interes simple y compuesto

Matemáticas Financieras

Conceptos Básicos

Expresiones Algebraicas:

Una expresión algebraica es una serie de números, letras y símbolos que indican una operación entre ellos.

Ejemplo: 2 + 3

Es una expresión algebraica, ya que se tienen dos números con un símbolo que indica una operación entre ellos.

Conceptos Básicos

Las operaciones mas comunes entre números son:

+ : Suma o Adición

- : Resta o Sustracción

X : Multiplicación

: o /: División

Conceptos Básicos

Para evaluar expresiones algebraicas se deben considerar ciertas prioridades:

Ejemplo: En la siguiente expresión:

100 + 2 x 150

¿que operación se debe realizar primero?, ¿La suma o la multiplicación? ¿O da igual?

Conceptos Básicos

En este ejemplo la secuencia correcta es:

100 + 2 x 150 Primero la multiplicación

100 + 300 Luego la suma

400 El resultado correcto

Conceptos Básicos

Entonces, siempre se debe resolver:

Primero la multiplicación o división, luego las sumas o restas.

Ejemplos: 5 + 4 x 3

5 + 12

17

10,5 + 100/5

10,5 + 20

30,5

Conceptos Básicos

En la realización de todos los cálculos en esta unidad trabajaremos con cuatro dígitos decimales (cuatro números a la derecha de la coma) si existen mas decimales estos deben ser aproximados:

Ejemplo: 0,9786532 se aproxima a 0,9787

30,28321 se aproxima a 30,2832

15,780963 se aproxima a 15,7810

Conceptos Básicos

La regla a utilizar para aproximar a cuatro decimales es la siguiente: “si el quinto decimal es igual o superior a 5 se aumenta en un digito el cuatro decimal”.

En caso contrario, si el quinto decimal es menor que 5, solo se eliminan los decimales mas allá del cuarto decimal.

Conceptos Básicos

Veamos ahora como resolveremos estos cálculos:

a) 1 + 0,04 x 12 =

b) 1 – 0,036 x 10 =

c) 1 + 0,5 x 5 – 0,028 x 12 =

d) 2,35 x 1,32 – 1,28 x 2,06 =

Conceptos Básicos

Además de lo anterior, cuando tenemos que resolver cálculos matemáticos en donde figuren paréntesis ( [] , (), {} ), estos indican que la primera operación que debemos resolver es la que esta dentro de estos, ejemplo

(1,028 + 0,23) x 3

1,258 x 3

3,774

Conceptos Básicos

Las operaciones dentro de los paréntesis siguen respetando las prioridades que estudiamos al principio, sin embargo se puede dar el caso en que una operación entre paréntesis pueda contener otro paréntesis en su interior, en este caso se debe resolver primero el paréntesis interior.

[4,8 – 2 x (3,6 – 1,5)] / 2

(4,8 – 2 x 2,1) / 2

(4,8 – 4,2) / 2

0,6 / 2

0,3

Conceptos Básicos

Realice los siguientes ejercicios:

a) (1,8 – 0,32 x 2) / 3,15

b) (0,35 – 0,24) x 2,15 + 1,15

c) [3,25 – 2,1 x (2,5 – 1,3)] x 2,3

d) (3,105 – 2,102) x (2,15 – 0,85)

Conceptos Básicos

En los próximos cálculos usaremos letras para representar una situación general:

Por ejemplo, supongamos que mensualmente gastamos una

cantidad L en pagos de luz (Luz) y una cantidad A en

pagos de agua (Agua). Entonces podemos decir que lo que gastamos en luz y agua es:

L + A

Conceptos Básicos

Esta representación es conveniente, pues los valores de luz y agua pueden ir cambiando en el tiempo. Supongamos que este mes se ha gastado $500 en luz y $1.000 en agua, entonces:

L= 500 y A= 1.000

Entonces el gasto de luz y agua será: L + A =

500 + 1000 = 1.500

Conceptos Básicos

Supongamos que tenemos la expresión:

(A+B) x C

Si: A=5, B=4, C=3

El valor de la expresión será:

(5 + 4) x 3

9 x 3

27

Conceptos Básicos

Calcule las siguientes expresiones:

(A + B ) / C si A=10, B=20 y C=5

3 x K + 6 x M si K=15,5 y M=4,3

(A x 4 – B)/2 x C si A=15, B=5 y C=3

B x C + A si A=15, B=2 y C=8

Conceptos Básicos

Con lo anterior hemos terminado los conceptos matemáticos básicos, que serán útiles para realizar con éxito los problemas que se presentaran en loa cálculos financieros.

Conceptos Financieros Básicos

Operación Financiera:

Es cualquier actividad que produce variación en los recursos de una entidad y que es posible medir en unidades monetarias.

Dependiendo de la acción que se realice, los recursos pueden aumentar o disminuir.

Conceptos Financieros Básicos

Ejemplos:

Girar en Cuenta corriente, disminuyen los fondos en la cuenta y aumenta el dinero en efectivo.

Depositar en cuenta corriente, aumentan los fondos en la cuenta y disminuye el dinero en efectivo

Solicitar créditos, pagar créditos

Comprar dólares, vender dólares

Conceptos Financieros Básicos

Las entidades involucradas en las operaciones financieras pueden ser empresas, personas u otras como el gobierno.

En todas las operaciones financieras existe una cantidad de dinero que es prestada o invertida, a esta le llamaremos CAPITAL.

Conceptos Financieros Básicos

¿Qué es el Capital?

Capital es la suma de dinero prestada o invertida.

Ejemplo, Se abre una cuenta de ahorro, con un deposito en efectivo de $15.000.

En esta operación financiera el capital asciende a $15.000.

Conceptos Financieros Básicos

Supongamos que alguien desea comprar un televisor por $100.000 y para ello pide un préstamo a un banco. El capital como ya lo dijimos es de $100.000, los que deberán ser devueltos al banco.

De aquí surge la pregunta

¿al banco le devolvemos $100.000 o una cantidad mayor?

Conceptos Financieros Básicos

Como es natural, el banco nos cobrara por el uso de este dinero y de aquí que debemos devolverle una suma mayor a $100.000. Supongamos que la cantidad que se le debe pagar al banco es de $115.000.

Conceptos Financieros Básicos

En calculo financiero, llamamos Interés a los $15.000 adicionales que debemos pagar “ $115.000 - $100.000 = $15.000”

Conceptos Financieros Básicos

Definamos este nuevo concepto:

Interés, es la suma generada por el uso del dinero durante un cierto periodo de tiempo.

De acuerdo a esta definición, interés es la diferencia entre la cantidad final a pagar y el capital inicial.

Conceptos Financieros Básicos

Ejercicios de conceptos de Capital e Interés:

a) El señor Timy Torner solicita un préstamo de $200.000 y debe pagar dentro de un año $215.000. ¿a que concepto corresponden – Capital o Interés – cada una de las siguientes sumas?

$200.000 corresponde a _______________

$15.000 corresponde a _________________

Conceptos Financieros Básicos

b) La empresa XXX S.A. desea invertir $1.200.000 durante 30 días, para ello toma un deposito a plazo. Al final de los 30 días, el banco le entregara a la empresa $1.238.500.

¿Cuál es el Interés? y ¿Cuál es el Capital?

_______________________

_______________________

Conceptos Financieros Básicos

Para que se pague interés es necesario que haya uso del capital, y para ello es necesario que transcurran un periodo de tiempo. Ello nos conduce a la siguiente definición.

Conceptos Financieros Básicos

PLAZO, es el periodo de tiempo durante el cual se usa el capital en una operación financiera.

Conceptos Financieros Básicos

El plazo cumple varias características:

Indica la duración de la operación financiera,

Sirve de base para el calculo del interés y debe ser indicado explícitamente.

El plazo puede ser expresado en distintas unidades: años, meses o días.

Conceptos Financieros Básicos

Ejercicios:

El ___________ es la suma de dinero prestada o invertida.

El ___________ es la suma generada por el uso del dinero durante un plazo definido.

El ___________ indica la duración de una operación financiera.

Conceptos Financieros Básicos

Como hemos visto la suma que es prestada o invertida es llamada capital, y esta genera un interés en un cierto periodo de tiempo.

Definiremos la suma de dinero que es devuelta al final del plazo:

MONTO: Corresponde a la suma del capital mas el interés.

Conceptos Financieros Básicos

La visualización grafica del Capital, Interés y Monto se aprecia en el siguiente esquema:

CAPITAL + INTERES = MONTO

Conceptos Financieros Básicos

Entonces:

Capital, es el valor involucrado al comienzo de la operación

Interés, es la suma cobrada por el uso del capital durante el plazo de la operación

Monto, es el valor a pagar al final de la operación

Conceptos Financieros Básicos

Cuando una persona invierte o solicita un préstamo, el banco le habla de Tasa de Interés, la definición es la siguiente:

Tasa de Interés, es el precio que se paga por usar el dinero en una unidad de tiempo determinada.

Conceptos Financieros Básicos

La tasa de interés se expresa usualmente en “tanto por ciento” su símbolo es %, pero también se puede anotar en “tanto por uno”

Para clasificar la notación veamos un ejemplo:

Conceptos Financieros Básicos

El banco ofrece una Tasa de Interés del 4% (4 por ciento) anual, esta se puede representar en tanto por uno como 0,04 y para encontrar este valor basta dividir la Tasa expresada en tanto por ciento por 100.

4% = 4/100 = 0,04

Conceptos Financieros Básicos

Entonces:

Para convertir una tasa de interés medida en tanto por ciento a tanto por uno, se debe dividir por 100

Para convertir una tasa de interés medida en tanto por uno a tanto por ciento, se debe multiplicar por 100

Conceptos Financieros Básicos

Ejemplos:

Si la tasa de interés es de un 15%, ¿Cuánto vale la tasa expresada en tanto por uno?

Si la tasa vale 0,085 en tanto por uno, ¿Cuánto vale expresada en tanto por ciento?

Conceptos Financieros Básicos

Cuando la tasa de interés no indica periodo de tiempo al cual corresponde, entenderemos que es anual.

Ejemplo: 4,5%

No indica el periodo de tiempo, por lo que se supone a un 4,5% anual.

Conceptos Financieros Básicos

Ya sabemos como es expresada la Tasa de Interés, pero ¿Qué significa una tasa del 4% anual? Y ¿Qué significa una tasa del 0,04?

Conceptos Financieros Básicos

La respuesta es que ambas significan lo mismo, pues según las reglas de matemáticas son equivalentes.

¡¡¡¡¡Compruébelo!!!!!

Conceptos Financieros Básicos

Ejercicio: El ministerio de hacienda de Pelotillehue, le pide un préstamo al banco de Cumpeo por 5 años. Este consiste en $5.000.000 a una tasa del 40% para el periodo de 5 años. Al final del periodo, el gobierno de Pelotillehue deberá pagar la suma de $7.000.000.

¿Cuánto vale cada uno de los siguientes parámetros financieros?

Capital, Tasa de Interés, Interés, Monto, Plazo, la tasa expresada en tanto por uno.

Interés

Hasta aquí hemos conocido los conceptos de Interés y Tasa de Interés, pero aun no hemos estudiado como calcular el interés a pagar.

Existen dos formas para calcular el interés:

Interés Simple e Interés Compuesto

Interés

A lo largo de esta unidad aprenderemos a utilizar ambas modalidades y a conocer en que se diferencian y cuando aplicar cada una de ellas.

Comenzaremos a analizar la formula de calculo bajo la modalidad conocida como Interés Simple.

Interés Simple

Interés Simple, es aquel que siempre se calcula sobre el capital original.

Interés Simple

En interés simple se tendra que:

1. El interés pagado en cada periodo de tiempo es el mismo

2. El interés producido durante cada periodo no incrementa el capital.

Interés Simple

Ejemplo: El señor Luis Miguel posee $100.000 y los presta a una tasa del 3% mensual durante 4 meses bajo la modalidad de interés simple. Entonces el interés ganado al cabo del plazo será:

Mes 1: $100.000 x 3% = $3.000

Mes 2: $100.000 x 3% = $3.000

Mes 3: $100.000 x 3% = $3.000

Mes 4: $100.000 x 3% = $3.000

Total de Intereses $12.000

Interés Simple

Como se pudo apreciar, en el ejemplo tenemos 4 periodos (meses y la tasa de interés expresada en forma mensual) y el interés ganado en cada periodo es el mismo ($3.000).

Otro elemento a destacar es que el interés producido en cada periodo no incrementa el capital original ($100.000)

Interés Simple

Entonces, ¿Cómo se calcula el Interés Simple?

El interés se calcula en base al capital original, al plazo de la operación y a la tasa de interés de cada unidad de tiempo.

Interés Simple

Recordemos que las operaciones pueden ser depósitos, inversiones o prestamos, y la unidad de tiempo pueden ser días, meses, bimestres, trimestres, cuatrimestres, semestres, años u otras medidas de tiempo.

Interés Simple

Los factores que influyen en el calculo del Interés Simple son:

1. Capital: a mayor capital mayor es el interés.

2. Plazo, a mayor plazo de la operación mayor será el interés generado.

3. Tasa de Interés: a mayor tasa mayor es el interés ganado.

Interés Simple

Ahora que conocemos los fundamentos del interés simple, comenzaremos a estudiar las formulas utilizadas para su calculo.

Como ya sabemos, las formulas algebraicas comúnmente son presentadas con letras. En nuestro caso, el significado de cada una de ellas es el siguiente:

Interés Simple

C = Capital Inicial.

i = Tasa de interés de un periodo.

n = Plazo, numero de periodos que dura la operación.

I = Interés obtenido al final del plazo.

M = Monto obtenido al final del plazo.

Interés Simple

Para calcular el Interés obtenido se emplea la formula:

I = C x i x n

Interés Simple

Ejemplo: Calcule el interés que genera un solo capital de $500.000 durante 5 meses. La tasa de Interés mensual es de 2,5%.

La formula es : I = C x i x n

Su reemplazo es : 500.000 x 0,025 x 5

El resultado es : 62.500

Interés Simple

De acuerdo al ejemplo anterior la Tasa de Interés esta expresada en tanto por uno. Por lo anterior debemos recordar siempre la siguiente regla:

SIEMPRE SE DEBE UTILIZAR LA TASA DE INTERES EXPRESADA EN TANTO POR UNO PARA REALIZAR CALCULOS CON LA FORMULA

I= C x i x n

Interés Simple

Ejemplo: La señora Zoila Mesa, ha recibido una herencia de US$42.000 y la invierte a un plazo de 3 años a una tasa del 10% ¿Cuál es el interés que genera al cabo de los 3 años?

Formula : I = C x i x n

Reemplazo : I = US$42.000 x 0,1 x 3

Resultado : I = US$ 12.600

Observe que en este problema la tasa de interés no lleva explicito el periodo, recuerden que cuando esto ocurre la tasa es anual.

Interés Simple

Nótese que en cada uno de los ejemplos la tasa y el periodo poseen las mismas unidades, de aquí debemos afirmar que:

ES IMPRESCINDIBLE QUE LA TASA (i) Y EL PLAZO (n) ESTEN EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES DE TIEMPO

En caso de que estén expresados en unidades incompatibles se deben convertir a una misma unidad de tiempo.

Interés Simple

Hasta ahora tenemos definido el Monto como : La suma del capital mas los intereses generados durante el plazo de una operación financiera.

Al igual que para el interés, existe una formula para determinar el Monto:

M = C + I

Interés Simple

Ejemplo: La compañía de Maderas “El Palito”, debe cancelar el capital de un préstamo por $25.000.000 a final de año y además los intereses por $2.891.673. ¿Cuál es el monto a pagar a fin de año?

Formula M = C + I

Reemplazo M = $25.000.000 + $2.891.673.-

Resultado M = $27.891.673.-

Interés Simple

Ejercicio: Calcule el monto a pagar por un capital de $238.600 que genero un interés de $27.782

Formula

Reemplazo

Resultado

Interés Simple

En muchos problemas no se sabe el interés de capital, por lo tanto es necesario calcularlo previamente para conocer el monto.

Ejemplo: El señor Julio Jil, desea comprar un auto para su hija, para esto pide un préstamo de $5.000.000 a un año plazo, a una tasa del 13%. El desea saber cuanto debe pagar al banco al cabo de un año.

En el ejemplo se pregunta por el Monto, o sea por el capital mas intereses, para calcularlo debemos encontrar el interés y luego sumarlo con el capital inicial.

Interés Simple

Calcularemos primero los Intereses

Formula I = C x i x n

Reemplazo I = 5.000.000 x 0,13 x 1

Resultado I = 650.000

Interés Simple

Luego para encontrar el Monto, sumamos el capital mas el interes:

Formula M = C + I

Reemplazo M = 5.000.000 + 650.000

Resultado M = 5.650.000

Así el señor Jil debe pagar al banco la suma de $5.650.000.-

Interés Simple

Como sabemos que I = C x i x n , reemplazando podemos obtener la formula mas usada para determinar el monto:

M = C + I

M = C + C x i x n

M = C x (1 + i x n)

Interés Simple

Ejemplo: Calcular el monto a pagar por un deposito de $850.000 al 3% mensual durante seis meses.

Formula M = C x (1+ i x n)

Reemplazo M = 850.000 x (1 + 0,03 x 6)

Resultado M = 1.003.000

Interés Simple

Ejercicios: ¿Cuál es el monto a pagar por un deposito de $30.000 al 2,8% mensual durante 8 meses?

¿Cuál es el monto a pagar por un deposito de $50.000 al 9,6% durante 9 meses?

¿Cuál es el monto a pagar por un préstamo de $200.000 al 12% durante 8 meses?

Interés Simple

Hasta ahora hemos aprendido a encontrar el Interés y el Monto, pero que podemos hacer si se nos presenta la siguiente pregunta:

¿Cuanto debo depositar hoy para que, al cabo de 8 meses y a una tasa del 3% mensual, yo gane un interés de $24.000?

O sea, necesitamos saber el capital necesario para que después del plazo planteado, obtengamos el interés especifico a una tasa determinada.

Interés Simple

Para responder la interrogante anterior se utiliza la siguiente formula:

C = I _

i x n

Para comprender como opera esta formula, resolvamos el siguiente ejemplo:

Interés Simple

Si usted desea obtener un interés total de $24.000. ¿Cuál es el capital que usted debe depositar para obtener dicho interés al cabo de 8 meses, a una tasa del 3% mensual?

Formula C = I

i x n

Reemplazo C = 24.000

0,03 x 8

Resultado C = 100.000.-

Interés Simple

Observemos que con los datos del ejemplo anterior podemos encontrar el monto de la operación, que sería

M = C + I

M = 100.000 + 24.000

M = 124.000.-

Interés Simple

Continuemos estudiando el interés simple, ahora pensemos el siguiente caso:

Una persona se dirige a una tienda a comprar un traje, en esta le ofrecen dos modalidades de pago. La primera consiste en pagar al contado $50.000 , y la segunda consiste en pagar en un mes los $50.000 mas un interés de $3.000 ¿Cuál es la tasa de interés aplicada?

Interés Simple

Para responder la pregunta planteada utilizamos la siguiente formula:

i = I

C x n

Interés Simple

Ejemplo: ¿ A que tasa de interés, un capital de $154.000 depositado durante 10 meses, genera un interés de $46.200?

Formula i = I

C x n

Reemplazo i = 46.200

154.000 x 10

Resultado i = 0,03 mensual = 3% mensual

Interés Simple

Nótese que la tasa encontrada es una tasa mensual, esto se debe a que el plazo esta expresado en esa unidad de tiempo, debemos recordar que:

SIEMPRE LA TASA DE INTERES ESTA MEDIDA EN LA MISMA UNIDAD EN QUE ESTA EXPRESADO EL PLAZO.

Interés Simple

Ejemplo: ¿Cuál es la tasa de interés simple que permite que un capital de $80.000 se transforme en un monto de $88.000, luego de transcurrido un plazo de 2 años?

Para resolver este problema no podemos aplicar directamente la formula encontrada, sino que primero debemos el interés total generado en la operación.

I = M – C

I = 88.000 – 80.000

I= 8.000

Interés Simple

Ahora que sabemos cuanto es el interés, podemos usar la ecuación para calcular la tasa de interés:

i = I

C x n

i = 8.000

80.000 x 2

i = 0,05 anual = 5% anual

Interés Simple

Hasta ahora hemos aprendido a calcular el interes, el monto, y la tasa de interes.

Veamos entonces como calcular el plazo de una operación financiera.

Para calcular el plazo utilizamos la siguiente ecuación:

n = I

C x i

Interés SimpleEjemplo: ¿Cuál es el plazo necesario para que un crédito pactado por un valor de $370.000, a una tasa de 3,8% mensual, se convierta en una deuda de $623.080?

Primero debemos encontrar el valor del interés:

Formula I = M - C

Reemplazo I = 623.080 – 370.000

Resultado I = 253.080

Interés Simple

Ahora calcular el valor del plazo:

Formula n = I

C x i

Reemplazo n = 253.000

370.000 x 0,038

Resultado n = 18 meses.

Interés Simple

El valor del plazo esta expresado en meses debido a que la tasa de interés es mensual.

Cambiemos de unidad de medida al plazo encontrado. Un año esta compuesto por 12 meses, por lo tanto 18 meses equivalen a :

n = 18 / 12

n = 1,5 años.

Interés Simple

Al realizar el ejemplo anterior queda de manifiesto la necesidad de aprender a transformar los años a meses o estos últimos a días. El problema surge en la interpretación de los valores que incluyen decimales.

Ejemplo: ¿A cuanto equivale 1,25 años?

El valor 1,25 puede ser escrito como 1 + 0,25, entonces puede ser interpretado como un año mas una fracción de un año.

¿A cuantos meses corresponde esta fracción?

Interés Simple

Para resolver la pregunta anterior, debemos saber cuantos meses tiene un año, como un año tiene 12 meses, entonces debemos multiplicar la fracción de año (0,25) por el numero de meses que tiene un año.

0,25 x 12 = 3 meses

Por lo tanto 1,25 años es equivalente a 1 año y 3 meses.

Interés Simple

Ejercicios:

¿A cuanto equivale un plazo de 3,5 meses?

¿A cuanto equivale 1,75 años?

¿A cuanto equivale 4,8 años?

Formulas Interés Simple

I = C x i x n Interés

I = M – C Interés

M = C + I Monto

C = M – I Capital

M = C x (1 + i x n) Monto

C = M Capital

1 + i x n

i = M - C Tasa de Interés

C x n

n = M - C Plazo

C x i

INTERES COMPUESTO

Conceptos Básicos Matemáticos

POTENCIACION

La potenciación consiste en la representación de la multiplicación de un mismo numero que se realiza varias veces.

Conceptos Básicos Matemáticos

Por ejemplo en la siguiente expresión:

2x2x2x2x2x2

El numero 2 se multiplica por si mismo 6 veces. Para simplificar estas expresiones se usa la notación:

6

2

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejemplos:

4 4

a) 3 = (3) = 3x3x3x3 = 81

3 3

b) 5 = (5) = 5x5x5 = 125

3

c) (1,015) = 1,105 x 1,105 x 1,105 = 1,046

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejercicios:

3

a) 5 =

3

b) 25 =

4

c) (1,081) =

Conceptos Básicos Matemáticos

Al incluir una nueva operación, queda la interrogante de cual es la prioridad de las operaciones matemáticas con potencias:

Primero: las potencias

Segundo Las multiplicaciones y/o divisiones

Tercero: Las sumas y/o restas

Lo anterior es valido en la medida en que no hayan paréntesis, si los hay se deben priorizar.

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejemplo:

2

a) 2 + 4

2 + 16

18

2

b) 2 x 6

2 x 36

72

Conceptos Básicos Matemáticos

Ahora, supongamos que tenemos que calcular la siguiente expresión:

18

(1 + 0,022)

Conceptos Básicos Matemáticos

En este caso resultaría muy engorroso multiplicar 1,022, 18 veces. Por esto se puede recurrir a calculadoras que tienen incorporado los cálculos de potencias.

La mayoría de las calculadoras trae la tecla

Para calcular la expresión ya mencionada hay que seguir los siguientes pasos:

x yY o X

Conceptos Básicos Matemáticos

a) Ingresar el valor 1,022

b) Presionar la tecla

c) Ingresar el valor 18

d) Presionar la tecla =

Conceptos Básicos Matemáticos

Después de realizada esta secuencia el resultado que debe aparecer en la pantalla es

1,4795

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejemplos: Desarrolle los siguientes cálculos:

12

a) (1,025) =

4

b) (1,15) =

5

c) (2,08) =

6

d) (0,907) =

4

e) (3,05) =

Conceptos Básicos Matemáticos

Raíces:

La Radicación es la operación contraria a la Potenciación

Cuando resolvíamos potencias, teníamos que determinar cual era el valor de una expresión como:

6

2 = 64

Conceptos Básicos MatemáticosCon la radicación nos interesa responder, ¿Qué valor multiplicado 6 veces por si mismo nos da 64?

6

64 = 2

Nosotros ya sabemos que 2 multiplicado 6 veces por si mismo nos da 64, con esto se comprueba lo antes planteado

Conceptos Básicos Matemáticos

Realice los siguientes ejercicios:

5

1,288 =

1/5

(1,288) =

0,2

(1,288) =

Conceptos Básicos Matemáticos

Es decir, sacar la raíz quinta de 1,288, es igual que elevar a la potencia de 1/5 o 0,2.

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejercicios:

4

81 =

5

1024 =

5

1,4693 =

6

72,0744 =

(Ver con potencias)

Conceptos Básicos Matemáticos

Hemos desarrollado dos importantes operaciones : Potencias y Raíces. Estas operaciones suelen incluirse en expresiones en que aparecen otros operadores matemáticos. A continuación ejemplos de expresiones comúnmente utilizadas en calculo financiero:

12

1) (1+0,023) x 0,023

12

(1,023) x 0,023

1,3137 x 0,023

0,0302

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejemplo 2:

0,0475 6

(1+0,023) - 1

0,04751,1462 - 1

0,04750,1462

0,3249

Conceptos Básicos Matemáticos

Ejercicios:

5

a) (1,012) x 0,012

5

(1,012) - 1

4

b) (1,15 - 0,18 x 2,5)

5

c) 0,06 x 32,7

Conceptos Básicos Matemáticos

Logaritmos:

Para entender el concepto de logaritmo, examinemos la siguiente expresión:

2

10 = 100

Esto indicaba que el numero 10 debía multiplicarse 2 veces por si mismo, lo que da 100.

Usualmente se dice que 10 elevado a 2 es 100

Conceptos Básicos Matemáticos

Ahora con la radicación, nuestra pregunta es ¿Que numero elevado a 2 nos da 100?

La respuesta es 10 y esta operación la expresamos como:

2

100 = 10

Conceptos Básicos Matemáticos

Ahora, la pregunta que nos hacemos con los Logaritmos es ¿Cuántas veces debemos multiplicar 10 por si mismo para que nos de 100? O ¿A que numero debemos elevar 10 para que nos de 100? La respuesta en este caso es 2, y se expresa así:

Log 100 = 2

10

En el ejemplo anterior el 10 se conoce como base. Lo usual en las calculadoras es que la base sea 10, por ello suele no colocarse en el logaritmo.

Conceptos Básicos Matemáticos

Para efectos del curso, basta entender los conceptos anteriores y sepa hacer los cálculos con su calculadora:

Calcular: Log 2,1537

Utilizando la calculadora debemos:

a) Ingresar el valor 2,1537

b) Presionar la tecla Log de su calculadora

Conceptos Básicos Matemáticos

C) En el visor de la calculadora aparece el valor 0,3332, así se tiene que:

Log 2,1537 = 0,3332

Lo anterior de acuerdo a la definición de logaritmo, significa que 10 elevado a 0,3332 nos da 2,1537, o sea:

0,3332

10 = 2,1537

Conceptos Básicos Matemáticos

Verifique el valor de las siguientes expresiones:

a) Log 33,156 =

Log 103,21

b) Log 3,150 =

c) Log 2,533 =

d) Log 4,15 =

Log 8,07

Conceptos Básicos Matemáticos

Hasta aquí, la revisión de los conceptos matemáticos que serán necesarios para realizar con éxito los problemas de calculo financiero.

INTERES COMPUESTO

Interés Compuesto

Interés compuesto es aquel que se calcula e base al capital inicial mas el interés ganado en el periodo anterior.

Es decir, el capital inicial se le va agregando al interés ganado en el periodo anterior.

En Interés Compuesto: ¡¡¡¡¡EL INTERES GANA INTERES!!!!!

Interés Compuesto

Interés Compuesto

Se calcula sobre el capital inicial mas el interés ganado en el periodo anterior.

El capital se incrementa en cada periodo, producto de la suma del interés anterior.

El interés generado en cada periodo es mayor porque se calcula sobre una base mayor.

Interés Simple

Se calcula siempre sobre el capital original, el cual no cambia porque no se le agrega el interés ganado en cada periodo.

El interés generado en cada periodo es siempre el mismo porque se calcula sobre la misma base.

Interés Compuesto

¿Cuándo y como se usa el interés compuesto?

En general, el interés compuesto se emplea en las operaciones de largo plazo. Sin embargo, debido a los efectos de la inflación, actualmente se utiliza también en periodos inferiores a un año.

Interés Compuesto

Veamos algunas definiciones:

Se denomina periodo de capitalización o conversión de interés al momento en que estos pasan a formar parte del capital.

Esto puede ocurrir anualmente, semestralmente, mensualmente, etc.

Por lo anterior, EN EL INTERES COMPUESTO ES FUNDAMENTAL DEFINIR CADA CUANTO TIEMPO OCURRIRA LA CAPITALIZACION DE INTERESES.

Interés Compuesto

Se denomina periodo de interés o conversión, al periodo de tiempo entre dos capitalizaciones o conversiones sucesivas.

Por ejemplo, si se ha convenido que la capitalización de un deposito por tres años sea semestral, entonces el periodo de interés o conversión es cada seis meses.

Interés Compuesto

Se denomina frecuencia de conversión al numero de veces que el interés se convierte o capitaliza en un año.

Interés Compuesto

Para las formulas de calculo de Interés Compuesto, se tiene que:

M = Monto al final del periodo

C = Capital Inicial

i = Tasa de Interés por periodo de capitalización expresada en tanto por uno

n = Numero de capitalizaciones.

Interés Compuesto

Para calcular el Monto al final del periodo en cuestión con interés compuesto, se utiliza la siguiente formula:

n

M = C x (1 + i)

Interés Compuesto

Ejemplo:

Una ancianita deposita un capital de $200.000 en el banco durante 2 años a una tasa de interés compuesto de 15%. ¿Cuál será el monto recibido por la ancianita al final del plazo si desea una capitalización anual?

Formula n

M = C x (1 + i)

Interés Compuesto

2

M = 200.000 x (1 + 0,15)

M = 200.000 x 1,3225

M = 264.500

Interés Compuesto

Para calcular el Capital utilizando interés compuesto se emplea la siguiente formula:

C = M    

(1 + i) n

Interés Compuesto

Ejemplo:

Iván quiere obtener al cabo de 6 meses la cantidad de $350.000. ¿Cuánto dinero deberá depositar si desea capitalización mensual, y si ofrecen una tasa de 1,8% mensual?

Interés Compuesto

C = 350.000  

(1+0,018)6

C = 350.000  

1,1130

C = 314.465

Interés Compuesto

Calculo de TASA DE INTERES en el caso de interés compuesto se emplea la siguiente formula:

ni = M - 1C

Interés Compuesto

Ejemplo: El Señor Juan Fierro, desea depositar $120.000 a nombre de su hijo y obtener al cabo de un año la suma de $150.000. ¿Qué tasa de interés compuesto mensual deberá requerir el ahorrante si desea capitalización mensual?

Interés Compuesto

12i = 150000 - 1120000

12

i = 1,25 - 1

i = 1,0188 - 1i = 0,0188i = 1,88% mensual

Interés Compuesto

Para Calcular el PLAZO o NUMERO DE PERIODOS en el caso del interés compuesto, se debe emplear la siguiente formula:

log M

n = C  

log (1 + i)

Interés Compuesto

Ejemplo: Ignacio deposita su capital de $270.000 a una tasa de interés compuesta de 9% con capitalización anual. ¿Cuál debe ser el plazo del deposito para obtener un monto de $350.000?

log M

n = C  

log (1 + i)

Interés Compuesto

log 350.000

n =270.000  

log (1 + 0,09)

n = 3,01años

n = 3 años (aproximado)

AMORTIZACION

Amortización

La AMORTIZACION de una deuda consiste en una serie de pagos periódicos en los que el ultimo de ellos permite pagar completamente la deuda original mas los intereses generados.

Amortización

En este sentido diremos que un documento que genera intereses esta “amortizado” cuando las obligaciones contraídas (capital mas intereses) son liquidadas a través de una serie de pagos efectuados a intervalos iguales de tiempo.

Existen varias modalidades de amortización, en este curso estudiaremos el mas utilizado en nuestro sistema financiero, el “SISTEMA DE CUOTA FIJA”

Amortización

Sistema de Cuota Fija:

El sistema de cuota fija (Capital mas Intereses) consiste en una serie de pagos iguales que permiten extinguir la deuda en forma progresiva.

En este sistema, cada pago realizado cubre los intereses del periodo y amortiza una parte de la deuda.

Amortización

A continuación una representación grafica de este sistema:

INTERES

CAPITAL

VALORCUOTA

Amortización

Como se puede apreciar, en las primera cuotas, el interés que se paga es alto y luego va disminuyendo. Por otra parte, con el tiempo las amortizaciones de capital van aumentando.

Amortización

¿Cómo calcular la cuota fija en este sistema?. En este caso se utiliza la formula de calculo de valor de cuota:

R = C x i (1 + i)n

    (1 + i)n

1

Amortización

Veamos un ejemplo para ver como usar esta formula en el caso de amortización es de cuotas fijas:

Ejemplo, el Señor Pedro Pablo pide un préstamo de $300.000 según el sistema de cuota fija, en un plazo de 5 meses. ¿Cuál es el valor cuota, y como será el cuadro de amortización que enfrentara, a una tasa de interés mensual del 2%?

R = 63.648.-

5

R= 300.000 x 0,02 (1 + 0,02)5

(1 + 0,02) - 1

Amortización

Periodo Capital Insoluto

Valor Cuota

Interés Capital Deuda Residual

1 300.000 63.648 6.000 57.648 242.352

2 242.352 63.648 4.847 58.801 183.551

3 183.551 63.648 3.671 59.977 123.574

4 123.574 63.648 2.471 61.177 62.397

5 62397 63.648 1.248 62.397 0

Amortización

a) El periodo corresponde al plazo de la deuda (en este caso, n=5 meses).

b) El Capital Insoluto corresponde al Capital que queda por amortizar.

c) El valor de la cuota es el mismo en cada periodo.

d) El Interés se calcula según el capital insoluto que queda en un periodo.

e) El capital pagado corresponde a la diferencia entre el valor de la cuota y el interés del periodo.

f) La deuda residual corresponde al saldo insoluto del periodo menos el capital pagado durante el mismo.

Amortización

g) El interés de un periodo mas el capital pagado corresponde a la cuota fija de la deuda.

h) La deuda residual de cualquier periodo pasa a ser el capital del próximo periodo.

Amortización

Hasta aquí los contenido de matemáticas financieras para este curso, a continuación se elaborara un taller a fin de ejercitar los contenidos aprendidos.