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5 Semejanzas

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ACTIVIDAD

Las transformaciones que mantienen la forma y las proporciones se llaman semejanzas.

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La forma más sencilla es el método de la proyección.

Construcción de figuras semejantes

• Fijamos un punto O.

• Trazamos rectas que pasen por O y por los vértices de la figura original.

• Los vértices de la nueva figura están alineados con O y con los vértices de la original, y sus lados serán paralelos a los de la figura original.

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Teorema de Thales

Comparando la sombra de un bastón y la sombra de las pirámides, Thales midió, por semejanza, sus alturas respectivas. La proporcionalidad entre los segmentos que las rectas paralelas determinan en otras rectas dio lugar a lo que hoy se conoce como teorema de Thales.

Teorema de Thales

Si tres o más rectas paralelas a, b y c son intersecadas por dos transversales r y s, y los segmentos de las rectas transversales determinados por las paralelas son proporcionales.

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Ejemplo:

Calcular la medida del segmento x.

Teorema de Thales

Ordenamos los datos en la proporción, según el teorema de Thales.

1524

8 x

524

12024x x120 24158 x

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Dos triángulos son semejantes cuando verifican las siguientes condiciones:

- Sus lados son proporcionales:

- Sus ángulos son iguales:

Semejanza de triángulos

''' c

c

b

b

a

a

'CC 'ˆB 'ˆˆ BAA

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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

'ˆˆ

'ˆˆ

BB

AA

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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.

PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

''' c

c

b

b

a

a

'ˆˆ

'ˆˆ

BB

AA

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Los criterios de semejanza de triángulos son las condiciones mínimas que han de cumplir los triángulos para que sean semejantes.

Criterios de semejanza de triángulos

SEGUNDO CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.

PRIMER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales.

TERCER CRITERIO: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

''' c

c

b

b

a

a

'ˆˆ

'ˆˆ

BB

AA

''

'ˆˆ

c

c

b

b

AA

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm

Por Pitágoras:

cm 525

2534 2322

a

aa

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm

Por Pitágoras:

cm 525

2534 2322

a

aa

Aplicando el teorema del cateto:

cm 8,15

953

cm 2,35

1654

22

22

nnanb

mmamc

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

Hallar la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 cm, respectivamente. 4 cm3 cm

Por Pitágoras:

cm 525

2534 2322

a

aa

Aplicando el teorema del cateto:

Aplicando el teorema de la altura:

cm 4,276,58,12,322 hhnmh

cm 8,15

953

cm 2,35

1654

22

22

nnanb

mmamc

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Aplicaciones de la semejanza de triángulos rectángulos

Calcular la altura de la torre.

Los triángulos siguientes son semejantes por ser triángulos rectángulos y tener un ángulo común.

m50

m37

m 6

h

m 12,837

506h

37

6

50

h

Por lo tanto, la altura de la torre es 8,12 metros.

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Semejanza de áreas y volúmenes

Si dos figuras planas son semejantes, con razón de semejanza r, sus áreas serán proporcionales y

la razón de la proporción es r2.

2lllA 2422 lllA

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Semejanza de áreas y volúmenes

Si dos cuerpos son semejantes, con razón de semejanza r, sus volúmenes serán proporcionales

y la razón de la proporción es r3.

332222 llllV

3llllV