jueves 16 de febrero de 2012 novena clase de 1:30 horas. van 12:00 horas

Jueves 16 de febrero de 2012Novena clase de 1:30 horas.Van 12:00 horas

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

†

:

, , ,

E

T V E E T

T x y x T y x y V

T

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

es la transformación adjunta o hermitiana de

:

, , ,

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

la transformación es hermitiana

E

T V E E

T

T x y x T y x y V

T

:

, , ,

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si para todo

la transformación es antihermitiana

E

T V E E

T

T x y x T y x y V

T

*

: ,

,

:

b

a

f a b C f f a f b

f g f x g x dx

D D f f

es infinitamente diferenciable y

Producto escalar:

es un espacio euclidiano

Definimos la transformación lineal:

*

** *

*

,

,

b

a

b

a

b

a

dD f g f x g x dx

dx

df b g b f a g a f x g x dx

dx

df x g x dx f D g

dx

*

: ,

,

:

b

a

f a b C f f a f b

f g f x g x dx

D D f f

es infinitamente diferenciable y

Producto escalar:

:

Sea un espacio euclidiano

lineal

es un valor propio y es el vector propio.

a) Si es hermitiana, es real:

b) Si es antihermitiana, es imaginario

puro:

E

T V E E T

x

T

T

1

1

*

,...,

:

,...,

n

ij

n

ij ji

e e V E

T V E E

A a T

e e

T a a

i j

T

Sea una base ortonormal de

Sea lineal

Sea la representación matricial de

respecto a la base

a) es hermitiana si y sólo si

para toda y para toda

b) es *ij jia a

i j

antihermitiana si y sólo si

para toda y para toda

1

1

,...,

:

,...,

n

ij

n

e e V E

T V E E

A a T

e e

T A

Sea una base ortonormal de

Sea lineal

Sea la representación matricial de respecto

a la base

a) es hermitiana si y sólo si es autoadjunta o

ó hermitiana, es dec †

†

A A

T A

A A

ir,

b) es antihermitiana si y sólo si es antihermitiana,

es decir,

:

,

, 0

Sea un espacio euclidiano

lineal

Si es hermitiana ó antihermitiana, y y

son valores propios distintos con vectores

propios y entonces y son ortogonales:

E

T V E E T

T

x y x y

x y

1

: dim

,..., n

E

T V E E T V n

T

n

u u T

V

Sea un espacio euclidiano

lineal y

Si es hermitiana ó antihermitiana,

entonces existen vectores propios

de , que forman una base

ortonormal de .

,..., n

k

k

T

u

1

La matriz de relativa a esta base es

=diag

donde es el valor propio

correspondiente al vector propio

1

: dim

,..., n

E T V E E T V n

T n

u u T V

Sea un espacio euclidiano lineal y

Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen

vectores propios de , que forman una base ortonormal de .

1,...,

ij

n

A a

diag

Toda matriz cuadrada

hermitiana o antihermitiana es

similar a la matriz diagonal

=

de sus valores propios.

1

1 †

,

.

C C AC

C

C C

La matriz que la diagonaliza, es

i) La formada por los vectores propios

normalizados

ii) La matriz es no singular y es unitaria,

es decir,

1,...,

ij

n

A a

diag

Toda matriz cuadrada hermitiana o antihermitiana es

similar a la matriz diagonal = de sus valores propios.

Transformacioneslineales

Matrices

Transformacioneslineales

Matrices

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

ALas columnas de la matriz , son los

transformados de los vectores de la base.

2 2

2

2

2

:

, 2 ,

Dominio:

Contradominio o codominio:

Imagen o rango:

Este mapeo es lineal

F

F x y x y x y

R R

R

R

R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

2 1

1 1

F F x y x y x y

F F

A

R R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

1 0 1,0 1 0 2 1 2

0 1 1,0 0 1 2 1 1

1 0 0,1 1 0 1 1 1

0 1 0,1 0 1 1 1 1

2 1

1 1

F F x y x y x y

F F

F

F

F

F

A

R R

2 2: , 2 ,

1,0 2,1 0,1 1,1

21 0 1,0 1 0 2

1

20 1 1,0 0 1 1

1

11 0 0,1 1 0 1

1

10 1 0,1 0 1 1

1

2 1

1 1

F F x y x y x y

F F

F

F

F

F

A

R R

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

ALas columnas de la matriz , son los

transformados de los vectores de la base.

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

ˆ ,j i ije a a

L

El escalar es el elemento

de la matriz correspondiente a la

transformación .

1

1 2 3

ˆ ˆ,..., .

:

, , ,...,

ˆ

n

n

i i

S e e V

L V W

L

A a a a a

a L e

Sea una base de

Sea una transformación lineal.

Entonces la matriz asociada a es:

donde

ˆ ˆ,j i ije Le a

L

El escalar es el elemento

de la matriz correspondiente a la

transformación .

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952

Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001

Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000

Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007

Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922

Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051

Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908

1. A cada estado de un sistema

físico le corresponde una función

de onda , .

La función de onda es un vector

en un espacio de Hilbert.

x t

2

3. (La hipótesis de Born) El cuadrado

de la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad del

sistema.

x t x t x t

2

3. El cuadrado de la función de onda,

, , ,

es la densidad de probabilidad del sistema.

x t x t x t

2 Probabilidad de encontrar a la partícula,

entre y , al tiempo x t dx

x x dx t

2

Para una partícula en un estado ,

la probabilidad de que esté entre

y es entonces

Prob( ) ,b

a

a b

a x b t x t dx

2

Es claro, que se tiene que tener

Prob , 1x x t dx

2

Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté

entre y es entonces Prob( ) ,b

a

a b a x b t x t dx

Un espacio de Hilbert es un espacio

euclidiano completo.

1. Es un espacio vectorial

2. Tiene un producto escalar

3. Es completo

4. Es separable

22 , : ,b

a

a b f a b f x dx

L a R C

Sean : y :

entonces

( )

Sea , entonces

( )

f g

f g x f x g x

c

cf x cf x

R C R C

C

22 , : ,b

a

a b f a b f x dx

L a R C

2 , es un espacio vectoriala bL

2

*

Sean , , ,

definimos

,b

a

f g a b

f g f x g x dx

L a

2 *Sean , , ,definimos ,b

a

f g a b f g f x g x dx L a

2

2*

Sean , ,

,b b

a a

f a b

f f f x f x dx f x dx

L a

2, , ,

V

x y x x y y

x y V

x y

En un espacio euclidiano , todos los

productos escalares satisfacen la

desigualdad de Cauchy-Schwarz

para todos los y en

La igualdad se cumple si y sólo si y son

dependientes.

2

2 2 2*

Sean , , ,

,b b b

a a a

f g a b

f g f x g x dx f x dx g x dx

L a

2

En un espacio euclidiano , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad

de Cauchy-Schwarz , , , para todos los y en .

V

x y x x y y x y V

22 , : ,

es un espacio vectorial

b

a

a b f a b f x dx

L a R C

*

Con la definición de producto escalar

,

es un espacio euclidiano

b

a

f g f x g x dx

22

*

, : ,

es un espacio euclidiano con ,

b

a

b

a

a b f a b f x dx

f g f x g x dx

L a R C

¿Es este espacio completo?

El teorema de Riesz-Fischer lo afirma

22

*

, : ,

con el producto escalar ,

es un espacio de Hilbert

b

a

b

a

a b f a b R C f x dx

f g f x g x dx

L a

*

Para este tipo de espacio de Hilbert

se puede encontrar una base ortonormal

infinita numerable ; 1, 2,3, ;

es decir,

,

i

b

k l k l kl

a

i

x x dx

2

1

*

Si , , entonces

donde

,

k kk

b

k k k

a

f a b

f

f x f x dx

L a

1

1

Sea . Entonces

si

para

n

n k kk

k kk

n

f

f

f f n N

1

Si

para toda en el espacio

entonces se dice que el conjunto

; 1, 2,3,

es completo.

k kk

i

f

f

i

2

1

*

Si , , entonces

donde

,

k kk

b

k k k

a

f a b

f

f x f x dx

L a

2

1

*

Si , , entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k k

a

f a b f x x

f x f x dx

L a

1

1 1

, ,

,

k k j jj

j k j j jk kj j

f x

* * *

1 1

* *

1 1

* *

1 1 1

,b b

k k l lk la a

b

k l k lk l a

k l kl k kk l k

f g f x g x dx x x dx

x x dx

2

1

*

Si , ,entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k k

a

f a b f x x

f x f x dx

L a

*

1 1

*

1

*

1

' ' '

' ' ' ' ' '

' '

b

k k k kk k a

b b

k kka a

k kk

f x x x f x dx x

f x x x dx f x x x dx

x x x x

2

1

*

Si , , entonces

donde , ' ' '

k kk

b

k k k

a

f a b f x x

f x f x dx

L a

*

1

Se dice que un conjunto ortonormal

de funciones es completo, si se

satisface la relación

' 'k kk

x x x x

0

0 0

xx

x

0

0 0

xx

x

0 0

1x dx

f x x x dx f x

2

2

ˆ

2

H E

V r r E rm

2 2

2

Una dimensión y 0

2

V

dx E x

m dx

2

2

2V r r E r

m

2

22

d xk x

dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

22

22

d xE x

m dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

2 2*

2*

En particular, si tenemos

i k k xikx ik xk k

k k

x x dx A e e dx A e dx

k k

x x dx A dx

Si el rango sobre el cual el espacio

está definido es infinito

el espacio de Hilbert

no es separable; es decir, no existe

una base infinita numerable.

x

En ese caso denotaremos

las funciones base como

;

donde es continuo y varía

de a .

k

k

Si el rango sobre el cual el espacio está definido es

infinito el espacio de Hilbert no es

separable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

En el punto el valor de

las funciones de la base

;

se denotará

; .

x

k

k x

Si el rango sobre el cual el espacio está definido es

infinito el espacio de Hilbert no es

separable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

*

La condición de completez se escribe

; ; ' 'k x k x dk x x

Si el rango sobre el cual el espacio está definido es

infinito el espacio de Hilbert no es

separable; es decir, no existe una base infinita numerable.

x

*

En este caso las funciones de onda no se pueden

normalizar.

Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac

; , ; ; '; 'k k k x k x dx k k

*

Sea una función del espacio.

Entonces

;

donde

; , ;

f

f k k dk

k k f k x f x dx

*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx

*

*

; , ; , ' '; '

' ' '; ;

' ' ; ';

' ' '

k f k k k dk

dk dk k k k

dk k dk k k

dk k k k k

*,f g k k dk

*

*

; ; ; , ;

; ; ; , ;

f k k dk k k f k x f x dx

g k k dk k k g k x g x dx

2*,f f k k dk k dk

*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx

1 2 ikx ikxx Ae x Be

2 2*

2*

En particular, si tenemos

i k k xikx ik xk k

k k

x x dx A e e dx A e dx

k k

x x dx A dx

1

Transformada de Fourier:

1

2

Transformada inversa de Fourier:

1

2

i x

i x

F f f x e dx

f x F F e d

F

F

2exp ;f x A x x R

1

1

A

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2x i xA

F f e e dx

F

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2 2

2 22 2 2

2

2 2

2 2

4 4

2 4

x i x x i xA AF f e e dx e dx

x i x x i x x i x

x i

F

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2 2

22

24

2

2 2

2 2

x i x x i x

x ix i x

A AF f e e dx e dx

A AeF e dx e dx

F

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2

2

;2

x i

e dx

x i d dx

e d

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

22

2 2

42

4 4

2

2 2

x iAee dx

Ae Ae

2exp ;

1Transformada de Fourier:

2i x

f x A x x R

F f f x e dx

F

2

2exp exp42

La transformada de Fourier de una gaussiana

es otra gaussiana

AA x

F

2

2 1exp exp

42F x

F

2

2 1exp 10 exp

4020F x

F

2

2 1exp 100 exp

400200F x

F

2

2 1exp 1000 exp

40002000F x

F

0 0x x x dx x

Nota: Estas "funciones" no satisfacen las

condiciones que hemos impuesto para la

existencia de la transformada de Fourier.

No son funciones, son distribuciones.

1

2

1 2

x

F

F