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Triangulación Geodésica
INTRODUCCION
En el presente trabajo realizado se defnirá la geodesia, también se dará a
conocer los pasos para llevar a cabo una triangulación geodésica. Cabe señalar
ue la triangulación geodésica se emplea para determinar los puntos singulares
de un territorio mediante el cálculo e!acto de los vértices geodésicos, con
sistemas de triángulos mu" grandes, llamados redes de triangulación. #a ue este
es un método com$n " sencillo, ue %acilita determinar posiciones de puntos,
medidas de distancias o áreas de fguras. El proceso se realiza con euipos de alta
precisión en cuanto en altitud " latitud de los puntos a estudiar, midiendo
ángulos " distancias.
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Triangulación Geodésica
OBJETIVOS
Tener los conocimientos %undamentales para determinar los puntos
singulares de un territorio mediante el cálculo e!acto de los vértices
geodésicos, con sistemas de triángulos mu" grandes, llamados redes de
triangulación.
(prender a fjar un punto con la ma"or precisión posible en cuanto a
sus coordenadas de latitud " longitud. )eterminar posiciones de puntos, medidas de distancias o áreas de fguras.
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Triangulación Geodésica
TRIANGULACIÓN GEODÉSICA
DEFINICIONES
La triangulación, en geometr+a, es el uso de la trigonometr+a de triángulos para
determinar posiciones de puntos, medidas de distancias o áreas de fguras.
En ge!e"ia# se emplea para determinar los puntos singulares de un territorio
mediante el cálculo e!acto de los vértices geodésicos, con sistemas de triángulos
mu" grandes, llamados redes de triangulación. También se utiliza en topogra%+a.
El método de triangulación consiste en fjar un punto con la ma"or precisión
posible en cuanto a sus coordenadas de latitud " longitud, " a partir de él,
levantar un lado base de longitud métrica conocida. ( partir de ello, midiendo
ángulos " distancias, se constru"e una cadena de triángulos conocida como red
geodésica, respecto de la cual se ace el levantamiento cartográfco más
riguroso.
-as triangulaciones originales " más importantes, son las ue se icieron en su
momento sobre el meridiano de un elipsoide de re%erencia con un )atum respecto
del cual se constru"eron las cadenas de triangulación, reduciendo el geoide al
elipsoide " dando lugar as+ a una cartogra%+a más precisa de toda una región.
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/ediante triangulación, se pueden obtener las coordenadas de un punto no
accesible 0 1el barco de la imagen2. &rimero, se calcula la distancia 1(3C2 e!istente
entre dos puntos accesibles de la costa 1cu"as coordenadas son ( " C2. 4imedimos la amplitud de los ángulos de vértices 1(2 " 1C2, mediante trigonometr+a,
obtendremos las distancias 1(302 " 1C302 ", por tanto, las coordenadas del tercer
punto no accesible5 0.
• 6esección5 también en geodesia, conocidas
las distancias a tres puntos " sus coordenadas,
mediante trigonometr+a, se pueden determinar las coordenadas del punto
del observador
$ROCEDI%IENTOS $ARA LLEVAR A CABO UNA TRIANGULACION
GEODESICA
4e entenderá por triangulación el método de levantamiento geodésico orizontal
consistente en un conjunto de fguras con%ormadas por triángulos interconectados
" traslapados ue %orman una cadena o cubren un área espec+fca, en donde se
an medido algunos lados " los ángulos en los vértices, con el propósito $ltimo de
determinar las coordenadas de dicos vértices.
'. )urante las etapas de reconocimiento o de observaciones de campo se podrá
modifcar el diseño previo del antepro"ecto de triangulación, sólo si sirve
para mejorar signifcativamente el condicionamiento geométrico o para
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resolver problemas de visibilidad no previstos. )e ocurrir alguna
modifcación, deberá justifcarse " consignarse en la memoria de los trabajos.*. En el caso de medidas de bases geodésicas, se deberán acer con distanció
metros electrónicos " con la
%recuencia ue se especifca en
%unción del valor acumulativo de las
%uerzas o rigideces de fgura.. 8o se deberá dejar ninguna l+nea sin observar, e!cepto por condiciones
adversas de visibilidad, siempre " cuando el valor de %uerza o rigidez de
fgura pueda mantenerse dentro de los l+mites especifcados. En caso
contrario deberá resolverse el problema por rediseño de las fguras,establecimiento de vértices e!céntricos o uso de plata%ormas de observación
elevadas.7. &or condicionamiento geométrico se entenderá un esuema en ue los
vértices vecinos estén situados unos de otros a distancias relativamente
uni%ormes dentro de un rango de unos 9m en el caso de levantamientos
urbanos, asta :; 9m " más en levantamientos e!tensivos, seg$n el orden
de e!actitud, %ormando fguras igualmente regulares en las ue su %uerza o
rigidez se mantenga dentro de los l+mites especifcados " de modo ue la
dirección del sistema sea sensiblemente uni%orme, sin cambios bruscos.
)eberá vigilarse ue la relación entre el lado más largo " el más corto no
e!ceda de *.:.:. &ara el análisis de fguras, tanto en la %ase de diseño como en la de cálculo,
se deberá emplear la siguiente e!presión5
<. En la e!presión anterior 6 es la %uerza o rigidez de fgura, ) es el n$mero de
nuevas direcciones observadas, C es el n$mero de condiciones geométricas
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Triangulación Geodésica
por satis%acer " )( " )0 son las di%erencias tabulares para un segundo de
arco, en unidades del se!to lugar decimal, de los logaritmos de los senos de
los ángulos de distancia de avance.=. 8o se deberán emplear fguras representadas por triángulos aislados> toda
fgura deberá estar con%ormada por una serie de triángulos interconectados
de modo ue se produzcan un n$mero sufciente de observaciones
redundantes ue permita la rigidez " confabilidad de la solución.?. -as cadenas de triangulación se integrarán con fguras como las siguientes5
Cuadriláteros con dos diagonales, triángulos con punto central, o la
combinación de estas dos fguras. En el caso de triangulaciones para
cubrimiento en área, en adición a las anteriores, se podrán emplear otrostipos de fgura.
@. En el análisis de cadenas de triangulación se deberá determinar la
sumatoria entre bases geodésicas de las rigideces de fgura individuales "
comprobar su acuerdo con los l+mites especifcados en la tabla AB.'. En caso
de ue se rebasen dicos l+mites, deberá especifcarse en el pro"ecto la
medida de una o más bases geodésicas, a distancias apropiadas a lo largo
de la cadena.
';. En el análisis de cada fgura deberán considerarse solamente las dos
primeras 6, cu"os valores sean los menores de todos los posibles> el valor
de la distancia de propagación a la siguiente fgura será el determinado a
través de la 6 m+nima o 6'. -os valores má!imos indicados en la tabla 1AB.'2
sólo deberán aplicarse cuando por condiciones %+sicas del terreno sea
imposible ajustarse a
los valores deseables.
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Triangulación Geodésica
''. -a cone!ión de la triangulación a levantamientos previos para e%ectos
de comprobación de las ligas en escala " azimut se ará siempre " de modo
ue se pueda asegurar ue tanto las coordenadas de partida, como las decierre se an conservado prácticamente inalteradas. )e no ser esta la
situación, deberán tomarse las providencias necesarias para corregir
mediante re observaciones completas, o el establecimiento de una, o las
dos bases geodésicas.'*. 4e considerará satis%actoria la cone!ión cuando la verifcación de
distancias acuse una discrepancia cu"a magnitud esté dentro del mismo
orden de e!actitud ue corresponda a la nueva triangulación " cuando las
discrepancias angulares no sean ma"ores ue en triangulaciones de
primero " segundo orden clase B, : para segundo orden clase BB " tercer
orden clase B, " '; para triangulaciones de tercer orden, clase BB. Estas
especifcaciones son igualmente aplicables al caso de trilateraciones "
triangulateraciones.'. Cuando tengan ue medirse bases geodésicas, los procedimientos
deberán ajustarse estrictamente a los especifcados para tal caso en la
medida de distancias utilizando distanciómetros electrónicos, de modo ue
se aseguren las precisiones reueridas para cada orden " clase de la
triangulación, de acuerdo con lo ue se especifca en la tabla AB.*.
'7.-as
observaciones de ángulos orizontales se arán por series, comprendiendo
cada serie un conjunto de posiciones cu"o n$mero se especifca para cada
orden de e!actitud de las triangulaciones. -as lecturas correspondientes a la
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Triangulación Geodésica
estación inicial para cada posición en la serie deberán estar uni%ormemente
repartidas a lo largo del c+rculo orizontal.':. En los casos en ue sea practicable " para e%ectos de liga de trabajos
locales, se deberá establecer a una distancia apropiada una marca azimutal
ligada al monumento principal del vértice por distancias " dirección, con
especifcaciones m+nimas de tercer orden, clase BB.'<. El espaciamiento entre cadenas de triangulación de primer orden no
deberá ser ma"or ue ';; 9m " la distancia entre puntos principales del
levantamiento no deberá ser menor ue ': 9m " estar comprendida dentro
de a ? 9m para levantamientos en áreas metropolitanas, o de acuerdo con
las necesidades en levantamientos de propósitos espec+fcos.'=. &ara las triangulaciones de segundo orden, clase B, el espaciamiento
entre cadenas estará gobernado por el de los levantamientos en los cuales
se apo"a, procurando ue en la etapa de diseño, cuando no se trate de
levantamientos de propósitos espec+fcos, se obtenga un óptimo en la
densifcación de la red geodésica orizontal, as+ como en la preparación del
marco para la densifcación con levantamientos de orden menor.'?. &ara este mismo orden " clase se deberá dar un espaciamiento entre
puntos principales contiguos no menor ue '; 9m, de uno a tres 9ilómetrospara levantamientos en áreas metropolitanas, o de acuerdo con las
necesidades en levantamientos de propósitos espec+fcos.'@. &ara triangulaciones de segundo orden, clase BB, la distancia entre
puntos principales vecinos rara vez deberá e!ceder de : 9m.*;. En el caso de triangulaciones de tercer orden, el espaciamiento entre
puntos principales vecinos estará gobernado por las necesidades de cada
pro"ecto, permitiéndose llegar a una relación e!cepcional de : a ' entre las
distancias de los lados más largo " más corto comprendidos en el
levantamiento, en tanto se conserven los valores especifcados de rigidez
de fgura.*'. En relación con la medida de ángulos orizontales en triangulación, en
la tabla 1AB.2 se indica el n$mero de posiciones por observar en cada serie,
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Triangulación Geodésica
para cada orden " clase de levantamiento, el tipo de instrumento por
emplear " los l+mites de recazo aplicables al valor observado de cada
posición con respecto al promedio aritmético de todas las posiciones.
DEl análisis
de errores,
tomados enconjunto,
reuiere ue
para
4egundo orden clase B la especifcación para observaciones angulares sea la misma ue para
primer orden.
**. En la tabla anterior, es opcional el tipo de instrumento por usar para el
caso de segundo orden, clase BB, pero deberá observarse el n$mero de
posiciones indicado. 4e verifcará, en todos los casos, ue el total de
posiciones observadas uede dentro de los l+mites especifcados. 4i una o
más posiciones están %uera de l+mite, deberán recazarse " re observarse
de inmediato en la misma posición del c+rculo en ue estén ubicadas,
calculando un nuevo promedio " e%ectuando el e!amen nuevamente, asta
ue se logre ue todas las posiciones ueden dentro de los l+mites.*. Como parte de las comprobaciones de campo, se deberá acer la
prueba de cierre angular de triángulos, la ue deberá complementarse en
gabinete con las verifcaciones de lados " de ser necesario, con el desarrollo
de ecuaciones laterales.*7. El cierre de cada triángulo se calculará como la suma de '?; grados "
el e!ceso es%érico, menos la suma de los ángulos observados. El e!ceso
es%érico podrá calcularse con la e!presión5
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*:. En la ue EE es el e!ceso es%érico en segundos de arco, ( es el área
del triángulo " 6 es el radio terrestre en el sitio considerado. ( " 6 deben
estar en las mismas unidades.*<. En la tabla 1AB.72 se especifca para cada orden " clase de la
triangulación el cierre permisible promedio angular de los triángulos, as+
como los má!imos aceptables para cada triángulo, los cuales podrán ocurrir
mu" ocasionalmente, pero nunca de modo ue se e!ceda el cierre
promedio. &or cierre promedio se entenderá el promedio aritmético de los
cierres de los triángulos, tomados en valor absoluto fgura por fgura "
acumulativo a lo
largo de la
cadena.
*=. 4e deberá comprobar ue las longitudes de los lados comunes de los
triángulos contenidos en las fguras, calculadas por rutas di%erentes, estén
dentro de los l+mites ue se especifcan a continuación5 &ara un cuadrilátero o triángulo con punto central, la relación de las
longitudes de los lados comunes determinados a través de las dos
primeras 6, no debe di%erir de la unidad en más de 1*.';: ! ';3< cot.(2, en donde ( es el más peueño de los ángulos empleados en el
cálculo " es un %actor ue depende del orden de la triangulación, con
los siguientes valores5 '.: &ara primer orden.
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'.: a *.; &ara segundo orden, clase B. *.; a 7.; &ara segundo orden, clase BB. 7.; &ara tercer orden, clase B.
';.; a '*.; &ara tercer orden, clase BB &ara fguras distintas, la verifcación de lados se ará sustitu"endo en la
e!presión del punto anterior el %actor por ;.7 n C, en donde n es el
n$mero total de triángulos contenidos en la fgura " C es otro %actor,
dependiente también del orden de la triangulación, con los siguientes
valores5 '.; &ara primer orden. '.*: &ara segundo orden, clase B. *.; &ara segundo orden, clase BB. *.: &ara tercer orden, clase B. =.: &ara tercer orden, clase BB.
*?. 4e deberán acer también las pruebas de ecuación lateral a fn de
verifcar el acuerdo con los l+mites ue se especifcan en la tabla 1AB.:2,
re%eridos a los valores má!imos permisibles de la corrección angular
promedio ue se puede aplicar a las direcciones observadas, para asegurar
ue cualuier lado, calculado por cualuier ruta, tiene razonablemente el
mismo valor. En caso de ue la prueba no resulte satis%actoria, se deberándesarrollar ecuaciones laterales en otros polos de la fgura a fn de localizar
el vértice con error, " elaborar el programa de re observaciones.
*@. &ara todos los
órdenes de la triangulación " con el propósito de controlar la acumulación
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Triangulación Geodésica
de errores angulares sistemáticos, se deberán observar azimuts
astronómicos a intervalos regulares como se especifca más adelante.;. En los casos de las triangulaciones más e!actas 1primero " segundo
orden, clase B2, se deberán acer además observaciones de longitud
astronómica.'. -as observaciones de longitud astronómica asociadas con los
controles azimutales deberán acerse con especifcaciones de primer orden
en latitudes de *7F o más " con especifcaciones de segundo orden en
latitudes menores. )icas especifcaciones deberán ser consultadas en la
parte conducente de estas normas ue se referen a observaciones
astronómicas.*. En la tabla 1AB.<2 se indican los espaciamientos para observaciones
azimutales,
el n$mero
de
posiciones
angulares
reueridas
" su
repetitividad, as+ como la especifcación para el error medio cuadrático del
promedio, para cada orden " clase de la triangulación. Estas
especifcaciones son igualmente aplicables al caso de trilateración
geodésica.
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Triangulación Geodésica
. En los aspectos particulares re%eridos a las observaciones se deberán
seguir los lineamientos e!presados en la parte de estas normas ue tratan
de las especifcaciones para el método astronómico.7. Cuando se midan bases geodésicas se deberán determinar las
elevaciones de los e!tremos por nivelación geométrica con una e!actitud
comparable a la del orden de la triangulación. Cuando por razones de
acceso
lejano no
sea
posible el
uso de
nivelación
geométrica, las determinaciones se arán por nivelación trigonométrica
debidamente ligadas a bancos de nivel de elevación conocida.:. El procedimiento normal para determinar las elevaciones de los otros
puntos de la triangulación deberá ser por nivelación trigonométrica, la ue
se ejecutará de acuerdo con las normas prescritas.<. -os puntos de elevación trigonométrica se deberán ligar a bancos de
nivelación geométrica, con el espaciamiento entre fguras ue se indica en
la Tabla 1AB.=2, en la cual se especifcan además el n$mero de
determinaciones por juego de ángulos verticales, la tolerancia con respecto
al promedio de estas determinaciones " la discrepancia permisible entremedidas rec+procas. Estas especifcaciones son igualmente aplicables al
caso de trilateraciones " poligonales.
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=. Cuando la liga se aga por procedimientos trigonométricos, la
discrepancia entre la elevación determinada " la conocida no deberá ser
ma"or ue T;. 1)2 ' *, en donde T está dada en metros " ) es la
distancia en 9ilómetros. 4i la liga es por nivelación geométrica, el orden de
la nivelación ue se corra deberá ser por lo menos de tercero.
?. &ara el cálculo del cierre en distancia de las triangulaciones, lasdistancias se calcularán a través de la 6B asta el lado terminal conocido,
con el cual se ará la comparación del caso. Estas distancias serán
igualmente las ue se utilicen para el cálculo de las coordenadas
orizontales.@. -os valores de cierre en distancia " posición geográfca, una vez ue
an sido satis%ecas las condiciones geométricas del caso, no deben
e!ceder, para el orden de e!actitud propuesto, las correspondientes a las
indicadas en la tabla AB.* de estas especifcaciones.7;. En cuanto al cierre en azimut, se considerará satis%actorio en tanto no
e!ceda de 7 segundos de arco en triangulaciones de primero " segundo
orden clase B, '; segundos para segundo orden clase BB " *; segundos de
arco en tercer orden, en sus dos clases.
LAS %ODERNAS REDES DE TRIANGULACIÓN
El uso sistemático de las modernas redes de triangulación deriva de los trabajos
del matemático olandés Hillebrord 4nell, uien en '<': estudió la distancia de
(l9maar a 0ergen3op3Ioom, apro!imadamente ''; 9m 1=; millas2, utilizando un
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Triangulación Geodésica
conjunto de triángulos. -as dos ciudades estaban separadas un grado sobre
el meridiano, " con su medición %ue capaz de calcular la longitud de
la circun%erencia de la Tierra 3una azaña ue celebra en el t+tulo de sulibro Eratóstenes Batavus 1-os Eratóstenes olandeses2, publicado en '<'=. 4nell
calculó la %orma de corregir las %órmulas para adaptarlas a la curvatura de la
Tierra.
Con los métodos de 4nell, Jean &icard mide en '<<@3=; un grado de latitud a lo
largo del meridiano de &ar+s encadenando trece triángulos ue se e!tend+an
desde el norte de &ar+s a la torre del reloj de 4ourdon, cerca de (miens. Gracias a
las mejoras en los instrumentos " su e!actitud, es califcada como la primera
medición razonablemente precisa del radio de la Tierra. Entre '<? " '='? Jean3
)ominiue Cassini " su ijo Jacues Cassini miden, sobre el meridiano de &ar+s,
desde )unuerue a &erpiñán, " entre '= " '=7;, Jacues " su ijo César
Cassini llevan a cabo la primera triangulación de todo el pa+s, inclu"endo un
nuevo estudio del meridiano, lo ue lleva a la publicación en '=7: del primer
mapa de Krancia, construido sobre principios rigurosos.
( fnales del siglo ALBBB otros pa+ses comenzaron a establecer medidas con redes
de triangulación para obtener mapas de sus pa+ses. -aPrincipal Triangulation of
Britain se inició por la Ordnance Survey en '=?, aunue no se terminó asta
'?:. El Gran Trigonometric Survey de la Bndia, ue cartografó el /onte Everest "
los otros picos del Mimala"a, comenzó en '?;'.
(ctualmente, las redes de triangulación a gran escala an sido sustituidas por
el 4istema global de navegación por satélite 1G8442, establecidas desde la
década de '@?;. 4in embargo, mucos de los puntos de control de los anteriores
estudios a$n perduran como valiosos elementos istóricos del paisaje, tales como
los pilares de ormigón establecidos para la retriangulación de Gran 0retaña
&ágina':
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Triangulación Geodésica
1'@<3'@<*2, o los puntos de triangulación del arco geodésico de 4truve 1'?'<3
'?::2, proclamados por la N8E4CO &atrimonio de la Mumanidad.
BREVE RESE&A DEL ORIGEN DE LA RED DE TRIANGULACION EN RE$UBLICA
DO%INICANA
-a red de triangulación en 6ep. )om. se inició en '@'< con la introducción de la tropa
marina de los Estados Nnidos asta el '@'?, en '@*' se dieron cuenta de ue no e!ist+an
mapas de predicción en el pa+s, as+ ue decidieron establecerse en 4anto )omingo " otra
en las /atas de Kar%án.
E!isten l+neas, las cuales se encuentran en 4anto )omingo, Esperilla, /alecón.
En la triangulación geodésica, se seleccionan dos puntos separados por varias millas,
llamados estaciones, " la latitud " longitud de cada uno se determina astronómicamente.
-a l+nea entre estos dos puntos, la l+nea base, se mide con un alto grado de precisión. -aposición de la tercera estación se determina por el ángulo ue %orma con cada vértice de
la l+nea base. Este proceso, llamado triangulación, se contin$a asta ue toda el área a
ser investigada esté en mapa.
&ágina'<
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Triangulación Geodésica
-as l+neas bases ue se encuentran en el pa+s las tenemos en 0araona, 4alcedo "
Migue". En el mapa ue sigue mostramos la red de triangulación en el pa+s, as+ como las
l+neas bases en la red en el pa+s.
BREVE RESE&A DE LA RED GEODESIA RECIEN INSTALADA EN LA RE$UBLICA
DO%INICANA
-a red de geodesia se inicia en el pa+s en el año '@<* " fnaliza en el año '@<*, consta de
apro!imadamente 7:; vértices de control entre ellos de primer orden, segundo " tercer
orden.
3 &ara el de primer orden este sistema consta con un lente directo " un lente invertido, "
mediante este sistema se acen no m+nimo de *? lecturas para su ma"or precisión, estas
con un tiempo no superior a un segundo. 4iendo '7 directas " '7 invertidas.
• para la de segundo orden se acen '* lecturas inversas " '* lecturas directas,
todas colocadas en una misma posición.
• &ara la de tercer orden se utilizan la clase ( " la clase 0 la cual tiene 7 lecturas
directas " 7 lecturas inversas.
-a red de geodesia instalada en el pa+s recientemente consta de <; estaciones de lascuales 7 de ellas son permanentes " se encuentran localizadas en 0araona, 4antiago, -a
Lega " 4an &edro de /acor+s. Esta reciben señales cada un segundo por los satélites
artifciales, llámense estos sustitutos de las estrellas ue vendr+an siendo satélites,
aunue estos son artifciales, as+ le env+an las señales a las estaciones para la
preparación de las mismas.
&ágina'=
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Triangulación Geodésica
CONCLUSIONES
-as redes de triangulación a gran escala an sido sustituidas por el 4istema
global de navegación por satélite 1G8442. -a red de geodesia se inicia en el pa+s en el año '@<* " fnaliza en el año
'@<*, consta de apro!imadamente 7:; vértices de control entre ellos deprimer orden, segundo " tercer orden.
-a red de geodesia instalada en el pa+s recientemente consta de <;
estaciones de las cuales 7 de ellas son permanentes " se encuentran
localizadas en 0araona, 4antiago, -a Lega " 4an &edro de /acor+s. Esta reciben señales cada un segundo por los satélites artifciales, llámense
estos sustitutos de las estrellas ue vendr+an siendo satélites, aunue estos
son artifciales, as+ le env+an las señales a las estaciones para la preparación
de las mismas.
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Triangulación Geodésica
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Triangulación Geodésica
ANE(OS
&ágina*;
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