u + D2f1 · v + D3f1 · uT + D4f1 · vT , (20)v = D1f2 · u + D2f2 · v + D3f2 · uT + D4f2 · vT . (21)
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Ejemplos
Linealizacion
Usando notacion matricial, podemos escribir este sistemacomo [
uv
]= J
[uv
]+ JD
[uTvT
], (22)
donde
J =
[D1f1 D2f1D1f2 D2f2
], (23)
JD =
[D3f1 D4f1D3f2 D4f2
], (24)
donde las derivadas parciales se evaluan en los puntosadecuados mencionados antes.
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Linealizacion
La ecuacion [uv
]= J
[uv
]+ JD
[uTvT
],
recibe el nombre de linealizacion de (14)
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
Para encontrar la ecuacion caracterıstica, supongamos(u, v) = (C1eλt , C2eλt), al sustituir en (22) obtenemos
λeλt[
C1C2
]= eλtJ
[C1C2
]+ eλte−λT · JD
[C1C2
],
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
por lo tanto
λ
[C1C2
]= J
[C1C2
]+ e−λT · JD
[C1C2
],
equivalentemente[λI − J − e−λT · JD
] [C1C2
]= 0,
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Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
Este sistema tienen una solucion no trivial si
det[λI − J − e−λT · JD
]= 0.
donde J y JD son las matrices definidas por (23, 24). Estaultima ecuacion es conocida como la ecuacion caracterısticade (14)
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Ejemplos
Ecuacion caracterıstica
En este caso, ya que J y JD son matrices de 2X2, tenemos
det[λI − J − e−λT · JD
]= λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT ,
donde
p = −Tr(J),
r = det(J),
s = −Tr(JD),
q = det(J + JD)− det(J)− det(JD),
w = det(JD),
Por lo tanto la ecuacion caracterıstica la podemos escribircomo
λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT = 0Angel G. Estrella Linealizacion de sistemas de ecuaciones diferenciales
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Ejemplos
Resumen
Ecuacion:
x = f1 (x , y , xT , yT )
y = f2 (x , y , xT , yT )
donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (25)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (26)
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Ejemplos
Resumen
Ecuacion:
x = f1 (x , y , xT , yT )
y = f2 (x , y , xT , yT )
donde xT (t) = x(t − T ), yT (t − T ).Punto de equilibrio: (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, x0, y0) = 0 (25)f2(x0, y0, x0, y0) = 0, (26)
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Ejemplos
Resumen
Linealizacion:[uv
]= J
[uv
]+ JD
[uTvT
],
donde
J =
[D1f1 D2f1D1f2 D2f2
],
JD =
[D3f1 D4f1D3f2 D4f2
],
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Ejemplos
Resumen
Ecuacion caracterıstica :
λ2 + pλ + r + (sλ + q)e−λT + we−2λT = 0
p = −Tr(J),
r = det(J),
s = −Tr(JD),
q = det(J + JD)− det(J)− det(JD),
w = det(JD),
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Ejercicio
Encuentre la ecuacion caracterıstica para el sistema
x = f1 (x , y , z, xT , yT , zT ) ,
y = f2 (x , y , z, xT , yT , zT ) ,
z = f3 (x , y , z, xT , yT , zT ) .
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Punto de equilibrio
Consideremos un sistema de la forma
x = f1
(x , y ,
∫K (s)G1(x(t − s), y(t − s))ds
)(27)
y = f2
(x , y ,
∫K (s)G2(x(t − s), y(t − s))ds
)Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, G1(x0, y0)I) = 0 (28)f2(x0, y0, G2(x0, y0)I) = 0, (29)
donde I =∫
K (s)ds
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
Punto de equilibrio
Consideremos un sistema de la forma
x = f1
(x , y ,
∫K (s)G1(x(t − s), y(t − s))ds
)(27)
y = f2
(x , y ,
∫K (s)G2(x(t − s), y(t − s))ds
)Un punto de equilibrio (x0, y0) satisface
f1(x0, y0, G1(x0, y0)I) = 0 (28)f2(x0, y0, G2(x0, y0)I) = 0, (29)
donde I =∫
K (s)ds
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
EjercicioEncuentre
LinealizacionLa ecuacion caracterıstica para el sistema
λ2+pλ+r+(sλ+q)
∫K (s)e−λsds+w(
∫K (s)e−λsds)2 = 0
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
EjercicioEncuentre
LinealizacionLa ecuacion caracterıstica para el sistema
λ2+pλ+r+(sλ+q)
∫K (s)e−λsds+w(
∫K (s)e−λsds)2 = 0
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Sistema de ecuaciones diferenciales con retardo discretoSistema de ecuaciones diferenciales con retardo continuo
Ejemplos
EjercicioEncuentre
LinealizacionLa ecuacion caracterıstica para el sistema
λ2+pλ+r+(sλ+q)
∫K (s)e−λsds+w(
∫K (s)e−λsds)2 = 0
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Ejemplos
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