identificacion y control del sistema tras
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DEPARTAMENTO DE ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA, AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL
IDENTIFICACIÓN Y CONTROL ADAPTATIVO
IDENTIFICACIÓN Y CONTROL DEL SISTEMA TRAS
INTEGRANTES:
MARCELO ÁLVAREZ
DIEGO RODRIGUEZ
FECHA:
15 DE MARZO DEL 2015
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 2
INDICE:
1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 4
SISTEMA TRAS ................................................................................................................. 4
MODELO Y PARÁMETROS ............................................................................................. 4
2. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA TRAS ............................................................. 5
2.1. AZIMUTH ................................................................................................................ 5
2.1.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA ......................................................................................... 5
2.1.2. MMC ARX NO RECURSIVO .............................................................................................. 7
2.1.3. DESCOMPOSICIÓN QR ................................................................................................... 10
2.2. PITCH .................................................................................................................... 14
2.2.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA ....................................................................................... 14
2.2.2. MMC ARX NO RECURSIVO ............................................................................................ 15
2.2.3. DESCOMPOSICIÓN QR ................................................................................................... 18
2.3. DISEÑO DE CONTROLADORES ......................................................................... 20
2.3.1. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL AZIMUTH ................ 20
2.3.2. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL PITCH ...................... 24
2.3.3. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE AZIMUTH ...................................... 26
2.3.4. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE PITCH............................................. 31
2.3.5. MODELO DE REFERENCIAS PITCH .......................................................................... 35
3. CONCLUSIONES: ................................................................................................ 39
4. BIBLIOGRAFIA: .................................................................................................. 39
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 3
ILUSTRACIONES:
Ilustración 1 Conexión del Sistema TRAS .........................................................................................4
Ilustración 2 Partes del sistema TRAS ...............................................................................................5
Ilustración 3 Obtencion de datos TRAS .............................................................................................5
Ilustración 4 Señal Pseudoaleatoria ....................................................................................................7
Ilustración 5 Identificación del sistema TRAS .................................................................................14
Ilustración 6 Respuesta del controlador ante una entrada escalón ....................................................23
Ilustración 7 Controlador por ubicación de polos .............................................................................23
Ilustración 8 Respuesta controlador por ubicacion de polos Simulink .............................................24
Ilustración 9 Respuesta de Pitch .......................................................................................................26
Ilustración 10 Controlador de Mínima Varianza Azimuth................................................................28
Ilustración 11 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias Azimuth .............29
Ilustración 12 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza Azimuth ..........................30
Ilustración 13 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por Referencias Azimuth 30
Ilustración 14 Controlador de Mínima Varianza Pitch .....................................................................33
Ilustración 15 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias de Pitch ..............34
Ilustración 16 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza en Pitch ...........................34
Ilustración 17 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por Referencias en Pitch .35
Ilustración 18 Configuración por controlador por modelo de Referencia .........................................38
Ilustración 19 Gráfica de control de referencia.................................................................................38
Ilustración 20 Control de Referencias con la Tarjeta STM32 ...........................................................39
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 4
1. INTRODUCCIÓN
SISTEMA TRAS
El sistema aerodinámico de dos rotores TRAS es un laboratorio de experimentos de control.
En ciertos aspectos este comportamiento se asemeja a un helicóptero. Desde el punto de
vista de control, es un sistema MIMO no lineal de grado superior.
En la figura a continuación se presenta un diagrama esquemático de la configuración del
laboratorio, donde se puede apreciar que el sistema cuenta con una viga articulada en la
base de tal manera que puede girar libremente al mismo tiempo en el plano vertical y
horizontal. En ambos extremos de la viga hay dos rotores, el principal y el de la cola, estos
son impulsados por motores de corriente continua.
Consta además con un brazo de contrapeso, con un peso en su extremo, fijo a la viga en el
punto de pivote.
El estado de la viga es descrito por cuatro variables de proceso: ángulos horizontales y
verticales medidos por sensores instalados en la posición de pivote y dos correspondientes a
las velocidades angulares. Las dos últimas variables de estado son las velocidades
angulares de los rotores, medidos por taco generadores acoplados a los motores.
Ilustración 1 Conexión del Sistema TRAS
MODELO Y PARÁMETROS
En ambos extremos de la viga hay dos hélices impulsadas por motores de corriente
continua, unida en su base a una articulación. Esta articulación permite girar de
forma tal que sus extremos se mueven sobre la superficie esférica. Hay un contrapeso fijo
en medio de la viga que determina una posición de equilibrio estable. El sistema es
equilibrado de tal manera que, cuando los motores se apagan, el rotor principal de la viga
se cae. El control del sistema es la tensión de suministro del motor. Las señales medidas
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 5
son: la posición de la viga en el espacio, que es un ángulo de posición y la
velocidad angular del rotor principal.
Ilustración 2 Partes del sistema TRAS
2. IDENTIFICACIÓN DEL SISTEMA TRAS
Para la identificación del sistema TRAS se utilizó el método ARX no recursivo por
descomposición QR.
Para la obtención de datos para la identificación del sistema se utilizó el siguiente esquema:
Ilustración 3 Obtencion de datos TRAS
2.1. AZIMUTH
2.1.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA
Se empieza generando una señal pseudoaleatorio con m=7 con la cual identificaremos el
sistema.
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 6
Para la señal pseudoaleatoria se tiene que m=7 y una amplitud de -0.4 < a < -0.425
Para la obtención de estas muestras se realizará la operación XOR entre el bit 5 y 7 con un
desplazamiento hacia la derecha por cada operación realizada.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 0
Nuestra matriz de entradas tiene la siguiente forma:
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 7
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,425000000000000
-0,425000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
-0,400000000000000
….
Ilustración 4 Señal Pseudoaleatoria
2.1.2. MMC ARX NO RECURSIVO
En esta sección se determina el desarrollo de las matrices de mediciones, parámetros.
𝑌𝑇(𝑘) = [𝑦(𝑛) , 𝑦(𝑛 + 1),… , 𝑦(𝑁)]
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 8
𝑍𝑇(𝑘)
= [
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑛)
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)]
Los valores de u(n) son los valores de la pseudoaleatoria y los valores de y(n) son los
valores de respuesta de la planta ante la entrada u(n), es decir, ante una entrada
pseudoaleatoria.
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,425000000000000 2,31017506655578
… …
Dimensiones:
N= 380;
n=2;
Y=(N-n+1)x1
Y=1998x1
Z= (N-n+1)x2n
Z=1998x4
Calculamos la matriz Z^T (k), tenemos las respectivas dimensiones de las matrices
MATRIZ Z
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,425000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,400000000000000
-
0,425000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,400000000000000
-
0,400000000000000
-2,31170904734366 -2,31170904734366 -
0,400000000000000
-
0,400000000000000
-2,31017506655578 -2,31170904734366 -
0,400000000000000
-
0,400000000000000
-2,31017506655578 -2,31017506655578 -
0,400000000000000
-
0,400000000000000
… … …. ….
MATRIZ Y
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 10
2.1.3. DESCOMPOSICIÓN QR
A partir de nuestra matriz Z se obiene la descomposición QR
1. Encontramos el vector X
𝑖 = 2 𝑦 𝑗 = 1
𝑋 = (𝑅𝑗𝑗
𝑅𝑖𝑗) = (
𝑅11
𝑅21) = (
−0.0018−0.0056
)
2. Para obtener el número 0 en el vector X se debe multiplicar por los coeficientes s y
c. Entonces:
(𝑐 𝑠
−𝑠 𝑐) ∗ (
𝑥1
𝑥2) = (
∗0)
(𝑐𝑥1 + 𝑠𝑥2
−𝑠𝑥1 + 𝑐𝑥2) = (
∗0)
𝑡 =𝑥1
𝑥2=
−0.0073
−0.0026= 0.42414
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31170904734366
2.31017506655578
2.31017506655578
2.31017506655578
2.31017506655578
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 11
𝑠 =1
√1 + 𝑡2=
1
√1 + (0.4114)2= 0.8720
𝑐 = 𝑠𝑡 = (0.8720)(0.4114) = 0.3245
3. Obtenidos los valores de s y c se obtiene los valores de R por filas:
𝑅𝑗: = 𝑅1: = 𝑐𝑅𝑗: + 𝑠𝑅𝑖: = 𝑐𝑅1: + 𝑠𝑅2:
𝑅𝑖: = 𝑅2: = −𝑠𝑅𝑗: + 𝑐𝑅𝑖: = −𝑠𝑅1: + 𝑐𝑅2:
Por lo tanto se obtiene:
47.4239209312922 47.4732443571654 -5.81911345257576 -5.81832744137268
0 -
0.140374986297458
-11.2053774465169 -11.2067404269019
0 0 13.4500208143758 13.4261306044101
0 0 0 0.787830427400875
0 0 0 0
0 0 0 0
𝑅 =
(
47.423 47.423 −5.819 −5.8190 −0.1403 −11.20 −11.200 0 13.450 13.4500 0 0 0.7870 0 0 0… … … … )
4. Para los valores de Q se obtendrá los valores por columnas:
𝑄:𝑗 = 𝑄:1 = 𝑐𝑄:𝑗 + 𝑠𝑄:𝑖 = 𝑐𝑄:1 + 𝑠𝑄:2
𝑄:𝑖 = 𝑄:2 = −𝑠𝑄:𝑗 + 𝑐𝑄:𝑖 = −𝑠𝑄:1 + 𝑐𝑄:2
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 12
Aquí se utilizan las columnas 𝑄:1 y 𝑄:2 para realizar las operaciones:
𝑄:1 = (−0.017)
(
1000…)
+ (−0.017)
(
0100…)
𝑄:1 =
(
−0.017000… )
+
(
0−0.017
00… )
𝑄:1 =
(
−0.017−0.017
00… )
𝑄:2 = (−0.048)
(
1000…)
+ (0.048)
(
0100…)
𝑄:2 =
(
−0.048000… )
+
(
00.048
00… )
𝑄:2 =
(
−0.0480.048
00… )
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 13
Por lo tanto Q será:
-
0.0487456330465139
-
0.0171277068804324
-
0.0669574271915856
…
-
0.0487456330465139
-
0.0171277068774743
-
0.0669574271891130
…
-
0.0487456330465139
-
0.0171277068774743
-
0.0669574271891183
…
-
0.0487456330465139
-
0.0171277068774743
-
0.0669574271891184
…
… … … …
𝑄 = (
−0.048 −0.017 −0.0669 …−0.048 −0.017 −0.0669 …−0.048
…−0.017
…−0.0669
…
……
)
La ecuación de Parámetros por descomposición QR está dado por:
𝑃 = 𝑅−1𝑄𝑇𝑌
Realizando la operación se obtiene que:
P=
-1.9240 »» a1
0.0.9242 »»a2
0.0008 »»b1
-0.0004 »»b2
Donde Gp(𝑧−1) está dado por:
𝐺𝑝(𝑧−1) =𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2
1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2
Por lo tanto se obtiene:
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 14
𝑮𝒑(𝒛−𝟏) =𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟗𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟗𝟖𝟐𝒛−𝟐
𝟏 − 𝟏. 𝟗𝟐𝟒𝒛−𝟏 + 𝟎. 𝟗𝟐𝟒𝟐𝒛−𝟐
𝐺𝑝(𝑧) =0.0007967𝑧 + 0.0003982
𝑧2 − 1.924𝑧 + 0.9242
Ilustración 5 Identificación del sistema TRAS
2.2.PITCH
2.2.1. SEÑAL PSEUDOALEATORIA
Se empieza generando una señal pseudoaleatorio con m=7 con la cual identificaremos el
sistema.
Para la señal pseudoaleatoria se tiene que m=7 y una amplitud de -0.4 < a < -0.425
Para la obtención de estas muestras se realizará la operación XOR entre el bit 5 y 7 con un
desplazamiento hacia la derecha por cada operación realizada.
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 15
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1
1 1 0 0 0 0 1
1 1 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 0
2.2.2. MMC ARX NO RECURSIVO
En esta sección se determina el desarrollo de las matrices de mediciones, parámetros.
𝑌𝑇(𝑘) = [𝑦(𝑛) , 𝑦(𝑛 + 1),… , 𝑦(𝑁)]
𝑍𝑇(𝑘)
= [
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2) … 𝑢(𝑘 − 𝑛)
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)
−𝑦(𝑘 − 1) −𝑦(𝑘 − 2)… −𝑦(𝑘 − 𝑛) 𝑢(𝑘 − 1) 𝑢(𝑘 − 2)… 𝑢(𝑘 − 𝑛)]
Los valores de u(n) son los valores de la pseudoaleatoria y los valores de y(n) son los
valores de respuesta de la planta ante la entrada u(n), es decir, ante una entrada
pseudoaleatoria.
-0,425000000000000 2,31170904734366
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 16
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,425000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31170904734366
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,400000000000000 2,31017506655578
-0,425000000000000 2,31017506655578
… …
Dimensiones:
N= 380;
n=2;
Y=(N-n+1)x1
Y=1998x1
Z= (N-n+1)x2n
Z=1998x4
Calculamos la matriz Z^T (k), tenemos las respectivas dimensiones de las matrices
MATRIZ Z
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 17
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
0,190213617697820 0,190213617697820 0 0
… … … …
MATRIZ Y
-0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
-
0,190213617697820
….
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 18
2.2.3. DESCOMPOSICIÓN QR
𝑅 =
(
−10.1185 −10.1185 13.9218 13.93310 −0.0538 −4.9406 −4.93950 0 −8.3315 −8.27010 0 0 −0.59670 0 0 0… … … … )
Por lo tanto Q será:
-
0,0187985224293599
-
0,00192532598271000
-
0,0302702601971873
…
-
0,0187985224293599
-
0,00192532598007582
-
0,0302702601987773
…
-
0,0187985224293599
-
0,00192532598007580
-
0,0302702601987863
…
-
0,0187985224293599
-
0,00192532598007580
-
0,0302702601987864
…
… … … …
La ecuación de Parámetros por descomposición QR está dado por:
𝑃 = 𝑅−1𝑄𝑇𝑌
Realizando la operación se obtiene que:
P=
-1.8636 »» a1
0.8642 »»a2
0.0002 »»b1
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 19
-0.0006 »»b2
Donde Gp(𝑧−1) está dado por:
𝐺𝑝(𝑧−1) =𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2
1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2
Por lo tanto se obtiene:
𝑮𝒑(𝒛−𝟏) =𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝒛−𝟐
𝟏 − 𝟏. 𝟖𝟔𝟑𝟔𝒛−𝟏 + 𝟎. 𝟖𝟔𝟒𝟐𝒛−𝟐
𝐺𝑝(𝑧) =0.0002𝑧 − 0.0006
𝑧2 − 1.8636𝑧 + 0.8642
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 20
2.3.DISEÑO DE CONTROLADORES
2.3.1. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL AZIMUTH
Para el desarrollo del controlador por asignación de polos se utilizan parámetros conocidos
y luego estos parámetros son sustituidos por los estimados que se van a calcular.
Se tiene la siguiente forma del controlador:
𝐺𝑐(𝑧) =𝑄(𝑧−1)
𝑃(𝑧−1)=
𝑞0 + 𝑞1𝑧−1 + ⋯𝑞𝑣𝑧
−𝑣
1 + 𝑝1𝑧−1 + ⋯𝑝𝑢𝑧−𝑢
Y la planta tendría la forma:
𝐺𝑝(𝑧) =𝑏1𝑧
−1 + ⋯ 𝑏𝑚𝑧−𝑚
1 + 𝑎1𝑧−1 + ⋯𝑎𝑚𝑧−𝑚
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 21
Partiendo de nuestra planta se obtienen los siguientes parámetros:
𝐺𝑝(𝑧) =0.0007967𝑧 + 0.0003982
𝑧2 − 1.924𝑧 + 0.9242
Siendo
𝑎1 = −1.924
𝑎2 = −0.9242
𝑏1 = 0.0007967
𝑏2 = −0.0003982
Ahora se debe generar una matriz del siguiente tipo
[
𝑝1
⋮𝑝𝑚+𝑑𝑞0𝑞1
⋮𝑞𝑚 ]
=
[ 1𝑎1𝑎𝑚
01
01𝑎1
𝑎𝑚
1
000
𝑎𝑚
1
0𝑏1
𝑏2
𝑏𝑚
0
00𝑏1
𝑏2
0 ]
∗
[ 𝛼1 − 𝑎1
𝛼2 − 𝑎2𝛼𝑚 − 𝑎𝑚
…−1 ]
Para nuestro caso se tiene los siguientes valores:
𝑑 = 0
𝑣 = 𝑚
𝑢 = 𝑚 + 𝑑
𝑚 = 2
𝑣 = 2
𝑢 = 2
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑙 + 1 = 5
Se obtiene la siguiente matriz:
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[ 1𝑎1𝑎201
01𝑎1𝑎21
0𝑏1𝑏200
00𝑏100
000𝑏20 ]
−1
∗
[ 𝛼1 − 𝑎1
𝛼2 − 𝑎2𝛼3 − 𝑎3
𝛼4 − 𝑎4
−1 ]
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 22
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[
1−1.9240.9242
01
01
−1.9240.9242
1
00.0008
−0.000400
00
0.000800
000
−0.0040 ]
−1
∗
[
−11.9241
−0.92430.0001
−1 ]
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[
−10
0.13810.0012
−0.1367]
Se tiene el siguiente controlador:
𝑮𝒄(𝒛) =𝟎. 𝟏𝟑𝟖𝟏𝒛𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟐𝟗𝒛 − 𝟎. 𝟏𝟑𝟔𝟕
𝒛𝟐 − 𝒛
El controlador junto con la planta presenta la siguiente forma:
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 23
Ilustración 6 Respuesta del controlador ante una entrada escalón
El diagrama de bloques utilizado en simulink se obtiene los siguientes resultados:
Ilustración 7 Controlador por ubicación de polos
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 24
Ilustración 8 Respuesta controlador por ubicacion de polos Simulink
2.3.2. CONTROLADOR POR ASIGNACIÓN DE POLOS PARA EL PITCH
Para el desarrollo del controlador por asignación de polos se utilizan parámetros conocidos
y luego estos parámetros son sustituidos por los estimados que se van a calcular.
Se tiene la siguiente forma del controlador:
𝐺𝑐(𝑧) =𝑄(𝑧−1)
𝑃(𝑧−1)=
𝑞0 + 𝑞1𝑧−1 + ⋯𝑞𝑣𝑧
−𝑣
1 + 𝑝1𝑧−1 + ⋯𝑝𝑢𝑧−𝑢
Y la planta tendría la forma:
𝐺𝑝(𝑧) =𝑏1𝑧
−1 + ⋯ 𝑏𝑚𝑧−𝑚
1 + 𝑎1𝑧−1 + ⋯𝑎𝑚𝑧−𝑚
Partiendo de nuestra planta se obtienen los siguientes parámetros:
𝐺𝑝(𝑧) =0.0002𝑧 − 0.0006
𝑧2 − 1.8636𝑧 + 0.8642
Siendo
𝑎1 = −1.8636
𝑎2 = −0.8642
𝑏1 = 0.0002
𝑏2 = −0.0006
Ahora se debe generar una matriz del siguiente tipo
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 25
[
𝑝1
⋮𝑝𝑚+𝑑𝑞0𝑞1
⋮𝑞𝑚 ]
=
[ 1𝑎1𝑎𝑚
01
01𝑎1
𝑎𝑚
1
000
𝑎𝑚
1
0𝑏1
𝑏2
𝑏𝑚
0
00𝑏1
𝑏2
0 ]
∗
[ 𝛼1 − 𝑎1
𝛼2 − 𝑎2𝛼𝑚 − 𝑎𝑚
…−1 ]
Para nuestro caso se tiene los siguientes valores:
𝑑 = 0
𝑣 = 𝑚
𝑢 = 𝑚 + 𝑑
𝑚 = 2
𝑣 = 2
𝑢 = 2
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑙 + 1 = 5
Se obtiene la siguiente matriz:
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[ 1𝑎1𝑎201
01𝑎1𝑎21
0𝑏1𝑏200
00𝑏100
000𝑏20 ]
−1
∗
[ 𝛼1 − 𝑎1
𝛼2 − 𝑎2𝛼3 − 𝑎3
𝛼4 − 𝑎4
−1 ]
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[
1−1.9240.9242
01
01
−1.9240.9242
1
00.0008
−0.000400
00
0.000800
000
−0.0040 ]
−1
∗
[
−11.9241
−0.92430.0001
−1 ]
[ 𝑝1
𝑝2𝑞0𝑞1
𝑞2]
=
[
−10
203.1−402.8
200 ]
Se tiene el siguiente controlador:
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 26
𝑮𝒄(𝒛) =𝟐𝟎𝟑. 𝟏𝒛𝟐 − 𝟒𝟎𝟐. 𝟖𝒛 + 𝟐𝟎𝟎
𝒛𝟐 − 𝒛
El controlador junto con la planta presenta la siguiente forma:
Ilustración 9 Respuesta de Pitch
2.3.3. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE AZIMUTH
Dado la identificación por ARMAX se obtiene los siguientes parámetros:
𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2
𝐵(𝑧−1) = 0.0003877𝑧−1 − 0.0003606𝑧−2
𝐶(𝑧−1) = 1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2
Donde los coeficientes A. B y C están dados por la fórmula:
𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚
𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 27
𝐶(𝑧−1) = 1 + 𝑐1𝑧−1 + 𝑐2𝑧−2 …… . .+𝑐𝑚𝑧−𝑚
Siendo 𝐺𝑝(𝑧−1) 𝑦 𝐺𝑣(𝑧−1) de la forma:
𝐺𝑝(𝑧−1) =0.0003877𝑧−1 − 0.0003606𝑧−2
1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2=
𝐵(𝑧−1)
𝐴(𝑧−1) 𝑧−𝑑
𝐺𝑣(𝑧−1) =1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2
1 − 1.996 𝑧−1 + 0.9965𝑧−2=
𝐶(𝑧−1)
𝐴(𝑧−1)
Se obtiene que d=1 y m=2;
De la fórmula
𝐶(𝑧−1) = 𝐴(𝑧−1)𝐹(𝑧−1) + 𝑧−(𝑑+1)𝐺(𝑧−1)
Donde 𝐹(𝑧−1) y 𝐺(𝑧−1) es igual a:
𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1 + 𝑓2𝑧−2 …… . . +𝑓𝑑𝑧−𝑑
𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1 + 𝑔2𝑧−2 …… . . +𝑔𝑚 − 1𝑧−(𝑚−1)
Entonces:
𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1
𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1
Por lo tanto la formula total es:
1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2 = (1 − 1.996𝑧−1 + 0.9965𝑧−2)(1 + 𝑓1𝑧−1) + 𝑧−2(𝑔0 +
𝑔1𝑧−1)
1 − 1.625𝑧−1 + 0.686𝑧−2
= 1 + 𝑧−1(−1.996 + 𝑓1) + 𝑧−2(−1.996𝑓1 + 0.9965 + 𝑔0)
+ 𝑧−3(0.9965𝑓1 + 𝑔1)
Obteniendo el sistema de ecuaciones
{
𝑓1 − 1.996 = −1.625𝑔0 + 0.9965 − 1.996𝑓1 = 0.686
𝑔1 + 0.9965𝑓1 = 0
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 28
Por lo tanto los coeficientes serán:
{𝑓1 = 0.371
𝑔0 = 0.430016𝑔1 = −0.3697015
El controlador de mínima varianza presenta la siguiente estructura:
Cambiando la estructura se obtiene:
Ilustración 10 Controlador de Mínima Varianza Azimuth
𝐺
𝑧𝐹𝐵
𝐵
𝐴𝑧−𝑑
𝐶
𝐴 v
y u
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 29
Igualmente para el controlador de mínima varianza con seguimiento de referencia presenta
la siguiente estructura:
Cambiando los valores se obtiene:
Ilustración 11 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias
Azimuth
Al realizar la simulación se obtiene que si funciona el controlador en ambos casos ante una
entrada escalón de 0.4 de amplitud.
1
𝑧𝐹𝐵
𝐵
𝐴𝑧−𝑑
𝐶
𝐴 v
y
u
G
C
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 30
Ilustración 12 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza Azimuth
Ilustración 13 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por
Referencias Azimuth
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 31
Como se observa en las ilustraciones. la salida es prácticamente igual en ambos casos. En
estas salidas se observa que el filtro modifica un poco la salida ante un ruido gaussiano.
2.3.4. CONTROLADOR DE MÍNIMA VARIANZA DE PITCH
Dado la identificación por ARMAX se obtiene los siguientes parámetros:
𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2
𝐵(𝑧−1) = −0.0002691𝑧−1 + 0.0003302𝑧−2
𝐶(𝑧−1) = 1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2
Donde los coeficientes A. B y C están dados por la fórmula:
𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚
𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚
𝐶(𝑧−1) = 1 + 𝑐1𝑧−1 + 𝑐2𝑧−2 …… . .+𝑐𝑚𝑧−𝑚
Siendo 𝐺𝑝(𝑧−1) 𝑦 𝐺𝑣(𝑧−1) de la forma:
𝐺𝑝(𝑧−1) =−0.0002691𝑧−1 + 0.0003302𝑧−2
1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2=
𝐵(𝑧−1)
𝐴(𝑧−1) 𝑧−𝑑
𝐺𝑣(𝑧−1) =1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2
1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2=
𝐶(𝑧−1)
𝐴(𝑧−1)
Se obtiene que d=1 y m=2;
De la fórmula
𝐶(𝑧−1) = 𝐴(𝑧−1)𝐹(𝑧−1) + 𝑧−(𝑑+1)𝐺(𝑧−1)
Donde 𝐹(𝑧−1) y 𝐺(𝑧−1) es igual a:
𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1 + 𝑓2𝑧−2 …… . . +𝑓𝑑𝑧−𝑑
𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1 + 𝑔2𝑧−2 …… . . +𝑔𝑚 − 1𝑧−(𝑚−1)
Entonces:
𝐹(𝑧−1) = 1 + 𝑓1𝑧−1
𝐺(𝑧−1) = 𝑔0 + 𝑔1𝑧−1
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 32
Por lo tanto la formula total es:
1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2 = (1 − 1.993 𝑧−1 + 0.9932𝑧−2)(1 + 𝑓1𝑧−1) + 𝑧−2(𝑔0 +
𝑔1𝑧−1)
1 − 1.318𝑧−1 + 0.5163𝑧−2
= 1 + 𝑧−1(−1.993 + 𝑓1) + 𝑧−2(−1.993𝑓1 + 0.9932 + 𝑔0)
+ 𝑧−3(0.9932𝑓1 + 𝑔1)
Obteniendo el sistema de ecuaciones
{
𝑓1 − 1.993 = −1.318𝑔0 + 0.9932 − 1.993𝑓1 = 0.5163
𝑔1 + 0.9932𝑓1 = 0
Por lo tanto los coeficientes serán:
{𝑓1 = 0.675𝑔0 = 0.8683𝑔1 = −0.675
El controlador de mínima varianza presenta la siguiente estructura:
Cambiando la estructura se obtiene:
𝐺
𝑧𝐹𝐵
𝐵
𝐴𝑧−𝑑
𝐶
𝐴 v
y u
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 33
Ilustración 14 Controlador de Mínima Varianza Pitch
Igualmente para el controlador de mínima varianza con seguimiento de referencia presenta
la siguiente estructura:
Cambiando los valores se obtiene:
1
𝑧𝐹𝐵
𝐵
𝐴𝑧−𝑑
𝐶
𝐴 v
y
u
G
C
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 34
Ilustración 15 Controlador de Mínima Varianza por seguimiento de Referencias de
Pitch
Al realizar la simulación se obtiene que si funciona el controlador en ambos casos ante una
entrada escalón de 0.4 de amplitud.
Ilustración 16 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza en Pitch
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 35
Ilustración 17 Respuesta al escalón del controlador de Mínima varianza por
Referencias en Pitch
2.3.5. MODELO DE REFERENCIAS PITCH
Dado la identificación por ARX se obtiene los siguientes parámetros:
𝐴(𝑧−1) = 1 − 1.8636 𝑧−1 + 0.8642𝑧−2
𝐵(𝑧−1) = 0.0002𝑧−1 − 0.0006𝑧−2
Donde los coeficientes A y B están dados por la fórmula:
𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑎1𝑧−1 + 𝑎2𝑧−2 …… . .+𝑎𝑚𝑧−𝑚
𝐵(𝑧−1) = 𝑏1𝑧−1 + 𝑏2𝑧−2 …… . . +𝑏𝑚𝑧−𝑚
𝐺𝑝(𝑧−1) =0.0002 − 0.0006𝑧−2
1 − 1.8636𝑧−1 + 0.8642𝑧−2=
𝐵(𝑧−1)
𝐴(𝑧−1) 𝑧−𝑑
Se realiza nuestro modelo de referencia con los siguientes parámetros:
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 36
ɛ=0.8 y T=12.5 s
Se obtiene los polos
𝑊𝑛 =1
𝜀𝑇=
1
0.8 ∗ 12.5=
0.1𝑟𝑎𝑑
𝑠
𝜃 = 57.3 ∗ 𝑊𝑛 ∗ 𝑇√1 − 𝜀2 = 10.31°
|𝑍| = 𝑒−𝜀𝑊𝑛𝑇 = 0.7866
𝑍 = 0.7739 ± 𝑗0.1408
Por lo que nuestro denominador es 1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2
Para los zeros se realiza la siguiente operación:
𝑏2
𝑏1=
−0.0006
0.0002= −3
Por lo tanto nuestro zero es 𝑧−1(1 − 3𝑧−1)
Finalmente calculamos nuestra ganancia K de la formula
𝐺𝑟(𝑧−1) =𝐾𝑧−1(1 − 3𝑧−1)
1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2= 0
𝐾 = 28.21
Siendo asi nuestro modelo de referencia:
𝐺𝑟(𝑧−1) =28.21 − 84.63𝑧−2
1 − 1.5478𝑧−1 + 0.6187𝑧−2
Para nuestra constante 𝐹(𝑧−1) se calcula:
𝐹(𝑧−1) =𝐾
𝑏1=
28.21
0.0002= 12105
A continuación se realiza las siguientes igualdades de las fórmulas
𝑃(𝑧−1)𝐴(𝑧−1) = (1 + 𝑝0𝑧−1)(1 − 1.8636𝑧−1 + 0.8642𝑧−2)
𝑃(𝑧−1)𝐴(𝑧−1) = 1 + 𝑧−1(𝑝0 − 1.8636) + 𝑧−2(0.8642 − 1.8636𝑝0) + 0.8642𝑝𝑜𝑧−3
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 37
𝑄(𝑧−1)𝐵(𝑧−1) = (𝑞0 + 𝑞1𝑧−1)(0.0002𝑧−1 − 0.0006𝑧−2)
𝑄(𝑧−1)𝐵(𝑧−1) = 0.0002𝑞0𝑧−1 + (0.0002𝑞1 − 0.0006𝑞0)𝑧−2 − 0.0006𝑞1𝑧−3
{𝑝0 − 1.8636 + 0.0002𝑞0 = −1.5478
0.8642 − 1.8636𝑝0 + 0.0002𝑞1 − 0.0006𝑞0 = 0.61870.8642𝑝0 = −0.0006𝑞1
{𝑝0 = 0.8274
𝑞0 = −2557.94𝑞1 = −1191
Por lo que se obtiene los valores de P y Q
𝑃(𝑧−1) = 1 + 0.8274𝑧−1
𝑄(𝑧−1) = −2557.94 − 1191𝑧−1
La estructura del controlador a referencia es:
𝐹
𝑃
𝐵
𝐴𝑧−𝑑 y
u
𝑄
𝑃
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 38
Ilustración 18 Configuración por controlador por modelo de Referencia
Al realizar la simulación ante una entrada step de 0.5. se obtiene la siguiente gráfica
Ilustración 19 Gráfica de control de referencia
Para la utilización de la tarjeta STM32 se realiza la siguiente configuración
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 39
Ilustración 20 Control de Referencias con la Tarjeta STM32
3. CONCLUSIONES:
- Mediante el uso de identificación por algoritmos se ha demostrado que se puede
lograr identificar una planta por medio de cualquier microcontrolador de manera
eficaz.
- Al hacer uso de una tarjeta como la Discovery se ha demostrado que es posible
realizar un control adecuado utilizando como técnica el modelo de referencia.
- El uso de algoritmos de mínimos cuadrados tienen como ventaja el ahorro de carga
al cpu ya que al trabajar con matrices se logra economizar el uso excesivo de
procesamiento.
4. BIBLIOGRAFIA:
[1], kom.aau. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://kom.aau.dk/~kv/08gr631/08gr631a_rapport.pdf
[2] kom.aau. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://kom.aau.dk/~kv/08gr631/helikopter.html
SISTEMA TRAS
ALVAREZ, RODRIGUEZ Página 40
[3] ebah. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAfKx0AG/rodrigues-t-j-s-twin-rotor-mimo-
system-trms-modelagem-sistema-nao-linear-nao-autonomo-estavel
[4] inteco. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://www.inteco.com.pl/index.php?option=com_content&view=article&id=25:tw
o-rotor-aerodynamical-system&catid=1:education&Itemid=18
[5] navyflightmanuals. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://navyflightmanuals.tpub.com/P-401/P-4010027.htm
[6], [. (22 de 05 de 2013). Obtenido de
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0952197612000024
[7], [. (2006). Manual de usuario. En inteco, sistema aerodinámico (pág. 70).
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