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Introducción matemáticaa la tomograf́ıa
J. Héctor Morales Bárcenasmoralesjh@cimat.mx
Grupo de Matemáticas Aplicadas
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julioCIMAT - Guanajuato
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Tomograf́ıa [1/116]
Objetivo
Mostrar de forma simple un procedimiento
matemático que se emplea en la reconstrucción
de imágenes tomográficas en diversos sistemas.
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Tomograf́ıa [2/116]
Temario
I. Introducción: Los problemas inversos y los métodos no invasivos.
II. La tomograf́ıa proyectiva y el teorema de la rebanada.
III. La transformada de Fourier y la transformada de Radon.
IV. La transformada inversa de Radon.
V. Ejemplos numéricos.
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Tomograf́ıa [3/116]
I. IntroducciónLos problemas inversos
y los métodos no invasivos
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Tomograf́ıa [4/116]
Sismoloǵıa (ondas mecánicas)80 M.P. Lamoureux and G.F. Margrave
Fig. 1 Seismic wave experiment
∂2ϕ
∂x2+
∂2ϕ
∂y2+
∂2ϕ
∂z2=
1c2
∂2ϕ
∂t2,
where ϕ(x, y, z, t) is the wave function and c = c(x, y, z) is the (non-constant)speed of propagation of the seismic wave. Numerical calculations based onthis equation are key to recovering an image of the subsurface.
In practice, real seismic experiments are performed by exploding dynamiteon the surface (or near surface) of the earth, and recording the vibrationsproduced by the explosive energy using sensitive geophones. The signals ofinterest are those acoustic waves that have propagated down to some inter-esting geological formation and been reflected back to the surface. Figure 1shows a simplified seismic setup, with instruments placed on the surface ofthe earth, and seismic energy traveling along raypaths within the earth. Thegeophones are typically placed at the surface of the earth,1 and are sensitiveenough to record vibrations that have traveled from the dynamite source,down five kilometers or more through rock, and return the same distanceback to the surface. Hundreds of geophones are monitored and the signaldata collected from them are recorded in a computer; dozens of dynamiteblasts are recorded, exploded at different locations, and independently at dif-ferent times. This recorded data is then processed to create an image of thesubsurface, and is often used in the search for hydrocarbons (oil and gas).
In marine seismic imaging, the experiments take place at sea rather thanon land. Typically, thousands of hydrophones attached to floating cables aretowed behind a ship traveling back and forth across a target area. A signal
1 In Vertical Seismic Profiling, or VSP, the geophones may be placed deep within the earth,usually down the borehole of an oilwell.
An Introduction to Numerical Methods of Pseudodifferential Operators 81
Fig. 2 Data collected from a seismic experiment. Reflectors are the images of interest
is initiated by setting off an air gun at the ocean surface, which starts anacoustic wave traveling down through the water and into the ocean floor,which then propagates through the rock in the form of a seismic wave. En-ergy that is reflected back travels through rock, then water, and then to thehydrophones where the data is recorded. It is also possible to use an OceanBottom Cable (OBC), where a string of geophones is actually placed on theocean floor and data recorded directly from the ocean bottom. This is a muchmore expensive setup. In either case, a given marine survey may collect dataover several days, covering dozens of square kilometers of territory. A hugeamount of data can be collected in one ocean survey, often amounting toterabytes of computer files.
The raw data contains much information, and much noise. In Fig. 2, wehave organized the time series data from a sequence of geophones placed ina line, so that a useful raw image appears. The first breaks and ground rollare due to surface propagation of seismic energy, and are considered noise.The hyperbolas represent reflections from interesting geological structures,and contain the information of a true image of the subsurface. Many of thedevelopments in seismic data processing are techniques in signal processingand include steps to remove noise due to first breaks and ground roll (muting,f–k filtering), to straighten the hyperbolas into proper reflectors (migration),and to sharpen the image (deconvolution), among others.
Thus, this problem combines aspects of physical modeling via PDEs, andsignal processing. Time–frequency analysis, and in particular pseudodifferen-tial operators, are well-suited for combining these approaches.
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Tomograf́ıa [5/116]
Radioloǵıa (rayos X)Chapter 10. Tomographic Evaluation ofc Materials of254
serts (Permision Commissariat à l’Energie Atomique, CEA/DAMRI, Clefs Cea, N° 34 Hiver 1996-1997. La radioactivité)
In different techniques used in applications, the mathematical method of solution for data inversion is the same, namely Radon s transform and its inverse.
10.2 X-rays tomography
The principle of X-ray tomography is based on Radon’s transform R.When a ray L passes through the body, its global attenuation m along the ray L can be measured experimentally. It is equal to the sum of unknown local attenuation density µ(x) along the ray L
Figure 10.2: The Aphrodite statue of the Louvre Museum revealing metallic in-
,
However, less than one year later, Wilhelm Roentgen succeeded increating the first image of an X-rayed hand and demonstrated thathuman tissues behave differently depending on their density. Thisfirst radiography of Mrs Roentgen’s hand, dating from 1896,became famous and opened the way for a new discipline of medi-cine, radiology. The recognition of the value and advantages of thistechnology was such that special radiology services were createdwithin five years, and military medicine services in particular devel-oped mobile imaging services.
The atom model, with its nucleus made of protons and neutronsaround which electrons are gravitating, was proposed by ErnestRutherford (1871-1937; 1908 Chemistry Nobel Prize winner) in1911. This model was improved by Niels Bohr (1885-1962; 1922Physics Nobel Prize winner) in 1913. The concept of isotope wasintroduced by Frederick Soddy (1877-1956; 1921 ChemistryNobel Prize winner) only in 1913.
26 NUCLEAR MEDICINE
Figure 2. Radiography of Mrs Roentgen’s hand, taken in 1896.
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Tomograf́ıa [6/116]
Estructura molecular de los ácidos nucléicos: 1953
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Tomograf́ıa [7/116]
Radar (ondas electromagnéticas)Radar inverse scattering R3
Figure 1. A generic radar detection system.
and locating radar targets1. Active radar systems accomplish these tasks by transmitting anelectromagnetic waveform and measuring the reflected field as a time-varying voltage in theradar receiver. If R denotes the distance from the transmitter to the target, then the radiationcondition guarantees that the energy in the transmitted field will decay as R−2 when R issufficiently large (this is the usual case). The energy reflected by the target will also obey thisradiation condition and so, in monostatic radar configurations (in which the radar transmitterand receiver are co-located), the energy collected by the receiver will be reduced from thattransmitted by a factor of R−4. In practice, this received energy is quite small, and when thetarget is far away the measured signal competes for attention with the thermal noise voltage ofthe radar system itself. Accurately separating the wanted signal from the unwanted noise is animpressive engineering feat and it is not surprising that a fair amount of device-specific jargonhas evolved over the years. This section will briefly explain the methods employed.
Figure 1 shows the main elements of a generic (and greatly simplified) radar measurementsystem (cf [11, 82, 96, 127], and references cited therein). An incident time-varying signalsinc(t) is mixed with a carrier signal with (angular) frequency ω0 chosen to conform withfavourable properties of the transmission medium (typically, atmospheric windows are soughtfor which free space parameters are good approximations). This mixed signal is used to excitecurrents on an antenna that cause an electromagnetic waveform to be launched toward thetarget. (This antenna is rarely an isotropic radiator: it is usually designed to have some degreeof directionality (gain), and this directionality can also be used to estimate target bearing.) Thewaveform is reflected from the target and the reciprocal situation occurs in the receiver: thereflected field induces antenna currents; the signal voltage is mixed with a conjugate carrier toremove (beat down) the carrier frequency dependence; and the time-varying voltage srec(t) isoutput to a signal processor. Note that, while high frequencies dominate the target scatteringphysics (ω0 is typically 1–35 GHz), the signal processing block usually sees much lowerfrequencies (ω ! 0.1ω0).
2.1. I and Q signals
The system signals are real-valued voltages and are often expressed in terms of circularfunctions p(t) = a(t) cos φ(t) so that the concepts of amplitude and phase may beintroduced. It is convenient, however, to consider the signals to be complex-valued, withs(t) = 12 (p(t) + iq(t)) for some q(t). Of course, the choice of q(t) is not unique and,1 A radar target is any object of interest illuminated by the radar. In contrast, radar clutter is composed of collateraland undesired illuminated objects.
R14 B Borden
Figure 4. Example ISAR image. The image is the |ρ(t, ν)|2 of a Boeing 727 jetliner withorientation as in the inset. The radar centre frequency and bandwidth were 9.25 GHz and 500 MHz,respectively. Compare this figure with the range profile of figure 3.
of the library are called templates: τn ∈ LN where n indexes the N known targets in the library.In the case of range profile images the templates are functions of the range variable t and areparametrized by θ .
Let ρ̂(t) denote a range profile measured using an HRR radar. There are many ways tocompare ρ̂(t) with τn(t; θ), but one of the most common is based on the maximum correlationcoefficient
C(n, θ) = maxt∈R
∫
Rρ̂(t ′) τn(t ′ + t; θ) dt ′. (28)
Template correlation methods compute C(n, θ) for each n = 1, . . . , N and each θ =θ1, . . . , θM . Target type and orientation are then estimated as
n, θ = arg maxn′=1,...,N
θ ′=θ1,...,θM
{
C(n′, θ ′)}
. (29)
The search over the M target orientations is required because it is impossible to divinetarget aspect from ρ̂(t) (and it must be implicitly understood that θ generally refers to anordered pair of spherical angles). Typical libraries are set up with N ≈ 25 ‘targets of interest’.But, as we shall see below, there is little freedom in the choice of M .
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Tomograf́ıa [8/116]
Radioastronoḿıa (ondas electromagnéticas)
Figura 1: (a) Radio, (b) Infra-rojo, (c) Visible y (d) Rayos X
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Tomograf́ıa [9/116]
Radioastronoḿıa
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Tomograf́ıa [10/116]
Acústica de inversión temporal (sonido)
medical imaging, where one wishes to send the ultrasoundthrough fat, bone and muscle to targets such as tumors orkidney stones. Pulse-echo detection with a TRM can cir-cumvent this problem.
Pulse-Echo Detection
First, one part of the array sends a brief pulse out throughthe distorting medium to illuminate the region of inter-est. Next, the wave that is reflected back to the array by atarget is recorded, time-reversed and reemitted. The time-re-versal process ensures that this reversed wave focuses on thetarget despite all the distortions of the medium.
When the region contains only one target, this self-focus-ing technique is highly effective. If there are several targets,
the problem is more complicated, but a single target can beselected by repeating the procedure. Consider the simplestmultitarget case, in which the medium contains two targets,one more reflective than the other. The echoes produced bythe initial pulse will have a somewhat stronger componentfrom the brighter target than from the weaker one. There-fore, the first time-reversed signal will focus a wave on eachtarget but with a more powerful wave on the brighter tar-get. The echoes from these waves will have an even greaterbias toward the brighter target, and after a few more itera-tions one will have a signal that focuses primarily on thattarget. More complex techniques let one select the weakerreflectors.
Among the medical applications of pulse-echo TRM, theclosest to fruition is the destruction of stones in kidneys and
96 Scientific American November 1999 Time-Reversed Acoustics
KIDNEY STONES can be targeted and broken up with ultra-sound by using the self-focusing property of a time-reversal mir-ror. An ultrasonic pulse emitted by one part of the array (a) pro-duces a distorted echo from the stone (b). A powerful time-reverse
of this echo passes through intervening tissues and organs, fo-cuses back on the stone (c) and breaks it up. Iterating the proce-dure improves the focus and allows real-time tracking as thestone moves because of the patient’s breathing.
ULTRASONIC PULSE ECHO FROM STONE TIME-REVERSED WAVE
CONTROL SYSTEM
RUBBER MEMBRANE
TRANSDUCER ARRAY
TIME-REVERSAL MIRROR
CYLINDRICAL TUB OF WATER
KIDNEY STONE
TRANSDUCERARRAY
PULSE OF ULTRASOUND
SOUND REFLECTEDFROM KIDNEY
STONE
HIGH-POWERTIME-REVERSEDPULSE
ALF
RED
T.K
AM
AJI
AN
a b c
Copyright 1999 Scientific American, Inc.
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Tomograf́ıa [11/116]
Emisión tomográfica (de positrones)72 NUCLEAR MEDICINE
PET imaging process
Production of the radioactive isotope
Injection of the tracer and data acquisition
Data processing Image/Interpretation
Incorporation in a molecule
Figure 8. As a consequence of the short half-life of Fluorine 18, PET imaging requires afour-step process that has to be performed in the shortest possible time: manufacturing ofFluorine 18 in a cyclotron (1); synthesis of the FDG molecule in a radiopharmacy unit (2);transportation of the doses to the imaging centre; injection to the patient and acquisitionof the image with a PET camera (3). The last step, which consists in processing data andinterpreting the final images (4), is obviously independent from the previous steps.
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Tomograf́ıa [12/116]
Resonancia magnética (emisión en ondas de radio)
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Tomograf́ıa [13/116]
Premio Nobel de f́ısica de 1979
EARLY TWO-DIMENSIONALRECONSTRUCTIONANDRECENT TOPICS STEMMING FROM IT
Nobel Lecture, 8 December, 1979
byALLAN M . CORMACKPhysics Department, Tufts University, Medford, Mass., U.S.A.
In 1955 I was a Lecturer in Physics at the University of Cape Town whenthe Hospital Physicist at the Groote Schuur Hospital resigned. SouthAfrican law required that a properly qualified physicist supervise the useof any radioactive isotopes, and since I was the only nuclear physicist in
Cape Town, I was asked to spend 1 1 / 2 days a week at the hospitalattending to the use of isotopes, and I did so for the first half of 1956. I wasplaced in the Radiology Department under Dr. J. Muir Grieve, and in thecourse of my work I observed the planning of radiotherapy treatments. Agirl would superpose isodose charts and come up with isodose contourswhich the physician would then examine and adjust, and the processwould be repeated until a satisfactory dose-distribution was found. Theisodose charts were for homogeneous materials, and it occurred to me thatsince the human body is quite inhomogeneous these results would be quitedistorted by the inhomogeneities - a fact that physicians were, of course,well aware of. It occurred to me that in order to improve treatmentplanning one had to know the distribution of the attenuation coefficient oftissues in the body, and that this distribution had to be found by measure-ments made external to the body. It soon occurred to me that this informa-tion would be useful for diagnostic purposes and would constitute atomogram or ser ies of tomograms , though I did not learn the word“tomogram” for many years.
At that time the exponential attenuation of X- and gamma-rays had beenknown and used for over sixty years with parallel sided homogeneous slabsof material. I assumed that the generalization to inhomogeneous materialshad been made in those sixty years, but a search of the pertinent literaturedid not reveal that it had been done, so I was forced to look at the problemab initio. It was immediately evident that the problem was a mathematicalone which can be seen from Fig. 1. If a fine beam of gamma-rays ofintensity I, is incident on the body and the emerging intensity is I, then themeasurable quantity g = In(I0/ I) = SLfds, where f is the variable absorp-
tion coefficient along the line L. Hence if f is a function in two dimensions,and g is known for all lines intersecting the body, the question is: “Can f bedetermined if g is known ?“. Again this seemed like a problem which would
55 I
COMPUTED MEDICAL IMAGING
Nobel Lecture, 8 December, 1979
BYGODFREY N . HOUNSFIELDThe Medical Systems Department of Central Research Laboratories EMI,London, England
In preparing this paper I realised that I would be speaking to a generalaudience and have therefore included a description of computed tomo-graphy (CT) and some of my early experiments that led up to the develop-ment of the new technique. I have concluded with an overall picture of theCT scene and of projected developments in both CT and other types ofsystems, such as Nuclear Magnetic Resonance (NMR).
Although it is barely 8 years since the first brain scanner was construct-ed, computed tomography is now relatively widely used and has beenextensively demonstrated. At the present time this new system is operatingin some 1000 hospitals throughout the world. The technique has succesful-ly overcome many of the limitations which are inherent in conventional X-ray technology.
When we consider the capabilities of conventional X-ray methods, threemain limitations become obvious. Firstly, it is impossible to display withinthe framework of a two-dimensional X-ray picture all the informationcontained in the three-dimensional scene under view. Objects situated indepth, i. e. in the third dimension, superimpose, causing confusion to theviewer.
Secondly, conventional X-rays cannot distinguish between soft tissues. Ingeneral, a radiogram differentiates only between bone and air, as in thelungs. Variations in soft tissues such as the liver and pancreas are notdiscernible at all and certain other organs may be rendered visible onlythrough the use of radio-opaque dyes.
Thirdly, when conventional X-ray methods are used, it is not possible tomeasure in a quantitative way the separate densities of the individualsubstances through which the X-ray has passed. The radiogram recordsthe mean absorption by all the various tissues which the X-ray has penetrat-ed. This is of little use for quantitative measurement.
Computed tomography, on the other hand, measures the attenuation ofX-ray beams passing through sections of the body from hundreds ofdifferent angles, and then , from the evidence of these measurements, a
computer is able to reconstruct pictures of the body’s interior.Pictures are based on the separate examination of a series of contiguous
cross sections, as though we looked at the body separated into a series ofthin “slices”. By doing so, we virtually obtain total three-dimensional infor-
mation about the body.
568
HOLOGRAPHY, 1948-1971
Nobel Lecture, December 11, 1971
by
D E NN I S G A B O R
Imperial Colleges of Science and Technology, London
I have the advantage in this lecture, over many of my predecessors, that Ineed not write down a single equation or show an abstract graph. One can ofcourse introduce almost any amount of mathematics into holography, but theessentials can be explained and understood from physical arguments.
Holography is based on the wave nature of light, and this was demonstratedconvincingly for the first time in 1801 by Thomas Young, by a wonderfullysimple experiment. He let a ray of sunlight into a dark room, placed a darkscreen in front of it, pierced with two small pinholes, and beyond this, at somedistance, a white screen. He then saw two darkish lines at both sides of abright line, which gave him sufficient encouragement to repeat the experi-ment, this time with a spirit flame as light source, with a little salt in it, toproduce the bright yellow sodium light. This time he saw a number of darklines, regularly spaced; the first clear proof that light added to light canproduce darkness. This phenomenon is called interference. Thomas Young hadexpected it because he believed in the wave theory of light. His great contri-bution to Christian Huygens’s original idea was the intuition that mono-
DARK
EXPLANATION
Fig. 1.Thomas Young’s Interference Experiments, 1801
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Tomograf́ıa [14/116]
Métodos y sistemas mini o no invasivos:
• Absorción: Tomograf́ıa computada de Rayos X.
• Emisión: Tomograf́ıa de emisión de positrones (PET), imágenes de reso-nancia magnética (MRI).
• Difusión: Tomograf́ıa óptica.
• Difracción: Microondas, ultrasonido, radares, sonares.
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Tomograf́ıa [15/116]
Problemas inversos
en matemáticas
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Tomograf́ıa [16/116]
Definición 1. (Problema inverso). El problema de obtener información oinferir propiedades de cantidades desconocidas por medio de observacionesindirectas es lo que se llama un Problema inverso.
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Tomograf́ıa [17/116]
Exploración mediante ondas
Por medio de radiación (ondas exploradoras), que viaja a través de un medio
material o que proviene de una fuente desconocida, “resolvemos” problemas
inversos; es decir, determinamos o estimamos parámetros de interés f́ısico,
geométrico o biológico.
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Tomograf́ıa [18/116]
Formulación matemática de un problema inverso
• Problema directo
modelo {parámetros del modelo m, fuentes s} → datos d
d = As(m)
• Problema inverso
{datos d, fuentes d} → modelo {parámetros del modelo m}
m = A−1s (d)
{datos d} → modelo y fuentes {parámetros m, fuentes s}
(m, s) = A−1
(d)
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Tomograf́ıa [19/116]
Ejemplo: Regresión lineal de observaciones baĺısticas
0 2 4 6 8 10 12100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
Tiempo (s)
Ele
vaci
on
(m)
datos
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Tomograf́ıa [20/116]
Regresión lineal de observaciones baĺısticas
• Modelo de regresión parabólica (Galileo)
d(t) = m1 +m2t−1
2m3t
2,
donde la función d(·) mide la posición del proyectil y t es el tiempo.
• Consideremos datos sintéticos con i = 10 observaciones y errores inde-pendientes distribuidos normalmente (σ = 8,0 m):
mverdadero =
24 10 m100 m s−19,8 m s−2
35
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Tomograf́ıa [21/116]
Regresión lineal de observaciones baĺısticas
• Sitema de ecuaciones:
Am =
26641 t1 t
21
1 t2 t22
... ...
1 t10 t210
377524m1m2m3
35 =2664d1d2...
d10
3775 = d
• Solución de ḿınimos cuadrados: ecuaciones normales
mL2 = (ATA)−1ATd,
que minimizan el residuo r = d− Am en la norma L2.
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Tomograf́ıa [22/116]
Regresión lineal de observaciones baĺısticas
0 2 4 6 8 10 120
100
200
300
400
500
600
Tiempo (s)
Ele
vaci
on
(m)
ajustedatos
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Tomograf́ıa [23/116]
¿Se puede escuchar la forma de un tambor?
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Tomograf́ıa [24/116]
Determinación de la circunferencia de los planetas
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Tomograf́ıa [25/116]
Descubrimiento de planetas
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Tomograf́ıa [26/116]
Tomograf́ıa por proyecciones
����
����
receptor
Ix
R(x, y)
emisor
I0
y
x
Θ2
Θ1
• Teorema de retroproyección:
m(x, y) =
Z π0
Z +∞−∞
dfdΘPΘ(f)|f |ei2πf(x cos(Θ)+y sin(Θ))
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Tomograf́ıa [27/116]
Tomograf́ıa por proyecciones
Figura 2: Johann Radon (1887-1956)
Matemático austriaco. Nació el 16 de
diciembre de 1887 en Tetschen, Bohe-
mia (ahora Decin, República Checa).
Murió el 25 de mayo de 1956 en Viena,
Austria.
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Tomograf́ıa [28/116]
II. La tomograf́ıa proyectivay la transformada de Fourier
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Tomograf́ıa [29/116]
Tomograf́ıa
Muchas clases de datos (mediciones) se pueden considerar en tomograf́ıa:
• ABSORCIÓN: atenuación de una señal, rayos X, mientras pasan a travésde un objeto. El logaritmo negativo de la atenuación, en una región infini-
tesimal en x ∈ R3, se denota por s(x)dx, con x ∈ (x1, x2, x3)T .
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Tomograf́ıa [30/116]
Tomograf́ıa
Muchas clases de datos (mediciones) se pueden considerar en tomograf́ıa:
• ABSORCIÓN: atenuación de una señal, rayos X, mientras pasan a travésde un objeto. El logaritmo negativo de la atenuación, en una región infini-
tesimal en x ∈ R3, se denota por s(x)dx, con x ∈ (x1, x2, x3)T .
• EMISIÓN: generación de una señal, como un haz de part́ıculas radiactivaso radiación en radio frecuencia, desde dentro de un objeto. La emisión,
desde una región infinitesimal en la posición x ∈ R3 se denota por s(x)dx.
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Tomograf́ıa [31/116]
Tomograf́ıa
Muchas clases de datos (mediciones) se pueden considerar en tomograf́ıa:
• ABSORCIÓN: atenuación de una señal, rayos X, mientras pasan a travésde un objeto. El logaritmo negativo de la atenuación, en una región infini-
tesimal en x ∈ R3, se denota por s(x)dx, con x ∈ (x1, x2, x3)T .
• EMISIÓN: generación de una señal, como un haz de part́ıculas radiactivaso radiación en radio frecuencia, desde dentro de un objeto. La emisión,
desde una región infinitesimal en la posición x ∈ R3 se denota por s(x)dx.
• DISPERSIÓN: desviación de una señal desde el interior de un objeto endirecciones espećıficas. La dispersión, desde una región infinitesimal en la
posición x ∈ R3 se denota, nuevamente, por s(x)dx.
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Tomograf́ıa [32/116]
Tomograf́ıa proyectiva
Definición 2. PROYECCIÓN: observación basada en atenuación de rayosque provienen de la aproximación de la ÓPTICA GEOMÉTRICA.
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Tomograf́ıa [33/116]
Espectro de frecuencias
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Tomograf́ıa [34/116]
¿Qué es la óptica geométrica?
• En el ĺımite conceptual cuando λ → 0 se obtiene propagación rectiĺıneade la luz en medios homogéneos y tenemos el dominio idealizado de la ópticageométrica.
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Tomograf́ıa [35/116]
Ley de Beer-Lambert (1760 y 1852)
Figura 3: Descubierta por Pierre Bouguer en 1729. Dibujo de Allan M. Cormack
en su disertación Nobel de 1979.
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Tomograf́ıa [36/116]
Objetivo de la tomograf́ıa proyectiva
En cada una de estas situaciones, deseamos DETERMINAR a s(x) por medio
de los datos (observaciones o mediciones) proyectados.
Definición 3. La reconstrucción de imágenes mediante proyecciones se lla-ma TOMOGRAFÍA PROYECTIVA (o tomograf́ıa de proyección).
• (Primera aproximación). En muchas aplicaciones es adecuado formar unasimple sección bidimensional de s(x) en la dirección x3.
sk(x1, x2) = s(x1, x2, k∆x3)
• En 3D, el tratamiento de s(x) es computacionalmente muy costoso.
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Tomograf́ıa [37/116]
Proyecciones
• Enunciaremos el teorema de la rebanada, que relaciona a una transforma-da de Fourier bidimensional de una señal, con transformadas de Fourier
unidimensionales de ciertas funciones llamadas PROYECCIONES.
• Pero, ¿qué es una transformada de Fourier?
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Tomograf́ıa [38/116]
¿Qué es el análisis de Fourier (1807–1822)?
Figura 4: Llamado de la ballena azul: amplitud vs tiempo (sec)
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Tomograf́ıa [39/116]
¿Qué es el análisis de Fourier?
• Una función del tiempo t, real o compleja, cuya enerǵıa
Ep =
Z +∞−∞
dt|s(t)|2
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Tomograf́ıa [40/116]
¿Qué es el análisis de Fourier?
Figura 5: Harmónicos del llamado de la ballena: potencia vs frecuencia (Hz)
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Tomograf́ıa [41/116]
Proyecciones
• Sea s(x1, x2) una señal bidimensional, posiblemente compleja, de enerǵıafinita. La proyección de s(x1, x2) sobre el eje x1 es:
p(x1) =
ZRs(x1, x2)dx2.
• Observe que no hay unicidad en la proyección: dos objetos distintos pueden“proyectar” la misma sombra.
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Tomograf́ıa [42/116]
Proyecciones
������������������������������
������������������������������
������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������
pθ(t)
x1
s(x1, x2)
x1Intensidad de la sombra
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Tomograf́ıa [43/116]
Proyecciones
• En general, la PROYECCIÓN de s(x1, x2) sobre un eje (o ĺınea) a ánguloθ, se define como:
p(t, θ) =
ZRdr s(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ).
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Tomograf́ıa [44/116]
Proyecciones
r x2
t
x1
θ
Proyecciones
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Tomograf́ıa [45/116]
Ecuación normal
• El ángulo θ especifica una rotación que relaciona a las variables (t, r)con las variables (x1, x2).
θ
t
x1
x2
θ
r
x1
x2(x1, x2)
x1 = t cos θ − r sen θ
x2 = t sen θ + r cos θ
)t = x1 cos θ + x2 sen θ.
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Tomograf́ıa [46/116]
Transformada de Fourier bidimensional
• Dada una función compleja s(x), con x ∈ R2, cuya enerǵıa
Ep =
ZZR|s(x)|2dx
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Tomograf́ıa [47/116]
Transformada de Fourier bidimensional
• La transformada INVERSA de Fourier (bidimensional) está dada por
s(x) =
ZZRS(f)e
i2πf ·xdf (Teorema)
• Sea S(f) una señal bidimensional, posiblemente compleja, de enerǵıafinita. La rebanada (o corte) de S(f) a lo largo de fx1 es S(f, 0); la
rebanada de S(fx1, fx2) a lo largo de un eje a un ángulo θ es
S(f cos θ, f sen θ).
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Tomograf́ıa [48/116]
Transformada de Fourier bidimensional: ejemplos
Ejemplo 1.
rect(t) =
(1, si |t| ≤ 120, si |t| > 12.
Ejemplo 2.
rect(x1, x2) =
(1, si |x1| ≤ 12, |x2| ≤
12
0, de otra forma.
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Tomograf́ıa [49/116]
III. La transformadade Radon
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Tomograf́ıa [50/116]
Teorema de la rebanada
El siguiente teorema nos dice que la transformada de Fourier unidimensional,
de una proyección de s(x1, x2) es una rebanada de S(fx1, fx2).
Teorema 1 (De la rebanada de proyección). Si pθ(t) es la proyección des(x1, x2) a un ángulo θ, y S(fx1, fx2) es la transformada de Fourier des(x1, x2), entonces
Pθ(f) = S(f cos θ, f sen θ)
es la transformada de Fourier de pθ(t).
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Tomograf́ıa [51/116]
Teorema de la rebanada
Demostración.
Pθ(f) =
ZRpθ(t)e
−i2πftdt
=
ZZRs(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ)e−i2πftdrdt.
Empleando un cambio de variables
t = x1 cos θ + x2 sen θ y drdt = Jdx1dx2,
donde J ≡ 1 es el jacobiano de la transformación (rotación unitaria), setiene que
Pθ(f) =
ZZRs(x1, x2)e
−i2π(f cos θx1+f sen θx2)dx1dx2
= S(f cos θ, f sen θ).
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Tomograf́ıa [52/116]
• La proyección
pθ(t) =
ZRs(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ)dr
se introdujo considerando a θ como un ángulo fijo.
• Si se define la proyección de esta forma, pero para todo valor del ánguloθ, entonces la proyección es una función de dos variables, a saber, t y θ,
y se llama TRANSFORMADA DE RADON.
Definición 4. Dada una señal bidimensional, s(x1, x2), de enerǵıa finita,la transformada de Radon de s es la función bivariada
p(t, θ) =
ZRs(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ)dr.
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Tomograf́ıa [53/116]
La transformada de Radon también se puede definir en un espacio
multidimensional.
El teorema de la rebanada de proyección implica que la transformada de
Radon se puede invertir.
• Si P (f, θ) denota la transformada de Fourier unidimensional dep(t, θ), en la variable t, entonces
P (f, θ) = S(f cos θ, f sen θ).
• Esto es, P (f, θ) es la transformada de Fourier bidimensional des(x1, x2) expresada en coordenadas polares.
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Tomograf́ıa [54/116]
Ejemplos
Ejemplo 3. Sea s(x1, x2) = circ(x1, x2), tal que
circ(x1, x2) =
8
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Tomograf́ıa [55/116]
de donde se sigue
p(t, θ) =
ZR
circ(t, r)dr,
pero en
x21 + x
22 = t
2+ r
2 ≤1
4se tiene que
circ(t, r) = 1;
es decir,
r ≤r
1
4− t2 =
1
2
p1− 4t2.
Por lo anterior,
p(t, θ) =
Z +12√1−4t2−12√
1−4t2dr =
p1− 4t2, t ≤
1
2.
∴
p(t) =
(√1− 4t2, t ≤ 12
0, t > 12,
que es independiente de θ.
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Tomograf́ıa [56/116]
Ejemplo 4. El pulso gaussiano bidimensional
s(x1, x2) = e−π(x21+x
22)
tiene la siguiente transformada de Radon:
p(t, θ) =
ZRs(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ)dr
=
Z +∞−∞
e−π(t2+r2)
dr
= e−πt2
Z +∞−∞
e−πr2
dr
= e−πt2
,
que es independiente de θ.
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Tomograf́ıa [57/116]
IV. La transformadainversa de Radon
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Tomograf́ıa [58/116]
En resumen
• Cuando pθ(t) se conoce ∀ θ de 0 a π, el conjunto de proyeccionesconstituye la transformada de Radon de s(x1, x2), y se denota por
p(t, θ) =
ZRs(t cos θ − r sen θ, t sen θ + r cos θ)dr
• La tarea de reconstruir la imagen s(x1, x2) a partir de sus proyecciones,es la inversión de la transformada de radon.
• El problema de inversión se puede resolver exactamente cuando no hay“ruido” y se conocen las proyecciones ∀ θ.
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Tomograf́ıa [59/116]
En resumen
• El teorema del corte proyectado dice que Pθ(f), la transformada deFourier de pθ(t), está dada por
Pθ(f) = S(f cos θ, f sen θ).
∴ una tarea equivalente a la inversión de la transformada de Radon eshallar S(fx1, fx2) cuando esté dada por pθ(t) para todos los valores del
parámetro θ.
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Tomograf́ıa [60/116]
Inversión del haz paralelo
Teorema 2. (Teorema de retroproyección, o proyecciónde retroceso o transformada inversa de Radon.)
s(x1, x2) =
Z π0
ZRPθ(f)e
i2πf(x1 cos θ+x2 sen θ)|f |dfdθ.
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Tomograf́ıa [61/116]
Inversión del haz paralelo
Demostración. La transformada inversa de Fourier es
s(x1, x2) =
ZZRS(fx1, fx2)e
i2π(fx1x1+fx2x2)dfx1dfx2.
Considerando que 0 ≤ θ ≤ π y que f : R2 → R, cambiamos la integracióna coordenadas polares:
fx1 = f cos θ,
fx2 = f sen θ,
dfx1dfx2 =∂(fx1, fx2)
∂(f, θ)dfdθ,
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Tomograf́ıa [62/116]
Inversión del haz paralelo
donde
∂(fx1, fx2)
∂(f, θ)=
˛̨̨̨cos θ sen θ
−f sen θ f cos θ
˛̨̨̨= |f | cos2 θ + |f | sen2 θ = |f |.
Entonces,
s(x1, x2) =
Z π0
ZRS(f cos θ, f sen θ)e
i2πf(x1 cos θ+x2 sen θ)|f |dfdθ.
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Tomograf́ıa [63/116]
Si escribimos x1 = r cos θ y x2 = r sen θ, el teorema de retroproyección
también se puede escribir en coordenadas polares como sigue:
Corolario 1.
s(r cos θ, r sen θ) =
Z π0
dθ
ZRdfPθ(t)|f |ei2πfr cos(θ−φ).
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Tomograf́ıa [64/116]
• Los métodos de reconstrucción de imágenes, basados en el teorema deretroproyecciones, se refieren como RETROPROYECCIÓN o proyección
de RETROCESO.
• Terminoloǵıa:
• “MATCHED FILTER”→ Procesamiento de señales.
• RETROPOYECCIÓN→ Tomograf́ıa de rayos X.
• MIGRACIÓN→ Geof́ısica o sismoloǵıa.
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Tomograf́ıa [65/116]
La estructura de la operación de retroproyección se puede simplificar si es
descompuesta en dos pasos como sigue:
1. gθ(t) =R
R df |f |Pθ(f)ei2πft
2. s(x1, x2) =R π
0dθgθ(x1 cos θ + x2 sen θ)
como se ilustra en el siguiente diagrama:
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Tomograf́ıa [66/116]
• La primera integral está dada en la forma de una transformada inversa deFourier, del corte modificado de la transformada de Fourier |f |Pθ(f).
∴ dada la estructura del producto |f |Pθ(f), uno puede suponer queel resultado de la transformada inversa de Fourier se puede describir,
formalmente, como una convolución de la proyección pθ(t) con la función
h(t), cuya transformada inversa de Fourier es la función |f |.
• Aunque la transformada inversa de Fourier de |f | NO EXISTE como unafunción propiamente dicha, EXISTE com una función generalizada.
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Tomograf́ıa [67/116]
• La segunda derivada de 12|f | es la función impulso δ(t), tal que |f |,formalmente, posee la transformada inversa de Fourier − 2√
2πt.
• Aśı, conh(t) = −
1
2
1√πt,
la operación de retroproyección se puede escribir como
gθ(t) = h(t) ∗ pθ(t) :=Z
Rdτ h(t− τ)pθ(τ)
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Tomograf́ıa [68/116]
• El término “retroproyección” se refiere al hecho de que pθ(t) está, dealguna forma, esparcido por la función h(t) a lo largo de la ĺınea.
Entonces,
s(x1, x2) =
Z π0
dθ gθ(x1 cos θ + x2 sen θ).
• Esta formulación de la retroproyección tiene la “desventaja” de que h(t)es una función generalizada con una sigularidad en t = 0.
• El empleo de una función generalizada se puede evitar siempre que
S(fx1, fx2) ≡ 0 cuandoqf2x1 + f
2x2> B,
para alguna constante B, sea que esta condición se cumple porque
está dada o porque las altas frecuencias son suprimidas mediante un
“filtro”.
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Tomograf́ıa [69/116]
• En todo caso, seŕıa suficiente reemplazar a |f | por un filtro de tal formaque H(f) = |f | para |f | ≤ B, y de otra forma H(·) sea una funciónarbitraria pero de enerǵıa finita.
• Nos referiremos a cualquier h(t), con tal H(f), como una función o“filtro rampa”.
• El empleo de un filtro rampa asegura que la transformada de Fourierbidimensional decae, en frecuencia, suficientemente rápida como para
tener definida una transformada inversa de Fourier h(t).
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Tomograf́ıa [70/116]
• En resumen, podemos reemplazar a |f | en la fórmula de retroproyecciónpor H(f), ya que
|f |Pθ(f) = H(f)Pθ(f)y
H(f)Pθ(f)↔ h(t) ∗ pθ(t).La función h(t) es llamada el NÚCLEO de la reconstrucción.
• Podemos escoger filtrar a la señal s(·, ·) o a sus proyeciones pθ(·).
• Sea h(t) un filtro unidimensional, con transformada de Fourier H(f),y sea h(x1, x2) el filtro circularmente simétrico bidimensional, cuya
transformada de Fourier
H(fx1, fx2) = H“q
f2x1 + f2x2
”está definida en términos de H(f).
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Tomograf́ıa [71/116]
Teorema 3. Sea pθ(t) la proyección a ángulo θ de s(x1, x2). Si gθ(t) =h(t) ∗ pθ(t) y g(x1, x2) = h(x1, x2) ∗ ∗s(x1, x2), entonces gθ(t) es laproyección a ángulo θ de g(x1, x2).
Donde definimos:
h(x1, x2) ∗ ∗s(x1, x2) :=ZZ
Rdξdη h(x1 − ξ, x2 − η)s(ξ, η)
y se cumple que
h ∗ ∗s = s ∗ ∗h,en donde a la función h(·, ·) se conoce como “point spread function” eninglés.
Demostración. La proyección de g(x1, x2) a ángulo θ tendrá transformadade Fourier
G(f cos θ, f sen θ) = H(f cos θ, f sen θ)S(f cos θ, f sen θ)
= H(f)Pθ(f).
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Tomograf́ıa [72/116]
Con ayuda del Corolario 4.1, tenemos que
g(r cosφ, r senφ) =
Z π0
dθ
»ZRdf H(f)Pθ(f)e
i2πfr cos(θ−φ)–,
como una forma alternativa a la retroproyección. Esta forma alternativa, que
se muestra en la figura, se conoce como retroproyección filtrada.
• El filtro H(f) se puede escoger de tal forma que las frecuencias de interésen s(x1, x2) sean permitidas.
• En este caso, seah(t) =
ZRdf H(f)e
i2πft.
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Tomograf́ıa [73/116]
• Definamosgθ(t) = h(t) ∗ pθ(t).
Entonces,
s(x1, x2) =
Z π0
dθ gθ(x1 cos θ + x2 sen θ).
• Ahora tenemos el cáculo de retroproyecciones separado en un proceso dedos pasos, dado por estas ecuaciones.
• Primero, toda proyección es filtrada por h(t) (respuesta impulsiva),entonces es evaluada una integral.
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Tomograf́ıa [74/116]
V. Dispersión de ondas y
formulas de inversión
en sismoloǵıa
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Tomograf́ıa [75/116]
Sismoloǵıa
80 M.P. Lamoureux and G.F. Margrave
Fig. 1 Seismic wave experiment
∂2ϕ
∂x2+
∂2ϕ
∂y2+
∂2ϕ
∂z2=
1c2
∂2ϕ
∂t2,
where ϕ(x, y, z, t) is the wave function and c = c(x, y, z) is the (non-constant)speed of propagation of the seismic wave. Numerical calculations based onthis equation are key to recovering an image of the subsurface.
In practice, real seismic experiments are performed by exploding dynamiteon the surface (or near surface) of the earth, and recording the vibrationsproduced by the explosive energy using sensitive geophones. The signals ofinterest are those acoustic waves that have propagated down to some inter-esting geological formation and been reflected back to the surface. Figure 1shows a simplified seismic setup, with instruments placed on the surface ofthe earth, and seismic energy traveling along raypaths within the earth. Thegeophones are typically placed at the surface of the earth,1 and are sensitiveenough to record vibrations that have traveled from the dynamite source,down five kilometers or more through rock, and return the same distanceback to the surface. Hundreds of geophones are monitored and the signaldata collected from them are recorded in a computer; dozens of dynamiteblasts are recorded, exploded at different locations, and independently at dif-ferent times. This recorded data is then processed to create an image of thesubsurface, and is often used in the search for hydrocarbons (oil and gas).
In marine seismic imaging, the experiments take place at sea rather thanon land. Typically, thousands of hydrophones attached to floating cables aretowed behind a ship traveling back and forth across a target area. A signal
1 In Vertical Seismic Profiling, or VSP, the geophones may be placed deep within the earth,usually down the borehole of an oilwell.
An Introduction to Numerical Methods of Pseudodifferential Operators 81
Fig. 2 Data collected from a seismic experiment. Reflectors are the images of interest
is initiated by setting off an air gun at the ocean surface, which starts anacoustic wave traveling down through the water and into the ocean floor,which then propagates through the rock in the form of a seismic wave. En-ergy that is reflected back travels through rock, then water, and then to thehydrophones where the data is recorded. It is also possible to use an OceanBottom Cable (OBC), where a string of geophones is actually placed on theocean floor and data recorded directly from the ocean bottom. This is a muchmore expensive setup. In either case, a given marine survey may collect dataover several days, covering dozens of square kilometers of territory. A hugeamount of data can be collected in one ocean survey, often amounting toterabytes of computer files.
The raw data contains much information, and much noise. In Fig. 2, wehave organized the time series data from a sequence of geophones placed ina line, so that a useful raw image appears. The first breaks and ground rollare due to surface propagation of seismic energy, and are considered noise.The hyperbolas represent reflections from interesting geological structures,and contain the information of a true image of the subsurface. Many of thedevelopments in seismic data processing are techniques in signal processingand include steps to remove noise due to first breaks and ground roll (muting,f–k filtering), to straighten the hyperbolas into proper reflectors (migration),and to sharpen the image (deconvolution), among others.
Thus, this problem combines aspects of physical modeling via PDEs, andsignal processing. Time–frequency analysis, and in particular pseudodifferen-tial operators, are well-suited for combining these approaches.
Objetivo: Obtener velocidad de pro-pagación v(x) de observaciones de
ondas dispersadas.
Hipótesis: Las ondas satisfacen Helm-holtz (frecuencia):
Lu(x,xs, ω) = −F (ω)δ(x− xs)
L := ∆ +ω
v2(x)
x ∈ R3 y ω ∈ R
Condición de radiación de Sommer-
feld:
|x|„∂|x|u−
iω
vu
«→ 0, |x| → ∞
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Tomograf́ıa [76/116]
x3 < 0
n̂x1
x2
x3Distancias ≈ kmsTiempos ≈ segundos
densidad constante
Ω
xs, t = 0
F (ω)
velocidad de propagación conocida
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Tomograf́ıa [77/116]
Perturbación a la velocidad de propagación
1
v2(x)=
1
c2(x)(1 + α(x))
• α perturbación “pequeña”.
• v = velocidad de propagación de las ondas.
• c = velocidad de propagación de referencia conocida.
L0u(x,xs, ω) = −F (ω)δ(x− xs)−ω2
c2(x)α(x)u(x,xs, ω)
L0 := ∆ +ω2
c2(x)Operador de Helmholtz
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Tomograf́ıa [78/116]
• Se descompone al campo de velocidades: u = uI + uS
uI respuesta impulsiva en ausencia de perturbaciones.
uS campo dispersado (respuesta a la perturbación α).
• Campo incidente uI satisface:
L0uI(x,xs, ω) = −F (ω)δ(x− xs)
sujeto a la condición de radiación de Sommerfeld
• Campo dispersado uS satisface
L0uS(x,xs, ω) = −ω2
c2(x)α(x)[uI(x,xs, ω) + uS(x,xs, ω)]
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Tomograf́ıa [79/116]
Representación integral del campo dispersado
Teorema y función de Green (densidad constante)
L∗0g∗(x,xg, ω) = −δ(x− xg)Z
Ω
dx[g∗L0u− uL∗0g
∗] =
Z∂Ω
ds[g∗∂nu− u∂ng∗]
xs
fuente
xg1 xg2
receptoresF (ω)
n̂
Ω
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Tomograf́ıa [80/116]
Ecuación integral para uS
• Solución al campo dispersado:
uS(xg,xs, ω) = ω2Z
Ω
dxα(x)
c2(x)[uI(x,xs, ω)+uS(x,xs, ω)]g(xg,x, ω)
Ω contiene el soporte de α (subdominio finito de z > 0).
• Aproximación de Born: Si |αuS| � |αuI| entonces
uS(xg,xs, ω) = ω2Z
Ω
dxα(x)
c2(x)uI(x,xs, ω)g(xg,x, ω)
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Tomograf́ıa [81/116]
Configuración de fuentes y receptores
• Fuentes y receptores están localizados en una superficie Γ:
Superficiefuentereceptor
xg(ξ1, ξ2)Γ(ξ)
xs
ξ1ξ2
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Tomograf́ıa [82/116]
Solución aproximada de uS
• Campo incidente:
uI(x,xs, ω) = F (ω)g(x,xs, ω)
• Función de Green WKBJ (altas frecuencias – óptica geométrica):
g(x,x0, ω) ∼ A(x,x0)eiωτ(x,x0)
donde τ tiempo de viaje de x a x0 y A amplitud (rayo).
uS(xg,xs, ω) ≈ ω2F (ω)Z
Ω
dxα(x)
c2(x)a(x, ξ)e
iωΦ(x,ξ)
Φ(x, ξ) = τ(x,xs(ξ)) + τ(xg(ξ),x)
a(x, ξ) = A(x,xs(ξ))A(xg(ξ),x)
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Tomograf́ıa [83/116]
Fórmula de inversión
• Se postula el operador:
α̃(y) =
Zdω
ZdξB(y, ξ)e
−iωΦ(y,ξ)uS(xg,xs, ω)
• B determina la estabilidad de la fórmula.
• Se obtiene substituyendo uS en la expresión para α̃:
α̃(y) =
Zdωω
2F (ω)
ZdξB(y, ξ)
Zdxe
iω[Φ(x,ξ)−Φ(y,ξ)]α(x)C(x, ξ)
donde
C(x, ξ) :=a(x, ξ)
c2(x).
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Tomograf́ıa [84/116]
Observación clave
• El kernel de la expresión debe tener (asintóticamente) la propiedad“coladera” de la delta de Dirac
α̃(y) ∼Z
dxδ(x− y)α(x)
es decir
δ(x− y) =Z
dωω2F (ω)
ZdξB(y, ξ)e
iω[Φ(x,ξ)−Φ(y,ξ)]C(x, ξ)
• x = y punto cŕıtico dominante⇒ aproximación de Taylor:
iω[Φ(x, ξ)− Φ(y, ξ)] ≈ ik · (x− y)
k := ω∇xΦ(x, ξ)|x=y
• Cambio de variables (Stolt):
(ω, ξ)→ k.
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Tomograf́ıa [85/116]
• En términos de k
δ(x− y) ∼Zd
3kB(y, ξ)ω
2(k)F (ω(k))
a(y, ξ)
c2(y)J(ω, ξ,k)e
ik·(x−y)
donde
ω(k) =k · ∇yΦ(y, ξ)|∇yΦ(y, ξ)|2
,
J(ω, ξ,k) =
˛̨̨̨∂(ω, ξ)
∂(k)
˛̨̨̨. (Determinante de Beylkin)
• El lado derecho de la expresión NO es una tranformada de Fourier.
• Si la expresión fuera una igualdad, la amplitud de la integral seŕıa igual a1/8π3, si además F (ω) ≈ 1 entonces
B(y, ξ) =1
8π3h(y, ξ)c2(y)
a(y, ξ)
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Tomograf́ıa [86/116]
Fórmula de inversión aproximada
• En conclusión obtenemos:
α̃(y) =1
8π3
Zdξ
Zdωe
−iωΦ(y,ξ)P (y, ξ)uS(xg,xs, ω)
donde
P (y, ξ) =h(y, ξ)c2(y)
a(y, ξ)
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Tomograf́ıa [87/116]
VI. Dispersión de ondas y
formación de imágenes en
radares de apertura
sintética
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Tomograf́ıa [88/116]
Los radares (“RAdio Detection And Ranging, 1940”)
1887 - H. R. Hertz. Demostró que se pueden propagar ondas electro-
magnéticas cierta distancia. Radioondas se pueden transmitir a través de
ciertos materiales y otros las reflejan.
1904 - Hülsmeyer (Alemania) patenta el primer radar.
◦ “Hertzian-wave projecting and receiving apparatus adapted to indicateor give warning of the presence of a metallic body, such as a ship or a
train, in the line of projection of such waves”.
1922 - Taylor and Young: Detección sistemática de nav́ıos en Naval
Research Laboratory, Washington, D. C. 1930 - Hyland: Primer detección
de aeronaves.
¡En 1941, un radar del ejército estadounidense detectó aviones japoneses
aproximándose a Pearl Harbor, pero el supervisor a cargo decidió que las
señales eran espurias!
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Tomograf́ıa [89/116]
La Segunda Guerra Mundial impulsa el desarrollo de nuevos modelos de
radares.Radar inverse scattering R3
Figure 1. A generic radar detection system.
and locating radar targets1. Active radar systems accomplish these tasks by transmitting anelectromagnetic waveform and measuring the reflected field as a time-varying voltage in theradar receiver. If R denotes the distance from the transmitter to the target, then the radiationcondition guarantees that the energy in the transmitted field will decay as R−2 when R issufficiently large (this is the usual case). The energy reflected by the target will also obey thisradiation condition and so, in monostatic radar configurations (in which the radar transmitterand receiver are co-located), the energy collected by the receiver will be reduced from thattransmitted by a factor of R−4. In practice, this received energy is quite small, and when thetarget is far away the measured signal competes for attention with the thermal noise voltage ofthe radar system itself. Accurately separating the wanted signal from the unwanted noise is animpressive engineering feat and it is not surprising that a fair amount of device-specific jargonhas evolved over the years. This section will briefly explain the methods employed.
Figure 1 shows the main elements of a generic (and greatly simplified) radar measurementsystem (cf [11, 82, 96, 127], and references cited therein). An incident time-varying signalsinc(t) is mixed with a carrier signal with (angular) frequency ω0 chosen to conform withfavourable properties of the transmission medium (typically, atmospheric windows are soughtfor which free space parameters are good approximations). This mixed signal is used to excitecurrents on an antenna that cause an electromagnetic waveform to be launched toward thetarget. (This antenna is rarely an isotropic radiator: it is usually designed to have some degreeof directionality (gain), and this directionality can also be used to estimate target bearing.) Thewaveform is reflected from the target and the reciprocal situation occurs in the receiver: thereflected field induces antenna currents; the signal voltage is mixed with a conjugate carrier toremove (beat down) the carrier frequency dependence; and the time-varying voltage srec(t) isoutput to a signal processor. Note that, while high frequencies dominate the target scatteringphysics (ω0 is typically 1–35 GHz), the signal processing block usually sees much lowerfrequencies (ω ! 0.1ω0).
2.1. I and Q signals
The system signals are real-valued voltages and are often expressed in terms of circularfunctions p(t) = a(t) cos φ(t) so that the concepts of amplitude and phase may beintroduced. It is convenient, however, to consider the signals to be complex-valued, withs(t) = 12 (p(t) + iq(t)) for some q(t). Of course, the choice of q(t) is not unique and,1 A radar target is any object of interest illuminated by the radar. In contrast, radar clutter is composed of collateraland undesired illuminated objects.
R14 B Borden
Figure 4. Example ISAR image. The image is the |ρ(t, ν)|2 of a Boeing 727 jetliner withorientation as in the inset. The radar centre frequency and bandwidth were 9.25 GHz and 500 MHz,respectively. Compare this figure with the range profile of figure 3.
of the library are called templates: τn ∈ LN where n indexes the N known targets in the library.In the case of range profile images the templates are functions of the range variable t and areparametrized by θ .
Let ρ̂(t) denote a range profile measured using an HRR radar. There are many ways tocompare ρ̂(t) with τn(t; θ), but one of the most common is based on the maximum correlationcoefficient
C(n, θ) = maxt∈R
∫
Rρ̂(t ′) τn(t ′ + t; θ) dt ′. (28)
Template correlation methods compute C(n, θ) for each n = 1, . . . , N and each θ =θ1, . . . , θM . Target type and orientation are then estimated as
n, θ = arg maxn′=1,...,N
θ ′=θ1,...,θM
{
C(n′, θ ′)}
. (29)
The search over the M target orientations is required because it is impossible to divinetarget aspect from ρ̂(t) (and it must be implicitly understood that θ generally refers to anordered pair of spherical angles). Typical libraries are set up with N ≈ 25 ‘targets of interest’.But, as we shall see below, there is little freedom in the choice of M .
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Tomograf́ıa [90/116]
La ecuación del radar
zy
φ
θx Antena receptora
φ′θ′
Antena transmisora
Reflector
Rt Rr
Ecuación de alcance del radar:
Er = σEt
R4
La propagación de las ondas está caracterizada por la permitividad
eléctrica ε y permeabilidad magnética µ del medio.
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [91/116]
Radar de Apertura Sintética (SAR), 60s
~γ(s)
x1
x2
h
x3
~xv
εT
Sistema de monitereo y reconocimiento remoto: Ondas oceánicas,humedad de suelos, ecoloǵıa forestal, cartograf́ıa de planetas, etc.
Antena en movimiento transmite y recolecta pulsos electromagnéticos.
Śıntesis de la apertura efectiva de la antena.
Procesamiento de las señales recibidas para formar imágenes.
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Tomograf́ıa [92/116]
Modelo de dispersión electromagnética
Ecuaciones de Maxwell (1861-1873)
(∇×E =− ∂tB, ∇ ·D = ρb,
∇×H =∂tD + J, ∇ ·B = 0.
Relaciones constitutivas
B(t,x) = µ0H(t,x) y D(t,x) = (ε ∗t E)(t,x)
D(t,x) =
Z ∞0
ε(s,x)E(t− s,x)ds, (E(t,x)|t
-
Tomograf́ıa [93/116]
Permitividad eléctrica del medio
γ(s)
ψ
T
�r
dispersor (inhomogeneidad del medio)→ perturbación a la permitividad
ε(s,x) = ε0εr(s,x) +
término perturbativoz }| {ε0εT (x1, x2)δ0(x3 − x03)δ(s)
∇2E − ∂2t (µ0ε0εr| {z }medio
∗tE) = (µ0ε0εTδ0)| {z }dispersor
∂2tE − (µ0∂tJ)xi| {z }
fuente
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Tomograf́ıa [94/116]
Campo total
Campo total E = Ein + Esc
∇2E − ∂2t (µ0ε0εr ∗t E) = (Tδ0)∂2tE − (µ0∂tJ)xi
T ≡ µ0ε0εT (blanco)
Función de Green↔ Transformada de Fourier (1822)
∇2g − ∂2t (c−20 εr ∗t g) = −δ(t)δ(x− y), (c
−20 = µ0ε0)
g(t,x− y) =1
2π
Ze−iω(n(ω)|x−y|/c0−t)
4π|x− y|dω
n(ω) = nR(ω) + i nI(ω) ≡q�r(ω) ∈ C (́ındice de refracción)
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Tomograf́ıa [95/116]
Campo incidente
Campo fuente generado en la antena
∇2Ein − ∂2t (c−20 εr ∗t E
in) = (µ0∂tJ)xi = −js
js → δ(y − yc)p(t) = δ(y − yc)Z ωmaxωmin
e−iωt
P (ω)dω (TF pulso)
Ein = (g ∗ js)(t,x)
Ein
(t,x) =
Ze−iω(t−n(ω)|x−yc|/c0)
4π|x− yc|P (ω)dω
Dispersor x está lejos de la antena (isotrópica y puntual) yc = γ(s)
∴ Ein(t,x, s) =Ze−iω(t−n(ω)|x−γ(s)|/c0)
4π|x− γ(s)|P (ω)dω
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Tomograf́ıa [96/116]
Campo dispersado y approximación de Born
Campo reflejado por los dispersores
∇2Esc − ∂2t (c−20 εr ∗t E
sc) = (Tδ0)∂
2tE, (T = c
−20 εT (x))
∴ Esc(t,x) = −Zg(t− τ,x− z)T (z)δ0(z3 − z03)∂
2τE(τ, z)dτdz
‖Esc‖ � ‖Ein‖ ⇒ E → Ein (enerǵıa)
EscB (t,x, s) ≈ −
Zg(t− τ,x− z)T (z)δ(z3 − z03)∂
2τE
in(τ, z, s)dτdz
EscB (t,x, s) =
Ze−iω(t−n(ω)(|x−z|+|z−γ(s)|)/c0)
(4π)2|x− z||z − γ(s)|ω
2P (ω)T (z)dωdz
El campo dispersado se colecta en la antena x = γ(s)⇒
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Tomograf́ıa [97/116]
Problema directo �
Señal recibida por la antena
EscB (t, s) =
Ze−iω(t−2n(ω)|z−γ(s)|/c0)
(4π)2|z − γ(s)|2ω
2P (ω)T (z)dωdz
P (ω)→ TF del pulso incidente p(t)
Ruido aditivo (ruido térmico) η(t)
d(t, s) = EscB (t, s) + η(t)
Problema inverso→ Determinar T (z) a partir de d(t, s)
F [T ] 7→ d ⇐⇒ M [d] 7→ T
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Tomograf́ıa [98/116]
FORMACIÓN
DE IMÁGENES
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [99/116]
Imágenes
Información de una región espacial que
se obtiene midiendo el campo dispersado
desde diferentes ángulos y frecuencias
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Tomograf́ıa [100/116]
Problema inverso: Formación de imágenes �
Retroproyección (Matched Filter) M [d] 7→ T̃ (z).
T̃ (z) =
Zeiω′(t−2nR(ω
′)|z−γ(s)|/c0)Q(ω′, z, s)d(t, s)dω
′dsdt
◦ Propiedad clave de M : misma fase que CC de F (F [T ] 7→ d).◦ Filtro Q por determinar.
Substituyendo d = F [T ] en T̃ = M [d]:
◦ Cambio de variables (ω, s)→ ξ ∈ Ω,“a ≡ ω
2e−2ωnI(ω)|γ(s)−y|/c0(4π|γ(s)−y|)2
”T̃ (z) =
Zei(z−y)·ξ
Q(ξ, z)a(ξ,y)P (ξ)T (y)J(ξ, z,y)dξdy+ T̃η(z)
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Tomograf́ıa [101/116]
Filtro óptimo: Ḿınimo error cuadrático medio �
Reflectividad ideal
T̃Ω(z) =
Zξ∈Ω
ei(z−y)·ξ
T (y)dydξ
Error cuadrático medio (Varianza)
∆(Q,P ) =
Z〈|T̃ (z)− T̃Ω(z)|2〉dz ∈ R
Cálculo de variaciones
0 =d
dρ
˛̨̨̨ρ=0
∆(Q+ ρQρ, P )
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [102/116]
Filtro de Wiener
Qopt
=P (ω, s)a(ω, s, z)ST (ω, s)
|P (ω, s)|2J(ω, s, z)a2(ω, s, z)ST (ω, s) + Sη(ω, s)
Densidades espectrales Sη y ST (Transformada de Fourier de la
correlación)
Sη(ω, s) =
Zdτe
−iωτ〈η(τ + t, s)η(t, s)〉
ST (k,k′) =
Zdydy
′e−iy·k
eiy′·k′〈T (y)T (y′)〉
Procesos estocásticos estacionarios: media y varianza no cambian
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [103/116]
RESULTADOS
NUMÉRICOS
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [104/116]
Implementación numérica: Problema directo d(t, s) �
(a) d(t, s) =ReiωtD(ω, s).
(b) Discretización D(ω, s)→ D(ωi, sj)def= Dij
Dij ≈P (ωj)
(4π)2
Xdispersorm
Tmei2ωjn(ωj)|γ(si)−ym|/c0
|γ(si)− ym|2
(c) ◦ Dispersores localizados en ym1, ym2, etc.◦ Trayectoria de vuelo circular γ(s) con tiempo lento s ∈ [0, 2π].◦ Sinusoide de modulado cuadrado p(t).
(d) Se obtienen los datos directos empleando FFT (60’s): dij = F [Dij].
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [105/116]
Experimento numérico
−100−80
−60−40
−200
2040
6080
100
−100−80
−60−40
−200
2040
6080
1000
5
10
T2T1
T2T1
T2T1
T2T1
T2T1
T2T1
T2T1
T2
T1
T2
T1
T2
T1
T2
T1
T2T1
T2T1
h=
10
m
m m
r=100 m
γ(s)
107 108 109−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
[Hz]
Fung-Ulaby model dielectric
nRnI
−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
[ns]
[V/m
]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
−40
−30
−20
−10
0
[ G H z ]
[dB
]
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [106/116]
Problema directo: follaje ralo
500 600 700 800 900 1000 1100 1200−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
−11
[ns]
[V/m
]
[ns]
[rad
]
600 700 800 900 1000 1100
0
1
2
3
4
5
6
500 600 700 800 900 1000 1100 1200
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x 10−11
[ns]
[V/m
]
[ns]
[rad
]
600 700 800 900 1000 1100
0
1
2
3
4
5
6
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [107/116]
Implementación numérica para formar imágenes I(z)
(a) Discretización I(z)→ I(zi, zj)def= Iij
Iij =Xm
∆sXn
∆ωne(−iωn2nR(ωn)|γ(sm)−zij|/c0)Q
optmnDmn
(b) Se discretiza Qoptmn:
Qoptmn =
Pnanm(zij)ST (zij)
|Pn|2Jnm(zij)|anm(zij)|2ST (zij) + Sn
(c) Sn y ST distribuidos normalmente.
(d) La reconstrucción es sobre una superficie.
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [108/116]
Imagen reconstruida sin ruido
Figura 6: Representación en 3D de la imágen reconstruida en un medio con
ı́ndice de refracción constante.
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [109/116]
Imagen reconstruida sin ruido
Figura 7: Representación en 3D de la imágen reconstruida en un medio con
ı́ndice de refracción que depende de la frecuencia (medio dispersivo).
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [110/116]
Imágenes reconstruidas
[m]
[m]
!
!
!" !# !$ % $ # "
!"
!#
!$
%
$
#
"%&'
%&$
%&(
%
%&)
%&"
%&*
%&+
%&,
'
[m]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6 0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
[m]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
[m]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [111/116]
Imágenes reconstruidas
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
[m]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [112/116]
Problema directo: follaje “denso”
107 108 109−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
[Hz]
Fung-Ulaby model dielectric
nRnI
800 850 900 950 1000 1050 1100 1150 1200
−6
−4
−2
0
2
4
6
x 10−12
[ns]
[V/m
]
[ns]
[rad
]
700 800 900 1000 1100 1200 1300
0
1
2
3
4
5
6
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [113/116]
Imágenes reconstruidas
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
6 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
[ m ]
[m]
−6 −4 −2 0 2 4 6
−6
−4
−2
0
2
4
60.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
-
Tomograf́ıa [114/116]
Trabajo en colaboración con
• Margaret CheneyInverse Problems Center & Department of Mathematical Sciences.
Rensselaer Rensselaer Polytechnic Institute (RPI), Troy NY.
• Trond VarslotDepartment of Applied Mathematics. The Australian National University,
Canberra.
T. Varslot, J. H. Morales, and M. Cheney. Synthetic-aperture radarimaging through dispersive media. Inverse Problems, 26 (2010), pp. 1–27(025008).
Verano de las Matemáticas, del 28 de junio al 24 de julio. CIMAT
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Tomograf́ıa [115/116]
Conclusiones
Cómputo
Cient́ıfico
Métodos
Estad́ısticos
Funcional
ProblemasInversos
Ecuaciones enDerivadas Parciales
Análisis
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Tomograf́ıa [116/116]
FINReferencias:
Charles L. Epstein, 2008. Introduction to the Mathematics of Medical
Imaging. 2nd. Edition, SIAM. Philadelphia.
Habib Ammari, 2000. An Introduction to Mathematics of Emerging
Biomedical Imaging. Springer-Verlag.
Norman Bleistein, et al, 2001. Mathematics of Multidimensional SeismicImaging, Migration, and Inversion. Springer-Verlag.
Margaret Cheney, 2001. A Mathematical Tutorial on Synthetic Aperture
Radar. SIAM Review Vol. 43, No. 2, pp. 301-312.
Wade Allison, 2006. Fundamental Physics for Probing and Imaging.
Oxford University Press. New York, USA.
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Tomograf́ıa [117/116]
Ejemplo introductorio
Operador de onda en medio homogéneo
∂2tu(x, t)− c
2∆u(x, t) = 0, (x, t) ∈ Rd × R, d > 1 (1)
Condiciones iniciales
u(x, 0) = u0(x) y ∂tu(x, 0) = 0 (2)
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Tomograf́ıa [118/116]
Velocidad de propagación constante⇒• T. Fourier desacopla componentes espectrales (frecuencias) de u.• Cada componente una EDO que se resuelve expĺıcitamente.• Solución u(x, t) superposición de modos de Fourier:
u(x, t) =1
2
„Zdye
2πi(x·y+c|y|t)û0(y) +
Zdye
2πi(x·y−c|y|t)û0(y)
«Fase Φ±(x, y) = x · y ± c|y|t
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Tomograf́ıa [119/116]
Linealización del problema inverso
Operador diferencial y su perturbación
Lv = g, L = L0 + L1
Campo total
v = vin
+ vds, v
in:= L−10 g
vds
= −L−10 L1vin − L−10 L1v
ds
Solución approximada al campo dispersado
vds ≈ −L−10 L1v
in
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Tomograf́ıa [120/116]
Fluido de densidad constante
Índice de refracción. Por determinar: f(x)
n2(x) = 1 + f(x), x ∈ Ω ⊂ Rd
Operador de Helmholtz en un medio de velocidad constante
L0 = ∇2x + k2
Perturbación al operador
L1 = k2f(x)Cuando d = 3 se obtiene el campo dispersado
vds
(k, ξ, η) = −k2
16π2
ZΩ
eik|x−ξ|
|x− ξ|eik|x−η|
|x− η|f(x)dx
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Tomograf́ıa [121/116]
Ecuación integral del problema inverso linealizado
v(k, ξ, η) = (−ik)d−1Z
Ω
f(x)a(x, ξ, η)eikφ(x,ξ,η)
dx
Fase y amplitud
φ(x, ξ, η) = φ̂(x, ξ) + φ̃(x, η)
a(x, ξ, η) = Aout
(x, ξ)Ain
(x, η)
a(x, ξ, η) ∈ C∞(Ω̄× ∂Ω× ∂Ω)
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Tomograf́ıa [122/116]
Transformada de Radon generalizada
(Rf)(t, ξ, η) =(R
Ωf(x)a(x, ξ, η)δ(t− φ(x, ξ, η))dx, t ≥ 0
0, t < 0
Transformada de Fourier F
F(RF ) = ̂(Rf)(k, ξ, η)
v(k, ξ, η) = (−ik)d−1 ̂(Rf)(k, ξ, η)
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Tomograf́ıa [123/116]
Pseudodifferental operators
Operador diferencial lineal con coeficientes constantes
P (D) :=Xk
akDk F−→ P (ω) =
Xk
ak ωk
(3)
Transformada inversa de Fourier
P (D)u(x) =1
(2π)d
ZRddy
ZRddωe
i(x−y)ωP (ω)u(y)
Dk
:= (−i∂1)k1 . . . (−i∂d)kd(4)
Operador pseudodiferencial
P (x,D)u(x) =1
(2π)d
ZRddy
ZRddωe
i(x−y)ωP (x, ω)u(y) (5)
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Tomograf́ıa [124/116]
Fourier Integral Operators
Propagan singularidades (sistemas hiperbólicos)
La funciones de fase satisfacen relaciones de homogeneidad
Φ(x, λω) = λΦ(x, ω) (6)
Ecuación del calor, ecuación de Schrödinger no son consideradas OIF
porque dispersan y atenúan los frentes de onda
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Tomograf́ıa [125/116]
Fluido de densidad variable 1
Índice de refracción. Por determinar: f(x)
n2(x) = n
20(x) + f(x), n0 se conoceOperador diferencial y su perturbación
L0 := ∇2x + k2n
20, L1 := k
2f(x)
Campo incidente debido a una fuente puntual
(∇2x + k2n
20)v
in(x, η) = δ(x− η)
Approximación óptica geométrica
vin
(x, η) ≈ e−i(π/2)(d+1)/2k(d−3)/2Ain(x, η)eikφin(x,η)
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Tomograf́ıa [126/116]
Fluido de densidad variable 2
Función fase y la ecuación eikonal
(∇xφin)2 = n20(x)Amplitud y la ecuación de transporte
Ain∇2xφ
in+ 2A
in · ∇xφin = 0Intercambio de fuentes por receptores
vout
(x, ξ) ≈ e−i(π/2)(d+1)/2k(d−3)/2Aout(x, ξ)eikφout(x,ξ)
Representación integral del campo dispersado
vds
(k, ξ, η) = (−ik)d−1Z
Ω
eikφout(x,ξ)
eikφin(x,η)
Aout
(x, ξ)Ain
(x, η)f(x)dx
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Tomograf́ıa [127/116]
Ondas en un medio dispersivo: Precursores (Brillouin,1914)
x
x
t = 0
t > 0Precursor
x = b x = a
Signal Wavefront
E(t) =
(0, t < 0,
sin(ωt), t ≥ 0.
x = 0
E(x, t) = Re
1
2π
Z ∞−∞
F (k)e−i[ω(k)t−kx]
dk
ff→ ω(k) ≈ ω0 + (k − k0)
dω0
dk0
E(x, t) ≈ E(x− (dω0/dk0)t, 0) exp„−i»ω0 − k0
dω0
dk0
–t
«|E|2 = |E(x− (dω0/dk0)t, 0)|2 → vg =
dω0
dk0
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Tomograf́ıa [128/116]
Modelo dieléctrico de Fung-Ulaby en follaje
Permitividad efectiva relativa (tipo Debye):
�r,eff(ω) = vl�l + (1− vl),
�R(ω) = 5,5 +em − 5,51 + τ2ω2
,
�I(ω) =(em − 5,5)τω
1 + τ2ω2,
donde �l = �R(ω) + i �I(ω) y em = 5 + 51,56vm.
vl volumen fraccional ocupado por hojas.
vw volumen fraccional de agua en “hoja t́ıpica”.
τ tiempo de relajación del material (a 20 ◦C, τ ≈ 10.1 ps).
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Tomograf́ıa [129/116]
Matched Filtering (North, 1943)
El “matched filter” es un filtro lineal óptimo que maximiza la razón de
señal a ruido en presencia de ruido aditivo.
sr(t) = st(t) + η(t)
so(t) = h(t) ∗t sr(t)„S
N
«salida
=|so(t)|2
〈η2(t)〉.
Teorema. En presencia de ruido, con densidad de potencia N0 watts porhertz, la máxima razón de potencia de señal a ruido se alcanza por medio
del filtro
h(t) = Ks∗r(t0 − t)
La respuesta impulsiva es una “imagen” retrasada del conjugado complejo
de la señal.
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