intervalos de confianza de datos apareados

INTERVALOS DE CONFIANZA CON

DATOS APAREADOS•Andres Tenorio Luevanos

•Gladys Susana Mauricio

•Alejandro Valadez Castruita

•Francelia Perez Castillo

INTRODUCCIÓN

Nos interesa dar una medida de la precisión de la

estimación que hemos hecho del parámetro.

Daremos un rango de valores entre los que debería

encontrarse el verdadero valor del parámetro.

Intervalo de confianza: rengo de valores entre los

que posiblemente se encuentre el verdadero valor

del parámetro.

EJEMPLO

El desgaste de las llantas de los automóviles

Hay coincidencia considerable en el desgaste de la

huella para las dos muestras. Es difícil decir de la

columna si hay una diferencia entre las clases vieja y

nueva de neumático. Sin embargo, cuando los datos

se revisan en pares, esta claro que, en general, los

neumaticos del nuevo tipo tienen mas huella que los

de la vieja clase. La razon de analizar los pares es

presentar un esquema mas claro del resultado, que

los automoviles varian mucho en cuanto al desgaste

que tienen.

Automóviles pesados, y los que tienen patrones de

manejo que implican muchos arranques y paradas,

generalmente poroducen mas desgaste que otros.

Los datos agregados en la columna de la derecha

de la figura incluyen esta variabilidad entre los

automoviles, asi como variabilidad en el desgaste

de las llantas. Cuando los datos se consideran en

pares, la variabilidad entre los automoviles

desaparece, porque ambas llantas en un par

provienen del mismo automóvil.

En la siguiente tabla se presenta, para cada

automóvil, las profundidades de la huellas,

Así como la diferencia entre ellas; se dese

encontrar un intervalo de confianza de 95% para la

media de la diferencia del desgaste de la huella

entre materiales viejos y nuevos en una forma que

resulta ventajosa para reducir la variabilidad

producida por el diseño apareado.

La forma de hacer esto ultimo es pensar en una

población de pares de valores, en la cual cada par

consiste de mediciones de un tipo viejo y de un

nuevo tipo de neumático en el mismo automóvil.

Para cada par en la población, hay una diferencia

(nuevo-viejo), por lo que hay una población de

diferencias. Los datos constituyen, entonces, una

muestra aleatoria poblacional de pares y sus

diferencias representan una muestra aleatoria

poblacional de diferencias.

DATOS DEL EJERCICIO

Gráfica con los datos del

problema

Profundidades de la huella,

en mm para neumáticos

con materiales

compuestos de nuevos y

viejos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.35 5 4.21 5.03 5.71 4.61 4.7 6.03 3.8 4.7

4.19 4.62 4.04 4.72 5.52 4.26 4.27 6.24 3.46 4.5

0.16 0.38 0.17 0.31 0.19 0.35 0.43 -0.21 0.34 0.2

material nuevo

materil viejo

diferiencia

automovil.

PROBLEMA 1

El artículo “Simulation of the Hot Carbonate Process

for Removal of CO2 and H2S from Medium Btu Gas”

(K. Park y T. Edgar, en Energy Progress, 1984:174-

180) presenta una ecuación que utilizó para calcular

la presión de vapor en equilibrio del CO2 en una

solución de carbonato de potasio.

Se midió la presión de equilibrio real (en kPa) en

nueve reacciones diferentes y se comparó con el

valor calculado por una ecuación. Los resultados se

presentan en la tabla siguiente:

Determine un intervalo de confianza de 95% para

la diferencia de medias entre las presiones

estimadas y reales.

EN ESTA TABLA DETERMINAMOS LA DESVIACIÓN DE LA DIFERENCIA ,

LA DIFERENCIA QUE HAY ENTRE EL ESTIMADO Y EXPERIMENTAL Y LA

SUMA DE LA DIFERENCIA .

X Y

Reacción Estimado Experimental Diferencia Di=xi-yi

1 45.1 42.95 2.15 2.15

2 85.77 79.98 5.79 5.79

3 151.84 146.17 5.67 5.67

4 244.3 228.22 16.08 16.08

5 257.67 240.63 17.04 17.04

6 44.32 41.99 2.33 2.33

7 84.41 82.05 2.36 2.36

8 150.47 149.62 0.85 0.85

9 253.81 245.45 8.36 8.36

10 85.77 79.98 5.79 5.79

DESVIACION 5.818 66.42 SUMA

6.642

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Intervalos de

Confianza

A continuación se muestra la gráfica donde se

localizan los puntos de estimado, experimental y

diferencia.

0

50

100

150

200

250

300

0 2 4 6 8 10 12

estimado

experimental

diferencia

PROBLEMA 2

En un experimento para determinar si hay una

diferencia sistemática entre los pesos obtenidos con

dos balanzas diferentes, se pesaron diez ejemplares

de rocas, en gramos, en cada balanza. Se

obtuvieron los siguientes datos:

Suponga que la diferencia entre las balanzas, si es

que hay alguna, no depende del objeto pesado.

Determine un intervalo de confianza de 98% para esta

diferencia.

DETERMINAMOS LA DIFERENCIA ENTRE PESO DE BALANZA 1 Y 2, LA

DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE LA DIFERENCIA Y LA SUMA DE LA

DIFERENCIA.

EJEMPLAR

PESO EN LA BALANZA

1 PESO EN LA BALANZA2 DIFERIENCIA DESVIACION

1 11.23 11.27 -0.04 0.024

2 14.36 14.41 -0.05

3 8.33 8.35 -0.02

4 10.5 10.52 -0.02

5 23.42 23.41 0.01

6 9.15 9.17 -0.02

7 13.47 13.52 -0.05

8 6.47 6.46 0.01

9 12.4 12.45 -0.05

10 19.3 19.35 -0.05

SUMA DE LA

DIFERENCIA -0.28 -0.028

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Intervalo de

confianza

En la gráfica se representa donde están localizados

los pesos de la balanza 1 y 2, y la diferencia entre

los pesos de la balanza.

-5

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

PESO EN LA BALANZA 1

PESO EN LA BALANZA2

DIFERIENCIA

PROBLEMA 3

Una muestra de diez camiones diesel fue operada

tanto caliente como fría para calcular la diferencia

en el ahorro de combustible. Los resultados, en

milla/galón, se presentan en la tabla siguiente. (De

“In-use Emissions from Heavy-Duty Diesel

Vehicles, ” J. Yanowitz, tesis de doctorado, Escuela

de Minas, de Colorado, 200l.)

Determine un intervalo de confianza de 98%

para la diferencia en la media del millaje de

combustible entre motores calientes y fríos.

En esta tabla se determinó la diferencia que existe

entre caliente y frio, la desviación estándar de la

diferencia y la suma de la diferencia.

CAMIÓN CALIENTE FRIO DIFERIENCIA DESVIACIÓN

1 4.56 4.26 0.3 0.154

2 4.46 4.08 0.38

3 6.49 5.83 0.66

4 5.37 4.96 0.41

5 6.25 5.87 0.38

6 5.9 5.32 0.58

7 4.13 3.92 0.21

8 3.85 3.69 0.16

9 4.15 3.74 0.41

10 4.69 4.19 0.5

SUMA 3.99

0.399

SOLUCIÓN DEL PROBLEMA

Intervalo de

confianza

A continuación graficamos donde se localizan la

muestra de los camiones diésel tanto caliente como

fría y la diferencia entre ambas sobre el ahorro de

combustible.

0

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10 12

CALIENTE

FRIO

DIFERIENCIA