gauss jordan

INTENGRANTES

Presentado por:- HENRY CASTRO PACORICONA- ERLYN CUTIPA CHOQUE- FELIX ESCOBAR QUISPE- ROGER MAMANI CALDERON

Profesor:HENRY JAIME VILLALBA LÓPEZ

Grado y Seccion:5to Año “E”

Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777, Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos.

Gauss fue un niño prodigio, de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801: Fue un trabajo fundamental para que se consolidara la teoría de los números y ha moldeado esta área hasta los días presentes.

Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de

topografía en Alemania y África.

Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de

Gauss-Jordan que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados.

A mediados de la década de 1950 la mayoría de las referencias al método

de Gauss-Jordan se encontraban en libros y artículos de métodos

numéricos. En las décadas más recientes ya aparece en los libros

elementales de álgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuando

se menciona el método, no se referencia al inventor.

El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en

Alemania como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873

fundó la revista alemana Journal of Geodesy y ese mismo año publicó la

primera edición de su famoso Handbuch.

En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o

eliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y

Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e

inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss

cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado

a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que

la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce

como: "forma escalonada".

El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich

Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante

libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o

Nueve capítulos del arte matemático

1. Ir a la columna no cero extrema izquierda

2. Si el primer renglón tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo

tenga

3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos

adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él

4. Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz restante.

Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la

forma de escalón)

5. Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón

obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de este sumando múltiplos

correspondientes a los renglones correspondientes

6. Una variante interesante de la eliminación de Gauss es la que llamamos eliminación

de Gauss-Jordan, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordan), esta consiste

en ir obteniendo los 1 delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso

directo) así para cuando estos finalicen ya se obtendrá la matriz en forma

escalonada reducida

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan,

es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con

n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso

desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en

primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones

lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz

aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz

en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la

cual es de la forma:

En el caso de 3 variables,como

tambien podemos utilizar 3 variables.

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples

operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una

operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes,

esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz

identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la

igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x

d2 = y

d3 = z

EJEMPLOS:

EJEMPLO

1:3x+2y=21

5x-y=22

B x y

21 3* 2

22 5 -1

3 es el pívot

21 : 3* = 7

2 : 3* = 2/3

Operamos:B x y

21 3* 2

22 5 -1

7 1 2/3

-13 0 -

13/3*22 – 7 . 5 = -13

-1 - 2/3 . 5 = -

13/3

El número que está

en la columna del

pívot se convierte en

0.

CONTINUAMOS….

B x y

21 3* 2

22 5 -1

7 1 2/3

-13 0 -

13/3*

5 1 0

3 0 1

-13/3 : -13 = 3

7 – 3 . 2/3 = 5

El pívot ahora está en

la columna de “y”

x = 5

y = 3

EJEMPLO 2:

4x + 3y = 11

3x + 2y = 9

B x y

11 4* 3

9 3 2

Operamos:

11 : 4* =

11/4

3 : 4* = 3/4

B x y

11 4* 3

9 3 2

11/4 1 3/4

3/4 0 -1/4*

9 – 11/4 . 3 = 3/4

2 – 3/4 . 3 = -1/4

CONTINUAMOS….

B x y

11 4* 3

9 3 2

11/4 1 3/4

3/4 0 -1/4*

5 1 0

-3 0 1

3/4 : -1/4 = -3

11/4 – (-3) . 3/4 = 5

x = 5

y = -3

EJEMPLO 3:

B x y

4 2* 2

3 3 2

2x + 2y =

4

3x + 2y =

3

Operamos:

4 : 2* = 2

2 : 2* = 1

B x y

4 2* 2

3 3 2

2 1 1

-3 0 -1

3 – 2 . 3 = -

3

2 – 1 . 3 = -

1

CONTINUAMOS….

B x y

4 2* 2

3 3 2

2 1 1

-3 0 -1*

-1 1 0

3 0 1

-3 : -1 = 3

2 – 3 . 1 = -

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