la llegada de fermat - ucmwebs.ucm.es/.../materialesdocentes/lallegadadefermat.pdf ·...
Post on 23-Mar-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
La llegada de Fermat Resumen.-‐ Tomando como excusa la película “La llegada” (Arrival) y el cuento en que se basa, se muestra que el principio de Fermat no involucra paradojas, como que la luz sepa por anticipado todo lo que va a pasar. Para ello el principio se enmarca en el contexto ondulatorio, donde se explica como una combinación de difracción e interferencia. Introducción.-‐ En una deliciosa conversación con el Director del Departamento me recomendó leer el cuento en el que se basa La llegada, película que adoro: tiene un detalle que te encantará, me dijo. Se trata de Story of your life, de Ted Chiang. De paso me enseñó una magnífica experiencia de óptica geométrica con un rollo de papel higiénico como instrumento óptico, pero eso será para otra ocasión. Hice lo que me pidió mi Director, como casi siempre [1]. Cuántas veces desde pequeño he soñado que me reclutaban para iniciar el primer diálogo con extraterrestres, sin saber que, de acuerdo con este relato, la clave estaría en nuestro curso de óptica geométrica: El principio de Fermat. Los extraterrestres no entienden nuestra física hasta que se les habla de ese principio. Por eso hay un físico en la historia [2], pero la película nos ha hurtado este detalle [3]. Como ilustración recojo la pregunta que se hace la protagonista: ¿Qué clase de visión del mundo tienen los extraterrestres para considerar que el principio de Fermat es la explicación más simple de la refracción de la luz? Buena pregunta, ¿verdad? aunque no para examen. Fermat.-‐ El principio de Fermat dice que la luz sólo sigue trayectorias que hagan estacionario el camino óptico. Es decir, que el camino óptico no cambia si cambiamos ligeramente la trayectoria [4]. Para calcular el camino óptico de cualquier trayectoria que una un par de puntos A y B se divide la curva en segmentos infinitesimales, se multiplica la longitud de cada segmento ds por el índice de refracción en ese punto n(s) y se suman, más explícitamente
W = n s( )dsA
B
∫ .
El índice de refracción suele poder expresarse como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad de fase n = c/v, en cuyo caso camino óptico equivaldría a tiempo.
Normalmente suele ocurrir que las trayectorias son mínimos y muy rara vez un máximo o un punto de inflexión. La razón es clara, si una trayectoria fuera máximo siempre se podría hacer "más máxima" si a mitad de trayectoria me desvío y me voy a Soria, Siria o Sirio, y si acaso, voy y vuelvo todas la veces que haga falta. Lo
que parecen máximos son en realidad puntos silla. Tenga en cuenta que una trayectoria depende de infinitas variables y los máximos y puntos de inflexión emergen al constreñir el espacio reduciendo el número de variables. Cuando el índice es siempre el mismo, camino óptico mínimo equivale a distancia mínima, también llamadas trayectorias geodésicas. Esta es una idea que recoge bien la relatividad general. Curiosamente, por jugar un espacio curvo puede describirse a efectos ópticos como plano pero con índice de refracción inhomogéneo [5]. Paradojas.-‐ Las formulaciones de mínimo suelen tener cierto aire místico o paradójico ¿cómo sabe la luz nada más salir del punto A si la trayectoria que sigue será la mínima? La luz en el punto A ¡no sabe lo que se va a encontrar en el camino, ni siquiera dónde va a llegar! Como se aprovecha en el cuento, esta visión contrasta con la formulación causal estándar en la que la luz iría resolviendo los problemas a medida que se encuentran: la típica ecuación de Newton de movimiento proporcional a fuerza. La luz en cada momento haría lo que diga las fuerzas en ese momento, el "siempre ahora" del mindfulness. El propósito de estas notas es quitarle el aire místico al principio de Fermat. Ya lo siento, pero no hay nada paradójico si demostramos el principio de Fermat, lo que tiene que hacerse invocando el verdadero carácter de la luz: ondulatorio. No haremos aquí una demostración rigurosa para lo que remito a otro documento [6]. Simplemente quiero mostrar los detalles fundamentales que nos hacen inteligible el resultado, quitándole su aura teleológica y mística. No quiero quitar ningún encanto, el mundo en sí mismo ya es increíble. No necesita toppings [7] . Fermat explicado por difracción + interferencia.-‐ Realmente la luz avanza explorando todas las trayectorias a la vez, gracias a su naturaleza ondulatoria. Las ondas no se pueden constreñir a una sola trayectoria, su naturaleza es desparramarse, lo que se llama difracción. Y lo más divertido es que la onda es capaz de sacar conclusiones de su exploración mediante el fenómeno de la interferencia. El paradigma de propagación ondulatoria es el principio Huygens, en el que cada punto del espacio está re-‐emitiendo continuamente en todas las direcciones la luz que le llega, en forma de ondas esféricas. Aunque la imagen es un poco forzada puede verificarse experimentalmente. Aísle un punto del espacio por ejemplo haciendo un pequeño orifico en una pantalla opaca e ilumínelo bien. Verá que sale luz en todas la direcciones. Eso es difracción. Pero si esta imagen le parece un poco forzada pongamos que estamos en la materia donde la idea ya es mucho más realista. Podemos imaginar entonces trayectorias de luz que vayan dando saltos de un punto a otro como muestra la siguiente figura. Imagine trayectorias con tantos saltos como quiera, en el límite, un continuo de saltos. Todas son posibles, todas ocurren, si creemos a Huygens, y todas se pueden comprobar experimentalmente por el método sugerido arriba, aunque tengan poca luz.
El principio de Fermat ocurre cuando consideramos todas a la vez y sumamos sus efectos. Cada trayectoria lleva un campo eléctrico y cuando las trayectorias se cruzan sus campos eléctricos se suman, porque las ecuaciones de Maxwell son lineales. Eso es interferencia. La clave es que el resultado de la suma es muy distinto si estamos en torno a un punto de camino óptico estacionario o no. La razón es que el resultado de la interferencia depende de la fase de lo que interfiere, y la fase φ es el camino óptico. Digamos que
φ =2πλW .
Para entender esta conexión recuerde la forma típica que tiene la fase en una onda esférica k r o plana
k ⋅ r y que k =
k = 2πn / λ siendo λ la longitud de onda en el
vacío [8]. Por ejemplo, teniendo en cuenta que un rayo de luz es como una onda plana pequeñita que va en la dirección del rayo, tenemos fácilmente la conexión deseada entre fase y camino óptico
dφ =k ⋅dr ≈ kds = 2π
λnds = 2π
λdW .
Si para cierta trayectoria el camino óptico es estacionario, las trayectorias próximas tendrán la misma fase por lo que la interferencia será constructiva. En la figura he representado la fase en función de x para una trayectoria simple que une dos puntos A y B en el vacío separados un metro siendo λ = 0.5µm
y
contemplamos una excursión intermedia al punto P. El camino mínimo ocurre para x = 0
y allí la fase es estacionaria. Todas las trayectorias vecinas con x distinto de
cero cooperan constructivamente, como buenos vecinos. ¿Cuánto de vecinas? Sin duda para x << λ , pero la figura incluso sugiere que mucho más allá incluso, por ejemplo x ≈ 0.1mm = 200λ . Para otro punto como el P con x =1mm las trayectorias tienen fases muy distintas, con lo que el resultado de combinar trayectorias vecinas es interferencia destructiva.
Conclusiones.-‐ Recordemos que en difracción e interferencia la energía ni se crea ni se destruye, sólo se recoloca. Es decir, a medida que se propaga la luz se va recolocando en el espacio por efecto combinado de difracción e interferencia. Ruegos y preguntas.-‐ Alguien puede decir que la paradoja revive si hablamos de fotones. No está tan claro, ya que los fotones viven en el campo electromagnético, no son objetos diferentes. Lo dicho para la luz se puede traducir a la mecánica mediante el principio de Hamilton. Según lo visto aquí, el principio de Hamilton pide a gritos una explicación ondulatoria: se trata de la mecánica cuántica, como se dio cuenta el gran, grandísimo Feynman [9]. Otros análisis sobre la llegada de Fermat similares al hecho aquí puede verlos en estos enlaces [10]. Agradecimientos Javier Alda y José Manuel López por ser el primer motor y por lectura atenta y correcciones del primer borrador. Por los ánimos Blanca Rojas, Alberto Pedro Manzano, María Fuente. Bibliografía y notas (fecha de revisión sin fijar) [1] Realmente la conversación fue con Javier Alda, pero su avatar de Director le daba mayor dramatismo al relato. A su vez, Javier fue contagiado por José Manuel López. http://www.ucm.es/javier_alda [2] Además de cumplir su papel romántico con una hermosa frase. Fantástico Jeremy Renner, inolvidable adicto a la adrenalina de la maravillosa En tierra hostil (The Hurt Locker). [3] Cielos! Jordi Hurtado es inevitable en cuanto se juntan las palabras estacionario y tiempo. Seguro que está también en los temarios de Cuántica y Física Estadística. [4] Esos cambios son como los pequeños contoneos que hacemos al sentarnos en un sofá hasta que nos sentimos cómodos.
[5] Ver un fichero sobre Óptica en Astronomía en Campus Virtual o pedírmelo. [6] Aproximación eikonal: Óptica Geométrica http://pendientedemigracion.ucm.es/info/gioq/docencia/MaterialesDocentes/eikonal.pdf [7] I lie abstracted, and hear beautiful tales of things, and the reasons of things; They are so beautiful, I nudge myself to listen. It is no small matter, this round and delicious globe, moving so exactly in its orbit forever and ever, without one jolt, or the untruth of a single second; And that the moon spins round the earth, and on with the earth, is equally wonderful, And that they balance themselves with the sun and stars, is equally wonderful And that my Soul embraces you this hour, and we affect each other without ever seeing each other, and never perhaps to see each other, is every bit as wonderful. Walt Whitman, Leaves of grass Hay, con todo, un goce y una belleza en el tumulto de las olas que barren la eternidad. ¿Por qué no penetrar su espíritu, o, como Lietsé, por qué no montar a caballo del mismo huracán? Sólo quien ha vivido en idilio constante con la belleza morirá en sus brazos. Habiendo cuidado de rimar siempre con la poesía del Universo, estando en todo momento a punto de entrar en lo desconocido. Okakura Kakuzo, El libro del té [8] La monocromaticidad tiene mucho peligro en los que respecta al tiempo, puesto que por definición las ondas armónicas viven fuera del tiempo, pero creo que ese factor no influye en esta historia, o no mucho por lo menos. [9] Más grande que Joseph Tura. The Feynman Lectures on Physics http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation [10] Por razones desconocidas no he podido hacer enlazar debidamente estas páginas. Por favor copie el enlace y péguelo en su navegador. Here's The Physics That Got Left Out Of 'Arrival', por Chad Orzel http://www.forbes.com/sites/chadorzel/2016/11/21/the-‐physics-‐that-‐got-‐left-‐out-‐of-‐arrival/ Variational Principles and the Story of Your Life, por por Chad Orzel http://scienceblogs.com/principles/2008/01/10/variational-‐principles-‐and-‐the/ Alfredo Luis Aina Galapagar, 21 febrero 2017
top related