investigando: la cinta de mÖbius la sala de matemática presenta:

Investigando:Investigando:

LA CINTA LA CINTA DE MÖBIUSDE MÖBIUS

La Sala de Matemática La Sala de Matemática presenta:presenta:

Para investigar ésta Para investigar ésta cinta, vamos a cinta, vamos a compararla con una compararla con una cinta común y para cinta común y para realizar dicha realizar dicha comparación debemos comparación debemos construirlas.construirlas.

Manos a la Manos a la obra!!!obra!!!

MATERIALESMATERIALES** 2 Cintas de papel 2 Cintas de papel** Fibras de colores Fibras de colores

** Cascola Cascola** Tijera Tijera

CINTA COMÚNCINTA COMÚN1) Se recorta una tira de papel1) Se recorta una tira de papel

2) se unen los extremos 2) se unen los extremos formando un cinturón formando un cinturón

CINTA DE CINTA DE MÖBIUSMÖBIUS1. Se recorta una tira rectangular

de papel.

2. Uno de los extremos se gira 180º

3. Los extremos libres se pegan.

Comencemos a Comencemos a investigar !investigar !

Vamos a colorear la Vamos a colorear la cara cara exteriorexterior de la de la cinta comúncinta común con un color y luego con con un color y luego con otro color la otro color la cara interiorcara interior..

Ahora con la Ahora con la cinta de Möbiuscinta de Möbius

¿Descubrimos ¿Descubrimos algo?algo?

¿Que ¿Que observamos?observamos?

TIENE UNA SOLA CARATIENE UNA SOLA CARA

Si se colorea la superficie de una cinta de Si se colorea la superficie de una cinta de

Möbius, comenzando por la Möbius, comenzando por la

"aparentemente" cara exterior, al final "aparentemente" cara exterior, al final

queda coloreada toda la cinta, por tanto, queda coloreada toda la cinta, por tanto,

sólo tiene una cara y no tiene sentido sólo tiene una cara y no tiene sentido

hablar de cara interior y cara exteriorhablar de cara interior y cara exterior

SIGAMOS...SIGAMOS...Con el dedo vamos a recorrer los Con el dedo vamos a recorrer los

bordes de la bordes de la cinta comúncinta común..

SugerenciaSugerencia: hacer una marquita donde : hacer una marquita donde comenzaron para saber cuando termina el comenzaron para saber cuando termina el recorrido.recorrido.

Ahora lo mismo con la Ahora lo mismo con la cinta de Möbiuscinta de Möbius

¿Y ahora que ¿Y ahora que pasó?pasó?

La cinta de Möbius tiene un solo La cinta de Möbius tiene un solo borde.borde.

Siguiendo el borde con un dedo, se alcanza Siguiendo el borde con un dedo, se alcanza el punto de partida habiendo recorrido el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.borde.

Apronten las tijeras !Apronten las tijeras !Ahora vamos a cortar por el medio la Ahora vamos a cortar por el medio la

cinta comúncinta común

Y por último cortaremos la Y por último cortaremos la cinta de möbiuscinta de möbius

Al cortar la Al cortar la cinta comúncinta común al al medio obtenemos dos cintas.medio obtenemos dos cintas.

Y al cortar la Y al cortar la cinta de möbiuscinta de möbius......

Charaaaaaaaan MAGIAAAA!Charaaaaaaaan MAGIAAAA!

Una cinta sola mas larga y con Una cinta sola mas larga y con dos girosdos giros

Esta superficie fue descubierta Esta superficie fue descubierta

por un matemático y astrónomo por un matemático y astrónomo

alemán, August Fernand Möbius, alemán, August Fernand Möbius,

en 1858 en 1858

MöbiusMöbius

La banda de Möbius tiene una sola cara La banda de Möbius tiene una sola cara

o un solo lado, y también, un solo borde. o un solo lado, y también, un solo borde.

No hay ni adentro ni afuera, ni arriba ni abajo.No hay ni adentro ni afuera, ni arriba ni abajo.

Para los matemáticos, pertenece a las llamadas Para los matemáticos, pertenece a las llamadas

superficies no-orientables.superficies no-orientables.

APLICACIONESAPLICACIONES En algunos aeropuertos ya hay bandas En algunos aeropuertos ya hay bandas

de Möbius para las cintas que transportan de Möbius para las cintas que transportan

los equipajes o la carga. este tipo de los equipajes o la carga. este tipo de

cintas tiene una vida que duplica las cintas tiene una vida que duplica las

comunes. comunes.

Grandes empresas de transporte de Grandes empresas de transporte de

carga y de correos las usan también.carga y de correos las usan también.

Los casete de audio, de los que se usan en Los casete de audio, de los que se usan en los grabadores comunes pero que entran en los grabadores comunes pero que entran en una especie de loop o lazo, la cinta está una especie de loop o lazo, la cinta está enrollada como una cinta de Möbius. enrollada como una cinta de Möbius.

En ellos, se puede grabar de los “dos lados”, En ellos, se puede grabar de los “dos lados”, y el aprovechamiento mayor de su capacidad y el aprovechamiento mayor de su capacidad es obvio es obvio

Hay ciertas impresoras que funcionan a Hay ciertas impresoras que funcionan a tinta o las viejas máquinas de escribir que tinta o las viejas máquinas de escribir que tienen enrollada la cinta que va dentro del tienen enrollada la cinta que va dentro del cartucho formando una banda de Möbius. cartucho formando una banda de Möbius.

De esta forma, igual que en los ejemplos De esta forma, igual que en los ejemplos anteriores la vida útil se duplica anteriores la vida útil se duplica

Elizabeth Zimmerman diseñó unas Elizabeth Zimmerman diseñó unas bufandas aprovechando las cintas bufandas aprovechando las cintas de Moebius e hizo una fortuna con de Moebius e hizo una fortuna con sus tejidos.sus tejidos.

La empresa estadounidense, Landscape La empresa estadounidense, Landscape

Structures, propone unos toboganes basados Structures, propone unos toboganes basados

en la cinta de Möbius. Su fabricante defiende en la cinta de Möbius. Su fabricante defiende

que les ayuda a los niños a mejorar la que les ayuda a los niños a mejorar la

coordinación, la capacidad de decisión y coordinación, la capacidad de decisión y

reacción, su coordinación óculo-manual y lo reacción, su coordinación óculo-manual y lo

que es más importante, su imaginación, ya que que es más importante, su imaginación, ya que

permiten muchas más opciones que los típicos permiten muchas más opciones que los típicos

toboganes. toboganes.

Podemos también encontrar cintas de Podemos también encontrar cintas de Möbius en la construcción de montañas Möbius en la construcción de montañas rusasrusas

El símbolo internacional de Reciclaje es una banda de Möbius

Hasta a alguien se le ocurrió Hasta a alguien se le ocurrió hacerla Torta!!hacerla Torta!!

En el arte, un candidato natural a usar las En el arte, un candidato natural a usar las bandas de Möbius era M.C. Escher, En bandas de Möbius era M.C. Escher, En muchas de sus litografías aparece. muchas de sus litografías aparece.

En el libro “Prosa del observatorio” (1972) de Julio Cortazar, lEn el libro “Prosa del observatorio” (1972) de Julio Cortazar, la

banda de Möbius parece iconizar el concepto de paradoja

Encontramos también una novela bastante reciente

(08/11/2007 )de Manuel Talens “La cinta de Moebius”

LITERATURA

CINECINE

La película Moebius realizada en La película Moebius realizada en Argentina, que se estrenó el 17 de octubre Argentina, que se estrenó el 17 de octubre de 1996.de 1996.

Dicha película hace referencia a la teoría de la cinta que lleva el mismo nombre, aplicada a una supuesta red de subterráneos de la Ciudad de Buenos Aires ampliada.

ESCULTURA

Cinta sin fin – Max Bill (1908-1994)

Coloso de Francfurt

John Robinson - Eternidad. John Robinson - Eternidad.

Infinito de José de RiveraInfinito de José de Rivera

ARQUITECTURALa misma inspiración de la cinta de Möbius se encuentra en proyectos y realizaciones arquitectónicas como el edificio Max Reinhardt Haus, de Peter Eisenman,

Möbius House Het Gooi, de Ben Van Berkel.

Un siglo antes de que su paisano, el matemáticoA.F. Möbius descubriera la cinta de Möbius, Johan Sebastian Bach regalaba a la historia la “Ofrenda musical” (1747) y, en concreto, del denominado ‘Canon del Cangrejo‘, una pieza increíble de apenas unos compases que acaba donde empieza y puede ser interpretada en ambas direcciones y, además, superponerse, creando un acompañamiento y un conjunto armónico-melódico sin fin.

Que lo disfruten !!!

MÚSICA

F N

Muchas Gracias!!