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IDENTIFICACION DE SISTEMASIDENTIFICACION DE SISTEMAS

Ing. Fredy Ruiz Ph.D.ruizf@javeriana.edu.co

Maestría en Ingeniería ElectrónicaPontificia Universidad JaverianaPontificia Universidad Javeriana

20132013

IDENTIFICACION NO PARAMETRICAIDENTIFICACION NO PARAMETRICA

SISTEMAS LTI• En general un sistema dinámico LTI esta descrito

como:

• Con v(t) representado como un proceso estocástico w.s.s.

• v(t) se modela como ruido blanco filtrado.

Identificación de sistemas• Se asume un modelo:

Dadas:• u(t) : Entrada conocida• y(t) : Salidas medidas• v(t): Ruido con ciertas propiedades conocidas

– Modelo estocástico ( W.N. Filtrado)

Identificación paramétricaPROBLEMA: Obtener una estima del sistema dinámico que generó los datos.

Identificación paramétricaPROBLEMA: Obtener una estima del sistema dinámico que generó los datos.

El problema de la estima de un sistema dinámico es un problema infinito dimensional !!!!

Estimación de SistemasModelos Paramétricos: La Función de transferencia se parametriza por un vector finito-dimensional.

Estimación de SistemasModelos Paramétricos: La Función de transferencia se parametriza por un vector finito-dimensional.

La estima del modelo se convierte en la estima de un vector de parámetros.

Estimación de Sistemas• Modelos no paramétricos: Se requiere la

información de toda la Rta. Impulso o Rta. En frecuencia.

Identificación no paramétrica• Los métodos no paramétricos buscan estimar:

– Respuesta Impulso – Función de Transferencia

sin restringir la búsqueda a un conjunto limitado de modelos.

• Reciben el nombre de no paramétricos porque la descripción obtenida del sistema no esta parametrizada por un vector de parámetros finito-dimensional.

Información experimental• Existen dos aproximaciones al problema de

identificación no paramétrica:– Métodos en el dominio del tiempo: La

información disponible consiste en la respuesta transitoria del sistema ante una entrada conocida.

– Métodos en el dominio de la frecuencia: la información disponible puede ser• La respuesta estacionaria del sistema ante

sinusoides de diferentes frecuencias.• La respuesta transitoria del sistema ante una

entrada conocida.

Información experimental

• Dado un sistema LTI descrito como:

Se hace la hipótesis de que el sistema opera en malla abierta, es decir:

u(t) y v(t) son independientes.• Configuraciones experimentales en la que el

sistema opera en malla cerrada conllevan problemas para los métodos no paramétricos.

Identificación de la respuesta impulso

• Dado un sistema LTI descrito como:

La medición directa de la respuesta al impulso se puede obtener aplicando como entrada la señal:

La respuesta del sistema será:

Identificación de la respuesta impulso

Si el nivel de ruido es bajo, es posible determinar la respuesta al impulso del sistema, registrando la respuesta a una entrada pulso como:

La pregunta obligada es: Cual es el efecto del ruido en la estima?

Identificación de la respuesta impulso

De las dos ecuaciones anteriores se obtiene directamente que el error es

Para minimizar el efecto del error es posible aumentar la amplitud del pulso, con el riesgo de llevar el sistema a un rango de operación no lineal.

Teniendo en cuenta que todo sistema estable presenta una respuesta impulso que decae exponencialmente, después de un cierto instante el error resulta comparable con la respuesta impulso.

Identificación de la respuesta paso

Un tipo de ingreso mas sencillo de generar y menos estresante para el proceso es un paso.

Para el cual, la respuesta del sistema es:

de la cual es posible estimar los parámetros de la respuesta impulso como:

Identificación de la respuesta paso

El error de la estima es:

Recordando que v(t) es ruido, seguramente tiene un espectro con energía en alta frecuencia, el error depende aprox. de la derivada del ruido.

Este método sufre de grandes errores en aplicaciones practicas.

La respuesta paso es útil en otro tipo de aproximación, modelos FOPDT, SOPDT, tablas de sintonizacion, etc.

Identificación de la función de correlación cruzada

Recordando que y es la convolución entre u y la respuesta impulso del sistema:

Si u es una secuencia quasi-estacionaria con función de autocorrelación conocida

Independiente del ruido:

Identificación de la función de correlación cruzada

De las propiedades de los sistemas lineales vistas, tenemos que:

Si es posible, aplicar como entrada u(t) ruido blanco, tal que:

Entonces:

y por lo tanto basta estimar la función de correlación cruzada para obtener la respuesta impulso.

Identificación de la función de correlación cruzada

Una posible estima es:

Esta estima converge asintoticamente a go(t) si u(t) y

v(t) son blancas.

La función de correlación cruzada es una estima no polarizada y consistente de la respuesta

impulso.

Identificación de la función de correlación cruzada

En el caso en que u(t) no es blanca, la autocorrelación de u puede ser estimada como:

Y la ecuación de correlación cruzada estimada:

es un sistema de ecuaciones en go(t).

Lo ideal es construir u, tal que el sistema de ecuaciones resulte de fácil solución

Identificación de la respuesta en frecuencia

Recordando la relación entre la respuesta impulso y la respuesta en frecuencia:

Una alternativa a la estima de go(t) es la estima

de G(z), al menos en un número finito de frecuencias.

Identificación de la respuesta en frecuencia

La manera directa de estimar muestras de Go(z) es la siguiente:

Aplicando una entrada sinusoidal:

La respuesta estacionaria del sistema será:

con

Identificación de la respuesta en frecuencia

Por lo tanto, el modulo y la fase de se pueden obtener como las variaciones de amplitud y fase de la sinusoide, respectivamente.

Problemas: - La determinación de la diferencia de fase es

muy sensible al ruido.- Se requiere realizar un experimento por cada

frecuencia en la que se desea estimar la respuesta.

Identificación de la respuesta en frecuencia por correlación (o proyección)

Una manera de filtrar el ruido en la medida de la respuesta en frecuencia es la siguiente:

- Registrar N muestras de la respuesta estacionaria, con N mucho mayor del periodo de la sinusoide de entrada.

- Obtener la correlación entre y(t) y sinusoides puras de frecuencia ω. En terminología de procesamiento de señales, obtener los coeficientes de la transformada de Fourier de y(t) en ω.

Identificación de la respuesta en frecuencia por correlación (o proyección)

Reemplazando en estas expresiones y(t) se obtiene:

Identificación de la respuesta en frecuencia por correlación (o proyección)

En esta ultima expresión, el segundo termino tiende a cero (el valor medio de un coseno) y el tercero tiende a cero si v(t) no tiene una componente sinusoidal pura de frecuencia ω.

Igualmente, la proyección sobre el seno es:

Identificación de la respuesta en frecuencia por correlación (o proyección)

Descartando los términos que asintoticamente van a cero, una estima no polarizada y consistente de la respuesta en frecuencia es:

El problema, al igual que en el método anterior, es la cantidad de experimentos requeridos para obtener una buena aproximación en la banda de interés

Identificación de la respuesta en frecuencia por transformada de Fourier

El método apenas visto, aplicando como entrada una sinusoide pura, puede ser generalizado a señales multifrecuencia.

Dado que el sistema en estudio es lineal, vale el principio de superposición:

El valor del espectro de la señal de salida en la frecuencia ω es igual al espectro de la entrada en ω por la función de transferencia del sistema evaluada

en ω.

Identificación de la respuesta en frecuencia por transformada de Fourier

En este caso, un modo natural de estimar la respuesta en frecuencia es el siguiente:- Aproximar el espectro de la entrada y la salida como

la DFT:

- Estimar la respuesta en frecuencia del sistema como:

viene llamada ETFE (empirical transfer function estimate).

Identificación de la respuesta en frecuencia por transformada de Fourier

En la estima se asume queAunque esta estima es una función continua de ω, en el

intervalo [0, 2π]. En realidad existen solo N puntos independientes que son:

Ademas, es simétrica respecto a π:

Por lo tanto, la información obtenida es la estima de la respuesta en frecuencia en N/2 puntos:

Propiedades estadísticas de la ETFE

Asumamos que el disturbio v(t) tiene el siguiente espectro:

Haciendo la hipótesis de que u(t) y v(t) son independientes, es posible demostrar que la estima es:

Donde es proporcional a la amplitud máxima de u(t) y de v(t) y decae con

Propiedades estadísticas de la ETFE

El termino tiene las siguientes propiedades estadisticas:– E[v(t)]=0, asi que:

– Y por ende:

Estudiemos ahora la varianza de la estima. Asumiendo que la función de covarianza y el espectro de v(t) sean conocidos, tenemos:

Propiedades estadísticas de la ETFE

Manipulando la expresión se obtiene:

Esto quiere decir que la varianza (ξ=ω) depende de la energía del disturbio en ω y de un termino residual que decae con N.

La covarianza entre las estimas en diferentes frecuencias es solo residual.

Propiedades estadísticas de la ETFE

Reemplazando las propiedades de VN(ω) en la estima de de

G(ω) tenemos:

con

y

Propiedades estadísticas de la ETFE

La varianza de la estima es:

con

y

Propiedades estadísticas de la ETFEEn general se tienen los siguientes resultados:Caso 1: u(t) periódica, con N múltiplo del periodo:

– solo para un numero finito de frecuencias, limitado por el periodo de la señal.

– La ETFE es una estima no polarizada y consistente, su varianza decae como 1/N.

Caso 2: u(t) es una realización de un proceso estocástico:– La ETFE es una estima asintoticamente no polarizada en

un numero creciente de frecuencias, para N->∞– La varianza del ETFE no decrece con N y depende de la

relación señal a ruido en cada frecuencia.– Las estimas en diferentes frecuencias son asintoticamente

no correlacionadas.

Análisis espectralLas limitaciones de la ETFE son debidas a la falta de hipótesis

mas fuertes sobre el sistema.La única hipótesis considerada fue la linealidad, por lo tanto la

respuesta en frecuencia puede tener un comportamiento arbitrario, incluso discontinuo.

Agregando una condición de “suavidad” en el comportamiento de G(ω) es posible mejorar el comportamiento de la estima.

Hipotesis 1. Go(ω) es una función “suave” de ωHipotesis 1. El espacio entre las frecuencias en las que se

realiza la estima, 2π/N, es muy pequeño respecto a la velocidad de variación de Go(ω).

Análisis espectralEstas dos hipotesis implican que:

son todas estimas no polarizadas y descorrelacionadas de Go(ω), cada una con varianza:

Asumiendo que Go(ω) es constante en el intervalo

La mejor manera de combinar las diferentes estimas de Go(ω) (en sentido de minimizar la varianza) es realizar una media pesada de estas, pesando cada “medida” por el inverso de su varianza.

La estima pesada resulta ser:

con

Para N suficientemente grande, la sumatoria se puede aproximar con una integral:

En el caso en que Go(ω) no sea constante en el intervalo considerado, es posible agregar una función de peso, llamada también, función de ventana que de más énfasis en la estima a las frecuencias cercanas a ω

El tipo de función de peso mas sencillo es:

Que corresponde a la formulación inicial, en la que se pesan de igual manera todas las frecuencias entre [ω-Δω;ω+Δω]

Si el espectro del disturbio es conocido, la estima

se puede evaluar directamente. De lo contrario se debe realizar la siguiente hipótesis:

Esta quiere decir que el espectro del disturbio es plano en el intervalo de frecuencias correspondiente a la amplitud de la ventana. Y por lo tanto la media pesada tiene en cuenta todas las frecuencias con el mismo peso, excepto por la función de ventana.

En conclusión, en el caso de disturbio con espectro plano en el intervalo de ventana, una buena estima es:

La función de ventana debe cumplir las siguientes propiedades:

M(γ) mide el “ancho” de la ventana, al crecer de γ la ventana se cierra y M(γ) disminuye, mientras que crece

Ejemplos de ventanas:

En la figura γ=5, Linea continua:

ParzenLinea punteada:

HammingLinea a trozos:

Barlett

La estima suavizada de la respuesta en frecuencia tiene las siguientes propiedades estadísticas:

Estas dos medidas se pueden expresar en una sola, como el error cuadrático medio (MSE)

Espectro del disturbioUna vez se ha obtenido una estima de la respuesta en

frecuencia del sistema, es posible estimar el espectro residual, es decir el espectro de las componentes de la salida, que no son explicadas por el sistema:

Usando la aproximación del espectro suavizado:

Si se usa la misma ventana aplicada para estimar Go(w) se obtiene:

Espectro del disturbioEste estimador presenta las siguientes propiedades:

Por lo tanto es polarizado, pero su varianza decrece con el numero de datos.