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Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA
1
Introducción a la Introducción a la modelización con modelización con
BondBond GraphsGraphs
Cátedra de Dinámica de los Sistemas Físicos
Depto. de Electrónica, FCEIA, UNR
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA
2
• Los Bond Graphs (BG) son un lenguaje– gráfico– acausal– con simbología
• cuantificadora del flujo instantáneo de potencia• unificada• independiente de alinealidades
para la modelización de Sistemas Físicos
Características GeneralesCaracterísticas Generales
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA
3
•Los BG proveen una metodología– sistemática– estructurada, orientada a objetos– unificada
de modelado, análisis y simulación de Sistemas Físicos Dinámicos (ΣΣΣΣΦ∆Φ∆Φ∆Φ∆)
| DB / EE-ES / PO / SD
ΣΣΣΣΦΦΦΦR →→→→ ΣΣΣΣΦΦΦΦI →→→→ DE →→→→ DECO →→→→| ANALISIS: Estabilidad| Propiedades Estructurales
Características GeneralesCaracterísticas Generales
Introducción a la modelización con Bond Graphs -Cátedra DSF - FCEIA
4
• ΣΣΣΣΦΦΦΦR (Sistema Físico Real)→→→→ ΣΣΣΣΦΦΦΦI (Idealizado):– Análisis de {Sistema + Problema} – Identificación de fenómenos dominantes– Hipótesis simplificatorias
etapas
• ΣΣΣΣΦΦΦΦI →→→→ DE →→→→ DECO →→→→ ••••: completamente
algoritmizables
Modelado con BGModelado con BG
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5
• Sistema: disposición delimitada de
entidades interactuantes• Sistema: {estructura + componentes}
• Sistema Físico: interacción consiste en transformación y/o transporte de materia y/o energía.
• Sistema Físico Dinámico: almacenamiento de materia y/o energía.
Modelado con BGModelado con BG
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6
DOS EJEMPLOS SIMPLES
Modelado con BGModelado con BG
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Circuito Electrico Serie
Estructura:Serie Conserva Potencia
→ VínculoEstructural 1Componentes:
Fuente: GeneraEnergía S (Source) Fuente
Resistor: Disipa Energía R (Resistor) Disipador
Bobina: ConservaEnergía (magnética) I (Inertia) Almacenador
Capacitor: Conserva Energía (eléctrica) C (Capacitor) Almacenador
Modelado con BGModelado con BG
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8
Modelado con BGModelado con BG
Una extraña pero ilustrativa topología
Enlace de Potencia
+−
+−
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Elementos estructurales y componentesModelado con BGModelado con BG
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Conexión SerieVínculo Estructural Tipo 1
Bond Graph del Circuito Serie
Modelado con BGModelado con BG
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Conexión ParaleloVínculo Estructural Tipo 0
Circuito Electrico Paralelo
Modelado con BGModelado con BG
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12
Bond Graph del Circuito Paralelo
Modelado con BGModelado con BG
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EXTENSIÓN A SISTEMAS MECÁNICOS
ANALOGÍAANALOGÍA
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• Energía Cinética ∼ Energía Campo Magnético ↔ I
• Energía Potencial ∼ Energía Campo Eléctrico↔ C
• ⇒ Energía Cinética → I
• ⇒ Energía Potencial→ C
AnalogíaAnalogía
Analogía Electricidad - Mecánica
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ANALOGIA ANALOGIA EN
ENERGETICA SEÑAL
Tensión∼ Fuerza (Esfuerzo generalizado)
Corriente ∼ Velocidad (Flujo generalizado)
Flujo Magn. ∼ Impulso (Impulso generalizado)
Carga ∼ Desplaz./Def. (Desplaz. Generalizado)
⇒⇒⇒⇒
Implicancias de la Analogía elegida
AnalogíaAnalogía
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Analogía Analogía -- Generalización de VariablesGeneralización de VariablesVariables de Potencia Variables de EnergíaDominio físico
Esfuerzoe
S.I. Flujof
S.I. Momentop
S.I. Desplaz.q
S.I.
Traslación fuerza F N velocidad vsm impulso p sN ⋅ desplaz. x m
Rotación torque τ mN ⋅ velocidadangular
ω
s
radmomentoangular
L sNm⋅ ángulo ϕ rad
Fluidodinámica presión P
2m
Ncaudal Q
s
m3impulso
del fluidoΓ
2m
sN ⋅ volumen V3
m
Electromagnetismo tensión U V corriente I A flujomagnético
φ sV ⋅ cargaeléctrica
C
Química potencialquímico
µ
mol
Jflujomolar
υ
s
molnúmerode moles
n mol
Termodinámica tempera-turaabsoluta
TK
oflujo deentropía
S&
Ko
Wentropía S
Ko
J
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ElementosFenómenoenergético
Clase
Símbolo Nombre Potencia
Energía
RelaciónConstitutiva
Ejemplostécnicos
Fuente deesfuerzo
ftePentregada ⋅= )( e(t)independiente
Gravedad ,Fuente def.e.m.
Generaciónde Energía
Fuentes
Fuente deflujo
)(tefPentregada ⋅= f(t)independiente
Fuente decorrienteBombahidráulica
Disipaciónde energía
Disipa-dores
Resistor )(tefPdisipada ⋅= φ (e,f) = 0Rozamien-to, Electro-resistor
Capacitor
∫+=q
q
almac dqqe0
)(0. εε0),(
0
=
=−
qedt
dqf
φ
ElasticidaddematerialesTanque deagua
Conserva-ción deEnergía
Almace-nadores
Mo
no
pu
ert
as
Inercia
∫+=p
p
almac dppe0
)(0. εε0),(
0
=
=−
pfdt
dpe
φ
Inductan-ciaInerciamecánica
Analogía Analogía -- Generalización de ComponentesGeneralización de Componentes
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ElementosFenómenoenergético
Clase
Símbolo Nombre PotenciaEnergía
RelaciónConstitutiva
Ejemplostécnicos
Acopladores Enlace feP atransferid ⋅= Cardan(ideal)Líneaeléctrica
Transfor-mador
021
=−= PPPabsorbida
0
0
21
12
=⋅−=⋅−
fmf
emePiñón-cremalleraPistón-cilindro
Acopla-dores
Conver-sores
Girador 021
=−= PPPabsorbida
0
0
21
12
=⋅−=⋅−
emf
emfGiróscopoConvers.electro-mecánica
Vínculo
uno0
1
=±=∑=
jPP
n
jabsorbida
0
...
1
1
=±
===
∑=
n
jj
n
e
fffVelocidadcomúnCircuitoserie
Seriemecánico
Conserva-ción dePotencia
Víncu-los
Mu
ltip
ue
rtas
Vínculo
cero0
1
=±=∑=
jPP
n
jabsorbida
0
...
1
1
=±
===
∑=
n
jj
n
f
eee
Circuitoparalelo
Analogía Analogía -- Generalización de ComponentesGeneralización de Componentes
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CausalizaciónCausalizacióny y Generación de Modelos Generación de Modelos
Matemáticos y Matemáticos y Computacionales a partir Computacionales a partir
de de BondBond GraphsGraphs..
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CausalidadCausalidad
0),,( =cbaf Relación NOCausal
),( cbga = →→→→→→→→
→→→→→→→→
Relación Causal
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CausalidadCausalidad
Ejemplo:
Resistencia Lineal:
•Opción 1 fRe ⋅=
•Opción 2R
ef =
0=⋅− fRe
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CausalidadCausalidad
En General:
•Opción 1
•Opción 2
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CausalidadCausalidad
Codificación:
•Opción 1
•Opción 2
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CausalidadCausalidad
Fuentes: (causalidad necesaria)
Fuente de Esfuerzo:
Fuente de Flujo:
e(t) independiente
f(t) independiente
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CausalidadCausalidad
Componentes estructurales: (causalidad restringida)
Transformador:
Girador:
21
12
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
emf
emf
⋅=⋅=
12
21
fme
fme
⋅=⋅=
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CausalidadCausalidad
Componentes estructurales: (causalidad restringida)
Vínculo 1:
Vínculo 0:
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ee
ffff ,...1
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ff
eeee ,...1
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CausalidadCausalidadAlmacenadores: (causalidad preferencial)
Capacitor:
Inercia:
∫+=
=t
t
dfqtq
qee
0
)()(
)(
0 ττ )(
)(
eqq
tqdt
df
=
=
∫+=
=t
t
deptp
pff
0
)()(
)(
0 ττ )(
)(
fpp
tpdt
de
=
=
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CausalidadCausalidadCausalidadCausalidad
Disipadores: (causalidad arbitraria)
)( fee = )(eff =
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CausalidadCausalidad
Procedimiento de Asignación de Causalidad
(1)
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CausalidadCausalidad
Procedimiento de Asignación de Causalidad
(2)
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CausalidadCausalidad
Procedimiento de Asignación de Causalidad
(3)
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CausalidadCausalidad
Ejemplo 1:
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CausalidadCausalidad
Ejemplo 2:
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CausalidadCausalidad
Ejemplo 3:
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Notación
Gráfica
Tipo
Causal
Diagrama deEnlaces
Diagrama de Bloques
Matemática
e(t)independiente
Necesario
f(t)independiente
21
12
fmf
eme
⋅=⋅=
12
21
fρf
eρe
⋅=⋅=
12
21
emf
emf
⋅=⋅=
Restringido
12
21
fρe
fρe
⋅=⋅=
ρ = 1/m
ρ = 1/m
CausalidadCausalidad-- ResumenResumen
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CausalidadCausalidad-- ResumenResumenN otac ión
G ráficaT ipoC ausal
D iag ram a deE n laces
D iag ram a de B loquesM atem ática
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ee
ffff ,...1R estring ido
∑≠
±=
==
jkkj
jnj
ff
eeee ,...1
∫+=
=t
t
dfqtq
qee
0
)()(
)(
0 ττ
In teg ra l
∫+=
=t
t
deptp
pff
0
)()(
)(
0 ττ
)(
)(
eqq
tqdt
df
=
=Pre
fere
ncia
l
D erivativa
)(
)(
fpp
tpdt
de
=
=
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Notación
Gráfica
Tipo
Causal
Diagrama deEnlaces
Diagrama de Bloques
Matemática
)( fee=Arbitrario
)(eff =
CausalidadCausalidad-- ResumenResumen
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CausalidadCausalidad-- ResumenResumen
Procedimiento de Asignación de Causalidad
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado•Paso 1: Causalizar el BG.
•Paso 3: Identificar las Variables de Estado.
Tomamos como Variables de Estado las variables de energía de los Almacenadores que tengan causalidad Integral.
•Paso 4: Leer las ecuaciones siguiendo la causalidad del BG y utilizando las leyes de los componentes.
•Paso 2: Enumerar los Enlaces.
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 1:
Paso 2:
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 3: Variables de Estado: p2 , p8
Utilizamos los números de los enlaces como subíndices de las correspondientes variables de potencia y energía.
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoEjemplo 1:
Paso 4:
82822
5343122
)()(
)(
pJ
kp
L
RtUfkfRtUp
fkfRtUeeeep
m
a
aamaa
maa
−−=−−=
−−=−−==
&
&
82828
7476588
)()(
)(
pJ
btTp
L
kfbtTfkp
fbtTfkeeeep
ca
mcm
cm
⋅−−=⋅−−=
=⋅−−=−−==
&
&
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Ejemplo 2:
Variables de Estado: p2 , p10
p6 no es variable de estado porque la inercia correspondiente tiene causalidad derivativa.
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Ejemplo 2:
Debido a la causalidad derivativa, encontramos un primer inconveniente al intentar leer e6.
107651181191010 )( fbeeekfbekeeep ctct −−−=−=−==&
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Método:
Causalidad derivativa
1 - Continuar leyendo, utilizando como variables auxiliares las derivadas de las variables de energía de los almacenadores con causalidad derivativa.
1010
2
6210 ... pJ
bp
J
bkpkp
L
kkp
c
c
c
tt
a
mt −−−== &&
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46
2 - Leer del BG las variables de energía de los almacenadorescon causalidad derivativa en función de las restantes variables de energía y entradas.
10109866 pJ
kJfkJfkJfJfJp
c
ttt
⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=
Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Causalidad derivativa
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Causalidad derivativa
3 - Derivar miembro a miembro las expresiones obtenidas en el punto anterior
106 pJ
kJp
c
t&&
⋅=
4 - Reemplazar las derivadas de las variables de energía en las ecuaciones obtenidas en el primer punto
1010
2
10210 pJ
bp
J
bkp
J
kJkp
L
kkp
c
c
c
t
c
tt
a
mt −−⋅
−= &&
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Causalidad derivativa
5 - Despejar la expresión de las derivadas de las variables de estado.
+−
⋅+= 10
2
2210 pJ
bbkp
L
kk
kJJ
Jp
c
ct
a
mt
tc
c&
Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoEjemplo 3:
Debido a la presencia de disipadores acoplados, para calcular f4 necesitamos f4 .
631
41
2
16321
13
641
61
565433
11)()(
11)(
1
111
pL
qCR
fR
RtU
Rp
Leee
Rq
pL
eR
pLR
effffq
+−−=+−−=
+=+=+===
&
&
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50
Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Disipadores Acoplados
Método:
1 -Detectar los disipadores acoplados y utilizar las salidas de losmismos como variables auxiliares al leer las ecuaciones.
65654331
pL
fffffq +=+===&
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de Estado
Disipadores Acoplados
2 -Leer del BG las variables auxiliares en función de las variables de estado, entradas y de ellas mismas.
31
211
3211
411
55
11)(
1)(
11q
CRe
RtU
Reee
Re
RR
ef −−=−−===
62
5265242222 )( pL
RfRffRfRfRe +=+=⋅=⋅=
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Ecuaciones de EstadoEcuaciones de EstadoDisipadores Acoplados
3 -Despejar del sistema anterior las variables auxiliares en función de las variables de estado y de entrada.
−−
+= 3
16
1
2
121
15
1)(
1q
CRp
LR
RtU
RRR
Rf
4 -Reemplazar las variables auxiliares en las ecuaciones obtenidas en el primer punto.
631
61
2
121
13
11)(
1p
Lq
CRp
LR
RtU
RRR
Rq +
−−
+=&
Ejercicio: Obtener la otra Ecuación de Estado
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ComentariosComentarios•Separación de los problemas de modelado y de obtención del modelo computacional.
•El pasaje del modelo BG al modelo “matemático” es completamente algoritmizable.
•Ventajas al trabajar con un paradigma acausal.
•Algunas herramientas de Software para dicho pasaje: Dymola, 20Sim, Power Dynamo.
•Problemas de “Singularidades Estructurales”.
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Bibliografía RecomendadaBibliografía Recomendada
• Cellier, F.E.1991.Continuous System Modeling. Springer-Verlag, New York.
• Karnopp, D.C., D.L. Margolis, and R.C. Rosenberg. 1990. System Dynamics: A Unified Approach, 2nd ed., John Wiley & Sons, New York.
• Karnopp, D. and R. Rosenberg. 1983. Introduction to Physical System Dynamics. N.Y: McGraw-Hill.
• Cellier, F., H. Elmqvist, and M. Otter. 1995. “Modeling from Physical Principles”, The Control Handbook (W.S. Levine, ed.), CRC Press, Boca Raton, FL, pp.99-108.
• Borutzky, W.1999. “Relations between bond graph based and object-oriented physical systems modeling”. Proceedings ICBGM’99/Simul. Series 31:1
• Junco, S.1986 “Los Diagramas de Enlaces y un Eficaz Método Estructurado de Modelado Analítico de Sistemas Dinámicos”. Anales del 2do. Congreso Latinoamericano de Control Automático.
(Disponible en la cátedra)
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