libro recopilación psu
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lvaro M. Snchez Vsquez Prof. Matemtica y Fsica
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LIBRO RECOPILACIN PSU EJERCICIOS DEMRE
CONTENIDOS EJERCICIOS PSU RESPUESTAS RECOPILACIONES ENSAYOS
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lvaro M. Snchez Vsquez Prof. Matemtica y Fsica
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INDICE
Contenido Pgina
1 Nmeros Enteros, operatoria, propiedades 3
2 Nmeros racionales, operatoria, propiedades 14
3 Potencias, propiedades, aplicaciones 30
4 Operatoria algebraica 38
5 Simbologa 56
6 Razones y proporciones. propiedades 61
7 Tanto por ciento, propiedad, aplicaciones 71
8 Races, propiedades, aplicaciones 84
9 Ecuaciones de primer grado, lineales, sistemas de ecuaciones 94
10 Desigualdades, intervalos, inecuaciones 112
11 Ecuacin de segundo grado, propiedades, aplicaciones 119
12 Logaritmos, propiedades, aplicaciones 122
13 Funciones, operatoria, tipos de funciones, propiedades, aplicaciones 125
14 ngulos y Tringulos, propiedades, Teorema de Pitgoras, teorema de Euclides 150
15 Congruencia de tringulos, criterios, aplicaciones 172
16 Semejanza de tringulos, criterios, aplicaciones 176
17 Cuadrilteros, propiedades, aplicaciones 187
18 Polgonos, propiedades 202
19 ngulos en la circunferencia, propiedades, aplicaciones 204
20 Relaciones mtricas en la circunferencia, crculo, aplicaciones 216
21 Poliedros, volumen, aplicaciones 221
22 Divisin interior y exterior 230
23 Trigonometra, razones, aplicaciones 233
24 Probabilidad, propiedades, aplicaciones 244
25 Estadstica, grficos, aplicaciones 267
26 Transformaciones isomtricas, propiedades, aplicaciones 283
27 Teorema de Tales, propiedad, aplicacin 301
28 Evaluacin de suficiencia de datos 309
29 Respuestas 334
30 Recopilacin 1 340
31 Recopilacin 2 350
32 Recopilacin 3 364
33 Recopilacin 4 377
34 Recopilacin 5 388
35 Recopilacin 6 410
36 Recopilacin 7 436
37 Ensayo 1 459
38 Ensayo 2 481
39 Ensayo 3 505
40 Ensayo 4 531
41 Ensayo 5 552
42 Ensayo 6 577
43 Ensayo Admisin 2011 601
44 Ensayo 8 628
45 Ensayo 9 653
46 Ensayo 10 676
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RESUMEN PSU MATEMATICA
I. NMEROS NATURALES Y CARDINALES (IN, IN0) Los elementos del conjunto lN = {1, 2, 3,} se denominan nmeros naturales. Si a este conjunto le unimos el conjunto formado por el cero, obtenemos lN0 = {0, 1, 2,} llamado conjunto de los nmeros cardinales. NMEROS ENTEROS (Z)
Los elementos del conjunto Z = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2,} se denominan nmeros enteros Algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = {1, 2, 3,} enteros positivos Z 0 = {0, 1, 2,} enteros no negativos
Z- = {-1, -2, -3,} enteros negativos Z 0 = {0, -1, -2, -3,} enteros no positivos
1. Son cuadrados perfectos los enteros: 1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121,
144, 169, 196, 225, 256, 2. Son cubos perfectos los enteros: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, y tambin: -1, -8, -27, -64, -125, -216, -343, MLTIPLO Y DIVISOR
En la expresin a = b c en que a, b y c son nmeros enteros, a es mltiplo de b y de c o bien b y c son divisores o factores de a.
REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un nmero entero es divisible: Por Cuando
2 Termina en cifra par. 3 La suma de sus cifras es mltiplo de tres. 4 Las dos ltimas cifras forman un nmero mltiplo de cuatro o
bien son Ceros. 5 La ltima cifra es cero o cinco. 6 Es divisible por dos y por tres a la vez.
7 La diferencia entre el doble de la ltima cifra y el nmero que forman las Cifras restantes es mltiplo de siete. 8 Las tres ltimas cifras forman un nmero mltiplo de ocho o
bien son Ceros. 9 La suma de sus cifras es mltiplo de nueve. 10 Termina en cero.
11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y Las que ocupan los lugares impares es mltiplo de once.
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NMEROS PRIMOS, COMPUESTOS y DESCOMPOSICIN EN FACTORES
Nmeros primos: Son aquellos enteros positivos que tienen slo dos divisores distintos. Los primeros nmeros primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, Nmeros compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros nmeros compuestos son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, TEOREMA FUNDAMENTAL Todo nmero compuesto se puede expresar de manera nica como el producto de
aquellos nmeros que cumplen con la propiedad de ser factores de nmeros primos
MNIMO COMN MLTIPLO (m.c.m.) Es el menor mltiplo comn positivo de dos o ms enteros.
MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.) Es el mayor divisor comn entre dos o ms enteros.
CLCULO DEL m.c.m. y M.C.D MEDIANTE DESCOMPOSICIN EN FACTORES PRIMOS
Se descomponen los nmeros en factores primos: 1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.
OPERATORIA EN Z ADICIN i. Al sumar nmeros de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos
conservando el signo comn. ii. Al sumar dos nmeros de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta
el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
MULTIPLICACIN i. Si se multiplican dos nmeros de igual signo al resultado es siempre positivo.
ii. Si se multiplican dos nmeros de distinto signo el resultado es siempre negativo.
OBSERVACIN: La divisin cumple con las reglas de signos de la multiplicacin. VALOR ABSOLUTO
Es la distancia que existe entre un nmero y el 0
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DEFINICIN: n
0nsin
0nsi,n
ALGORITMO DE LA DIVISIN Si D: d = c, entonces D = d c + r r //
D = dividendo d = divisor c = cuociente o cociente
r = resto OBSERVACIONES:
1. 0 r < d 2. La divisin por cero no est definida.
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los parntesis. 2. Realizar las potencias. 3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha. RELACIN DE ORDEN EN Z
Si a y b son nmeros enteros, entonces diremos que: i. a > b si y slo si (a - b) es un entero positivo. ii. a < b si y slo si (a - b) es un entero negativo.
iii. a b si y slo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez). iv. a b si y slo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
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EJEMPLO PSU-1: Si al entero ( 1) le restamos el entero ( 3), resulta A) 2 B) 2
C) 4 D) 4 E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-2: Si a es un nmero de dos dgitos, en que el dgito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces a + 1 =
A) m + n + 1
B) 10m + n + 1 C) 100m + n + 1
D) 100m + 10n + 1 E) 10(m + 1) + n
EJEMPLO PSU-3: Si n = 2 y m = -3, cul es el valor de
nm (n + m)? A) -11
B) -5 C) 5
D) 7 E) -7
EJEMPLO PSU-4: En una fiesta de cumpleaos hay 237 golosinas para repartir entre 31 nios invitados. Cul es el nmero mnimo de
golosinas que se necesita agregar para que cada nio invitado reciba la misma cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
A) 11
B) 20
C) 21 D) 0
E) 7
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EJEMPLO PSU-5: Claudia tena en el banco $ 4p. Retir la mitad y
horas ms tarde deposit el triple de lo que tena al comienzo. Cunto dinero tiene ahora Claudia en el banco?
A) $ 8p B) $ 10p
C) $ 12p D) $ 16p
E) $ 14p
EJEMPLO PSU-6: Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el ltimo nmero de cada fila es la suma de los tres
nmeros anteriores y el ltimo nmero de cada columna es la suma de los tres nmeros anteriores. Cul es el valor de x?
A) 5
B) 7 C) 8
D) 9
E) 16
EJEMPLO PSU-7: Con los crculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:
Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La dcima figura de la secuencia est formada por 21 crculos II) De acuerdo a la formacin de la secuencia cualquier figura tendr
un nmero impar de crculos III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de crculos entre dos
figuras consecutivas es 2
A) Slo I B) Slo I y II
C) Slo I y III D) Slo II y III
E) I, II y III
x 4 20
4 9
8 13
24 16 55
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EJEMPLO PSU-8: En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de
$10. Estas 21 monedas representan un cuarto del total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de
monedas de $50 y de $100, cul(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-9: Se define baba b y a # b = 2a - 4b, para a y b
nmeros enteros, el valor de (2 5) # (-2) es:
A) 82 B) 66
C) 60 D) 38
E) 22
EJEMPLO PSU-10: Al sumar el cuarto y el quinto trmino de la secuencia: x - 5, 2(2x + 7), 3(3x - 9), 4(4x + 11),. . ., resulta
A) 41x - 2
B) 61x + 25 C) 41x - 109
D) 41x + 109 E) 41x - 21
EJEMPLO PSU-11: De cuntas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $ 12.000 usando billetes de $ 10.000 o
$ 5.000 o $ 1.000 o combinaciones de ellos?
A) De 1 forma B) De 2 formas
C) De 4 formas D) De 3 formas
E) De 6 formas
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EJEMPLO PSU-12: Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser en 100 das ms, a partir de hoy?
A) Viernes B) Sbado
C) Lunes D) Mircoles
E) Jueves
EJEMPLO PSU-13: Si tuviera $80 ms de los que tengo podra comprar
exactamente 4 pasteles de $ 240 cada uno, cunto dinero me falta si quiero comprar 6 chocolates de $ 180 cada uno?
A) $280
B) $200 C) $120
D) $100
E) $ 40
EJEMPLO PSU-14: El precio de los artculos M, N y T son $(n-1),
$(n-2) y $(n -3), respectivamente. Cuntos pesos se deben pagar por un artculo M, dos artculos N y tres artculos T?
A) 6n - 14
B) 6n 6 C) 5n 14 D) 3n 14 E) 3n - 6
EJEMPLO PSU-15: En las siguientes igualdades los nmeros n. p, q y r
son enteros positivos. Cul de las opciones expresa la afirmacin p es
divisible por q?
A) p = nq + r
B) q = np + r C) q = np
D) p = nq
E) q
11
q
p
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EJEMPLO PSU-16: Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje
corregido se calcula de la siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
A) 8
B) 6 C) 9
D) 10 E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-17: Si 16(n + 8) = 16, entonces n - 5 es igual a
A) -12
B) -7 C) -2
D) 4 E) 12
EJEMPLO PSU-18: M, N y P son nmeros enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en comn, salvo el 1, cuando M = 9 y
N = 8, cul es el menor valor posible de P?
A) 7 B) 5
C) 4 D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-19: En un tringulo equiltero de lado 1.000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo tringulo equiltero,
como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del tringulo que se obtiene es:
5
6
2
000.1)E
6
000.1)D
2
000.1)C
2
000.16)B
12
000.1)A
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EJEMPLO PSU-20: La suma de tres nmeros impares consecutivos es
siempre: I) divisible por 3
II) divisible por 6
III) divisible por 9 Es(son) verdadera(s):
A) Solo I
B) Solo II C) Solo I y III
D) Solo II y III E) I, II y III
EJEMPLO PSU-21: La suma de tres nmeros enteros consecutivos es
0. Con respecto a estos nmeros, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0 A) Solo I
B) Solo II C) Solo III
D) Solo I y II E) I, II y III
EJEMPLO PSU-22. Un grupo de amigos tiene dinero para comprar 20
bebidas de $ 200 cada una. Si el precio sube a $ 250 cada una, cuntas bebidas pueden comprar con el mismo dinero?
A) 1
B) 8 C) 16
D) 26
E) 80
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EJEMPLO PSU-23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en
el cuadrante slo pueden colocarse los nmeros 1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir slo una vez cada nmero
A) 8 B) 7
C) 6 D) 5
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-24. La distancia en la recta numrica entre a y b es c.
esto se expresa como:
anterioreslasdeNinguna)E
cab)D
cba)C
cba)B
cba)A
EJEMPLO PSU-25. Cinco personas P, Q, R, S y T juegan sacando un cartn de una caja en que aparece una operacin, en el cual tienen que
reemplazar la letra X por el nmero que les dictan (para todos el mismo). La persona que tiene el cartn con el menor resultado gana. Si
se sacan los siguientes cartones:
P Q R S T
Quin gana cuando dictan 3?
A) Q B) P
C) R
D) S E) T
X-1 1 - X X + 1 1 (-X) -X
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EJEMPLO PSU-26. Cul de las siguientes afirmaciones es FALSA?
A) Un nmero entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dgitos
es divisible por 3.
B) Si la suma de dos nmeros es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.
C) La suma de todo nmero divisible por 3 con todo nmero divisible por 6, es divisible por 3.
D) El cuadrado de todo nmero divisible por 3 es divisible por 6. E) El producto de todo nmero divisible por 4 con todo nmero divisible
por 6, es divisible por 12.
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II. NMEROS RACIONALES
Los nmeros racionales son todos aquellos nmeros de la forma b
a con a y b
nmeros enteros y b distinto de cero. El conjunto de los nmeros racionales se representa por la letra Q.
0byZb,a/b
aQ
2. IGUALDAD ENTRE NMEROS RACIONALES
ADICIN Y SUSTRACCIN DE NMEROS RACIONALES
Si d
c,
b
a Q, entonces:
OBSERVACIONES
1. El inverso aditivo (u opuesto) de b
a es -
b
a, el cual se puede escribir tambin
como b
ao
b
a
2. El nmero mixto Ac
b se transforma a fraccin con la siguiente frmula:
MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE NMEROS RACIONALES
Si d
c,
b
a Q, entonces:
MULTIPLICACIN
DIVISIN
OBSERVACIN
El inverso multiplicativo (o recproco) de b
a es 0acon,
a
b
b
a1
bd
bcad
d
c
b
a
bd
bcad
d
c
b
a
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RELACIN DE ORDEN EN Q
OBSERVACIONES
1. Para comparar nmeros racionales, tambin se pueden utilizar los siguientes procedimientos: a. igualar numeradores.
b. igualar denominadores. c. convertir a nmero decimal. 2. Entre dos nmeros racionales cualesquiera hay infinitos nmeros racionales.
NMEROS DECIMALES
Al efectuar la divisin entre el numerador y el denominador de una fraccin, se obtiene un desarrollo decimal, el cul puede ser finito, infinito peridico o infinito semiperidico.
a. Desarrollo decimal finito: Son aquellos que tienen una cantidad limitada de cifras decimales.
Ejemplo: 0,425 tiene 3 cifras decimales b. Desarrollo decimal infinito peridico: Son aquellos que estn formados por
la parte entera y el perodo.
Ejemplo: 0,444.... = 0,4
c. Desarrollo decimal infinito semiperidico: Son aquellos que estn formados por la parte entera, un anteperodo y el perodo.
Ejemplo: 24,42323... = 24,423
OPERATORIA CON NMEROS DECIMALES
1. Adicin o sustraccin de nmeros decimales: Para sumar o restar nmeros decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuacin se realiza la operatoria
respectiva. As por ejemplo: 0,19 3,81
+ 22,2 26,20
2. Multiplicacin de nmeros decimales: Para multiplicar dos o ms nmeros decimales, se multiplican como si fueran nmeros enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares decimales como decimales
tengan los nmeros en conjunto.
As por ejemplo: 3,21 2,3 963
642 7,383
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3. Divisin de nmeros decimales: Para dividir nmeros decimales, se puede
transformar el dividendo y el divisor en nmeros enteros amplificando por una potencia en base 10. As por ejemplo: 2,24: 1,2 se amplifica por 100
224: 120 y se dividen como nmeros enteros
TRANSFORMACIN DE DECIMAL A FRACCIN 1. Decimal finito: Se escribe en el numerador todos los dgitos que forman el nmero decimal y en el denominador una potencia de 10 con tantos ceros como
cifras decimales tenga dicho nmero.
Por ejemplo: 3,24 = 100
324
2. Decimal infinito peridico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el
nmero decimal completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas las cifras que anteceden al perodo y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el perodo.
Por ejemplo: 2,15= 99
2215
3. Decimal infinito semiperidico: Se escribe en el numerador la diferencia entre el nmero completo (sin considerar la coma) y el nmero formado por todas
las cifras que anteceden al perodo y en el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el perodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperodo.
Por ejemplo: 5,34 = 90
53534
APROXIMACIONES Frecuentemente conviene redondear o truncar un nmero, dejando una
aproximacin con menos cifras significativas, de las que tiene originalmente. REDONDEO
Para redondear un nmero decimal finito o infinito se agrega 1 al ltimo dgito que se conserva (redondeo por exceso), si el primero de los dgitos eliminados es mayor o igual a 5; si la primera cifra a eliminar es menor que 5, el ltimo dgito
que se conserva se mantiene (redondeo por defecto). Por lo tanto, como ejemplos, BAJO ESTA REGLA, al redondear a la centsima los nmeros 4,748 y 9,5237 se obtiene 4,75 y 9,52, respectivamente.
TRUNCAMIENTO Para truncar un nmero decimal, se consideran como ceros las cifras ubicadas a
la derecha dela ltima cifra a considerar. De esta manera, como ejemplo, si se trunca a las centsimas el nmero 2,5698 resulta 2,56.
ESTIMACIONES Realizar un clculo estimativo, consiste en efectuarlo con cantidades aproximadas
por redondeo a las dadas, reemplazando dgitos distintos de ceros por ceros, dejando la cantidad de cifras significativas que se indique (lo que habitualmente es una cifra).
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EJEMPLO PSU-1: 5
5,0
05,0
A) 0,5
B) 0,05 C) 0,005
D) 50
E) 500
EJEMPLO PSU-2: El orden de los nmeros a =3
2, b =
6
5 y c =
8
3de
menor a mayor es
A) a < b < c
B) b < c < a C) b < a < c
D) c < a < b E) c < b < a
EJEMPLO PSU-3: 40 - 20 2,5 + 10 =
A) 0 B) -20
C) 60 D) 75
E) 250
EJEMPLO PSU-4: 5
3
8
9
A) 0,15
B) 0,5 C) 0,52
D) 0,525
E) 2
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EJEMPLO PSU-5: Si a 6
5se le resta
3
1resulta:
9
2)E
3
4)D
3
2)C
2
1)B
2
1)A
EJEMPLO PSU-6:
25,08
3
1
75,08
3
1
3
8)E
4)D
3
16)C
3
16)B
3
15)A
EJEMPLO PSU-7: Si t = 0,9 y r = 0,01, entonces r
rt =
A) 80,89 B) 80,9
C) 88,9 D) 89
E) Ninguno de los valores anteriores
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EJEMPLO PSU-8: En la igualdad R
1
Q
1
P
1 , si P y R se reducen a la
mitad, entonces para que se mantenga el equilibrio, el valor de Q se debe
A) duplicar.
B) reducir a la mitad. C) mantener igual.
D) cuadruplicar. E) reducir a la cuarta parte.
EJEMPLO PSU-9: Juan dispone de $ 6.000 para gastar en entretencin.
Si se sabe que cobran $1.000 por jugar media hora de pool y $600 por media hora en Internet, entonces cul(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Juan puede jugar a lo ms 3 horas de pool
II) Juan puede conectarse a lo ms 5 horas en Internet III) Juan puede jugar 1,5 horas de pool y conectarse 2,5 horas a
internet
A) Solo III B) Solo I y II
C) Solo I y III D) Solo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10: x
1
x
1
x
1
3
3
x
3)E
x3
1)D
x
3)C
x
1)B
3)A
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EJEMPLO PSU-11: Si RH2
1P , entonces H-1 es igual a:
P2
R)E
P
R2)D
R
P2)C
P2
R)B
R
P2)A
EJEMPLO PSU-12: 2
1
6
1
3
1
4
1)E
3
2)D
9
1)C
15
2)B
12
5)A
EJEMPLO PSU-13:
8,366,2
8,326,2
8,9
6,7)E
4,19
28,2)D
4,19
5)C
4,19
5)B
3
1)A
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EJEMPLO PSU-14:
4
11
2
3
1
3)E
1)D
6
11)C
3
1)B
2
3)A
EJEMPLO PSU-15:
2)5,0(
5,0100
50
A) 10 B) 1
C) 0,1 D) 0,25
E) 0,75
EJEMPLO PSU-16: Una persona debe recorrer 12,3 kilmetros y ha
caminado 7.850 metros. Cunto le falta por recorrer?
A) 4,45 km
B) 4,55 km C) 5,55 km
D) 5,45 km E) 6,62 km
EJEMPLO PSU-17: Si a es un nmero natural mayor que 1, cul es la
relacin correcta entre las fracciones:a
3p
1a
3t
1a
3r
A) p
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22
EJEMPLO PSU-18: Se mezclan 2 litros de un licor P con 3 litros de un
licor Q. Si 6 litros del licor P valen $ a y 9 litros del licor Q valen $ b, cul es el precio de los 5 litros de mezcla?
18
)b2a3(5$)E
18
b2a3$)D
)b3a2$()C
5
ba$)B
3
ba$)A
EJEMPLO PSU-19: Juan tiene un bidn de 5 litros de capacidad,
llenado hasta los 3
12 litros. Cuntos litros le faltan para llenarlo?
3
21)E
3
13)D
2
32)C
3
22)B
3
12)A
-
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23
EJEMPLO PSU-20: 3
2
4
1
3
1
21
4)E
12
1)D
5
1)C
4
1)B
2
1)A
EJEMPLO PSU-21: Se define a b =ab
1, entonces a (b c) es igual
a:
ab
c)E
c
ab)D
a
bc)C
bc
a)B
abc
1)A
-
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24
EJEMPLO PSU-22: Sean a, b, c y d nmeros enteros distintos entre s
y distintos de cero. Si P =b
a + d y Q =
c
a + d, cul(es) de las siguientes
igualdades es (son) siempre verdadera(s)? I) P - Q 0
II) b
c
Q
P
III) P Q = 22
dbc
a
A) Slo I
B) Slo III C) Slo I y III
D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
EJEMPLO PSU-23:
11
11
11
1
2
1)E
5
3)D
1)C
5
2)B
2
5)A
-
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25
EJEMPLO PSU-24: tres atletas corrieron los 100 metros planos, Javier
cronometr 11,3 segundos, Arturo 11,02 segundo y Marcelo 11,2 segundos. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) Javier lleg despus de Marcelo II) Entre Arturo y Marcelo hay 18 centsimas de segundo de
diferencia al llegar a la meta III) Arturo lleg primero
A) Solo I
B) Solo I y II C) Solo I y III
D) Solo II y III E) I, II y III
EJEMPLO PSU-25: En una receta de un postre para 6 personas se
necesitan 200 gramos de azcar. Si se desea preparar dicho postre para n personas, por cul nmero se debe multiplicar n para obtener
cuntos gramos de azcar se necesitan?
A) 33,3 B) 200 C) 1.200
D) 6 E) 0,03
EJEMPLO PSU-26: Sean a, b y d nmeros enteros positivos. Si
d
a
b
aS , entonces 1S es:
)db(a
bd)E
a2
db)D
a
db)C
bd
abad)B
a2
bd)A
-
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26
EJEMPLO PSU-27: 2)2,0( =
A) 5 B) 10
C) 25
D) 25
1
E) 5
1
EJEMPLO PSU-28.
3
2
7
33
anterioreslasdeNinguna)E
21
5)D
21
5)C
21
68)B
21
58)A
EJEMPLO PSU-29. Se tienen dos cajas: una con seis botellas de 4
3de
litro, todas llenas y otra con cuatro botellas de 4
11 de litro, todas llenas
tambin. Cul es el nmero de botellas de medio litro con las que se puede envasar todo el lquido?
A) 5
B) 9 C) 10
D) 19 E) 20
-
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27
EJEMPLO PSU-30. Sea n un nmero entero, cul de las afirmaciones
siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
2
1
2n
3n)III
impropiafraccinunaes2n
3n)II
racionales2n
3n)I
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I y II
E) Ninguna de las anteriores.
EJEMPLO PSU-31. Se define la operacin [m, n, r] r2
n8m2 , cul es
el valor de
3
5,
4
3,
2
1?
1)E
5
6)D
5
24)C
3
2)B
2
3)A
EJEMPLO PSU-32. ?n
))n(n(n
A) 2n B) n C) n D) 1
E) 1
-
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28
EJEMPLO PSU-33. Cuntos sptimos son equivalentes a 7
52 ?
A) 19
B) 17 C) 14
D) 10 E) 5
EJEMPLO PSU-34. El nmero racional 7
10es igual a:
10
1:
7
1)E
7
37)D
4
3
3
7)C
7,010,0)B
7,010)A
EJEMPLO PSU-35. Juan tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad ms un dulce. Si al hermano de Juan le regalan 3 dulces y
ste, a su vez, regala 2 dulces, con cuntos dulces queda el hermano de Juan?
22
aCon)E
42
aCon)D
32
aCon)C
2aCon)B
12
aCon)A
-
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29
EJEMPLO PSU-36. Dada la fraccin mn
tm , con m > 0 y t > 0.
Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre
verdadera(s)?
I) Si a m y a t se le agrega 1, entonces la fraccin aumenta en 2. II) Si el numerador de la fraccin se duplica y su denominador se
divide por 2, entonces la fraccin queda igual. III) Si el denominador de la fraccin se divide por 3, entonces la
fraccin se triplica.
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y II
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-37. Se define la operacin bab#a en los nmeros
reales. En cul(es) de las siguientes operaciones el resultado es igual a 8?
I) 4 # 2
II) 16 # 2
1
III) 8 # 0
A) Solo en III B) Solo en I y en II
C) Solo en I y en III
D) Solo en II y en III E) En I, en II y en III
-
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30
III. POTENCIAS EN Z
DEFINICIN
PROPIEDADES
1. n0 = 0, si n Z+
2. n1 = 1
3. Si n es par, n)1( = 1
4. Si n es impar, n)1( = -1
Signos de una potencia: na =
imparesny0asiNegativo
paresny0asiPositivo
MULTIPLICACIN Y DIVISIN DE POTENCIAS Sean a y b Z, m y n Z+
1.- Multiplicacin de potencias de igual base
2.- Divisin de potencias de igual base
3.- Multiplicacin de potencias de distinta base e igual exponente
4.- Divisin de potencias de distinta base e igual exponente
DEFINICIN
OBSERVACIN:
00 no est definido
POTENCIA DE UNA POTENCIA
POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO
-
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31
POTENCIAS DE BASE 10
010 = 1 110 =10
1=0,1
110 = 10 210 =100
1=0,01
210 = 100 310 =1000
1=0,001
310 = 1000
Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un nmero de las siguientes formas:
1. Un nmero est escrito en notacin cientfica si se escribe de la forma k n10 , en que 1 k < 10 y n Z.
2. Un nmero est escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma p 10n, en que p es el menor entero y n Z.
3. Un nmero est inscrito en notacin ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dgito de dicho nmero por la potencia de diez correspondiente a su posicin (... centena, decena,
unidad, dcima, centsima...) abcde = a 210 + b 110 + c 100 + d 110 + e 210
EJEMPLO PSU-1:
1
11
5
43
12
5)E
7
5)D
5
7)C
12
35)B
35
12)A
EJEMPLO PSU-2:
0003,06
0000002,00009,0
A) 10-15 B) 10-12
C) 10-7 D) 10-6
E) Ninguno de los valores anteriores
-
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32
EJEMPLO PSU-3: El orden de los nmeros: M = 4,51 610 ;
N = 45,1 510 y P = 451 710 , de menor a mayor, es
A) M, N, P
B) P, M, N C) N, M, P
D) P, N, M E) M, P, N
EJEMPLO PSU-4:
3
2a2
1
6
6
5
5
6
a2
1)E
a8
1)D
a2
1)C
a8)B
a8)A
EJEMPLO PSU-5: Si x22 = 8, cuntas veces x es igual a 9? A) 6
B) 2
9
C) 3
D) 2
3
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-6: 432 224
6)E
8)D
6
1)C
4
1)B
8
1)A
-
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33
EJEMPLO PSU-7: 23 )a3()a2( =
A) 72a2 B) 72a5
C) 6a5
D) 36a6 E) 36a5
EJEMPLO PSU-8: Cul es la mitad de 62 ?
A) 25
B) 23 C) 16
D)
3
2
1
E)
6
2
1
EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las siguientes igualdades es(son) siempre verdadera(s)?
n22n
nnn2
n2nn
a2)a2()III
aaa)II
aaa)I
A) Solo I
B) Slo II C) Solo III
D) Solo I y III E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-10: Cules de las siguientes operaciones dan como
resultado 41?
32
00
24
27)III
7676)II
52)I
A) Solo I y II B) Solo I y III
C) Solo II y III D) I, II, III
E) Ninguna de ellas
-
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34
EJEMPLO PSU-11: El valor de la expresin n1n21
n
263
184
es
A) n2
B) 4 n2 C) 2
D) 6 E) 36
EJEMPLO PSU-12:
000.000.20
00006,0106,3 6
15
7
6
5
4
1008,1)E
1008,1)D
1008,1)C
1008,1)B
1008,1)A
EJEMPLO PSU-13: En la igualdad 44nnnn 24444 , el valor de n es:
22)D
21)C
11)B
2
11)A
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-14: (0,2) 2
=
A) 5
B) 10 C) 25
D) 25
1
E) 5
-
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35
EJEMPLO PSU-15:
52
156
ba
ba
9)E
ba)D
ba)C
ba)B
7
9)A
33
204
108
EJEMPLO PSU-16: Si x399 . Entonces x=
A) 2
B) 3 C) 4
D) 6 E) 27
EJEMPLO PSU-17: Si una colonia de bacterias se triplica cada 20
minutos e inicialmente hay 5.000 de ellas, el nmero de bacterias que hay al trmino de 3 horas es:
A) 5.000 33 bacterias
B) 5.000 34 bacterias
C) 5.000 39 bacterias
D) 5.000 360 bacterias
E) 5.000 3180 bacterias
EJEMPLO PSU-18: Cul de las siguientes igualdades es (son) correcta (s) cuando x=-3?
64)4()III
144)II
64
14)I
x1
3x
x
A) Slo III
B) Slo I y II C) Slo I y III
D) Slo II y III E) I, II y III
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36
EJEMPLO PSU-19: Si 3102,5p y q = 3102 , cul(es) de las
siguientes igualdades se cumple(n)?
2,3qp)III
1004,1qp)II
102,7qp)I5
3
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y II
E) Solo I y III
EJEMPLO PSU-20: Si P33 xx , entonces xx 99 es igual a:
A) P2
B) P2 + 2 C) P2 2 D) P2 1 E) 3P
EJEMPLO PSU-21. Ordenados de mayor a menor los nmeros:
:son5R:3Q;2P 222333444
A) Q, R, P
B) Q, P, R C) P, R, Q
D) R, P, Q E) P, Q, R
EJEMPLO PSU-22. Cul es el valor de la expresin ?721 025 A) 5
B) 6 C) 10
D) 12 E) 16
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37
EJEMPLO PSU-23. 23)s3t2( =
62
62
5
62
3
st24)E
st6)D
ts6)C
st36)B
ts36)A
EJEMPLO PSU-24. Por qu factor hay que multiplicar 2x para obtener
2x ?
anterioresfactoreslosdeningunoPor)E
xPor)D
xPor)C
1Por)B
xPor)A
4
1
4
EJEMPLO PSU-25. Qu valor tiene x en la ecuacin ?525 33x
2
7)E
8)D
2
9)C
2
15)B
2
17)A
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38
IV. ALGEBRA y FUNCIONES EVALUACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Evaluar una expresin algebraica consiste en sustituir las letras por los valores
numricos dados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitucin va siempre entre parntesis.
TRMINOS SEMEJANTES Son aquellos que tienen idntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y los mismos exponentes, slo pueden diferir en el coeficiente numrico.
REDUCCIN DE TRMINOS SEMEJANTES
Para reducir trminos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numricos y mantener su factor literal.
USO DE PARNTESIS En lgebra los parntesis se usan para agrupar trminos y separar operaciones.
Los parntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas: Si un parntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar los
signos de los trminos que estn dentro del parntesis. Si un parntesis es precedido por un signo , este se puede eliminar cambiando los signos de cada uno de los trminos que estn al interior del parntesis. Si una expresin algebraica tiene trminos agrupados entre parntesis y ellos a su
vez se encuentran dentro de otros parntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden a los parntesis desde adentro hacia fuera.
OPERATORIA ALGEBRAICA ADICIN DE POLINOMIOS
Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reduccin de trminos semejantes y uso de parntesis.
MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplican los coeficientes numricos entre s y los factores literales entre s, usando propiedades de potencias. En el caso de multiplicar un monomio por un producto de monomios se multiplica slo por uno de ellos. Es decir,
a (b c) = (a b) c
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada trmino del polinomio. Es decir, a (b + c + d) = ab + ac + ad
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39
POLINOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio y se reducen los trminos semejantes, si los hay.
PRODUCTOS NOTABLES:
Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a b)2 = a2 2ab + b2
Suma por su diferencia: (a + b) (a b) = a2 b2
Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab
Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3
Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a b c) 2 = a2 + b2 + c2 2ab 2bc - 2ac
Suma de cubos: (a + b) (a2 ab + b2) = a3 + b3
Diferencia de cubos: (a b) (a2 + ab + b2) = a3 b3
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40
EJEMPLO PSU-1: La expresin 44 ba se puede escribir como
A) 4)ba(
B) 22 )ba()ba(
C) )ba)(ba( 33
D) )ba)(ba( 2222
E) )ba)(ba( 33
EJEMPLO PSU-2: Si n = (a + b)2 y p = (a b)2, entonces a b =
)pn(4)E
4
pn)D
4
pn)C
4
pn)B
2
pn)A
22
44
EJEMPLO PSU-3: La expresin 2y
aay:
y
xxy es igual a:
a
xy)E
y
)1y(xa)D
y
ax)C
xy
a)B
0)A
3
2
-
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41
EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes expresiones al ser simplificada(s) resulta(n) 1?
ab2ba
)ab()III
)ba(
ba)II
a23
3a2)I
22
2
2
22
A) Slo I B) Slo I y II
C) Slo I y III D) Slo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-5: El doble de ))b(a( A) 2a + 2b
B) a - b + 2 C) a + b + 2
D) a + b E) -2a - 2b
EJEMPLO PSU-6: El largo de un rectngulo mide 3x + 2y. Si su permetro mide 10x + 6y, cunto mide el ancho del rectngulo?
A) 2x + y
B) 4x + 2y C) 7x + 4y
D) x + 2y E) x + 2y
EJEMPLO PSU-7: El rea de un rectngulo es 2x2 + 2x - 24. Si uno de sus lados mide (x - 3), el otro lado mide
A) (x + 8) B) 2(x + 8)
C) 2(x - 4) D) 2(x - 3)
E) 2(x + 4)
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42
EJEMPLO PSU-8: Si b
1aentonces,36
b
1bay9
b
1a
2
22
A) -9 B) 6
C) 4 D) 3
E) 1
EJEMPLO PSU-9: Cul(es) de las expresiones siguientes es(son)
divisor(es) de la expresin algebraica 2x2 6x 20 ? I) 2 II) (x 5) III) (x + 2) A) Slo I
B) Slo II C) Slo I y II
D) Slo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-10: Si la base de un tringulo mide z y su altura mide
2
z, entonces cunto mide el lado de un cuadrado que tiene igual rea
que el tringulo?
A) 4
z
B) 22
z
C) z
D) 2
z
E) 4
z2
EJEMPLO PSU-11: Si x = 3, entonces (x 2)( 2x2 3) =
A) 45 B) 75 C) 15 D) 75
E) 105
-
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43
EJEMPLO PSU-12: Si x e y son nmeros enteros diferentes de 0,
entonces x
y
y
x
2)E
xy
y2x2)D
1)C
xy
yx)B
xy
yx)A
22
EJEMPLO PSU-13: )3w2)(3w2(2)2w3( 2
A) 2w 12w - 14
B) 2w 12w + 22
C) 2w 12w -5
D) 2w 12w + 13
E) 2w 12w + 14 EJEMPLO PSU-14: Si 4(3x + 3) = 5(6 + 2x), entonces 2x es:
A) 9
B) 16 C) 18
D) 10
27
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-15: Cul de las siguientes expresiones es un factor de
k2 + k 6?
A) k + 1 B) k + 2
C) k 6 D) k 3 E) k 2
-
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44
EJEMPLO PSU-16: En la figura, cul(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El rea de ABCD es a2 + 2ab + b2
II) El rea de la regin achurada es (a + b)2
III) El rea de AEFD es b2 + ab
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y III
E) Solo II y III
EJEMPLO PSU-17: Si x es un nmero entero mayor que 1 y el rea de un rectngulo se expresa como (x2 + 5x 6), cul de las siguientes opciones puede representar a sus lados?
A) (x 1) y (x 5) B) (x + 2) y (x 3) C) (x 1) y (x + 6) D) (x + 1) y (x 6) E) (x 2) y (x 3)
EJEMPLO PSU-18: Dada la expresin xxyyxyx 222 , cul(es) de
las siguientes expresiones es (son) factor(es) de ella?
I) xy + 1 II) x + 1
III) y + 1 A) Slo I
B) Slo II C) Slo III
D) Slo I y III
E) Slo II y III
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45
EJEMPLO PSU-19: Si n es un nmero natural, una expresin
equivalente a 22n3n 33 es:
)3n(2
)3n(2
)3n(2
)3n(
)3n(2
38)E
316)D
34)C
32)B
32)A
EJEMPLO PSU-20: a:]aa)aa(aa[a
A) a2 B) a C) a D) 2a
E) a - 2
EJEMPLO PSU-21:
4a2
6a2
6a3
4a5
10a
2a3)E
)2a(3
3a2)D
)2a(3
5a2)C
)2a(3
5a2)B
)2a(3
13a2)A
-
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46
EJEMPLO PSU-22: Si mx2 mp2 = 1 y x p = m, entonces (x + p)2=
4
3
2
m
1)E
m
1)D
m
1)C
m
1)B
1)A
EJEMPLO PSU-23: a a(1 a) A) 1 - a
B) a C) 0
D) a2 E) a2
EJEMPLO PSU-24: Si 29bay10ba 22 , entonces el valor de
(a b)2 es:
A) 9
B) 19 C) 29
D) 49 E) No se puede determinar el valor
EJEMPLO PSU-25: Cul de las siguientes expresiones es equivalente a 2)nm( 4mn?
A) (m n)2 B) m2 2 + n2 C) m2 4mn + n2 D) 2m 4mn + 2n E) 2m 2mn + 2n
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47
EJEMPLO PSU-26: Sea m 0, al simplificar la expresin
m2
mrm resulta:
2
mr1)E
2
rm)D
2
r1)C
2
r)B
0)A
EJEMPLO PSU-27: Al sumar t
x con m se obtiene
2t
x
, entonces cul
es el valor de de m?
)2t(t
2)E
)2t(t
x2)D
2t
x)C
)2t(t
x2)B
0)A
EJEMPLO PSU-28: (30 + 5)2
(30 + 5)(30 5) =
A) 0 B) 50
C) 300
D) 350 E) 450
-
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48
EJEMPLO PSU-29: Jorge compr tres artculos distintos en $(4a + b).
El primero le costo $a y el segundo $(2a b). Cunto le cost el tercero?
A) $ a B) $ 7a
C) $ (3a b) D) $ (3a + 2b)
E) $ (a + 2b)
EJEMPLO PSU-30: El promedio de un nmero entero positivo y su
antecesor es 6,5 entonces, el sucesor de ese nmero entero es:
A) 6 B) 7
C) 8 D) 14
E) Ninguno de los anteriores
EJEMPLO PSU-31: Si el ancho de un rectngulo es 2
x3 y el largo es el
doble del ancho. Cunto mide su permetro?
x6)E
x9)D
2
x9)C
x3)B
2
x9)A
2
-
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49
EJEMPLO PSU-32: Si x6
1cy
x4
1b,
x2
1a , entonces la expresin
x (a + b + c) equivale a:
x12
7)E
x12
11)D
12
x11)C
x12
7x)B
x12
11x12)A
2
2
EJEMPLO PSU-33: Dada la siguiente figura:
Se sabe que a y b son positivos y a > b. Cul(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I. El rea del cuadrado de lado (a + b) es igual al rea achurada. II. (a + b)(a - b) es igual a la diferencia de las reas del cuadrado de
lado a y el lado de b.
III. a(a + b) > a2 + b
2
A) Slo I
B) Slo I y II C) Slo I y III
D) Slo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-34: El cuadrado ABCD, de lado 8, tiene en sus esquinas
cuatro cuadrados de lado x cada uno. Cul es el rea sombreada?
A) 8 x B) 64 4x2 C) 64 x2 D) 8 x2 E) 64 x4
-
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EJEMPLO PSU-35: Si )ba(b#ay)ba(ba 222 , a cunto
equivale la expresin )p#m(5)pm(3 ?
A) -2m2 + 8p2 B) -2m2 + 6mp + 8p2
C) 8m2 + 6mp 2p2 D) -2m2 + 3mp + 8p2
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO PSU-36: Si m = 2 y b = 5, entonces {m - (m - b)}2 es igual
a:
A) -10
B) 10 C) 13
D) -25 E) 25
EJEMPLO PSU-37: Si se desea construir un cilindro M que sea cuatro veces el volumen de otro cilindro P, entonces
I) la altura del cilindro M debe ser cuatro veces la altura del cilindro P y los radios deben ser iguales.
II) el radio de la base del cilindro M debe ser el doble del radio del cilindro P y las alturas deben ser iguales.
III) el radio de la base del cilindro M debe ser cuatro veces el radio
del cilindro P y las alturas deben ser iguales. Es (son) verdadera(s)
A) slo I.
B) slo II. C) slo III.
D) slo I y II. E) slo I y III
EJEMPLO PSU-38: Si n = 3, entonces n33
nn2 es igual a:
A) 6
B) 9 C) 14
D) 17 E) 18
-
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51
EJEMPLO PSU-39:
yx
3
2yx
3
2
22
22
22
22
yx6
4)D
yx9
2)C
yx9
4)B
yx3
4)A
E) Ninguna de las expresiones anteriores
EJEMPLO PSU-40: En la figura, si ABCD es un rectngulo, entonces el rea de la regin achurada se expresa como:
3
)yz(x)E
2
xy)D
xz)C
)zy(x)B
)yz(x)A
EJEMPLO PSU-41: para que la expresin
yx
yx1
yx
yx1
sea positiva, se
debe cumplir necesariamente que:
A) xy < 0
B) x < 0 C) xy > 0
D) y < 0 E) x > y
-
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52
EJEMPLO PSU-42: Si x = -1, cul es el valor de la expresin 432 xxx ?
A) -9 B) -3
C) -1 D) 1
E) 3
EJEMPLO PSU-43: Cul es el valor de x2
2xy, si x = 2 e y = 1?
A) 8 B) 6
C) 4 D) 2
E) 0
EJEMPLO PSU-44: a [a (a + b c)] =
A) a + b c B) a + b c C) a b + c D) a b c E) a + b + c
EJEMPLO PSU-45: (3m 5p)2
=
A) 6m2
10p2
B) 9m2
25p2
C) 9m2
15mp + 25p2
D) 9m2
30mp 25p2
E) 9m2
30mp + 25p2
EJEMPLO PSU-46. Si p = -2 y q = - 3 entonces 22 qp
A) 13 B) 25 C) 1
D) 5 E) -5
-
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53
EJEMPLO PSU-47. p = q + 1, entonces :espq
p
p)E
)1p()D
)1q()C
p)B
q)A
p
p
q
1p
1q
EJEMPLO PSU-48. En cul de las siguientes alternativas, - 24 mn es
un trmino al desarrollar el cuadrado de un binomio?
2
2
2
2
2
)24m()E
)nm12()D
)n12m()C
)m2n12()B
)n8m3()A
EJEMPLO PSU-49. En el rectngulo de la figura axAD , xDF y
aFC . Adems AD//EF . Cul(es) de las siguientes expresiones
equivale(n) al rea del rectngulo ABCD?
)ax)(ax()III
ax)II
a)ax(x)I22
2
A) Solo I
B) Solo II C) Solo I y III
D) Solo II y III E) I, II y III
-
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EJEMPLO PSU-50.
2m
2
3m
m
6m4m)E
)2m)(3m(
6m4m)D
)2m)(3m(
6m)C
)2m)(3m(
6m6m)B
)2m)(3m(
6m)A
2
2
2
2
2
EJEMPLO PSU-51. Si k es un nmero entero positivo, entonces k + 1 es factor de:
1k)E
2k)D
kk)C
kk)B
k2k5)A
3
2
2
2
EJEMPLO PSU-52. 1)]tm()tm[(
0)E
t2)D
t2
1)C
t2
1)B
m2
1)A
-
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55
EJEMPLO PSU-53. Cul de las siguientes expresiones es igual a
49x4 2 :
)7x)(7x4()E
)7x)(7x(4)D
)7x2)(7x2()C
)7x(4)B
)7x2()A2
2
EJEMPLO PSU-54. Si 1t , entonces la expresin1t
1
1t
t2
es igual a
1t)E
2t2
1t)D
t)C
1t)B
1t)A
2
2
EJEMPLO PSU-55. Si en un rectngulo de largo 2a y de ancho a + 2, se aumenta el largo al doble y el ancho en 3a + 6, entonces el rea del
nuevo rectngulo, con respecto al original, aumenta
A) 8 veces. B) 6 veces.
C) en 16 unidades.
D) en 8 unidades. E) 16 veces.
-
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56
V. SIMBOLOGA:
Nmeros natural cualquiera = n
El antecesor de un nmero = n 1
El sucesor de un nmero = n + 1
Nmero natural par = 2n
Nmero natural impar = 2n 1
El cuadrado del sucesor de un nmero = (n + 1) 2
El sucesor del cuadrado de un nmero = n2 + 1
El cuadrado del sucesor del antecesor de un nmero = n2
Dos nmeros naturales impares consecutivos = 2n 1, 2n +1
El inverso aditivo u opuesto de un nmero = n
El inverso multiplicativo o recproco de un nmero = n
1
El triple de un nmero = 3n
Un nmero de dos cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u y la cifra de las decenas es d = 10d + u
Un nmero de tres cifras en el sistema decimal, cuya cifra de las unidades es u, la cifra de las decenas es d y la cifra de las centenas es c = 100c + 10d + u
La razn o cociente entre p y q = q
p
El valor absoluto de un nmero = | n |
p es directamente proporcional a q = )tetancons(kq
p
p es inversamente proporcional a q = pq = k (constante)
EJEMPLO PSU-1: El doble del cuadrado de (x 3) se expresa por:
A) [2(x-3)]2 B) 2(x2 32) C) (2x 6)2 D) 2(x 3)2 E) (x2 32)2
-
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EJEMPLO PSU-2: Cul de las siguientes ecuaciones permite resolver el siguiente problema: Si te regalo la quinta parte de mis camisetas y a Carmen le regalo 5 ms que a ti, me quedo con 4?
A) 455
x2
B) x55
x2
C) x95
x
D) x95
x2
E) 455
x
EJEMPLO PSU-3: El enunciado: A un nmero d se le suma su doble, y este resultado se multiplica por el cuadrado del triple de d, se escribe
2
2
2
2
2
)d3()2d()E
d3)d2d()D
)d3()d2d()C
)d3(d2d)B
d3d2d)A
EJEMPLO PSU-4: Un nmero real n, distinto de cero, sumado con su
recproco, y todo al cuadrado, se expresa como
22
2
2
2
2
2
)n(n)E
)n(n)D
n
1n)C
n
1n)B
n
1n)A
-
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EJEMPLO PSU-5: Si el radio r de un crculo aumenta en unidades,
entonces el rea del nuevo crculo se expresa, en unidades cuadradas, como
2
2
22
22
2
)r()E
)r()D
)r()C
r)B
r)A
EJEMPLO PSU-6: Un quinto de m sumado con el cuadrado de m, todo dividido por t, se escribe
t
m25
m
)E
t
m
5
m)D
t
mm5)C
t
m5
m
)B
t
mm5)A
2
2
2
2
-
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59
EJEMPLO PSU-7: Mara (M) tiene dos aos menos que el 25% de la
edad de Juan (J). Si hace dos aos Juan tena 10 aos, en cul de las siguientes opciones se plantean correctamente las ecuaciones que
permiten calcular las edades de Mara y Juan?
102Jy4
J2M)E
10Jy4
J2M)D
102Jy4
J2M)C
102Jy4
J2M)B
102Jy4
J2M)A
EJEMPLO PSU-8: hace 3 aos Luisa tena 5 aos y Teresa a aos. Cul ser la suma de sus edades en a aos ms?
A) (11 + 3a) aos
B) (11 + 2a) aos C) (11 + a) aos
D) (8 + 3a) aos E) (5 + 3a) aos
EJEMPLO PSU-9: La expresin: El doble del cuadrado de (3 + b) es igual al cuadrado del doble de (3 b) se representa como:
22
22
2
22
22
)b3(2)b3(2)E
)b3(2)b3(2)D
)b3)(b3(2b3(2)C
)b3(4)b3(4)B
)b3(2b3(2)A
-
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60
EJEMPLO PSU-10: El largo de un rectngulo es 8 metros mayor que su
ancho. Si el ancho del rectngulo es x metros, la expresin algebraica que representa su permetro es:
A) (4x + 16) metros B) (2x + 8) metros
C) (2x + 16) metros D) (4x + 8) metros
E) (4x + 32) metros
EJEMPLO PSU-11: La suma de los cuadrados de tres enteros consecutivos es igual a 291. Cul de las siguientes expresiones
representa al planteamiento algebraico de este problema?
A) [x + (x + 1) + (x + 2)]2 = 291 B) x2 + (x2 + 1) + (x2 + 2) = 291
C) (x 1)2 + x2 + (x + 1)2 = 291 D) (x 1)2 x2 (x + 1)2 = 291 E) x2(x2 + 1)(x2 + 2) = 291
EJEMPLO PSU-12: La expresin: para que el doble de (a + c) sea igual a 18, le faltan 4 unidades, se expresa como
A) 2a + c + 4 = 18 B) 2(a + c) 4 = 18 C) 2(a + c) + 4 = 18 D) 4 2(a + c) = 18 E) 2a + c 4 = 18
EJEMPLO PSU-13: Compr x kg de caf en $ 36.000 y compr 40 kg ms de t que de caf en $ 48.000. Cmo se expresa el valor de 1 kg
de caf ms 1 kg de t, en funcin de x?
A) 40x
000.48
x
000.36
B) 40x
000.48
x
000.36
C) 000.48
40x
000.36
x
D) 000.48
40x
000.36
x
E) 40
000.48
x
000.36
-
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61
VI. RAZONES y PROPORCIONES
RAZN es el cociente entre dos cantidades. Se escribe b
ao a: b.
Y se lee a es a b; a se denomina antecedente; b se denomina consecuente.
PROPORCIN es la igualdad de dos razones. Se escribe b
y
a
x x: a = y: b
Y se lee x es a a como y es a b; x y b se denominan extremos; a e y se denominan medios.
TEOREMA FUNDAMENTAL En toda proporcin, el producto de los extremos es igual al producto de los
medios. (x : a = y : b) (x b = y a)
OBSERVACIN: Si x: a = y : b, entonces existe una constante k, denominada
constante de proporcionalidad, tal que: x = ka , y = kb ; k 0 PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Dos variables, x e y, son directamente proporcionales si el cuociente entre sus valores correspondientes es constante.
OBSERVACIONES: En una proporcin directa, si una cantidad aumenta (disminuye) n veces, la otra aumenta
(disminuye) el mismo nmero de veces. El grfico de una proporcionalidad directa corresponde a una lnea recta que pasa por
el origen PROPORCIONALIDAD INVERSA
Dos variables, x e y, son inversamente proporcionales si el producto entre sus valores correspondientes es constante x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = ..........= xn yn = k k : constante
OBSERVACIONES: En una proporcionalidad inversa, si una
cantidad aumenta (o disminuye) n veces, la otra disminuye (o aumenta) el mismo nmero de veces.
El grfico de una proporcionalidad inversa corresponde a una hiprbola equiltera
-
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62
EJEMPLO PSU-1: Dada la siguiente tabla:
Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?:
I. A y B son directamente proporcionales.
II. El valor de x es 2. III. La constante de proporcionalidad inversa es 30.
A) Slo I
B) Slo I y II C) Slo I y III
D) Slo II y III E) I, II y III
EJEMPLO PSU-2: 2 electricistas hacen un trabajo en 6 das, trabajando 8 horas diarias. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. 4 electricistas harn el trabajo en 3 das, trabajando 8 horas diarias.
II. Los electricistas y las horas son directamente proporcionales.
III. La constante de proporcionalidad es 3.
A) Slo I B) Slo I y II
C) Slo I y III D) Slo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-3: En una quinta hay naranjos, manzanos y duraznos que suman en total 300 rboles. Si hay 120 naranjos y la razn entre
los duraznos y manzanos es 7: 3, entonces cuntos duraznos hay en la quinta?
A) 54
B) 77 C) 84
D) 126
E) 210
A 10 15 20
B 3 x 1,5
-
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63
EJEMPLO PSU-4: y es inversamente proporcional al cuadrado de x,
cuando y = 16, x = 1. Si x = 8, entonces y =
9)E
4)D
2)C
4
1)B
2
1)A
EJEMPLO PSU-5: Se desea cortar un alambre de 720 mm en tres trozos de modo que la razn de sus longitudes sea 8: 6: 4. Cunto
mide cada trozo de alambre, de acuerdo al orden de las razones dadas?
A) 180 mm 120 mm 90 mm
B) 420 mm 180 mm 120 mm C) 320 mm 240 mm 160 mm
D) 510 mm 120 mm 90 mm E) Ninguna de las medidas anteriores
EJEMPLO PSU-6: Se sabe que a es directamente proporcional al
nmero b
1 y cuando a toma el valor 15, el valor de b es 4. Si a toma el
valor 6, entonces el valor de b es:
4
15)E
10
1)D
8
5)C
5
8)B
10)A
-
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64
EJEMPLO PSU-7: En un mapa (a escala) se tiene que 2 cm en l
corresponden a 25 km en la realidad. Si la distancia en el mapa entre dos ciudades es 5,4 cm, entonces la distancia real es
A) 50 km B) 65 km
C) 67,5 km D) 62,5 km
E) ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO PSU-8: Dos variables N y M son inversamente proporcionales
entre s. Para mantener el valor de la constante de proporcionalidad, si M aumenta al doble, entonces N
A) aumenta al doble.
B) disminuye a la mitad. C) aumenta en dos unidades.
D) disminuye en dos unidades.
E) se mantiene constante.
EJEMPLO PSU-9: En la tabla adjunta z es directamente proporcional a
y
1, segn los datos registrados, el valor de
c
a , es:
A) 256
B) 16
C) 16
1
D) 64
E) 64
1
EJEMPLO-10: La escala de un mapa es 1: 500.000. Si en el mapa la
distancia entre dos ciudades es 3,5 cm, cul es la distancia real entre
ellas?
A 1,75 km B 17,5 km
C 175 km D 1.750 km
E 17.500 km
z y
8 2
a 4
1 16
4
1 b
-
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65
EJEMPLO PSU-11: Los cajones M y S pesan juntos K kilogramos. Si la
razn entre los pesos de M y S es 3: 4, entonces S: K =
A) 4: 7
B) 4: 3 C) 7: 4
D) 3: 7 E) 3: 4
EJEMPLO PSU-12: La ley combinada que rige el comportamiento ideal
de un gas es T
VP = constante, donde P es la presin del gas, V su
volumen y T su temperatura absoluta. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) A volumen constante la presin es directamente
proporcional a la temperatura II) A temperatura constante la presin es inversamente
proporcional al volumen III) A presin constante el volumen es inversamente
proporcional a la temperatura
A) Solo I B) Solo II
C) Solo I y II D) Solo I y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-13: Una nutricionista mezcla tres tipos de jugos de fruta
de modo que sus volmenes estn en la razn 1: 2:3. Si el volumen del
segundo tipo es de 4 litros, cuntos litros tiene la mezcla total?
A 6 litros B 10 litros
C 12 litros D 14 litros
E 16 litros
-
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66
EJEMPLO PSU-14: En un curso de 40 estudiantes, la razn entre
mujeres y hombres es m: h. Cul es la expresin que representa el nmero de mujeres?
h
m40)E
hm
h40)D
h
)hm(40)C
m
)hm(40)B
hm
m40)A
EJEMPLO PSU-15: El grfico de la figura, representa a una proporcionalidad inversa entre las magnitudes m y t. Cul(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La constante de proporcionalidad es 36
II) El valor de t1 es 9 III) El valor de m1 es 36
A) Solo I
B) Solo I y II C) Solo I y III
D) I, II y III E) Ninguna de ellas
EJEMPLO PSU-16: A un evento asistieron 56 personas. Si haba
4 mujeres por cada 3 hombres, cuntas mujeres asistieron al evento?
A) 8 B) 21
C) 24 D) 28
E) 32
-
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67
EJEMPLO PSU-17: Si h hombres pueden fabricar 50 artculos en un
da, cuntos hombres se necesitan para fabricar x artculos en un da?
x50
h)D
h50
x)C
h
x50)B
50
hx)A
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-18: En un balneario, hay 2.500 residentes
permanentes. En el mes de febrero, de cada seis personas solo una es residente permanente, cuntas personas hay en febrero?
A) 416
B) 4.000 C) 12.500
D) 15.000
E) 17.500
EJEMPLO PSU-19: Las variables x, w, u, v son tales que: x es directamente proporcional a u, con constante de proporcionalidad 2, y
w es inversamente proporcional a v, con constante de proporcionalidad 8. Cules de las siguientes relaciones entre dichas variables
representan este hecho?
A) 2u
x y w v = 8
B) x u = 2 y w + v = 8
C) x u = 2 y 8v
w
D) x + u = 2 y w v = 8 E) x + w = 10
-
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68
EJEMPLO PSU-20: Un trabajador X, trabajando solo se demora t das
en hacer un jardn, otro trabajador Y se demora t + 15 das en hacer el mismo jardn, y si ambos trabajan juntos se demoran 10 das. Cuntos
das se demorar Y trabajando solo?
A) 30
B) 28 C) 25
D) 20 E) 15
EJEMPLO PSU-21: Si el ndice de crecimiento C de una poblacin es
inversamente proporcional al ndice D de desempleo y en un instante en que C = 0,5 se tiene que D = 0,25, entonces entre ambos ndices se
cumple:
A) D = 0,5C B) D = C2
C) D = C
5,0
D) D = 0,125C
E) D = C
125,0
EJEMPLO PSU- 22: Para hacer arreglos en un edificio se contratar un
cierto nmero de electricistas. Si se contratara 2 electricistas, ellos se demoraran 6 das, trabajando 8 horas diarias, cul(es) de las
siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) Si se contrataran 4 electricistas, se demoraran 3 das, trabajando 8 horas diarias
II) El nmero de electricistas y el nmero de das son variables directamente proporcionales
III) La constante de proporcionalidad entre las variables es 3
A) Solo I B) Solo III
C) Solo I y II D) Solo II y III
E) I, II y III
-
lvaro M. Snchez Vsquez Prof. Matemtica y Fsica
69
EJEMPLO PSU-23. Un trabajador hace un trabajo en 60 das, mientras
que cinco trabajadores hacen el mismo trabajo en 12 das. Cul de los siguientes grficos representa mejor la relacin trabajadores - das
EJEMPLO PSU-24. n y m son directamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 3. Cul de las siguientes tablas
representa dicha relacin?
-
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70
EJEMPLO PSU-25. Segn el grafico obreros versus el tiempo que
demoran en construir una casa del tipo M se puede afirmar correctamente que:
A) Dos trabajadores construyen una casa del tipo M en un ao
B) Tres trabajadores construyen una casa del tipo M en cinco
meses C) b trabajadores construyen
ms casas del tipo M que c trabajadores en un ao
D) (c b) trabajadores construyen una casa del tipo M
en ocho meses E) d trabajadores construyen dos casas del tipo M en un ao
EJEMPLO PSU-26. La mitad de una parcela de 10.000 m2, est dividida
en dos partes que estn en la razn 1: 4. La parte menor ser utilizada para cultivo, cuntos metros cuadrados sern usados para este fin?
A) 625
B) 2.000 C) 400
D) 1.250 E) 1.000
EJEMPLO PSU-27. Entre tres hermanos compran un nmero de rifa
que cuesta $ 1.000. Juan aporta con $ 240, Luis con $ 360 y Rosa aporta el resto. El premio es de $ 60.000 Deciden, en caso de ganarlo
repartirlo en forma directamente proporcional al aporte de cada uno, Qu cantidad de dinero le correspondera a Rosa?
A) $ 30.000 B) $ 18.000
C) $ 24.000 D) $ 20.000
E) $ 40.000
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TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es un caso particular de proporcionalidad directa en que uno de los trminos de la proporcin es 100:
P: Es el tanto por ciento C: Es la cantidad de referencia Q: Es el porcentaje
El tanto por ciento P de una cantidad C expresado en fraccin es
P% de C = C100
P
OPERACIONES CON TANTOS POR CIENTOS
i) Dos o ms tantos por cientos de una misma cantidad se pueden sumar o restar
a% de C b% de C = (a b)% de C
ii) El tanto por ciento del tanto por ciento de una cantidad es igual al producto de
los tantos por cientos
INTERS SIMPLE
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento simple, si el crecimiento en cada unidad de tiempo es fijo. La cantidad final CF despus de cumplido el periodo n est dada
por la frmula:
OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters simple cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses son retirados. En este caso el capital permanece inalterable.
El a% del b% de C = C100
b
100
a
100
in1CCF
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INTERS COMPUESTO
Una cantidad C crece a una tasa del i % por unidad de tiempo en un periodo de n unidades, en un rgimen de crecimiento compuesto, si el crecimiento en cada unidad de tiempo se agrega a C de modo que al final de cada unidad hay una
nueva cantidad. La frmula para calcular la cantidad final CF despus de cumplido el periodo n es:
n
F100
i1CC
OBSERVACIN: Un capital est sometido a un rgimen de inters compuesto cuando, al finalizar el periodo mnimo de depsito, los intereses no se retiran y se
aaden al capital para producir nuevos intereses.
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EJEMPLO PSU-1: En un supermercado hay supervisores, cajeros y
reponedores. Si el 60% de los trabajadores son reponedores, 18 son supervisores y stos son un tercio de los cajeros, cul es el total de
trabajadores?
A) 108
B) 72 C) 180
D) 90 E) 54
EJEMPLO PSU-2: Una persona deposita $1.000 y en tres aos gana
$157,5. Calcular el inters simple anual.
A) 5% B) 5,25%
C) 5,5% D) 5,75%
E) 15,75%
EJEMPLO PSU-3: Un par de zapatos ms dos pantalones valen
$ 70.000 en una tienda. Se ofrece una oferta, al comprar dos o ms pares de zapatos del mismo precio se descuenta un 10% en cada par y
por tres o ms pantalones del mismo precio un 15% en cada pantaln. Juan paga por tres pantalones $ 38.250 y luego, compra dos pares de
zapatos. Cunto pag Juan por los dos pares de zapatos?
A) $ 45.000 B) $ 50.000
C) $ 57.150 D) $ 72.000
E) $ 81.900
EJEMPLO PSU-4: Un vendedor recibe $ 215.000 de sueldo, al mes, ms un 8% de las ventas por comisin. Cunto debe vender para ganar
$ 317.000 en el mes?
A) $ 254.625 B) $ 532.000
C) $ 1.275.000 D) $ 1.812.500
E) $ 3.962.500
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EJEMPLO PSU-5: Con 5 vasos de 250 cc cada uno, se llena un jarro.
Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ? I) Si la capacidad de cada vaso fuera de 125 cc, se necesitaran
10 vasos para llenar el jarro.
II) Si la capacidad de cada vaso aumentara en un 25%, se necesitaran 4 vasos para llenar el jarro.
III) Con 2 vasos de 250 cc se llena el 40% de la capacidad del jarro.
A) Slo III B) Slo I y II
C) Slo I y III D) Slo II y III
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-6: El estadio A de una ciudad tiene capacidad para
40.000 personas sentadas y otro B para 18.000. Se hacen eventos simultneos; l A se ocupa hasta el 25% de su capacidad y el B llena
slo el 50%. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s) ? I) El estadio A registr mayor asistencia de pblico que el B.
II) Si se hubiese llevado a los asistentes de ambos estadios al A, habra quedado en ste, menos del 50% de sus asientos vacos.
III) Los espectadores que asistieron en conjunto a los dos estadios superan en 1.000 a la capacidad de B.
A) Slo I
B) Slo II C) Slo III
D) Slo I y II E) Slo I y III
EJEMPLO PSU-7: Un depsito contiene 20 litros que equivalen al 25%
de su capacidad, entonces para que llegue al 30% de su capacidad hay que agregar
A) 4 litros.
B) 24 litros. C) 40 litros.
D) 60 litros. E) ninguno de los valores anteriores.
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EJEMPLO PSU-8: En una asignatura se toman tres pruebas con las
ponderaciones 30%, 30% y 40%, respectivamente. Un alumno obtiene un 5,0 en la primera y un 4,0 en la segunda. Qu nota debe obtener en
la tercera prueba para que su promedio final sea un 5,1?
A) 5,0
B) 5,1 C) 5,2
D) 6,0 E) 6,3
EJEMPLO PSU-9: Si uno de los catetos de un tringulo rectngulo
issceles aumenta su largo en un 20% y el otro disminuye en el mismo porcentaje, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera para el
rea del tringulo rectngulo resultante, respecto del rea original?
A) Se mantiene igual. B) Aumenta en un 4%.
C) Disminuye en un 4%.
D) Aumenta al doble. E) Disminuye a la mitad.
EJEMPLO PSU-10: Cul(es) de las siguientes expresiones corresponde a calcular el 12,5% del precio de un artculo?
I) 8
1del precio del artculo
II) El precio del artculo multiplicado por 12,5
III) El precio del artculo dividido por 100 y multiplicado por 12,5
A) Solo I
B) Solo II C) Solo III
D) Solo I y II E) Solo I y III
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EJEMPLO PSU-11: En un colegio se necesita colocar en la cocina 70 m2
de cermica y 100 m2 de piso flotante para la sala de computacin. Si el metro cuadrado de cermica cuesta $P y el metro cuadrado de piso
flotante es un 75% ms caro que la cermica, entonces el costo total es
de:
A) $ 145P
B) $ 170P
C) $ 175P
D) $ 245P
E) $ 195P
EJEMPLO PSU-12: Si el 35% de a es 4 y el 12% de b es 6, entonces el
valor de a
bes:
35
8)E
18
35)D
35
18)C
8
35)B
7
400)A
EJEMPLO PSU-13: En un curso cada estudiante puede optar solamente
por una actividad extraprogramtica: las tres cuartas partes de los estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro.
Cul de las siguientes es la mejor estimacin del porcentaje de estudiantes que participa en alguna de estas dos actividades?
A) Menos del 91%.
B) Entre el 91% y el 93%. C) Entre el 93% y el 95%.
D) Entre el 95% y el 97%. E) Ms del 97%.
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EJEMPLO PSU-14: En una casa de dos pisos se necesita alfombrar 60
m2 en el primer piso y 40 m2 en el segundo. Si la alfombra que se debe usar en el segundo piso cuesta $ p el metro cuadrado y la otra es un
60% ms cara, cul de las siguientes expresiones representa el costo
total C en alfombras?
A) C = 1,6 p 100 + p 100 B) C = 0,6 p 100 + p 100
C) C = 0,6 p 60 + p 40 D) C = p 60 + 0,6 p 40
E) C = 1,6 p 60 + p40
EJEMPLO PSU-15: El da lunes, en un curso de 36 alumnos, faltaron a clases 9 de ellos. Cul(es) de las siguientes proposiciones es(son)
verdadera(s)? I) Falt la cuarta parte del curso
II) Los alumnos ausentes representan la tercera parte de los presentes
III) La diferencia entre alumnos presentes y ausentes representa
el 25% del curso
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y II
E) I, II y III
EJEMPLO PSU-16: Un nio aumenta su peso de 15 kg a 18 kg. El porcentaje de aumento es:
%30)E
%20)D
%3)C
%6
1)B
%5
1)A
-
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EJEMPLO PSU-17: Un folleto consta de 40 pginas. De ellas el 20% es
geometra, el 10% es lgebra y el resto astronoma. Luego las pginas dedicadas a la astronoma son:
A) 4 B) 8
C) 10 D) 12
E) 28
EJEMPLO PSU-18: En una casa comercial hacen un descuento de un 15% de la mitad del precio marcado de una mercadera. Si la
mercadera tiene un precio marcado de $ 600, cunto me descuentan?
A) $ 555 B) $ 510
C) $ 255 D) $ 45
E) $ 90
EJEMPLO PSU-19: En una vitrina de un negocio se observa lo
siguiente: Antes $ 400, ahora $ 300. Con respecto al precio original, cul es el porcentaje de rebaja?
A) 3
4%
B) 10% C) 25%
D) 33,3% E) 75%
EJEMPLO PSU-20: En un curso hay 30 alumnos. La relacin entre los
que practican teatro y los que no practican es 1: 5 respectivamente. Qu porcentaje practica teatro en relacin al total del curso?
A) 20%
B) 80%
C) 16,6..% D) 83,3..% E) No se puede determinar
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EJEMPLO PSU-21: Una tienda paga a sus dos empleados M y P de la
siguiente manera: M recibe el 8% de las ganancias de las ventas del mes y P recibe un sueldo base de $ 100.000 ms un 2% de las
ganancias de las ventas del mes. Si en total el negocio, en un mes,
vende $ 12.000.000 y slo el 30% corresponde a ganancias, cunto recibe como sueldo, ese mes, cada empleado?
M P A) $ 288.000 $ 72.000
B) $ 288.000 $ 172.000 C) $ 388.000 $ 172.000
D) $ 960.000 $ 240.000 E) $ 960.000 $ 340.000
EJEMPLO PSU-22: Un banco paga inters con una tasa anual del
100%. Si se abre una cuenta el 01 de enero con $ 1.000, entonces al 31 de diciembre de ese mismo ao habr en la cuenta, en pesos,
A) 1.000 + 1.000 12
100
B) 1.000 + 1.000
12
12
100
C) 2.000
D) 1.000 12
100
E) 1.000
12
12
1001
EJEMPLO PSU-23: En un corral, p gallinas son blancas, las que
corresponden a la quinta parte del total T de gallinas. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) Las gallinas que no son blancas son T5
4
II) El 20% de las gallinas son blancas
III) El nmero total de gallinas que no son blancas es cuatro veces el nmero de gallinas que son blancas
A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III D) Solo II y III
E) I, II y III
-
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EJEMPLO PSU-24: En una tienda se decide subir todos los precios en
un 15%. Por cul nmero se deben multiplicar los precios antiguos para obtener el nuevo precio?
A) Por 15% B) Por 0,15
C) Por 1,5 D) Por 1,15
E) depende del precio de cada artculo
EJEMPLO PSU-25: Si un capital C se invierte a una tasa anual de r por ciento de inters compuesto n veces al ao, entonces la cantidad P en
la cuenta al final de t aos est dada por:
nt
n100
11CP
.Al invertir
$50.000 al 6% anual de inters compuesto trimestralmente, al trmino de 1 ao se tendr, en pesos, una cantidad de:
4
3
4
3
4
)015,1(000.50)E
)015,1(000.50)D
)18,1(000.50)C
)06,1(000.50)B
)06,1(000.50)A
EJEMPLO PSU-26: En una liquidacin de invierno un abrigo vale $ 16.500 el cual ya ha sido rebajado en un 70%. Cunto costaba el
abrigo antes de la liquidacin?
A) $ 21.450 B) $ 23.571
C) $ 28.050
D) $ 55.000 E) $ 115.500
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EJEMPLO PSU-27: En un negocio un cliente recibe, por cada $ 5.000
de compra, una estampilla de descuento equivalente al 4% de esa cantidad. Si el cliente compra un artculo en $ 19.800, a cunto
asciende el valor de las estampillas de descuento?
A) $ 600
B) $ 750 C) $ 792
D) $ 800 E) $ 19.200
EJEMPLO PSU-28: En un curso de 30 alumnos, la razn entre los
alumnos que practican teatro y los que no practican teatro, es de 1: 5. Qu porcentaje de alumnos practica teatro con respecto al total de
alumnos del curso?
A) 83,3% B) 80% C) 20%
D) 16,6%
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-29: A qu inters simple anual debe colocarse un capital de $1.000, durante tres aos, para obtener una ganancia de
$ 157,5?
A) 5,0% B) 5,5%
C) 5,27% D) 5,25%
E) 5,05%
EJEMPLO PSU-30. Si un nmero n se divide por 6 resulta 2, cul es
el 50% de n?
A) 18 B) 12
C) 6 D) 4
E) 2
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EJEMPLO PSU-31. Qu capital hay que invertir al inters compuesto
del 2% trimestralmente para obtener al cabo de 1 ao $ 1.300.000?
4
4
3
4
)02,1(
000.300.1$)E
)2,1(
000.300.1$)D
)02,1(
000.300.1$)C
02,1
000.300.1$)B
)02,1(000.300.1$)A
EJEMPLO PSU-32. Si el caudal de un ro es de P metros cbicos por segundo, si al recibir un afluente su caudal aumenta en un 15% cul es
su nuevo caudal en metros cbicos por segundo? y aumenta en 15% su nuevo caudal ser.
anterioresresionesexplasdeNinguna)E
100
P15P)D
100
P15)C
15
PP)B
15P)A
EJEMPLO PSU-33. M es el 8% de:
M100
92)E
M100
108)D
M
1008)C
8
M100)B
100
M8)A
-
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EJEMPLO PSU-34. Viviana deposita en una financiera $ 100.000 al 2%
de inters compuesto mensual. Cul es el valor ms cercano a lo que ganara al cabo de tres meses, si no hace retiros ni depsitos en ese
perodo?
121.6$)E
000.8$)D
000.6$)C
121.106$)B
000.106$)A
EJEMPLO PSU-35. La tabla adjunta muestra los ahorros que posee
Alicia, despus de gastar semanalmente la misma cantidad de dinero. Cul grfico representa mejor esta situacin?
Semana 0 1 2 3 4 5
Ahorro
en $
20.000 18.000 16.000 14.000 12.000 10.000
Semana
Ahorro
50
)A )B )C
)D )E
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VII. RACES
Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el nico
real b, no negativo, tal que nb = a
0b,abba nn
Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el nico
real b, tal que nb =a
Rb,abba nn
OBSERVACIONES
1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES
REAL
2. La expresin n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una
potencia de exponente fraccionario nk
n k aa
3. ,aa2 para todo nmero real
PROPIEDADES
Si nn bya estn definidas en R, se cumplen las siguientes propiedades:
MULTIPLICACIN DE RACES DE IGUAL NDICE
nnn baba
DIVISIN DE RACES DE IGUAL NDICE
0b,b
a
b
an
n
n
POTENCIA DE UNA RAZ
0a,aa mnn m RAZ DE UNA RAZ
nmn m aa
AMPLIFICACIN y SIMPLIFICACIN DEL ORDEN DE UNA RAZ
Ra,Zmaa mn mn
PRODUCTO DE RACES DE DISTINTO NDICE
Rb,a,baba mn nmmn
FACTOR DE UNA RAZ COMO FACTOR SUBRADICAL
Rb,ababn nn
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RACIONALIZACIN
Racionalizar el denominador de una fraccin consiste en transformarla en una fraccin equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raz
Fracciones de la forma cb
a
Fracciones de la forma cqbp
a
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EJEMPLO PSU-1: 272125
arminerdetpuedeseNo)E
33)D
32)C
34)B
316)A
EJEMPLO PSU-2: 25
48
16
15
4
16
anterioresvaloreslosdeNinguno)E
20
7856)D
20
151)C
5
2
4
6
2
7)B
20
61)A
EJEMPLO PSU-3: 3 1x3 2x2 aa
1x
3x
x3
6 3x3
3x3
a)E
a)D
a)C
a)B
a)A
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EJEMPLO PSU-4: Cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s) cuando la variable x toma los tres valores 0, 1, 1?
xx)III
xx)II
xx)I
2
2
2
A) Slo I B) Slo II
C) Slo III D) Slo I y III
E) Ninguna de ellas.
EJEMPLO PSU-5: 3443 )22()22()22()22( es un nmero:
A) Racional positivo
B) Racional negativo C) Irracional positivo
D) Irracional negativo E) No real
EJEMPLO PSU-6: 3 2
2=
1)E
2)D
8)C
2)B
4)A
6
6
3
3
EJEMPLO PSU-7: Si a2 , c5yb3 entonces cul(es) de
las expresiones siguientes es(son) equivalentes a 60
I) 2bc
II) 4 224 cba
III) bca2
A) Solo I
B) Solo II C) Solo III
D) Solo I y II E) Solo I y III
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EJEMPLO PSU-8: Al simplificar la expresin 7
1472 resulta
4)E
272)D
22)C
142)B
32)A
EJEMPLO PSU-9: 38212
520)D
510)C
15)B
23)A
E) Ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO PSU-10: 2:)24251250(
40)E
32)D
58)C
210)B
10)A
EJEMPLO PSU-11:
3 55555
55555
55555
55555
2
3
3
2
6
5
5)E
5)D
1)C
5)B
5)A
-
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EJEMPLO PSU-12: Si t3232 , entonces el valor de t2 2
es:
2)E
2)D
32)C
0)B
232)A
EJEMPLO PSU-13: a1)25,0(
a
2
a
2
a
a1
a
2
1)E
2
1)D
2
1)C
2
1)B
2
1)A
EJEMPLO PSU-14: Cul(es) de los siguientes pares ordenados es(son)
solucin(es) de 22 x5xy
I) (2,5) II) (2,-5)
III) (2,-1)
A) Solo I B) Solo II
C) Solo III D) I, II y III
E) Ninguno de ellos
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EJEMPLO PSU-15: Cul(es) de los siguientes nmeros
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