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Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 8

24 de janeiro de 2013

Aula 8 Fundamentos de Matemática 1

Somas

Aula 8 Fundamentos de Matemática 2

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 3

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 4

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 5

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 6

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 7

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 8

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

4∑i=1

xi = x1 +4∑

i=2

xi = x1 + x2 +4∑

i=3

xi = x1 + x2 + x3 +4∑

i=4

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 9

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑

i=0

2i .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 10

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑

i=0

2i .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 11

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 =5∑

i=0

2i .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 12

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Notações:

4∑i=1

xi =∑

1≤i≤4

xi =∑

i∈{1,2,3,4}

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 13

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Notações:

4∑i=1

xi =∑

1≤i≤4

xi =∑

i∈{1,2,3,4}

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 14

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Notações:

4∑i=1

xi =∑

1≤i≤4

xi =∑

i∈{1,2,3,4}

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 15

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Notações:

4∑i=1

xi =∑

1≤i≤4

xi =∑

i∈{1,2,3,4}

xi = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 16

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

∑1≤i≤10i é impar

xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑

i=0

(2 i + 1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 17

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

∑1≤i≤10i é impar

xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑

i=0

(2 i + 1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 18

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

∑1≤i≤10i é impar

xi = x1 + x3 + x5 + x7 + x9 =4∑

i=0

(2 i + 1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 19

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 20

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 21

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 22

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 23

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

A variável do somatório é muda:4∑

i=1

xi =4∑

r=1

xr =4∑

λ=1

xλ = x1 + x2 + x3 + x4.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 24

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj

Aula 8 Fundamentos de Matemática 25

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj

Aula 8 Fundamentos de Matemática 26

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj

Aula 8 Fundamentos de Matemática 27

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=

xj

Aula 8 Fundamentos de Matemática 28

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

∑j=2

xj

Aula 8 Fundamentos de Matemática 29

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

5∑j=2

xj =5∑

i=2

xi .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 30

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Troca de variáveis:4∑

i=1

xi+1(j = i + 1)=

5∑j=2

xj =5∑

i=2

xi .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 31

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Propriedades:

b∑i=a

(xi + yi) =b∑

i=a

xi +b∑

i=a

yi eb∑

i=a

constante · xi = constante ·b∑

i=a

xi .

Aula 8 Fundamentos de Matemática 32

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 33

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 34

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 35

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 36

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 37

Somas

b∑i=a

f (i) =

0, se b < a,

f (a), se b = a,

f (a) +b∑

i=a+1

f (i), se b > a.

Exemplo:

7∑i=1

1 = 7,7∑

i=2

1 = 6,b∑

i=a

1 = b − a + 1 (para a ≤ b).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 38

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 39

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 40

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 41

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 42

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 43

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 44

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 45

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 46

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 47

Somas (n ≥ 1)n∑

i=1

i = 1 + · · ·+ n = ?

Resposta:

n∑i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 =∑i=1

(i2 + 2 i + 1) =n∑

i=1

(i + 1)2 = (n + 1)2 +n−1∑i=0

(i + 1)2 − 1

⇓n∑

i=1

i2 + 2n∑

i=1

i +n∑

i=1

1 = (n + 1)2 +n∑

i=1

i2 − 1

⇓

2n∑

i=1

i + n = n2 + 2 n + 1− 1

⇓

2n∑

i=1

i = n2 + n

⇓n∑

i=1

i = n(n + 1)/2.

Aula 8 Fundamentos de Matemática 48

Números Naturais (Continuação)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 49

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 50

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 51

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 52

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 53

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 54

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 55

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 56

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}.

O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 57

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X .

Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 58

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 59

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito.

Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 60

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelomatemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, elesrespondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se podedefinir uma função bijetiva f : X → Y .

Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando sepode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N eIn = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinaldo conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, oconjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que Xnão é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .

Definições

Aula 8 Fundamentos de Matemática 61

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 62

Números naturais como números cardinais

X Y

Aula 8 Fundamentos de Matemática 63

Números naturais como números cardinais

Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 64

Números naturais como números cardinais

Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 65

Números naturais como números cardinais

O Hotel Infinito de Hilbert

Aula 8 Fundamentos de Matemática 66

Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, aspalavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, doismeses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” nãosão substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numerale que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar adiferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, eo seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado e Wagner, 2003]

Aula 8 Fundamentos de Matemática 67

Semelhança dos nomes dos números

SânscritoGrego

AntigoLatim Alemão Inglês Francês Russo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

100

1000

eka

dva

tri

catur

panca

sas

sapta

asta

nava

daca

cata

sehastre

en

duo

tri

tetra

pente

hex

hepta

octo

ennea

deca

ecaton

xilia

unus

duo

tres

quatuor

quinque

sex

septem

octo

novem

decem

centum

mille

eins

zwei

drei

vier

fünf

sechs

sieben

acht

neun

zehn

hundert

tausend

one

two

three

four

�ve

six

seven

eight

nine

ten

hundred

thousand

un

deux

trois

quatre

cinq

six

sept

huit

neuf

dix

cent

mille

odyn

dva

tri

chetyre

piat

shest

sem

vosem

deviat

desiat

sto

tysiaca

Aula 8 Fundamentos de Matemática 68

Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 69

David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 70

Existem “infinitos” diferentes!

Aula 8 Fundamentos de Matemática 71

Existem “infinitos” diferentes!

Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!

Aula 8 Fundamentos de Matemática 72

Existem “infinitos” diferentes!

Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!

Aula 8 Fundamentos de Matemática 73

Existem “infinitos” diferentes!

Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!

Aula 8 Fundamentos de Matemática 74

Existem “infinitos” diferentes!

Os conjuntos

N = {1,2,3, . . .} e (0,1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}

são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.

Em um certo sentido, o intervalo (0,1) é “mais infinito” do que oconjunto N dos números naturais!

Aula 8 Fundamentos de Matemática 75

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

Aula 8 Fundamentos de Matemática 76

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 77

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 78

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 79

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 80

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

Aula 8 Fundamentos de Matemática 81

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 82

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 83

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 84

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 85

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 86

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 87

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

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Aula 8 Fundamentos de Matemática 88

O argumento da diagonal de Cantor

N e (0,1) não possuem o mesmo número cardinal.

Demonstração.(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0,1).(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N→ (0,1).(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número

real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão

decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para0.5 escolhemos 0.49).

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

Aula 8 Fundamentos de Matemática 89

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 90

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 91

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 92

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

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O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 94

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 95

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 96

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 97

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 98

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 99

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 100

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 101

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 102

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 103

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 104

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 105

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 106

O argumento da diagonal de Cantor

(5) Temos então:

f (1) = 0.d1,1d1,2d1,3d1,4 . . . ,

f (2) = 0.d2,1d2,2d2,3d2,4 . . . ,

f (3) = 0.d3,1d3,2d3,3d3,4 . . . ,

f (4) = 0.d4,1d4,2d4,3d4,4 . . . ,

...

(6) Vamos construir um número real x = 0.p1p2p3p4 . . . da seguinte maneira:

Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.

Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.

Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.

E assim por diante.

(7) O número real x = 0.p1p2p3p4 . . . pertence ao intervalo (0,1), mas x 6= f (1) (poisp1 6= d1,1), x 6= f (2) (pois p2 6= d2,2), x 6= f (3) (pois p3 6= d3,3), etc. Isto contradizo fato de f : N→ (0,1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0,1).

Aula 8 Fundamentos de Matemática 107

Georg Cantor

Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)

Aula 8 Fundamentos de Matemática 108

Seção de Exercícios

Aula 8 Fundamentos de Matemática 109