itam notas de probabilidad
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7/22/2019 Itam Notas de Probabilidad
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Probabilidad
Miguel Angel Mendez Antonio
ITAM
13 de agosto de 2013
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Indice
1 FundamentosEspacios de probabilidad
2 Tecnicas de conteo
3 Probabilidad condicional eindependencia de eventos
Probabilidad condicional
Independencia entreeventos
4 Probabilidad total y regla de
BayesEjercicios1
5 Variables Aleatorias6 Funcion de distribucion
7 Distribuciones continuas
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Concepto de probabilidad
Definicion.
Decimos que un fenomeno es aleatorio cuando esimpredecible, i.e., es producido por el azar
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Concepto de probabilidad
Definicion.
Decimos que un fenomeno es aleatorio cuando esimpredecible, i.e., es producido por el azar
Un espacio de probabilidad, asociado a un fenomeno aleatorio,es una terna (,
F, P) donde es el espacio muestral,
Fes
una sigma algebra( -algebra) de subconjuntos de y P esuna medida de probabilidad (m.p.).
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Concepto de probabilidad
Definicion.
Decimos que un fenomeno es aleatorio cuando esimpredecible, i.e., es producido por el azar
Un espacio de probabilidad, asociado a un fenomeno aleatorio,es una terna (,
F, P) donde es el espacio muestral,
Fes
una sigma algebra( -algebra) de subconjuntos de y P esuna medida de probabilidad (m.p.).
Observacion A cada fenomeno aleatorio asociamos unespacio de probabilidad (,
F, P).
Es posible asociar mas de un espacio de probabilidad a unfenomeno aleatorio
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Concepto de probabilidad
Definicion.
Decimos que un fenomeno es aleatorio cuando esimpredecible, i.e., es producido por el azar
Un espacio de probabilidad, asociado a un fenomeno aleatorio,es una terna (,
F, P) donde es el espacio muestral,
Fes
una sigma algebra( -algebra) de subconjuntos de y P esuna medida de probabilidad (m.p.).
Observacion A cada fenomeno aleatorio asociamos unespacio de probabilidad (,
F, P).
Es posible asociar mas de un espacio de probabilidad a unfenomeno aleatorio
A continuacion definimos los componentes de la terna y suspropiedades que deben satisfacer
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Espacio muestral
Definicion.
Espacio muestral : Es un conjunto que contiene los resultadosposibles de interes de un fenomeno aleatorio.
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Espacio muestral
Definicion.
Espacio muestral : Es un conjunto que contiene los resultadosposibles de interes de un fenomeno aleatorio.
Ejemplo.
Sea lanzar un dado honesto
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Espacio muestral
Definicion.
Espacio muestral : Es un conjunto que contiene los resultadosposibles de interes de un fenomeno aleatorio.
Ejemplo.
Sea lanzar un dado honesto
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ejemplo.Sea lanzar dos veces un dado
= {(i,j); i,j N, i,j 6}
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E i l
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Espacio muestral
Ejemplo.
: Examinar una caja con 50 fusibles de la produccion de unafabrica y contar el numero de defectuosos
= {0, 1, . . . , 50}
Ejemplo.
: lanzamos una moneda
= { aguila , sol}
E i l
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Espacio muestral
Ejemplo.
: Examinar una caja con 50 fusibles de la produccion de unafabrica y contar el numero de defectuosos
= {0, 1, . . . , 50}
Ejemplo.
: lanzamos una moneda
= { aguila , sol}
Observacion: Los elementos de un espacio muestral puedenser numeros, vectores, palabras, etc. y los llamaremos enforma generica resultados elementales.
E i t l
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Espacio muestral
Diremos que un espacio muestral es discreto cuando tiene un
numero finito o numerable de resultados elementales. Unespacio muestral es no discreto cuando tiene un numeroinfinito no numerable de resultados elementales.
E i t l
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Espacio muestral
Diremos que un espacio muestral es discreto cuando tiene un
numero finito o numerable de resultados elementales. Unespacio muestral es no discreto cuando tiene un numeroinfinito no numerable de resultados elementales.
-algebra F: En principio, uno deseara poderle asignar unaprobabilidad positiva a cada resultado de . Sin embargo,
como veremos mas adelante, esto no es posible en general. Lalimitacion se produce con los espacios muestrales no discretosy es por ellos que se introdujo la -algebra. El razonamientofue: Si no podemos asignarle una probabilidad positiva a cadaresultado elemental, sera posible definir una coleccion desubconjuntos de a los que si podamos asignarleprobabilidades positivas y resulte util en la practica?. pero porotra parte, la coleccion de subconjuntos buscada no deberaimponer restricciones a los espacios muestrales discretos. la
respuesta es s y esta fue la -algebra siguiente.
l b
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-algebra
Definicion.Sea un espacio de probabilidad. Sea Funa coleccion desubconjuntos de . Decimos queFes una -algebra si satisfacelas siguientes propiedades:
1 F2 Si A Fentonces Ac F
3 Si Ai Fpara i N entonces,
i=1 Ai F.
algebra
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-algebra
Definicion.Sea un espacio de probabilidad. Sea Funa coleccion desubconjuntos de . Decimos queFes una -algebra si satisfacelas siguientes propiedades:
1 F2 Si A Fentonces Ac F
3 Si Ai Fpara i N entonces,
i=1 Ai F.
Los elementos de
Fson llamados eventos y solo a ellos les
podremos calcular una probabilidad.
algebra
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-algebra
Definicion.Sea un espacio de probabilidad. Sea Funa coleccion desubconjuntos de . Decimos queFes una -algebra si satisfacelas siguientes propiedades:
1 F2 Si A Fentonces Ac F
3 Si Ai Fpara i N entonces,
i=1 Ai F.
Los elementos de
Fson llamados eventos y solo a ellos les
podremos calcular una probabilidad.Diremos que un evento C ocurre cuando el resultado delexperimento bajo estudio es el resulado elemental y pertenece a C.
Ejemplos de algebra
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Ejemplos de -algebra
Ejemplo.F= {, }.
Ejemplos de algebra
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Ejemplos de -algebra
Ejemplo.F= {, }.
Ejemplo.
F= {, A, Ac
, }
Ejemplos de -algebra
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Ejemplos de -algebra
Ejemplo.
F= {, }.
Ejemplo.
F= {, A, Ac
, }Ejemplo.
F= 2
Ejemplos de -algebra
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Ejemplos de algebra
Ejemplo.
F= {, }.
Ejemplo.
F= {, A, Ac
, }Ejemplo.
F= 2
Ejemplo.
Sean A y B subconjuntos de tal que A B.F= {, A, Ac, B, Bc, B A, (B A)c, }.
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Ejemplo.
La interseccion finita, infinita numerable o bien arbitraria de-algebras es nuevamente una -algebra.Si {Fi, i I} es una familia de -algebras de , entonces lainterseccion Fi tambien es una -algebra.
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Ejemplo.
La interseccion finita, infinita numerable o bien arbitraria de-algebras es nuevamente una -algebra.Si {Fi, i I} es una familia de -algebras de , entonces lainterseccion Fi tambien es una -algebra.
Ejemplo.
Sea A una familia arbitraria de subconjuntos de , y sea {A} lainterseccion de todas las -algebras de que contienen A.Entonces, por el ejemplo anterior, {A} es una -algebra y dehecho, es la mnima de -algebra que contiene a A; es decir, siFes cualquier -algebra de que contiene a A, entonces{A}F. A {A} se le llama la -algebra generada por A.
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Ejemplo.
La interseccion finita, infinita numerable o bien arbitraria de-algebras es nuevamente una -algebra.Si {Fi, i I} es una familia de -algebras de , entonces lainterseccion Fi tambien es una -algebra.
Ejemplo.
Sea A una familia arbitraria de subconjuntos de , y sea {A} lainterseccion de todas las -algebras de que contienen A.Entonces, por el ejemplo anterior, {A} es una -algebra y dehecho, es la mnima de -algebra que contiene a A; es decir, siFes cualquier -algebra de que contiene a A, entonces{A}F. A {A} se le llama la -algebra generada por A.Porejemplo, supongase queA consiste de un unico conjunto B ,es decir,
A=
{B
}. Entonces
{A}=
{B, Bc, ,
}.
Conjuntos de Borel
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Co ju tos de o e
Definicion.
Considere la coleccion de todos los intervalos abiertos (a, b) deR,en donde a b. A la mnima -algebra generada por esta coleccionse le llama -algebra de Borel deR, y se le nota por
B(R)
B(R) = {(a, b) R : a b}.
A los elementos deB(R) se le llama conjuntos de Borel, Borelianoso conjuntos de Borel medibles.
Conjuntos de Borel
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j
Definicion.
Considere la coleccion de todos los intervalos abiertos (a, b) deR,en donde a b. A la mnima -algebra generada por esta coleccionse le llama -algebra de Borel deR, y se le nota por
B(R)
B(R) = {(a, b) R : a b}.
A los elementos deB(R) se le llama conjuntos de Borel, Borelianoso conjuntos de Borel medibles.
Al par (, F) se le llama espacio medible y si = R yF= B(R)tenemos el espacio Borel medible (R, B(R)).
Medidas de Probabilidad [Kolmogorov 1933]
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[ g ]
Definicion.Sea (, F) un espacio medible. Una medida de probabilidad es unafuncion P : F [0, 1] que satisface
1 P() = 1
2 P(A) 0, para cualquier A F3 Si A1, A2, . . . Fson ajenos, esto es, Ai Aj = , i = j ,
entonces
P(
n=1
An) =
n=1
P(An)
aditividad
La terna (, F, P) se llama espacio de probabilidad
Probabilidad Clasica
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Sea un experimento aleatorio con espacio muestral finito . SeaF= 2 y para todo A de defina
P(A) =#A
#
donde # significa cardinalidad, numero de elementos. Entonces Pes una probabilidad, y es llamada probabilidad clasica. Se haacostumbrado a decir P(A) es casos favorables entre casos totales.
Probabilidad Geometrica
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Sea R2 una region tal que su area es positiva y finita. Sea Funa -algebra de subconjuntos de para los cuales el concepto dearea este bien definido. Para cada A en Fdefina
P(A) = Area (A)/Area ().
La funcion de probabilidad P es una medida de probabilidad y esllamada probabilidad geometrica. Este caso se puede extender aR
n
.
Otro tipo de probabilidad: discreto
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Considere un experimento aleatorio con espacio muestral = N yF= 2N. Para cualquier subconjunto A de N defina
P(A) =nA
12n
Es decir, el numero natural n tiene asociada la probabilidad 1/2n.P es efectivamente una medida de probabilidad concentrada en N.
Otro tipo de probabilidad: continuo
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Considere (R, B(R)). Sea f : R [0, ) una funcion no negativay continua, tal que
R
f(x)dx = 1. La funcion definida para todoA
B(R) por la integral
P(A) =
A
f(x)dx
es una medida de probabilidad.
Propiedades elementales
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Proposicion.
Sea (, F, P) un espacio de probabilidad. Entonces:1 P() = 02 Si A1, . . . , An Fson ajenos por parejas, entonces
P(
nk=1
Ak) =
nk=1
P(Ak)
3 P(Ac) = 1 P(A)4 Si A B, entonces P(B A) = P(B) P(A)5 Si A B, entonces P(A) P(B)6 0 P(A) 17 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)8 P(A
B)
P(A) + P(B).
Tecnicas de conteo
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Cuando un espacio muestral es muy grande y enumerarmanualmente cada punto se torna tedioso o imposible, contar elnumero de puntos en y en un evento de interes puede ser elunico camino eficaz para calcular la probabilidad de un evento. Dehecho, si contiene N puntos con la misma probabilidad y un
evento A contiene exactamente n puntos, la probabilidad clasicanos dice que P(A) = n/N.
Tecnicas de conteo
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Cuando un espacio muestral es muy grande y enumerarmanualmente cada punto se torna tedioso o imposible, contar elnumero de puntos en y en un evento de interes puede ser elunico camino eficaz para calcular la probabilidad de un evento. Dehecho, si contiene N puntos con la misma probabilidad y un
evento A contiene exactamente n puntos, la probabilidad clasicanos dice que P(A) = n/N.
Definicion. (Regla de la multiplicacion)
Si una operacion se puede llevar a cabo de m formas, y si para
cada una de estas se puede realizar una segunda operacion en nformas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar juntas enmn formas.
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Ejemplo.
Un experimento consiste en lanzar un par de dados y observar losnumeros de la cara superior. Encuentre el numero de puntos
muestrales en , el espacio muestral del experimento.
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Ejemplo.
Un experimento consiste en lanzar un par de dados y observar losnumeros de la cara superior. Encuentre el numero de puntos
muestrales en , el espacio muestral del experimento.
Solucion El primer dado puede caer de m = 6 maneras diferentes,El segundo dado puede caer de n = 6 maneras diferentes.As el total de puntos muestrales de es mn = (6)(6) = 36
Regla de multiplicacion generalizada
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Definicion.
Si una operacion se puede ejecutar de n1 formas, y si para cada
una de estas se puede llevar a cabo una segunda operacion en n2formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar unatercera en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la serie de koperaciones se puede realizar en n1n2 nk formas.
Regla de multiplicacion generalizada
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Definicion.
Si una operacion se puede ejecutar de n1 formas, y si para cada
una de estas se puede llevar a cabo una segunda operacion en n2formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar unatercera en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la serie de koperaciones se puede realizar en n1n2 nk formas.
Ejemplo.
Cuantos comidas que consisten en una sopa, emparedado, postrey una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?
Regla de multiplicacion generalizada
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Definicion.
Si una operacion se puede ejecutar de n1 formas, y si para cada
una de estas se puede llevar a cabo una segunda operacion en n2formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar unatercera en n3 formas, y as sucesivamente, entonces la serie de koperaciones se puede realizar en n1n2 nk formas.
Ejemplo.
Cuantos comidas que consisten en una sopa, emparedado, postrey una bebida son posibles si podemos seleccionar de 4 sopas, 3tipos de emparedados, 5 postres y 4 bebidas?
Solucion
Como n1 = 4, n2 = 3, n3 = 5 y n4 = 4, hay
n1 n2 n3 n4 = (4)(3)(5)(4) = 240diferentes maneras de elegir una comida.
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Ejemplo.
Cuantas placas diferentes se pueden formar si los tres primeros
lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.
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Ejemplo.
Cuantas placas diferentes se pueden formar si los tres primeros
lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.Solucion Por la regla de la multiplicacion generalizada
26
26
26
10
10
10
10 = 175, 760, 000
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Ejemplo.
Cuantas placas diferentes se pueden formar si los tres primeros
lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.Solucion Por la regla de la multiplicacion generalizada
26
26
26
10
10
10
10 = 175, 760, 000
Ejemplo.
Del anterior ejemplo, cuantas placas son posibles si la repeticion
entre numeros o letras esta prohibida.?
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Ejemplo.
Cuantas placas diferentes se pueden formar si los tres primeros
lugares seran ocupados por las letras (26) y los restantes cuatropor numeros?.Solucion Por la regla de la multiplicacion generalizada
26
26
26
10
10
10
10 = 175, 760, 000
Ejemplo.
Del anterior ejemplo, cuantas placas son posibles si la repeticion
entre numeros o letras esta prohibida.?SolucionEn este caso
26 25 24 10 9 8 7 = 78, 624, 000
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Ejemplo.
Cuantas funciones definidas sobre n puntos son posibles si cada
valor de la funcion es 0 o 1?
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Ejemplo.
Cuantas funciones definidas sobre n puntos son posibles si cada
valor de la funcion es 0 o 1?SolucionSean los puntos 1, 2, . . . , n. Dado que f(i) debera ser 0 o 1 paracada i = 1, 2, . . . , n, se sigue que existen 2n posibles funciones.
PERMUTACIONES
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Cuantos arreglos ordenados diferentes son posibles de las letras
a, b y c?
PERMUTACIONES
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Cuantos arreglos ordenados diferentes son posibles de las letras
a, b y c?Por enumeracion directa podemos ver que son 6, a saber
abc, acb, bac, bca, cab y cba
cada arreglo es conocido como una permutacion. As existen 6posibles permutaciones de 3 objetos.
PERMUTACIONES
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Cuantos arreglos ordenados diferentes son posibles de las letras
a, b y c?Por enumeracion directa podemos ver que son 6, a saber
abc, acb, bac, bca, cab y cba
cada arreglo es conocido como una permutacion. As existen 6posibles permutaciones de 3 objetos.Este resultado puede ser obtenido de la regla de multiplicacion:El primer objeto de la permutacion puede ser cualquiera de los 3,el segundo objeto en la permutacion puede seleccionarse de los
cualquiera dos restantes, y el tercero objeto en la permutacion esentonces el restante 1.As son
3 2 1 = 6 posibles permutaciones
Permutaciones
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Definicion.Un arreglo ordenado de r objetos diferentes recibe el nombre depermutacion. La cantidad de maneras de ordenar n objetosdiferentes tomando r a la vez se representa mediante el smboloPn
r
.
Permutaciones
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Definicion.Un arreglo ordenado de r objetos diferentes recibe el nombre depermutacion. La cantidad de maneras de ordenar n objetosdiferentes tomando r a la vez se representa mediante el smboloPn
r
.
Teorema.
Pnr = n(n
1)(n
2)
(n
r + 1) =
n!
(n r)!donde n! = n(n 1)(n 2) 3 2 1 y 0! := 1! := 1
Permutaciones
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Ejemplo.
De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de unapequena empresa se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo, losnombres de 3. El individuo cuyo nombre sale primero recibe 100dolares, el siguiente en salir recibe 50 y el tercero recibe 25.
Cuantos puntos muestrales se asocian con este experimento?.
Permutaciones
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Ejemplo.
De una urna que contiene los nombres de 30 empleados de unapequena empresa se van a elegir aleatoriamente, sin reemplazo, losnombres de 3. El individuo cuyo nombre sale primero recibe 100dolares, el siguiente en salir recibe 50 y el tercero recibe 25.
Cuantos puntos muestrales se asocian con este experimento?.
Solucion
Como los montos de las recompensas son diferentes, el numero depuntos muestrales es el numero de arreglos de r = 3 de los n = 30
nombres posibles. As
P303 =30!
3!= (30)(29)(28) = 24, 360
Permutaciones
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El siguiente resultado calcula el numero de subconjuntos detamanos diversos que pueden formarse partiendo de un conjunto den objetos en k grupos que no se superponen.
Teorema.
La cantidad de formas de dividir n objetos distintos en k gruposque contengan n
1, n
2, . . . , n
kobjetos, en forma respectiva, donde
cada objeto figura en un grupo exactamente yk
i=1 ni = n, es
N =
n
n1n2 . . . nk
=
n!
n1!n2! nk!
Permutaciones
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El siguiente resultado calcula el numero de subconjuntos detamanos diversos que pueden formarse partiendo de un conjunto den objetos en k grupos que no se superponen.
Teorema.
La cantidad de formas de dividir n objetos distintos en k gruposque contengan n
1, n
2, . . . , n
kobjetos, en forma respectiva, donde
cada objeto figura en un grupo exactamente yk
i=1 ni = n, es
N =
n
n1n2 . . . nk
=
n!
n1!n2! nk!
El teorema anterior tambien lo podemos usar para encontrar lasdiferentes permutaciones de n objetos, de los cuales los n1 soniguales,los n2 son iguales,..., los nk son iguales.
Permutaciones
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Ejemplo.
Un torneo de ajedrez tiene 10 competidores, de los cuales 4 son deRusia, 3 de los Estados Unidos, 2 de Alemania, y 1 de Brasil. Si elresultado del torneo lista justo las nacionalidades de los jugadores
en el orden en los cuales ellos aparecen, cuantos resultados sonposibles?.
Permutaciones
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Ejemplo.
Un torneo de ajedrez tiene 10 competidores, de los cuales 4 son deRusia, 3 de los Estados Unidos, 2 de Alemania, y 1 de Brasil. Si elresultado del torneo lista justo las nacionalidades de los jugadores
en el orden en los cuales ellos aparecen, cuantos resultados sonposibles?.
Solucion
Existen10!
4!3!2!1! = 12, 600 posibles resultados
Permutaciones
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7/22/2019 Itam Notas de Probabilidad
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Ejemplo.
De cuantas maneras se pueden asignar siete cientficos a unahabitacion de hotel triple y a dos dobles?
Permutaciones
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58/316
Ejemplo.
De cuantas maneras se pueden asignar siete cientficos a unahabitacion de hotel triple y a dos dobles?
Solucion 7
3, 2, 2
=
7!
3!2!2!= 210
Combinaciones
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En muchos casos los puntos muestrales se identifican mediante unaseleccion de smbolos en las que el orden es irrelevante.Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son 6:
abc, acb, bac, bca, cab y cba
pero si el orden es irrelevante solo nos interesa una de ellas, quesera la combinacion.
Combinaciones
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En muchos casos los puntos muestrales se identifican mediante una
seleccion de smbolos en las que el orden es irrelevante.Por ejemplo, las permutaciones de las letras a, b y c son 6:
abc, acb, bac, bca, cab y cba
pero si el orden es irrelevante solo nos interesa una de ellas, quesera la combinacion.
Definicion.
El numero de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es el
numero de subconjuntos de tamano r, que se pueden formar conlos n objetos. El numero se denota por Cnr o
nr
.
Combinaciones
Teorema
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Teorema.
El numero de subconjuntos no ordenados, de tamano r elegidos
(sin reemplazo) de entre los n objetos disponibles esn
r
= Cnr =
n!
r!(n r)! r n
Por convencion, 0! = 1! = 1. As
n0
=
nn
= 1. Tambien
nr
= 0
si r < 0 o r > n.
Combinaciones
Teorema
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Teorema.
El numero de subconjuntos no ordenados, de tamano r elegidos
(sin reemplazo) de entre los n objetos disponibles esn
r
= Cnr =
n!
r!(n r)! r n
Por convencion, 0! = 1! = 1. As
n0
=
nn
= 1. Tambien
nr
= 0
si r < 0 o r > n.
Ejemplo.
Un comite de 3 sera formado de un grupo de 20 personas.
Cuantas comites diferentes son posibles?.
Combinaciones
Teorema
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Teorema.
El numero de subconjuntos no ordenados, de tamano r elegidos
(sin reemplazo) de entre los n objetos disponibles esn
r
= Cnr =
n!
r!(n r)! r n
Por convencion, 0! = 1! = 1. As
n0
=
nn
= 1. Tambien
nr
= 0
si r < 0 o r > n.
Ejemplo.
Un comite de 3 sera formado de un grupo de 20 personas.
Cuantas comites diferentes son posibles?.
Solucion
20
3 =
20!
3! 20 3 ! =20
19
18
3 2 1 = 1, 140 posibles comites
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Ejemplo.
Cuantas comites consistentes de dos mujeres y tres hombres sepueden formar si en total existen 5 mujeres y 7 hombres?.
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Ejemplo.
Cuantas comites consistentes de dos mujeres y tres hombres sepueden formar si en total existen 5 mujeres y 7 hombres?.
Solucion
Existen5
2
posibles grupos de 2 mujeres y
73
posibles grupos de 3
hombres, por la regla de la multiplicacion existen5
2
73
= 350
posibles comites formados por 2 mujeres y 3 hombres.
El binomio de Newton
Los valores
nr
en ocasiones son referidos como coeficientes
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r
binomiales debido a su presencia en el teorema binomial.
Teorema. (Teorema binomial)
(x + y)n =n
k=0
n
k
xkynk
El binomio de Newton
Los valores
nr
en ocasiones son referidos como coeficientes
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r
binomiales debido a su presencia en el teorema binomial.
Teorema. (Teorema binomial)
(x + y)n =n
k=0
n
k
xkynk
Ejemplo.
Desarrollar (x + y)3
El binomio de Newton
Los valores
nr
en ocasiones son referidos como coeficientes
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r
binomiales debido a su presencia en el teorema binomial.
Teorema. (Teorema binomial)
(x + y)n =n
k=0
n
k
xkynk
Ejemplo.
Desarrollar (x + y)3
(x + y)3 =
3k=0
3k
xky3k
=
3
0
x0y3 +
3
1
x1y2 +
3
2
x2y +
3
3
x3y0
= y3
+ 3xy2
+ 3x2
y + x3
Teorema binomial
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Ejemplo.
Cuantos subconjuntos existen de un conjunto consistente de nelementos?
Teorema binomial
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Ejemplo.
Cuantos subconjuntos existen de un conjunto consistente de nelementos?
Solucion
nk
= numero de subconjuntos de tamano k
Entonces
nk=0
nk
=
nk=0
nk
1k1nk = (1 + 1)n = 2n
.
Probabildad condicional
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La probabilidad de un evento dependera en ocasiones de nuestroconocimiento de que han ocurrido otros eventos.
Probabildad condicional
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La probabilidad de un evento dependera en ocasiones de nuestroconocimiento de que han ocurrido otros eventos.
Definicion.
La probabilidad condicional del evento A dado que el evento B ya
ocurrio, denotada P(A|B), esta definida por
P(A|B) = P(A B)P(B)
siempre y cuando P(B) > 0.
Probabilidad condicional
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Observacion.
En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B
Fes una -algebra y que P(
|B) es una
medida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y
Probabilidad condicional
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Observacion.
En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B Fes una -algebra y que P(|B) es unamedida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y
Teorema.
P(|
B) es una medida de probabilidad definida en B F
.
Probabilidad condicional
Ob i
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Observacion.
En el momento que B ya ocurrio la -algebra original Fesmodificada a B F= {B E|E F}. El espacio muestral esahora B = B y la medida de probabilidad es P(|B), esto es, elnuevo espacio de probabilidad es (B, B F, P(|B)). Formalmente,debemos mostrar que B Fes una -algebra y que P(|B) es unamedida de probabilidad. Dejamos de tarea demostrar que B Fesuna -algebra y
Teorema.
P(|
B) es una medida de probabilidad definida en B F
.
Demostracion:
Debemos verificar que se satisfacen los tres axiomas de medida deprobabilidad.
Probabilidad condicional
Observacion.
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Como P(|B) es una medida de probabilidad podemos utilizar losresultados obtenidos
1 P(Ac|B) = 1 P(A|B)2 P(E F|B) = P(E|B) + P(F|B) P(E F|B)3 P(C|B) P(D|B) si C B D B.
Probabilidad condicional
Observacion.
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Como P(|B) es una medida de probabilidad podemos utilizar losresultados obtenidos
1 P(Ac|B) = 1 P(A|B)2 P(E F|B) = P(E|B) + P(F|B) P(E F|B)3 P(C|B) P(D|B) si C B D B.
Ejemplo.
Suponga que un dado equilibrado se lanza una vez. Encuentre laprobabilidad de que salga un 1, si ya se obtuvo un numero impar.
Probabilidad condicional
Observacion.
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Como P(|B) es una medida de probabilidad podemos utilizar losresultados obtenidos
1 P(Ac|B) = 1 P(A|B)2 P(E F|B) = P(E|B) + P(F|B) P(E F|B)3 P(C|B) P(D|B) si C B D B.
Ejemplo.
Suponga que un dado equilibrado se lanza una vez. Encuentre laprobabilidad de que salga un 1, si ya se obtuvo un numero impar.
Solucion: sean los siguientes eventos: A: se observa un 1 y B: seobserva un numero impar.
P(A|B) = P(A B)P(B)
=P({1})
P({1, 3, 5}) =1/6
3/6= 1/3
Independencia entre eventos
Definicion
http://find/ -
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Definicion.
Sea (,F
, P) un espacio de probabilidad. Sean A1, A2, . . . , An conn 2, eventos. Decimos que A1, A2, . . . , An son mutuamenteindependientes si y solo si para todo subconjunto de tamano k,2 k n, {i1, i2, . . . , ik} de {1, 2, . . . , n} se cumple la igualdad
P(
kj=1
Aij) = kj=1P(Aij).
Independencia entre eventos
Definicion.
http://find/ -
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Definicion.
Sea (,F
, P) un espacio de probabilidad. Sean A1, A2, . . . , An conn 2, eventos. Decimos que A1, A2, . . . , An son mutuamenteindependientes si y solo si para todo subconjunto de tamano k,2 k n, {i1, i2, . . . , ik} de {1, 2, . . . , n} se cumple la igualdad
P(
kj=1
Aij) = kj=1P(Aij).
Para el caso n = 2, la definicion establece que los eventos A1 y A2
son independientes ssi
P(A1 A2) = P(A1)P(A2).
Independencia entre eventos
Cuando n = 3, la definicion de independencia nos dice queA1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
http://find/ -
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A1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
P(A1 A2) = P(A1)P(A2)P(A1 A3) = P(A1)P(A3)P(A2 A3) = P(A2)P(A3)
P(A1 A2 A3) = P(A1)P(A2)P(A3)No es suficiente que sean independientes a pares.
Independencia entre eventos
Cuando n = 3, la definicion de independencia nos dice queA1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
http://find/ -
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A1, A2, A3 son mutuamente independientes ssi
P(A1 A2) = P(A1)P(A2)P(A1 A3) = P(A1)P(A3)P(A2 A3) = P(A2)P(A3)
P(A1 A2 A3) = P(A1)P(A2)P(A3)No es suficiente que sean independientes a pares.
Ejemplo.
Sea el experimento que consiste en lanzar dos veces una monedahonesta, entonces
= {AA, AS, SA, SS} = {1, 2, 3, 4}
Definamos los eventos: A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {1, 3}Son los eventos A, B y C independientes?.
Independencia entre eventos
http://find/ -
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Solucion: Con la moneda honesta podemos proponer
P({i}) = 1/4, i = 1, . . . , 4. EntoncesP(A) = P(B) = P(C) = 1/2
P(A B) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(B)
P(A C) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(C)P(B C) = P({1}) = 1/4 = P(B)P(C)
pero
P(A B C) = P({1}) = 1/4 = P(A)P(B)P(C) = 1/8Concluimos que los eventos no son mutuamente independientes.
Independencia entre eventos
Observacion.
http://find/ -
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Para verificar la independencia mutua de n eventos tenemos que
comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?
Independencia entre eventos
Observacion.
http://goforward/http://find/http://goback/ -
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Para verificar la independencia mutua de n eventos tenemos que
comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 n
Independencia entre eventos
Observacion.
http://find/http://goback/ -
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Para verificar la independencia mutua de n eventos tenemos que
comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 nObservacion.De manera informal se acostumbra decir que n eventos sonindependientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no altera laocurrencia o no ocurrencia de los demas.
Independencia entre eventos
Observacion.
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Para verificar la independencia mutua de n eventos tenemos que
comprobar la independencia a pares, tercias, etc.; en total,2n n 1, porque?Solucion: 2n n0 n1 = 2n 1 nObservacion.De manera informal se acostumbra decir que n eventos sonindependientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no altera laocurrencia o no ocurrencia de los demas.
Observacion.A B = no significa que A y B son independientes. De hecho siP(A) > 0 y P(B) > 0 y A B = , entoncesP(A B) = P() = 0 = P(A)P(B) > 0.
Independencia entre eventosConsecuencias de la independencia entre eventos
Proposicion
http://find/http://goback/ -
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Proposicion.
Sean A y B dos eventos independientes, entonces1 A y Bc son independientes (y por simetra AC y B son
tambien independientes )
2 Ac y Bc son independientes.
Independencia entre eventosConsecuencias de la independencia entre eventos
Proposicion.
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Proposicion.
Sean A y B dos eventos independientes, entonces1 A y Bc son independientes (y por simetra AC y B son
tambien independientes )
2 Ac y Bc son independientes.
Demostracion: (1) A B = A BcA = (A Bc) (A B) union disjunta
P(A) = P(A Bc) + P(A)P(B) por independenciaEntonces
P(A Bc) = P(A) P(A)P(B)= P(A)[1 P(B)] = P(A)P(Bc)
(2) Tarea.
Independencia entre eventos
Ob i
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Observacion.
La proposicion anterior es generalizable a mas de dos eventos. Porejemplo, para 3 eventos A, B y C mutuamente independientestendremos que los siguientes eventos son mutuamenteindependientes
Ac, B, C; A, Bc, C; A, B, Cc; Ac, Bc, C; Ac, B, Cc; A, Bc, Cc y AcBcCc
Tarea.
Independencia entre eventos
Ob i
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Observacion.
La proposicion anterior es generalizable a mas de dos eventos. Porejemplo, para 3 eventos A, B y C mutuamente independientestendremos que los siguientes eventos son mutuamenteindependientes
Ac, B, C; A, Bc, C; A, B, Cc; Ac, Bc, C; Ac, B, Cc; A, Bc, Cc y AcBcCc
Tarea.
Lema.
Sean A y B dos eventos en un espacio (, F, P). Si P(B) > 0entonces A y B son independientes si y solo si P(A|B) = P(A)
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Demostracion:
) Suponga que A y B son independientes(P(A B) = P(A)P(B)) y
P(A|B) = P(A B)P(B)
=P(A)P(B)
P(B)= P(A)
http://find/ -
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Demostracion:
) Suponga que A y B son independientes(P(A B) = P(A)P(B)) y
P(A|B) = P(A B)P(B)
=P(A)P(B)
P(B)= P(A)
) Suponga que P(A|B) = P(A)P(A B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)
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Demostracion:
) Suponga que A y B son independientes(P(A B) = P(A)P(B)) y
P(A|B) = P(A B)P(B)
=P(A)P(B)
P(B)= P(A)
) Suponga que P(A|B) = P(A)P(A B) = P(A|B)P(B) = P(A)P(B)
El lema pudo ser establecido con P(B
|A) = P(B) y el supuesto
P(A) > 0.
La formula de probabilidad total y la regla de Bayes
Sea (, F, P) un espacio de probabilidadDefinicion
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Definicion.
Sea k Z+ y los eventos B1, B2, . . . , Bk que satisfacen1 = B1 B2 . . . Bk2 Bi Bj = si i = j .
Entonces
{B1, B2, . . . , Bk
}es una particion de .
La formula de probabilidad total y la regla de Bayes
Sea (, F, P) un espacio de probabilidadDefinicion
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Definicion.
Sea k Z+ y los eventos B1, B2, . . . , Bk que satisfacen1 = B1 B2 . . . Bk2 Bi Bj = si i = j .
Entonces
{B1, B2, . . . , Bk
}es una particion de .
Teorema. (Ley de probabilidad total)
Si {B1, B2, . . . , Bk} es una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k, entonces para todo A F
P(A) =k
i=1
P(A|Bi)P(Bi)
Demostracion:
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Demostracion:
A = A = A (B1 B2 . . . Bk)= (A B1) (A B2) . . . (A Bk)
Ademas (A
Bi)
(A
Bj) = A
(Bi
Bj) = A
=
y as
Demostracion:
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Demostracion:
A = A = A (B1 B2 . . . Bk)= (A B1) (A B2) . . . (A Bk)
Ademas (A Bi) (A Bj) = A (Bi Bj) = A = y as
P(A) = P(A B1) + P(A B2) + . . . + P(A BK)= P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + . . . + P(A|Bk)P(Bk)
=k
i=1
P(A
|Bi)P(Bi)
Regla de Bayes
T ( R l d B )
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Teorema. ( Regla de Bayes)
Sea {B1, . . . , Bk} una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k. Entonces
P(Bj
|A) =
P(A|Bj)P(Bj)ki=1 P(A|Bi)P(Bi)
Regla de Bayes
Teorema ( Regla de Ba es)
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Teorema. ( Regla de Bayes)
Sea {B1, . . . , Bk} una particion de tal que P(Bi) > 0, parai = 1, 2, . . . , k. Entonces
P(Bj
|A) =
P(A|Bj)P(Bj)ki=1 P(A|Bi)P(Bi)
Demostracion:
P(Bj|A) =P(Bj
A)
P(A) =
P(A
|Bj)P(Bj)
ki=1 P(A|Bi)P(Bi)
Ejemplo.
Si dos eventos, A y B, tienen las siguientes probabilidades:P(A) 0 5 P(B) 0 3 P(A B) 0 1 t l
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P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 y P(A
B) = 0,1, encuentre las
siguientes probabilidades:
1 P(A|B) y P(B|A)2 P(A|A B)3 P(A
|A
B)
4 P(A B|A B)
Ejemplo.
Dos eventos A y B son tales que P(A) = 0,2, P(B) = 0,3 y
P(A B) = 0,4. Encuentre las siguientes probabilidades1 P(Ac B)2 P(Ac B)3 P(Ac Bc)
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102/316
Variables aleatorias
Con frecuencia cuando se lleva a cabo un experimento, estamosinteresados principalmente en alguna funcion de los resultados
-
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103/316
interesados principalmente en alguna funcion de los resultados
que en los resultados mismos. Por ejemplo, cuando lanzamos unpar de dados, podemos estar interesados por la suma de los dadosy no estar preocupados por los valores reales independientes decada vector. Es decir, podemos estar interesados en saber que lasuma es 7 y no puede interesarnos acerca si el resultado real fue(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) o (6, 1).
Definicion.
Una variable aleatoria (v.a.) es una funcion X : R tal que
para cualquier conjunto Boreliano B, se cumple que el conjuntoX1(B) F.Donde X1(B) = { : X() B}
Variable aleatoriaEjemplo.
Sea : Lanzamos una moneda tres veces y observamos
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104/316
= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}Sea X la v.a.: El numero de aguilas obtenidas.
X(AAA)
3
X(AAS) 2X(ASA) 2X(SAA) 2X(ASS)
1
......
X(SSS) 0X : {0, 1, 2, 3} R.
Variable aleatoriaObservacion.
No toda funcion X : R es una v.a. sino solo aquellas quesatisfacen X1(B) para todo B (R) y se dice entonces
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satisfacen X (B)
Fpara todo B
B(R) y se dice entonces
que X es medible. Si X es continua entonces X es v.a. y tambiensi es discreto yF= 2 entonces tambien X es v.a.. El conceptoes un poco tecnico y a continuacion damos algunos resultados sindemostracion.
Variable aleatoriaObservacion.
No toda funcion X : R es una v.a. sino solo aquellas quesatisfacen X1(B) para todo B (R) y se dice entonces
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106/316
satisfacen X (B)
Fpara todo B
B(R) y se dice entonces
que X es medible. Si X es continua entonces X es v.a. y tambiensi es discreto yF= 2 entonces tambien X es v.a.. El conceptoes un poco tecnico y a continuacion damos algunos resultados sindemostracion.
Proposicion.
La funcion constante X() = c para todo es una v.a.
Variable aleatoriaObservacion.
No toda funcion X : R es una v.a. sino solo aquellas quesatisfacen X1(B) para todo B (R) y se dice entonces
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107/316
satisfacen X (B)
Fpara todo B
B(R) y se dice entonces
que X es medible. Si X es continua entonces X es v.a. y tambiensi es discreto yF= 2 entonces tambien X es v.a.. El conceptoes un poco tecnico y a continuacion damos algunos resultados sindemostracion.
Proposicion.
La funcion constante X() = c para todo es una v.a.
Proposicion.
Si X y Y son variables aleatorias y c es una constante entonces
cX, X + Y, XY, X/Y con Y = 0 y |X|
son tambien variables aleatorias.
Variable aleatoria
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108/316
Observacion.Recordemos que P es una medida de probabilidad definida sobre elespacio medible (, F). Si X es una v.a. entonces podemostrasladar la medida de probabilidad P al espacio medible (R, B(R))del siguiente modo: Si B
B(R) definimos PX(B) = P(X
1(B)),
lo cual es posible pues X1(B) F. La funcion PX : B(R) [0, 1]resulta ser una medida de probabilidad, y se le llama medida deprobabilidad inducida por la v.a. X . Se le conoce tambien con elnombre de distribucion o ley de probabilidad de X. De este modo
se construye el espacio de probabilidad (R
, B(R
), Px).
Variable aleatoria
Ejemplo.
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109/316
Sea : Lanzamos una moneda tres veces y observamos
= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}
Sea X la v.a.: El numero de aguilas obtenidas.
p(0) = PX(X = 0) = P(X1(0)) = P({SSS}) = 1/8
p(1) = PX(X = 1) = P(X1(1)) = P({ASS, SAS, SSA}) = 3/8
p(2) = PX(X = 2) = P(X1(2)) = P(
{AAS, ASA, SAA
}) = 3/8
p(3) = PX(X = 3) = P(X1(3)) = P({AAA}) = 1/8
v.a.s discretas y sus distribuciones de probabilidad
Definicion.
Una v.a. X es discreta si puede tomar solo una cantidad de valores
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finito o infinito numerable.
v.a.s discretas y sus distribuciones de probabilidad
Definicion.
Una v.a. X es discreta si puede tomar solo una cantidad de valores
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finito o infinito numerable.
Ejemplo.
La probabilidad que X tome el valor x, P(X = x), se define comola suma de las probabilidades de los puntos muestrales de que
tienen asignado el valor x. Se representa a P(X = x) como p(x).p(x) es una funcion, llamada funcion de probabilidad de X ofuncion de masa de probabilidad.
v.a.s discretas y sus distribuciones de probabilidad
Definicion.
Una v.a. X es discreta si puede tomar solo una cantidad de valores
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finito o infinito numerable.
Ejemplo.
La probabilidad que X tome el valor x, P(X = x), se define comola suma de las probabilidades de los puntos muestrales de que
tienen asignado el valor x. Se representa a P(X = x) como p(x).p(x) es una funcion, llamada funcion de probabilidad de X ofuncion de masa de probabilidad.
Observacion.La distribucion de probabilidad para una v.a. X puederepresentarse mediante una formula, una tabla o una grafica, queproporciona p(x) = P(X = x) para toda x.
Distribucion de probabilidad
Ejemplo.
Sea : Lanzamos una moneda tres veces y observamos
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= {AAA, AAS, ASA, SAA, ASS, SAS, SSA, SSS}
X : El numero de aguilas observadas
Tabla: Distribucion de probabilidad
x p(x)
0 1/8 1 3/8
2 3/8 3 1/8
1
Ejemplo.
El supervisor de una planta de manufactura tiene a tres hombres ytres mujeres a su cargo. Debe elegir dos trabajadores para una
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tarea especial. Como no desea actuar con prejuicio en la selecciondel personal, decide elegir dos trabajadores al azar. Si Y es elnumero de mujeres en el grupo elegido, encuentre la distribucionde probabilidad para Y .
Solucion Y puede tomar los valores 0, 1 y 2.
p(0) = P(Y = 0) =
30
32
62
= 1/5
p(1) = P(Y = 1) =3
13
1
62
= 3/5p(2) = P(Y = 2) =
32
30
62
= 1/5
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Tabla: Distribucion de Probabilidad
y p(y)
0 1/51 3/5
2 1/5
Por medio de una formula:
p(y) = 3y
32y6
2 , y = 0, 1, 2
Distribucion de probabilidad
Teorema.
Cualquier distribucion de probabilidades debe satisfacer lo
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q psiguiente:
1 0 p(y) 1 y2
y p(y) = 1. y
Definicion.
Si X es una v.a., entonces la funcion F(x) definida por
F(x) = P[X
x] = (
yx
p(x)) para el caso discreto
es llamada la funcion de distribucion (acumulada) de X.
Definicion.
Si X es una v.a. discreta con funcion de probabilidad p(x).Entonces, el valor esperado de X, E(X), se define como
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E(X) =
x
xp(x)
siempre quex |x|p(x) <
Definicion.
Si X es una v.a. discreta con funcion de probabilidad p(x).Entonces, el valor esperado de X, E(X), se define como
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E(X) =
x
xp(x)
siempre quex |x|p(x) < Definicion.
La varianza de una v.a. X se define como el valor esperado de(X E[X])2. Es decir:
V(X) = E[(X E[X])2
].
La varianza es una medida de la diferencia de los valores de Xrespecto a su esperanza. La cantidad
V(X) es llamada la
desviacion estandar de X .
Funcion de distribucionDefinicion.
Sea X una v.a.. La funcion de distribucion de X (fd) es lafuncion FX : R [0, 1] dada por
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FX(x) := P{X x} x R
Funcion de distribucionDefinicion.
Sea X una v.a.. La funcion de distribucion de X (fd) es lafuncion FX : R [0, 1] dada por
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FX(x) := P{X x} x R
Proposicion.
La FX de una v.a. satisface
(a) Si x < y entonces F(x) F(y)
Funcion de distribucionDefinicion.
Sea X una v.a.. La funcion de distribucion de X (fd) es lafuncion FX : R [0, 1] dada por
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FX(x) := P{X x} x R
Proposicion.
La FX de una v.a. satisface
(a) Si x < y entonces F(x) F(y)(b) FX(+) := lmx(x) = 1 y FX() := lmx(x) = 0
Funcion de distribucionDefinicion.
Sea X una v.a.. La funcion de distribucion de X (fd) es lafuncion FX : R [0, 1] dada por
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FX(x) := P{X x} x R
Proposicion.
La FX de una v.a. satisface
(a) Si x < y entonces F(x) F(y)(b) FX(+) := lmx(x) = 1 y FX() := lmx(x) = 0
(c) FX es continua por la derecha, i.e. siFX(x+) := lmyx+ FX(y), entonces,
FX(x+) = FX(x)
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Definicion.
Cualquier funcion F : R [0, 1] que satisface (a) (c) de arribase dice que es una funcion de distribucion de probabilidad (fdp)
Tipos de v.a.s
Definicion.
Se dice que una v.a. X es discreta si el numero de valores de X esfinito o infinito numerable.
S X d ( ) f d
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Si X es discreta su F(x) es una funcion constante por pedazos(escalonada) y viceversa.
Tipos de v.a.s
Definicion.
Se dice que una v.a. X es discreta si el numero de valores de X esfinito o infinito numerable.
Si X di F ( ) f i d
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Si X es discreta su F(x) es una funcion constante por pedazos(escalonada) y viceversa.
Definicion.
La v.a. X se llama continua si su F(x) es una funcion continua.
Tipos de v.a.s
Definicion.
Se dice que una v.a. X es discreta si el numero de valores de X esfinito o infinito numerable.
Si X di F ( ) f i d
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Si X es discreta su F(x) es una funcion constante por pedazos(escalonada) y viceversa.
Definicion.
La v.a. X se llama continua si su F(x) es una funcion continua.
Definicion.
Se dice que una v.a. X es absolutamente continua si existe unafuncion de Borel f : R R, no-negativa, y tal que
FX(x) =
x
f(y)dy x R
En este caso se dice que f es la densidad de probabilidad de X .
Proposicion.
S FX l f d d X FX ( ) l FX ( )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)
Proposicion.
S FX l f d d X FX ( ) l FX ( )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)
Proposicion.
Sea FX la f d de na a X sea FX ( ) l myx FX ( )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)
Proposicion.
Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) : lmyx FX (y )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P
{y < X
x
}= FX(x)
FX(y)
Proposicion.
Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) := lmyx FX (y )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P
{y < X
x
}= FX(x)
FX(y)
(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)
Proposicion.
Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) := lmyx FX (y )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)
Proposicion.
Sea FX la f d de una v a X y sea FX (x ) := lmyx FX (y )
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Sea FX la f.d. de una v.a. X y sea FX(x) := lmyx FX(y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)(f) P{y X < x} = FX(x) FX(y)
Proposicion.
Sea FX la f d de una v a X y sea FX(x) := lmyx FX(y )
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Sea F la f.d. de una v.a. X y sea F (x) := lmy F (y)(a) P{X > x} = 1 FX(x)(b) P{X < x} = FX(x)(c) P{y < X x} = FX(x) FX(y)(d) P{y X x} = FX(x) FX(y)(e) P{y < X < x} = FX(x) FX(y)(f) P{y X < x} = FX(x) FX(y)(g) P
{X = x
}= FX(x)
FX(x
); por lo tanto, FX es continua
en x ssi P{X = 0} = 0.
Nota:
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Si FX es continua en x, entonces FX(x) = FX(x+) = FX,As si FX es continua en x, (b) P{X < x} = FX(x)Si FX es continua en x e y, entonces (d)
(f) son iguales a
(c)
Ejercicios
Ejemplo.
Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12 Dos pelotas sonl i d l i d l j S X l
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Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonseleccionadas aleatoriamente de la caja. Sea X el numero masgrande de las dos pelotas. Encuentre la densidad de Xsi las bolasson seleccionadas:a)con reemplazo. Grafique esta densidad.
b)sin reemplazo. Grafique esta densidad.
Ejercicios
Ejemplo.
Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonl i d l i d l j S X l
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Una caja tiene 12 pelotas numeradas de 1 a 12. Dos pelotas sonseleccionadas aleatoriamente de la caja. Sea X el numero masgrande de las dos pelotas. Encuentre la densidad de Xsi las bolasson seleccionadas:a)con reemplazo. Grafique esta densidad.
b)sin reemplazo. Grafique esta densidad.
Ejemplo.
Sea X una variable aleatoria tal que P(|X 1| = 2) = 0. ExpreseP(|X 1| 2) en terminos de la funcion de distribucionacumulada FX(x).
Ejercicios
Ejemplo.
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Ejemplo.Sea X una variable aleatoria cuya funcion de distribucionacumulada esta dada por:
F(x) =
0, x
0
x/3, 0 x < 1x/2, 1 x < 21, x 2
Encuentre f(x) y grafique esta funcion.
Ejemplo.
S X i bl l t i ti f i d d id d
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Sea X una variable aleatoria continua cuya funci on de densidadesta dada por
f(x) =1
2
e|x|
< x 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.
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Casos especiales
(a) Si h(x) = xk para algun k > 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.Ademas, en lugar de decir que Xk esta en L1 diremos que
X esta en Lk LK(, F, P).
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Casos especiales
(a) Si h(x) = xk para algun k > 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.Ademas, en lugar de decir que Xk esta en L1 diremos que
X esta en Lk LK(, F, P). Para k = 1, el momento deorden 1 de X coincide con la esperanza de X.
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p
Casos especiales
(a) Si h(x) = xk para algun k > 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.Ademas, en lugar de decir que Xk esta en L1 diremos que
X esta en Lk LK(, F, P). Para k = 1, el momento deorden 1 de X coincide con la esperanza de X.
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(b) Sea mX := EX y sea h(x) := (x mX)k. Entonces,suponiendo que (5) se cumple,
Eh(X) := E(X mX)k
se llama momento central de orden k de la v.a. X.
Casos especiales
(a) Si h(x) = xk para algun k > 0, a la esperanzaEh(X) = E(Xk) se le llama momento de orden k deX.Ademas, en lugar de decir que Xk esta en L1 diremos que
X esta en Lk LK(, F, P). Para k = 1, el momento deorden 1 de X coincide con la esperanza de X.
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(b) Sea mX := EX y sea h(x) := (x mX)k. Entonces,suponiendo que (5) se cumple,
Eh(X) := E(X mX)k
se llama momento central de orden k de la v.a. X.Enparticular, para k = 2 se llama la varianza de X y se denota
por Var(X) o 2
X, es decirVar(X) 2X = E(X mX)2. (6)
La varianza
La varianza de una v.a. es una medida del grado de dispersi on delos diferentes valores tomados por la variable.
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La varianza
La varianza de una v.a. es una medida del grado de dispersi on delos diferentes valores tomados por la variable.
Definicion. (Varianza)
La varianza de una v.a. X, denotada por Var(X), se define como
Var (X ) : E [X EX ]2 E (X )2
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169/316
Var(X) := E[X EX]2 = E(X )2
donde = EX
La varianza
La varianza de una v.a. es una medida del grado de dispersi on delos diferentes valores tomados por la variable.
Definicion. (Varianza)
La varianza de una v.a. X, denotada por Var(X), se define como
Var (X ) := E [X EX ]2 = E (X )2
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Var(X) := E[X EX] = E(X )
donde = EX
En el caso discreto
Var(X) =
x
(x )2f(x)
La varianza
La varianza de una v.a. es una medida del grado de dispersi on delos diferentes valores tomados por la variable.
Definicion. (Varianza)
La varianza de una v.a. X, denotada por Var(X), se define como
Var (X ) := E [X EX ]2 = E (X )2
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Var(X) := E[X EX] = E(X )
donde = EX
En el caso discreto
Var(X) =
x
(x )2f(x)
En el caso continuo
Var(X) =
(x )2f(x)dx
Notacion
La varianza se denota regularmente por el smbolo
2
.A la raz cuadrada positiva de Var(X) se le llama desviacionestandar, y se le denota por
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, y p
Notacion
La varianza se denota regularmente por el smbolo
2
.A la raz cuadrada positiva de Var(X) se le llama desviacionestandar, y se le denota por
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y p
Teorema.
Si X es una v.a., entonces
Var(X) = 2 = E(X )2 = E(X2) 2
Distribucion Poisson
Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usando
Poisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:
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Distribucion Poisson
Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usandoPoisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:
1 El intervalo de tiempo (o la region) se pueden dividir ensubintervalos (subregiones) muy pequenos, de manera que la
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( g ) y p q , qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante
Distribucion Poisson
Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usandoPoisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:
1 El intervalo de tiempo (o la region) se pueden dividir ensubintervalos (subregiones) muy pequenos, de manera que la
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( g ) y p q , qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante
2 El numero de resultados que ocurren en un intervalo o regiones independiente del numero que ocurre en cualquier otrointervalo o region.
Distribucion Poisson
Para encontrar la distribucion de probabilidad del numero desucesos en un intervalo de tiempo o en alguna region, usandoPoisson, necesitamos que se cumplan las siguientes condiciones:
1 El intervalo de tiempo (o la region) se pueden dividir ensubintervalos (subregiones) muy pequenos, de manera que la
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( g ) y p q qprobabilidad de que ocurra mas de un resultado en talintervalo corto o region pequena es insignificante
2 El numero de resultados que ocurren en un intervalo o regiones independiente del numero que ocurre en cualquier otrointervalo o region.
3 La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un
intervalo muy corto o una region muy pequena es proporcionala la longitud del intervalo o region.
Distribucion Poisson
Observacion.
Si es el valor promedio de Y , entonces dividimos un intervalo
(o region) en n subintervalos de modo que en cada uno de ellossolo pueda suceder a lo mas un resultado, entonces cadasubintervalo tendra una probabilidad de p = /n y asi la
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subintervalo tendra una probabilidad de p = /n y asi ladistribucion de probabilidad del numero de sucesos en el intervalode tiempo sigue una distribucion binomial, pero en donde n (elnumero de subintervalos o subregiones) es muy grande, de donde
p(y) = lmn
n
y
py(1 p)ny =
ye
y!
donde p es la probabilidad de que el evento suceda y = np
Distribucion Poisson
Definicion.
La variable aleatoria Y se dice que tiene una distribuci on deprobabilidad Poisson si y solo si
p(y) =ye
y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
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Distribucion Poisson
Definicion.
La variable aleatoria Y se dice que tiene una distribuci on deprobabilidad Poisson si y solo si
p(y) =ye
y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
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Ejemplo.Sea Y Poisson(2). Encuentre
1 P(Y = 4)
2 P(Y 4)3 P(Y < 4)4 P(Y 4|Y 2)
Distribucion Poisson
Definicion.
La variable aleatoria Y se dice que tiene una distribuci on deprobabilidad Poisson si y solo si
p(y) =ye
y!y = 0, 1, 2, . . . , > 0
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181/316
Ejemplo.Sea Y Poisson(2). Encuentre
1 P(Y = 4)
2 P(Y 4)3 P(Y < 4)4 P(Y 4|Y 2)
Sol. 1)0,090, 2)0,143, 3)0,857, 4)0,241
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182/316
Distribucion Poisson
Ejemplo.
Los clientes llegan al mostrador de una tienda departamental de
acuerdo con la distribucion de Poisson con una frecuenciapromedio de siete por hora. En una hora determinada, calcule lasprobabilidades de que:
-
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183/316
1 no lleguen mas de tres clientes
2 por lo menos lleguen dos compradores
3 lleguen exactamente cinco clientes.Sol. 1)0,082, 2)0,930, 3)0,128
Distribucion Poisson
Ejemplo.
Los clientes llegan al mostrador de una tienda departamental de
acuerdo con la distribucion de Poisson con una frecuenciapromedio de siete por hora. En una hora determinada, calcule lasprobabilidades de que:
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184/316
1 no lleguen mas de tres clientes
2 por lo menos lleguen dos compradores
3 lleguen exactamente cinco clientes.Sol. 1)0,082, 2)0,930, 3)0,128
Ejemplo.
Suponga que Y posee una distribucion binomial con n = 20 yp = 0,1. Determine P(Y 3). Aproxime esta probabilidadmediante una Poisson.
Distribucion Poisson
Ejemplo.
Los clientes llegan al mostrador de una tienda departamental de
acuerdo con la distribucion de Poisson con una frecuenciapromedio de siete por hora. En una hora determinada, calcule lasprobabilidades de que:
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185/316
1 no lleguen mas de tres clientes
2 por lo menos lleguen dos compradores
3 lleguen exactamente cinco clientes.Sol. 1)0,082, 2)0,930, 3)0,128
Ejemplo.
Suponga que Y posee una distribucion binomial con n = 20 yp = 0,1. Determine P(Y 3). Aproxime esta probabilidadmediante una Poisson. Sol. Bin. 0,867; Poisson 0,857 Dif. 0,01
Distribucion Poisson
Teorema.
Si Y es una v.a. Poisson con parametro , entonces
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Si Y es una v.a. Poisson con parametro , entonces
= E(Y) = y 2 = Var(Y) =
Tarea:Distribucion Poisson
1 Si X se distribuye Poisson, obtenga las siguientes probabilidades:a)P(X 4); b)P(X 6); c)P(2 < X 6); d)P(X 6|X 3).Con 1) = 0,6 y con 2) = 15.
2 La cantidad de veces que se equivoca una mecanografa tiene una distribucion de Poisson con un promediode cuatro errores por cuartilla; si excede este numero, debe volver a mecanografiar la pagina completa.
Que probabilidad hay de que no necesite repetirla?.3 El numero de defectos Y por pie en la produccion de cierto tipo de cuerda tiene una distribucion de
Poisson con media = 2. La utilidad por pie que se obtienen al venderla esta representada por X, dondeX = 50 2Y Y2. Calcule la utilidad esperada por pie.
4 S ponga q e el nmero de pasajeros q e doc menta s eq ipaje en cierta l nea aerea se p ede modelar
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4 Suponga que el numero de pasajeros que documenta su equipaje en cierta lnea aerea se puede modelarcomo una variable aleatoria Poisson y que en promedio 12 pasajeros por hora documenta su equipaje enesta lnea.1) Obtenga la probabilidad de que entre las 8 a.m. y las 9 a.m. mas de 6 pasajeros documenten su equipaje
en esta lnea, si ya han documentado su equipaje al menos 4.2) Si el costo por hora de documentar equipaje por la lnea aerea esta dado por C = 800 X2 Obtenga elcosto esperado y la varianza del costo.3) PREGUNTA DE OPCION MULTIPLECual es la probabilidad de que entre las 10 a.m. y las 10 : 30 a.m. mas de 3 pasajeros documente suequipaje en esta lnea?
a)0,849 b)0,735 c)0,151 d)Ninguna de las anteriores
5 Suponga que el numero de accidentes fatales de automovil, en cierta zona de la ciudad, obedece unadistribucion de Poisson con un promedio de un accidente por da. Cual es la probabilidad de que haya masde 10 accidentes en una semana?.Sol. 2)0,6288, 3)40, 5)0,0985
Tarea Poisson adicional
1 Use la aproximacion Poisson para calcular:a) La probabilidad de que a lo mas 2 de 50 tengan licencia vencida, si usualmente 5 % de las personastienen vencida su licencia.b) La probabilidad de que una caja de 100 fusibles tengan a lo mas 2 fusibles defectuosos si se sabe que el3 % de los fusibles fabricados sean defectuosos.
2 Si X es una v.a. con distribucion Poisson para la cual P(X = 0) = P(X = 1), cual es el valor de ?.
3 Un vendedor ha encontrado que el numero de artculos de la marca ABC que puede vender en un da esuna v.a. Poisson(4).a) Construya una grafica de la fdp correspondiente,b) Cuantos artculos de la marca ABC debe tener el vendedor para estar 95 % seguro de que tiene lossuficientes artculos para que le duren 5 das?.
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p q
4 Una compana de seguros encontro que el 0,005 % de las personas en un pas, mueren por cierto tipo deaccidente cada ano. Cual es la probabilidad de que la compana tenga que pagar a mas de tres de un totalde 10000 asegurados debido a este accidente en un ano?. Calcule la probabilidad exacta y tambien en
forma aproximada.
5 La deficiencia de celulas rojas en la sangre se puede determinar examinando una muestra de sangre en elmicroscopio. Suponga que en las personas normales una muestra de volumen especfico de sangre contieneen promedio 20 celulas rojas. Cual es la probabilidad de que para una persona normal, una muestra desangre pueda contener menos de 15 celulas rojas?
Sol. 1)a) : X Poisson(2,5); P(X 2) = 0,543813; b) : X Poisson(3); P(X 2) = 0,42312) : = 1
3) : X Poisson(20), P(X x) = 0,95.
4) : X Bin(10000, 0,00005); P(X > 3) = 0,00175083; aprox.X Poisson(1/2); P(X > 3) = 0,00175162
5) : X Poisson(20); P(X < 15) = 0,104864
Tarea: de todo un poco
1 Se formo un jurado de seis personas de un grupo de 20 posibles miembros, de los cuales 8 eran mujeres y12 eran hombres. El jurado se selecciono aleatoriamente, pero solo contena a una mujer. Tiene ustedalgun motivo para dudar de la aleatoriedad en la selecci on?.
2 El Centro de Computo de una Universidad muy reconocida tiene 300 pcs para el uso diario de losestudiantes. La probabilidad de que alguna pc requiera servicio un determinado da es 0,015. Cual es la
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probabilidad de que en un daa) a lo mas dos terminales requieran servicio? b) por lo menos cinco terminales requieran servicio? c) tresrequieran servicio?Para cada uno de los incisos anteriores obtenga la probalidad en forma exacta y tambien en formaaproximada
Sol.1) : P(Unamujer) =
81
125
206
= 0,1634
Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
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Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
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Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
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Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
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4 La v.a. geometrica es el numero del ensayo en que ocurre elprimer exito. Y : 1, 2, 3, . . .
Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
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4 La v.a. geometrica es el numero del ensayo en que ocurre elprimer exito. Y : 1, 2, 3, . . .
p(y) = P(Y = y) = P(FF . . . FE) = q q. . . qp = qy1p
Distribucion Geometrica
Definicion.
Un experimento es geometrico si tiene
1 Ensayos identicos e independientes
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados:exito (E) ofrcaso (F).
3 P(E) = p; P(F) = 1 p = q
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4 La v.a. geometrica es el numero del ensayo en que ocurre elprimer exito. Y : 1, 2, 3, . . .
p(y) = P(Y = y) = P(FF . . . FE) = q q. . . qp = qy1pDefinicion.
Una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidad geometrica ssi
p(y) = qy1p, y = 1, 2, 3, . . . , 0 p 1
En al unos textos utilizan = y = 0 1 2 . . .
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Distribucion Geometrica
Teorema.
Si Y es una v.a. con distribucion geometrica,
E(Y) =1
py V(Y) =
1 pp2
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Distribucion Geometrica
Teorema.
Si Y es una v.a. con distribucion geometrica,
E(Y) =1
py V(Y) =
1 pp2
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Ejemplo.Si la probabilidad de que un motor falle en el intervalo de una horaes de p= 0,02, y si Y denota el numero de intervalos quetranscurren hasta la primera falla, encuentre la media, la varianza ydesviacion estandar de Y .
Distribucion Geometrica
Teorema.
Si Y es una v.a. con distribucion geometrica,
E(Y) =1
py V(Y) =
1 pp2
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Ejemplo.Si la probabilidad de que un motor falle en el intervalo de una horaes de p= 0,02, y si Y denota el numero de intervalos quetranscurren hasta la primera falla, encuentre la media, la varianza ydesviacion estandar de Y .
E(Y) = 50,V(Y) = 2450, = 49,497
Tarea: Distribucion geometrica
1 Suponga que x Geo(p). Encuentre la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.a) {X > 3}; b){4 < X 7} {X > 9}; c){3 X 5} {4 X 10};d) {X > 7} si se sabeque {X > 4}.1. si p = 0,8 y 2. si P = 0,3Sol. 1a)0,0016, 1b)0,0003971, 1c)0,00953, 1d)0,008; 2a)0,2401, 2b)0,13866, 2c)0,44567, 2d)0,343
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2 Sea Y una v.a. geometrica con una probabilidad de exito p. a) Demuestre que para un entero positivo a,P(Y > a) = qa. b) Demuestre que para los enteros positivos a y b,
P(Y > a + b|Y > a) = qb
= P(Y > b). A este resultado se le conoce como perdida de memoria de ladistribucion geometrica
La Binomial Negativa
La distribucion binomial negativa surge de un contexto semejante
al que conduce a la distribucion geometrica.1 Se tienen ensayos identicos e independientes,
2 Cada ensayo tiene uno de dos posibles resultados: Exito o
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Fracaso,
3 P(E) = p y P(F) = 1 p := q en cada ensayo,4 La variable aleatoria de interes Y, es el numero del ensayo en
que ocurre el r-esimo exito.
Sean
A = {los primeros (y 1) ensayos contienen (r 1) exitos} y
B = {el ensayo y da como resultado un exito}
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Sean
A = {los primeros (y 1) ensayos contienen (r 1) exitos} y
B = {el ensayo y da como resultado un exito}
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P(Y = y) = P(A
B) = P(A)
P(B)
=
y 1r 1
pr1qyr p
=
y 1r 1
prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . .
Sean
A = {los primeros (y 1) ensayos contienen (r 1) exitos} y
B = {el ensayo y da como resultado un exito}
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P(Y = y) = P(A
B) = P(A)
P(B)
=
y 1r 1
pr1qyr p
=
y 1r 1
prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . .
Nota: P(A) = 0 si (y 1) < (r 1) o si y < r.
Definicion.
Se dice que una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidadbinomial negativa si y solo si
p(y) =
y 1r 1
prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
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Definicion.
Se dice que una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidadbinomial negativa si y solo si
p(y) =
y 1r 1
prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
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Ejemplo.Un estudio geologico indica que una perforacion de prueba paralocalizar petroleo en una determinada region encuentra este conuna probabilidad de 0,2. Encuentre la probabilidad que lo
encuentre por tercera vez al perforar el quinto pozo.
Definicion.
Se dice que una v.a. Y tiene una distribucion de probabilidadbinomial negativa si y solo si
p(y) =
y 1r 1
prqyr, y = r, r + 1, r + 2, . . . , 0 p 1.
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Ejemplo.Un estudio geologico indica que una perforacion de prueba paralocalizar petroleo en una determinada region encuentra este conuna probabilidad de 0,2. Encuentre la probabilidad que lo
encuentre por tercera vez al perforar el quinto pozo.Sol. P(Y = 5) =
42
(0,2)3(0,8)2 = 0,0307
Teorema.
Si Y es una v.a. con distribucion binomial negativa.
E(Y) =r
p
y V(Y) =r(1 p)
p2
Ejemplo.
U l d b b d d % d i
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Un gran almacen de bombas usadas resguarda 20 % de maquinas
descompuestas. Se enva al deposito a una tecnica enmantenimiento con tres juegos de refacciones. Ella eligealeatoriamente las bombas, las prueba de una en una, y vaseparando las que funcionan. Cuando encuentra alguna que nofunciona, las repara con uno de sus juegos de refacciones. Suponga
que tarda 10 minutos en probar que funciona y 30 minutos enprobar y reparar una bomba averiada. Encuentre la media y lavarianza del tiempo que le toma a la tecnica utilizar sus tres juegosde refacciones.
Solucion: Si Y es el numero de ensayo en que se detecta la
tercera bomba descompuesta, entonces Y BN(0,2). Por lo tantoE(Y) = 3/0,2 = 15 y V(Y) = 3(0,8)/(0,2)2 = 60.
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Solucion: Si Y es el numero de ensayo en que se detecta la
tercera bomba descompuesta, entonces Y BN(0,2). Por lo tantoE(Y) = 3/0,2 = 15 y V(Y) = 3(0,8)/(0,2)2 = 60. Como parareparar cada bomba se requieren otros 20 min. , el tiempo totalnecesario para emplear los tres juegos de refacciones es
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p p j g
T = 10Y + 3(20)
y E(T) = 210 y V(Y) = 6000.
Tarea: Binomial Negativa
1 Suponga que el 10 % de los motores armados en una l nea de montaje estan defectuosos. Si se seleccionaen forma aleatoria uno por uno y se prueba, que probabilidad hay de localizar el primer motor que nocontiene defecto en el segundo ensayo?.
2 Remtase al ejercicio 1. Encuentre la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto: a) en el quintoensayo; c) en el quinto ensayo o antes.
3 Remtase al ejecicio 1. Encuentre la media y la varianza del numero del ensayo en el que se localiza: a) el
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3 e tase a ejec c o cue t e a ed a y a a a a de u e o de e sayo e e que se oca a a) eprimer motor sin defecto; b) el tercer motor que no tiene defecto.
Sol. 1. p(2) =
10
(0,9)(0,1) = 0,09; 2a)P(5) =
42
(0,9)3(0,1)2 = 0,04374; 2b)p(3) + p(4) + p(5) = 0,99144
3a)E(Y) = 1,11,V(Y) = 0,1234; 3b)E(Y) = 3,33,V(Y) = 0,37
Momentos y funciones generadoras de momentos
Definicion.
El k -esimo momento de una v.a. Y respecto al origen se define
como E(Yk) y se denota mediante k.
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Momentos y funciones generadoras de momentos
Definicion.
El k -esimo momento de una v.a. Y respecto al origen se define
como E(Yk) y se denota mediante k.
Observacion.
En particular E (Y ) = = y E (Y 2) =
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En particular E(Y) = 1 = y E(Y ) = 2.
Momentos y funciones generadoras de momentos
Definicion.
El k -esimo momento de una v.a. Y respecto al origen se define
como E(Yk) y se denota mediante k.
Observacion.
En particular E (Y ) = 1 = y E (Y2) = 2
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En particular E(Y) = 1 = y E(Y ) = 2.
Definicion.
El k -esimo momento de una v.a. Y respecto a la media, o elk-esimo momento central de Y , se define como E[(Y )k] y sedenota k.
fgm
Definicion.
La funcion generadora de momentos m(t) para una v.a. Y sedefine como m(t) = E(etY). Decimos que existe una funciongeneradora de momentos para Y si hay una constante positiva btal que m(t) es finita para |t| b.
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fgm
Teorema.
Si existe m(t), entonces, para cualquier entero positivo k,
d
k
m(t)dt
t=0= m(k)(0) = k.
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fgm
Teorema.
Si existe m(t), entonces, para cualquier entero positivo k,
d
k
m(t)dt
t=0= m(k)(0) = k.
Ejemplo.
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j
Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poisson y media
fgm
Teorema.
Si existe m(t), entonces, para cualquier entero positivo k,
dkm(t)
dt
t=0 = m(k)(0) = k.
Ejemplo.
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Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poisson y media m(t) = e(e
t1)
fgm
Teorema.
Si existe m(t), entonces, para cualquier entero positivo k,
dkm(t)
dt
t=0 = m(k)(0) = k.
Ejemplo.
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Encuentre la funcion generadora de momentos para una v.a. condistribucion Poi
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