juan carlos colonia distribuciones continuas · la probabilidad de que un circuito tenga una vida...
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DISTRIBUCIONES CONTINUAS
Juan Carlos Colonia
ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS
IMPORTANTES
Entre las principales distribuciones continuas
tenemos:
Distribución Exponencial
Distribución Normal
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La distribución exponencial suele ser usada para
modelar fenómenos aleatorios que miden el
tiempo que transcurre entre que ocurren dos
sucesos. Por ejemplo tiempos entre llegadas en
instalaciones de servicio, tiempo de falla de
componentes y sistemas eléctricos, entre la
puesta en marcha de una cierta componente y su
fallo o el tiempo que transcurre entre dos
llamadas consecutivas a una central telefónica.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de exponencial con parámetros , si su función de densidad esta dado por:
Notación:
Características numéricas:
x
X
e x 0f x
0 x 0
0
X Exp
1
E X
2
1V X
x es el
intervalo
de interés
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Propiedad: Si entonces:
Debido a esta propiedad, se dice que la distribución
exponencial no tiene memoria. Por ello, se suele utilizar
cuando medimos el tiempo de vida restante de poblaciones
que no envejecen con el tiempo.
Esta propiedad es bien frecuente, determinados dispositivos
electrónicos, por ejemplo, no sufren desgaste, por lo que
prácticamente no envejecen, por tanto su probabilidad de
fallo no aumenta con su vida útil.
T Exp
t
0 0 0P T t t T t P T t e t , t 0
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 1:
El tiempo medio de vida de cierto tipo de circuitos es 8 años. Calcular:
a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.
b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años,
viva 15 años más.
T : tiempo de vida de los circuitos
Como , entonces , luego
Por tanto la función de densidad es: 0.125t
Tf t 0.125e t 0
T Exp 0.125 E T 81
8
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 1:
a. La probabilidad de que un circuito tenga una vida entre 3 y 12 años.
b. La probabilidad de que un circuito que ha vivido más de 10 años, viva 15
años más.
12
0.125t
3
P 3 T 12 0.125e dt 0.46
0.125 15P T 25 T 10 P T 15 e 0.15
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 2:
Una oficina de reclamos, recibe un promedio de cinco llamadas por hora.
Empezando en un momento aleatoriamente seleccionado, hallar la
probabilidad de que la primera llamada llegue dentro de la media hora
siguiente.
Se desea calcular la probabilidad para un intervalo de tiempo, lo cual implica
que se trata de una distribución exponencial. De acuerdo al problema, el
promedio es el número de eventos por un intervalo de tiempo diferente (5
llamadas por hora) o sea el valor de es 5, por tanto en media hora
2.5
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Ejemplo 2:
T : tiempo entre llamadas
2.5t
Tf t 2.5e t 0
T Exp 2.5
1
2.5t
0
P T 1 2.5e dt 0.9179 Se toma 1 por que se trata de un
tiempo de media hora
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribución normal es la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística.
Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y los realizados por los humanos, por ejemplo alturas, pesos, errores de medición en experimentos científicos.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal con parámetros y si su función de densidad es de la forma:
Notación:
Características numéricas:
2
2
2
x
2X
1f x e x
2
2X N ,
2V X E X
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Grafica:
GRAFICAS
Igual diferente Diferente igual
2 2
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR
Definición:
Una variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad normal estándar si y . La función de densidad toma la forma:
Notación:
0 2 1
2x
2X
1f x e x
2
X N 0 ,1
ESTANDARIZACIÓN
Si X una variable aleatoria tal que entonces
la variable
Tiene distribución normal estándar .
Esta transformación se llama estandarización.
2X N ,
XZ
Z N 0 ,1
PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Para calcular probabilidades para cualquier
distribución normal, se requiere de una tabla con
probabilidades para una .
Se realiza la estandarización de la variable y se
calcula la correspondiente probabilidad en la .
N 0 ,1
N 0 ,1
Parte
entera
Parte
decimal
Probabilidad
TABLA DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR
PROBABILIDADES EN LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Propiedades:
P Z a P Z a 1 P Z a
P Z a P Z a
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
X N 175 , 36
180 175
P X 180 P Z P Z 0.83336
180 175
P X 180 P Z 1 P Z 0.83336
P X 180 P Z 0.8333 0.7967
P X 180 1 P Z 0.8333 0.2033
DISTRIBUCIÓN NORMAL
P X 180 0.7967 P X 180 0.2033
0.7967
0.2033
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175P X 165 P Z P Z 1.67
6
P X 165 P Z 1.67 P Z 1.67 0.9525
X N 175 , 36
0.9525 0.9525
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175P X 165 P Z P Z 1.67
6
P Z 1.67 P Z 1.67 1 P Z 1.67 1 0.9525 0.0475
X N 175 , 36
0.0475 0.0475
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175 165 180P 165 X 180 P Z
6 6
X N 175 , 36
P 165 X 180 P 1.67 Z 0.8333
P 165 X 180 P Z 0.8333 P Z 1.67
P 165 X 180 0.7967 1 0.9525 0.7492
P 165 X 180 P Z 0.8333 1 P Z 1.67
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejemplo:
165 175 165 180P 165 X 180 P Z 0.7492
6 6
X N 175 , 36
0.7492
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Si para cualquier número a, b se tiene:
2. Si X y Y son dos variables independientes tal que y entonces: 2
X XX N , 2
Y YY N ,
2 2
X Y X YX Y N ,
2X N ,
2 2aX b N a b , a
APROXIMACIONES A LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Aproximación Normal de la Distribución Binomial
Sea tal que n tiende a infinito entonces:
Esta aproximación será buena si y
Aproximación Normal de la Distribución de Poisson
Sea entonces:
Para
X B n , p
X N np , np 1 p
np 5 n 1 p 5
X P
X N ,
10
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