impulso y cantidad de movimiento angular
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S E S I N 5 : C I N T I C A D E U N A P A R T C U L A
Lic. Fs. Javier Pulido Villanueva
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Introduccin
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Impulso y cantidad de movimiento angular
El impulso angular de una fuerza respecto a un punto O durante el intervalo de tiempo de 1 a 2 se define como
Impulso angular = 2
1
= 2
1
IMPULSO ANGULAR DE UNA FUERZA
---------- (1)
donde = es el momento de una fuerza respecto al punto O.
La unidades del impulso angular en el SI es y en el sistema ingles es
-
La formulacin vectorial cartesiana del momento de una fuerza
respecto al punto O se escribe como = + + , entonces
las componentes rectangulares de la ecuacin (1) son
Impulso angular =
2
1
Impulso angular =
2
1
Impulso angular =
2
1
Si la direccin de es constante en el intervalo de tiempo de 1 a 2,
entonces y el impulso angular tienen la misma direccin.
Si la magnitud y direccin de son constantes, el impulso angular es
Impulso angular = 2 1 ------------------- (3)
------------------- (2)
-
Considrese una partcula P de masa m que se mueve respecto a un sistema de referencia coordenado rectangular.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Se define la cantidad de movimiento angular de una partcula respecto a un punto O como
=
donde denota el vector de posicin de la partcula P. El vector es perpendicular al plano sombreado que contiene a y .
------------------------------ (4)
-
De las propiedades del producto vector, se define que la cantidad de
movimiento angular es un vector de magnitud
Las unidades en el SI es 2/ y en el sistema ingles 2/.
= sen
donde es el ngulo entre a y
. El sentido de puede determinarse a partir del sentido de
aplicando la regla de la mano derecha.
-------------- (5)
-
Al expresar los vectores y componentes rectangulares, la ecuacin (4) es determinado evaluando el determinante, se escribe
=
Las componentes de se obtienen desarrollando la determinante y se escribe
=
=
=
------------------------- (6)
---------------------------- (7)
Las componentes , y representan los momentos de la cantidad
de movimiento lineal alrededor de los ejes coordenados.
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RELACIN ENTRE MOMENTO DE UNA FUERZA Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR
Al derivar la cantidad de movimiento angular de la partcula respecto al
tiempo, se obtiene
=
= +
donde el trmino = = 0, ya que el producto vector de un
vector consigo mismo es cero; adems =
. Por tanto
= +
=
donde = .
Esta ecuacin establece que la suma de los momentos de O de las fuerzas que actan sobre la partcula es igual a la razn de cambio de la cantidad de movimiento angular, de la partcula alrededor de O.
--------------------------------- (8)
-
Principio del impulso y cantidad de movimiento angular
Integrando la ecuacin (8) en el intervalo de tiempo de 1 a 2, tenemos
2
1
= 2 1
o, al transponer el ltimo trmino
1 +
2
1
= 2 --------------------- (9)
A esta ecuacin se le conoce principio del impulso angular y cantidad de movimiento angular.
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Las componentes rectangulares de la ecuacin (9) son
1 +
2
1
= 2
1 +
2
1
= 2
1 +
2
1
= 2
-------------------- (10)
El termino es la integracin respecto al tiempo de los momentos de todas las fuerzas que actan sobre la partcula en el
periodo de 1 a 2.
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PROBLEMA EJEMPLO 1
Las esferas A y B pesan 4 lb cada una y estn soldadas en las barras que estn rgidamente conectadas a una flecha como se muestra. Si la
flecha se somete a un momento de par = 42 + 2 lbpie, donde t est en segundos, determine la velocidad de A y B cuando = 3 s. El sistema comienza a moverse a partir del punto de reposo. Ignore el
tamao de las esferas.
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PROBLEMA EJEMPLO 2
El bloque de 10 lb est en reposo sobre la superficie lisa. En l actan una fuerza radial de 2 lb y una fuerza horizontal de 7 lb, siempre dirigida a 30 de la tangente a la trayectoria, como se muestra.
Determine cunto tiempo necesita para romper la cuerda, la cual
requiere una tensin de = 30 lb. Cul es la rapidez del bloque cuando esto ocurre? Para efectos de calculo, ignore el tamao del
bloque.
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Conservacin de la cantidad de movimiento angular
Si los impulsos angulares que acta sobre una partcula es cero durante
el tiempo de 1 a 2, la cantidad de movimiento angular se conserva. En consecuencia la ecuacin (9) se reduce a
---------------------------- (11)
Esta ecuacin se conoce como el principio de conservacin de la cantidad de movimiento angular.
1 = 2
La ecuacin (11) establece que de 1 a 2 la cantidad de movimiento angular permanece constante.
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PROBLEMA EJEMPLO 3
El carro de 150 lb de un juego mecnico est conectado a una plataforma telescpica giratoria. Cuando = 15 pies, el carro se desplaza en una trayectoria circular horizontal a una rapidez de
30 pies/s. Si la pluma se acorta a razn de 3 pies/s, determine la rapidez del carro cuando = 10 pies. Ignore el tamao del carro y la masa de la pluma.
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PROBLEMA EJEMPLO 4
Un juego mecnico consta de un carro sujeto al cable OA. El carro gira en una trayectoria circular horizontal y alcanza una rapidez 1 = 4 pies/s cuando = 12 pies. Luego se tira del cable a una velocidad constante de 0,5 pies/s. Determine la rapidez del carro en 3 s.
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