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Instituto Superior Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia de ViseuCurso de Engenharia de Sistemas e Informática
Manuel A. E. Baptista, Eng.º
Processamento Digital de SinalAula 124.º Ano – 2.º Semestre
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Programa:
1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal
2. Representação e Análise de Sinais
3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR
4. Processamento de Imagem
5. Processadores Digitais de Sinal
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Bibliografia:Processamento Digital de Sinal:•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998 Cota: 621.391 MIT DIG•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.Cota: 621.391 KUC INT•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.Cota: 621.391 JOH INTG. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.Cota: 621.391 PRO DIG•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988Cota: 621.391 CAN SIG•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.Cota: 621.391 SMI INT•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.Cota: 621.391 MCC COM
Processamento Digital de Imagem:•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.Cota: 681.5 GON DIG. •I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000. Cota: 621.391 PIT. •William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991. Cota: 681.5 PRA DIG •Bernd Jãhne, “Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications”, Springer, 1997. Cota: 681.5 JAH
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Avaliação:A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática
ponderadas da seguinte forma:
Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática
O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida.
A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB
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Filtros FIR e IIR
• Projecto de Filtros FIR– Windowed Impulse Response– Formas de Janelas– Projecto através de Optimização Iterativa
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response
• Filtros FIR– Sem pólos (apenas zeros)– sem precedências no projecto de filtros analógicos
• Aproximações– windowing ideal impulse response– projecto iterativo (ajuda computacional)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Dada a FT Hd(ej ) desejada, qual é a melhor ht[n]
finita que a aproxima?
• Pode-se tentar minimizar o Integral Squared Error (ISE) das respostas em frequência:
Melhor em que aspecto?
12 Hd e j Ht e j 2
d
= DTFT{ht[n]}
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error
• A resposta impulsional ideal é hd[n] = IDTFT{Hd(ej )},(normalmente com extensão inifinita)
• Por Parseval, ISE
• Mas: ht[n] só existe para n = -M..M ,
hd n ht n 2
n
hd n ht n 2
n M
Mhd n 2
n M , n M
Minimizada fazendoht[n] = hd[n], -M n M
Não alterada por ht[n]
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Least Integral-Squared Error• Assim, a aproximação do erro médio quadrático
mínimo no ponto 2M+1 do FIR é a IDFT truncada:
• Tornando-o causal atrasando em M pontosh't[n] = 0 for n < 0
outros
j j nd
tH e e d M n M
h n1
2
0
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais
• Um Filtro Passa-Baixoideal tem:
e:
cc
HLP e j 1 c
0 c
hLP n sin cnn
(duplamente infinito)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Aproximação a Filtros Ideais• Assim, a aproximação causal com o mínimo ISE,
a um Filtro Passa Baixo Ideal é
outros
sinˆ
c
LP
n Mn M
h n n M0 2
0
2M+1 pontos
Deslocamento causal
0 5 10 15 20 25-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
h LP[n
]
n
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response –Cálculo da Resposta em Frequência (FR)• Um FPB ideal LPF tem uma FR puramente real FR
i.e.( ) = 0, H(ej ) = H(ej )Pode-se construir uma FR aproximadamente
constante, combinando respostas ideais, e.g. FPA:
cc
1
1
1
[n]–
hLP[n]=
hHP[n]
i.e. H(ej ) = 1
HLP(ej ) = 1 for < c
= [n] - (sin cn nNão
func
iona
seas
fase
sfo
rem
zero
!
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -Fenómeno de Gibbs• Os filtros ideais truncados apresentam Gibbs’ Ears:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 ω/π-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Ht(e
jω)
129point
25point
Gibbs ‘ears’Aumentando o comprimento do filtro
ears mais estreitas(reduz ISE)mas a amplitude é igual
não é óptimo pelo critério minimax
(11% overshoot)
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• A Truncagem de hd[n] para 2M+1 pontos significa
a multiplicação por uma janela rectangular:
• A Multiplicação no domínio do tempo é a convolução no domínio da frequência:
ht n hd n wR n
wR n1 M n M0 otherwise
wR[n]
g[n] h[n] 12
G(e j )H (e j( ) )d
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Assim, a FR da resposta truncada
é a convolução da FR ideal com aFR da janela rectangular:
ωπ−π
ωπ−π
ωπ−π
∗ =
Hd(ej ) DTFT{wR[n]}sinc periódica...
Ht(ej )
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Projecto de Filtros FIR - Windowed Impulse Response -De onde vem o Gibbs?• Janela Rectangular:
• A Largura do Lóbulo Principal( 1/L) determina aBanda de Transição
• A altura do Lóbulo Lateraldetermina o ripple
caso contrarioR
M n Mw n
10
WR e j e j n
n M
M
sin 2M 1 2
sin 2
“sinc periódica”-π -0.5π 0 0.5π π
0
WR(ejω)
ω
±2π2M + 1
Mainlobe
Sidelobes
Não varia com o comprimento
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros
• Resposta Ideal (infinita) do Janelamentofiltro FIR :
• A janela Rectangular tem o melhor erro ISE• As outras janelas variam em termos do(s):
– Lóbulo Principal largura da banda de transição– Lóbulos Laterais tamanho do ripple junto à transição
• Variedade de janelas ‘clássicas…
ht n hd n w n
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. . cos( ). cos( )
nM
nM
2 12
2 1
0 42 0 46 20 08 2
Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Filtros FIR
• Rectangular:
• Hann:
• Hamming:
• Blackman:
w n M n M1
. . cos( )nM2 10 5 0 5 2
. . cos( )nM2 10 54 0 46 2
Largura duplado lóbulo principal
1.º Lóbulo lateral reduzido
Largura triplado lóbulo principal
grandeslóbulos laterais!
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Projecto de Filtros FIR – Formas de Janelas – Filtros FIR• Comparação na escala em dB:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 πω
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0 Blackman
Hamming
Hann
Rectangular|W(e
jω)|
/ dB
22M+1
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Janelas ajustáveis
• Têm tradeoffs discretos ao nível do lóbulo principal... • Janela de Kaiser = paramétrica, tradeoff continuo:
• Empiricamente, para mínimo SB aten. de dB:
w nI0 1 ( n
M )2
I0 ( )M n MFunção de Bessel
de ordem zero modificada
.
. ( . ). ( )
. ( )
0 4
0 11 8 7 500 58 21 21 50
0 08 210 21
N 82.3
Ordemnecessária
largurade transição
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado
• Desenhe um filtro FIR passa-baixo de 25 pontos com freq. de corte de 600 Hz (SR = 8 kHz)
• Sem req. específicos sobre o ripple de transição compromisso: usa-se a janela de Hamming
• Conversão da frequência para rad/amostra:
8 kHz4 kHz600 Hz
H(ej )c
6008000 2 0.15
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Projecto de Filtros FIR - Formas de Janelas – Exemplo dum filtro janelado1. Obtem-se a resposta impulsional do filtro ideal:
2. Usa-se a janela: Hamming em N = 25 M = 12 (N = 2M+1)
3. Aplica-se a janela:
c 0.15 hd n sin0.15 nn
w n 0.54 0.46cos 2 n25 12 n 12
h n hd n w nsin0.15 n
n 0.54 0.46 cos 2 n25 12 n 12
-20 -10 0 10 n
h[n]
0
0.05
0.1
0.15
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa
• Pode-se derivar os coeficientes do filtro através de optimização iterativa:
• Gradiente descendente / optimização não linear
Coefs do Filtroh[n]
Aproximação docritério
erro
Derivadasde estimação
h[n]
Actualização do filtro para reduzir
respostadesejada
H(ej )
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Error Criteria
W D e j H e jR
pd
região demedição do
erro pesodo erro
respostadesejada
respostaactual
expoente:2 least sq’s
minimax
ω1 ω2 ω3 ω4ω
ω
H(ejω)
W(ω)R
D(ejω)
ωε(ω) = W( )·[D(ej ) – H(ej )]
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax
• Desenho Iterativo de filtros FIR com:– Equiripple (Critério minimax)
– Fase linear Resposta Impulsional simétrica h[n] = (–)h[-n]
• Note-se, que os filtros FIR simétricos têm FRpuramente real
i.e. combinação de co-senos de freq. múltiplas de
n
H e j e j M H̃
H̃ a k cos kk 0
Ma[0] = h[M]a[k] = 2h[M - k]
M
(type I)
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax• Agora, cos(k ) pode ser expresso como um
polinómio em cos( )k e com potências mais baixas– e.g. cos(2 ) = 2(cos )2 - 1
• Assim, podem determinar ’s tal que
Polinómio de ordem M em cosOs [k]s estão relacionados simplesmente com os a[k]s
H̃ k cos kk 0
Mpolinómio de
ordem Mem cos
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Filtros FIRMinimax
• Um polinómio de ordem M tem pelo menos M - 1 máximos e mínimos:
has at most M-1 min/max (ripples)
H̃ k cos kk 0
M polinómio de ordem M em cos
-1 -0.5 0 0.5 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω = 0ω = π
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
cosω
cosω
ω
1
2
3
4
H̃
H̃
polinómiode ordem 5
em cos
1
2
3
4
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• Ingrediente chave para Parks-McClellan:é a única, a melhor, aprox. pesada minimax de
ordem 2M. para D(ej )– tem pelo menos M+2 freq. “extremas”
ao longo do subconjunto Rde
– o módulo do erro é igual a cada extremo:
– O pico do erro alterna em sinal:
Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância
H̃
H̃0 1 ... M M 1
i i
i i 1
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Teorema da Alternância• Assim, para a resposta em frequência:
0 ωp ωc π
ω2 ω3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω1ω0 ω4 ω5 ω6
-ε
0
ε
ε
ω
D(ejω) desired frq.resp.
H(ejω) response mag.
ε(ω)error
W(ω)scaled error
bound
band-edge extrema
local min/max extrema
– Se ( ) alcança o módulo do pico de erro em algum conjunto de frequênciasextremas i
– E o sinal do pico de erro alterna– E temos pelo menos M+2
destes– Então minimax óptima
(10th order filter, M = 5)
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância• Pelo Teorema da Alternância,
M+2 extremos de alternância sinaisfiltro minimax óptimo
• Mas tem no máximo M-1 extremosprecisa de pelo menos mais 3 a partir dos limites
das bandas• 2 bandas fornecem 4 limites das bandas
pode passar bem com a “perda” de apenas uma• As regras de Alternância dão-nos os limites das
bandas de transição, assim tem-se 1 ou 2 limitesexteriores
H̃
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Teorema da Alternância
– Para M = 5 (Ordem 10):– 8 extremos (M+3,
4 limites de banda) - bestial!
– 7 extremos (M+2,3 limites de banda)- OK!
– 6 extremos (M+1,apenas 2 limites da banda de transição)
Não Óptimo
0 0.2 0.4 0.6 0.8 πω
ω
H1(ω)~
H2(ω)~
H3(ω)~
ω
π
π
0
0.5
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
0.5
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Parks-McClellan Algorithm• Recapitulando:
– FIR CAD limitaçõesD(ej ), W( ) ( )
– FIR de Fase Zero H( ) = k kcosk M-1 min/max
– Teorema da Alternânciaóptimo M+2 picos de erros, alternâncias de sinal
• Mas, como determiná-lo?
~
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa – Algoritmo de Parks-McClellan ~ ~• Alternância [H( )-D( )]/W( ) deve ser = ± em
M+2 frequências (desconhecidas) { i}...• Actualização Iterativa de h[n] com
Algoritmo de troca de Remez :– estima/prevê M+2 extremos { i}– resolve para [n], ( h[n] )– determina-se o min/max actual em ( ) novo { i}– repete-se até ( i) ser constante
• Converge rapidamente!
3 de Maio de 2004
34
SIST
EMAS
DE
PRO
CESS
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AL
Departamento de Informática
2003-2004
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Projecto de Filtros FIR - Optimização Iterativa - Algoritmo de Parks-McClellan• No Matlab,
>> h=remez(10, [0 0.4 0.6 1],[1 1 0 0],
[1 2]);
Ordem do filtro (2M)Limites das bandas ÷
módulo desejadonos limites das bandas
Peso dos errospor banda
-5 0 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 0.5 1
0
0.5
1
-1 0 1 2
-1
-0.5
0
0.5
1h[n] H(ω)
n ω
~
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