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GEOTECNIA I Año Académico 2017-2018
Dr. Lorenzo BorselliInstituto de Geología
Fac. De Ingeniería, UASLP
lborselli@gmail.comwww.lorenzo-borselli.eu
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Parte III
Propiedades mecánicas de los geomateriales
Objetivo: Stress - strain, stress total, presión neutral ystress eficaz definición de estrés y de deformación, módulode elasticidad y deformación, tensiones principales.Variables características y sus correlaciones. Circulo deMohr y stress en cualquier plano. Ámbito de aplicación:todas las áreas de la geotecnia
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A) Stress, Strain
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Se vea también…http://faculty.wwu.edu/vawter/PhysicsNet/Topics/Pressure/HydroStatic.html
Presión hidrostáticaEn un punto, adentro en un masa liquida
(kPa) 81.9γσ ≡σ zzwhv
!La presión es igual en todas las direcciones!zZ (m)
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Los Componentes de tensión o presión se pueden ilustrar gráficamente, respecto a los ejes de coordenadas (x, y, z), cuyo origen es O.Se usa comúnmente una forma vectorial (dirección y intensidad).
En un cuerpo real Cualquier material solidoLos esfuerzos pueden ser diferentes Dependiendo da la orientación en el espacio
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En geotecnia se usa también el Elipsoide triaxial.
En un elipsoide triaxial, los tres ejes principales son diferentes.
es la tensión vertical, mientras que y son los esfuerzos horizontales. (en esto ejemplo no se consideran los esfuerzo cortantes.. Se ve mas adelante..).
En un elipsoide triaxial genérico el plano longitudinal y ecuatorial son siempre elipses
21σ≠σ≠σ hhv
vσ
1σh 2σh
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Simplificación en dos direcciones
En un elipsoide biaxial sólo hay dos ejes principales. El eje vertical (v) y el eje horizontal (h). En otras palabras, el plano ecuatorial del elipsoide es un círculo.
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En rocas y suelos a veces la presión vertical puede ser menor de la horizontal…
v
h2
h1
21σσσ hhv >> 21
σσσ hhv ><
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(kPa) γσ zv =
(kPa) γσ zkoh =
stress (o presión) geostatico
(presión entro los cuerpos rocosos y suelos )
Stress (o presión) Vertical
Stress (o presión) Horizontal
K0 = Lateral stress coefficient en condición estática. Este varia entre 0.3 y 2.0 .. En media es 0.3-0.5
)(kN/m unitario peso γ 3
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Stress geostatico verticala grandes profundidades
http://bc.outcrop.org/images/rocks/metamorphic/lutge8e/FG07_03A.JPG
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Simbulo ellipsoide de los stress
Distribución de stress Cuando la superficie no es horizontalLa dirección de estrés mayor no siempre Es vertical…
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(kPa) )](-[γγγ γσ 2132211∑ ddzdddi
iiv +++==
A cualquier profundidad z, en suelo o rocas estratificadas la
presión total vertical es la suma de la contribución de carga de todos lo estratos arriba el punto considerado
Z(m)
(kPa)σv
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
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http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
(kPa) )γγσ wsatwunsatv (z-zz +=
Presión total vertical en un suelo con porción satura de agua abajo de porción no satura .
Z(m)
(kPa)σv
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=qnJwHOhNIVk
γγ satunsat < γ
γ
sat
unsat Peso de unitario porcion insatura
Peso de unitario porcion satura
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Concepto de stress efectivo o eficaz
En un medio poroso es equivalente a la presión Promedia de contacto entre Partícula y partícula.Si hay una presión de poro (hidrostática ) la presión de contacto disminuye.Efecto del principio de Archimedes ..
W =mg
W’ =W-Ww = mg-mw g
Principio de Archimedes
W =mg
Ww =mwg
Cuerpo solido sumergido en un liquido
Spinta hidrostatica
'σv'σv
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http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/stresses/stresses.htm
Presión total vertical en un suelo con falda de agua abajo de una porción no
satura Y su relación con la presión hidrostática de poros u en el mismo punto.
Concepto de Stress efectivo:
wwvv hu γσ'σ =<
hw
Z(m)
(kPa) ', vv σ, uσ
vσ'σv
u
Estressefectivo
PresionNeutra
Presiontotal
0σ'σ == uvv
uvv -σ'σ =Zona satura
Zona no satura
'σv
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-3
-8
-10
-14
-5.5
16γ,19γ == unsatsat
5.15γ,5.18γ == unsatsat
18γ,21γ == unsatsat
5.17γ,5.20γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ zzuz vv
Problema da resolver 1
)/( 81.9γ 3mkNw =
Perfil Geotecnicode 4
estratosdiferentes
Recordando que :
1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 20.5 82 257
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 1 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base 2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales 3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio1 - parte III.odsEn el material didáctico adicional
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ejercicio 1 Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z (
m)
-3
-8
-10
-14
-5.5
16γ,19γ == unsatsat
5.15γ,5.18γ == unsatsat
18γ,21γ == unsatsat
5.17γ,5.20γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
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-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10.5 49.05 185.25 136.2
-11 53.955 195.5 141.545
-11.5 58.86 205.75 146.89
-12 63.765 216 152.235
-12.5 68.67 226.25 157.58
-13 73.575 236.5 162.925
-13.5 78.48 246.75 168.27
-14 83.385 257 173.615
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 1columnas
de calculo
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-3
-8
-10
-14
-5.5
No saturo !!
16γ,19γ == unsatsat
5.15γ,5.18γ == unsatsat
18γ,21γ == unsatsat
5.17γ,5.20γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
Calcular perfil completo de: )('σ ),( ),(σ zzuz vv
Problema da resolver 2 (casi como ejercicio 1 pero el estrato 4 es no saturo (aquicludoimpermeable) )
)/( 81.9γ 3mkNw =
Perfil Geotecnicode 4
estratosdiferentes
Recordando que :
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
1 -3 3 19 16
2 -8 5 18.5 15.5
3 -10 2 21 18
4 -14 4 20.5 17.5
-5.5
1 -3 3 16 48 48
2A -5.5 2.5 15.5 38.75 86.75
2B -8 2.5 18.5 46.25 133
3 -10 2 21 42 175
4 -14 4 17.5 70 245
datos perfil geotecnico
strato zbase (m) espesor (m) gamma(sat) kn/m3 gamma(unsat) kn/m3
porcion satura WT (m)
stratos reales y virtuales zbase (m) espesor (m) gamma kN/m3 sigma tot parcial (kpa) Sigma cumulado (kPa)
Desarrollo ejercicio 2 en un hoja de calculo (excel/libre office)1) Estructuraras datos de base 2) Construcción modelo a estratos reales y virtuales 3) Calculo tensiones totales en forma simplificada
Se vea file: ejercicio2 - parte III.odsEn el material didáctico adicional
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ejercicio 2: Grafico final
0 50 100 150 200 250 300
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Stress vertical
(total, neutro, eficaz)
u
Sigma tot
Sigma eff
vertical stress (kPa)
z (
m)
Insaturo !!
16γ,19γ == unsatsat
5.15γ,5.18γ == unsatsat
18γ,21γ == unsatsat
5.17γ,20γ == unsatsat
[1]
[2]
[3]
[4]
Z(m)
(kN/m3)
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-0 -0 -0 0
-0.5 0 8 8
-1 0 16 16
-1.5 0 24 24
-2 0 32 32
-2.5 0 40 40
-3 0 48 48
-3.5 0 55.75 55.75
-4 0 63.5 63.5
-4.5 0 71.25 71.25
-5 0 79 79
-5.5 0 86.75 86.75
-6 4.905 96 91.095
-6.5 9.81 105.25 95.44
-7 14.715 114.5 99.785
-7.5 19.62 123.75 104.13
-8 24.525 133 108.475
-8.5 29.43 143.5 114.07
-9 34.335 154 119.665
-9.5 39.24 164.5 125.26
-10 44.145 175 130.855
-10 0 175 175
-10.5 0 183.75 183.75
-11 0 192.5 192.5
-11.5 0 201.25 201.25
-12 0 210 210
-12.5 0 218.75 218.75
-13 0 227.5 227.5
-13.5 0 236.25 236.25
-14 0 245 245
Z (m) u (kPa) Sigma tot (kPa) Sigma eff (kPa)
ejercicio 2 columnas de calculo
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=ySUr60U6jiM&feature=related
Sugerencias:
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios: • Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 • Das (2007) capitulo 6 secciones 6.1 y ejercicio 6.1
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
B) Stress y deformación
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Stress en elemento tri-dimensional (3D) en solidos
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
En condición de equilibrioLas parejas de stress tangenciales deben ser equivalentes… (pero con signo cambiado )
Stress en elemento bi-dimensional (2D)
Stress en elemento tri-dimensional (3D)
3D 2D
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Definiciones de Deformaciones normal y de corte (normal and shear strain)
Deformaciones normal (Linear strain): (adimensional)
Deformacion de corte (Shear strain) : (en radianes )γ
ε
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Shear moduluso modulo de deformaciónpor esfuerzo horizontal
Elastic moduluso modulo de deformacióno modulo de Young’s
http://environment.uwe.ac.uk/geocal/SoilMech/basic/stiffness.htm
Definición de modulo de elasticidad y de deformación tangencial
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Los dominios de stress vs. Strain• Region elastica• Region plastica• Roptura
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
material audiovisual: http://www.youtube.com/watch?v=gsSYq8x6oyU&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=NILdk-fBPxA&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=1tOkD1ZtSWw&feature=BFa&list=PLEFC5B3FC6D0EF866&lf=results_video
El comportamiento de materiales en términos de stress y strain se puede poner en forma grafica…
Elastic moduluso modulo de deformacióno modulo de Young’s
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Definición de Poisson’s ratio
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Incremento modulo de elasticidadDebido a un incremento de la pendiente deLa porción inicial
Caso ideal de un concreto
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Modulo elástico y coeficiente de Poisson’s de varios tipos de suelos
Nota: 1x103 kN/m2=1 MPa
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Modulo elástico estatico y coeficiente de Poisson’s por varios tipos de rocas ..
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios: • Withlow (1995) – capitulo 6- secciones 6.1 ,6.2,6.3
C) Distribución de tensiones en el terreno bajo de áreas cargadas
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Tensión debida a una carga puntual en un semi-espacio Elástico.(teoria de BUSSINESQ)
P =carga puntual (dimensión de una presión)Z,r,L: parámetros geométricos para posicionar el punto, o elemento, adonde se necesita calcular la tensión adicional (delta sigma) inducida da la carga P.
Nota: en este caso se usa un sistema de coordenadas coordinada cartesianas XYZ
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
En el caso de áreas cargadas uniformemente se necesita una integración de la solución de Bussinesq (integral de superficie de la solución puntual)
Ejemplo de solución por una área rectangular:
q = presión uniformeL,B= lados del rectángulo
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Solución de Newmark(por áreas rectangular cargada uniformemente)
Incremento de tensión vertical
Factores de escala (adimensionales)
Coeficiente de influencia que depende dafactores geométricos
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Solución de Newmark(carta de Fadum, 1948)
Solución aproximada por Esquina de un área cargadaUniformemente carta de Fadum.Nota: esto coeficiente incluye ya el divisor 4 p
Dz=q x I (Fadum)
I (Fadum) I (Newmark) /4 p
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Solución de Newmark versión mas completa y modernaSolución aproximada por Esquina de un área cargada
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Dz=q x Iz
Solucion Área circular cargada uniformemente
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Bulbo de presión bajo superficies uniformemente cargadas
Area Rectangular con lado L infinito
(area circular )
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Principio de superposición (Ejemplo aplicado a área rectangular cargada uniformemente)
[1][2]
[3][4]
z
4321ΔσΔσΔσΔσΔσ zzzzz
L1 L2
L2=L3L1=L4
B3
B3=B4
B1=B2B1
En cualquier punto interno se suman los efectos a la esquina de 4 rectángulos cargados uniformemente
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Principio de superposición:Presión inducida bajo de Terrapleno con sección trapecio o triangular
q1
=Δσ
nIqIqIq nz σσ2σ1 ....Δσ
21+++=
q2
q3
q4
q5
Z
iIσCada depende de la geometría de carga de cada sub-elemento
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Principio de superposiciónOtro ejemplo : efecto de carga concentrada a lado de una excavación con barrera de contención
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Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974) para evaluar la presión adicional al centro de un área con una carga distribuida:
B
Zf
Zapatas circular
Zf
B
L
Zapatas rectangular
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Métodos aproximados llamado 1:2 , para evaluar la presión adicional al centro de un área con una carga distribuida :
Los métodos aproximado dan una solución con un error Promedio de 5% respecto a la solucione de Bussinesq-Newmark
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Esercicio 3 - Ejemplo de aplicación: comparación de métodos
Stress vertical inducido da una área uniforme cargada uniformemente de q=200 kPa.El área tiene lados B=4 m y L=7 m. calcular el stress adicional a la profundidad de 5 m debajo el centro del área cargada.
Z=5 m
B=4m
L=7m Comparar 3 métodos 1) Método de newmark-fadum2) Método de poulos y davis (1974)3) Método 1:2
q
q
q
q
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Método de newmark-fadum
1)Se subdivide el área cargada en 4 rectángulos iguales de lado B=2m y L=3.5m
2)Se calculan los factores m y n relativos a la profundidad Z=5m y con B=2m , L=3.5m
Z=5 m
L=3.5 m
B=2m
m=L/z=3.5/5=0.7
n= B/z=2/5=0.4
Con los valores (m,n)= (0.7,0.4)
Se deriva el valore I=0.09 en la carta de
Fadum.Ósea a 5 m tenemos en profundidad un 9% adicional a la presión normal, debido a la carga uniforme q en superficie.Aplicando el principio de superposición al centro del área cargada se tiene que considerar el acción combinada de los 4 rectángulos chiquito y iguales. Entonces el factor de influencia final
es Ifadum =4 X 0.09=0.36 (nota que esto
coeficiente incluye ya el divisor 4 p)
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q x I
200x0.36=72 (kPa )
q
q
q
q
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Uso de carta de Fadum, (1948)
Dz=q x I (Fadum)
0.7
m=0.7 n=0.4
I (Fadum)0.09
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Métodos aproximados (Poulos y Davis 1974)
Zf
B
L
Zapatas rectangular Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q X I200 x 0.326 65 kpa
Con las constantes a=2.1212b=1.7334
Con el metodo 1:2
Se obtiene al fin a z=5 m
Dz=q X I200 x 0.283 56.56 kpa
q
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios: • Das (2007) capitulo 6 secciones 6.6,6.11 y 6.12 -
ejercicios 6.7 y 6.20
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.5 Last update 14-09-2015
D) stress en cualquier plano
z
y
y’
z’
'y
'yz
'z
'zy'yz
'zy
'z
'y
90
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Distribución de estresbajo una cimentación..
Los Ejes de estres mayor y menor son dibujados
Concepto de stress
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Concepto de stress-1
stress normalal plano PQ
Fuerza normalal plano PR
Fuerza tangencialal plano PR
Ensayo cilíndrico con compresión uniaxial
Stress UNIAXIAL
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Concepto de stress-2 stress tangencialy normal a plano
orientado decualquier Angulotheta
Variación de sigmaN y Tau en un ensayo cilíndrico por Cualquier ángulo theta
Cual es el ángulo con max Tau y maxSigmaN?
Stress UNIAXIAL
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Concepto de stress-3 Stress BIAXIALStress biaxial en una plataforma Rectangular y stress en su elemento
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Concepto de stress-4 Stress BIAXIAL
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-5 Stress BIAXIAL generalizado
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Concepto de stress-6 Stress BIAXIAL generalizadoConvenciones en geo-mecanica !
Nota importante:In geotecnia la convención de los signos se usa una manera diferente que en otras área de mecánica de los materiales (donde los signos son invertidos).
1) tensiones normales compresivas son positivos Y tensiones normales de tracción son negativo.
2) Orientación shear stress (Tau) sigue la la regula siguiente:
Orientacion Anti-clockwise
-+Orientacion clockwise
En condicionde equilibiro
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Concepto de stress-7 Stress BIAXIAL generalizado
stress tangencial y normal a plano orientado de cualquier Angulo theta
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Concepto de stress-8 Stress BIAXIAL generalizado
shear stress máximo en un plano orientado según este ángulo:
0 si 45
0 si 2
arctan2
1
max
max
τ
τ
yz
yz
yz
zy
θ
θ
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agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3k0=0.6
k0=0.6
Exercicio 4 Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto A, enun plano a -35° como en el dibujo.
A
En el punto A …sigmaV = 9.81*3+19*2+21*2.5=29.4+38+52.5=119.9 (kPa) (presion vertical)
sigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 (kPa) (presion horizontal)
Con tauZY=0 (kPa) SigmaN ?
Tau?
[1]
[2]
[w]
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Esfuerzo normal y e tangencial A un plano orientado con sigma Orientada de un Angulo teta respecto A la horizontal
Nuestro caso:
SigmaZ=SigmaVSigmaY=SigmaH
-35°
35°
55°
Sigma N
tau
Sigma 1=sigmaV
Sigma 3=sigmaH
el plano hace -35 grados respecto a el eje horizontal y sigma NEs orientada a 55° al mismo eje horizontal
Con tauZY=0 (kPa)
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329 ] = 104.1 kPa
= [-24* -0.9397 ] = 22.6 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 104.1 kPa
Tau 22.6 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
Con tauZY=0 (kPa)
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Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios: • Parry (2002)– capitulo 1- secciones 1.1, 1.2 y 1.3
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
E) Círculos de Mohr
2
21 2min
1max
p2
( )zyz ,
max
( )zyy ,
2( )
,n
Circulo de mohrStress principales, normales y tangencialesy maximos
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2212
yz
medio
2
2
2max zy
yzr
Circulo de MohrEjemplo en condiciones de stress plano. Parámetros
circulo de MohrEl circulo de Mohr permiten de representare y calcular gráficamente todas la condiciones de stress en un punto y en cualquier plano
0n
0
Centro y rayo del circulo de stress plano
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Zoom del anterior…..
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2
2
2,122
zy
yzyz
2arctan
2
1
yz
zy
pθ
Determinación de orientación(ángulo ThetaP) de los stress principales
(máximo y mínimo )
Cuando xy es diverso da 0 los stresses principales non son perfectamente verticales y horizontales. En esto caso los estressindicados como 1 y 2
tienen una orientación thetap con la vertical.
z
Y
y’
z’
1
1
2
p
p
2
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2
21 2min
1max
p2
( )zyz ,
max
( )zyy ,
2( )
,n
Circulo de mohrStress principales, normales y tangenciales y maximos
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
45
0 si 45
0 si 2
arctan2
1
max
max
max
τ
τ
τ
p
xy
zy
zy
yz
θθ
zθ
θ
Angulo Theta donde hay el shearstress máximo y su relación con ThetaP
22212
2
max
zy
yz
Shear stress maximo y su orientacion , cuando xy es diverso da 0
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Circulo de Mohr: determinación de los stress principal y menor y estress de corte maximo
http://www.edumine.com/xtoolkit/xmlicon/pstress.htm
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agua
-35°
2m
3m
2.5m
g =19 kN/m3
g=21 kN/m3k=0.6
k=0.6
Exercicio 4 Calcular los stress sigmaV, sigmaH, sigmaN et tau en el punto enun plano a -35° como en el dibujo. Pero con TauZY=30 kPa
A
En el punto A …sigmaV = 29.4+38+52.5=119.9 kPasigmaH = 0.6 * 119.9=71.9 kPa
tauZY=30 kPaSigmaN ?
Tau?
Recuerdo el ejemplo de el ejercicio 4…
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= [119.9*0.671 + 71.9*0.329+(30*-0.93) ] = 76.2 kPa
= [ -24* -0.9397 + 30*0.34] = 32.8 kPa
-35°
35°
55°
Sigma N = 76.2 kPa
Tau 32.8 kPa
sigmaV=119.9
sigmaH =71.9
TauZY =30
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2sin2cos22
' zy
yzyz
z
Determinación de estrés en un cualquier plano rotado de un ángulo teta
z
y
y’
z’
'y
'yz
'z
'zy'yz
'zy
'z
'y
90
2sin2cos22
' zy
yzyz
y
2cos2sin2
' zy
yz
zy
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
Circulo de Mohr para el stress eficaz : el stress eficaz se calcula solamente para los stress principales y los stress normales pero no para el shear stress
'
2'
'
2
11
u
u
2'2
Entonces la corrección debida a la presión neutra hace que semueva a la izquierda todo el circulo
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
http://www.youtube.com/watch?v=RlDkYQqSJxs&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=DuZllNDex6s&NR=1http://www.youtube.com/watch?v=YcNQS1ZltsM&feature=relmfuhttp://www.youtube.com/watch?v=v8wK4xezOXU&feature=relmfuhttp://www.youtube.com/watch?v=WegNYmngBaE&feature=relmfu
Material audiovisual acerca la distribución de stress:
Sugerencia de Lecturas adicionales y ejercicios: • Parry (2002) – capitulo 1 – secciones 1.4 y 1.5
Geotecnia I (2017/2018) – Docente: Dr. Lorenzo BorselliVersión 1.6 Last update 08-09-2017
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