integrales impropias - ulpgc. · pdf fileintegrales impropias ejercicios resueltos °c 2000...
Post on 04-Feb-2018
315 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Integrales impropias
Ejercicios resueltos
c° 2000 CRESLINE, S.L.
Integrales impropias
Ejercicio 1: Estudiar la convergencia de la integral impropiaZ +∞
0
cos 2x dx
y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución: Para b > 0, se tieneZ b
0
cos 2xdx =1
2[sin 2x]
b0 =
1
2sin 2b
En consecuencia, Z +∞
0
cos 2x dx = limb→+∞
1
2sin 2b,
límite que no existe, ya que el seno oscila entre −1 y 1, al tender b hacia +∞.
Ejercicio 2:Estudiar la convergencia de la integral impropiaZ +∞
−∞
1
1 + x2dx
y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución:Z ∞
−∞
1
1 + x2dx =
Z 0
−∞
1
1 + x2dx+
Z ∞0
1
1 + x2dx =
= limc→−∞
Z 0
c
1
1 + x2dx+ lim
c→∞
Z c
0
1
1 + x2dx =
= − limc→−∞(arctan c) + lim
c→∞(arctan c) =
= −³−π2
´+
π
2= π.
1
www.aprendes.com
Ejercicio 3: Estudiar la convergencia de la integralZ 2
1
dx
(x− 1)1/3 ,
y en caso de convergencia, calcular su valor.Solución: Tomando c tal que 1 < c < 2, se tieneZ 2
c
dx
(x− 1)1/3 =Z 2
c
(x− 1)−1/3dx = 3
2
h(x− 1)2/3
i2c=3
2
h1− (c− 1)2/3
iAl ser
limc→ 1+
(c− 1)2/3 = 0tenemosZ 2
1
dx
(x− 1)1/3 = limc→ 1+
Z 2
c
dx
(x− 1)1/3 = lim → 1+
3
2
h1− (c− 1)2/3
i=3
2
Por t anto, la integral impropia es c onvergente y su valor esZ 2
1
dx
(x− 1)1/3 =3
2.
Ejercicio 4: Estudiar si es convergente la integralZ +∞
−∞
dx
1 + ex.
Solución: Primero descomponemos la integral en suma de dos integrales,que estudiaremos separadamente:Z +∞
−∞
dx
1 + ex=
Z 0
−∞
dx
1 + ex+
Z +∞
0
dx
1 + ex= I1 + I2.
Para estudiar si I1 converge, aplicaremos el criterio del cociente con la fun-ción g(x) = 1:
limx→−∞
11+ex
1= lim
x→−∞1
1 + ex= 1
Por el criterio del cociente, I1 converge si y sólo siR 0−∞ 1 dx converge. PeroR 0
−∞ 1 dx es divergente. Por tanto, I1 también es divergente.Así pues, ya podemos concluir queZ +∞
−∞
dx
1 + ex
2
www.aprendes.com
es divergente.
Ejercicio 5: Estudiar si es convergente de la integral
I =
Z3
x · lnx dx.
Solución: Podemos calcular el valor de la integral usando la definición deintegral de primera especie:
I =
Z ∞3
x · lnxdx = limM→∞
Z M
3
x · lnxdx = limM→∞
·x2
2· lnx− x2
4
¸M3
=
= limM→∞
·x2
2· (lnx− 1
2)
¸M3
= limM→∞
·M2
2· (lnM − 1
2)− 9
2· (ln 3− 1
2)
¸=∞
Por tanto, la integral es divergente.También podríamos estudiar si la integral del enunciado es convergente me-
diante el criterio del cociente, comparando con la función g(x) = x:
limx→∞
x · lnxx
= limx→∞ lnx =∞.
ComoR∞3
g(x) dx =R∞3
x dx es divergente, por el criterio del cociente sabe-mos que la integral Z ∞
3
x · lnx dx
también diverge.
Ejercicio 6: Estudiar si es convergente la integralZ 1
0
dx4√x3 + x2 + x
.
Solución: El polinomio del denominador, x3+x2+x, se anula sólo cuandox = 0, luego se trata de una integral impropia de segunda especie. Observamosque
14√x3 + x2 + x
≤ 1
x3/4para 0 < x ≤ 1.
Sabemos que la integral Z 1
0
dx
x3/4
es convergente. Por el teorema de mayoración y minoración, concluimos que laintegral Z 1
0
dx4√x3 + x2 + x
es también convergente.
3
www.aprendes.com
Funciones de Euler: Gamma y Beta
Ejercicio 7: Demostrar que la función Γ, definida por Γ(p) =R∞0
xp−1e−x dx,es convergente si p > 0.Solución: La integral Γ(p) =
R∞0
xp−1 · e−x dx es una integral impropia detercera especie, ya que el intervalo de integración es de amplitud infinita, y lafunción que se integra no está acotada en x = 0. Por tanto, descomponemos laintegral en suma de dos:
Γ(p) =
Z ∞0
xp−1 · e−x dx =Z a
0
xp−1 · e−x dx+Z ∞a
xp−1 · e−x dx = I1 + I2,
d o nde a es un punto cu alqu iera del i nt ervalo (0,∞).
I1 es una integral impropia de segunda especie, con un solo punto de im-propiedad en x = 0. Aplicaremos el criterio del cociente con g(x) = 1
x1−p :
limx→ 0+
xp−1 · e−x1
x1−p= lim
x→ 0+xp−1·e−x·x1−p = lim
x→ 0+xp−1+1−p·e−x = lim
x→ 0+e−x = 1.
Por el criterio del co ciente, I1 converge si lo hace R a0
1x1−p dx. Sabemos que la
integralR a0
1x1−p dx es convergente si 1− p < 1. Por tanto, I1 es convergente
si 1− p < 1, es decir, si p > 0.
Por otro lado, I2 es una integral impropia de primera especie. Aplicaremosel criterio de cociente con g(x) = 1
x2 :
limx→∞
xp−1 · e−x1x2
= limx→∞xp−1 · e−x · x2 = lim
x→∞xp+1
ex= 0 para todo p.
Sabemos que la integralR∞a
1x dx es convergent e. Por el criterio del co ciente,
deducimos que la integral I2 es convergente para toda p.
I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0. Por consiguiente,
Γ(p) =
Z ∞0
xp−1 · e−x dx
es convergente si p > 0.
Ejercicio 8: Calcular la integralZ 1
0
xn(lnx)m dx.
Solución: Aplicamos el cambio de variable
x = e−t ⇒ dx = −e−t dt.
4
www.aprendes.com
Calculamos los extremos del nuevo intervalo de integración:
x = 0 ⇒ t =∞, x = 1 ⇒ t = 0.
Sustituyendo, obtenemos:
I =
Z 0
∞(e−t)n · (ln(e−t))m · (−e−t) dt =
Z ∞0
e−tn · (−t)m · e−t dt =
=
Z ∞0
(−1)m · e−t(n+1) · tm dt
Aplicamos un nuevo cambio de variable:
t(n+ 1) = z ⇒ dt =1
n+ 1dz
Los extremos del intervalo de integración no varían. Sustituyendo, obtenemos:
I =
Z ∞0
(−1)m · e−z · ( z
n+ 1)m · 1
n+ 1dz =
(−1)m(n+ 1)m+1
·Z ∞0
zm · e−z dz =
=(−1)m
(n + 1)m+1 · Γ(m + 1) = (−1)
m m !
(n+ 1)m+1
Por tanto,
I =
Z 1
0
xn · (lnx)m dx =(−1)m m !(n+ 1)m+1
.
Eje rcicio 9 : Demostrar que la f unción β, de fini da p o r β (p, q ) =R 10xp−1(1−
x)q−1 dx, es convergente si p > 0 y q > 0.Solución: La integral
β(p, q) =
Z 1
0
xp−1 · (1− x)q−1 dx
es una integral de segunda especie, ya que la función que se integra no estáacotada en x = 0 (si p < 1) ni en x = 1 (si q < 1). Por tanto, descomponemosla integral en suma de dos:
β(p, q) =
Z 1
0
xp−1·(1−x)q−1 dx =Z a
0
xp−1·(1−x)q−1 dx+Z 1
a
xp−1·(1−x)q−1 dx = I1+I2,
donde a es un punto cualquiera de (0, 1).
I1 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im-propiedad, en x = 0. Aplicamos el criterio del cociente con g(x) = 1
x1−p :
limx→ 0+
xp−1 · (1− x)q−11
x1−p= lim
x→ 0+xp−1 · (1− x)q−1 · x1−p = lim
x→ 0+(1− x)q−1 = 1.
5
www.aprendes.com
Por el criterio del cociente, I1 es convergente sólo s i lo es R a0
1x1−p dx lo es.
Sabemos queR a0
1x1−p dx es convergente si 1 − p < 1, es decir, si p > 0. Por
tanto, I1 es convergente si p > 0 (para cualquier valor de q).
I2 es una integral impropia de segunda especie con un solo punto de im-propiedad, en x = 1. Aplicamos el criterio del cociente con h(x) = 1
(1−x)1−q :
limx→ 1
xp−1 · (1− x)q−11
(1−x)1−q= lim
x→ 1xp−1 · (1−x)q−1 · (1−x)1−q = lim
x→ lxp−1 = 1.
Por el criterio del cociente, I2 es convergent e sólo si lo esR 1a
1(1−x)1−q dx lo es.
Sabemos queR 1a
1(1−x)1−q dx es convergente si 1 − q < 1, es decir, si q > 0.
Por tanto, I2 es convergente si q > 0 (para cualquier valor de p).
I1 e I2 convergen simultáneamente si p > 0 y q > 0. Por consiguiente, laintegral
β(p, q) =
Z 1
0
xp−1 · (1− x)q−1 dx
es convergente si p > 0 y q > 0.
Ejercicio 10: Calcular la integral
I =
Z π/2
0
(sinx)4 · (cosx)5 dx.
Solución:
I =
Z π/2
0
(sinx)4 · (cosx)5 dx = 1
2· β(p, q),
donde p y q cumplen:
2p− 1 = 4 ⇒ p =5
2
2q − 1 = 5 ⇒ q = 3.
Por tanto,
I =1
2· β(5
2, 3) =
1
2· Γ(
52) · Γ(3)Γ( 112 )
=1
2·
32 · 12 · Γ(12) · 2!
92 · 72 · 52 · 32 · 12 · Γ( 12)
=24
945.
6
www.aprendes.com
top related