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8/19/2019 Guia 1 conversión

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Guıa 1

Topicos de Matematica Contemporanea

Semestre 201610

Profesor:   Carlos Gallegos Lastra.

Nombre alumn@:

1) Demuestre que si para cada conjunto A, hay un conjunto  B   tal que  A ⊂  B . Ası, no existe

un conjunto maximo respecto de la inclusion.

2) Demuestre que no existe un conjunto del cual sean miembros precisamente todos los conjun-

tos. Por consiguiente no existe un conjunto maximal respecto de la pertenencia.

3) Sea  X  un conjunto no vacıo. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los miembros de  X 

denotado por X   = X ∈X  X .

4) Sean  X   e   Y   dos conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos conjuntos que pertenecen a   X   e   Y . Obs: A dicho conjunto se le

denomina interseccion (binaria) de  X   e  Y  denotado por  X  ∩ Y .

5) Sean X , Y   y Z  tres conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto del cual son miembros

exactamente aquellos elementos que pertenecen a todos y cada uno de los conjuntos dados.

A tal conjunto se le denota por  X  ∩ Y  ∩ Z .

6) Sean  X   e   Y   dos conjuntos. Demuestre que existe un unico conjunto cuyos miembros son

precisamente aquellos elementos que pertenecen a  X  y no pertenecen a  Y . Obs: A dichoconjunto se le denomina   la diferencia   o   la diferencia relativa de   Y   en   X   y se denota por

X  − Y   o por  X  \ Y .

Se denomina clase a una coleccion de objetos que satisfacen cierta propiedad. En general, dada

una propiedad ϕ(x), {x :  ϕ(x)} es una clase. De no existir un conjunto que contenga todos los

objetos que satisfacen ϕ(x), se dice que la clase es propia. Por ejemplo, la clase R =  {x :  x /∈ x}

(de la paradoja de Russell)y la clase universal  V   = {x :  x  =  x} son clases propias, mientras que

la clase vacıa  {x :  x  = x}, en virtud del axioma del conjunto vacıo, es en realidad un conjunto.

7) Si en los ejercicios anteriores en vez de considerar conjuntos se consideran clases, ¿se cumplen

los resultados descritos?.

8) Probar que para cada conjunto  A, existe algun x  tal que  x /∈ A.

9) Demuestre que ∅ =  ∅,

V   = V,

∅ =  V,

V   = ∅.

10) Sean  A  y  B   conjuntos. Probar que:

a)   B ∈ A  ⇒

A ⊆  B  ⊆

A.

b)   A ⊆  B  ⇒

A ⊆

B.

c) (∀x(x ∈  A  ⇒  x  ⊆  B) ⇒

A ⊆  B

Universidad San Sebastian   1   PEMM 1031