geometria cociap 3ro
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SEGMENTOS Introducción
Antiguamente la distribución de los terrenos o la tarea de dar la forma a los bloques de piedra para la construcción de templos o pirámides exigieron a los egipcios el trazado de líneas rectas, ángulos; y en consecuencia tuvieron la necesidad de trabajar con sus respectivas medidas.
Actualmente con las medidas de las líneas y de
los ángulos se sigue trabajando como por ejemplo: los topógrafos al realizar levantamientos topográficos utilizan un instrumento para medir ángulos (teodolito); así mismo realizan el trazado de líneas y trabajan con su medida. GEOMETRÍA
Es una rama de las matemáticas que tiene por objetivo estudias a las figuras geométricas propiedades y características independientemente de su tamaño.
ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRÍA
Estos elementos no tienen definición, de ellos solamente tenemos una idea.
Punto Recta Plano
Notación Punto A
Notación Recta L
Notación Plano H
Rayo
Porción de recta que se determina al ubicar un punto en ella.
Notación: Rayo OA:
SEGMENTO
Es una porción de recta limitado por dos puntos denominados extremos.
A y B: extremos Notación Segmentos de extremos A y B: Longitud de : AB (AB = b) PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Es el punto que divide al segmento en dos segmentos de igual longitud.
Si: AM = MB Entonces: M: punto medio del PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En una calle recta de 870m de longitud están ubicados 30 árboles separados a igual distancia. Calcular la distancia de separación.
2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C, y D, de modo que
52+= xAB , 3
5−= XBC ,
57=CD ,
AD = 45cm. Calcular el valor de “x”.
3. En una recta están ubicados los puntos A, B, C, D, y E, de modo que BC = 1m, CD = 2m, DE = 3m, AD = a. Calcular AE – AC
4. Dados los puntos colineales A, B, C, y D de manera que: AB = 3x + a, BC = 7m, CD = 3x – a, AD = 19m. Calcular el valor de “x”
5. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E. Tal que: AB= x–2, BC = x–5, CD = y–3 (DE = y–2). AC = CE. Calcular x – y.
6. En una recta están ubicados los puntos A, B, C, D, E. Si: CD = 2(AB) y DE = 2(BC) y AE = 27 cm. Calcular AC
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F se tiene: AB = 1m, BC = 2m, CD = 3m, DE = EF y BD = DE. Calcular AF.
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D, E, en forma consecutiva, tal que: BC = 3m, CD = 5m, AB – DE = 1cm. Calcular AC – DE.
9. Según el gráfico CD=3(AB)=12 y BM = MC = 5. Calcular. AB+BC+CD.
10. Del gráfico Calcular AC + BD
11. Según el gráfico AD = 67. Calcular x
12. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos: A, B, C, y D tal que: AD = 10m, AC = 6m y BD = 7m. Calcular BC
13. Se tienen los puntos colineales A, B, C, y D. Si: 4BD + 3CD = 18BC, y 3AC – 2AB = 20, hallar AD
14. Si “0” es el punto medio del y M es punto cualquiera de hallar el valor de “k”, si:
OMMBAMK −=
15. Sobre una recta se disponen de los puntos
consecutivos A, B, C, y D, donde AD = 2AB. Calcular AD si BD2 + 9 =6 BD.
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En una avenida recta de 702m de longitud están ubicados 40 postes separados a igual distancia. Calcular la distancia de separación A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20
2. Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que
512 += xAB , 5
4−= xBC ,
54=CD ,
AD=32, Hallar “x”. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20
3. En una recta están ubicados los puntos A, B, C, D, y E de modo que BC = 4m, CD = 6m, DE = 3m, AD = k, Calcular AE – AC A) k+1 B) 9m C) k–1 D) k+3 E) k–2
4. Dados los puntos colineales A, B, C y D de
manera que: AB=5x+k, BC=10m, CD=5x–k, AD =
40, hallar el valor de “x”
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E tal que
AB = x–4, BC = x–7, CD = y–6, DE = y–3, AC = CE,
calcular x–y
A) 4 B) 3 C) 2
D) 0 E) 1
6. En una recta están ubicados los puntos A, B, C,
D y E. SI: CD = 3(AB) y DE = 3(BC) y
AE = 32, hallar AC:
A) 10 B) 8 C) 6
D) 5 E) 4
7. Con los puntos colineales A, B, C, D, E y F, se tiene. AB = 2, BC = 4, CD = 6, DE = EF y BD = DE. Calcular AF A) 12 B) 22 C) 32 D) 42 E) 52
8. En una recta se ubican los puntos A, B, C, D y E en forma consecutiva, tal que: BC = 4, CD = 5, AB – DE = 2, Calcular AC – DE A) 2 B) 2,5 C) 3 D) 3,5 E) 4
9. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, y D tal que: AD = 20m, AC = 16m y BD = 17m. calcular BC: A) 11m B) 12m C) 13m D) 14m E) 15m
10. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D. Si 5BD + 4CD = 32BC y 4AC – 3AB = 42. Hallar AD A) 39 B) 41 C) 42 D) 54 E) 86
¿ Sabías que…..
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DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un
origen común. ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B”
ç
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
divide al ∢A0B en dos ángulos.
P0A∧
y B0P∧
que son congruentes por tener la misma medida “α” luego.
es bisectriz de ∢A0B CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA Ángulo Nulo
Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.
. m∢A0B = 0º . Ángulo Agudo
Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.
. 0º < m∢A0B < 90º . Ángulo Recto
Es el ángulo cuya medida es igual a 90º.
. m∢A0B = 90º . Ángulo Obtuso
Es el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que 90º.
. 90 < m∢A0B < 180º . Ángulo Llano
Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)
. m∢A0B = 180º . Ángulo de una Vuelta
Es el ángulo cuya medida es 360º
. m∢A0B = 360º .
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓN Ángulo Consecutivo
Son los que tienen lados en común y el mismo vértice
Ángulo Opuestos por el Vértice
Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son opuestos (tienen la misma medida)
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDAS Ángulo Complementario
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.
. α + β = 90º . Ángulo Suplementario
Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º
. α + β = 180º .
TEOREMAS FUNDAMENTALES Teorema I
La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º
. α + β + θ + φ = 180º . Teorema II
La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto en un plano es 360º.
. α + β + θ + γ + φ = 360º .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Se tiene los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que es bisectriz
del ángulo A0D; m∢A0B = 40º. Calcular El
valor de “x”
2. Según el gráfico, calcular m∢B0C, si
m∢A0C+m∢B0D=280º y m∢A0D = 120º.
3. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que m∢A0B=20º, m∢B0C = 30º y
m∢A0D = 70º. Calcular l medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo COD con el rayo
.
4. ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los ángulos A0B y C0D, si m∢BOD = 100º?
5. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D de modo que: m∢A0C = 80º,
m∢B0D = 90º y m∢A0B = 30º. Calcular m∢C0D.
6. Del gráfico, calcular α – β
7. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, donde es bisectriz del m∢B0D y m∢A0B = 32º. Calcular m∢B0C si
3(m∢A0C) + 2(m∢B0D) = 9m∢COD
8. El complemento de α, más el suplemento de 2α,
es igual al suplemento del complemento de 3α. Hallar α.
9. La medida de un ángulo “α” es: 62º48’36”. Halla
su complemento, en grados sexagesimales.
10. Se tienen los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que es bisectriz del ángulo A0D; m∢A0B=60º. Hallar x.
11. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de tal forma que m∢A0B=30º, m∢B0C=40º y
m∢A0D = 50º. Calcular la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo C0D en el rayo .
12. ¿Cuál es la diferencia de las medidas de los
ángulos A0B y C0D, si m∢B0D = 120º?
13. Dados los ángulos consecutivos A0B, B0C y C0D, de modo que: m∢A0C = 70º,
m∢B0D = 100º y m∢=A0B=20º. Calcular m∢COD.
14. La suma del complemento de x, mas el suplemento del complemento de x, mas el suplemento del duplo de x, mas el complemento del duplo de x; y mas el suplemento del complemento del duplo de x es igual a 500º. Calcular el suplemento del complemento del complemento de x.
15. La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo excede en 8º a los 3/5 del complemento de la mitad de la medida del mismo ángulo. Calcular el suplemento de dicho ángulo
16. La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es igual a 230º. Si se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15º. Hallar el complemento de la medida del mayor ángulo.
17.
18. 19.
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta secante a ellas. 1. Ángulos Alternos
Internos Externos
Si: // Entonces:
. α = β .
Si: // Entonces:
. θ = γ .
2. Ángulos Conjugados Internos Externos
Si: // Entonces: . α + β = 180º
.
Si: // Entonces: . θ + γ = 180º .
3. Ángulos Correspondientes
Si: // Entonces:
. α = β .
Propiedad 1
Si: // Entonces:
. x = α + β .
Propiedad 2 Si: //
Propiedad 3 Si: //
Propiedad 3 Si: //
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Si: // // . Calcular x – y
2. En la figura // // . Calcular xº
3. En la figura // // . Calcular xº
4. Según el gráfico // . Calcular x
5. Según el gráfico: // . Calcular x
6. Si // . Calcular x
7. Si // . Calcular x
8. Si // . Calcular x
9. Si // . Calcular x
10. Si // . Calcular x
11. Si // . Calcular x
12. Si // . Calcular x
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TRIÁNGULOS I: PROPIEDADES BÁSICAS TRIÁNGULO
Es la figura que se forma al unir tres no puntos colineales. En la figura se muestra a tres tipos de triángulos
Rectilíneo Mixlíneo Curvilíneo
TRIÁNGULO RECTILÍNEO
Es el que se forma al unir tres puntos no colineales con segmentos de recta.
En adelante por fines didácticos al referirse a un triángulo rectilíneo se hará como simplemente triángulo.
Elementos: Vértices : A, B y C Lados : , y o a, b y c Elementos asociados:
• Ángulos internos: ∢ABC; ∢BCA y ∢CAB
• Ángulos externos: ∢PAB, ∢BQC y ∢RCA
Notación:
Triángulo ABC: ∆ABC.
Regiones Determinadas
OBSERVACIÓN: REGIÓN TRIANGULAR: ES LA UNIÓN DE LA REGIÓN INTERIOR
CON EL TRIÁNGULO..
Perímetro de la Región Triangular ABC:
2P
. 2p = AB + BC + AC .
PROPIEDADES FUNDAMENTALES Suma de Medida de los Triángulos Internos
Se cumple:
. α + β + θ = 180º . Suma de Medidas de los Ángulos Externos Considerando uno por cada vértice
Se cumple:
. x + y + z = 360º .
Cálculo de un Ángulo Exterior
Se cumple:
. x = α+ β . Propiedad de Correspondencia
Si: α > β > θ, se cumple:
. a > b > c . Relación de Existencia
Si a ≥ b ≥ c, se cumple:
. b – c < a < b + c .
. a – c < b < a + c .
. a – c < c < a + b .
Propiedades Adicionales 1.
Se cumple:
. x = α + β + θ .
2.
Se cumple:
. α + β = θ + ω .
3.
Se cumple:
. α + β = θ + ω . CLASIFICACIÓN
Los triángulos se clasifican teniendo en cuenta a sus lados a sus ángulos. Según sus lados 1. Triángulo Escaleno
Es aquel que tiene los lados de diferentes longitudes
. a ≠ b ≠ c . Además:
. α ≠ β ≠ θ .
2. Triángulo Isósceles Es aquel que tiene dos lados de igual longitud
. a = ≠ b .
Además:
. α = θ ≠ β .
3. Triángulo Equilátero Es aquel que tiene los lados de igual longitud
. a = b = c . Además:
. α = β = θ = 60º .
Triángulo Rectángulo Es aquel que tiene un ángulo interior que mide 90º.
Catetos: y Hipotenusa: Propiedad:
. b2 = a2 + c2 .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En el triángulo ABC, AB = BD. Calcular x
2. Según el gráfico, calcular
m∢ADC, si: AE = ED, m∢ACD=40º y el triángulo ABC es equilátero.
3. Según el gráfico: AB = BD y CD = CE. Calcular x.
4. Calcular m∢ABC, si: AF=FC=DE=DF=EF
5. Calcular m∢ACF, si: BC = CD y θº - αº = 50º.
6. Calcular el valor de x, si: AE = EB = EF = FD = DC y m∢BAC = m∢FDA.
7. En la figura θ - ω = 12º,
Calcular α – β.
8. En la figura AB = BC, calcular xº.
9. En un triángulo ABC, se cumple que las medidas de sus ángulos interiores son tres números consecutivos. Calcular la medida del ángulo menor.
10. Según el gráfico, calcular x.
11. En el gráfico: DE = EC = CF = FG. Calcular: α
12. En el gráfico mostrado: α + β + φ = 160º. Calcular x
13. Calcular x + y
14. Calcular el valor de x
15. Calcular nm
zyx+
++
16. Según el gráfico, calcular el mínimo valor de x.
17. Según el gráfico, calcular el mínimo valor de x.
18. Según el gráfico, calcular el máximo valor de x.
19. Según el gráfico, calcular el máximo perímetro.
20. Según el gráfico, calcular el máximo valor de a.
21. Según el gráfico, calcular el máximo valor de a.
22. Según el gráfico, calcular el valor de x.
23. Según el gráfico, calcular el valor de x + y.
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LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES
ALTURA
Segmento que sale de un vértice y corta en
forma perpendicular al lado opuesto o a su
prolongación.
Ortocentro (H)
Es el punto donde se intersectan las tres
alturas de un triángulo.
H: Ortocentro.
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.
MEDIANA Segmento que une un vértice con el punto medio
del lado opuesto a dicho vértice.
Baricentro (G)
Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo. G: Baricentro
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO. DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2. EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR. ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.
BISECTRIZ
Segmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos ángulos de igual medida.
Incentro (I)
Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO. EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.
Excentro (E)
Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita
E: Encentro relativo de
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS. LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.
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50
MEDIATRIZ
Es una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo en forma perpendicular.
: Mediatriz de Circuncentro (O)
Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo. C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita
PARA RECORDAR. TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO. EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO. ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO. ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO. SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.
Propiedad: Si: “0” es circuncentro
⇒ . x = 2α . CEVIANA
Segmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.
Cevacentro (C)
Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.
PARA RECORDAR: TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.
OBSERVACIONES: - PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR DOS
LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE. - EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE LAS
CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA
CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS. - EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,
INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN. - EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO,
INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN
ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.
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PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES 1. Ángulo formado por dos
bisectrices interiores.
. 2
90 ax += .
2. Ángulo formado por dos
bisectrices exteriores.
. 2
90 ax −= .
3. Ángulo formado por una bisectriz
interior y una bisectriz exterior.
. 2ax = .
4.
. 2
45 ax −= .
5.
. 2
bax += .
6.
. 2
bax += .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Hallar “x” en la figura
2. Hallar “x” en la figura
3. Hallar “x” en la figura
4. En la figura., hallar “x”
5. Hallar el valor de “x” en
6. En la figura hallar “x”
7. En un triángulo ABC, las bisectrices de los ángulos A y C. Se cortan en H. Si m∢AHC = 5(m∢ABC), hallar m∢ABC
8. En la figura, calcular “α”
9. En la figura hallar “x”
10. En la figura calcular el valor de “x”
11. Hallar el valor de “x” en la figura que se muestra
12. En la figura hallar “x”
13. En la figura hallar CD si EC = 7
14. Hallar “x” en:
15. Hallar “x” en:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Calcular el valor de “x” en la figura
A) 50º B) 60º C) 80º
D) 90º E) 110º
2. En un triángulo PQR, las bisectrices de los ángulos P y R se cortan en “S”, si m∢PSC=8(m∢PQR), hallar m∢PQR
A) 10º B) 12º C) 14º D) 16º E) 18º
3. En la figura hallar “x”
A) 12º B) 48º C) 24º D) 36º E) 50º
4. Hallar “x” en:
A) 16º B) 26º C) 36º D) 46º E) 56º
5. Hallar “x” en:
A) 50º B) 60º C) 130º D) 120º E) 100º
6. Según el grafico Calcular “x+y”
a) 135º b) 90º c) 80º
d) 160º e) 170º
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DEFINICIÓN.
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres
lados congruentes y sus tres ángulos congruentes
respectivamente.
⇒ ∆ABC = ∆PQR
OBSERVACIÓN: EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE
LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.
CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS
1. Caso (L.A.L.)
2. Caso (A.L.A.)
3. CASO (L.L.L.)
4. Caso (L.L.A.)
α : Opuesto al mayor lado
PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. De la Bisectriz
Todo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.
. BA
PBPA00 =
= .
2. De la Mediatriz Todo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.
. PA = PB .
3. De la Base Media de un Triángulo
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.
Si: // Si: M y N son puntos medios
. BN = NC . . 2
ACMN = .
4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.
. 2
ACBM = .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. De la figura: ≅ ; ≅ . Hallar α
2. Del gráfico ≅ , FA = 8. Hallar HF.
3. En la figura:
4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de x es:
5. De la figura ≅ ;
≅ , ≅ , Hallar “α”
6. De la figura = 20cm, hallar BC, (sugerencia: en el T.R. ABD, trazar la mediana de relativa a
)
7. En la figura AD=15cm; ED=17cm. Hallar BE (Sugerencia: aplicar el teorema de la bisectriz)
8. En un cuadrado AHFC se traza (Q en )
y luego ⊥ , ⊥ . Si HM = 12cm, MN = 5cm, Hallar CN
9. Calcular BE, si ≅ ,
≅ , BD = 9
10. Encontrar AQ, si ≅ ,
≅ , m∢ABP ≅ m∢CBQ, PC = 13.
11. Encontrar AE, si BE = CD = 4, ED = 3.
12. Del gráfico ≅ ;
≅ , Hallar φ
13. Del gráfico hallar “x” si CE = 6
14. Del gráfico ≅ , hallar “α”
15. En la figura // , = 12, hallar CM
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. En la figura: ≅
≅ , hallar φ
A) 10º B) 20º C) 30º
D) 40º E) 60º
2. Del gráfico ≅ TS, RP = 7, hallar RT.
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
3. En la figura: ≅ ,
≅ , hallar φ
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
4. Siendo ABCD un cuadrado, el valor de “x” es:
A) 50º B) 60º C) 40º
D) 30º E) 10º
5. Calcular QT, si ≅ ,
PT ≅ SR, QS = 11
A) 10 B) 11 C) 12 D) 5,5 E) 6
6. Encontrar PB, si ≅ , ≅ , = 17
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
65 66
POLÍGONO Definición
Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.
Elementos Vértices : A, B, C, D,... Lados : , , , ,... m ∢ internos : α, β, φ,...
m ∢ externos : x, y, z,... Diagonales : , , ,... Diagonales medias : , , ,... Polígono Convexo
Es cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir, mayores que cero y menores que 180º.
Clasificación de los Polígonos Convexos 1. Polígono Equiángulo
Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes
2. Polígono Equilátero Cuando tienen todos su lados congruentes
3. Polígono Regular
Cuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes
Polígonos No Convexos
Cuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir mayores que 180º y menores que 360º.
Denominación de los Polígonos Triángulo 3 lados
Cuadrilátero 4 lados
Pentágono 5 lados
Hexágono 6 lados
Heptágono 7 lados
Octágono 8 lados
Nonágono 9 lados
Decágono 10 lados
Undecágono 11 lados
Dodecágono 12 lados
Pentadecágono 15 lados
68
Icoságono 20 lados
M
Enégono n lados
Propiedad para todo Polígono Convexo
Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:
1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:
. Sm∢i = 180 (n – 2) .
2. Suma de las medidas de sus ángulos externos: . Sm∢i = 360 .
3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:
. Di = (n – 3) .
4. Número total de diagonales:
. ( )2
3−=
nnDT .
5. Número total de diagonales medias:
. ( )2
1−= nnDm .
6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos
. ( )( )2
21 ++−= vvvnDv .
En Polígonos Regulares y Equiángulos 7. Medida de un ángulo interno:
. ( )nni 2180 −= .
8. Medida de un ángulo exterior:
. n
e 360= .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. . El número de diagonales de un polígono excede al número de lados en 25. calcular el número de lados del polígono.
2. ¿En qué polígono el número de lados es igual al número de diagonales?
3. AL prologar los lados no consecutivos de un
hexágono equiángulo, que figura se forma
4. Las medidas de cinco ángulos internos de un polígono regular es 700. calcular la suma de las medidas de sus ángulos internos.
5. ¿Cuántas diagonales tiene el endecágono? 6. ¿Cuántos lados tiene un polígono cuya suma de
las medidas de sus ángulos internos y externos es 7 200?
7. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuyo
número de diagonales excede al número de vértices en 18?
8. Calcular el número de lados de un polígono
regular donde al aumentar en dos su número de lados, la medida de su ángulo externo disminuye en 9
9. Si el número de diagonales de un polígono
convexo disminuye en 5, entonces resulta un nuevo polígono convexo donde la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 720. calcular el número de diagonales del polígono convexo inicial.
10. En un pentágono equilátero ABCDE: AB = BE.. calcular la relación entre los perímetros del cuadrilátero BCDE y el triángulo ABE.
11. ¿En qué polígono se cumple que al duplicar el número de lados la suma de las medidas de los ángulos internos se triplica?
12. En un polígono convexo ABCDEF equiángulo, AB = 7, CD = 6, DE = 8. Calcular BF
13. La diferencia entre el número de diagonales de
un cierto polígono regular el número de ángulos rectos, a que equivale la suma de los ángulos internos en 8. calcular la medida del ángulo externo .
14. Calcular el número de lados de un polígono convexo, si el número total de diagonales más el número de diagonales trazadas de un solo vértice, más 5 veces el número de triángulos que se forma al unir un punto interior con cada vértice es igual a 88.
15. Calcular el número de lados de aquel polígono cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 24
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. ¿En qué polígono equiángulo la medida de un
ángulo interno es el triple de la medida del ángulo externo? A) Hexágono B) Octógono C) Decágono D) Pentágono E) Nonágono
2. Calcular el perímetro de un polígono si su
lado mide 6 y tiene 14 diagonales A) 21 B) 38 C) 30 D) 42 E) 36
3. Se tiene un pentágono equiángulo ABCDE y
exteriormente un hexágono equiángulo
ABFGHI. Calcular la m∢EAI
A) 114 B) 125 C) 128 D) 132 E) 136
4. La relación de las medidas del ángulo exterior y el ángulo interior de un polígono equiángulo es 1/8. calcular el número de diagonales de dicho polígono A) 100 B) 120 C) 35 D) 170 E) 135
5. Interiormente a un pentágono equiángulo ABDCE, se construye un triángulo equilátero APB. Calcular la m∢EAP A) 76 B) 60 C) 48 D) 36 E) 92
6. Calcular el número de diagonales de un polígono regular sabiendo que el cuadrado de la medida de su ángulo interior equivale a 9 veces la medida de su ángulo exterior. A) 35 B) 70 C) 45 D) 54 E) 80
7. La diferencia entre el número de diagonales y la mitad del número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono es 119. calcular el número de lados de dicho polígono A) 13 B) 14 C) 15 D) 18 E) 20
8. Si el número de lados de un polígono regular aumenta en 10, cada ángulo del nuevo polígono es 3 grados mayor que cada ángulo del original ¿Cuántos lados tiene el polígono original? A) 25 B) 27 C) 16 D) 30 E) 20
9. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un polígono regular de 18 lados? A) 138 B) 160 C) 120 D) 118 E) 145
10. Calcular el número de lados de un polígono convexo en el que el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados. A) 19 B) 23 C) 16 D) 24 E) 25
CUADRILÁTERO Definición
Es un polígono de 4 lados.
. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 . Clasificación General
Clasificación de los Cuadriláteros Convexos 1) Trapezoide
Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos
2) Trapecios Tienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos
Propiedad del Trapecio - Mediana de un trapecio
. 2
bax += .
- Segmento que une los puntos medios de las diagonales
. 2
abx −= .
3) Paralelogramos
Aquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.
Propiedades Generales 1.
. 2
φθ +=x .
2.
. 2
φθ −=x .
3.
// PQ = RS
4.
. 2
bax += .
5. En trapecios isósceles
. 2
abx −= .
. 2
aby += .
6. En triángulos
7. En trapecios
8. Segmento que une los puntos medios de las bases
Si: α + β = 90º : . 2
abx −= .
9. En paralelogramos
x = b – a .
10. En paralelogramos
. 422
dcbacbdax +++=+=+= .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Del gráfico. Calcular “x” según corresponda.
θβθ β
x
2x
02) Hallar la base menor de un trapecio, sabiendo la diferencia de la mediana y el segmento que une los puntos medios de sus diagonales es 40.
03) ABCD: Es un paralelogramo y DM es bisectriz del ángulo “D”. Si AB = 12. Hallar “MC”.
M
A
B C
D
04) En un trapecio ABCD (BC = base menor) la medida del ángulo A = 80, la medida del ángulo D = 20. Si BC = 4 y CD = 6, calcular la mediana del trapecio.
05) Del gráfico: BC // AD; BC = CE; ED = DF. Calcular “x”.
A
B C
D
E
F
x°
06) En la figura: BC // AD, BC = 4, AD = 10. Calcular PQ.
A D
Qβ
β
BC
P
07) ABCD: Cuadrilongo, calcular “x”.
A
B C
D
x
70°
08) ABCD: es un cuadrado APD y CQD son triángulo equiláteros. Calcular “x”.
A
B C
D
x P
Q
09) Calcular EF, si ED = 4, CD = 7 y AD = 17 (CF = FB).
C
DA
BF
E
45°
10) Hallar la base menor de un trapecio si la diferencia
en la mediana y el segmento que une los puntos medios de las diagonales es igual a 10°.
11) Calcular la relación entre las medidas de las bases de un trapecio en la cual se cumple que las diagonales trisecan a la mediana.
12) En un trapecio, la mediana mide 15 y el segmento que une los puntos medios de las diagonales mide 7. Calcular la medida de la base mayor.
13) Las bases de un trapecio isósceles son proporcionales a los números 5 y 7. Si la suma de los lados no paralelos es 14 y su perímetro es 38. Calcular la longitud de la mediana.
14) Si AD = 7 y CE = 5. Calcular NK, sabiendo además que BN es mediana y BN = MN.
N
A
D
C
B
E
M
K
15) En un trapecio ABCD ( BC : base menor) la medida del ángulo A = 60° y la medida del ángulo D = 20. Si BC = 4 y CD = 6. Calcular la mediana del trapecio.
16) Si AD = 38 y 3AB = , calcular ”BC”.
B
A D
C
150°
60° 30°
17) Si AN = 4 y BN = 5, calcular “BC” sabiendo que ABCD es un ROMBOIDE.
MA D
B C
N
18) Si “G” es baricentro del triángulo ABC. Hallar GH, si AE = 5 y CF = 4.
E B F
C
A
H
G
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Las bases y la mediana de un trapecio suman 66. Hallar la mediana. a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 45
02) En un cuadrilátero ABCD los lados AB , BC y CDtienen igual medida. Si la medida del ángulo
°= 70B y la medida del ángulo °= 60C . Calcular la medida del ángulo A .
a) 60 b) 75 c) 85
d) 80 e) 100
03) En la figura: Calcular “x” si ABCD: cuadrado y CDE: triángulo equilátero.
A
B C
D
x F
a) 90° b) 100° c) 110°
d) 120° e) 150°
04) Del gráfico BC = y CD = 12, calcular “MN”.
M N
CB
A D
120°C
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
05) La mediana del trapecio mostrado mide 10. Calcular AB.
B C
A D
45°
a) 10 b) 20 c) 30
d) 40 e) 50
06) Si ABCD es un cuadrado BPC y CQD son triángulos equiláteros, calcular “x”.
A
B C
D
P
Qx°
a) 60 b) 65 c) 70
d) 75 e) 80
07) En la figura calcular la medida del ángulo “x” si ABCD es un cuadrado y CDE es un triángulo equilátero.
A
B C
D
x
E
a) 75 b) 65 c) 35
d) 15 e) 45
r
t
r
A
t B
P: punto de tangencia
r : radio
T: recta tangente
rP
t
A
B
r
r0 AP = BP
P
LA CIRCUNFERENCIA – PROPIEDADES
Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos en un plano que equidistan de un punto fijo llamado: centro, la distancia del centro cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
LÍNEAS NOTABLES EN LA CIRCUNFERENCIA:
* Radio : r
* AB : CUERDA.-
Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. Cuando pasa por el centro se llama diámetro (cuerda máxima),
* : RECTA TANGENTE.-
Es la recta que toca en un sólo punto a la circunferencia.
Teoremas Fundamentales
TEOREMA I
TEOREMA DEL RADIO Y LA TANGENTE
Todo radio que llega al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
TEOREMA II
TEOREMA DE LAS DOS TANGENTES.
Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una misma circunferencia, los segmentos comprendidos entre los puntos de tangencia y el punto exterior son congruentes.
TEOREMA III
TEOREMA DE LA BISECTRIZ DEL ÁNGULO FORMADO POR 2 TANGENTES.
El segmento que une el vértice del ángulo formado por dos tangentes con el centro de la circunferencia, es bisectriz del ángulo.
r
A
C
b a
c B
a + b = c + 2r
a + c = b + d
a - c = b - d
A
C
D
b
a c
B
A
Bb
aC
D
R
S
c
d
QP
TEORENA DE PONCELET
“ En todo triángulo rectángulo: la suma de catetos es igual a la hipotenusa más el doble del radio de la circunferencia inscrita.
TEOREMA V
TEOREMA DE PITOT
“ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia se cumple que 2 lados opuestos suman igual que los otros 2”
TEOREMA VI
TEOREMA DE STEINER
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Calcular “R”, si BC = 3, CD = 8 (“T” punto de tangencia)
DB
T
R
O
C
02) Calcular “x” si R2PB = .
R
x
A
B
P
03) En la figura, calcular (x) . (y). Si AB = 13, BC = 15 y AC = 14, AQ = x y QC = y.
A
D
BC
04) Si AB = 2CD y BC = 8, AD = 16. Calcular CD.
A
B
D
C
05) Del gráfico R = 3 y r = 1. Calcular BE
R
r
A
B C
D
E
06) Si las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita.
07) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 y el radio de la circunferencia inscrita mide 4. Calcular la longitud de la hipotenusa. :
08) En la figura AB = 8 y AD = BC + CD. Calcular “r1 + r2”.
B
A
C D
r 1
r2
09) Si M, N y P. Son puntos de tangencia y AB = 7, BC = 8, AC = 9. Calcular “BP”.
B
N
M
CA
P
10) Si AB = 12. Calcular “r”.
r
A
B C
D
2 3
11) Un rectángulo con lados de 36 y48 se divide por la diagonal en dos triángulos. En cada uno de ellos esta inscrita una circunferencia. La distancia entre sus centros es:
12) En la figura; AB + DC = 24 y BC + AD = 40. Hallar “MN”.
M N
A
B
D
C
13) Calcular el perímetro del trapecio isósceles ABCD. Si la medida del ángulo A = 30, r = 1.
A
B
D
C
30°
r
14) En la figura calcular el perímetro del triángulo ABC. Si “O” es centro.
B
CA
1
x°
D
F
E
5-aQ
15) Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo de perímetro 30, si el radio de la circunferencia inscrita a dicho triángulo mide 2.
16) Si AB = 12, calcular r.
CA
B
O
74°
r
17) Hallar “x”, si AB = 24 y r = 13.
rO
x
A
B
18) Si PQ = 3R, hallar “x”.
R
x
R
P
Q
19) Calcular el perímetro del trapecio mostrado.
2
8
20) Calcula: m + 2m
m
m
θ
θ
3
4
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Del gráfico. Hallar “PQ” y “PC”. Si: R = 2 y r = 1
B
CA Q
P
R r
a) 4 y 2 b) 6 y 4 c) 3 y 5
d) 6 y 10 e) 11 y 22
02) Del siguiente gráfico. Calcular “r”, si AB = 7, BC = 4, CE = 3 y AD = 8
A
B
D
C
rE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03) En el gráfico. Calcular r1 + r2. Si AB = 9 y AD = BC + CD
B
A
C D
r 1
r2
a) 2 b) 3 c) 4.5
d) 6 e) 7
04) Hallar x, si AB = 8, R = 5
A
B
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05) Calcular “x”, si PA = 7, R = 3
R
x
P
AQ
O
a) 45° b) 37° c) 60°
d) 72° e) 30°
06) Hallar “r”, AB = 3, AC = 4
A C
B
r
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
07) En la figura calcular “x” si “O”, es centro y AB = 1, BC = 8
CB
RO
A
a) 4 b) 5 c) 2
d) 3 e) 6
08) Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 20 cm y la diferencia de las medidas de los catetos es 4 cm.
a) 4πcm2 b) 6πcm2 c)8πcm2
d) 16πcm2 e) 32πcm2
09) En la figura AC – AB = 6m. Calcular “PQ”
A
B
C
QP
a) 6m b) 3m c) 12m
d) 18m e) 9m
xO
A
B
CIRCUNFERENCIAS – ÁNGULOS
a. Ángulo Central.-
b. Ángulo Inscrito.- .
Propiedades:
1) El ángulo inscrito en una
semicircunferencia mide 90°.
c. Ángulo Semi – Inscrito.- .
d. Ángulo Interior.-
e. Ángulo Exterior.- .
Caso I: Ángulo formado por dos secantes.
Caso II: Ángulo formado por una tangente y
una secante.
ABx =
Caso III: Ángulo formado por dos tangentes.
En este caso, el ángulo recibe el nombre de
“ángulo circunscrito” y se cumple que:
< >
f. Ángulo Ex – Inscrito.- .
PROPIEDADES:
1. De un ángulo exterior
2. Si AB = CD; entonces: AB ≅ CD
3.
4. En dos circunferencias tangentes
x180b −==θ °=+°=+θ
180xb
180x
y°
x°
5. Si “T” es punto de tangencia.
AB
T
x°
y°
6. En las circunferencias secantes congruentes
A
B
NM
EN TODO CUADRILÁTERO INSCRITO
a. Los ángulos opuestos son suplementarios
x
y
Un ángulo interior es congruente al opuesto
exterior
x = y
x = y
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) En la siguiente figura calcular “α”, si la medida del ángulo “A”, es igual a 40° y la medida del arco BC = 100°
CA B
40°
D
02) Del gráfico si: AM = MB; calcular “x”
100° B
A
M
CTx
03) De la figura mostrada. Hallar “x”
CBA
x20°
04) Si AB = 110°, “O” es el centro. Hallar “x”
x
O
D
A
B C
05) En la figura AD = 170°, BC = 2AB. Hallar “x”
D
ACO
B
x
06) En la figura OD = BC; la medida del ángulo BAD, es 20°. Calcular “x”
C
A
B
D
x
O
20°
07) Si “O” es centro y “T” es punto de tangencia.
x° O
T
x°
08) Calcular “x”
A
B
x°
2x° E
M
09) Calcular “x”
30°
100°
x°
10) “T” es punto de tangencia; AT = TC “O”, es centro x
x° O
T
B CA
11) Calcular “α”. “T” es punto de tangencia y “O” es centro.
O
T
B CA
32°
D
12) En el gráfico: la medida del arco AB = 100°. Calcular “α + θ”
C
A
B
D
θ E
13) “O” es centro, calcular “x”
20°
x°
14) En la figura: Si α + β = 100°. Calcular “x”
β
x°
2
15) En la figura hallar “x”, si AB = BC; la medida del arco AC = 140°
B
C
A
Dx°
16) Hallar “x” si la medida del arco BC = 28°
B
CA
x°
22°
17) Si, AB = BD; la medida del arco AE = 86°. Hallar “x”
B
C
A
D
x°
E
50°
18) La medida del arco AEB = 242° y la medida del ángulo ABC = x
BC
A
E
X
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres ángulos interiores congruentes (ángulos respectivamente de igual medida) y las longitudes de sus lados homólogos son directamente proporcionales. Los lados homólogos son aquellos que se oponen a los ángulos congruentes.
A
a
B
b C
c
β
akck
β
φ
P
Q
R
El ∆ ABC ∼ ∆ PQR .
Nota 1: m ABC = m PQR
m BCA = m QRP
m CAB = m RPQ
Nota 2: KRPCA
QRBC
PQAB ===
k = constante de proporcionalidad
CASO DE SEMEJANZA
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente de igual medida.
Caso I: Ángulo – Lado – Ángulo (ALA)
ββa ak
Ejm:
θ θa 4a
8
x
Caso II: Lado – Ángulo – Lado (LAL)
bkb
a ak
Caso III: Lado – Lado – Lado
bkb
a c ak ck
RAZÓN DE SEMEJANZA (r)
Es aquel número real y positivo que se obtiene al dividir dos longitudes homologas de dos triángulos semejantes.
Ejm:
β 3 4
5
h 2
h 1
8 6
10
β
2x
a4a
8x
=
//=
2h
h
5
10
4
8
3
6Razón
2
1 ====== L
SITUACIONES FRECUENTES DONDE SE PRESENTAN TRIÁNGULOS SEMEJANTES
1. Si ∆⇒AC//MN ABC ∼ ∆ MBN
φ
NMβ
βA C
B
2. Si ∆⇒AC//MN ABC ∼ ∆ MBN
φ
φ
β
B
NM
A C
β
3. Si ∆ MBN ∼ ∆ ABC
θ
θ
B
CA
N
M
4. ∆ ABD ∼ ∆ ABC
θ
θC
B
A D
x
ba
5.
x
ab
6. Cuadrado inscrito en un triángulo
ba
abx
+=
Se cumple: x2 = nb
x
x
x
xA C
B
h
b
7. ABCD: Trapecio isósceles AD//EF
x
b
a
A
C
y
B
D
E F
8. x = ab
abx
9. Cuadrado inscrito en un rombo.
x
x
D
d
D y d son diagonales.
ALGUNAS PROPIEDADES DE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
1. TEOREMA DE THALES Si: ^1 // ^2 // ^3
hb
hbx
+⋅=
ba
abyx
+==
dD
Ddx
+=
1. x = ab
a
b
m
n
Si: ^1 // ^2 // ^3
ma
bn
2. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO
NM
A C
B
b
a m
n
θ
θ
3. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES
a m
nb
4. EN CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES
a
b
nm
5. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
ba
m n
6. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
ba
nm
7. TEOREMA DEL INCENTRO
n
m
b
a =
n
m
b
a =
Si: AC//MN
n
m
b
a =
nm
m
ba
a
+=
+
n
m
b
a =
n
m
b
a =
n
b
m
a =
n
m
b
a =
n
m
b
a =
a
A C
B
b
c
D
8. PROPIEDAD
A B C D
B
BP
9. TEOREMA DE CEVA
b
a
x
Z C
y
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Hallar “x”, si L1 // L2 // L3
L 1
L 2
L 3
P
Q
R
8
4 6
x
A
B
C
02) Hallar “x”, si L1 // L2 // L3, AC = 10, AB = 4, DF = 5
L 1
L 2
L 3
x
A
B
C
D
E
F
03) En la figura adjunta, BCyAB son proporcionales a FCyAF . Hallar FC – AF.
10
B
A C
8
F9
04) En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar GH, si EH = 27
L 4
L 1
L 2
L 3
A
B
C
D
F
E
G
H
3
2
4
ID
BI
b
ac =+
CD
AD
BC
AB =
zyxcba ⋅⋅=⋅⋅
05) En la figura mostrada L1 // L2 // L3, si: EF – AB = 3, AC = 16 y DF = 24. Hallar “EF”
L 1
L 2
L 3
A
B
C
D
E
F
06) Calcular “x”, si AE//BD
3x+2
5x
C
EA
B D
8
12
07) Si L1 // L2 // L3, y AB = 6, BC = 18, PQ = 4 y SQ = 2X + 3
L 1
L 2
L 3
A
B
C
P
Q
S
08) En la figura BCyAB son proporcionales a DCyAD , hallar AD
6
B
20A C
4
θ θ
D
09) En un triángulo ABC se traza a la bisectriz exterior BE. Si AB = 16, AE = 32, CE = 8. Hallar x.
C EA
B
D
8
16
32
ββ
x
10) En la figura DS//CR//BN//AM , si (BC)(CD) = 225 y (NR)(RS) = 256, calcular: MNAB
A
B
C
D
N
M
S
R
11) En la figura, halar el lado del cuadrado EFMN, si AC = 12 y la altura BH mide 8
B
CA E
F M
NH
12) En la figura mostrada. Si AB = 9, BC = 7, AC = 8 y AC//MN . Hallar “MN”
B
C
A
MN
13) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8. Calcular la distancia del baricentro a la hipotenusa.
14) En un trapecio isósceles ABCD de bases ADyBC se inscribe una circunferencia tangente
a los lados AB y CD en M y N respectivamente. Calcular MN , si BC = 8 y AD = 12
15) En la figura hallar CE si AB = 6, BC = 3 y AC = 4
B
AC E
16) En la figura. Hallar FC, si AE = 6, EB = 4 y AF = 8, además BM = MF
B
A C
E
F
M
17) En la figura mostrada, hallar “x”
2b
x+2 2a
3a
b
x
:
18) En el triángulo escaleno PQR, PR = 4, MT = 3, PT = NP; RT = RS y QS = QN. Hallar MR
M P
S
R
N
Q
T
19) Hallar “x” L1 // L2
A P
B
Q C
L 1
L 2
10 x
8 4
20) En la figura mostrada. Calcular “x”
b
b
x x-3
5a
2a
a = m. c b = n . c 2 2
h = m . n2
RELACIONES MÉTRICAS
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Elementos de un triángulo Rectángulo.
a y b = Son las longitudes de los catetos ACyBC .
c = Es la longitud de la Hipotenusa AB
h = Es la altura relativa a la Hipotenusa.
m = Es la longitud de la proyección del cateto BC sobre la hipotenusa.
n = Es la longitud de la proyección del cateto AC sobre la hipotenusa.
- Los siguientes teoremas nos describen las principales relaciones que hay entre las longitudes de los lados, altura y proyecciones de un triángulo rectángulo.
TEOREMA 1
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de su proyección por la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 2 (Teorema de Pitágoras)
“En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 3
“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la misma”.
En la figura se cumple que:
TEOREMA 4
En todo triángulo rectángulo, el producto de catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura relativa.
En la figura se cumple que:
1 + 1 = 1 a b h2 2 2
TEOREMA 5
“En todo triángulo rectángulo la suma de las inversas de los cuadrados de los catetos es igual a la inversa del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa”.
En la figura se cumple que:
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Hallar “x”
B
x
4 12
A C
02) Hallar “x”
2
3 x13 ⋅
03) Hallar “x”
x
5
34
04) Hallar “x”
x
1
4
4
05) Hallar “x”
x
3
4
2
06) Hallar “x”
x
5
2
07) Hallar “x”
5
10
x
08) Hallar “x”
x
54
6
09) Hallar “x”
15 x
2x
10) Si (AB)2 + (FG)2 = 8; calcular BF (las dos figuras son cuadrados)
C
A
B
E
D
F
G
11) Calcular “R” si AM = 3 y AB = 9
B
R
A
12) En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AQ , los cuales se cortan en “P”, calcular BP, si AP = 7 y PQ = 2
13) Calcular MN ; si R = 3r; r = 1 y AB = 6
N
M
A
B
14) En la figura, hallar DH , si AD = 3 y el diámetro DC = 4
OA D C
B
H
15) La figura muestra una rueda apoyada en un ladrillo de altura 9, calcular el radio de le rueda.
15
16) Si ABCD es un cuadrado BE = 1 y FC = 9. calcular EF
B
A D
CE
17) En la figura, se pide la proyección de AB sobre la recta “L”
10
18
17
B
A
L
18) La hipotenusa de un triángulo rectángulo excede en 1 cm al cateto mayor; si el cateto menor mide 9cm, hallar el área de la región limitada por otro triángulo rectángulo.
19) Calcular “AP”, si AQ = 4
BA
P
Q
O
20) En la figura BM = MC = 4 y BN es mediana, calcular AB.
A
B
C
M
N
< 90 c < a + bo 2 2 2
> 90 c > a + bo 2 2 2
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
1) TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
Los triángulos que no son rectángulos, son oblicuángulos, luego un triángulo oblicuángulo puede ser acutángulo u obtusángulo.
2) COMO RECONOCER SI UN TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO U OBTUSÁNGULO
Se aplican las siguientes propiedades:
- Es Acutángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo agudo siempre es MENOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
NOTA: Todos los ángulos del triángulo son menores que 90.
- Es Obtusángulo: Si el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo obtuso siempre es MAYOR que la suma de los cuadrados de los otros dos.
NOTA: Un ángulo de los tres ángulos del triángulo es mayor que 90.
3) PROYECCIÓN DE UN LADO SOBRE OTRO LADO
En el triángulo es importante conocer la proyección de un lado sobre otro, para ello siempre se traza una altura.
- En el triángulo acutángulo: En el triángulo acutángulo, la proyección de un lado sobre otro esta contenido en este último.
- En el triángulo obtusángulo: En el triángulo obtusángulo, para encontrar la proyección de un lado sobre uno de los lados adyacentes al ángulo obtuso, se debe prolongar este último.
4) TEOREMA DE EUCLIDES
TEOREMA 1
“En todo triángulo, el cuadrado de un lado que se opone a un ángulo Agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel”.
AB
C
cM
mc
AB
C
cx
P
a b
M
Si: ∀ < 90º
TEOREMA 2
“En todo triángulo, el cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre aquel”
Si ∀ > 90º
5) TEOREMA DE LA MEDIANA
“En todo triángulo la suma de los cuadrados de los lados laterales a una mediana es igual al doble del cuadrado de la mediana más la mitad del cuadrado del lado donde cae la mediana”.
Así en la figura:
“mC” � es la mediana relativa al lado “c”.
Entonces:
22
2222 c
mba C +=+
TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA
En todo triángulo, se cumple lo siguiente:
Si “x” es la proyección de la mediana CM , entonces:
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Hallar “x”
x
7 6
5
02) Hallar “x”
x 4
6
3
03) Hallar “x”
5x
4 2
04) Hallar “x”
6
x
12
10
05) Hallar “x”
x
2
3
5
06) Hallar “x”
x 6
6
10
07) Hallar “x”
x
10
7
5
08) Hallar “x”
32
x
23
09) Hallar “x”
x
6
2 1
10) Hallar “x”
10
x
3 8
11) Hallar “x”
X 16
10 332
12) En la figura AT = PB = BC = 6. Calcular “AC” (P y T son puntos de tangencia)
C
P
A
B
T
13) Según el gráfico AB = 13, BC = 15 y AC = 14. Calcular “MN” (M, N, L son puntos de tangencia)
A
B
CL
M
N
14) Calcular MN. Si ABCD es un trapecio AB = 13, BC = 6, CD = 15, AD = 20, BM = MC; AN = ND.
M
N
B C
A D
15) Calcular BD si, AB = 6, AC = 7, BC = 8; “BD” es bisectriz interior.
B
A CD
16) Calcular BD, si AB = 6, AD = 3, DC = 9, BC = 10
B
A CD
17) Calcular la medida del lado de un rombo ABCD si AM = 9, MD = 13, siendo “M” punto medio de BC.
18) Los lados de un triángulo miden 13, 14, 15 ¿Cuánto mide la altura relativa al lado medio?
19) En un triángulo ABC; AB = 3, BC = 5, AC = 6. Calcular la longitud de la proyección de AB sobre AC
20) En un triángulo ABC, AB = 7, BC = 97 , C = 6. Se traza la mediana BM . Calcular la longitud de la proyección de AM sobre BM .
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 8; 9 y 5 metros respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado menor.
a) 1m b) 0,8m c) 1,2m
d) 0,5m e) 2m
02) En un triángulo ACD, AC = 7; CD = 3; AD = 5. Calcular la longitud de la proyección de AD
a) 5,5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 6,5
03) Los lados de un triángulo oblicuángulo miden 7; 5 y 10 respectivamente. Calcular la longitud de la proyección del lado medio sobre el lado mayor.
a) 3,8 b) 6,2 c) 4,5
d) 6 e) 5
04) En un triángulo ABC; AB = 7, BC = 5, AC = 3. Calcular la longitud de la proyección de BC . Sobre AC .
a) 2,2 b) 3 c) 2
d) 1,5 e) 2,5
05) En un triángulo isósceles ABC. AB = 3, AC = 6. Calcular la longitud de la proyección de AB sobre BC
a) 0,75 b) 0,6 c) 0,8
d) 1 e) 1,2
Aa d
c b
BC
D
P
A
P
Bb
a
cdC D
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS.
En una misma circunferencia, si dos cuerdas se cortan se cumple que: el producto de las partes de la primera cuerda es igual al producto de las partes de la segunda.
Si AB y CD se cortan en P determinan los segmentos:
En AB : AP = a; PB = b
En CD : CP = c; PD = d
Luego a.b = c.d .
2. TEOREMA DE LOS SECANTES
Si desde un punto exterior se trazan dos secantes a una misma circunferencia se cumple que: “la primera secante por su parte externa es igual a la segunda, también por su parte externa”.
En la figura se trazan:
Se han trazado desde P, las secantes PA y PC
PA = a ; PB = b
PC = d ; PD = c.
Luego a.b = c.d .
3. TEOREMA DE LA TANGENTE Y LA SECANTE
Si desde un punto exterior se trazan una tangente y una secante a una misma circunferencia, se cumple que: “la tangente al cuadrado es igual a la secante por su parte externa”.
En la figura PA es la tangente y PC la secante
Si: PA = T; PC = a; PB = b
T2 = a.b .
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) AP = 6, PB = 4, CD = 11, hallar “CP”
D
C
B
AP
02) EF = 6, AB = 4, hallar AE
F
B
A
E
03) Calcular “OD”si (AD)(DB) = 200 “O” es centro.
B
A
D
15
O
A
Bb
aC
T
P
04) La distancia mínima entre dos circunferencias exteriores es 8 y la máxima es 20. calcular la distancia entre sus centros.
05) AQ = 2; PQ = 4; calcular “r”
06) Hallar “x”
x
M
N8
2
07) Hallar “x”, AB = 2, BC = 8, DC = 16
C
A
B
D E
x
08) Hallar “x”
x
5
4
09) Hallar “x”
12
7
x
10) En la figura, calcular “CT”, si AD = 4; CB = 9, “O” es centro y “T” es punto de tangencia
B
TD
C
A O
11) En la figura RS es una tangente, RU y RZ , son secantes, hallar “RU”
6S
R5
Z
U
12) Del gráfico AM = MC. Calcular “BQ” siendo AP = 4, PB = 5 y QC = 3
B
A C
P Q
M
13) En la figura, hallar “x”
16
x 6
8 5
BA
P
Q r
14) En la figura mostrada BC = 2, CD = 1, DE = 3. Hallar AB
BC
D
E
A
15) Calcular ”AB” si: BC = 5, CD = 15
DCBA
16) En la figura mostrada, calcular “EB”, si AM = ME = ED = 3 y CM = 2
A B
C
D
M
E
17) Si “Q” es punto de tangencia MN = 9, MH = 16, 5EP = PH , calcular “PQ”
M
EQ
P
NH
18) Calcular “r”, si PQ = 1, QR = 4 y OR = 6
O
P Q R
r
19) Calcular “r”
10
r
4
20) Calcular “AB”, si BC = 3, CD = 5, DE = 4
CA B
D
E
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