geom unidad7,tema.1

Universidad Nacional Autónoma de México

Diseño y Comunicación Visual en Línea

Materia: GeometríaMaestro: Heidi Nopal GuerreroAlumno: Alan Gustavo Rodríguez BotelloFecha: 09/09/2014

Curva

El concepto de curva captura la idea de una sucesión de puntos continua, sin brincos o sobresaltos, hecha con cualquier criterio de forma redondeada; por lo tanto, primero siempre tenemos que determinar el criterio de construcción de la curva. En diseño, sobre todo en la parte creativa y de bocetaje, las curvas se hacen de manera intuitiva, que tiene más que ver con el estilo artístico del diseñador que con conceptos geométricos; cuando se trata de una ilustración cuya reproducción se hará mediante sistemas fotográficos, no requiere de una normalización en conceptos geométricos, pero si se reproducirá en máquinas, necesita de las características de: exacto, meticuloso, en suma científico, y es cuando se tiene que abstraer en conceptos matemáticos como centro, radio, tangencia, coordenadas, etc., compatibles con los fines del diseño y la comunicación visual.

Curvas de primer grado

El concepto de línea (una sucesión de puntos) se refiere a cualquier recta o curva, ya que estas se ajustan en forma de polinomios a puntos.

Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado: y=ax+b

Curvas de segundo gradoSi aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

Y=ax^2 + bx + c

Problema 1Dibujar con líneas una curva cuadrática de Bézier.

Esfera

Decimos que una esfera es una curva de segundo grado porque uno de los polinomios más sencillos para generala en un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclídeo tridimensional. La ecuación de segundo grado de la esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es: x^2 + y^2 + z^2 = 1

Una esfera (del griego σφαῖρα, «sfaira») es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la misma. Coloquialmente hablado también se refiere al sólido cuyo volumen se halla contenido en la superficie anterior; con este significado se emplea específicamente la palabra bola.

La esfera es la figura geométrica que para igual volumen presenta la superficie externa menor. Esta propiedad es la causa de su omnipresencia en el mundo físico: “en la superficie de una gota de un líquido inmerso en un ambiente gaseoso o también líquido (pero con líquidos que no se pueden mezclar), existen fuerzas superficiales que deformarán la gota hasta encontrar el valor mínimo de tensión en todos los puntos de la misma, y este mínimo corresponde a una esfera, en ausencia de toda perturbación exterior

Problema 2Mediante el uso de meridianos, dibujar una esfera en una aplicación de computadora de ambiente 3D. (Calculando su base de datos)

Problema 3Dibujar una esfera en isometría

Secciones de la esfera

La intersección de un plano y una esfera es, siempre, un círculo llamado paralelo (eventualmente reducido a un punto, cuando el plano es tangente en los polos). La esfera es la única superficie del espacio que tiene esta propiedad.

Si el plano pasa por el centro de la esfera, el radio del círculo es el mismo que el de la esfera, r. En este caso, la circunferencia puede llamarse ecuador.

Si la distancia d entre el plano y el centro es inferior al radio r de la esfera, entonces el radio de la sección es, aplicando el teorema de Pitágoras.

Problema 4

Dibujar una esfera de r=50, mediante circunferencias paralelas a altura de 10, 20, 30,… 90; calcular la posición de los centros y la longitud de los radios

Hiperboloide de un manto

Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos:

El hiperboloide de un manto es una curva de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría.

Estas superficies son de dos clases: de una y de dos hojas o mantos cuando se gira alrededor del eje azul.La revolución alrededor del eje de simetría rojo da un hiperboloide de un manto.

Problema 5Dibujar un hiperboloide de un manto.