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Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P1).
Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P1).
Angel Mª Sánchez PérezLaboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMM-ETSII-UPM
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas
A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
Parte 1 Diap. 2
Parte 1:Conceptos básicos
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A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
Parte 1 Diap. 3
MEDIDA DE UNA MAGNITUDMEDIDA DE UNA MAGNITUD
• Medir es comparar:– Mensurando
– Referencia de la misma clase (unidad)
• Clases de medida:– Diferencial o por comparación
– Absoluta o directa
• Sistema de medición:• Mensurando• Instrumento o sistema de medida• Operador• Magnitudes de influencia
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A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
Parte 1 Diap. 4
MAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIAMAGNITUDES DE INFLUENCIA Y CONDICIONES DE REFERENCIA
• Magnitud de influencia: magnitud que no es el mensurando pero que tiene un efecto sobre el resultado de la medición. (VIM 2.7)
• Densidad de un cuerpo empuje
• Resistencia eléctrica de un conductor T
• λ láser en el aire P, T, H del aire
• Aceleración de un oscilador frecuencia
– Considerar las que resultan significativas en el orden de precisión con el que se mide el mensurando.
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Parte 1 Diap. 5
• Longitud varilla acero 1 m en (20 ± 5) ◦C: el mensu-rando experimenta variaciones en ± 0,05 mm.
• Apreciación en resultado (1 mm) – el efecto de la temperatura es despreciable.
• Apreciación en resultado (0,01 mm) – se debe tener en cuenta la temperatura.
• Masa acero de 1 kg se mide por comparación con otra patrón de 1kg en el aire. Diferentes densidades suponen empujes distintos.
• Apreciación en resultado (1 g) – Difer. de densidades ≈ 10%, difer. de empujes despreciable.
• Apreciación en resultado (1 mg) – Difer. de densidades ≈ 10%, no pueden ignorarse empujes.
Ejemplos:
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Parte 1 Diap. 6
• Condiciones de referencia, lo que supone– Especificar valores de magnitudes influencia.
– Trabajar con instrumentos adecuados.
– Mensurando suficientemente bien definido.
– Utilizar un modo operativo apropiado.
Para que el resultado de una medición sea representativo,es necesario establecer:
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Parte 1 Diap. 7
• Si no se especificasen los valores de las magnitudes de influencia significativas. Por ejemplo, Se conviene que el valor resultante de la medida de un bloque patrón longitudinal debe referirse a 20 ºC pues aquél valor no sería metrológicamenteaceptable si no se indicase una temperatura de referencia.
• Si no se pudiese asegurar que la medida es trazable, lo que obliga a utilizar instrumentos calibrados. Por ejemplo, si el valor de una resistencia eléctrica se expresa en kΩ, debe poder asegurarse que el múltiplo empleado es lo suficientemente próximo a mil veces el ohmio que define el SI.
No tendría sentido la medida:
Ejemplos:
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Parte 1 Diap. 8
• Si se pretendiese medir el mensurando más allá de su grado o nivel de definición, es decir, con una apreciación tal que la magnitud a medir no resulte uniforme. Por ejemplo, la medida de la temperatura de un recinto puede estar bien definida en el orden del kelvin pero no en el de las centésimas de kelvin, por lo que hay que convenir a qué se denomina “temperatura” de un mensurando en cada caso.
• Si no se prescribieran los modos y procedimientos que el operador debe tener presentes al manipular el mensurando y el instrumentopara obtener las medidas. Por ejemplo, si el operador efectúa la calibración de un instrumento, debe existir un procedimiento de calibración que, entre otras cosas, defina adecuadamente los puntos de calibración, los patrones a emplear y el número de reiteraciones de las medidas en cada punto de calibración.
Ejemplos:
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Parte 1 Diap. 9
NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN
NATURALEZA ALEATORIA DE LAS MEDIDAS: DISPERSIÓN
• Magnitudes de influencia bajo control– Sus valores están dentro de un intervalo alrededor
del de referencia, por ejemplo la temperatura en (20±2)°C,
– pero dichos valores no son constantes ni en el espacio ni en el tiempo, por lo que
• se produce dispersión de las medidas si la división de escala (E) es suficientemente pequeña, al afectar la variabilidad de las magnitudes de influencia al sistema instrumento-mensurando-operador.
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Parte 1 Diap. 10
– Instrumento
– Mensurando
– Operador
• Medida naturaleza aleatoria
• Origen estadístico variabilidad no explicada
Otras causas de variabilidad (aunque las magnitudes
de influencia fuesen perfectamente estables).
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Parte 1 Diap. 11
• El resultado de medida es una variable aleatoria quese caracteriza por:
Parámetro de centrado
Parámetro de dispersión
La división de escala del instrumento (E) puedeenmascarar la variabilidad.
Ej.: E=0,001 mm E=0,01mm78,854 78,8578,852 78,8578,853 78,85
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Parte 1 Diap. 12
CORRECCIÓN DE LAS MEDIDASCORRECCIÓN DE LAS MEDIDAS
• Magnitudes de influencia fuera de control exigen aplicar correcciones a los valoresindicados o brutos.
• Correcciones• Incrementan complejidad, no siempre se conoce la
relación funcional entre el resultado y las magnitu-des de influencia.
• Ej.: caso de la barra λ′20 = λ′θ [1 + α (20 - θ )]
– Conocer α
– Medir y decidir θ de la barra
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Parte 1 Diap. 13
Corregir supone efectuar o
utilizar medidas adicionales
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Parte 1 Diap. 14
• Suponiendo que la longitud obtenida a θ °C no incorporala corrección de calibración, el resultado final es
λ20 = λ′20 + Cc = λ′θ [1 + α (20 - θ )] + Cc
• Se obtiene una relación funcional
λ20 = f (λ′θ, α, θ, Cc)
que responde a las hipótesis en el modelo adoptado, pero .....
Ej.: Longitud de la barra
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Parte 1 Diap. 15
• Se relaciona funcionalmente con los resultadosde otras medidas
– La función f puede no ser expresable analíticamenteo no conocerse completamente.
),........,,( 21 Nxxxfy =
RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN
RESULTADO DE CUALQUIER MEDICIÓN
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Parte 1 Diap. 16
• Medidas directas
• Instrumento con corrección global de calibración Cc
• Trabajando con unas condiciones de referenciaanálogas a las de calibración
y = x´ + cc
y es el resultado de la medida
x´ es el resultado bruto de la medida
cc es un estimador de Cc
CASO MÁS SIMPLECASO MÁS SIMPLE
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Parte 1 Diap. 17
SIGNIFICADO FÍSICO DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDASIGNIFICADO FÍSICO DE LA
INCERTIDUMBRE DE MEDIDA
• No es posible obtener valores exactos como resultado de las medidas
• Toda medida debe ser corregida al menos con la CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN
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Parte 1 Diap. 18
MEDIDA(imperfecta)
CORRECCIONES MEDIDAS
BUCLE DE MEDIDA BUCLE DE MEDIDA
• La expresión de un resultado concreto exigeromper este bucle, por lo que siempre que-da sin corregir alguna corrección.
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Parte 1 Diap. 19
CORRECCIONES
CORRECCIONESAPLICADAS
CORRECCIÓN RESIDUAL
INCERTIDUMBRE
La incertidumbre de la medida es una cotasuperior del valor de la corrección residual.
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Parte 1 Diap. 20
– Valor hacia el que converge el resultado de una medida
– Es el que mejor caracteriza un mensurando
– No tiene existencia física real
(indeterminación natural)
• Su determinación requeriría
– MENSURANDO PERFECTO
– SISTEMA de MEDIDA PEFECTO
– o introducción de TODAS las CORRECCIONES
VALOR VERDADERO DE LA MAGNITUD MEDIDA
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Parte 1 Diap. 21
– Es el valor que se obtiene cuando se decide interrumpir la aplicación de sucesivas correcciones
– Es el mejor valor que puede obtenerse con los medios disponibles
VALOR CONVENCIONALMENTE VERDADERO OVALOR RESULTANTE DE LA MEDIDA
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Parte 1 Diap. 22
• La incertidumbre de medida, U, es el valor de la semiamplitud de un intervalo alrededor del valor resultante de la medida (valor convencionalmente verdadero), y. Dicho intervalo representa una estimación ade-cuada de una zona de valores entre los cuales es “casi seguro” que se encuentre el valor verdadero del mensurando.
• Resultado de la medida: y ± U
INCERTIDUMBRE DE MEDIDA INCERTIDUMBRE DE MEDIDA
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Parte 1 Diap. 23
• La incertidumbre de medida es un parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensurando. (VIM 3.9)
¿Qué parámetro?¿Cómo se cuantifica?
¿Cómo se propaga?
Los planteamientos anteriores son congruentescon la definición de incertidumbre del VIM.
DEFINICIÓN VIM DEFINICIÓN VIM
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Parte 1 Diap. 24
INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS
INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS
• La incertidumbre cualifica las medidas:
(17,015 ± 0,015) mm
(17,015 ± 0,025) mm
(17,015 ± 0,040) mm Med
idas
de
may
or c
alid
ad
¿Cuál es la calidad necesaria?
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Parte 1 Diap. 25
INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS
INCERTIDUMBRE Y CALIDAD DE LAS MEDIDAS
• El valor de la incertidumbre es el primer índice de la calidad de una medida, que es tanto mayor cuanto menor es aquella.
• METROLOGÍA INDUSTRIAL– Las medidas no son un fin sino un medio para
conseguir otros fines.
– La aceptación de las medidas se decide a partir de la tolerancia previamente establecida.
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Parte 1 Diap. 26
¿POR QUÉ HAY QUE CONOCERLA INCERTIDUMBRE DE LAS MEDIDAS?
• Porque se mide para verificar que se cumplen especificaciones que suelen concretarse en el establecimiento de zonas de valores admisi-bles acotados por valores límite (tolerancias), y los valores obtenidos en las medidas no son exactos.
¡Porque lo impone UNE-EN ISO/IEC 17025 ... !
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Parte 1 Diap. 27
TOLERANCIATOLERANCIA
Tolerancia de una magnitud es el intervalo de valores en el que debe encontrarse dicha magnitud para que se acepte como válida.
FABRICACIÓN ARTESANAL
División del trabajo
FABRICACIÓN INDUSTRIAL
Intercambiabilidad
Normalización
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Parte 1 Diap. 28
TOLERANCIA e INCERTIDUMBRETOLERANCIA e INCERTIDUMBRE
T
U U
y
U U
y
U U
y
Para verificar si una magnitud está dentro de toleranciahay que medir, siendo preciso considerar la incertidumbre.
Situaciones claras Situación dudosa
U U
y
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Parte 1 Diap. 29
TOLERANCIA e INCERTIDUMBRETOLERANCIA e INCERTIDUMBRE
(tolerancia de verificación)
(tolerancia de especificación)MALASMALAS
BUENAS
U U
T
T-2U
DUDOSAS DUDOSAS
U U
102
3 ≤≤UTPara proceder así el intervalo de incertidumbre
debe ser varias veces menor que la tolerancia :
y
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Parte 1 Diap. 30
• La incertidumbre estimada para el valor resul-tante de la medida debe satisfacer la relación anterior u otra equivalente, lo que constituye el criterio de calidad exigible a las medidas industriales.
– No es ajeno a los laboratorios de calibración pues, en ocasiones pueden tener que comprobar especi-ficaciones de patrones e instrumentos de medida, es decir, comprobar si determinadas medidas se en-cuentran dentro o fuera de tolerancia.
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Parte 1 Diap. 31
• Se utiliza en:– Diseño de productos– Variables de procesos– Condiciones ambientales– Recepción de materiales– Ensayos– .......
Decidir si un valor está o no en tolerancia
Medir con lacalidad necesaria
ESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIASESPECIFICACIÓN POR TOLERANCIAS
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Parte 1 Diap. 32
RECOMENDACIONES DEL CIPMRECOMENDACIONES DEL CIPM
• Primera 1981
• Segunda 1986
• Componentes de incertidumbre en dos categorías
• TIPO A– Se estiman con procedimientos estadísticos sobre
los valores obtenidos al reiterar medidas de un mensurando
• TIPO B– Se aprecian por otros métodos
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Parte 1 Diap. 33
• Ambos tipos de componentes deben cuantifi-carse mediante:– varianzas o cantidades equivalentes,
– debiendo caracterizarse las situaciones de dependencia - en su caso - por las correspon-dientes covarianzas.
– La incertidumbre así determinada, puede multiplicarse por un factor superior a la unidad, al objeto de obtener una incer-tidumbre total mayor, pero a condición de indicar siempre el valor de dicho factor.
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Parte 1 Diap. 34
• Propuesta inicial CIPM– Desechar que todas las distribuciones de resultados
de medida responden a ley normal.
– Trabajar con desviaciones típicas o varianzas.
– No identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino con la desviación típica resultante (u).
U = ku– k = factor de incertidumbre, posteriormente, factor de
COBERTURA, RECUBRIMIENTO O INCLUSIÓN (ha-bitualmente entre 2 y 3).
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Parte 1 Diap. 35
– El intervalo de semiamplitud U incluye una gran proporción p de la distribución de valores que razonablemente podrían ser atribuidos al mensu-rando, siendo p la probabilidad de cobertura o nivel de confianza.
– Precisamente, la relación aconsejada para los límites de la relación T/2U hay que entenderla planteada sobre una incertidumbre expandida en el sentido de EA, es decir, con nivel de confianza del 95%.
Situación actual
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Parte 1 Diap. 36
– Resume conceptos fundamentales de la Guía ISO
(GUM).
– Establece que los laboratorios de calibración acreditados (ENAC en España) deben emitir sus certificados con
– Intervalo de incertidumbre expandida con probabilidad de cobertura o nivel de confianza del 95% (aproximadamente k = 2 para distribuciones normales).
EA-4/02
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Parte 1 Diap. 37
ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA
ESTIMACIONES Y ESTIMADORES: RESULTADO DE LA MEDIDA
• Condiciones de repetibilidad, supone efectuar las medidas:
• con el mismo método de medida,
• por el mismo observador,
• con el mismo instrumento,
• en el mismo lugar,
• con las mismas condiciones de utilización, y
• con pequeños intervalos de tiempo entre las medidas sucesivas.
Las indicaciones no son exactamente lasmismas, incluso después de corregidas.
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Parte 1 Diap. 38
• Conjunto de las medidas corregidas, es una muestra poblacional de una distribución estadística cuya función de densidad f(X) es en general desconocida
• Si se introducen todas las correcciones significativas, los valores de la muestra se situarán en las proximidades del valor verdadero del mensurando:
• Media o esperanza matemática (μ) de X (parámetro de centrado)
• Desviación típica (σ) de X (parámetro de dispersión)
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Parte 1 Diap. 39
Indicaciones
Frecuencias
X
f(X)
σ σ
μ
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Parte 1 Diap. 40
∫+∞
∞−=>≡< dXXXfX )(μ
• Media o esperanza matemática
∫+∞
∞−−=≡ dXXfXXV )()()( 22 μσ
• Varianza
X
f(X)
σ σ
μ
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Parte 1 Diap. 41
• Al desconocerse f(X) no resulta posible determinarlos por este camino.
– La estadística nos proporciona unos valores apro-ximados (estimadores) de dichos parámetros que pueden obtenerse a partir de cualquier muestra concreta de extensión (n) suficiente.
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Parte 1 Diap. 42
Indicaciones
Estimadores más usados en metrología:
∑=
==≡n
iix
nxm
1
1μ̂
• Media aritmética
∑=
−−
==≡n
ii xx
nsV
1
222 )(1
1σ̂
• Varianza muestral
Frecuencias
s s
m
ESTIMADORESESTIMADORES
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Parte 1 Diap. 43
• ¿Puede expresarse el resultado de la medida mediante m ± s ?– La media aritmética, m, es el mejor valor corregido
y por ello, en todas las áreas de la metrología, se acepta que el valor resultante de las medidas (valor convencionalmente verdadero) es la media aritmética de las indicaciones corregidas.
– La cuantificación de la incertidumbre del resultado mediante el parámetro de dispersión indicado (la desviación típica muestral s), es inapropiada por diferentes razones.
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Parte 1 Diap. 44
nX
X
22 σσ =
– s es un estimador de la dispersión de la población de medidas
– El resultado no es una de esas medidas (es la media aritmética)
– El estimador media aritmética es otra variable estadística ( ), distinta de la que representa la población considerada ( ) pero relacionada con ella. Es sencillo deducir que la media de ( ) coincide con la de y que entre las varianzas de ambas variables existe la siguiente relación:
XX
XX
¿Por qué s no es la incertidumbre?¿Por qué s no es la incertidumbre?
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Parte 1 Diap. 45
• Si se trabaja con los estimadores se utiliza:
• Se le llama normalmente componente de repetibilidad.
• Debe componerse con las restantes para obtener la incertidumbre típica resultante.
nssX =
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Parte 1 Diap. 46
• Trazabilidad de un conjunto de medidas es la carac-terística que garantiza que todas ellas poseen una referencia común, por ejemplo, la realización de la unidad del SI en la que se expresa el resultado de cada medida.
• El Vocabulario Internacional de Metrología (VIM) recoge la siguiente definición:
• Trazabilidad es la propiedad del resultado de una medida o de un patrón que le permite relacionarlo con referencias deter-minadas, generalmente patrones nacionales o internacionales, a través de una cadena ininterrumpida de comparaciones todas ellas con incertidumbres determinadas (VIM 6.10)
• En la definición anterior interviene la incertidumbre.• Las comparaciones de la cadena de trazabilidad constituyen
calibraciones.
TRAZABILIDADTRAZABILIDAD
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Parte 1 Diap. 47
– Es conveniente que los intervalos de incerti-dumbre indicados se correspondan con valores de incertidumbre expandida que confieran una segu-ridad similar a la caracterización de los correspon-dientes mensurandos
– La mejor forma de asegurar la trazabilidad de un sistema de medida:
– Medir con él un patron con trazabilidad (calibración)
– Corregir si se trabaja lejos de las condiciones de referencia
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Parte 1 Diap. 48
CALIBRACIÓNCALIBRACIÓN
• Calibración es el conjunto de operaciones que establecen, en unas condiciones determinadas, la relación que existe entre los valores de una magnitud indicados por un instrumento o sistema de medida, o los valo-res representados por una medida materia-lizada o por un material de referencia, y los correspondientes valores de la magnitud realizados por patrones. (VIM 6.11)
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Parte 1 Diap. 49
– Poner de manifiesto las discrepancias existentes entre el instrumento o patrón que se calibra (calibrando) y un elemento de referencia con características metrológicas suficientemente estables y conocidas.
– La información resultante de la calibración debe combinarse con otras para estimar la incer-tidumbre asignada a las medidas realizadas con el elemento calibrado.
Finalidad de la calibración
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Parte 1 Diap. 50
ESQUEMA DE LA CALIBRACIÓNESQUEMA DE LA CALIBRACIÓN
• El resultado es el valor de una magnitud y su incertidumbre.
Patrón oinstrumento
de calibración
Patrón oinstrumento
a calibrar
Procedim.de
calibración
Resultado de la calibración
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Parte 1 Diap. 51
CERTIFICADO DE CALIBRACIÓNCERTIFICADO DE CALIBRACIÓN
• El resultado de una calibración se recoge en un documento que suele denominarse certificado de calibración. El certificado puede ser:– De un patrón:
• Valor e incertidumbre resultante.
– De un instrumento:
• Corrección y su incertidumbre en los puntos de calibra-ción. Cualquier corrección considerada, incluso si su valor fuese nulo, introduce una componente de incerti--dumbre ya que se trataría de un cero “inexacto”.
• A veces, incertidumbre del instrumento o incertidumbre de uso pero no es recomendable y debería definirse.
– También puede incluirse conformidad o no a una especificación metrológica.
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Parte 1 Diap. 52
Elemento
Resultado
Proc. Calibr.
Elemento
Resultado
Proc. Calibr.
Elemento
Resultado
Proc. Calibr.
CADENAS DE TRAZABILIDADCADENAS DE TRAZABILIDAD
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Parte 1 Diap. 53
• La calibración:
• Establece la trazabilidad de los elementos de medida.
• Permite asignar incertidumbre final a los resultados de medida.
• A medida que se desciende por las cadenas de trazabilidad, alejándose del patrón primario, la incertidumbre de las correspondientes medidas va aumentando.
• Si los sucesivos intervalos de incertidumbre recubren los anteriores, todas las medidas resultan equivalentes.
OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓNOBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas
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Parte 1 Diap. 54
• El calibrando ha de trabajar durante la calibración en la misma forma en que lo hace habitualmente.
• La incertidumbre de una medida depende del instrumento de medida, por lo que con dos instrumentos diferentes pueden asignarse diferentes incertidumbres a un mismo mensurando.
• La incertidumbre de una medida también depende del mensurando, por lo que al medir dos mensurandos diferentes con un mismo instrumento puede obtenerse igual valor para ambos pero distinta incertidumbre.
• La incertidumbre se predica de la medida de una magnitud por lo que no debería emplearse la expresión “incertidumbre del instrumento” o, si se utiliza – no recomendable-, explicar lo que significa.
OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓNOBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas
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Parte 1 Diap. 55
• Es importante limitar la longitud de las cadenas de trazabilidad y arrancar en su origen con la menor incertidumbre posible.
• Se realizan comparaciones que refuerzan “horizontalmente” la trazabilidad diseminada “verticalmente” mediante calibraciones.
• Las comparaciones son obligatorias para los laboratorios de calibración acreditados.
OBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓNOBSERVACIONES SOBRE CALIBRACIÓN
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Parte 1 Diap. 56
MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA:FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
MAGNITUDES DE ENTRADA Y SALIDA:FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Directas
• Clases de medidas
Indirectas
– Directas Instrumento medida
– Indirectas magnitudes de entrada relación funcional magnitud de salida
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Parte 1 Diap. 57
– Velocidad con un velocímetro.
– Superficie de un rectángulo con una cámara y un sistema de digitalización que de el resultado en unidades de superficie.
– Resistencia eléctrica con un polímetro.
Ejemplos de MEDIDAS DIRECTASEjemplos de MEDIDAS DIRECTAS
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Parte 1 Diap. 58
– Velocidad media midiendo distancia y tiempo
– Superficie midiendo longitud de los lados
– Resistencia midiendo V e I
tLV =
21 LLA ⋅=
IVR =
Ejemplos de MEDIDAS INDIRECTASEjemplos de MEDIDAS INDIRECTAS
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Parte 1 Diap. 59
– Cualquier medida puede expresarse mediante una relación funcional si se explicitan las correcciones aplicadas, pues siempre ha de existir al menos la corrección de calibración
Y : mensurando a determinar
(magnitud o variable de salida)
:
mensurandos que permiten obtenerlo
(magnitudes o variables de entrada)
f : función de transferencia o función modelo.
),....,,( 21 nXXXfY =
nXXX ,....,, 21
Función de transferencia o función modeloFunción de transferencia o función modelo
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Parte 1 Diap. 60
MEDIDAS DIRECTASMEDIDAS DIRECTAS
),....,,( 21
1
nXXXfYXY
=≈ Lecturas
Magnitudes de influenciaconsideradas en el modelode correcciones (corr. cali-bración y otras).
L
x1
321CE1ˆ xxxccxyL ++≡++=≡
Corr. calibrac.
Corr. redondeo
Lectura
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Parte 1 Diap. 61
MEDIDAS INDIRECTASMEDIDAS INDIRECTAS
),....,,,....,,(
),....,,(
121
21
nmm
m
XXXXXfY
XXXY
+=
Φ≈ Magnitudes que intervienen en Φ(ley física o geo-métrica).
Magnitudes de influenciaconsideradas en el modelode correcciones (corr. cali-bración y otras).
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Parte 1 Diap. 62
MEDIDAS INDIRECTASMEDIDAS INDIRECTAS
I
V
A
VR
642
531
CIEI
CVEV
ˆˆ
ˆxxxxxx
ccIccV
yR++++
=++
++=≡
Lectura voltímetro
Lectura amperímetro
Corr. redondeo volt.
Corr. redondeo amp.
Corr. calibrac. volt.
Corr. calibrac. amp.IVR =
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Parte 1 Diap. 63
– Caracteriza el procedimiento de medida y la forma de evaluar el resultado, es decir, el modelo de medición decidido.
– Representa el sistema:
• Mensurando
• Instrumento
• Operador-entorno
Función de transferencia o función modeloFunción de transferencia o función modelo
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Parte 1 Diap. 64
• Modelo unidimensional de dilatación para correcciones térmicas
– Admisible para cuerpos esbeltos como barras y varillas.
– Inadecuado para la distancia entre los ejes de dos taladros del bloque de un motor.
• En general, la función modelo, f– Suele responder a una expresión analítica.
– Puede no ser explícita.
– Puede no ser expresable analíticamente (algoritmo).
ℓ20= ℓθ [1+α (20-θ)]
Ejemplo:
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Parte 1 Diap. 65
• Algunas variables de la función modelo se estiman con valores de entrada que no influyen sobre el valor de salida o valor resultante (y). Por ejemplo, una corrección de valor nulo en una función modelo aditiva. Sin embargo, la incertidumbre de aquellas varia-bles siempre son positivas y pueden ser signi-ficativas por lo que deben mantenerse dichas variables en la función modelo.
• La función modelo se emplea para determinar el resultado (valor e incertidumbre).
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Parte 1 Diap. 66
• A veces hay más de una variable de salida y por tanto varias funciones de transferencia (se suelen englobar en la matriz de transferencia). En cualquier caso:
• Objetivo que se persigue con un sistema de medida:– determinar razonablemente la función f, para
– obtener el valor que mejor caracteriza al mensurando y la incertidumbre de dicho valor.
• Para ello es necesario disponer de informaciones simi-lares para cada una de las magnitudes de entrada, ya sea midiéndolas, utilizando los resultados de las medi-das de otros o estimándolas adecuadamente.
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Parte 1 Diap. 67
• Medida de una magnitud• Magnitudes de influencia• Correcciones• Incertidumbre de medida• Tolerancia• Recomendaciones CIPM• Resultado de la medida• Trazabilidad y calibración• Funciones modelo
• Medidas directas• Medidas indirectas
• Aclaraciones
Resumen de la Parte 1Resumen de la Parte 1
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Parte 1 Diap. 68
Fin de la parte 1 (sesión 1)
Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P2).
Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P2).
Angel Mª Sánchez PérezLaboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMM-ETSII-UPM
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Parte 2 Diap. 2
Parte 2:Incertidumbre típica
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Parte 2 Diap. 3
• El valor resultante de una medida (y) siempre depende de los valores de otras magnitudes (x1, x2 , …, xN) lo que se escribe mediante la relación funcional:
que es la función modelo o función de trans-ferencia.
• Si se mide la longitud de una pieza, su valor depende de la indicación del instrumento, de la corrección a introducir si la pieza no estuviese 20 ◦C, de las correcciones a aplicar al instrumento, etc.
• Cuando se determina la densidad de un cuerpo a partir de medidas previas de su masa y de su volumen, hay que consi-derar, al menos, dos variables.
),........,( 21 Nxxxfy =
MODELO DE MEDIDAMODELO DE MEDIDA
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Parte 2 Diap. 4
• Como los valores (x1, x2 ,..., xN) no pueden determinarse exactamente, el valor resultante de la medida (y) tampoco es exacto y entran en juego las incertidumbres.
• Las incertidumbres de las variables de entrada (x1, x2 ,..., xN) y la función modelo permiten determinar la incertidumbre del valor resultante (y) según veremos.
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Parte 2 Diap. 5
CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA
CUANTIFICACIÓN de la INCERTIDUMBRE TÍPICA de las VARIABLES de ENTRADA
• Incertidumbre típica:– Se denomina incertidumbre típica de una cierta
variable a la desviación típica asociada a la misma, es decir, la incertidumbre típica es la incertidumbre correspondiente a una desviación típica.
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Parte 2 Diap. 6
• La evaluación de la incertidumbre típica de las magnitudes de entrada se efectúa mediante
• Evaluación tipo A
• Evaluación tipo B
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Parte 2 Diap. 7
Evaluación tipo AEvaluación tipo A
• Conjunto de n medidas independientes del mensurando (Xi) obtenidas en condiciones de repetibilidad. La varianza se estimamediante la varianza muestral de la media:
donde el valor estimado para Xi es
que es un estimador insesgado de la media de Xi, pudiéndose emplear también la letra minúscula, xi, para designar el valor de dicho estimador.
∑=
=n
jiji x
nx
1
1
∑=
−−
==n
jiij
ii xx
nnnxs
xs1
22
2 )()1(
1)()(
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Parte 2 Diap. 8
– Cuando la desviación típica se determina de la forma indicada, el número de grados de libertad,
υ = n – 1 (en general υ = n – r) es una información importante para estimar la fiabilidad de la evaluación de dicha desviación típica y debe tenerse en cuenta que siempre debería ser
n ≥ 10
– No se recomienda usar las expresiones anteriores si
n < 5.
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Parte 2 Diap. 9
• La evaluación tipo B de la incertidumbre típica asociada a una estimación (xi) de una variable de entrada (Xi) no se realiza mediante análisis estadístico de medidas de repetibilidad obtenidas en el proceso de la propia medición.
Evaluación tipo BEvaluación tipo B
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Parte 2 Diap. 10
• En las evaluaciones tipo B las informaciones pueden proceder de muy diversas fuentes:
– Datos de certificados de calibración
– Valores adoptados de manuales técnicos o tablas de reconocida solvencia
– Datos de medidas previas
– Especificaciones fiables de fabricantes
– Conocimiento y experiencia con los mensurandos y los sistemas de medida implicados
– Valores recomendados asociados a la utilización de buenas prácticas de laboratorio
– Hipótesis sobre la clase de función de densidad de la variable Xi
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Parte 2 Diap. 11
• Si el mensurando Xi– está bien definido,
– se encuentra en condiciones de control estadístico, conociéndose una buena estimaciónde su varianza poblacional sp
2,
la varianza de la medida, xi , es:
donde n es cualquier valor, incluso la unidad.
ns
xsxu ii
2p22 )()( ==
Ejemplos de evaluación tipo BEjemplos de evaluación tipo B
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Parte 2 Diap. 12
• Ejemplo concreto del anterior:– Contribución de repetibilidad en la medida de BPL
(L≤ 0,1 m), con banco de E ≥ 0,01 μm.
– Antes de calibrar se comprueba repetibilidad de los palpadores con un solo BPL y diez contactostras uno de ajuste.
– Los diez valores se comparan con un histórico y se aceptan o rechazan según un criterio.
– Se estima sp con todos los datos (n>500).
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Parte 2 Diap. 13
• Cuando se conoce un único valor de la variable de entrada, por ejemplo si:
– sólo se mide un vez (medida destructiva)
– el resultado se toma de documentación técnica (coef. dilatación)
– el resultado es facilitado por terceras personas (certifi-cado de calibración)
• Valor del mensurando, el valor único.
• Incertidumbre típica, la facilitada por la fuente (documentación o certificado) o, en su defecto, calculada en base a la experiencia.
Ejemplo de evaluación tipo BEjemplo de evaluación tipo B
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Parte 2 Diap. 14
• Un (BPL) de calidad 00 lleva grabado el valor del coeficiente de dilatación lineal α = 11,6⋅10-6
K-1 pero no indica su incertidumbre que resulta necesaria.– El evaluador considera que la información es
suficientemente fiable para adoptar como incer-tidumbre típica la mitad del valor de la última cifra significativa grabada, es decir u(α)=0,05⋅10-6 K-1.
Ejemplos de evaluación tipo BEjemplos de evaluación tipo B
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Parte 2 Diap. 15
• Determinación tipo B cuando se supone una distribuciónde probabilidad para la variable de entrada
– Si el mensurando responde a una distribución de probabilidad, la estimación del mismo es la media de dicha distribución y su desviación típica es la incertidumbre típica asociada.
– Distribuciones:– Normal
– Triangular
– Uniforme
– Algún tipo de beta.
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Parte 2 Diap. 16
• Determinación tipo B cuando sólo se pueden estimar límites, inferior y superior para los valores de la variable de entrada
– Si sólo se conocen los límites• Superior a+
• Inferior a–
– Por ejemplo, tolerancia de una magnitud de influencia
– Redondeo de las indicaciones de un instrumento digital, etc.
puede asumirse una distribución uniforme o rectangular
)(21
−+ += aaxi22 )(
121)( −+ −= aaxu i
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Parte 2 Diap. 17
a+a–
a+– a–
f(x)
x
23
22
2
)(121
3)(1)()()(
)(21
2)(11)(
−+−+
∞+
∞−
−+−+
−+
∞+
∞−−+
∞+
∞−
−=−
−=−=≡
+=−
−=
−==>≡<
+
−
∫
∫∫
aaxaa
dxxfxxV
aaaaaa
xdxaa
dxxxfx
a
a
μμσ
μ
Detalle del cálculo para distribución uniformeDetalle del cálculo para distribución uniforme
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Parte 2 Diap. 18
• Si se trata de un intervalo de tolerancia de amplitud 2ΔTcentrado sobre el valor T0, es decir T0 ± ΔT, el resultado es
• La contribución del redondeo de las lecturas a E o a E/2, se trata de esta forma (ΔT=E/2 o ΔT=E/4)
Ejemplo: Voltímetro digital con E = 0,1 V• Cualquier indicación corresponde a un intervalo ± 0,05 V, por lo
que la incertidumbre típica por redondeo resulta igual a
• Si E es grande (poca resolución del instrumento) s ≈ 0, y tiene importancia la contribución de redondeo
( )22
31)( Txu i Δ=oi Tx =
305,0 V
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Parte 2 Diap. 19
• No se puede medir.
• Está entre 20 °C y 21 °C .
• El sistema de control determina que sea más probable encontrar la temperatura cerca de los límites que en la zona central.
• Se adopta una variación senoidal de la temperatura sobre el centro del intervalo de temperatura, función del tiempo:
• Θ temperatura de la cámara.
• Θo temperatura correspondiente al
centro del intervalo (20,5 º C).
• θA amplitud del intervalo (0,5 ºC).
Incertidumbre de la temperatura de una cámaraIncertidumbre de la temperatura de una cámara
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Parte 2 Diap. 20
– Haciendo θ = Θ - Θo se tiene:
– La función de densidad de θ puede obtenerse determinando la probabilidad de que la temperatura se sitúe en el entorno de un cierto punto a partir de su ley de variación temporal:
( )ϕωθθ += tsenA
)(cos2)(
A ϕωπθθθ
θπω
πωθθ
+====
tdddt
Tdtdf &
( )ϕωθ ++= tsenΘΘ Ao
Incertidumbre de la temperatura de una cámaraIncertidumbre de la temperatura de una cámara
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Parte 2 Diap. 21
– La función de densidad resultante es:
con media: Θ = Θo
y desviación típica:
– Por consiguiente
• Valor estimado: 20,5 °C
• Incertidumbre: °C25,0
22A
1)(θθπ
θ−
=f
2Aθσ =
θ
f(θ)
0ˆ=θ
Incertidumbre de la temperatura de una cámaraIncertidumbre de la temperatura de una cámara
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Parte 2 Diap. 22
INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN
INCERTIDUMBRE TÍPICA RESULTANTE: LEY de PROPAGACIÓN
– Se conocen los estimadores de las variables de entrada y sus incertidumbres típicas y se trata de obtener el valor y la incertidumbre de la variable de salida (resultado), conociendo la función modelo:
Utilizando minúsculas para los estimadores,
y admitiendo la linealización de la función en el entorno del punto de trabajo, se obtiene:
(1)
y promediando:
( )NXXXfY ,...,2,1=
( ) ( )∑=
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+≈N
iii
xiN xX
XfxxxfY
i1
2,1 .,...,
iii xX >==< ˆμ̂
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Parte 2 Diap. 23
– A partir de (1), se obtiene el valor resultante de la medida:
y recordando las definiciones de varianza y covarianza
se obtiene la ley de propagación de varianzas-covarianzas que permite estimar la varianza de Y, en la forma
(2)
donde u(xi, xj) estima la covarianza entre los valores resultantes de las variables de entrada Xi y Xj
),,(ˆ N,1 xxxfyY i ΛΛ==><∧
=μ
∑ ∑= =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
≈==N
i
N
jji
xjxiy xxu
Xf
XfYVyuu
ji1 1
22 ),(..)(ˆ)(
( ) )(V),(cov 222 XXXXXXX =⟩⟩⟨−⟨=⟩⟨−⟩⟨=⟩⟩⟨⟨−⟩⟨== YXXYXYYX ),(cov),(cov
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Parte 2 Diap. 24
• Notas:
– La media es un operador lineal pues, siendo a una constante:
– La varianza no es un operador lineal pues
⎭⎬⎫
⟩⟨=⟩⟨⟩⟨+⟩⟨=⟩+⟨
XaaXYXYX
( ) ( )( ) ( )
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⟩⟩⟨⟨−⟩⟨=
++=⟩+⟩⟨+⟨−⟩+⟨=+
)V()V),(cov2VV
V
222
2
XaaXaXXa(aXYXYX
YXYXYXYX
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Parte 2 Diap. 25
• Si todas las variables de entrada son incorreladas, la expresión (2) se reduce a la ley de propagación de varianzas:
siendo ci los coeficientes de sensibilidad:
• Designando la ley de propagación de varianzas resulta:
∑∑==
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=N
iii
N
ii
xi
xucxuXfyu
i1
22
1
22
2 )()()(
ii xXii X
fc=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=
)()( iii xucyu =
∑=
=N
ii yuyu
1
22 )()(
LEY de PROPAGACIÓN de VARIANZASLEY de PROPAGACIÓN de VARIANZAS
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Parte 2 Diap. 26
• La hipótesis de linealidad es admisible en la mayor parte de los casos.
• Si la estimación u(y) es anormalmente baja(punto de trabajo próximo a un extremorelativo de la función f ) hay que introducirtérminos de orden superior en el desarrollo de Taylor interviniendo los estimadores de loscoeficientes de asimetría y de curtosis.
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Parte 2 Diap. 27
– Medida indirecta del área de una placa rectangular
– Conociendo , , y si ambos valoresson independientes, lo que podría ser inadmisiblesi se hubieran obtenido con el mismo instrumento, se tiene:
)(bub ± )(huh ±b
hbhA =
Ejemplos:
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Parte 2 Diap. 28
bhfch
bfcbhA hb =
∂∂
==∂∂
=⇒=
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
)()(
)()(222
222
hubAu
buhAu
h
b )()()( 22222 hubbuhAu +=
)()()()()( 222
2
2
2
2
2
hwbwh
hub
buA
Au+=+=
)()()( 22 hwbwAw +=
A veces se emplea la incertidumbre relativa w(x)=u(x)/x
Ejemplos:
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Parte 2 Diap. 29
)()( 2
1
22i
N
ii xwpyw ∑
=
=
• La expresión obtenida es un caso particular de funciones de transferenciadefinidas por un monomio de forma general:
el resultado es:
∏=
=N
i
piN
iXcXXXf1
21 ),....,,(
yxpx
xcpc
i
iN
i
pi
iii
i == ∏=1
1
)()()( 2222
2222
iii
iii xwpy
xxupyyu ==
Ejemplos:
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Parte 2 Diap. 30
– La varianza de la diferencia de dos variables independientes es la suma de las varianzas. En este caso el modelo es Y=X1-X2 y pasando a los estimadores y=x1-x2
El mismo resultado que para la suma.
– Es un caso particular de función modelo combina-ción lineal de las variables de entrada
11 =c 12 −=c
)()( 11 xuyu = )()( 22 xuyu −=
)()()( 22
122 xuxuyu +=
Ejemplos:
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Parte 2 Diap. 31
– Es decir
siendo indiferente el signo de las constantes pipues en la expresión final todas ellas intervienen al cuadrado.
∑=
=⇒=N
1iiiii pcxpy
∑=
=N
1)()(
iiii xupyu
∑∑==
==N
1
2N
1
222 )()()(i
ii
ii yuxupyu
Ejemplos:
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Parte 2 Diap. 32
• Ejemplo:– 10 medidas con micrómetro de exteriores
E = 0,01 mm analógico
62,13 62,13 62,13 62,13 62,13
62,13 62,13 62,13 62,13 62,13
– Se desea determinar la contribución de incerti-dumbre típica asociada a la repetibilidad
• No puede deducirse que la contribución de repetibilidad sea nula pues las indicaciones sólo aseguran que el valor medido se encuentra en 62,13 mm ± 0,005 mm.
Contribución por redondeo de indicacionesContribución por redondeo de indicaciones
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Parte 2 Diap. 33
– Modelo aplicable:X = lecturas redondeadas CE = corrección de escala
• Desconocida
• Se admite que se encuentra con toda seguridad en el intervalo ±E/2• Se considera que responde a una función de densidad uniforme de
media nula definida en ±E/2• En consecuencia cE = 0, resultando:
• En el ejemploxcxy E =+=
( )123
20)()()(22
222 EEcuxuyu E =+=+=
ECXY +=
mm003,01201,0
12)( ≈==
Eyu
Ejemplo:
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Parte 2 Diap. 34
• El resultado de este modelo también suele aplicarse, por seguridad, a cualquier instrumento que presenta las indicaciones redondeadas (presentación numérica o digital) y aunque las medidas no resulten tan repetitivas. En las medidas con un cierto nivel de dispersión la contribución del redondeo suele ser despreciable.
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Parte 2 Diap. 35
• Modelo de medida• Evaluaciones tipo A y B• Ejemplos de contribuciones individuales• Incertidumbre típica combinada: ley depropagación de varianzas: ejemplos
• Incertidumbres relativas: ejemplos• Aclaraciones
Resumen de la Parte 2Resumen de la Parte 2
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Incertidumbre de los resultados de medida: calibraciones y medidas
A.M. Sánchez Pérez LMM-ETSII-UPM
Parte 2 Diap. 36
Fin de la parte 2 (sesión 1)
Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P3).
Incertidumbre de los resultados de medida:
calibraciones y medidas (P3).
Angel Mª Sánchez PérezLaboratorio de Metrología y Metrotecnia
LMM-ETSII-UPM
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Parte 3 Diap. 2
Parte 3:Incertidumbre expandida
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Parte 3 Diap. 3
• En las diapositivas siguientes se recoge un resumen de los criterios ENAC (Entidad Nacional de Acreditación) para el cálculo de las incertidumbres de medida tal y como se exige que lo hagan los laboratorios que acredita.
• Estos criterios se incluyen en el documento EA-4/02 (*), elaborado de acuerdo con la GUM (ISO y otros) pero aplicando algunas simplifi-caciones.
(*) Gratuito a través de internet, por ejemplo desde la página de ENAC.
RESUMEN ENACRESUMEN ENAC
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Parte 3 Diap. 4
INCERTIDUMBRE EXPANDIDA Y PROBABILIDAD DE COBERTURAINCERTIDUMBRE EXPANDIDA Y PROBABILIDAD DE COBERTURA
• EA ha decidido que los laboratorios de calibración acreditados por las entidades miembros de EA, como ENAC, proporcionen una incertidumbre de medida expandida, U, obtenida multiplicando la incertidumbre típica, u(y), de la estimación del resultado por un factor de cobertura, k, es decir
U = k u(y)de forma que U se corresponda con un nivelde cobertura del 95%.
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Parte 3 Diap. 5
• EA-4/02 distingue los siguientes casos para la función de distribución de la variable resultante, Y:– Asimilable a una normal
• con estimación de la incertidumbre típica suficiente-mente fiable, o
• con estimación de la incertidumbre típica no suficiente-mente fiable.
– No asimilable a una normal.
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Parte 3 Diap. 6
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA SUFICIEN-TEMENTE FIABLE
– Hipótesis de distribución normal no siempre es fácil de confirmar experimentalmente.
La distribución resultante puede suponerse normal cuando
• La variable que representa el resultado se obtiene a través de varias contribuciones (tres o más), carac-terizadas por funciones de densidad independientes con buen comportamiento. Por ejemplo, normales, unifor-mes, etc.,
• y las componentes de incertidumbre de cada una de ellas contribuyen a la incertidumbre típica del resultado con cantidades comparables.
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Parte 3 Diap. 7
– La fiabilidad de u(y), se asocia con el número de grados de libertad efectivos. La fiabilidad de u(y) se considera suficiente:
• Si ninguna de las contribuciones tipo A empleadas en la determinación de u(y) se ha efectuado con menos de diez valores.
• Las estimaciones tipo B son seguras.
– Si se dan las dos condiciones anteriores [normalidad y fiabilidad de u(y)], debe utilizarse (k=2) para una incerti-dumbre expandida correspondiente a una probabilidad de cobertura del 95 %, aproximadamente.
• EA, señala que estas condiciones se satisfacen en la mayor parte de los casos que se presentan en el trabajo de calibración
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 8
– La utilización de intervalos de incertidumbre con una probabilidad de cobertura aproximadamente igual es esencial para comparar los resultados de diferentes mediciones como, por ejemplo
• cuando se evalúan los resultados de una comparación entre laboratorios,
• cuando se comprueba el cumplimiento de una especificación o,
• cuando se establecen las incertidumbres del alcance de acreditación de un laboratorio de calibración
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 9
Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA NO SUFI-CIENTEMENTE FIABLE
– Si no es factible • Incrementar el número de repeticiones en las
estimaciones tipo A con n<10• Ni sustituir éstas por evaluaciones tipo B
La solución es incrementar convenientemente el factor k para conseguir una probabilidad de cober-tura aproximadamente igual al 95 %.
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 10
• Como la fiabilidad de la incertidumbre típica asignada al resultado depende de los gradosde libertad efectivos, se procede aplicando los siguientes criterios:
– Al estimar el número de grados de libertad efectivos, νef , del resultado u(y) hay que tener en cuenta:
• si algunas determinaciones tipo A se hacen con un número de grados de libertad ν = n-1 < 9, o
• si existen contribuciones de incertidumbre evaluadas tipo B
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 11
• Las estimaciones tipo A se consideran con sus grados de libertad (ν = n-1 en modelos sencillos)
• Las estimaciones tipo B se admiten como muy seguras por lo que ν = ∞.
– EA-4/02 recomienda la fórmula de Welch-Satterthwaite para combinar los grados de libertad de cada variable y obtener el número de grados de libertad efectivos, νef.
∑=
=N
i i
i yuyu
1
4
4
ef )()(
ν
ν
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 12
– A partir del número de grados de libertad efectivos se determina el factor de cobertura (k) con la tabla E-1 del documento EA-4/02 sobre la base de una distribución t evaluada para una probabilidad de cobertura del 95%, aproximadamente, redondean-do el valor del número de grados de libertad efectivos, νef, al entero más próximo por defecto.
2,002,052,132,282,372,432,522,652,873,314,5313,97k
∞50201087654321νef
DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO
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Parte 3 Diap. 13
– Cuando alguna de las condiciones:
• Incertidumbre típica suficientemente fiable
• Distribución normal
no se satisface, el uso de k = 2, puede propor-cionar una probabilidad de cobertura inferior al 95%.
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Parte 3 Diap. 14
HIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLEHIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLE
– Es necesario identificar una función de densidad que se adapte razonablemente a la variable de salida y con ella deberá obtenerse el valor de k que permita construir un intervalo de confianza del 95%, aproximadamente, a partir de la estimación u(y) de la incertidumbre típica del resultado.
– En el trabajo habitual de los laboratorios de calibración esta circunstancia no suele presentarse casi nunca, pero se indica a continuación una primera aproximación a este problema.
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Parte 3 Diap. 15
Función de densidad de la suma de dos variables aleatorias (no está en EA-4/02)Función de densidad de la suma de dos variables aleatorias (no está en EA-4/02)
integral de convolución
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Parte 3 Diap. 16
SUMA de contribuciones UNIFORMESSUMA de contribuciones UNIFORMES
a-a X1
-b bX2
a+ba-bYCuando X1 y X2 tienen la misma distribución uniforme,
la suma resulta triangular entre -2a y +2a.
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Parte 3 Diap. 17
Simulación de f(Y) con Y=X1+X2Simulación de f(Y) con Y=X1+X2
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Parte 3 Diap. 18
Simulación de f(Y) con Y=X1+X2Simulación de f(Y) con Y=X1+X2
Y
k = Uu
Y
UU
m
95 % 95% cobertura U
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Parte 3 Diap. 19
EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDAEN LOS CERTIFICADOS DE CALIBRACIÓN
EXPRESIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE MEDIDAEN LOS CERTIFICADOS DE CALIBRACIÓN
• EA ha establecido la forma en la que debe expresarse la incertidumbre que se facilita en los certificados de calibración, de acuerdo con el procedimiento de cálculo adoptado según la clasificación que acabamos de ver.
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Parte 3 Diap. 20
• Resultado de la medida en los certificados de calibración:– Estimación del mensurando, y
– Incertidumbre expandida asociada, U, en la forma (y ± U), con la correspondiente unidad SI.
– Además, debe añadirse una nota explicativa dependiente del procedimiento de estimación adoptado y que se recoge a continuación.
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Parte 3 Diap. 21
• DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA SUFICIENTEMENTE FIABLE
Nota explicativa:– La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha
obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=2, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproximada del 95% para una distribución normal. La incertidumbre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.
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Parte 3 Diap. 22
• DISTRIBUCIÓN NORMAL DEL RESULTADO Y ESTIMACIÓN DE SU INCERTIDUMBRE TÍPICA NO SUFICIENTEMENTE FIABLE
Nota explicativa:– La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha
obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=XX, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproximada del 95% para una distribución t con νef=XX grados de libertad efectivos. La incertidum-bre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.
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Parte 3 Diap. 23
• HIPÓTESIS DE NORMALIDAD NO ASUMIBLE
– Aunque el documento EA-4/02 no indica el texto de la nota explicativa en este caso, puede deducirse que dicha nota debería ser similar a la del apartado inmediatamente anterior, pero especificando la distri-bución adoptada para obtener un intervalo de con-fianza del 95%, aproximadamente, a partir de la desviación típica estimada para el resultado de la medida.
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Parte 3 Diap. 24
• REDONDEO DE LOS RESULTADOS
– EA-4/02 indica que el valor de la incertidumbre de medida debería darse con dos cifras significativas, como máximo.
– El valor numérico del resultado de la medida debería figura en su expresión final redondeado a la menor cifra significativa considerada en la incertidumbre expandida asignada al resultado de la medida.
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Parte 3 Diap. 25
– Pueden emplearse las reglas habituales de redondeo de números recogidas en la norma ISO 31-0:1992, pero si el redondeo por defecto supusiese una reducción de la incertidumbre superior al 5%, se aplicará el redondeo por exceso
– EN LA PRÁCTICA:• Resultado final redondeado (a E o E/2 en medidas
directas).
• U redondeada igual que el resultado.
• Resultados intermedios, se trabaja con más cifras,
redondeando al obtener los valores finales.
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Parte 3 Diap. 26
– Se mide un mensurando X1 • Instrumento E=0,1 mm• Resultado bruto indicado en la primera fila de la tabla. • Resultado final, Y
– Se obtiene aplicando tres correcciones aditivas, X2 , X3 y X4
– Y= X1+X2+X3+X4
Contribuciones xi (mm)
ui(y) (mm)
1 48,32 0,60 2 1,10 0,41 3 1,85 0,52 4 0,003 55 0,000 48
Resultado 51,273 55 0,893 59
Ejemplo:
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Parte 3 Diap. 27
• La desviación típica resultante es:
• U ≈ 2 ⋅ 0,89359 = 1,78718 mm
• Resultado final: (51,3 ± 1,8) mm
• La incertidumbre de medida expandida facilitada se ha obtenido multiplicando la desviación típica de la medida por el factor de cobertura k=2, que corresponde a una probabilidad de cobertura aproxima-da del 95% para una distribución normal. La incertidumbre típica de la medida se ha determinado de acuerdo con la publicación EA-4/02.
mm 89359,0)()()()()( 24
23
22
21 ≈+++= yuyuyuyuyu
Ejemplo:
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Parte 3 Diap. 28
Otras consideraciones sobre redondeosOtras consideraciones sobre redondeos
valores (mm)
Resultado redondeado 51,3 Resultado de cálculo 51,273 55
Diferencia 0,026 45 2•0,893 59 1,787 18 + 0,026 45
Incertidumbre inicial U=2u
1,813 63 Incertidumbre final 1,8
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Parte 3 Diap. 29
Xi xi u(xi) Distri-bución hi ui(y)
X1 48,32 0,60 Normal 1 0,60 X2 1,10 0,41 Uniforme 1 0,41 X3 1,85 0,52 Normal 1 0,52 X4 0,003 55 0,000 48 Uniforme 1 0,000 48
Y 51,273 55 0,893 59
51,3-51,273 55
0,026 45
U=2u=2·0,893 59=1,787 18+0,026 451,813 63
51,3 ± 1,8
Ejemplo:
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Parte 3 Diap. 30
• Redondeo de U por exceso
– Proporciona mayor seguridad.
– Equivalente a incrementar el factor de cobertura.
– Casos en los que los criterios de normalidad de la distribución o de fiabilidad de la desviación típica se satisfacen en condiciones límites, el redondeo ayuda a conseguir una probabilidad de cobertura de, aproximadamente, el 95%.
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Parte 3 Diap. 31
Inventario de contribucionesInventario de contribuciones
0,044 60,893 5951,27355Y
0∞0,000 481Uniforme0,000 480,003 55X4
0,012 260,521Normal0,521,85X3
0∞0,411Uniforme0,411,10X2
0,032 440,601Normal0,6048,32X1
νiui(y)hiDistribuciónu(xi)xiXii
i yuν
)(4
Según EA-4/02 Ampliación AMSP
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Parte 3 Diap. 32
Xi xi u(xi) Distri-bución hi ui(y) νi
X1 48,32 0,60 Normal 1 0,60 4 0,032 4
X2 1,10 0,41 Uniforme 1 0,41 ∞ 0
X3 1,85 0,52 Normal 1 0,52 6 0,012 2
X4 0,003 55 0,000 48 Uniforme 1 0,000 48 ∞ 0
Y 51,273 55 0,893 59 0,044 6
i
i yuν
)(4
3,146044,0
59893,0)(
)( 4
4
4
ef ≈==
∑i i
i yuyu
ν
ν 28,210ef =⇒= kν
51,3-51,273 55
0,026 45
U=2,28u=2,28·0,893 59=2,037 39+0,026 452,063 8451,3 ± 2,1
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Parte 3 Diap. 33
0,044 60,893 5951,27355Y
0∞0,000 481Uniforme0,000 480,003 55X4
0,012 260,521Normal0,521,85X3
0∞0,411Uniforme0,411,10X2
0,032 440,601Normal0,6048,32X1
νiui(y)hiDistribuciónu(xi)xiXii
i yuν
)(4
Según EA-4/02 Ampliación AMSP
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Parte 3 Diap. 34
14,3
valores (mm)
Resultado redondeado 51,3 Resultado de cálculo 51,273 55
Diferencia 0,026 45 2,28• 0,893 59 2,037 39 + 0,026 45
Incertidumbre inicial U=2,28u
2,063 84 Incertidumbre final 2,1
2,002,052,132,282,372,432,522,652,873,314,5313,97k
∞50201087654321νef
(51,3 ± 2,1) mm
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Parte 3 Diap. 35
Resumen de la Parte 3Resumen de la Parte 3
• Criterios ENAC (EA).• Inc. Expandida y probab. de cobertura (95%).• Distribución resultante normal.• Inc. típica suf. fiable → k=2.• Inc. típica no suf. fiable → k (Welch-Sattertwaite).• Distribución resultante no normal: convolución.• Otras técnicas.• Expresión de certificados de calibración.• Modelo de correcciones aditivas.• Redondeos.• Tablas de inventario de incertidumbre.• Aclaraciones.
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Parte 3 Diap. 36
Fin de la parte 3 (sesión 1)
Calibración de un Medidor de
Desplazamientoscon M1CH
Calibración de un Medidor de
Desplazamientoscon M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
1.2305
1.2303
Palpador Móvil M1CH
SensorPalpador
del sensor
Unidad deLectura del
SensorUnidad de
Lectura M1CH
Bancada M1CH
PalpadorFijo
M1CH
SoporteEspecial
CarroMóvil
IntroducciónIntroducción
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Esquema GeneralEsquema General
• N puntos de calibración (uniformemente distribuidos)
• n series de medida (ascendentes)
• Se trabaja con las desviaciones d = xM1CH − xsensor
• Se realiza un “cero” simultáneo en los lectores de la M1CH y del sensor al comienzo
• Se comprueba la deriva del “cero” al finalizar la calibración
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
SENSOR
E = 0,0005 mm
C = 0 a 60 mm
M1CH(Referencia)
E = 0,0001 mm
C = 0 a 300 mm
1.2305
1.2303
Datos de los InstrumentosDatos de los Instrumentos
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Fuentes de IncertidumbreFuentes de Incertidumbre
• Referencia (calibración M1CH)
• Repetibilidad
• Divisiones de Escala
• Desalineamiento sensor-M1CH
• Temperatura (Dilatación diferencial)
• Deriva del “cero”
• Otras
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Jesús de Vicente y Oliva
Lecturas de la M1CH ijx0 (mm) Lecturas del sensor ijx (mm)
0.0020 0.0010 0.0007 0.0004 0.0006 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 0.00055.9996 6.0001 5.9999 5.9990 6.0007 6.0000 6.0005 6.0005 5.9995 6.0010
12.0001 12.0011 11.9997 12.0001 12.0009 12.0000 12.0005 11.9995 12.0000 12.000518.0016 18.0009 18.0006 18.0012 18.0018 18.0010 18.0000 18.0000 18.0000 18.000524.0005 24.0011 24.0021 24.0021 24.0018 24.0000 24.0000 24.0010 24.0010 24.000530.0024 30.0022 30.0011 30.0024 30.0013 30.0010 30.0010 30.0000 30.0015 30.000536.0026 36.0015 36.0017 36.0010 36.0022 36.0010 36.0005 36.0005 36.0000 36.001042.0022 42.0030 42.0026 42.0010 42.0015 42.0010 42.0015 42.0010 41.9995 41.999548.0032 48.0020 48.0022 48.0023 48.0018 48.0005 47.9995 48.0000 48.0000 47.999554.0009 54.0027 54.0030 54.0011 54.0013 53.9995 54.0015 54.0015 53.9995 53.999560.0025 60.0020 60.0005 60.0018 60.0011 60.0010 60.0005 59.9995 60.0010 60.0000
Nº puntos de calibración N = 11Nº de repeticiones n = 5
CalibraciónCalibración
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Jesús de Vicente y Oliva
Campo de medida C = 0 a 60 mm
Nominal (mm) 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
C. global Gc0 (μm) 0.0
+0.5 -0.4 +0.1 +0.6 +0.5 +1.4 +1.6 +1.2 +2.7 +1.4 +1.5+0.0 -0.4 +0.6 +0.9 +1.1 +1.2 +1.0 +1.5 +2.5 +1.2 +1.5+0.2 -0.6 +0.2 +0.6 +1.1 +1.1 +1.2 +1.6 +2.2 +1.5 +1.0+0.4 -0.5 +0.1 +1.2 +1.1 +0.9 +1.0 +1.5 +2.3 +1.6 +0.8
Diferencias (μm)
ijijij xxd −= 0
+0.1 -0.3 +0.4 +1.3 +1.3 +0.8 +1.2 +2.0 +2.3 +1.8 +1.1
V. Medio id (μm) +0.24 -0.44 +0.28 +0.92 +1.02 +1.08 +1.20 +1.56 +2.40 +1.50 +1.18
Repetibilidad is (μm) 0.21 0.11 0.22 0.33 0.30 0.24 0.24 0.29 0.20 0.22 0.31
Corrección ic (μm) +0.24 -0.44 +0.28 +0.92 +1.02 +1.08 +1.20 +1.56 +2.40 +1.50 +1.18
Evaluación de los Resultados de la CalibraciónEvaluación de los Resultados de la Calibración
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
L0
L
θ
( )221
00 1
cosθ+⋅≅
θ= L
LL
min 10=θmax
DesalineamientoDesalineamiento
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
α,T
Hipótesis: Dilatación Lineal
C5020SALA )º,( ±=T0
α0,T0
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
[ ] [ ])º()º( CTLCTL 201201 000 −α+⋅=−α+⋅
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Deriva del “cero”Deriva del “cero”
α,T C5020SALA )º,( ±=T0
α0,T0
αB,TB
Una variación en la temperatura TB de la bancada durante la realización de la medida provoca un desplazamiento del “cero” de la medidora
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Control de la deriva del “cero”Control de la deriva del “cero”
• Al final de la calibración se vuelve a “hacer cero” y se anota la lectura Z = | xsensor − xM1CH |
• Si Z supera un cierto valor máximo Zmax se considera que la deriva ha sido excesiva y debe repetirse la calibración
• Si Z es inferior a Zmax la acepta la calibración como correcta y la corrección por deriva del “cero” es inferior a Zmax
3)( maxZ
cu =DZDistribución Uniforme
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
DZ0DEDETA0G ccccccdn
cn
jiji ++++++= ∑
=1
1
Función ModeloFunción Modelo
Desviaciones
C. Global(M1CH)
C. por Alineamiento
C. por Temperatura
Correcciones porDivisión de Escala
Corrección porDeriva del Cero
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Certificado de Calibración M1CHCertificado de Calibración M1CH
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
• No se conocen las correcciones de calibración local c0i(xi)
• No se conoce su incertidumbre
Se utilizará una corrección global nula c0G
m G μ+= 000 ,c
Ver Guía ISO-GUM F.2.4.5
Calibración M1CHCalibración M1CH
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 50 100 150 200 250 300 350
Punto de Calibración (mm)
Corr
ecci
ón d
e Ca
libra
ción
(um
)
c0G = 0,0 μm U(c
0G)
U(c
0G)
U(c0G) = 2,0 μm
c0i
U(c0i)
Calibración M1CHCalibración M1CH
U(c0i)
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Calibración M1CHCalibración M1CH
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
0 50 100 150 200 250 300 350
Punto de Calibración (mm)
Cor
recc
ión
de C
alib
raci
ón (u
m)
U(c0G) = [ 1,0 + L(mm) / 300 ] μm
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Calibración M1CHCalibración M1CH
Se acepta que las correcciones de calibración de la M1CHverifican las especificaciones:
ctecUc =≤ )( GG 00
Por tanto, se supone que c0G se distribuye uniformementeentre ±U(c0G)
LBAcUc ⋅+=≤ )( GG 00ó
330
0ctecU
cu ==)(
)( GG ó
30LBA
cu⋅+
=)( G
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
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∑=
=N
iis
Ns
1
21
RepetibilidadRepetibilidad
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
RepetibilidadRepetibilidad
m μ=
=++++++++++
=
== ∑=
25011
310220200290240240300330220110210
1
22222222222
1
2
,
,,,,,,,,,,,
N
iis
Ns
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
imax xc 02
21
A ⋅θ≤
0 imax xa 02
21 ⋅θ+=a−
imax x
acu 0
2
A 323⋅θ==)( ii xxcu 0
60
2
A 104232
180rad
min 601min10
⋅×=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
××= −,
º
º
)(
DesalineamientoDesalineamiento
L0
L
θ
L0
LLL
θ
( )221
00 1
cosθ+⋅≅
θ= L
LL
min 10=θmax
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
[ ] ixTTTc ⋅−⋅α−−Δ+⋅αΔ+α= )º()º()(T CC 2020
Coef. DilataciónSensor
TemperaturaSensor
Diferencia de αΔα = α0 − α
Diferencia de TΔT = T0 − T
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
α,T C5020SALA )º,( ±=T0
α0,T0
0
α0,T0
[ ] [ ])º()º( CTLCTL 201201 000 −α+⋅=−α+⋅
Acero : α ≈ 12×10−6 K−1
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
0=∂∂T
cT 0=α∂
∂ Tci
T xT
c ⋅α=Δ∂
∂0=
αΔ∂∂ Tc
)()()( Tuxu i Δ⋅⋅α=T c
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y OlivaHoras
T (º
C)
Azul: AireRojo: SensorVerde: M1CH
M1CH: τ = 4 horasSensor: τ = 30 min
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
19.5 20 20.5200400600800
10001200 Temperatura Ambiente
Media: 19,930 ºCDesviación Típica: 0,141 ºC
19.8 19.9 20 20.1 20.2200400600800
100012001400 Temperatura M1CH (τ = 4 horas)
Media: 19,940 ºCDesviación Típica: 0,046 ºC
19.8 19.9 20 20.1 20.2200400600800
10001200 Temperatura Sensor (τ = 30 min)
Media: 19,932 ºCDesviación Típica: 0,069 ºC
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2200400600800
100012001400
Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: -0,008 ºCDesviación Típica: 0,053 ºC
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
52 54 56 58 6019
19.4
19.8
20.2
20.6
21
Horas Horas
Azul: Aire Rojo: Sensor Verde: M1CHM1CH: τ = 4 horasSensor: τ = 30 min
T (º
C)
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
19 19.5 20 20.5 21100200300400500
Temperatura AmbienteMedia: 20,001 ºCDesviación Típica: 0,302 ºC
Temperatura M1CH (τ = 4 horas)Media: 19,996 ºCDesviación Típica: 0,058 ºC
Temperatura Sensor (τ = 30 min)Media: 20,001 ºCDesviación Típica: 0,226 ºC
Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: 0,005 ºCDesviación Típica: 0,192 ºC
19.5 20 20.5
200400600
19 19.5 20 20.5 21
200
400
600
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8100200300400500
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Temperatura AmbienteMedia: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC
Temperatura M1CH Media: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC
Temperatura Sensor Media: 20,000 ºCDesviación Típica: 0,289 ºC
Diferencia Media Sensor - M1CHMedia: 0,005 ºCDesviación Típica: 0,409 ºC
20 20.519.5
20 20.519.5
20 20.519.5
0 +1-1
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
)()()( Tuxu i Δ⋅⋅α=T c
ii
imax
i
xx
xT
Tuxu
⋅×=⋅×⋅⋅=
=⋅α⋅Δ=Δ⋅⋅α=
−−− 616
T
1074K105116
K5026
2
,,º,
)()()(c
DistribuciónTriangular
Dilatación DiferencialDilatación Diferencial
Material: Acero α ≈ 11,5×10−6 K−1
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
EE/2
m 1403
2m 503DE μ=
μ== ,,
)(2E
cu
m 0303
2m 1030DE μ=
μ== ,,
)(2E0cu
División de EscalaDivisión de Escala
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Deriva del “cero”Deriva del “cero”
• En el procedimiento de calibración se fija Zmax = 0,5 µm
• La lectura Z = xsensor – xM1CH obtenida al terminar la calibración ha sido Z = 0,3 µm
• Dado que |Z| ≤Zmax se acepta la calibración
m m DZ μ=
μ== 29,0
35,0
3)( maxZ
cu
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
E.:g.d.l.:C.S.:
Balance de IncertidumbresBalance de Incertidumbres
E.: Estimación de la magnitudg.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Balance de IncertidumbresBalance de Incertidumbres
0 10 20 30 40 50 600.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
X (mm)
u(c)
( μm
)
26622 )106,5(108,3)67,0()( iiki xxmucu ⋅×+⋅μ×+μ== −−∑ m
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Grados de LibertadGrados de Libertad
42
4
4
4
4
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅ν=
ν
=
ν
=ν
∑s
cusn
s
ns
cu
u
cuc ii
k k
k
ii
)()(
)(
]/[
)()()(
iteSatterthwa-Welch deFórmula 444 3444 21
74656250670445
42
m m
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡μμ
⋅⋅≥ν,
,)( ic
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Grados de Libertad y Factor de CoberturaGrados de Libertad y Factor de Cobertura
0 10 20 30 40 50 600.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8 x 105
X (mm)
ν[u(
c)]
Factor de cobertura k (95%) :
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
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• Más de 3 componentes
• Las componentes mas importantes están, mas o menos, equilibradas y provienen de distribuciones uniformes o normales.
Se acepta la validezdel Teorema Central del Límite
El número de g.d.l.
es elevado k = 2
Coeficiente de CoberturaCoeficiente de Cobertura
2662
2
106510836702 ),(,),(
)()(
ii
kii
xxm
ukcukcU
⋅×+⋅μ×+μ⋅=
⋅=⋅=
−−
∑m
Doc. EA-4/02
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre ExpandidaIncertidumbre Expandida
26622 106510836702 ),(,),()()( iikii xxmukcukcU ⋅×+⋅μ×+μ⋅=⋅=⋅= −−∑ m
0 10 20 30 40 50 601.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
X (mm)
U(c
) (μm
)
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
RedondeoRedondeo
1. Se elige un número de cifras significativas que,como mucho, conduzan a dos cifras en la incertidumbre
2. Se redondea la corrección ci
3. Se halla la diferencia E ientre la ciredondeada y sin redondear
4. Se evalúa la suma |E i|+U(ci)
5. Se redondea al alza el resultado del apartado 4
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Xi (mm) Ci (μm) U(Ci) (μm) Ci (μm) Ei (μm) U(Ci) (μm)0 0.24 1.34 0.2 0.04 1.46 -0.44 1.38 -0.4 -0.04 1.512 0.28 1.41 0.3 -0.02 1.518 0.92 1.45 0.9 0.02 1.524 1.02 1.49 1.0 0.02 1.630 1.08 1.54 1.1 -0.02 1.636 1.20 1.58 1.2 0.00 1.642 1.56 1.63 1.6 -0.04 1.748 2.40 1.68 2.4 0.00 1.754 1.50 1.73 1.5 0.00 1.860 1.18 1.78 1.2 -0.02 1.8
Sin Redondear Redondeo
ResultadosResultados
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La calibración realizada se toma como calibración tipo
Las condiciones en las que se ha realizado dicha calibración son:– “Razonables”
– Óptimas
Capacidad Óptima de MedidaCapacidad Óptima de Medida
0 10 20 30 40 50 601.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
X (mm)
U(c
) (μm
)
U com= 1,4 μm + 0,007⋅x
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Descripción del uso del sensor
El sensor se va a utilizar para medir el desplazamiento horizontal de una mesa XY de un microscopio o proyector de perfiles (de eje vertical).
Se usa en la calibración de patrones de trazos
Sobre cada trazo se realiza una única medida
Sensor
Lector
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Lista de fuentes de incertidumbre:
• Referencia (calibración del sensor)
• Repetibilidad
• División de Escala
• Desalineamiento sensor - eje X
• Temperatura
• Deriva del “cero”
• Otras
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
DZDETAG cccccL +++++= l
Lectura Bruta
C. Global(Sensor)
C. por Alineamiento
C. por Temperatura
Corrección porDivisión de Escala
Corrección porDeriva del Cero
Función modelo:
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
-6.0
-4.0
-2.0
0.0
2.0
4.0
6.0
0 10 20 30 40 50 60
X (mm)
Corr
ecci
ones
de
Calib
raci
ón (u
m)
Corrección de calibración global nula :
U(cG) = [ 2,0 + L(mm) / 20 ] μm
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Repetibilidad de las lecturas l :
La experiencia previa del laboratorio permite asegurar que, para el tipo de medidas consideradas, la repetibilidad estimada como una desviación típica están entre 0,2 y 0,3 µm
m 30 μ≤= ,)( su l
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
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Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Alineamiento :
l⋅θ≤ 221
A maxc
0 l⋅θ+= 221maxaa−
l⋅θ
==323
2
Amax)(
acu ll ⋅×=⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
××= −6
2
A 104232
180rad
min 601min 10
,º
º
)(cu
minutos 10=θmax
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
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l⋅−⋅α−= )º(T C20Tc
Coef. DilataciónSensor
TemperaturaSensor
Sensor Acero : α ≈ 12×10−6 K−1
Patrón de Trazos Zerodur : ≈ 0Temperatura Sala : (20 ± 2) ºC
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Temperatura :
l
l
l
⋅×=
⋅⋅×=
=⋅⋅α=
−
−−
6
16
10143K 2K1012
)()( T Tucu
Distribución Uniforme
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
EE/2
m 1403
2m 503DE μ=
μ== ,,
)(2E
cu
División de Escala :
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
• En el procedimiento de calibración se fija Zmax = 1,0 µm
• Se anota la lectura Z obtenida al regresar al primer trazo, despues de haber finalizado la calibración del patrón
• Si |Z| ≤Zmax se acepta la calibración. En caso contrario se repite la calibración.
m 5803m 01
3DZ μ=μ
== ,,
)( maxZcu
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
División de Escala :
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
E.: Estimación de la magnitudg.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad
Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S.Contribución a la
Incertidumbre
C. global Sensor Gc 3
1050m 2 6 l⋅×+μ − ∞ Uniforme 1
31050m 2 6 l⋅×+μ −
Lectura (Repetibilidad) l m 300 μ= ,s ∞ Normal 1 m 300 μ,
Desalineamiento Ac l⋅×= −6A 1042,)(cu ∞ Uniforme 1 l⋅× −61042,
Dilatación Diferencial Tc l⋅×= −6
T 1014 )(cu ∞ Uniforme 1 l⋅× −61014
División de Escala (sensor) DEc m DE μ= 140,)(cu ∞ Uniforme 1 m μ140,
Deriva del “cero” DZc m 580DZ μ= ,)(cu ∞ Uniforme 1 m 580 μ,
Corrección local l=L
Incertidumbre Combinada 222 ll ⋅+⋅+== ∑ cbauLu k)(
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
0 10 20 30 40 50 60
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
L (mm)
u(L)
( μm
)26622 10321067m 31 )(),()( ll ⋅×+⋅μ×+μ== −−∑ muLu k
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
2662
2
10321067m 312 )(),(
)(
ll ⋅×+⋅μ×+μ⋅=
=⋅=
−−
∑m
ukLu k
• Más de 3 componentes
• Las componentes mas importantes están, mas o menos, equilibradas y provienen de distribuciones uniformes o normales.
Se acepta la validezdel Teorema Central del Límite
El número de g.d.l.
es infinito k = 2
Coeficientede
Cobertura
Coeficientede
CoberturaDoc. EA-4/02
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Calibración de un Medidor de Desplazamientos con M1CH
Jesús de Vicente y Oliva
0 10 20 30 40 50 602.5
3
3.5
4
4.5
5
L (mm)
U(L
) (μm
)
U(L) = [ 2,7 + L(mm) / 3
0 ] μm
Incertidumbre de Uso del SensorIncertidumbre de Uso del Sensor
Sistemas Interferométricos
Láser
Sistemas Interferométricos
Láser
Jesús de Vicente y Oliva
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Sistemas Interferométricos Láser
Jesús de Vicente y Oliva
LÁSERLÁSER
• Alta monocromaticidad: capacidad para emitir luz de un sólo color
• Baja divergencia de haz: el haz luminoso es prácticamente un cilindro.
• Alto brillo
Light Amplification by Stimulated Emission of RadiationAmplificación de luz por emisión estimulada de radiación
Fuentes luminosas con unas propiedades muy
características:
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Jesús de Vicente y Oliva
Clasificación de los Sistemas LáserClasificación de los Sistemas Láser
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Clasificación de los Sistemas Láser InterforométricosClasificación de los Sistemas Láser Interforométricos
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“Micrómetros Láser”“Micrómetros Láser”
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Alineamiento mediante LáserAlineamiento mediante Láser
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DifractometríaDifractometría
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Fotodiodo
Piezoeléctricos
Sensor Láser ConfocalSensor Láser Confocal
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Fotodiodo
Piezoeléctricos
Sensor Láser ConfocalSensor Láser Confocal
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I = I + I2
1 + I - II + I
2 D - D R Mmax min max min
max mincos π
λ⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥
Inferferómetro de MichelsonInferferómetro de Michelson
Fuente de Luz MonocromáticaLáser
Contador (de franjas)
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El Batido de FrecuenciasEl Batido de Frecuencias
I = I + I + I - II + I
2 f - f t + 2 1max min max min
max mincos[ ( )
21 π φ]⎡
⎣⎢⎤⎦⎥
f2
f1 I
Fotodiodo| f2 – f1 |
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Interferómetros Láser Comerciales HeterodinosInterferómetros Láser Comerciales Heterodinos
• La fuente luminosa es un emisor láser bifrecuencia que emite dos frecuencias polarizadas en direcciones perpendiculares.
• El separador de haz es especial: distingue las frecuencias en función de su diferente dirección de polarización.
• Se substituyen los espejos planos por reflectores en forma de "esquina de cubo" (triedros trirrectángulos).
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Inferferómetro HeterodinoInferferómetro Heterodino
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Ventajas de los Sistemas HeterodinosVentajas de los Sistemas Heterodinos
• En un sistema monofrecuencia no es posible distinguir el sentido del movimiento.– En un sistema bifrecuencia, cuando el reflector móvil se acerca
al separador Δf > 0 y (f2+ Δf-f1)> (f2-f1). Si se aleja Δf < 0 y (f2+ Δf-f1)< (f2-f1).
– El sistema bifrecuencia o heterodino permite distinguir y automáticamente tener en cuenta el sentido del movimiento.
• Al igual que la recepción de emisiones de radio de FM es menos sensible al ruido que en el caso de AM, análogamente los sistemas bifrecuencia son también menos sensibles al ruido que los monofrecuencia
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Propiedades de los RetrorreflectoresPropiedades de los Retrorreflectores
1ª Propiedad: el haz reflejado es paralelo al incidente
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2ª Propiedad: la línea paralela a ambos haces y equidistante de los dos (línea media) pasa por el origen O del ángulo recto.
Propiedades de los RetrorreflectoresPropiedades de los Retrorreflectores
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3ª Propiedad: Al girar el retrorreflector sobre el punto O, la distancia recorrida por el haz desde el emisor hasta el detector permanece constante.
Propiedades de los RetrorreflectoresPropiedades de los Retrorreflectores
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4ª Propiedad: al desplazarse el retrorreflector una longitud e perpendicularmente al haz incidente, el haz de retorno se desplaza 2e.
Propiedades de los RetrorreflectoresPropiedades de los Retrorreflectores
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Ópticas Láser: DesplazamientosÓpticas Láser: Desplazamientos
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Ópticas Láser: DesplazamientosÓpticas Láser: Desplazamientos
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Interferómetro para Medidas AngularesInterferómetro para Medidas Angulares
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Esquema de la Medición de PlanitudesEsquema de la Medición de Planitudes
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Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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V1, N00 V2, NJ0
V3, NI0 V4, NIJ
PCPC
i
j
NijNij
Hi
Vj
D2D1
ETIQUETA
Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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ET IQ U ETA
Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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V1 V2
V3 V4
PC
V1 V2
V3 V4
PCPC
Captador del DMDA
Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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-4
-4
-4-4
-4
-4
-4
-4
-2
-2
-2-2
-2
-2
-2 -6
-6
-6-6
-6
0
0
00
0
0
0
2
2
2
2 2
2
2
4
4
4
-8
-8
-8
4
4
6
666
6
4
4
8
8
88
6-6
-6
10
-10
-10
8 10
12
10 12
-8
12
14
14
14
16
x (mm)
y (m
m)
Mapa de Cotas
0 100 200 300 400 500 600 700-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
Cot
as e
n m
icro
met
ros
-10
-5
0
5
10
15
Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
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Medida del Defecto de PlanitudMedida del Defecto de Planitud
(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (0) 16.4 12.0 9.5 7.3 4.1 0.1 -3.8 -5.1 -5.2 -4.1 -1.9 0.1 1.7 4.2 7.8 (1) 14.5 10.3 7.6 5.1 1.9 -1.4 -4.3 -5.5 -5.7 -4.7 -2.9 -1.0 0.8 3.9 8.0 (2) 10.1 2.8 -0.3 0.4 -0.2 -3.6 -5.7 -6.8 -6.5 -5.6 -4.0 -2.3 -0.1 3.5 8.4 (3) 4.4 -5.5 -6.7 -4.8 -2.5 -5.4 -7.2 -7.7 -7.0 -6.2 -4.5 -2.9 -0.5 3.4 8.8 (4) 3.4 -6.8 -7.7 -4.7 -4.4 -7.5 -8.5 -8.3 -7.4 -6.2 -4.5 -2.8 -0.2 3.8 9.6 (5) 7.6 -0.8 -2.2 -2.7 -6.3 -10.2 -10.7 -9.5 -7.6 -6.0 -4.2 -2.4 0.5 4.8 10.7 (6) 12.1 6.5 3.4 0.3 -4.7 -8.2 -9.6 -8.6 -5.7 -3.6 -2.0 -0.2 2.9 7.2 12.7 (7) 15.6 11.6 8.4 5.1 1.3 -2.7 -4.3 -3.5 -1.1 0.6 2.3 4.5 7.3 11.6 17.2 ETIQUETA
cotas en μm
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Medida de Defectos de RectitudMedida de Defectos de Rectitud
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Medida del Defecto de RectitudMedida del Defecto de Rectitud
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Patrón Óptico de PerpendicularidadPatrón Óptico de Perpendicularidad
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Medida del Defecto de PerpendicularidadMedida del Defecto de Perpendicularidad
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Factores que afectana la incertidumbre
de los Sistemas Interferométricos Láser
Factores que afectana la incertidumbre
de los Sistemas Interferométricos Láser
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• No son instrumentos completos (son un “kit” de componentes)
• La experencia del usuario es clave
• Límite teórico de incertidumbre muy bajo (10-7)
• Tecnología diferente al resto de los instrumentos de metrología dimensional
Características PrincipalesCaracterísticas Principales
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Clasificación de las Fuentes de IncertidumbreClasificación de las Fuentes de Incertidumbre
• Asociadas al propio instrumento
• Asociadas a la realización práctica del instrumento (colocación de las ópticas sobre el elemento a calibrar)
• Asociadas a la dilatación del elemento a medir
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Fuentes de Incertidumbre asociadas al interferómetro
Fuentes de Incertidumbre asociadas al interferómetro
• Contador de franjas de interferencia• Interpolación de las franjas de interferencia• Longitud de onda en el vacío• Medida del índice de refracción:
– Presión– Temperatura del aire– Humedad– Concentración de CO2
– Ecuación de Edlén
• División de Escala
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Unidad LectoraUnidad Lectora
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Medida de la Temperatura del AireMedida de la Temperatura del Aire
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Medida de la Presión AtmosféricaMedida de la Presión Atmosférica
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Medida de la Temperatura del MaterialMedida de la Temperatura del Material
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Componentes de un Sistema Interferométrico LáserComponentes de un Sistema Interferométrico Láser
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Incertidumbre contador ± 1 cuenta
Resolución natural λ/2 ó λ /4 (0,3 μm ó 0,16 μm)
Resolución incrementada entre λ /8 y λ /1024(entre 0,1 μm y 0,6 nm)
Contador de Franjas de InterferenciaContador de Franjas de Interferencia
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Calibración de la Longitud de OndaCalibración de la Longitud de Onda
• Si se utiliza el valor nominal de la longitud de onda en el vacío (disponiendo de un certificado de calibración que permite asegurar que cumple con especificaciones)
• Si se utiliza el valor certificado
• Coeficiente de sensibilidad
)()( 310 07
0 =λ⋅=λ − kU uniforme, dist.
07
0 10 λ⋅+λ −0λ0
70 10 λ⋅−λ −
)()( 2102 08
0 =λ⋅×=λ − kU nomral, dist.
0λ=λL
w
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Interpolación de Franjas de InterferenciaInterpolación de Franjas de Interferencia
Los errores asociados a la interpolación de las franjas de interferencia son iguales o inferiores a ± 5 nm
)()( 35 == kcU uniforme, dist. nm I
nm5+0nm5−
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n p T x xH O CO≅ f( , , , )2 2
Ecuación de Edlén
Sonda Desviación en la sonda
Desviación final
Presión 2 8, mm Hg 1 m / mμ
Temperatura 11, º C 1 m / mμ
Humedad 12% 0 1, m / mμ
CO2 670 ppm 0 1, m / mμ
Índice de RefracciónÍndice de Refracción
Incertidumbre de la Ec. Edlén ≤ 10−7
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Sonda Incertidumbre de la sonda
Incertidumbre final
Presión 0 6, mm Hg 0 2, m / mμ
Temperatura 0 5, º C 0 5, m / mμ
Humedad 10% 0 1, m / mμ
CO2 400 ppm 0 1, m / mμ
Índice de RefracciónÍndice de Refracción
Valores Típicos
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EE/2
m m E μ=
μ== 0030
32010
3,
,)(
2Ecu
División de EscalaDivisión de Escala
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• Alineación del haz láser respecto del eje del desplazam iento
• Situación de las ópticas
• Errores de Abbé
• Cam inos ópticos no com pensados (“Dead-Path Errors“)
Realización práctica del interferómetroRealización práctica del interferómetro
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θ⋅= cosLL0
Alineamiento: Errores de CosenoAlineamiento: Errores de Coseno
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( )θ−⋅=θ⋅−=Δ coscos 1PP'PP'PP'L
2221
21111 θ+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ θ−−≅θ−=Δ
cosL
L
Alineamiento: Errores de CosenoAlineamiento: Errores de Coseno
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AlineamientoAlineamiento
622
2
210350
30050
81
81
22
2−×=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
≤θ
−≅Δ
,,
mm mm
L
eL
e
L
L MIN
MIN
mm 300=L
mm eMAX 50,=
310350 6 L
cu⋅×
=−,
)( AL
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Colocación de las ÓpticasColocación de las Ópticas
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Colocación de las ÓpticasColocación de las Ópticas
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HIPÓTESIS:Rigidez de la bancadasuficientemente elevada
α ≅ 0
Situación de la Óptica FijaSituación de la Óptica Fija
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Errores de AbbéErrores de Abbé
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Con el fin de reducir al mínimo los errores producidos por los defectos en el guiado, el eje de medida del instrumento y
el eje de medida del mensurando deben ser coaxiales.
A EA≈ ⇒ ≈0 0
Principio de AbbéPrincipio de Abbé
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Errores de AbbéErrores de Abbé
E AA MAX MAX mm sen10" = 2,4 m= + ⋅ ≅ ⋅sen γ μ50
342 m
ALμ
=,
)(cu
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Caminos Ópticos No Compensados( “Dead-path Errors” )
Caminos Ópticos No Compensados( “Dead-path Errors” )
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Mínimo Máximo Presión 700 2, mm Hg 700 9, mm Hg
Temperatura 20 1, º C 20 5, º C Humedad 46% 54%
Caminos Ópticos No CompensadosCaminos Ópticos No Compensados
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Variación máxima
Coeficiente de influencia en el índice
de refracción Variación máxima en el
índice de refracción
ΔMAX ix( ) ∂ ∂n xi Δ ΔMAX i i MAX in n x x ( ) ( )= ⋅∂ ∂
Presión 0 7, mm Hg -17 Hgmm 1063 −×, 0 25 10 6, × -
Temperatura 0 4, º C -17 Cº 1029 −×, 0 37 10 6, × - Humedad relativa 8 % 8 5 10 9 1, × − − % 0 07 10 6, × -
ΔnMAX = × + × + × = ×− − − −0 25 10 0 37 10 0 07 10 0 69 106 6 6 6, , , ,
E D nD MAX MAX cm m= ⋅ = ⋅ × =−0
620 0 69 10 0 14Δ ( ) , , μ
Caminos Ópticos No CompensadosCaminos Ópticos No Compensados
3140 m
COμ
=,
)(cu
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Desviaciones producidas en el punto 1000,000 mm de una regla de acero al variar su temperatura
Coeficiente de dilatación α = × −12 10 6 º C-1
Temperatura (ºC) Desviación (μm) 30,0 +120,0 25,0 +60,0 22,0 +24,0 21,0 +12,0 20,5 +6,0 20,2 +1,4 20,1 +1,2
Temperatura (ºC) Desviación (μm) 19,9 -1,2 19,8 -2,4 19,5 -6,0 19,0 -12,0 18,0 -24,0 15,0 -60,0 10,0 -120,0
Dilatación del MensurandoDilatación del Mensurando
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( )[ ]RT TTLL −⋅α−⋅= 120
( )RTTT TTLLLc −⋅α⋅=−= 20
)()()( TUT
cU
ccU TTT
22
22
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+α⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂α∂
=
[ ] [ ]22 )()()()(
TUUTTL
cUR
T ⋅α+α⋅−=
Dilatación del MensurandoDilatación del Mensurando
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( ) Cº 50020 ,, ±=SALAT
( ) -16 Cº 1001511 −×±=α ,, Cº 10,)( =TU )( 2=k
[ ] [ ] 22 )()()()(
TuuTTL
cuR
T ⋅α+α⋅−=
6
26
26
10630
1010511100120520
−
−−
×=
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅×+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ×⋅−=
,
,,
,),(
)(
2K K
2K K 1-
1-
L
cu T
Dilatación del MensurandoDilatación del Mensurando
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Función ModeloFunción Modelo
COOFABALTEICO 2
ccccccccxHTpnk
fLnA
++++++++
⋅λ
⋅=),,,(
1020
Conteode franjas
Longitud de ondaen el vacío
Factor deinterpolación presión
Temperatura del aire
Humedad Corrección por división de escala
Corrección por interpolación
Instrumento
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Función ModeloFunción Modelo
COOFABALTEICO 2
ccccccccxHTpnk
fLnA
++++++++
⋅λ
⋅=),,,(
1020
Corrección por errores de Abbé
Corrección por alineamiento
Corrección por una incorrectacolocación de la Óptica Fija
Ópticas
Corrección por Caminos Ópticos no Compensados
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Función ModeloFunción Modelo
COOFABALTEICO 2
ccccccccxHTpnk
fLnA
++++++++
⋅λ
⋅=),,,(
1020
Corrección por Dilatación del Mensurando
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Incertidumbre asociada al InstrumentoIncertidumbre asociada al Instrumento
E.: Estimación de la magnitud g.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad
Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la
Incertidumbre
Longitud de onda 0λ 3
10 07 λ⋅−
∞ Uniforme 0λL
L⋅× −610060,
Interpolación de las franjas de interferencia
Ic 3
5 nm ∞ Uniforme 1 m μ0030,
Presión p 2
60 mmHg ,)( =pu ∞ Normal
mmHg 8210 6
,
L− L⋅× −610210,
Temperatura del Aire AT
250 K ,
)( =Tu ∞ Normal K 11
10 6
,
L− L⋅× −610450,
Humedad H 2
%HR 10=)(Hu ∞ Normal
%HR121010 6L−×,
L⋅× −610080,
CO2 2COx
ppm
2CO 400=)(xu ∞ Uniforme ppm 670
1010 6L−×, L⋅× −610060,
Ecuación de Edlén nc
310 7−
∞ Uniforme L L⋅× −610060,
División de escala Ec
12010 m
Eμ
=,
)(cu ∞ Uniforme 1 m μ0030,
Incertidumbre asociada al instrumento Incertidumbre Combinada 2222 Lcauu k ⋅+== ∑ insinsins Lc
a
⋅×=
μ=−610520
0050
,
,
ins
ins m
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Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la Incertidumbre
Alineamiento ALc 3
10350 7 L⋅× −, ∞ Uniforme 1 L⋅× −610200,
Situación óptica fija OFc 0=)( OFcu ∞ Uniforme 1 0
Errores de Abbé ABc 3
42 m AB
μ=,
)(cu ∞ Uniforme 1 m μ41,
Caminos Ópticos No Compensados COc
3140 m CO
μ=,
)(cu ∞ Uniforme 1 m μ080,
Incertidumbre asociada a la
realización práctica del instrumento
Incertidumbre Combinada 2222 Lcauu k ⋅+== ∑ rprprp
Incertidumbre asociada a la realización práctica del Interferómetro
Incertidumbre asociada a la realización práctica del Interferómetro
E.: Estimación de la magnitud g.d.l.: Grados de libertad C.S.: Coeficiente de sensibilidad Lc
a
⋅×=
μ=−610200
41
,
,
rp
rp m
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Magnitud E. Incertidumbre Típica g.d.l. Distrib. C.S. Contribución a la Incertidumbre
Dilatación del Mensurando Tc L⋅× −610630, ∞ Normal 1 L⋅× −610630,
Dilatación del MensurandoDilatación del Mensurando
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)(][][)()( T2rp
2rp
2ins
2insT
2rp
2ins cuLcaLcacuuuLu 2222 +⋅++⋅+=++=
Incertidumbre de Uso del InterferómetroIncertidumbre de Uso del Interferómetro
26262262 106301020041105200050 ),(]),(),[(]),(),[()( LLLLu ⋅×+⋅×+μ+⋅×+μ= −−− m m
]),(),[()( 262 1084041 LLu ⋅×+μ= −m
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Sistemas Interferométricos Láser
Jesús de Vicente y Oliva
]),(),[(
)()(
262 10840412 L
LukLU
⋅×+μ⋅=
=⋅=−m
• Más de 3 componentes
• Las componentes mas importantes están, mas o menos, equilibradas y provienen de distribuciones uniformes o normales.
Se acepta la validezdel Teorema Central del Límite
El número de g.d.l.
es infinito k = 2
Doc. EA-4/02
Coeficiente de CoberturaCoeficiente de Cobertura
95% de Cobertura
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Incertidumbre ExpandidaIncertidumbre Expandida
0 50 100 150 200 250 3002.74
2.76
2.78
2.8
2.82
2.84
2.86
L (mm)
U(L
) (μm
U(L) ≈ 3 μm
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Otras fuentes de incertidumbreOtras fuentes de incertidumbre
• Repetibilidad del conjunto interferómetro-calibrando
• Deriva del cero del conjunto interferómetro-calibrando
Cuando el interferómetro láser se utiliza para calibrar otro instrumento, por ejemplo, una Máquina Medidora de Una Coordenada Horizontal (M1CH), es necesario considerar otras fuentes de incertidumbre asociadas al propio calibrando (M1CH) o al sistema conjunto interferómetro-calibrando:
Aplicaciones mecánicas en
calibración y medida
Aplicaciones mecánicas en
calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona2
EJEMPLOS DE APLICACIONES EN METROLOGÍA MECÁNICA
EN LA CALIBRACIÓN Y USO DE:
1º UNA BALANZA MONOPLATO
2º UN MANÓMETRO
EJEMPLOS DE APLICACIONES EN METROLOGÍA MECÁNICA
EN LA CALIBRACIÓN Y USO DE:
1º UNA BALANZA MONOPLATO
2º UN MANÓMETRO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona3
CALIBRACIÓN Y USO DE UNA BALANZA
MONOPLATO
CALIBRACIÓN Y USO DE UNA BALANZA
MONOPLATO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona4
1. ENUNCIADO
2. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN
3. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN3.1. Patrón de calibración
3.2. Repetibilidad
3.3. Redondeo
3.4. Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo
4. TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS
5. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO5.1. Corrección e incertidumbre global
5.2. Repetibilidad al medir
5.3. Redondeo
5.4 Excentricidad
5.5. Variación de temperatura
5.6. Otras contribuciones no consideradas en este ejemplo
6. RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona5
• Calibración de una balanza monoplato,
SCI-M.01.05
• C= 210 g
• E=0,1 mg indicador digital,
• Calibración realizada por un laboratorio externo:
calibración “in situ”
• que será una periódica dentro de su Plan de Calibración,
ENUNCIADOENUNCIADO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona6
• El propietario solicita que la calibración se realice para un uso de la balanza en el que:
– se ajusta la escala de la balanza previamente a su uso,con su masa interna
– se emplea con medidas absolutas,
– campo a calibrar: 100 mg a 200 g,en función del resto de balanzas y de la forma de los mensurandos
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona7
• Patrones: masas patrón de clase E2 según R111 (OIML)– se emplean con su valor nominal solo,
– juego reservado para calibraciones “in situ”, de un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo,
con la deriva bien controlada
– juego hasta 200 g, con duplicados los múltiplos de 2x10n.
– certificado con:desviaciones al nominal en valor convencional según D48 (OIML),
incertidumbres
y clase (en lo referente a la desviación al nominal).
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Ponente: J. A. Madrona8
• Los valores de T para la desviación al nominal en la clase E2 según R111, son:
• la calibración se va a realizar en valor convencional según la D48.
• La temperatura de la sala durante la calibración:
19,5 ºC a 21 ºCcontrolada con termógrafo: Tmax - Tmin
Nominal 100mg 200mg 500mg 1g 2g 5g 10g 20g 50g 100g 200g
±T (mg) 0,016 0,020 0,025 0,03 0,04 0,05 0,06 0,08 0,1 0,16 0,3
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Ponente: J. A. Madrona9
• Finalmente, con los datos del certificado de calibración, el propietario determina la incertidumbre para el uso:– empleo con una sola medida
– para medir objetos de acero
– efecto de la temperatura para la variación máxima de ±3ºCmanual del fabricante: tc ≤ 1,5×10-6/K entre 10 ºC y 30 ºC
– no realizar correcciones de calibración
– efecto del descentramiento de cargas– se miden objetos con diversas formas
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Ponente: J. A. Madrona10
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN
• Conforme a EURAMET/cg-18 y G-ENAC-13
• debe reproducir el empleo del instrumento a calibrar,
• uso con medidas absolutas ⇒procedimiento: medir masas patrón conocidas
• la calibración se va a realizar determinando:– la corrección de calibración, y– la incertidumbre de calibración.
• los parámetros metrológicos que se van a determinar en la calibración serán:– Repetibilidad– Corrección de calibración
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona11
• REPETIBILIDAD:– en 2 puntos:
• valores máximo y medio del campo calibrado:
100 g y 200 g– en cada uno: 10 repeticiones.
• CORRECCIÓN DE CALIBRACIÓN:– en 6 puntos:
• aprox. equidistantes
• incluyendo el mínimo y el máximo
• aprovechando los puntos de la repetibilidad:
100 mg, 2 g, 50 g, 100 g, 150 g y 200 g– en cada punto (excepto en los de repetibilidad) se realiza 1
medida (así se mide en el uso de la balanza).
– se siguen series crecientes, pasando por 0 entre cargas.
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Ponente: J. A. Madrona12
• Denominando:
lij = indicación de la balanza para la medida de la masa patrón, de orden j (j =1 a 10) en el punto i (i =1 a 2), para la repetibilidad
li = indicación de la balanza en el punto i (i =1 a 6), para la corrección de calibración,
mpi = valor de la masa patrón con nominal correspondiente al punto i,
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
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Ponente: J. A. Madrona13
FUNCIÓN MODELOEl modelo de la corrección local:
Aplicando la ley de propagación de varianzas:
medidas) 10 de (puntosCE0EDmp0Ec ++−+=++= CLCMCCCC iiiEii pc
medida) 1 de (puntosCE0EDmppc0Ec ++−+=++= CLCMCCCC iiiEii
medida) (1)()()()()()( E02
E22
Dmp22
mpcE2
c22 cucuscuucucucu giiii ++++=+=
medidas) (10)()(10
)()()()( E02
E2
Dmp22
mpcE2
c22
2
cucuscuucucucu iiiii ++++=+=
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Ponente: J. A. Madrona14
ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE DE CALIBRACIÓN LOCAL
Corrección de calibración
–Valor del patrón indicado en su certificado, mpi
–Valor medio, li en el punto i para la determinación de la repetibilidad:
–Corrección de calibración, cci, en el punto i:
∑=
=10
1101
jiji ll
iii lc −= pc m (puntos de 10 medidas)
iii lc −= pmc (puntos de 1 medida)
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona15
• Entonces la contribución de incertidumbre por el Patrón de calibración umpi , se obtendrá con los criterios:
– Combinación de patrones:
– Si para constituir un nominal se emplean n masas patrón de un mismo juego ⇒ correlación total
– correlación total ⇒ composición de las incertidumbres típicas mediante una ley lineal:
∑=
=n
ji uu
1ijmpmp
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona16
– Empleo sin la desviación al nominal:
– contribución por emplearse las masas patrón con su valor nominal,
– se estima a partir de la tolerancia correspondiente a su clase:
±Ti en el nominal i
– se asocia una distribución de probabilidad rectangular:
3iT
iu =mpc
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona17
– Deriva:– por estar sometidas las masas a muchos desplazamientos y usos en
diversos ambientes
– se tiene bien controlada:masas incluidas en nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio (reciben calibraciones internas con un periodo de recalibración adecuado),
masas empleadas solo en la calibración de las balanzas.
– se controla que no supere un intervalo de la ±U certificada para la clase de la masa.
– se estima como corrección nula:
cDmpi = 0– se asocia una distribución rectangular en el intervalo de variación (±U).
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona18
– Se añade a la componente de la U de la masa patrón por su valor certificado.
– Como la U de las masas es igual a 1/3 de la tolerancia para la clase (según R111-OIML):
– Si las masas fueran del nivel de referencia de un laboratorio sin calibración interna:
esta componente alcanzaría un valor más elevado,
y debería estar estimada por recalibraciones con periodicidad corta y/o por controles entre calibraciones
3333/
322)(
⋅==
⋅⋅
= iiiDmpi
TTUcu
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona19
– Calidad de los patrones:
– La U de los patrones se debe encontrar dentro de un intervalo tal que por:
el extremo superior: no produzca una degradación inadmisible para la U final de calibración,
el extremo inferior: no aparezcan problemas de viabilidad tecnológica, coste, etc, de las masas.
– Según UNE EN 30012-1 (ISO 10012: 1992), la relación recomendable entre la tolerancia a verificar ±T y la Udel instrumento a emplear, es:
310TUT
≤≤
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona20
– Considerando:
T = máximo error permitido (EN 45501)
máximo error permitido = f(E) con valores:
desde E/2 en recepción con E alta,
a 3E en uso con E pequeña,
la relación anterior queda:
EUEEUE≤≤⇒
⋅≤≤
⋅203
3105,0
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona21
– Por otra vía, EN 45501 se establece que las Tm de los patrones no deben superar:
Tm ≤ T/3,
– y como según la R111 (OIML):U ≤ Tm/3
se puede obtener una nueva relación:
318333
335,0 EUEEUE
≤≤⇒⋅⋅
≤≤⋅⋅
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona22
– Comprobando la calidad de los patrones:
en el nominal más bajo, de 100 mg:
valor que entra en el intervalo
en el nominal más alto con varias masas, 150 g:
y en el nominal más alto, 200 g:
valores que no entran en los intervalos
51mg02,0
311
3mg016,02 2
22
=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅EU
3mg3,0311
3mg16,0
3mg1,02 2
22
=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅EU
7,3mg37,0311
3mg3,02 2
22
=⇒=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
EU
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona23
– Habría que realizar la calibración:con la desviación al nominal de las masas
dentro de un plan interno con masas con menos deriva.
– En 200 g, empleando la masa con desviación al nominal y sin deriva:
U = Ecumple los límites de ISO 10012-1.
no se cumple EN 45501 con masas de clase tan alta (E2), luego esta norma no es para la calidad de estas balanzas.
– Así, para el actual nivel tecnológico de estos instrumentos, y para el ejemplo, se sube el límite superior de la relación:
EUE 418
≤≤
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona24
• Repetibilidad
– Como la desviación típica, si, en los dos puntos i para la determinación de la repetibilidad:
– sg es la desviación típica que se estima como global para toda la escala del instrumento, según el criterio:
sg = máx (si)
(entre los valores de los dos puntos de 10 medidas)
( )∑=
−−
=10
1
22
1101
jiiji lls
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona25
• Redondeo con carga en el plato– es la contribución debida a la expresión del resultado según un
múltiplo de E,
– se estima mediante una corrección nula, cE,
cE = 0
– su varianza se obtiene de la hipótesis de distribución uniforme en un intervalo ± E/2:
• Redondeo sin carga en el plato– es igual que la anterior
1212)2/(2)( 0
EEcu E =⋅
=
1212)2/(2)( EEcu E =
⋅=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona26
• Otras contribuciones no consideradas
– La contribución por descentramiento que no aplica por ser fácil colocar el centro de gravedad de los patrones en el centro geométrico del plato,
– La contribución por variación de temperatura durante la calibración queda englobada en la repetibilidad (se va a analizar en la incertidumbre de uso),
– La contribución por el empuje del aire que resulta despreciable, al considerar que:
la corrección diferencial entre las masas patrón de calibración e interna para el ajuste previo de la escala no resulta significativa,
en todo caso quedaría englobada por la corrección de calibración,
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona27
INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL
• Sustituyendo las expresiones para las contribuciones:
– en los puntos de 10 medidas para repetibilidad y corrección de calibración
– en los puntos de 1 medida para la corrección de calibración
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++== ∑
= 121210273)(
222222
4
1
222 EEsTTkcukU iii
qiqi
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++== ∑
= 1212273)(
222
222
4
1
222 EEsTTkcukU gii
qiqi
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona28
Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales
Magnitud
de entrada
Xq
Estimación
xq
Incertidumbre
típica
u(xq)
Distribución
de
probabilidad
Coeficiente
de
sensibilidad
cq
Contribución a la
incertidumbre
uq(cq)
Mpci mpci umpci Rectangular 1
3iT
CDmpi 0 u(cDmpi) Rectangular 1
33 ⋅iT
iL_
il_
X
sx Normal -1
Xsx−
CE 0 u(cE) Rectangular 1
32E
CE0 0 u(cE0) Rectangular 1
32E
Ci ∑=q
qi xc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2iq cuu
Incertidumbre expandida (U) U=k⋅u
Nota: como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona29
Nominal (g) 0,1 2 50 100 150 200
umpci (mg) 0,009 0,023 0,058 0,087 0,144 0,173
u(cDmpci) (mg) 0,003 0,008 0,019 0,029 0,048 0,058 0,1000 2,0000 49,9998 100,0001 150,0002 200,0000
100,0000 200,0001
100,0001 200,0001
100,0002 200,0000
100,0000 199,9999
100,0001 199,9999
100,0000 200,0000
100,0001 200,0001
100,0000 200,0000
ijl
(g)
100,0002 199,9999
il (g) - - - 100,0001 - 200,0000
sj (mg) - - - 0,08 - 0,08
cci (mg) 0,0 0,0 +0,2 -0,1 -0,2 0,0
u(cci) (mg) 0,09 0,09 0,11 0,10 0,17 0,19
Ui (mg) 0,18 0,19 0,22 0,21 0,35 0,38
TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOSTOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona30
Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones
locales en un punto de 1 medida para la determinación de la corrección de calibración:
Magnitud de entrada
Xq
Estimación xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de sensibilidad
cq
Contribución a la incertidumbre
uq(ci) Mpci 50,0000 g Rectangular 1 0,058 mg
CDmpi 0 mg Rectangular 1 0,019 mg
Li 49,9998 g Normal -1 -0,080 mg
CE 0 mg Rectangular 1 0,029 mg
CE0 0 mg Rectangular 1 0,029 mg
Ci +0,2 mg Incertidumbre combinada (u) 0,11 mg
Incertidumbre expandida (U) 0,22 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona31
Cálculo de las contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales en un punto de 10 medidas para la determinación de la repetibilidad y de la corrección de calibración:
Magnitud de entrada
Xq
Estimación xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de sensibilidad
cq
Contribución a la incertidumbre
uq(ci) Mpci 100,0000 g Rectangular 1 0,087 mg
CDmpi 0 mg Rectangular 1 0,029 mg
iL_
100,0001 g Normal -1 -0,025 mg
CE 0 mg Rectangular 1 0,029 mg
CE0 0 mg Rectangular 1 0,029 mg
Ci -0,1 mg Incertidumbre combinada (u) 0,10 mg
Incertidumbre expandida (U) 0,21 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona32
• Como factor de cobertura:
– generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total)
– en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%.
– en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona33
– La obtención de Cc y U globales tiene mayor utilidad, por emplear un diferente nº de repeticiones según parámetro.
– El modelo, teniendo en cuenta cΔ la corrección residual que no se realiza al trabajar con valor global, las correcciones por temperatura, por excentricidad, así como las de redondeo de nuevo, será:
– Aplicando la ley de propagación de varianzas:
tempexc0c CCCCCCCC EErep ++++++= Δ
)()()()()()()()( temp2
exc2
E02
E2
rep22
c22 cucucucucucucucu ++++++= Δ
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona34
• Corrección global no nula:– Los valores de su estimador y de su contribución, se obtienen con
los criterios:
– El valor del estimador de cΔ debida a las correcciones residuales que no se realizan al trabajar con el valor global, y de su contribución u(cΔ), se obtienen con los criterios:
cΔ = 0
∑=
=6
1cc 6
1t
tcc
∑=
Δ −−
=6
1
2cc
2 )(16
1)(t
t cccu
∑=
=6
1
22 )(61)(
icic cucu
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona35
• Corrección de calibración nula:
– Para aplicaciones de este nivel metrológico, puede ser una buena práctica la incorporación de Cc a U, ya que como las Cc global y locales son lo suficientemente pequeñas, se le puede asignar valor nulo.
– Su estimador y el de su contribución se pueden obtener, mediante:
– El estimador de la corrección residual que no se aplica, y el de su contribución por este desajuste de escala se obtienen, mediante:
∑==6
1
2 )(61)(0 cicc cucuc
∑== ΔΔ
6
1
2
61)(0 ciccuc
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona36
– También se pueden obtener como:
Criterio éste que será el que finalmente se aplique
0=gc
( )[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=+=
maxmax
22222
maxmax 121227321
21)( ci
xiiciig cEE
XsTTcUcu
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona37
• Repetibilidad al medir:– Con la única lectura que se realiza al medir.
lR = l
• Redondeo con carga y sin carga en el plato:
– Como se analizó en las contribuciones a la incertidumbre de calibración local.
1)(
1)( máxig
repss
cu ==
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona38
• Excentricidad
– en 1 punto próximo a 1/3 del valor máximo del campo de medida (fijado por procedimiento), 70 g
– cargando el plato en 5 posiciones: 4 opuestas por parejas según las 2 diagonales, y la central.
– se estima con una corrección nula, cexc = 0
– su varianza se obtiene asociando una distribución rectangular al intervalo definido por la máxima desviación de una de las cuatro posiciones descentradas y la central:
( )12
)( max,exc
iexclcu
Δ=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona39
69,999670,000370,000169,999469,9999
descentradas
(g)
central
(g)
Al colocar sobre el plato un objeto de una masa próxima a 70 g se obtienen para las cinco posiciones:
gcu12
9994,699999,69)( exc−
=
Y, entonces:
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona40
• Variación de temperatura– es la contribución asociada al cambio de temperatura,
– se estima por una corrección nula,
ctemp= 0
– su varianza se obtiene localmente a partir de considerar una distribución rectangular en el intervalo máximo de control de temperatura de la sala:
– y globalizando:
66
ctemp 106,2
12105,16
12)( −
−
⋅⋅=⋅⋅⋅
=⋅Δ⋅
= iii
i lltTlcu
( ) ( ) gllcu iitemp66
maxmax6 106,2200106,2106,2)( −−− ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona41
• OTRAS CONTRIBUCIONES EN USO QUE EN ESTE EJEMPLO NO SE CONSIDERAN
Empuje del aire
– También se considera despreciable como en la calibración aunque si se tenga que determinar en algún empleo si los mensurandosno fueran de acero y en función de las densidades del mensurando y de la masa interna de ajuste.
– Se estimaría a partir de la medida indirecta que define la corrección, asociándole una distribución normal, función de las densidades del mensurando y de las masas de calibración asícomo de la densidad del aire.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona42
• Fluencia, histéresis– No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos
solidos, se estimaría a partir de las diferencias entre series crecientes y decrecientes.
• Tarado– No se presenta en el uso de esta balanza al medir objetos
solidos, se estimaría a partir de la máxina diferencia de las pendientes del error entre puntos de calibración consecutivos.
• Desajuste por deriva– No se presenta en el uso de esta balanza por realizar ajustes
de escala antes de cada uso, se estimaría a partir de especificaciones del fabricante o variaciones entre calibraciones
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona43
• CÁLCULO DE LA INCERTIDUMBRE DE USO
• Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones:
- Con corrección no nula
- Con corrección nula
( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝⎛
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ
++++−
−+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++=
−
== ∑∑
26
max
2
,
22261
2
2261
222
22
106,2
1212121161
121227361
i
máxiexcg
i
cci
i
xii l
lEEs
ccEE
XsTTkU
( ) ( )( ) ⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
⋅⋅+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ Δ
++++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++++=
− 26
max
2
,
222
2
max
max
22222
22
106,2
1212121121227321
i
máxiexcg
ci
xii l
lEEs
cEE
XsTTkU
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona44
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula
Magnitud de entrada
Xq
Estimación
xq
Incertidumbre Típica
u(xq)
Distribución de
probabilidad
Coeficiente de
sensibilidadcq
Contribución a la incertidumbre
uq(ci)
Cc 0 u(cc) Normal 1 ∑=
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
6
1
22222
121227361
i
xii EEXsTT (1)
CΔ 0 u(cΔ)
Normal 1 ( )∑
=
−−
6
1
2
161
tcci cc
Crep 0 u(crep)
Normal 1
1gs
CE 0 u(cE)
Rectangular 1
32E
CE0 0 u(cE0
Rectangular 1
32E
Cexc 0 u(cexc) Rectangular 1 ( )
12, máxiexclΔ
Ctemp 0 u(ctemp) Rectangular 1 ( ) 6
max 106,2 −⋅⋅il
C ∑=q
qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2
ii cuu
Incertidumbre expandida (U) U = k⋅u Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona45
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula
Magnitud de entrada
Xq
Estimación
xq
Incertidumbre Típica
u(xq)
Distribución de
probabilidad
Coeficiente de
sensibilidadcq
Contribución a la incertidumbre
uq(ci)
Cc 0 u(cc) Normal 1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
maxmax
22222
121227321
cixii cEE
XsTT (1)
Crep 0 u(crep)
Normal 1
1gs
CE 0 u(cE)
Rectangular 1
32E
CE0 0 u(cE0
Rectangular 1
32E
Cexc 0 u(cexc) Rectangular 1 ( )
12, máxiexclΔ
Ctemp 0 u(c temp) Rectangular 1 ( ) 6
max 106,2 −⋅⋅il
C ∑=q
qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2
ii cuu
Incertidumbre expandida (U) U = k⋅u Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 1 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona46
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección no nula
Magnitud de
entrada
Xq
Estimación
xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
cq
Contribución a la
incertidumbre
uq(ci)
Cc 0 Normal 1 0,267 mg
CΔ 0 Normal 1 0,121 mg
Crep 0
Normal 1 0,080 mg
CE 0
Rectangular 1 0,029 mg
CE 0
Rectangular 1 0,029 mg
Cexc 0 Rectangular 1 0,144 mg
Ctemp 0 Rectangular 1 0,52 mg
C 0 Incertidumbre combinada (u) 0,621 mg
Incertidumbre expandida (U) 1,24 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona47
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso con corrección nula
Magnitud de
entrada
Xq
Estimación
xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
cq
Contribución a la
incertidumbre
uq(ci)
Cc 0 Normal 1 0,270 mg
Crep 0
Normal 1 0,080 mg
CE 0
Rectangular 1 0,029 mg
CE 0
Rectangular 1 0,029 mg
Cexc 0 Rectangular 1 0,144 mg
Ctemp 0 Rectangular 1 0,520 mg
C 0 Incertidumbre combinada (u) 0,61 mg
Incertidumbre expandida (U) 1,2 mg
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona48
– Este valor se puede considerar alto para un nivel de cobertura del 95%, y se podría reducir:
disminuyendo el ΔT para las medidas en el uso,
realizando en el uso la Ct, para la T concreta que se tenga,
y disminuyendo la Ump en los puntos altos (150 g y 200 g) mediante su empleo con la desviación al nominal.
– No habría que olvidar que aún faltarían componentes que inevitablemente tendría que añadir el usuario, p.e.:
por la corrección por empuje del aire, en función de sus mensurandos habituales.
– Para este uso mejor emplear otra balanza más económica con 10E.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona49
• Si la lectura de la balanza al colocar el objeto sobre su plato es de 128,352 2 g, el resultado final será:
128,352 2 g ± 0,001 2 g
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON LA BALANZA
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona50
CALIBRACIÓN Y USODE UN MANÓMETROCALIBRACIÓN Y USODE UN MANÓMETRO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona51
1. ENUNCIADO2. DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN3. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
4.1. Corrección de calibración local4.1.1 . Presión medida por el manómetro patrón4.1.2 . Corrección de calibración del manómetro patrón
4.2. Error de histéresis4.3. Corrección por diferencia de alturas4.4. Variación de temperatura4.5. Redondeo
5. TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS.6. ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO.7. RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona52
ENUNCIADOENUNCIADO• Calibración de un instrumento
mediante la medida simultánea con otro instrumento que actúa como patrón, de una presión generada externamente.
• Realizada por un laboratorio externo al propietario del mismo.
• Instrumento a calibrar: manómetro mecánico con cualquier tipo de sensor e indicador analógico, para medidas de presión relativa neumática.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona53
• Del manómetro calibrando se sabe que:C =10 bar E = 0,05 bar
– se usa para medidas de presión creciente y decreciente.
– del manual del fabricante se conoce tc ≤ 200 Pa/K en el campo de 10 ºC a 30 ºC.
– es una calibración periódica dentro de su Plan de Calibración,
– se determinan características metrológicas del manómetro para emplearlas en su uso.
– campo a calibrar: 10% al 100% de la capacidad ( 1 bar a 10 bar).
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona54
• Del patrón de calibración se sabe que:– manómetro electrónico con sensor interno e indicaciones
en unidades de presión.C = 50 bar E = 1 mbar
– reservado para calibraciones a clientes, en un nivel intermedio del plan de calibración del laboratorio externo.
– su campo de medida cubre el del calibrando.– de su certificado de calibración se extrae la información:
ccpi = -0,0015 bar + 5xPix10-4
Ucpi = 4 mbar + 1,6xPix10-3 (k=2)De 0,5 bar a 50 bar
• la U incluye contribuciones por el redondeo, por la influencia de T para la variación en la sala de calibración, y por su deriva
calibrado internamente para uso muy bien conocido• el campo calibrado cubre el campo a calibrar del calibrando• esa U cumple las relaciones con el calibrando recomendadas.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona55
• De la calibración en sí se sabe que:– La variación de la temperatura durante misma ha sido de
ΔTc =19,5ºC a 21,5ºC.
– Se realiza un montaje con las tomas de los dos manómetros a la misma altura.
– Se comprueban las alturas de las dos tomas con un instrumento con Uh = 5 mm (k=2), y se conoce g = 9,80 ms-2.
– Se usa un generador auxiliar con un gas que admiten los dos manómetros (N2 con df=6kgm-3), y con un controlador capaz de estabilizar la presión adecuadamente para la calidad del calibrando.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona56
• Del uso en sí se sabe que:– La variación de la temperatura prevista en sus diferentes
empleos de ΔTc = 20 ± 5ºC.
– Se realiza una medida.
– El manómetro se coloca a la altura del punto en el que se quiere conocer la presión.
– La deriva se tiene controlada de forma que entre calibraciones la corrección de calibración no varíe en más de ± 3E.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona57
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN
DESCRIPCIÓN DEL PROCEDIMIENTO DE CALIBRACIÓN
• como en su forma de empleo: medir las presiones generadas externamente simultáneamente con el manómetro patrón.
• fijando los puntos el manómetro a calibrar.
• se determinan: Cc y U locales, incluyendo algunas contribuciones del uso, para que el usuario aplique en la medida las Cc y cualquier otra contribución que le afecte.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona58
• Los parámetros metrológicos a determinar:• repetibilidad• corrección de calibración• error de histéresis
• Repetibilidad:– 10 repeticiones en 2 puntos de los anteriores (valor máximo y
mitad del campo calibrado) realizando 4 series más (2 y 2 seguidas).
• Corrección de calibración e histéresis:– 6 series (3 crecientes y decrecientes seguidas), en 5 puntos
de calibración equidistantes en el campo a calibrar.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona59
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
FUNCIÓN MODELO• El modelo para la corrección local de calibración:
• aplicando la ley de propagación de varianzas a dicha expresión se obtiene:
ETHici CCCCCC hi ++++= Δ
)()()()()()( E2
T22
Hi222 cucucucucucu hcii ++++= Δ
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona60
ESTIMACIÓN DE CORRECCIONES Y CONTRIBUCIONES A LA INCERTIDUMBRE LOCAL DE CALIBRACIÓN
• Corrección de calibración:– el modelo para cada punto:
• el modelo para el valor de la presión patrón:
• de acuerdo con las condiciones de su calibración:
iici lpc −= p
EpDpiTpicpipcii ccccp ++++=pp
cTDEpipcii cp +=pp
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona61
– de esta forma, el modelo final resultante sería:
– aplicando la ley de propagación de varianzas:
icTDEpipcici lcp −+=c
)()()( cTDEp2
pc22
iici cupucu +=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona62
• Presión medida por el manómetro patrón:– en los puntos de 10 repeticiones:
– en los puntos con 6 repeticiones:
∑=
==10
1101
jijipci ppp
10)( i
pcispu =
∑=
==6
161
jijipci ppp
( )∑=
−−
=10
1
22
1101
jiiji pps
6)(
6)( máxig
pciss
pu ==
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona63
• Corrección de calibración del manómetro patrón:ccTDEpi = ccpi
u(ccTDEpi ) = u(ccpi ) = ucpi
• en resumen, el modelo de la corrección local de calibración quedaría:
• aplicando la ley de propagación de varianzas:(puntos de 10 medidas)
(puntos de 6 medidas)
icpiii lcpc −+=_
10)(
22cpi
2 isucu i +=
6)(
22cpi
2 gi
sucu +=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona64
• Error de histéresis:cHi = 0
• Corrección por diferencia de alturas:
12)( Hi
ipcu Δ=
0=Δ⋅⋅=Δ hgdc fh
222222222 )()()()()( hfdfgfhfh ugdughuhdugdcu ⋅⋅=⋅⋅Δ+⋅Δ⋅+⋅⋅=Δ
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona65
• Variación de temperatura:cT = 0
• Redondeo:cE = 0
12)( c
TtTcu c ⋅Δ
=
1232/)( E
EEcu ==
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona66
INCERTIDUMBRE COMBINADA DE CALIBRACIÓN LOCAL
• Luego la expresión para la incertidumbre resultado de esta calibración, sustituyendo las expresiones de cada una de sus contribuciones, será:
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅Δ+⋅⋅+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ++⋅=⋅= ∑ 121212
22c22
22cpi
22222 EtTugdp
XsukyukU c
hfi
qqi
x
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona67
Contribuciones a la incertidumbre combinada de las correcciones locales
Magnitud
De entrada
Xq
Estimación
xq
Incertidumbre
típica
u(xq)
Distribución de
probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
Cq
Contribución a la
Incertidumbre
uq(ci)
Ppci ip
_
Xsx
Normal 1
Xsx (1)
ccpi ccpi u(ccpi)
Normal 1 u(ccpi)
CHi 0 u(cHi) Rectangular 1
12ipΔ
CΔh 0 u(cΔ) Normal gdf ⋅ ( ) hf ugd ⋅⋅
CT 0 u(cT) Rectangular 1
12ctTc ⋅Δ
CE 0 u(cE)
Rectangular 1
32⋅E
C ∑=q
qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2ii cuu
Incertidumbre expandida (U) U = k⋅u Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 6 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona68
• Como factor de cobertura:
– generalmente se tomará k=2, para una probabilidad del 95%, (más de 2 términos en el balance y presentan contribuciones comparables: los dominantes no suponen más de un 60% del total)
– en los casos en los que resultara dominante una distribución rectangular se asociaría un factor de cobertura k=1,65 para una probabilidad del 95%.
– en los casos en los que resulten dominantes dos distribuciones rectangulares habría que realizar la convolución para determinar la forma de la distribución trapezoidal resultante.
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona69
0,05
Nominal (bar) 1 3 5 7 10
u(ccpi)(bar) 0,003 0,005 0,006 0,008 0,010
1,062 3,041 5,024 7,043 10,098
1,069 3,066 5,015 7,023 10,068
1,023 3,012 5,077 7,019 10,040
1,041 3,033 5,089 7,040 10,020
1,072 3,024 5,044 7,038 10,081
1,075 3,045 5,053 7,057 10,099
5,094 10,071
5,079 10,077
5,043 10,093
5,017 10,072
ppi (bar) 1,057 3,037 5,054 7,037 10,072
sci (bar) 0,030 0,030 0,030 0,025
cctdPi (bar) -0,001 0,000 0,001 0,002 0,003
cci (bar) 0,056 0,037 0,055 0,039 0,075
uci=S ci/√n (bar) 0,000 0,012 0,009 0,012 0,008
u(cHi) (bar) 0,005 0,007 0,008 0,006 0,009
u(CDh) (bar)
u(cT) (bar)
u(cE) (bar)
u(cci) (bar) 0,016 0,021 0,020 0,021 0,021
Ui (bar) 0,032 0,042 0,040 0,043 0,042
E (División de escala) (bar)
0,014
0,002
0,000
ppij (bar)
TOMA Y TRATAMIENTO DE DATOSTOMA Y TRATAMIENTO DE DATOS
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona70
Contribuciones a la incertidumbre combinada en
los puntos de 10 medidas para la repetibilidad
Magnitud
De entrada
Xq
Estimación
xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
Cq
Contribución a la
Incertidumbre
uq(ci)
Ppci 10,072 bar Normal 1 0,008 bar
ccpi +0,003 bar Normal 1 0,010 bar
CHi 0 Rectangular 1 0,009 bar
CΔh 0 Normal 58,8 Pa/m 0,000 bar
CT 0 Rectangular 1 0,002 bar
CE 0 Rectangular 1
0,014 bar
C +0,075 bar, Incertidumbre combinada (u) 0,021 bar
Incertidumbre expandida (U) 0,042 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona71
Contribuciones a la incertidumbre combinada en los
puntos de 6 medidas para la corrección de calibración
Magnitud
De entrada
Xq
Estimación
xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
Cq
Contribución a la
Incertidumbre
uq(ci)
Ppci 3,037 bar Normal 1 0,012 bar
ccpi 0,000 bar Normal 1 0,005 bar
CHi 0 Rectangular 1 0,007 bar
CΔ 0 Normal 58,8 Pa/m 0,000 bar
CT 0 Rectangular 1 0,002 bar
CE 0 Rectangular 1
0,014 bar
C +0.037 bar Incertidumbre combinada (u) 0,021 bar
Incertidumbre expandida (U) 0,042 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona72
• Análisis del resultado en el certificado:– U en cada punto
– para k=2 (95% probabilidad)
– U razonable (máx ≅1 E ≅ 0,45% F.E.)
– Para usar esa U hay que aplicar C
– Podrían faltar otras contribuciones en el uso
– Parece que pide mejor emplear Cc = valor medio y no nula y trabajar con un valor global de U ya que no se degradaría mucho
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO
ESTIMACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DE USO
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona73
– El modelo para empleo al medir con sería con las contribuciones del uso por:
– Corrección global
– Repetibilidad
– Redondeo
– Temperatura
– Deriva
– aplicando la ley de propagación de varianzas:
δccccccl tempErepgr ++++++= Δl
)()()()()()( 2temp
222g
22δcucucucuculu Erepr ++++=
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona74
• Corrección de calibración global que se aplica:
• Corrección residual que no se aplica:cΔ = 0
∑=
==6
1cig 6
1i
c ccc
∑=
=6
1
22 )(61)(
icig cucu
∑=
Δ −−
=6
1
2cci
2 )(16
1)(t
cccu
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona75
• Repetibilidad:lR = l
• Redondeo:cE = 0
1232/)( E
EEcu ==
1)(
1)( máxig
repss
cu ==
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona76
• Variación de temperatura:cT = 0
• Deriva:cδ = 0
1210002,0
12)( c
T⋅
=⋅Δ
=tTcu c
1205,06
126
12)( max ⋅
=⋅
==Ecu δ
δ
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona77
• Sustituyendo las expresiones de las distintas contribuciones:
( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅Δ
+++−−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅Δ
+⋅⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
++= ∑∑== 1212121
)(16
11212126
1 2max
2c
2212
1
2cc
6
1
22c22
22cpi
222 δtTEs
ccEtTugdpXsukU cg
tt
i
chf
ix
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona78
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso
Magnitud
De entrada
Xq
Estim ación
xq
Incertidum bre
típica
u(xq)
Distribución de
probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
Cq
Contribución a la
Incertidum bre
uq(ci)
Cg cig cc
_=
u(cc)
Normal 1
( )∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅Δ
+⋅⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ++
6
1
22c22
22cpi 1212126
1 2
i
chf
i EtTugdpXsu x (1)
CΔ 0 u(cΔ)
Normal 1
∑=
−−
6
1
2cc )(
161
tt cc
Crep 0
1gs
Normal 1
1gs
CE 0 u(cE)
Rectangular 1
32 ⋅E
CT 0 u(cT) Rectangular 1
12ctTc ⋅Δ
Cδ 0 u(cδ)
Rectangular 1
126 E⋅
C ∑=q
qxc Incertidumbre combinada (u) ∑= )(2ii cuu
Incertidumbre expandida (U) U = k⋅u Nota (1): como sx y X se toman si, y 10, o sg y 6 según que el punto de calibración sea uno empleado para la determinación de la repetibilidad y la corrección de calibración o uno para la determinación de la corrección de calibración exclusivamente
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona79
Contribuciones a la incertidumbre combinada de uso
Magnitud
De entrada
Xq
Estimación
xq
Distribución de probabilidad
Coeficiente de
sensibilidad
Cq
Contribución a la
Incertidumbre
uq(ci)
CPpci + 0,05 bar Normal 1 0,021 bar
CΔ 0 Normal 1 0,015 bar
Crep 0 Normal 1 0,030 bar
CE 0 Rectangular 1 0,014 bar
CT 0 Rectangular 1 0,006 bar
Cδ 0 Rectangular 1
0,087 bar
C + 0,05 bar Incertidumbre combinada (u) 0,097 bar
Incertidumbre expandida (U) 0,194 bar
Cálculo de Incertidumbre - Octubre 2008Ponencia: Aplicaciones mecánicas en calibración y medida
Ponente: J. A. Madrona80
• Si la lectura del manómetro para la presión en el punto de medida es de 18,35 bar el resultado final será:
18,35 bar +0,05 bar ± 0,20 bar =18,40 bar ± 0,20 bar
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO
RESULTADO FINAL DE LA MEDIDA CON EL MANÓMETRO
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