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Lección 4: Factorización de Trinomios Cuadráticos de la

forma x2 + bx + c

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo

2009 ©

Objetivos de la Lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

• Factorizarán trinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c

• Resolverán problemas donde se aplique la factorización de trinomios cuadráticos

Introducción

Definición de Trinomio Cuadrático

• Un trinomio cuadrático es un polinomio de tres términos que tiene una de las siguientes formas:

ax2 + bx + c

ó

ax2 + bxy + cy2

(a, b, c son números Reales)

Ejemplos de Trinomios Cuadráticos

• x2 + 5x + 6

• 2x2 - 8x + 16

• 3x2 + x - 18

• 15x2 - 6x - 10

• 8x2 + 2xy + 27y2

• 6x2 + 15xy + 8y2

Reflexión

• Un trinomio cuadrático puede tener una sola variable en cuyo caso tiene la siguiente forma:

ax2 + bx + c

• Observa que:

– El polinomio es un trinomio.

– Si tiene una sola variable ésta aparece disminuyendosu potencia desde grado 2 hasta grado 0, o aumentando su potencia desde grado 0 hasta grado2.

– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquieranúmeros reales.

Ejemplos de Trinomios

Cuadráticos

x2 + 5x + 6 2x2 - 8x + 16

3x2 + x – 18 15x2 - 6x - 10

8x2 + 2xy + 27y2 6x2 + 15xy + 8y2

Reflexión

• Si el trinomio cuadrático tiene dos variables tiene la siguiente forma:

ax2 + bxy + cy2

• Observa que:– El polinomio es un trinomio.

– Si tiene dos variables, en el primer término aparece la primera variable elevada al cuadrado, en el últimotérmino aparece la segunda variable elevada al cuadrado, en el término del medio aparecen las dos variables de grado 1 cada una.

– Los coeficientes a, b, c, pueden ser cualesquieranúmeros reales.

Ejemplos de Trinomios

Cuadráticos

x2 + 5x + 6 2x2 - 8x + 16

3x2 + x – 18 15x2 - 6x - 10

8x2 + 2xy + 27y2 6x2 + 15xy + 8y2

Descubriendo la relación entre la multiplicación de binomios y

la factorización de trinomioscuadráticos

Introducción

• El método de factorización que estudiaremos en esta lección está relacionado con el proceso de multiplicación de binomios que estudiamos en la lección 2.

• Comenzaremos repasando lo que aprendimos sobre la multiplicación de binomios.

Multiplicación de Binomios• Multiplica: (x + 2) (x + 3)

Método Vertical:

x + 2

x + 3

x2 + 2x

3x + 6

x2 + 5x + 6

Observa que cuando se

multiplican dos binomios

obtenemos como resultado un

trinomio cuadrático

Método-FOIL• Multiplica: (x + 2)(x + 3)

(x + 2)(x + 3) =

= x2 + 3x + 2x + 6

= x2 + 5x + 6

F

O

I

L

F O I L

El ejemplo anterior se

puede hacer también

por el método FOIL.

¿Cómo haríamos si queremos ir al revés?

• O sea, si tenemos el trinomio cuadrático y

queremos hallar los dos binomios que se

multiplican para obtener como resultado el

polinomio

• Veamos la relación que hay entre los

binomios y el resultado...

Relación entre la multiplicación de los binomios(x + 2) (x + 3) y el resultado x2 + 5x + 6

x + 2

x + 3

3x + 6

x2 + 2x______________________

x2 + 5x + 6

¿De dónde sale el primer término del polinomio: x2 ?

¿De dónde sale el segundo término del polinomio: 5x ?

¿De dónde sale el tercer término del polinomio: 6 ?

De x por x De 2 por 3

Del producto cruzado: 2 por x , 3 por x, y luego sumar estos productos.

Proceso para factorizar Tinomios Cuadráticos

Pasos a seguir para factorizar Trinomios Cuadráticos

1. Buscar dos factores del primer término: ( x . x)

2. Buscar dos factores del tercer término: ( 2 . 3)

3. Buscar la combinación, de todos los posibles

factores, tal que, cuando se multipliquen cruzado

y luego se sumen esos productos, el resultado

sea el segundo término:

(2 . x) + (3 . x) = 2x + 3x = 5x

x2 + 5x + 6

Demostración del proceso

x2 + 5x + 6

1 2

3

2x

3

5x

+

x

X

2

3

3

3x

x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Ejemplo 1:Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer

término.

Paso 2: Buscar dos

factores del tercer

término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de

todos los posibles

factores, tal que,

cuando se

multipliquen

cruzado y luego se

sumen esos

productos, el

resultado sea el

segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

x2 – 10x + 21

1 2

3

-7x

3

-10x

+

x

X

-7

-3

3

-3x

x2 – 10x + 21 = (x – 7) (x – 3)

Ejemplo 2:Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer

término.

Paso 2: Buscar dos

factores del tercer

término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de

todos los posibles

factores, tal que,

cuando se

multipliquen

cruzado y luego se

sumen esos

productos, el

resultado sea el

segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

x2 – 2x – 24

1 2

3

4x

3

-2x

+

x

X

4

-6

3

-6x

x2 – 2x – 24 = (x + 4) (x – 6 )

Ejemplo 3: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer

término.

Paso 2: Buscar dos

factores del tercer

término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de

todos los posibles

factores, tal que,

cuando se

multipliquen

cruzado y luego se

sumen esos

productos, el

resultado sea el

segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

Reflexión

• Este método a veces da trabajo porque hay que tantearlas posibles combinaciones de factores del primer y tercer término que al multiplicarlos y luego sumar esosproductos sean igual al segundo término.

• Por ejemplo: Si usamos otros factores de -24, como porejemplo, -12 y 2, al sumarlos tendríamos:

x2 – 2x – 24

x -12 -12x

x 2 + 2x

-10x

• Observa que -10x no es igual al segundo término -2x.

• En este caso, tendríamos que buscar otros factores.

x2 – 2xy – 48y2

1 2

3

6xy

-2xy

+

x

X

6y

-8y

3

-8xy

x2 – 2xy – 48y2 = (x + 6y) (x – 8y)

Ejemplo 4: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer

término.

Paso 2: Buscar dos

factores del tercer

término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de

todos los posibles

factores, tal que,

cuando se

multipliquen

cruzado y luego se

sumen esos

productos, el

resultado sea el

segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

3

32 + 4x – x2

1 2

3

8x

4x

+

4

8

x

-x

3

-4x

32 + 4x – x2 = (4 + x) (8 – x)

Ejemplo 5: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Paso 1: Buscar dos

factores del primer

término.

Paso 2: Buscar dos

factores del tercer

término.

Paso 3: Buscar la

combinación, de

todos los posibles

factores, tal que,

cuando se

multipliquen

cruzado y luego se

sumen esos

productos, el

resultado sea el

segundo término.

Paso 4: Después de hallar la combinación correcta, se encierra entre paréntesis los dos términos que en forma horizontal componen los binomios.

3

5x + x2 – 14

x2 + 5x – 14

1 2

3

7x

5x

+

x

x

7

-2

3

-2x

x2 + 5x – 14 = (x + 7) (x – 2)

Ejemplo 6: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

Este polinomio hay que ordenarlo en forma descendente primero.

3

y4 + 5y2 – 84

1 2

3

12y2

5y2

+

y2

y2

12

-7

3

-7y2

y4 + 5y2 – 84 = (y2 + 12 ) (y2 – 7 )

Ejemplo 7: Factoriza el Trinomio Cuadrático

( )

( )

3

y2 + y + 5

1 2

3

5y

6y

+

y

y

5

1

3

y

y2 + y + 5 = Polinomio primo

Ejemplo 8: Factoriza el Trinomio Cuadrático

3

Este polinomio es primo. Los únicos factores de 5 son 5 y 1 y de ninguna manera se obtendría el término del medio.

¿Observas algún patrón que relacione los signos de + ó - ?

Patrón( + ) ( + ) =

( - ) ( - ) =

( + ) ( - ) =

( - ) ( + ) =

____ + _____ + ______

____ - _____ + ______

____ +/- _____ - ______

____ +/- _____ - ______

• Si los signos en los dos binomios son de suma: ( + )( + ), entonces los signos de los tres términos del polinomio son positivos.• Si los signos en los dos binomios son de resta: ( – )( – ), entonces los signos del primer y último término del polinomio son positivos y el signo del segundo término es negativo.• Si los signos en los dos binomios son uno de suma y uno de resta: ( + )( – ), ó ( – )( + ), entonces el último término es negativo y el signo del segundo término puede ser positivo o negativo, dependerá del valor absoluto mayor.

Reflexión sobre el patrón

• Conocer el patrón de los signos ayuda a factorizar más rápido porque ayuda a identificar más fácilmente los signos de los factores que se buscan y limita la búsqueda por tanteo.

Reflexión• Hasta el momento, todos los trinomios

cuadráticos que hemos visto en la forma

ax2 + bx + c ó ax2 + bxy + cy2 tienen

al número a = 1.

• Pero, hay trinomios cuadráticos donde a

puede ser cualquier número.

• Esta clase de trinomios cuadráticos se

estudiarán en la próxima lección.

Problemas

Problema 1

• Halla todos los enteros m para los cuales el polinomio a continuación pueda factorizarse.

x2 + mx + 75

Solución de Problema 1• Halla todos los enteros m para los cuales el polinomio a

continuación pueda factorizarse.x2 + mx + 75

• Para hallar los enteros m identificamos todos los posiblesfactores de 75, éstos son:

25 . 315 . 575 . 1

• Como m es la suma de los factores de 75, ahora, sumamoslas combinaciones de factores anteriores y tenemos:

25 + 3 = 2815 + 5 = 2075 + 1 = 76

• Finalmente, como m puede ser positivo o negativo, la contestación al problema es: 28, -28, 20, -20, 76, -76.

Problema 2

• Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente el área de la región sombreada a continuación.

x + 2

x + 5

2

2

Solución de Problema 2• La expresión polinómica para el área de la región sombreada será

igual al área del rectángulo grande azul menos el área del cuadradoblanco.

-El área del rectángulo grande azul es: (x + 5)(x + 2).-El área del cuadrado blanco es: 2 . 2 = 4-El área de la región sombreada es: (x + 5)(x + 2) – 4.

• Multiplicando y simplificando tenemos:(x + 5)(x + 2) – 4 = x2 + 7x + 10 – 4

= x2 + 7x + 6• Como el problema pide que halle

una expresión polinómica en forma factorizada, factorizamosel polinomio anterior y tenemos:

(x + 6) (x + 1)x + 2

x + 5

2

2

Ejercicios Práctica

Instrucciones

• Factoriza completamente en tu libreta.

• Si el polinomio es primo, indícalo.

• Después de hacer los ejercicios, haz clic

para ver resultados.

Factoriza Completamente:

x2 + 9x + 20 =

x2 - 7x + 12 =

x2 - 2x - 8 =

x2 + 3x - 18 =

(x + 4) (x + 5)

(x - 4) (x - 3)

(x - 4) (x + 2)

(x + 6) (x - 3)

Factoriza Completamente:

x2 - x - 12 =

x2 - 11x + 24 =

x2 + 2xy - 15y2 =

x2 + 7xy + 6y2 =

(x - 4) (x + 3)

(x - 8) (x - 3)

(x + 5y) (x - 3y)

(x + 6y) (x + y)

Factoriza Completamente:

32 + 4x - x2 =

x4 + 11x2 - 60 =

x2 + 12x + 13 =

x2 + 12xy + 27y2 =

(8 - x) (4 + x)

(x2 + 15) (x2 - 4)

(x + 12) (x + 1)

(x + 9y) (x + 3y)

p2 – 5pq – 24 q2 =

x2 - 3x + 7 =

(p - 8q) (p + 3q)

No se puede factorizar ya que no hay combinación de factores de 7 posibles cuya suma sea igual a -3. Este polinomio es primo.

Factoriza Completamente:

x + x2 – 90 =

x3 - x2 - 56x = No es trinomio cuadrático, pero tiene a x como factor común. Sacando a x como factor común tenemos: x(x2 - x - 56). Ahora podemos factorizar el trinomio cuadrático que está dentro del paréntesis. La factorización completa es: x (x - 8) (x + 7)

Hay que ordenar el polinomio en forma descendente, y entonces se obtiene: x2 + x – 90

La factorización es: (x + 10) (x - 9)

Factoriza Completamente:

Resuelve los problemas a continuación

• 1. Uno de los factores del polinomio x2 - 345x - 7300 es (x + 20). Halla el otro factor.

• 2. Halla una expresión polinómica en forma factorizada que represente el área de la región sombreada a continuación.

x + 4

x + 5

21

Contestación a los problemas

• 1. El factor es (x -365).

• 2. La expresión polinómca es: (x + 6) (x + 3)