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Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
VICERRECTORADO ACADÉMICO Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia (CEIDIS)
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
Guía didáctica: Álgebra
Curso de Extensión
PARTE A SESIONES 1 - 4
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.
MATERIAL EN REVISIÓN
Hacienda Judibana. Kilómetro 10, Sector La Pedregosa. El Vigía. Mérida - Venezuela. Portal Web: www.ula.ve/vigia. Correo-e: nuaa@ula.ve. Teléfonos: 0275-808.59.01 / 267.18.62. Telefax: 0274-240.29.47
NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”
CURSO DE EXTENSIÓN
ÁLGEBRA
MODALIDAD: NO PRESENCIAL
DURACIÓN: 5 SEMANAS
FACILITADORES
MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.
2:00 P.M. – 5:00 P.M.
CONSULTAS
SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4
SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007
SESIONES 5 - 9
SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 10 - 13
SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007
SESIONES 14 - 16
SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007 SESIONES 17 - 19
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Curso Básico de Nivelación en el área de
Álgebra
Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García
Índice Introducción……………………………………………….. i Objetivos…………………………………………………… ii Estrategias………………………………………………….. iv Contenido Programático ………………………………. vi Tema 1 “Preliminares”
Sesión 1: Preliminares ……………………. …..1 Problemas propuestos……………………… 22 Autoevaluación 1…………………………..... 24
Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26 Problemas propuestos……………………… 42 Autoevaluación 2……………………………. 43 Sesión 3: Operaciones notables………..… 45 Problemas propuestos……………………… 53 Autoevaluación 3…………………………… 54 Sesión 4: Operaciones notables………..… 57 Problemas propuestos……………………… 66 Autoevaluación 4…………………………… 67
Datos de Identificación Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica: Correo electrónico:
Datos de Identificación Profesores del área:
Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor. Contenidos desarrollados por: Nayive Jaramillo, José Luís García
Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 3 “Teorema del resto” Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69 Problemas propuestos………………………78 Autoevaluación 5 …………………………...79 Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83 Problemas propuestos………………………91 Autoevaluación 6 …………………………...92
Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización …………………….95 Problemas propuestos……………….……107 Autoevaluación 7………………………….108 Sesión 8: Factorización ………………….. 110 Problemas propuestos……………….…… 126 Autoevaluación 8…………………………. 127 Sesión 9: Factorización ………………….. 129 Problemas propuestos……………….…… 149 Autoevaluación 9…………………………. 150
Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios”
Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152 Problemas propuestos……………….…… 182
Autoevaluación 10……………………… 183 Tema 6 “Expresiones racionales”
Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187 Problemas propuestos ……………….….. 203 Autoevaluación 11………………………… 205 Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209 Problemas propuestos ……………….….. 215 Autoevaluación 12………………………… 217 Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221 Problemas propuestos ……………….….. 228 Autoevaluación 13………………………… 230
Tema 7 “Ecuaciones”
Sesión 14: Ecuaciones ……………. …..… 234 Problemas propuestos ……………….….. 250 Autoevaluación 14………………………… 252
Sesión 15: Ecuaciones ……………. …..… 256 Problemas propuestos ……………….….. 263 Autoevaluación 15………………………… 265
Tema 8 “Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones”
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3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 268 Problemas propuestos ……………….…. 280 Autoevaluación 16……………………….. 282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...……….. 286 Problemas propuestos ……………….…. 299 Autoevaluación 17……………………….. 301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ……………………...………... 305 Problemas propuestos ……………….….. 310 Autoevaluación 18……………………….. 312
Tema 9 “Números complejos”
Sesión 19: Números complejos………... 316 Problemas propuestos ……………….….. 323 Autoevaluación 19……………………….. 324
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4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Introducción Álgebra es el área de la matemática que
estudia las cantidades en una forma abstracta, a
través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones
simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de
las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas
operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el
curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo
ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.
Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos
del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones
Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y
Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales,
Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así
pues, se complementará la formación en el área, para lograr un
nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje
de los estudiantes
Objetivos
Objetivo general Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas
básicas del álgebra.
Objetivos específicos
Tema 1: Preliminares
Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas.
Tema 2: Operaciones Notables
Resolver problemas relacionados con la división de polinomios. Emplear los teoremas del resto y del factor.
Tema 3: Teorema del Resto
Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores.
Tema 4: Factorización
Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.
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5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de
Polinomios
Manejar expresiones racionales de todo tipo.
Tema 6: Expresiones Racionales
Resolver ecuaciones de primer grado.
Tema 7: Ecuaciones
Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones
Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz.
Tema 9: Números Complejos
Reconocer y emplear los números complejos.
Estrategias Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá.
1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la
comodidad de su domicilio. 2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El
Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C. están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO:
− Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las
cuales abarcan todos los contenidos del curso.
− Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para
ser analizados e interpretados y por actividades que deben
realizarse en un tiempo determinado.
− Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera
clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción
con cada sesión.
− Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los
diferentes temas que comprende cada sesión.
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6 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Información general: Introducción. Objetivos. Estrategias. Contenido Programático.
− Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que
deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y
aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás
descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar
los temas más importantes (críticos) a través de clases
interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás
realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el
nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.
− Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas
por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y
vocabulario empleado.
− Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede
después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la
realizarás cuando te sientas preparado para presentar la
evaluación final.
− Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se
encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.
− Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema
se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.
Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:
- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión
- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el
transcurso de 10 semanas.
- Leer pausadamente cada sesión de clase.
- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y
verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran
al final de cada tema.
- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con
la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en
cada sesión de clases.
- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran
al final de la unidad, antes de realizar las mismas.
- Es importante consultar a través del correo electrónico
xxxxxxx@ula.ve cualquier duda de los temas expuestos.
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia.
1 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia
Tema 1: Preliminares
.
Sesión 1
Objetivos específicos
* Definir con sus propias palabras un concepto de álgebra.
* Diferenciar y clasificar los números como conjunto y realizar su representación gráfica.
* Identificar en las operaciones las propiedades: distributiva, asociativa, conmutativa y el elemento, identidad e inverso.
Actividades
* Leer el contenido de la sesión 1 sobre” Preliminares” * Realizar los ejercicios con respuesta. * Realizar los ejercicios prácticos de toda la unidad. * Realizar la autoevaluación.
Recursos
* Contenido de la sesión 1: “Preliminares” * Páginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 1
¿Qué es el álgebra?
Álgebra es el área de la matemática que estudia las cantidades en
una forma abstracta, a través de símbolos, relacionándolas por
medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones
aritméticas.
¡El álgebra no es respecto a números!
¡El álgebra se trabaja en forma simbólica!
Su diferencia fundamental con la aritmética es la representación de
las cantidades. En la aritmética, las cantidades se representan por
números y en el álgebra, se representan mediante símbolos que
pueden ser números o letras.
Los números representan cantidades conocidas y determinadas,
mientras que las letras representan cantidades conocidas no
determinadas o desconocidas. Las cantidades conocidas se
conocen con el nombre de constantes y las desconocidas se
conocen como variables.
Ejemplo 1.1
a. Números: −3, 2, 0, 1/2, −2/3, . . .
b. Letras: a, b, c, x, y, z, A, B, . . .
2 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Ejemplo 1.2
Determinar una fórmula algebraica que represente el área de un
rectángulo "A" de base determinada "5" y altura conocida "a":
Vemos que existe una cantidad numérica que es la base, una
cantidad constante no determinada que es la altura y una cantidad
variable desconocida que es el área, la cual cambiará para cada
valor que le asignemos a la altura. De esta manera podemos escribir
la fórmula algebraica:
Q = 5 . a
.
El concepto de número
Los hombres supieron contar mucho antes de que escribieran los
números. La aritmética desarrollaba sólo operaciones de contar.
De esta forma, la necesidad de representar esa forma empírica de
contar llevó a la escritura de lo que es un número.
Los números como conjunto
El conjunto de números más frecuentemente usado en álgebra es
conocido como Números Reales. Este conjunto es el resultado de la
integración gradual de otros conjuntos de números que indicaremos
a continuación:
1. Números naturales: son los que se utilizan para contar y también
se llaman Enteros Positivos. Se denotan con la letra "N". Ej: Si
contamos 10 personas en una fila, cada una es una y sólo una
persona, y nunca existe media persona ó ¼ de persona. Para
hacer este tipo de conteos, se utilizan los números naturales
comenzando siempre desde el número 1 hasta el infinito.
2. Números enteros: son los que agrupan a los naturales, sus
opuestos o negativos y el cero. Se denotan con la letra "Z". Ellos
forman un conjunto que contiene a los números naturales,
Ζ⊂Ν .
3. Números racionales: resultan de la división de dos números
enteros, se denotan con la letra "Q". Dicho cociente puede ser
exacto o fraccionario, por ejemplo:
{ }KK ,2,1,0,1,2 −−=Ζ
{ }KK,4,3,2,1=Ν
3 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Cuando el resultado es exacto se tiene un número entero, de lo
contrario se tiene un número decimal periódico. De esta forma,
dicho conjunto contiene a los números enteros:
Q⊂Ζ⊂Ν
4. Números irracionales: son números no racionales, es decir, no
tienen una expresión decimal periódica, por ejemplo:
e,,2 π
Se denotan con la letra “I” y no tienen números comunes con los
racionales, es decir:
∅=∩ IQ
5. Números reales: son la integración de todos estos conjuntos de
números, y se denotan con la letra R. Ellos son la unión de los
racionales e irracionales:
IQR ∪=
Representación gráfica de los números
El conjunto más amplio es el de los números reales y pueden ser
representados como puntos sobre una recta "L", de modo que cada
punto "P" sobre la recta corresponde a un número real. De esta
forma, hay una asociación uno a uno entre los números reales y los
puntos sobre una recta.
Para iniciar la representación, se fija un punto arbitrario "O", llamado
origen, y se asocia con el número real 0. Luego se establece un
punto "U" a la derecha del origen, el cual se asocia con el número 1
y se denomina valor unitario. A partir de allí, los números enteros
serán un factor de ese valor unitario, estableciendo la orientación
positiva hacia la derecha y negativa a la izquierda (ver Fig. 1.1)
,236,3
13
== 31
62,
25
615,
21
42,3
515 −
=−
==−=−
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ≠Ζ∈= 0byb,a:
baQ
4 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Representación gráfica de los números
Operaciones y propiedades de los números reales
Este conjunto tiene definida dos operaciones básicas: adición,
denotada por "+", y multiplicación, denotada por " . ". Decimos que
los números reales son cerrados para ambas operaciones, es decir,
para todo par de números reales "a, b" existe un número real "a + b",
llamado la suma, y otro número real "a . b", llamado el producto. Las
principales propiedades de los números reales con relación a estas
operaciones se describen en las Tablas 1 y 2.
Ejemplo 1.3
¿Cuáles son los números, que al aplicar la propiedad del elemento
identidad tanto para la suma como para el producto, el resultado es
el mismo número?
Sabiendo que el elemento identidad para la suma es 0 y para el
producto es 1, podemos ver que los únicos números que cumplen
simultáneamente:
a + 0 = a y a . 1 = a
Son el número 0 y el número 1, ya que:
0 + 0 = 0 y 0 . 1 = 0
1 + 0 = 1 y 1 . 1 = 1
El elemento inverso de la suma, también es llamado opuesto aditivo,
y el inverso de la multiplicación es llamado reciproco multiplicativo,
ver Tabla 1 y 2 respectivamente.
5 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia
SUMA
PROPIEDAD CASO EJEMPLO SIGNIFICADO
Conmutativa a + b = b + a 2 + 3 = 5 = 3 + 2 El orden de los sumandos no altera el resultado
Asociativa a + (b + c) =
(a + b) + c
3 + (1 + 4) = 3 + 5 = 8
(3 + 1) + 4 = 4 + 4 = 8
El orden como se agrupan las cantidades no altera la suma
Elemento
Identidad a + 0 = a 2 + 0 = 2
Al sumar 0 a un número nos da el mismo número
Elemento
Inverso a + ( −a) = 0 3 + (−3) = 0
Al sumar a un número su elemento opuesto se obtiene el elemento identidad.
.
Tabla 1. Operaciones y propiedades de los números reales
PRODUCTO
PROPIEDAD CASO GENERAL EJEMPLO SIGNIFICADO
Conmutativa a . b = b . a 2 . 3 = 6 = 3 . 2 El orden de los sumandos no altera el resultado
Asociativa a . (b . c) =
(a . b) . c 3 (2 . 4) = 3 . 8 = 24 (3 . 2) 4 = 6 . 4 = 24
El orden en que se multiplica por 2 o más factores no afecta el resultado de la operación
Elemento
Identidad a . 1 = a 2 . 1 = 2
El producto de un número por 1 da el mismo número.
Elemento
Inverso
Si a ≠ 0,
a . ⎟⎞
⎜⎛ 1
⎠⎝a = 1
3 . ⎟⎠
⎜⎝ 3
⎞⎛ 1 = 1
El producto de un número distinto de 0 por su reciproco da 1.
Tabla 2. Operaciones y propiedades de los números reales
Una propiedad adicional en donde se combinan ambas
operaciones es la Propiedad Distributiva de la multiplicación sobre la
adición, la cual señala que:
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Tema 1 / Sesión 1
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Sean a, b y c números reales, entonces:
a . (c + d) = a . c + a . d
(a + b) . c = a . c + b . c
.
Ejemplo 1.4
Desarrollar mediante la propiedad distributiva el producto de
( 2 + 3 ) ( −1 + 4).
Aquí tenemos que aplicar una doble propiedad distributiva, de esta
forma:
( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 2 .( −1 + 4) + 3 . ( −1 + 4)
= 2 .( −1) + 2 . 4 + 3 .( −1) + 3 . 4
= −2 + 8 −3 + 12 = 15
El cual es el mismo resultado si efectuamos las operaciones dentro
de los paréntesis primero y luego hacemos el producto de los
resultados, así:
( 2 + 3 ) ( −1 + 4) = 5 . 3 = 15
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es la representación simbólica de una
colección de variables y números reales en forma individual o como
resultado de alguna operación fundamental (suma, resta, producto,
división, potencias o radicales).
Ejemplo 1.5
Las siguientes son expresiones algebraicas:
a
2x
3 − z
5 (a − b)
y3
y3x2
−−
Si sustituimos las variables por números reales en una expresión
algebraica, el resultado será un número real que se llamará el valor
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de la expresión algebraica para esos números, es decir, que al
utilizar nuevos números reales podremos obtener un valor diferente
para la expresión correspondiente.
.
Ejemplo 1.6
Determinar el valor de la expresión algebraica.
y3x2
−−
cuando x = −1 y y = 1.
Claramente el valor de dicha expresión será:
( )( ) 1
33
1312
−=−
=−
−−
Similarmente, si sustituimos x por 2 e y por cualquier número distinto
de 0, entonces el valor de la expresión algebraica será 0.
Clasificación de las expresiones algebraicas
Las Expresiones Algebraicas se clasifican basándose en el número de
términos que esta tienen. De esta forma podemos hablar de:
Monomio: es la expresión algebraica que consta de un solo término,
aunque puede tener varias variables incluidas, como:
5
2ª
−3yx2
2ba2
Binomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de dos
monomios, como:
3x − 4
a + b
zy2x 2 −
b3c2
a3 3
+
Trinomio: es la expresión algebraica que se forma de la suma de tres
monomios, como:
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a + b + c
2x2 − 3x + 7
zxyzy2x3 2
−+−
Polinomio: es la expresión algebraica que resulta de la suma de
cualquier número de monomios, de esta forma tanto un Binomio
como un Trinomio son Polinomios, como:
ax − by2 + 3xy − 5ay
5x3x2x3 24 −−+
.
Cuando el polinomio tiene una sola variable lo podemos definir de la
siguiente forma.
Polinomio: una expresión algebraica únicamente en la variable x, se
llama un polinomio cuando es la suma de expresiones monómicas
de la forma:
011n
1nn
n axaxaxa ++++ −− KK
En donde n es un número entero no negativo y los términos son
números reales llamados coeficientes. El coeficiente de la potencia
más alta de la variable es el coeficiente principal del polinomio.
ka
Ahora podemos decir que un polinomio tiene un grado, el cual es la
mayor potencia de sus variables. Este puede ser absoluto si tenemos
una sola variable o relativo a una cierta variable, si hay diversas
variables en la expresión.
Ejemplo 1.7
Determinar el grado de los siguientes polinomios:
a. 5 grado 0 (absoluto)
b. 2 − 5x grado 1 (absoluto)
c. grado 4 (absoluto) 5x3x2x3 24 −−+
d. ax − by2 + 3xy − 5ay grado 2 (relativo a y)
e. grado 3 (relativo a x) y 5
(relativo a y)
54223 y3xyyx5yx2 +−+
Los polinomios de grado cero “0” se conocen como polinomios
constantes. Si todos los coeficientes de un polinomio son cero,
entonces obtenemos el polinomio cero; el cual no tiene un grado
determinado. Diremos que dos polinomios son iguales si y sólo si son
del mismo grado y tienen los mismos coeficientes para cada una de
las potencia.
9 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Operaciones con las expresiones algebraicas
Al realizar operaciones con expresiones algebraicas estaremos
aplicando, con factores abstractos, las mismas operaciones
fundamentales usadas en Aritmética (Suma, Resta, Multiplicación,
División y Potenciación).
1. Suma y Resta
La Suma en general se entiende por aumentar un valor, pero en
álgebra, como tratamos con expresiones simbólicas, puede significar
un aumento o una disminución. Así, cuando sumamos a y b resulta
a + b, pero el valor numérico de esta expresión algebraica
dependerá de cual de las dos variables es mayor, de esta forma el
resultado puede ser positivo o negativo, en todo caso mayor o
menor que a.
Ejemplo 1.8
Sumar a y b, en donde el valor de a = 4 y b = 3.
Conociendo los valores tendremos: a + b = 4 + 3 = 7.
Si ahora a = 3 y b = −4 entonces a + b = 3 + (−4) = 3 − 4 = −1.
.
Por lo anterior, podemos decir que la Resta es equivalente a la
Suma, ya que al efectuar la operación a - b en realidad estamos
realizando la operación a + ( -b). Estas operaciones se apoyan en
dos reglas básicas que son la Supresión de Signos de Agrupación y la
Reducción de Términos Semejantes.
Supresión de signos de agrupación: es una regla que permite
eliminar los signos de agrupación, dando como resultando una
expresión algebraica que puede tener términos semejantes.
Recordemos que los signos de agrupación son los paréntesis ( ),
corchetes [ ] y las llaves { }. Tenemos dos casos a considerar:
a. Signo de agrupación precedido del signo "+". Se elimina el signo
de agrupación y los términos mantienen el signo que ellos tenían.
b. Signo de agrupación precedido del signo "-". Se elimina el signo
de agrupación y los términos cambian el signo que ellos tenían.
Ejemplo 1.9
Suprimir los signos de agrupación de la expresión:
4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + (1 − x)}
Como existe un signo de agrupación dentro de otro signo de
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agrupación, primero suprimimos el signo de agrupación más interno,
así:
4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {3 + 1 −x}
= 4x + (−x − 2) − [6x − 3] − {4 − x}
.
Luego aplicamos la regla que corresponda a cada signo de
agrupación y tendremos:
4x − x − 2 − 6x + 3 − 4 + x
Después de agrupar términos semejantes, el resultado será:
− 2x − 3
Reducción de términos semejantes: es una regla que permite
agrupar en un solo término dos o más términos semejantes. Para ello
tenemos tres casos a considerar:
a. Términos del mismo signo. Se suman los coeficientes y se coloca el
signo que tienen todos.
b. Dos términos de signo contrario. Se restan los coeficientes y se
coloca el signo del mayor.
c. Varios términos de signo contrario. Se aplica la primera regla tanto
a los positivos como a los negativos y al resultado se le aplica la
regla anterior.
Ejemplo 1.10
Agrupar la expresión 4x − 7x + 11x + x − 5x − 2x.
Agrupamos los positivos: 4x + 11x + x = 16x
Agrupamos los negativos: −7x − 5x − 2x = −14x
Luego agrupando los dos resultados: 16x − 14x = 2x
Por lo tanto el resultado de agrupar la expresión es 2x
Regla general para sumar o restar: para Sumar o Restar dos o más
expresiones algebraicas se escribe una a continuación de la otra
con sus propios signos y se aplican las reglas anteriores, si es
necesario.
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Ejemplo 1.11
Sumar 3a − 2b + c y 8a − 5b + 2c − 3 y restarle −3a + 2b − 3c y 4b − c
+ 3
.
Primero colocamos las expresiones algebraicas una a continuación
de la otra manteniendo la operación que se quiere realizar entre
ellas, así:
(3a − 2b + c) + (8a − 5b + 2c − 3) − (−3a + 2b − 3c) − (4b − c + 3)
Luego suprimimos los signos de agrupación:
3a − 2b + c + 8a − 5b + 2c − 3 + 3a − 2b + 3c − 4b + c − 3
Ahora agrupamos los términos semejantes:
3a + 8a + 3a = 14a
−2b − 5b − 2b − 4b = −13b
c + 2c + 3c + c = 7c
−3 − 3 = −6
Y tendremos como resultado final:
14a − 13b + 7c − 6
Ejemplo 1.12
De la suma de 22 y52x
21
− con xy43y
31x 22 −+ , restar la suma de
22 x41y
54xy
45
−− con xy32y2 − :
Primero sumamos los dos primeros términos:
xy43y
31xy
52x
21 2222 −++− = xy
43y
151x
23 22 −−
Luego sumamos los otros dos términos:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−− xy
32yx
41y
54xy
45 222
xy32yx
41y
54xy
45 222 −+−− xy
127y
51x
41 22 ++−
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Ahora restamos el primer resultado del segundo:
.
⎟⎞
⎜⎛
−− xy3y1x3 22 ⎠⎝ 4152
− ⎟⎞
⎜⎛
++− xy7y1x1 22 = ⎠⎝ 1254
xy4
y15
x2
313 22 −− xy12
y5
x4
= 711 22 −−+
xy3
y15
x4
−− 447 22
2. Multiplicación
ación es
plicada en forma abstracta a las expresiones algebraicas.
jemplo 1.13
forma al agrupar las variables y multiplicar los
oeficientes, así:
.
Es la operación que asocia a dos números dado un tercero, llamado
producto. Esto representa en cada uno de ellos un aumento, tantas
veces indique el valor absoluto del tercer número. La oper
a
E
Dadas las expresiones 2a y 3b, el producto es simplemente la
expresión que se
c
2a 3b = 6ab
Esta operación, al igual que la operación de división, se apoya en
las siguientes leyes: la Ley de los Signos, la Ley de los Exponentes y la
ey de los Coeficientes. L
Ley de los signos: es una regla aplicada a la multiplicación de dos
actores, en donde:
. Si los términos tienen signos diferentes el producto es negativo (-).
n número impar de
érminos negativos el producto es negativo (−).
jemplo 1.14
ultiplicar la expresión −x por z por −w por k por −b por −c:
s un
úmero par de términos negativos, entonces el resultado será:
f
a. Si los términos tienen signos iguales el producto es positivo (+).
b
En caso de más de dos términos la ley se generaliza al número par o
impar de términos negativos. Así, para un número par de términos
negativos el producto es positivo (+) y para u
t
E
M
En este caso al multiplicar (−x) (z) (−w) (k) (−b) (−c) tendremo
n
x . z . w . k . b . c
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Ley de los exponentes: es una regla aplicada, también, a la
ultiplicación de dos factores, que dice:
ase y se suman algebraicamente los
xponentes.
vo y el otro es
egativo, se realiza la suma algebraica respectiva.
.
m
Al multiplicar expresiones de la misma base se escribe
la misma b
e
Es importante aclarar que la expresión "se suman algebraicamente"
significa que, si uno de los exponentes es positi
n
Ley de los coeficientes: es una regla aplicada a los coeficientes
onstantes de los factores en una multiplicación, que dice:
ación de los
oeficientes de cada una de las expresiones.
. Multiplicar las expresiones: 3x3 por 4x2 por −2x-4
coeficientes y luego sumamos algebraicamente los
expo ntes, así:
c
Al multiplicar expresiones que contengan coeficientes
constantes, el resultado final será la multiplic
c
Ejemplo 1.15 a
Vemos que son expresiones con la misma base, por lo tanto primero
multiplicamos los
ne
3x3 . 4x2 . (−2x−4) = −24x3+2−4 = −24x
b. Multiplicar las expresiones: 2xy2 por −xz−3 por 3x2y−1z
Aquí, agrupamos las expresiones de la misma base y sumamos
algebraicamente sus exponentes:
2xy2 . (−xz−3) . 3x2y−1z = −6x4yz−2
Ahora podemos establecer la multiplicación entre expresiones
algebraicas. Por ejemplo, un monomio por un monomio, un
monomio por un binomio, un trinomio por un polinomio. Todas ellas
se globalizan en la regla general para multiplicar un polinomio por
un polinomio ya que, tanto el monomio, binomio y trinomio son
ejemplos de polinomios.
Regla para Multiplicar dos Polinomios: se multiplican todos los
términos de uno de los polinomios por cada uno de los términos del
otro polinomio, teniendo en cuenta las leyes mencionadas
anteriormente, y aplicando la regla de Reducción de Términos
Semejantes, en caso de ser necesario.
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Ejemplo 1.16
Multi car los polinomios 3x − 4y por 2x + y − 3z.
Pode os escribir esta operación como:
(3x − 4y) (2x + y − 3z) = 3x (2x + y − 3z) − 4y (2x + y − 3z)
.
pli
m
Utilizando la propiedad distributiva hemos multiplicado cada uno de
los términos del primer polinomio (3x − 4y) por el segundo polinomio
(2x + y − 3z), y aplicando las reglas y leyes del producto entre
3x(2x) + y(3z) =
6x2 + 3xy − 9xz − 8xy − 4y2 + 12yz
polinomios:
3x(y) − 3x(3z) − 4y(2x) − 4y(y) + 4
Y ahora agrupando los términos semejantes tendremos el resultado
final:
6x2 − 5xy − 9xz − 4y2 + 12yz
rimero realizamos por separado cada una de las multiplicaciones:
2 (x + 1) =
Ejemplo 1.17
Realizar las operaciones indicadas (x − 2)(x + 1) + 2(x − 1)(x + y).
P
(x − 2)(x + 1) = x (x + 1) −
x2 + x − 2x − 2 = x2 − x − 2
2(x − 1)(x + y) = 2{x (x + y) − (x + y)} =
2{x2 + xy − x − y} = 2x2 + 2xy − 2x − 2y
Ahora agrupamos los términos semejantes
x2 − x − 2 + 2x2 + 2xy − 2x − 2y = 3x2 − 3x + 2xy − 2y − 2
. División
os la división del
esión que representa la división (a/b) la podemos definir
como:
3
Es la operación que asocia a dos números dados, dividendo y
divisor, un tercero llamado cociente, el cual es el resultado de la
división de dichos números. Así, dados a y b definim
número a entre el número b, como el número a/b.
La división es la operación asociada a la multiplicación y de alguna
manera, podemos decir que es una multiplicación implícita, ya que
la expr
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1bab1a
ba −== (1)
De esta forma, la división a/b es la multiplicación de a por 1/b o si se
quiere a por b−1. De acuerdo a esta afirmación, las leyes utilizadas
para la multiplicación también son válidas para la división.
Ejemplo 1.18
1. Dividir 2x4y2 entre (−4x2y):
Claramente debemos aplicar la Ley de los signos, la Ley de los
Exponentes y la Ley de los Coeficientes, por lo cual:
2yxyxyx
42
yx4yx2 2
12242
24−=−=
−−−
.
2. Dividir −12x2yz3 entre 3x4z2 :
Aquí aplicamos nuevamente las leyes y tenemos:
222432
24
32
xyz4yzx4zxyzx
312
zx3yzx12
−=−=−=− −−−
En forma equivalente a la multiplicación, podemos establecer la
división entre polinomios en cualquiera de sus casos (monomio,
binomio, trinomio o polinomio).
Regla para dividir dos polinomios: primero se ordenan el dividendo y
el divisor con relación a una variable y se comienza con la mayor
potencia de dicha variable. Luego se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene el primer
término del cociente.
Este primer término del cociente se multiplica por cada uno de los
términos del divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual
se le cambia el signo al producto realizado, escribiendo cada
término debajo de su semejante. En caso de no existir dicho término
semejante, se le creará un lugar o espacio de acuerdo con el orden
establecido previamente. La expresión resultante de la resta término
a término se conoce con el nombre de resto.
Luego se divide el primer término del resto entre el primer término del
divisor y se repite el proceso hasta que el resto tenga un grado
inferior al grado del divisor.
Ejemplo 1.19
Dividir el polinomio x3 − 2x + 3 entre el polinomio x − 1:
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En este caso los polinomios ya están ordenados, luego para realizar
la operación utilizaremos el siguiente formato:
.
x3 − 2x + 3 x − 1
− x3 + x2 x2 + x − 1
x2 − 2x + 3
− x2 + x
− x + 3
x − 1
2
Claramente al realizar el primer proceso de división se obtiene un
término (x2) que no tiene semejante en el dividendo, por lo cual se le
crea el lugar correspondiente, y el proceso continua. Al finalizar el
proceso, el término restante 2 es de grado cero, es decir, menor que
el grado del divisor (grado 1), por lo cual el proceso termina.
Así se obtiene el cociente x2 + x − 1 y el resto es 2.
De esta forma:
(x2 + x − 1)(x − 1) + 2 = (x3 − 2x + 1) + 2 = x3 − 2x + 3
Luego, podemos establecer el algoritmo general de la división
como:
Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto (2)
En el ejemplo anterior, se dividió el polinomio (x3 − 2x + 3) entre el
binomio (x − 1) y el resultado del resto fue diferente de 0.
Definición 1
Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde
a es un número real. Diremos que el valor que anula el binomio x = a,
es una raíz o un cero del polinomio si el resto de la división del
polinomio entre x - a es cero (0).
Definición 2
Dado un polinomio cualquiera y un binomio de la forma x - a, donde
a es un número real. Diremos que el polinomio es divisible entre el
binomio si x = a es una raíz o un cero del polinomio ó lo que es igual
si el resto de la división del polinomio entre x - a es cero (0).
Nota: podemos decir también, que un polinomio es divisible entre
cualquier otro polinomio de grado menor si el resto de la división es
0.
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Ejemplo 1.21
.
Dividir el polinomio 2x3 + x2 − 3x − 2 entre el polinomio x + 1:
Utilizando el formato del ejemplo anterior tenemos:
2x3 + x2 − 3x − 2 x + 1
−2x3 − 2x2 2x2 − x − 2
− x2 − 3x − 2
x2 + x
− 2x − 2
2x + 2
0
Ejemplo 1.22
Dividir el polinomio x4 − 2x − 3x2 + 1 entre el polinomio: x2 + x − 1.
Primero ordenamos el dividendo x4 − 3x2 − 2x + 1 y luego realizamos
el proceso:
x4 − 3x2 − 2x + 1 x2 + x − 1
− x4 − x3 + x2 x2 − x − 1
− x3 − 2x2 − 2x + 1
x3 + x2 − x
− x2 − 3x + 1
x2 + x − 1
− 2x
Para comprobar el resultado aplicamos el algoritmo de la formula
Dividendo = (Divisor) (Cociente) + Resto
( x2 + x − 1 ) ( x2 − x − 1 ) + (− 2x) = x4 − 3x2 + 1 + (− 2x)
= x4 − 3x2 + 1 − 2x
= x4 − 3x2 − 2x + 1
4. Potenciación
Es la operación mediante la cual el exponente de cada término es
multiplicado por el exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3
es igual a x2.3. Esta operación es equivalente a la multiplicación de
cada uno de los términos la cantidad de veces que lo indique el
exponente de la potenciación. Por ejemplo, (x2)3 es igual a x2x2x2.
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Adicionalmente, para poder realizar completamente la operación,
se necesita la Ley de los Signos de la Potencia.
Ley de los signos de la potencia: Esta ley es fundamentalmente para
los términos negativos, ya que para los positivos la potencia
mantiene el mismo signo porque equivale a un producto de términos
positivos. Para los términos negativos se tiene:
.
a. La potencia par produce un término positivo, y
b. La potencia impar produce un término negativo.
Ejemplo 1.23
1. Desarrollar (3xy2z3)3
Como el coeficiente es positivo entonces el resultado de la
potenciación será positivo. Luego cada uno de los exponentes de
los términos será multiplicado por el exponente de la potenciación
1bab1a
ba −== .
Así, tendremos:
(3xy2z3)3 = (3)3 (x)3 (y2)3 (z3)3 = 27 x3 y6 z9
2. Desarrollar 4
3
2
y4zx3⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Como el coeficiente es negativo y la potencia es par entonces el
resultado será positivo. Así:
4
3
2
y4zx3⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− = ( )
( )( ) ( ) ( )43442
4
4yzx
43 − = 1248 yzx
25681 −
¿Qué se puede decir si la potencia es negativa?. Claramente si
tomamos en cuenta la definición de la división, en donde se señala
que 1bb1 −= , podemos decir que el proceso no cambia.
Mostraremos esto en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.24
Desarrollar (2y2)-2
Dado que la potencia es negativa, aplicamos primero lo antes
mencionado, así:
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( ) ( )( ) 422
12222
y41
y2
1y2y2 ==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
−−
Si ahora aplicamos el proceso a la inversa tendremos que
( ) 44
22 y41
y41y2 −−
==
De esta manera, podemos decir que el procedimiento, para
potencias negativas, es el mismo, se multiplica el exponente de
cada uno de los términos por el exponente de la potencia.
Ejemplo 1.25
Desarrollar 3
2
3
y2xz3
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
Aplicando lo mencionado anteriormente tendremos:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) 63
933
323
33333
2
3
y2zx3
y2
zx3y2xz3
−−
−−−
−−
−−−−−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
Y si ahora queremos aplicar de forma inversa la definición
1bab1a
ba −== para cada uno de los términos, tendremos que:
( )( )
( )( ) 93
6
933
63
63
933
zx27y8
zx3y2
y2zx3
−=−
=−
−−
−−−
.
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Tema 1: Preliminares
.
Sesión 1: Ejercicios Resueltos
Ejercicios
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:
Solución
2a5 positivo, entero y racional
b3a4− negativo, entero y racional
3a2 positivo, entero y racional {se considera entero porque no
hay letras en el denominador}
6
2b5− negativo, entero y racional {se considera entero porque no
hay letras en el denominador} a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no
hay letras en el denominador} 3 2b5− negativo, entero e irracional {entero porque no hay letras
en el denominador}
6a positivo, entero e irracional {se considera entero porque no
hay letras en el denominador}
a6ba4 32
− negativo, fraccionario e irracional.
2. Dígase el grado absoluto de los términos siguientes:
Solución
a5 primer grado b2a6− tercer grado {suma de los exponentes: 2+1=3}
2b2a cuarto grado {suma de los exponentes: 2+2=4}
c4b3a5− octavo grado {suma de los exponentes: 3+4+1=8} 6y5x8 undécimo grado {suma de los exponentes: 5+6=11} 3n2m8 quinto grado {suma de los exponentes: 2+3=5} 3xyz
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:
− séptimo grado {suma de los exponentes: 1+1+5=7}
Solución
23ba− tercer grado respecto a y según grado respecto a b a
34yx5− cuarto grado a x y tercer grado respecto a y 32bxa6 segundo grado respecto a , primer grado respecto a b y a
tercer grado respecto a x 2abcx4− primer grado respecto a , b y c y de segundo grado a
respecto a x 5432 cbnm10 segundo grado respecto a m, tercer grado respecto a
n, cuarto respecto a b quinto grado respecto a c
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4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tres heterogéneos.
Solución
Cuatro términos homogéneos son -4a3b2, -x5, 6x4y, 4abcx2 : tienen igual grado absoluto Tres heterogéneos -4a3b2, 6ab3 y -2ac {tienen diferentes grado absoluto} 5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos,
enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales.
Solución Enteros: 5abcd2efg, -x2, 389yz
Fraccionarios: 2xf,
ba
−
Positivos, enteros y racionales: 8xyz3, 99bc
Negativos, fraccionarios e irracionales: x
8,ab,
axb 5
−−
−
6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos
siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado.
Solución
Tercer grado: 19abc Quinto grado: x5 Undécimo grado: 5a2x7yz Decimoquinto grado: abcdex2y2z6
Vigésimo grado: -7c8x12
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que sea de décimo grado con relación a la b.
Solución
De cuarto grado con relación a la x: 45366b10x4
De séptimo grado con relación a la y: -3a5v56y7z5
De décimo grado con relación a la b: 55533366677a58b10x34yz10 8. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios: a. x3+x2+x: tercer grado absoluto b. 5a-3a2+4a4-6: cuarto grado absoluto c. a3b-a2b2+ab3-b4 : cuarto grado absoluto d. x5-6x4y3-4ab2+x2y4-3y6: séptimo grado absoluto
9. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada
una de sus letras. a. a3+a2-ab3: tercer grado con respecto tanto a a b b. x4+4x3-6x2y4-4xy5: cuarto grado con relación a la x y quinto con
relación a la y c. 6a4 b7-4a2 x+ab9 -5a3 b8 x6 b4 : cuarto grado con relación a la a,
noveno grado con relación a la b y sexto grado con relación a la x
d. m4-n2-mn6+mx4y3-x8+y15-m11: octavo grado con relación a x, décimo quinto grado con relación a y, undécimo grado con relación a m y sexto grado con relación a n
.
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.
Sesión 1: Ejercicios Propuestos
1. Hallar el valor numérico de cada uno de los siguientes monomios
en donde a = −2, b = −1, c = 3:
a. 3a2bc
b. c
ab2 2
c. 32ca
b3
d. cb2
a52
2. Agrupar términos semejantes en cada una de las siguientes
expresiones:
a. 8x − 5y + 4z + x + 2z − 11y − 5x
b. 4x + 2xy − y + 3xy − 5x − 2y
c. xy65y2xx
32xy
32y
43yxy
41y
31x
21 2222 −+−+++−+−
3. Eliminar los signos de agrupación y luego agrupar términos
semejantes:
a. 4x − (3x − y) − [x + (3x − 2y) − 3] + (3y −x − 1)
b. 2x2 − 3x + 2y − [1 − (x2 − 3x) + (y − 2x2 + 5x)] + (y + x +2)
c. 4xy2 − 3xy + {2x2y − [xy2 − 2xy + 4x2y] − xy + xy2 −3yx2}
4. Dados los polinomios
1xx)x(R;xx4)x(Q;6xx5x4)x(P 23234 +−−=−+=−+−=
Hallar:
a. P(x) + Q(x) − R(x)
b. P(x) − Q(x)R(x)
c. Q(x) − xR(x)
d. P(x)/Q(x)
5. Realizar las operaciones indicadas:
a. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +− x52y
43y
21xx
53
b. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++41x
23x
431x
21x
31 223
23 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−31x
21x
32x
41 32
c. ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−++ y21xy
21xzyx 2
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− xy21z1zyx
312 22
6. Dados los siguientes polinomios:
3x2x2)x(P 2 +−=
=)x(Q 1x2 −
3xx)x(R 23 +−=
2x)x(S 2 +=
Hallar:
a. P(x) ÷ Q(x)
b. R(x)Q(x) ÷ S(x)
c. {P(x)S(x) − R(x)} ÷ Q(x)
d. P(x)Q(x)R(x) ÷ S(x)
e. {(Q(x) − R(x))2 + P(x)S(x)} ÷ R(x)
.
24 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 1: Preliminares
Tema 1 / Sesión 1
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Tema 1: Preliminares
.
Sesión 1
Autoevaluación 1
Pregunta Nº 1 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : a. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 b. Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 c. Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 d. Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Pregunta Nº 2 Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.
a. 4 b. 3 c. – 3 d. 3.44
Pregunta Nº 3
Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1
a. 4x + 2x3 b. 3x + x2 c. x4 + 3x2 d. x4 + 2x3
Pregunta Nº 4
Multiplicar y Simplificar )43)(23( +−
a. 5− 3
b. 532 −
c. 32
d. 532 + Pregunta Nº 5 A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14
a. R , Q b. R , Q , I c. I , R d. Z , R , Q Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.
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Tema 1 / Sesión 1
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Unidad 1: Preliminares
.
Sesión 1
Respuestas de la autoevaluación 1
Pregunta Nº 1 Dividir el polinomio: 4x3-3x2+3 entre el polinomio: x2-x+1 : a. Cociente = 4x + 1 Resto = 3x - 2 b. Cociente = - 4x - 1 Resto = - 3x + 2 c. Cociente = 4x + 1 Resto = - 3x +2 Correcto d. Cociente = 4x - 1 Resto = 3x - 2 Pregunta Nº 2 Dar un ejemplo de un entero que no sea un número natural.
a. 4 b. 3 c. – 3 Correcto d. 3.44
Pregunta Nº 3
Sumar los siguientes monomios y agruparlos x3, -x2, x, -1, x4, x3, x2, -x, 1
a. 4x + 2x3 b. x4 + 3x2 Correcto c. 3x + x2 d. x4 + 2x3
Pregunta Nº 4
Multiplicar y Simplificar )43)(23( +−
a. 5− 3
b. 32
c. 532 +
d. Correcto 532 − Pregunta Nº 5 A cuál de los conjuntos pertenece el siguiente número: 3.14
a. R , Q , I b. I , R c. Z , R , Q d. R , Q Correcto
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Tema 2 / Sesión 2
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Tema 2: Operaciones Notables
.
Sesión 2
Objetivos específicos
* Aplicar las propiedades de la potenciación y los productos en la solución de problemas.
Actividades
* Leer el contenido de la sesión 2 sobre “ Productos Notables”
* Visitar las páginas recomendadas * Realizar los ejercicios * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
* Contenido de la sesión 2: “ Productos Notables ” * Páginas Web recomendadas * Ejercicios con respuestas * La autoevaluación de la sesión 2
Operaciones notables
Se entiende por Operaciones Notables al procedimiento en el cual
se aplica una regla fija o predeterminada, donde no se necesita
realizar la operación indicada sino simplemente aplicar la regla. Las
operaciones para las cuales se establecen estas reglas fijas son la
multiplicación o producto, la división o cociente y la potenciación.
Productos notables
Se llaman Productos Notables a ciertas multiplicaciones que
cumplen con una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado
directamente, es decir, sin realizar la operación.
1. Cuadrado de un monomio
Regla
Se eleva el coeficiente al cuadrado y luego se
multiplica el exponente de cada una de las variables
por dos (2).
Ejemplo 2.1
Desarrollar el cuadrado de 3xy3.
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Para ello aplicamos la regla y obtenemos:
(3xy3)2 = 9x2 y6
.
2. Cuadrado de un binomio
Cuando elevamos al cuadrado un binomio se tienen que considerar
dos casos, como son el cuadrado de la suma (x + y) y el cuadrado
de la diferencia (x − y). En ambos casos, elevar al cuadrado es
simplemente multiplicar la expresión por sí misma, por ejemplo:
(x + y)2 = (x + y) (x + y) (1)
2.1. Cuadrado de la suma
Cuando multiplicamos la suma de las variables (x + y) por sí misma
tendremos
(x + y)2 = (x + y) (x + y) = x2 + 2xy + y2
Regla
El cuadrado de la suma de dos variables es igual al
cuadrado de la primera variable más el doble del
producto de la primera por la segunda variable más el
cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.2
Desarrollar el cuadrado de 3x + 2y.
Para ello aplicamos la regla y tendremos:
(3x + 2y) = (3x)2 + 2(3x)(2y) + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y2
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Representación gráfica del cuadrado de la suma
.
El cuadrado de la suma puede representarse geométricamente
cuando las variables representan valores positivos. Construimos un
cuadrado de lados iguales a la suma (x + y) (ver gráfica 2.1).
Grafica 2.1 Representación gráfica del cuadrado de la suma
2.2. Cuadrado de la diferencia
En este caso es la multiplicación de la resta de las variables (x − y)
por sí misma:
(x − y)2 = (x − y) (x − y) = x2 − 2xy + y2 (2)
Regla
El cuadrado de la diferencia de dos variables es igual al
cuadrado de la primera variable menos el doble del
producto de la primera por la segunda variable más el
cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.3
Desarrollar el cuadrado de x − 3.
Al aplicar la regla tenemos:
(x − 3)2 = (x)2 − 2(x)(3) + (3)2 = x2 − 6x + 9
x y
x
y
x + y
x +
x2 xy
xy y2
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Representación gráfica del cuadrado de la diferencia
Al igual que en la suma, el cuadrado de la diferencia (x − y) puede
representarse geométricamente cuando las variables representan
valores positivos. Construimos un cuadrado de lados iguales a la
primera variable x, cuadrado azul, y anexamos un cuadrado de
lados iguales a la segunda variable y, cuadrado rojo, representado
por D (ver gráfica 2.2).
.
Gráfica 2.2 Representación gráfica del cuadrado de la diferencia
La suma del área del cuadrado azul y el cuadrado rojo D será:
cuadrado azul + cuadrado D = x2 + y2 (3)
Ahora bien, el cuadrado azul lo dividimos en regiones más
pequeñas, un cuadrado A y los rectángulos B y C. Podemos ver que
el área del rectángulo negro C es equivalente a la suma del área
del rectángulo B y el cuadrado rojo D, y ambas áreas son iguales a
xy.
Por lo tanto, el área representada (3) puede dividirse en:
cuadrado A + rectángulo C + (rectángulo B + cuadrado D) =
(x − y)2 + xy + xy = (x − y)2 + 2xy (4)
De esta manera al igualar (4) y (3) tendremos:
(x − y)2 + 2xy = x2 + y2
Por lo tanto,
(x − y)2 = x2 − 2xy + y2
x
y x − y
y D
A
C
x
B
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3. Producto de la suma por la diferencia
El producto de la suma por la diferencia es la multiplicación de la
suma de las variables x + y por la resta de ellas mismas x – y.
.
(x + y) (x − y) = x2 − y2 (5)
Regla
El producto de la suma de dos variables por la
diferencia de las mismas es igual al cuadrado de la
primera variable menos el cuadrado de la segunda
variable.
Ejemplo 2.4
1. Desarrolar (2x + 3)(2x − 3):
Aplicamos la regla y tendremos:
(2x + 3)(2x − 3) = (2x)2 − (3)2 = 4x2 − 9
2. Desarrollar (x − y − 1)(x + y + 1):
Aquí se nos presentan tres términos, pero los podemos agrupar como
un binomio, por ejemplo, x y y + 1. De esta forma podemos aplicar la
regla anterior y la fórmula (5):
(x − y − 1)(x + y + 1) = {x − (y + 1)}{x + (y + 1)} = (x)2 − (y + 1)2
= x2 − (y2 + 2y + 1) = x2 − y2 − 2y − 1
Representación gráfica del producto de la suma por la diferencia
Como en los casos anteriores, esta representación es posible
cuando las variables simbolizan valores positivos. Construimos un
cuadrado de lados iguales a la primera variable x, cuadrado azul, el
cual incluye un cuadrado rojo de lados iguales a la segunda
variable y ver gráfica 2.3 (a).
Ahora el rectángulo negro A tiene como lado mayor la variable x y
como lado menor la diferencia (x − y) y el rectángulo restante B
tiene por lados la diferencia (x − y) y a la variable y.
De esta forma, si desplazamos el rectángulo B y lo colocamos a
continuación del rectángulo A, como muestra la gráfica 2.3 (b),
tendremos un rectángulo de lado mayor (x + y) y de lado menor
(x − y).
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Así, el área del cuadrado azul menos el cuadrado rojo será:
.
Cuadro azul − cuadro rojo = x2 − y2 (6)
Y esto será equivalente a la suma de los dos rectángulos A y B
Rectángulo A + Rectángulo B =
x (x − y) + y (x − y) = (x − y)(x + y) (7)
Por lo tanto, al igualar (7) y (6) se tiene:
(x − y)(x + y) = x2 − y2 (8)
x
׀y
y B
x y A B
y x
Gráfica 2.3 (a) Representación gráfica del producto de la suma por
la diferencia
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.
Gráfica 2.3 (b) Representación gráfica del producto de la suma por
la diferencia
4. Cubo de un binomio
Tenemos dos casos (x + y)3 y (x − y)3, los cuales se resolverán al
multiplicar la suma o resta de las variables tres veces seguidas.
(x + y)3 = (x + y) (x + y) (x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (9)
(x − y)3 = (x − y) (x − y) (x − y) = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (10)
De esta forma podemos establecer las reglas:
Regla para la suma
y B El cubo de la suma de dos variables es igual al cubo
de la primera variable más el triple del cuadrado de
la primera por la segunda variable más el triple de la
primera por el cuadrado la segunda variable más el
cubo de la segunda variable.
x A B y ׀
Regla para la resta y x
El cubo de la resta de dos variables es igual al cubo
de la primera variable menos el triple del cuadrado
de la primera por la segunda variable más el triple de
la primera por el cuadrado la segunda variable
menos el cubo de la segunda variable.
Ejemplo 2.5
1. Desarrollar (x + 2)3:
Aplicando la regla de la suma tendremos:
(x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2 (2) + 3(x)(2) 2 + (2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8
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2. Desarrollar (x2 − 2y)3:
Aplicando la regla de la resta tendremos:
(x2 − 2y)3 = (x2)3 − 3(x2)2 (2y) + 3(x2)(2y)2 − (2y)3 =
x6 − 6x4y + 12 x2y2 − 8y3
.
5. Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
El desarrollo de este producto se realizará teniendo en cuenta la
propiedad distributiva (sección 1), en donde a y b representan
valores constantes:
(x + a)(x + b) = x (x + b) + a (x + b) =
x2 + bx + ax + ab = x2 + (b + a)x + ab
Regla
1. El primer término es el cuadrado de la variable.
2. El segundo término es el producto de la suma de las
constantes por la variable.
3. El tercer término es el producto de las constantes.
Ejemplo 2.6
1. Multiplicar (x + 2) por (x + 5):
Al aplicar la regla tenemos:
(x + 2) (x + 5) = x2 + (2 + 5)x + (2)(5) = x2 + 7x + 10
2. Multiplicar (x2 + 3) por (x2 − 1):
Aquí, podemos ver que la regla se puede extender, al caso donde
la variable representa cualquier expresión (monomio, binomio, etc.)
y las constantes pueden ser positivas o negativas. El proceder es
equivalente:
(x2 + 3) (x2 − 1) = (x2)2 + (3 + (−1))x2 + (3)(−1) = x4 + 2x2 − 3
Notemos que en este último caso la suma de las constantes es una
suma algebraica, en consecuencia, el resultado puede ser tanto
positivo como negativo y el producto siempre será negativo.
Podemos establecer una generalización de este producto al caso
en que tengamos las expresiones (mx + a) por (nx + b), así:
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(mx + a)(nx + b) = mx (nx + b) + a (nx + b) =
(mn) x2 + bmx + anx + ab =
(mn) x2 + (bm + an) x + ab
Ejemplo 2.7
Multiplicar (5x + 2) por (−2x + 3):
Aplicamos la generalización de la regla:
(5x + 2)(−2x + 3) = (5)(−2) x2 + ((5)(3) + (2)(−2)) x + (2)(3) =
−10 x2 + 11x + 6
.
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Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 2: Ejercicios Resueltos
Ejercicios: Cuadrado de un binomio
Procedimiento 1. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
Nota: recuérdese que en el producto de dos o más potencias con igual base, se escribe la base común y se suman los exponentes.
Desarrollar:
1. 245 )b7a( + Solución
244525245 )b7()b7)(a(2)a()b7a( ++=+ ,
84510245 b49ba14a)b7a( ++=+⇒
2. 234 )xy5x3( − Solución
233424234 )xy5()xy5)(x3(2)x3()xy5x3( +−=− ,
3x223142x4234 yx25yx30x9)xy5x3( +−=−⇒ +
62358234 yx25yx30x9)xy5x3( +−=−∴
Ejercicios: Cuadrado de la suma de dos cantidades
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1. (m+3)2 Solución 222 32(m)(3)m3)(m ++=+
9+6m+m=3)+(m 22∴
2. (5+x) 2 Solución
.
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222 x2(5)(x)5 x)(5 ++=+
22 x10x25 x)(5 ++=+∴
3. (6a+b)2 Solución
, 222 b2(6a)(b)(6a)b)(6a ++=+
b12ab62ab)(6a 222 ++=+⇒
222 b12ab36ab)(6a ++=+∴
4. 2)m49( + Solución
222 )m4()m4)(9(29)m49( ++=+
222 )m4()m4)(9(29)m49( ++=+∴
5. 2)11x7( +
Solución
222 11)11)(x7(2)x7()11x7( ++=+ 121x154x49)11x7( 22 ++=+∴
6. 2)yx( +
Solución
222 y)y)(x(2x)yx( ++=+ ;
222 yxy2x)yx( ++=+∴
7. 22)x31( +
Solución
222222 )x3()x3)(1(21)x31( ++=+ ,
2x22222 xx3x61)x31( ++=+⇒ ; 4222 x9x61)x31( ++=+∴
8. 2)y3x2( +
Solución
222 )y3()y3)(x2(2)x2()y3x2( ++=+ ;
222 y9xy12x4)y3x2( ++=+∴
9. 222 )byxa( +
Solución
22222222 )by()by)(xa(2)xa()byxa( ++=+ , 2x222222x2222 ybbxya2xa)byxa( ++=+⇒ ;
422224222 ybbxya2xa)byxa( ++=+∴
10. 243 )b8a3( +
Solución
244323243 )b8()b8)(a3(2)a3()b8a3( ++=+ ,
.
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4x2433x2222 b64ba48a9)byxa( ++=+⇒ ; 8436222 b64ba48a9)byxa( ++=+∴
Ejercicios: Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del
binomio 2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el
cuadrado de la primera cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1. 2)3a( −
Solución
222 3)3)(a(2a)3a( +−=− ;
9a6a)3a( 22 +−=−∴
2. 2)7x( − Solución
222 7)7)(x(2x)7x( +−=− ;
49x14x)7x( 22 +−=−∴
3. 2)a9( − Solución
222 a)a)(9(29)a9( +−=− ;
22 aa1881)a9( +−=−∴
4. 2)b3a2( − Solución
222 )b3()b3)(a2(2)a2()b3a2( +−=− ;
222 b9ab12a4)b3a2( +−=−∴
5. 2)1ax4( − Solución
222 1)1)(ax4(2)ax4()1ax4( +−=− ;
1ax8xa16)1ax4( 222 +−=−∴
6. 233 )ba( − Solución
3x2333x2233323233 bba2a)b()b)(a(2)a()ba( +−=+−=− ;
6336233 bba2a)ba( +−=−∴
7. 224 )b5a3( −
.
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Solución
2x22244x22222424224 b5ba30a3)b5()b5)(a3(2)a3()b5a3( +−=+−=− ; 4248224 b25ba30a9)b5a3( +−=−∴
Ejercicios: Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Procedimiento 1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es
igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo"
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1. )yx)(yx( −+ Solución
22 yx)yx)(yx( −=−+
2. )nm)(nm( +−
Solución
22 nm)nm)(nm()nm)(nm( −=−+=+−
3. )ax)(xa( +−
Solución
)xa)(xa()ax)(xa( +−=+− {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis}
)xa)(xa()ax)(xa( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los factores}
22 xa)ax)(xa( −=+−∴
4. )ax)(ax( 2222 −+ Solución
2x22x222222222 ax)a()x()ax)(ax( −=−=−+ ;
442222 ax)ax)(ax( −=−+∴
5. )a21)(1a2( +− Solución
)1a2)(1a2()a21)(1a2( +−=+− {Cambiando el orden de los
sumandos en el segundo paréntesis} )1a2)(1a2()a21)(1a2( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los
factores} 1a41)a2()a21)(1a2( 222 −=−=+−∴
6. )1n)(1n( +−
Solución
1n)1n)(1n)(1n()1n)(1n( 2 −=+−+=+−
7. )1ax3)(ax31( +−
.
39 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
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Solución:
)ax31)(ax31()1ax3)(ax31( +−=+− {Cambiando el orden de los sumandos en el segundo paréntesis}
)ax31)(ax31()1ax3)(ax31( −+=+−⇒ {Cambiando el orden de los factores}
22 22 xa91)ax3(1)1ax3)(ax31( −=−=+−∴
Ejercicios: Cubo del binomio
Procedimiento
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo caso se aplica el enunciado del paso 3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2.
32233 bab3ba3a)ba( ±+±=±
Escribir por simple inspección, el resultado de: 1. 3)2a( +
Solución
8)4(a3)2(a3a2)2(a3)2(a3a)2a( 2332233 +++=+++=+ ;
8a12a6a)2a( 233 +++=+∴ 2. 3)1x( −
Solución
32233 1)1(x3)1(x3x)1x( −+−=− ;
1x3x3x)1x( 233 −+−=−∴
3. 3)3m( + Solución
27)9(m3)3(m3m3)3(m3)3(m3m)3m( 2332233 +++=+++=+ ;
27m27m9m)3m( 233 +++=+∴
4. 3)4n( − Solución
64)16(n3)4(n3n4)4(n3)4(n3n)4n( 2332233 −+−=−+−=− ;
64n48n12n)4n( 233 −+−=−∴
5. 3)1x2( + Solución
1)x2(3)x4(3x81)1)(x2(3)1()x2(3)x2()1x2( 2332233 +++=+++=+ ;
.
40 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones Notables
Tema 2 / Sesión 2
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16128)12( 233 +++=+∴ xxxx
6. 3)y31( − Solución
3232233 y27)y9)(1(3)y3)(1(31)y3()y3)(1(3)y3)(1(31)y31( −+−=−+−=− ;
323 y27y27y91)y31( −+−=−∴
.
7. 32 )y2( + Solución
642322222332 y)y)(2(3)y)(4(38)y()y)(2(3)y)(2(32)y2( +++=+++=+ ;
64232 yy6y128)y2( +++=+∴
Ejercicios: Producto de dos binomios de la forma(x+a)(x+b)
Procedimiento
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los
paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos
independientes por el primer término común de los paréntesis El tercer término será el producto de los términos independie4. ntes
abx)ba(x)bx)(ax( 2 +++=++
Escribir por simple inspección, el resultado de:
1. )2a)(1a( ++ Solución
21a)21(a)2a)(1a( 2 ×+++=++ ;
2a3a)2a)(1a( 2 ++=++∴
2. )4x)(2x( ++ Solución
42x)42(x)4x)(2x( 2 ×+++=++ ;
8x6x)4x)(2x( 2 ++=++∴
3. )2x)(5x( −+ Solución
)2(5x)25(x)2x)(5x( 2 −×+−+=−+ ;
10x3x)2x)(5x( 2 −+=−+∴
4. )5m)(6m( −− Solución
−
)5()6(m)56(m)5m)(6m( 2 −×−+−−+=−− ; 30m11m)5m)(6m( 2 +−=−−∴
5. )3x)(7x( +
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Solución
2
)1x)( −+
olución
2
)1x)(3x −−
olución:
2
)3(7x)37(x)3x)(7x( −×+−+=−+ ;
21x4x)3x)(7x( 2 −+=−+∴
2x6. ( S
)1(2x)12(x)1x)(2x( −×+−+=−+ ;
2xx)1x)(2x( 2 −+=−+∴
7. (
S
)1()3(x)13(x)1x)(3x( −×−+−−+=−− ;
3x4x)1x)(3x( 2 +−=−−∴
.
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Tema 2: Operaciones Notables
.
Sesión 2: Ejercicios Propuestos
1. Desarrollar cada uno de los siguientes productos notables:
a. ( )23x2 +
b. ( )22 a2x +
c. 2
31
2x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
d. 2
( )2
22
axy
xa3
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
e.
f. ( )x43 −
ax3a2 −
g. 2
43
2x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
h. 2
( )( )5x25x2 −+
2
x4
a2x
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
i.
j. ( )( )y
k
x2y3y3yx2 +− 22
. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +a3xa3x
l. ( )( )5x3x32 ++
m. ( )( )1x3x 22 −−
n. ( )( )2x3yyx3 −+
o. ( )31x3 +
p. ( )32xx2 +
q. 3
2 2x
x1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
r. 32
ax
3a2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
s. ( )3x23 +−
t. 3
1
2
a2
3a
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−
u. 3
2
ax2ax3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
v. ( )3212 xb3ba2 −−
x2x2
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Tema 2 / Sesión 2
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Tema 2: Operaciones notables
.
Sesión 2
Autoevaluación 2
Pregunta Nº 1 Determinar = (x + 5) 2
a. 2x2 + 25 b. x2 + 10x + 25 c. x2 + 5x + 25 d. x2 +25x +10 Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2
a. x4 + 10 x4y3 – 10y6 b. 2x4 – 10 y6 c. x4 – 10 x2y3 + 25y6 d. x4 – 10x4y6 +25y9 Pregunta Nº 3 Determinar = (4x6 – 5y) 3
a. 3y15x12 −18
b. 318 y125x64 −
c. 3261218 y125yx300yx240x64 −+−
d. 36418 y25yx10x +−
Pregunta Nº 4 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) a. 6332 y144xy120xy120x100 −−+
b. 62 y144x100 −
c. 6332 y144xy120xy120x100 −+−
d. 62 y144x100 + Pregunta Nº 5 Determinar = )4y)(9y( −+
a. y5y2 2 +− 36b. 36y5y2 2 −−
c. 5y36y2 +−
d. 36y5y2 −+
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.
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Tema 2 / Sesión 2
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Tema 2: Operaciones Notables
.
Sesión 2
Respuestas de la Autoevaluación 2
Pregunta Nº 1 Determinar = (x + 5) 2
a. 2x2 + 25 b. x2 + 5x + 25 c. x2 +25x +10 d. x2 + 10x + 25 Correcto Pregunta Nº 2 Determinar = (x2 – 5y3)2
a. x4 + 10 x4y3 – 10y6 b. 2x4 – 10 y6 c. x4 – 10x4y6 +25y9 d. x4 – 10 x2y3 + 25y6 Correcto Pregunta Nº 3 Determinar = (4x6 – 5y) 3
a. 3y15x12 −18
b. 318 y125x64 −
c. Correcto 3261218 y125yx300yx240x64 −+−
d. 36418 y25yx10x +−
Pregunta Nº 4 Determinar = (10x+12y3) (10x-12y3) a. 6332 y144xy120xy120x100 −−+
b. 62 y144x100 +
c. 6332 y144xy120xy120x100 −+−
d. Correcto 62 y144x100 − Pregunta Nº 5 Determinar = )4y)(9y( −+
a. y5y2 2 +− 36b. 36y5y2 2 −−
c. 5y36y2 +−
d. Correcto 36y5y2 −+
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Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 3
Objetivos específicos
* Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas
Actividades
* Leer el contenido de la sesión 3 sobre “Cocientes notables”
* Visitar las páginas recomendadas * Realizar los ejercicios * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
* Contenido de la sesión 3: “Cocientes notables” * Páginas Web recomendadas * Ejercicios resueltos * La autoevaluación de la sesión 3
Cocientes notables
Se llaman Cocientes Notables a ciertas divisiones que cumplen con
una regla fija y cuyo resultado puede ser presentado directamente,
es decir, sin realizar la operación.
1. Cociente de la diferencia del cuadrado de dos variables entre un
binomio formado con dichas variables
Consideremos las variables x e y para construir el binomio. Debemos
estudiar dos casos: el binomio de la suma y el de la diferencia.
1.1. El binomio de la suma
El denominador en este caso será la expresión (x + y). Entonces sea
el cociente yxyx 22
+− , al realizar la operación de división según la
regla de la (sesión 1), tendremos:
x2 − y2 x + y
− x2 − xy x − y
− xy − y2
xy + y2
0
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Tema 2 / Sesión 3
Así,
yxyxyx
−=+− 22
(11)
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos variables
dividida por la suma de dichas variables es igual a la
diferencia de las variables.
Ejemplo 2.8
Hallar de forma directa el cociente de:
1. 2x4x2
+− 2.
y3x2y9x4 22
+− 3.
1x1x
2
4
+−
En el primer ejemplo al aplicar la regla tendremos:
2x2x4x2
−=+−
En el segundo tenemos una extensión de la regla al estar incluidos
coeficientes para cada una de las variables:
y3x2y3x2y9x4 22
−=+−
En el tercero tenemos una generalización de la regla al tener una
potencia cuarta en el numerador. Sin embargo, podemos aplicar la
regla porque la potencia del numerador es el doble de la del
denominador, luego:
1x1x1x 2
2
4−=
+−
1.2. El binomio de la diferencia
El denominador en este caso será la expresión x − y. Entonces sea el
cociente yxyx 22
−− , al realizar la operación de división según la regla
para dividir dos polinomios (ver sesión 1), tendremos:
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Tema 2 / Sesión 3
x2 − y2 x − y
− x2 + xy x + y xy − y2 − xy + y2
0
Así,
yxyxyx 22
+=−− (12)
Regla
La diferencia de los cuadrados de dos variables
dividida por la diferencia de dichas variables es igual a
la suma de las variables.
Ejemplo 2.9
Hallar de forma directa el cociente de:
1. x2
x4 2
−− 2.
xyyx 22
−− 3. ( )
1yx1yx 22
−−+−
En el primer ejemplo es la aplicación directa de la regla:
x2x2
x4 2+=
−−
En el segundo, se presenta la dificultad que el orden de las variables
en el numerador no es la misma que el denominador, entonces,
antes de aplicar la regla debemos reordenar el numerador o el
denominador, por ejemplo:
( ) ( )yxyxyx
yxyx
xyyx 222222
+−=−−
−=−−−
=−−
En el tercero, debemos reagrupar los términos del denominador
para poder aplicar la regla, así:
( ) ( )( )1yx
1yx1yx1yx 2222
+−+−
=−−+−
Luego aplicamos la regla:
( ) ( )( ) 1yx)1y(x
1yx1yx
1yx1yx 2222
++=++=+−+−
=−−+−
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Tema 2 / Sesión 3
Observación
La propiedad o regla que se establece para la
diferencia de cuadrados no es válida para la suma de
cuadrados.
De esta forma los cocientes yxyx 22
−+ y
yxyx 22
++ son irreducibles.
2. Cociente de la suma o diferencia del cubo de dos variables entre
un binomio formado con dichas variables
Utilizaremos las mismas variables que en el caso anterior para
construir los binomios y estudiaremos los dos casos siguientes:
2.1. Suma del cubo de dos variables
En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la
expresión (x + y). Luego, al realizar la operación de división, según la
regla de la (sesión 1), para el cociente, yxyx 33
++ tendremos:
x3 + y3 x + y
− x3 − x2y x2 − xy + y2
− x2y + y3
+ x2y + xy2
+ xy2 + y3
− xy2 − y3
0
Así,
2233
yxyxyxyx
+−=++ (13)
Regla
La suma de los cubos de dos variables dividida por la
suma de dichas variables es igual al cuadrado de la
primera variable menos el producto de las variables
más el cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.10
Dividir en forma directa x3 + 27y3 entre x + 3y.
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Tema 2 / Sesión 3
Al aplicar la regla tendremos:
222233
yxy3x)y()y3(x)x(y3xy27x
+−=+−=++
Observación
La suma del cubo de dos variables no puede ser
dividida entre la diferencia de las variables.
De esta forma el cociente yxyx 33
−+ es irreducible.
2.2. Diferencia del cubo de dos variables
En este caso, el binomio del denominador solo puede ser la
expresión x − y. Luego, al realizar la operación de división, según la
regla de la (sesión 1), para el cociente yxyx 33
−− tendremos:
x3 − y3 x − y
− x3 + x2y x2 + xy + y2
+ x2y − y3
− x2y + xy2
+ xy2 − y3
− xy2 + y3
0
Así,
2233
yxyxyxyx
++=−− (14)
Regla
La diferencia de los cubos de dos variables dividida por
la diferencia de dichas variables es igual al cuadrado
de la primera variable más el producto de las variables
más el cuadrado de la segunda variable.
Ejemplo 2.11
1. Dividir en forma directa 8x3 − y3 entre 2x − y.
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Tema 2 / Sesión 3
Al aplicar la regla tendremos:
222233
yxy2x4)y()y)(x2()x2(yx2yx8
++=++=−−
2. Hallar, por simple inspección, el cociente de 8x3 − 125y6 entre
2x − 5y2:
Aplicamos la regla:
=−
−2
63
y5x2y125x8 42
22222 y25xy10x4)y5()y5)(x2()x2( ++=++
Observación
La diferencia del cubo de dos variables no puede ser
dividida entre la suma de las variables.
De esta forma el cociente yxyx 33
+− es irreducible.
3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos
variables entre un binomio formado con dichas variables
Los casos estudiados del cuadrado o el cubo de la suma o
diferencia de dos variables pueden ser generalizados al caso de
potencias iguales. Para ello, tendremos que considerar las potencias
pares o impares e implementar una generalización de los dos casos
anteriores.
Luego, al hacer la división correspondiente, podríamos ver que:
1. Resta de potencias pares:
322344
yxyyxxyxyx
+++=−−
322344
yxyyxxyxyx
−+−=+−
2. Suma de potencias pares:
yxyx 44
−+ no es una división exacta. (y)
yxyx 44
++ no es una división exacta.
3. Restas de potencias impares:
43223455
yxyyxyxxyxyx
++++=−−
yxyx 55
+− no es una división exacta.
4. Suma de potencias impares
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Tema 2 / Sesión 3
yxyx 55
+− no es una división exacta.
43223455
yxyyxyxxyxyx
+−+−=++
Regla
1. La diferencia de potencias pares de dos variables es
siempre divisible por la suma o la diferencia de dichas
variables.
2. La diferencia de potencias impares de dos variables es
sólo divisible por la diferencia de dichas variables.
3. La suma de potencias pares de dos variables no es
divisible por la suma ni por la diferencia de dichas variables.
4. La suma de potencias impares de dos variables es solo
divisible por la suma de dichas variables.
Los diferentes casos que presenta la regla pueden
generalizarse, de manera de establecer una expresión
integral para la división, la cual será comprobada cuando
veamos el Teorema del Resto.
De esta forma:
1n2n3n223n2n1nnn
yxyyxyxyxxyxyx −−−−−− ++++++=
−−
L (15)
Aquí podemos ver que el cociente de la división es un polinomio con
las siguientes características:
1. Todos los términos del polinomio son positivos y su coeficiente es
la unidad.
2. Todos los términos, a excepción del primero y el último, son una
combinación del producto de las variables.
3. El primer término está formado por la primera variable con
potencia un grado menor que la potencia original.
4. El último término está formado por la segunda variable con
potencia un grado menor que la potencia original.
5. La potencia de la primera variable, en los demás términos, ira
decreciendo desde un grado menor a la potencia del primer
término hasta alcanzar la unidad.
6. La potencia de la segunda variable, en los demás términos, ira
creciendo desde la unidad hasta alcanzar un grado menor a la
potencia del último término.
7. La suma de las potencias de las variables, en los términos del
producto, será igual a un grado menor a la potencia original.
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Tema 2 / Sesión 3
Ejemplo 2.12
Hallar en forma directa el cociente de x7 + y7 entre x + y.
De acuerdo a la regla 4, podemos decir que la división es exacta.
Así, de acuerdo a la generalización, tendremos que el resultado del
cociente es:
1. El primero y último término estarán elevados a la potencia 6.
2. El producto de las variables se inicia con la potencia 5 para la
primera variable y la potencia unidad para la segunda.
3. Como vemos en el cuarto caso, los signos de los términos serán
alternos, y sus coeficientes unitarios.
Por lo cual:
654233245677
yxyyxyxyxyxxyxyx
+−+−+−=++
Esto nos permite establecer reglas.
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Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 3: Ejercicios Propuestos
1. Determinar el cociente sin realizar la división, es decir, utilizando
las reglas:
a. 2x4x 2
+−
b. x2a3
a9x42
42
+
−
c. 23
46
y6x9y36x81
−
−
d. ( )2xy2xy 22
−−+−
e. 2xx8 3
++
f. 3xy27yx 33
−+
g. 2
63
x4ax64a
−
−
h. 5ax
ax12515
315
−
−−
−
i. a2xa16x 44
+−
j. 1x
x12
6
+
−
k. 23
812
axax
+
−
l. 1x1x9
++
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Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 3
Autoevaluación 3
Pregunta Nº 2
Determine el resultado de 42
842
cab1cba1
−
−
a. 42cab1+b. 422 cba1−c. 2x1− d. 2x1+ Pregunta Nº 3
Determine el resultado del 2x8x3
−−
a. 4x2x2 +− b. 4x4x2 ++ c. 4x2x2 ++ d. 4x2x2 −+
Pregunta Nº 4
Indique el resultado de 1x1x
2
6
+
−
a. 1xx 24 ++ b. 2xx 24 +− c. 1xx 24 +− d. 1xx 24 −− Pregunta Nº 5
Calcule el resultado de yxyx 33
++
a. 22 yxyx ++
b. 22 yxyx +−
c. 22 yxyx −−
d. 222 yxyx +− Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.
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Tema 2 / Sesión 3
Tema 2: Operaciones Notables
Sesión 3
Autoevaluación 3
Pregunta Nº 1
Determine el resultado de 42
842
cab1cba1
−
−
a. 422 cba1−b. Correcto 42cab1+c. 2x1− d. 2x1+ Pregunta Nº 2
Determine el resultado del 2x8x3
−−
a. 4x2x2 +− b. 4x4x2 ++ c. 4x2x2 −+ d. 4x2x2 ++ Correcto
Pregunta Nº 3
Indique el resultado de 1x1x
2
6
+
−
a. 1xx 24 +− b. 1xx 24 −− Correcto c. 2xx 24 +− d. 1xx 24 ++ Pregunta Nº 4
Calcule el resultado de yxyx 33
++
a. 22 yxyx ++
b. Correcto 222 yxyx +−
c. 22 yxyx −−
d. 22 yxyx +−
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Tema 2 / Sesión 4
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Tema 2: Operaciones notables
.
Sesión 4
Objetivos específicos
* Aplicar las propiedades de los cocientes notables en la solución de problemas
Actividades
* Leer el contenido de la sesión 4 sobre “Potencias notables”
* Visitar las paginas recomendadas * Realizar ejercicios resueltos * Realizar la autoevaluación propuesta al final de la
sesión
Recursos
* Contenido de la sesión 4: “Potencias notables” * Paginas Web recomendadas * La autoevaluación de la sesión 4
Potencias notables
Se llama Potencia Notable a la operación de elevar una expresión a
una potencia determinada mediante una regla fija y cuyo resultado
puede ser presentado directamente, es decir, sin realizar la
operación. Estas operaciones están regidas por la Ley de los Signos
de la Potencia (ver sesión 1).
En la potenciación, hay dos casos que ya fueron estudiados en los
Productos Notables. Éstos son, el cuadrado y el cubo (ver sesión 2)
de un binomio, respectivamente.
1. Potencia de un monomio
Para la potenciación de un monomio estableceremos una regla
equivalente al proceso de potenciación anterior (ver sesión 1).
Regla
Se eleva el coeficiente a la potencia indicada y luego
se multiplica el exponente de cada una de las
variables por el exponente que indica la potencia.
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Tema 2 / Sesión 4
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Ejemplo 2.13
Desarrollar (2x3y) a la quinta (5) potencia.
Aplicamos la regla
(2x3y)5 = (2)5 (x3)5 (y)5 = 32 x15 y5
.
2. Cuadrado de un polinomio
En este caso consideraremos los polinomios que tienen tres o más
términos, por ejemplo (x + y + z). La forma más simple de estudiar este
modelo es convertir el polinomio en un binomio, por ejemplo
(x + y + z) = (x + y) + z. Luego, aplicamos simplemente la regla para el
cuadrado de un binomio (ver sesión 2).
Los resultados (16) y (17) de los ejemplos anteriores, nos permiten
establecer la regla siguiente:
Regla
El cuadrado de un polinomio, es igual a la suma del
cuadrado de cada uno de los términos del polinomio,
más la suma algebraica del doble de los productos
binarios de todos los términos del polinomio.
Por productos binarios, se entiende los productos por
parejas de todos los términos del polinomio. Además,
decimos que es la suma, porque el término resultante del
producto binario, debe tomar en cuenta el signo que
resulte de la multiplicación, de acuerdo con la Ley de los
Signos (ver sesión 1) (Como está reflejado en el ejemplo
anterior).
Ejemplo 2.14
1. Desarrollar (x + y + z) al cuadrado.
Podemos escribir (x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 y luego aplicamos la regla
del cuadrado de la suma de un binomio, (ver sesión 2) y tendremos:
(x + y + z)2 = [(x + y) + z]2 = (x + y)2 + 2(x + y)z + (z)2
= (x)2 + 2xy + (y)2 + 2xz + 2yz + (z)2
= x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz (16)
2. Desarrollar (x + y − z − 1) al cuadrado.
Si usamos el procedimiento anterior, y teniendo en cuenta que los
términos precedidos por el signo menos se pueden agrupar,
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podemos escribir:
.
(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2
Y aplicamos la regla del cuadrado de la diferencia de un binomio
(ver sesión 2), así:
(x + y − z − 1)2 = [(x + y) − z − 1]2 = [(x + y) − (z + 1)]2 (17)
= (x + y)2 − 2(x + y)(z + 1) + (z + 1)2
= x2 + 2xy + y2 − 2xz − 2x − 2yz − 2y + z2 + 2z + 1
= x2 + y2 + z2 + 1 + 2xy − 2xz − 2yz − 2x − 2y + 2z
3. Cubo de un polinomio
Es un caso similar al anterior, en donde haremos un procedimiento
parecido y aplicaremos la regla del cubo de un binomio (ver sesión
2).
Ejemplo 2.15
Desarrollar (x − y + z) al cubo.
Primero separamos en forma conveniente el polinomio, por ejemplo:
(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3
Y ahora aplicamos la regla de la suma y resta para el cubo de un
binomio
(x − y + z)3 = [(x − y) + z]3 = (x − y)3 + 3(x − y)2z + 3(x − y)z2 + z3
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3(x2 − 2xy + y2)z + 3xz2 − 3yz2 + z3
= x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 + 3x2z − 6xyz + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 + z3
= x3 − y3 + z3 − 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 − 3yz2 − 6xyz
(18)
El resultado (18) del ejemplo anterior nos permite establecer la regla
siguiente:
Regla
El cubo de un polinomio es igual a la suma del cubo de
cada uno de sus términos, más la suma del triple del
cuadrado de cada término por cada uno de los demás,
más la suma de seis veces las ternas (producto de tres
términos) que puedan formarse con todos los términos
del polinomio.
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Ejemplo 2.16
.
Desarrollar (x − y2 + 2z − 3) al cubo.
Ahora aplicando directamente la regla tendremos:
(x−y2 + 2z −3)3 =(x)3 + (−y2)3 + (2z)3 + (−3)3 + 3x2(−y2) + 3x2(2z)+3x2(−3)
+ 3(−y2)2(x) + 3(−y2)2(2z) + 3(−y2)2(−3)
+ 3(2z)2(x) + 3(2z)2(−y2) + 3(2z)2(−3)
+ 3(−3)2(x) + 3(−3)2(−y2) + 3(−3)2(2z)
+ 6(x)(−y2)(2z)+6(x)(−y2)(−3) + 6(x)(2z)(−3) + 6(−y2)(2z)(−3)
= x3 − y6 + 8z3 − 27 − 3x2y2 + 6x2z − 9x2 + 3y4x + 6y4z) − 9y4
+ 12z2x − 12z2y2 − 36z2 + 27x − 27y2 + 54z
− 12xy2z + 18xy2 − 36xz + 36y2z
4. Potencia n-ésima de un binomio.
La potencia n-ésima que consideraremos será un número natural
(entero positivo); además estudiaremos dos casos: binomio de la
suma (x + y) y de la resta (x - y).
Consideremos el binomio (x + y): Utilizando la regla (1) para el
cuadrado de un binomio (ver sesión 2) y la regla (7) del cubo de un
binomio (ver sesión 2), tendremos:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy2 + y3
Similarmente, podemos desarrollar la potencia cuarta y quinta del
binomio:
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 +10x2y3 + 4xy4 + y5
Si seguimos desarrollando las potencias, nos daremos cuenta de que
existe una relación entre los coeficientes de la potencia siguiente
con la potencia anterior.
De este modo, se establece un procedimiento que se conoce como
el Triángulo de Pascal, para determinar dichos coeficientes.
Este procedimiento, inicialmente llamado triángulo aritmético, fue
planteado por Pascal para resolver una discusión con Fermat sobre
un juego de azar [1].
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4.1. Triángulo de pascal
Lo describiremos como una matriz cuadrada, en donde las filas
serán las potencias de una de las variables (x) y las columnas las
potencias de la otra variable (y), (ver Figura 2.4), y las diagonales
(ver línea azul), representan los coeficientes de los términos del
desarrollo de cualquier potencia de un binomio.
.
0y y 2y 3y 4y 5y 6y
0x 1 1 1 1 1 1 1
1x 1 2 3 4 5 6
2x 1 3 6
10 15
3x 1 4 10 20
4x 1 5 15
5x 1 6
6x 1
Figura 2.4 Triángulo de pascal
¿Cómo formar este triángulo o matriz?
En la primera fila y columna se coloca 1. Luego, en cada una de las
otras posiciones, se coloca el resultado de la suma de los números
que están a la izquierda y arriba de la posición deseada. Por
ejemplo, en la matriz descrita en la Figura 2.4, el elemento (10),
resaltado con un círculo azul de la posición x2:y3 (fila 3 y columna 4),
se forma de la suma del elemento en la posición x2:y2 (6), más el
elemento en la posición x1:y3 (4), es decir, 4 + 6 = 10.
¿Cómo se interpreta el triángulo o matriz?
Los elementos de la matriz representan los coeficientes de los
términos del desarrollo de cualquier potencia de un binomio. Su
descripción estará dada por los elementos de la diagonal (como se
muestra en la línea punteada de la Figura 2.4.
Por ejemplo, si desarrollamos (x + y)3 la fórmula (9), (ver sesión 2),
tendremos:
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Al relacionar los coeficientes con los elementos de la diagonal
vemos que:
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Posición x3:y0 x2:y x:y2 x0:y3
Valor 1 3 3 1
.
De igual forma, podríamos decir que el elemento (10), remarcado
con el círculo azul, corresponde a la posición x2:y3 del desarrollo de
(x + y)5.
Ejemplo 2.17
Desarrollar (x + y)6 utilizando el Triángulo de Pascal.
La diagonal será la que comienza con la posición x6:y0, es decir, la
última diagonal del Triángulo de Pascal representado en la Figura
2.4.
De esta forma, podemos ver que los coeficientes para cada
posición están dados en la tabla 4.1.
Posición x6:y0 x5:y x4:y2 x3:y3 x2:y4 x:y5 x0:y6
Valor 1 6 15 20 15 6 1
Tabla 4.1 Coeficientes de cada posición
Así, al desarrollar el binomio tendremos:
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
4.2. Potencia n-ésima del binomio de la suma
Esta potencia es una generalización de los casos estudiados
anteriormente. Esta regla fue presentada mediante una ley por
Newton. Es conocida como Ley del Binomio de Newton. La ley se
cumple para cualquier exponente natural y se representa por medio
de la siguiente fórmula:
( ) n1nmmn22n1nnn bab1n
nba
mn
ba2n
ba1n
aba +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+ −−−− LL (19)
En donde:
( )!mn!m!n
mn
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ es la combinatoria de n en m, y n! se conoce
como el factorial de n.
Al desarrollar los términos de combinatoria, nos queda la siguiente
fórmula:
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( ) ( ) ( )( )LLL+
−−+
−++=+ −−− 33n22n1nnn ba
3.2.12n1nnba
2.11nnbnaaba
( ) n1n2n2 bnabba2.1
1nn++
−+ −− (20)
.
Ejemplo 2.18
Desarrollar (x + y)6 utilizando el Binomio de Newton y cotejar los
resultados con el ejemplo anterior.
Al aplicar la fórmula (20) tendremos:
( ) 65423324566 yxy6yx2.15.6yx
3.2.14.5.6yx
2.15.6yx6xyx ++++++=+
( ) 65423324566 yxy6yx15yx20yx15yx6xyx ++++++=+
De esta forma los coeficientes coinciden con los hallados en el
ejemplo anterior.
4.3. Potencia n-ésima del binomio de la diferencia
Cuando es la diferencia x - y, en realidad podemos considerar el
mismo caso anterior. Para ello escribimos:
(x − y) = [x + (−y)]
Y aplicamos la Ley del Binomio de Newton descrita en la sección
anterior.
( ) ( ) ( )( )LLL+
−−−
−+−=− −−− 33n22n1nnn ba
3.2.12n1nnba
2.11nnbnaaba
( ) ( ) ( ) ( ) nn1n1n2n22n b1nab1ba2.1
1nn1 −+−+−
−+ −−−− (21)
En este caso, los términos a potencia impar de la segunda variable
(−y) hacen que ese término sea negativo. Por lo tanto podemos
afirmar que los signos del desarrollo serán alternos, comenzando con
el signo positivo +. En general si la potencia n es par, el desarrollo
tendrá un número impar de términos, luego el último término será
positivo; y en el caso n impar habrá un número par de términos,
entonces el último término será negativo.
Ejemplo 2.19
Desarrollar (x − 2y)5 utilizando el Binomio de Newton.
(x − 2y)5 = x5 − 5x4(2y) + 10x3(2y)2 − 10x2(2y)3 + 5x(2y)4 − (2y)5
= x5 − 10x4y + 40x3y2 − 80x2y3 + 80xy4 − 32y5
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Así, por lo descrito anteriormente, se certifica que el último término
es negativo, ya que la potencia era impar.
Ejemplo 2.20
Desarrollar (x2 − y + 1)4 utilizando el Binomio de Newton.
Primero agrupamos los términos: (x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4
Ahora aplicamos la regla (21):
(x2 − y + 1)4 = [x2 − (y − 1)]4
= (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4
.
Vemos que el último término es positivo, ya que la potencia es par.
Luego, desarrollando cada uno de los términos, tendremos que:
(x2 − y + 1)4 = (x2)4 − 4(x2)3(y − 1) + 6(x2)2(y − 1)2 − 4x2(y − 1)3 + (y − 1)4
= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4(y2 − 2y + 1) − 4x2(y3 − 3y2 + 3y − 1)
+ y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1
= x8 − 4x6y + 4x6 + 6x4y2 − 12yx4 + 6x4 − 4x2y3 + 12x2y2 − 12x2y
+ 4x2 + y4 − 4y3 + 6y2 − 4y + 1
65 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
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Tema 2: Operaciones Notables 3.
.
Sesión 4: Ejercicios Resueltos
Eje cicios: Potencia de un r monomio
Procedimiento 1. pre es poSi el monomio es positivo la potencia sim sitiva. Si el
monomio es negativo, la potencia será positiva si el exponente es par, y negativa si el exponente es impar
2. Se eleva el coeficiente al exponente de la potencia 3. l exponente de cada letra se multiplica por el exponente de la E
potencia
Desarrollar:
1. 22)a4(
Solución
42x2222 a16a4)a4( ==
2. 3)a5(−
Solución
33x133 a125a5)a5( −==−
3)xy3( Solución
333333 yx27yx3)xy3( ==
4. 22 )ba6(−
Solución
2422x2222 ba36ba6)ba6( {p==− uesto que el exponente es
el signo de la potencia es positivo}.
par
5. 332 )yx2(− Solución
963x32x33332 yx8yx2)yx2( {pues−=−=− to que el exponente es i signo de lmpar el a potencia es negativo}.
6. 3) 432 cba4(
Solución
12964x33x32x333432 cba64cba4)cba4( ==
7. 254 )yx6(−
Solución
1085x24x22254 yx36yx6)yx6( ==−
66 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
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Tema 2: Operaciones notables
S s
1. ilizando las reglas de esta sesión las siguientes
operaciones:
e ión 4: Ejercicios propuestos
Desarrollar ut
a. 2)1yzx( −+−
b. 32 )2z3yx( −+−
c. ( )52x +
d. 6
2x
31
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
e. ( )721 xa2 +−
2
yxx2
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
f.
.
67 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables
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.
Unidad 2: Operaciones Notables
Sesión 4
Autoevaluación 4
Pregunta Nº 1 Desarrollar (x+y)4 utilizando el triángulo de Pascal a. 423243 yxy4yx6yx4x ++++
b. 432234 yxy4yx6yx4x ++++
c. 423243 yxy4yx6yx4x −−−− d. 34 6yx4x −− 4322 yxy4yx −− Pregunta Nº 2 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton
a. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(
015)y3()x2(
1515)x2(
015
−++−+−+
b. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(
215)y3()x2(
115)x2(
015
−++−+−+
c. 15141312 )y3(1515...)y3()x2(
015)y3()x2(
1515)x2(
015
−++−−−+
d. 15141312
1515)x2(
015
+ )y3(1515...)y3()x2(
015)y3()x2( −++−+−
Pregunta Nº 3 Desarrollar (2a+3b) al cubo a. 3223 b8ab36ba54a27 +++
b. 3223 b27ab54ba36a8 +++ c. 33 a54a27 + 33 b8ab36b ++ d. − 3333 b27ab54ba36a8 ++ Pregunt Nº 4 a De 22)a4( sarrol rla a. 2a16b. 4a16 c. 4a12 d. 2a12 Pregunta Nº 5 Desarrollar uadrado )1x2x( 2 +− al c a. 1x4x6x4x 234 ++−−
1x4x6x4x 234 +−−+ b. c. 1x4x6x4x 234 +++− d. 1x4x6x4x 234 +−+−
68 Guía didáctica: Propedéutico de Ingeniería Asignatura: Álgebra Tema 2: Operaciones notables
Tema 2 / Sesión 4
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Universidad de Los Andes. Vicerrectorado Académico. Coordinación General de Estudios Interactivos a Distancia
Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han
.
sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.
Unidad 2: Operaciones notables
Sesión 4
Respuestas de la Autoevaluación 4
Pregunta Nº 1 Desarrollar (x+y)4 utilizando el tri e Pángulo d ascal a. 423243 yxy4yx6yx4x ++++ b. 423243 yxy4yx6yx4x −−−− c. 34 6yx4x ++ 4322 yxy4yx ++ Correcto d. 432234 yxy4yx6yx4x −−−− Pregunta Nº 2 Desarrollar (2x-3y) 15 utilizando el Binomio de Newton
a. 15131415 )y3(1515...)y3()x2(
015)y3()x2(
1515)x2(
015
−++−+−+
b. 15141312 )y3(1515...)y3()x2(
015)y3()x2(
1515)x2(
015
−++−−−+
c. 15131415
115)x2(
015
+ )y3(1515...)y3()x2(
215)y3()x2( −++−+− Correcto
d. 15141312 )y3()x2(15)x2(15+−+ )y3(
1515...)y3()x
015
150−++− 2(
Pregunta Nº 3 Desarrollar (2a+3b) al cubo
3223 b8ab36ba54a27 +++ a. b. 33 a54a27 + 33 b8ab36b ++ c. − 3333 b27ab54ba36a8 ++ d. 3 36a8 + 322 b27ab54ba ++ Correcto Pregunta Nº 4 De 22 )4( a sarrol rla
2a16 a. b. 4a16 Correcto c. 4a12 d. 2a12 Pregunta Nº 5 Desarrollar uadrado )12( 2 +− xx al c
1x4x6x4x 234 ++−− a.
b. Correcto 1x4x6x4x 234 +−+− 1x4x6x4x 234 +−−+ c.
d. 1x4x6x4x 234 +++−
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