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Hiperespacios como imagenes continuas delcono sobre el conjunto de Cantor
Jose Luis Sosa Carcamo
Benemerita Universidad Autonoma de PueblaPuebla, Puebla
5 de octubre de 2016
Luis Sosa FCFM - BUAP 1 / 15
Preliminares
Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor es el subespacio C de [0, 1]
C =∞⋂
i=1
Ci
donde C1 = [0, 1]− (13 ,
23) y, asumiendo que hemos definido de
forma inductiva Ci , Ci+1 es definido por la supresion en Ci delintervalo abierto tercio medio de cada componente de Ci .
Luis Sosa FCFM - BUAP 2 / 15
Preliminares
ConoEl cono sobre Y , que denotamos por Cone(Y ), es el espaciocociente obtenido de Y × [0, 1] por la contraccion Y × {1} a unpunto; en otras palabras, Cone(Y ) es el espacio cocienteY × [0, 1]/∼, donde ∼ es la relacion de equivalencia en Y × [0, 1]dada por (y1, t1) ∼ (y2, t2) si y solo si (y1, t1) = (y2, t2) o t1 = 1 = t2.El punto Y × {1} de Cone(Y ) es llamado el vertice de Cone(Y ).El subconjutno Y × [0, 1] de Cone(Y ) es llamado la base deCone(Y ).
Luis Sosa FCFM - BUAP 3 / 15
Preliminares
Cono de Cantor
Luis Sosa FCFM - BUAP 4 / 15
Preliminares
Funcion de Whitney
Una funcion de Whitney es una funcion continua µ : 2X → [0,∞]que satisface las siguientes condiciones:
I) µ({p}) = 0 para cada p ∈ X
II) µ(A) < µ(B) siempre que A ( B
Luis Sosa FCFM - BUAP 5 / 15
Preliminares
Continuo
Un continuo es un espacio metrico no vacıo, compacto yconexo.
Hiperespacio
Un hiperespacio de X , es una familia de subconjuntos delconjunto potencia de X que cumple ciertas propiedades.
2X = {A ⊂ X : A es un subconjunto cerrado y no vacıo}C(X) = {A ∈ 2X : A es conexo}
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Historia
Mazurkiewicz, muestra que 2X es una imagen continua delcono sobre el conjunto de Cantor.
Luis Sosa FCFM - BUAP 7 / 15
Historia
Kelley, 1942, el resultado de Mazurkiewicz es extendidomostrando que no solo 2X sino tambien C(X) es una imagencontinua del abanico de Cantor.
Luis Sosa FCFM - BUAP 8 / 15
2X
2X es una imagen continua del cono sobre el conjunto deCantorDenotamos por M al conjunto de Cantor y tomamos ω unafuncion de Whitney fija para 2X .
Luis Sosa FCFM - BUAP 9 / 15
2X
Tomamos SX (ω) = {σ ∈ S(ω) : σ(1) = X}SX (ω) es un subconjunto cerrado de S(ω)
SX (ω) es un espacio metrico compacto.
Existe g : M sobre−−−→ SX (ω)
Luis Sosa FCFM - BUAP 10 / 15
2X
Definimos f : M × [0, 1]→ 2X como
f (z, t) = [g(z)](t) para cada (z, t) ∈ M × [0, 1]
La convergencia de SX (ω) es convergencia uniforme.g es continua.f es continua.
Luis Sosa FCFM - BUAP 11 / 15
2X
Tomamos A ∈ 2X . Ası existe σ ∈ SX (w) tal que σ(0) = Adonde g : M → SX (ω).Entonces existe z0 ∈ M tal que g(z0) = σ. Ası
f (z0) = [g(z0)](0) = σ(0) = A
Luis Sosa FCFM - BUAP 12 / 15
2X
f envıa M × [0, 1] sobre 2X
g(z) ∈ SX (ω), para cada z ∈ MUsando la definicion de f :
f (z, 1) = X para cada (z, 1) ∈ M × [0, 1]
Tomamos υ : M × [0, 1] sobre−−−→ Cone(M) y ψ : Cone(M)→ 2X
dada por ψ(p) = f [υ−1(p)] para cada p ∈ Cone(M)
Luis Sosa FCFM - BUAP 13 / 15
Referencias
Alejandro Illanes (2004). Hiperespacios de continuos. Mexico:Sociedad Matematica Mexicana.
Raul Escobedo, Sergio Macıas y Hector Mendez (2006).Invitacion a la teorıa de los continuos y sus hiperespacios.Mexico: Sociedad Matematica Mexicana.
Sam B. Nadler Jr. (1992). Continuum theory: an introduction.New York: M. Dekker.
Sam B. Nadler Jr. (2006). Hyperspaces of sets. A text withresearch questions. Mexico, D.F: Sociedad MatematicaMexicana.
Luis Sosa FCFM - BUAP 14 / 15
Gracias
92.luissosa@gmail.com
Luis Sosa FCFM - BUAP 15 / 15
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