integrales definidas
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Calculo Diferencial e Integral II
Integrales Definidas Ciclo escolar 2013-2014
Integrales Definidas
β’ La siguiente notaciΓ³n se lee:
La Integral definida de βπβ a βπβ de π(π).
Y representa el Γ‘rea con signo de la regiΓ³n limitada por el eje π, la curva π¦ = π(π₯)
y las rectas
π₯ = π, π₯ = π.
Ejemplos 2π₯ β 1 ππ₯
3
1
2 β π₯ ππ₯6
2
π₯
2+ 1 ππ₯
5
1
π₯
3β 1 ππ₯
5
β1
Sumas de Riemann
Sumas de Riemann β’ Si hacemos π = π₯0 < π₯1 < β― < π₯πβ1 < π₯π = π, una
particiΓ³n del segmento π β€ π₯ β€ π, y Ξπ₯π = π₯π+1 β π₯π, entonces
π π₯ ππ₯π
π
= limπββ
π π₯π Ξπ₯π
πβ1
π=0
= limπββ
π π₯π Ξπ₯πβ1
π
π=1
β’ A esta expresiΓ³n se le conoce como sumas de Riemann.
Sumas de Riemann x fx dx fxdx
0 0.000 0.1
0.1 0.095 0.1 0.0095
0.2 0.180 0.1 0.0180
0.3 0.255 0.1 0.0255
0.4 0.320 0.1 0.0320
0.5 0.375 0.1 0.0375
0.6 0.420 0.1 0.0420
0.7 0.455 0.1 0.0455
0.8 0.480 0.1 0.0480
0.9 0.495 0.1 0.0495
1 0.500 0.1 0.0500
1.1 0.495 0.1 0.0495
1.2 0.480 0.1 0.0480
1.3 0.455 0.1 0.0455
1.4 0.420 0.1 0.0420
1.5 0.375 0.1 0.0375
1.6 0.320 0.1 0.0320
1.7 0.255 0.1 0.0255
1.8 0.180 0.1 0.0180
1.9 0.095 0.1 0.0095
2 0.000 0.1
0.665
Sumas de Riemann
π₯3ππ₯2
1
2π₯2 β 10 ππ₯4
2
Teorema Fundamental del Calculo
β’ Si π π₯ es continua en el intervalo π β€ π₯ β€ π, y πΉ π₯ es una antiderivada de π π₯ , entonces
π π₯ ππ₯π
π
= πΉ π₯ π
π= πΉ π β πΉ π
β’ teorema
Ejemplos
π₯2ππ₯4
1
=π₯3
3 1
4
=43
3β
13
3
=64
3β
1
3=
63
3= 21
π₯4 β 2π₯ + 1 ππ₯4
2
=π₯5
5β π₯2 + π₯
2
4
=4 5
5β 4 2 + 4
β2 5
5β 2 2 + 2
=964
5β
22
5=
942
5
Ejemplos
2π₯ β 3 4ππ₯4
0
=1
2β
2π₯ β 3 5
5 0
4
=2π₯ β 3 5
10 0
4
=2 4 β 3 5
10
β2 0 β 3 5
10
=5 5
10β
β3 5
10
=3125
10β
β243
10=
3368
10
π₯ cos π₯ ππ₯π/2
0
= π₯ sen π₯ + cos π₯ 0
π/2
=π
2β sen
π
2+ cos
π
2β 0 β sen 0 + cos 0
=π
2β 1 + 0 β 0 β 0 + 1
=π
2β 1 =
π
2β 1
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