fundamentos de física. i.t. diseño industrial
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Programa de la Asignatura
Lección 1.- La Física. Magnitudes y su medidaLección 2.- Cinemática del Punto. Lección 3.- Dinámica de la Partícula. Lección 4.- Dinámica de los Sistemas de Partículas: Sólido Rígido. Lección 5.- Oscilaciones. Lección 6.- Temperatura y Procesos Térmicos. Lección 7.- Calor. y principios de la termodinámica.
2º cuatrimestreLección 8.- Campo electrostático en el vacío. Conductores en equilibrio Lección 9.- Condensadores y dieléctricos. Lección 10.- Corriente Eléctrica. Lección 11.- Campo magnético en el vacío. Lección 12.- Inducción. Lección 13.- Campos magnéticos en medios materiales. Lección 14.- Leyes del electromagnetismo. Lección 15.- Ondas.Lección 16.- Naturaleza de la Luz. Optica geométrica. Lección 17.- Óptica física
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Programa de la Asignatura
Lección 1.- La Física. Magnitudes y su medidaLección 2.- Cinemática del Punto. Lección 3.- Dinámica de la Partícula. Lección 4.- Dinámica de los Sistemas de Partículas: Sólido Rígido. Lección 5.- Oscilaciones. Lección 6.- Temperatura y Procesos Térmicos. Lección 7.- Calor. y principios de la termodinámica.
2º cuatrimestreLección 8.- Campo electrostático en el vacío. Conductores en equilibrio Lección 9.- Condensadores y dieléctricos. Lección 10.- Corriente Eléctrica. Lección 11.- Campo magnético en el vacío. Lección 12.- Inducción. Lección 13.- Campos magnéticos en medios materiales. Lección 14.- Leyes del electromagnetismo. Lección 15.- Ondas.Lección 16.- Naturaleza de la Luz. Optica geométrica. Lección 17.- Óptica física
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Lección 5: Oscilaciones
1.-Introducción.
2.- Cinemática del movimiento armónico simple (MAS).
3.- Vectores de rotación o fasores.
4.- Fuerza y energía en el MAS.
5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos.
6.- Superposición de dos MMAASS.
7.- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia.
Bibliografía:Bibliografía:..-- AlonsoAlonso --FinnFinn (1995), capítulos 10 y 13.(1995), capítulos 10 y 13..- Tipler (1992), vol I, capítulo 12..- Burbano-Burbano-García (1993), capítulo XX.
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L5:Oscilaciones 1.- Introducción
1.1.-- Introducción.Introducción.
2.2.-- Cinemática del movimiento armónico simple.Cinemática del movimiento armónico simple.
Sea una partícula con un MAS a lo largo del eje OX, su desplazamiento respecto al origen viene dado por:
O bien por:( )ϕ+ω= tcosA)t(x ( )ϕ+ω= tsenA)t(x
donde:
ωπ= 2
T
T1=ν
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Movimiento oscilatorio: movimiento periódico alrededor de una posición de equilibrio. De éstos, el más importante es el Movimiento Armónico Simple (MAS) por ser el más sencillo de describir y analizar y por ser una descripción bastante precisa de muchos movimientos oscilatorios naturales.
A → es la amplitud(xmáx)
ω → es la frecuencia angular
ϕ → es la fase inicial
T → es el periodo
ν → es la frecuencia
(ωt +ϕ) → es la fase
4
⇒=dtdx
)t(v
⇒== 2
2
dtxd
dtdv
)t(a
La velocidadvelocidad será:
L5:Oscilaciones 2.- Cinemática del movimiento armónico simple
( )ϕ+ωω−= tsenA)t(v
donde Aω → es la amplitud de la velocidad (vmáx)
La aceleraciónaceleración será:
donde Aω2 → es la amplitud de la aceleración (amáx)
( ) ⇒ϕ+ωω−= tcosA)t(a 2 )t(x)t(a 2ω−=
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luego la velocidad varía periódicamente entre los valores +Aω y -Aω
luego la aceleración varía periódicamente entre los valores +Aω2 y -Aω2
““en un MAS la aceleracien un MAS la aceleracióón es proporcional y de sentido opuesto al desplazamienton es proporcional y de sentido opuesto al desplazamiento””
5
( )ϕ+ω= tcosA)t(x
( )ϕ+ωω−= tsenA)t(v
( ) xtcosA)t(a 22 ω−=ϕ+ωω−=
4T
La variación del desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo será: 2T 4T3 T
4T 2T 4T3 T
A+
A−
x
ω+ A
ω− A
v
2Aω−
a2Aω+
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L5:Oscilaciones 2.- Cinemática del movimiento armónico simple
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L5:Oscilaciones 3.- Vectores de rotación o fasores
3.3.-- Vectores de rotación o Vectores de rotación o fasoresfasores..
OPx =
π+ϕ+ωω=
2tcosAv ( )π+ϕ+ωω= tcosAa 2
x
ϕ
P
P’A
X
Y
O
El desplazamiento de una partícula que se mueve con un MAS se puede considerar como la componente x de un vector OP’ de módulo A y que rota en sentido contrario a las agujas del reloj con
una velocidad angular ω (vector rotante o fasor). Igualmente se pueden encontrar vectores rotantes para la velocidad y aceleración de la partícula.
xva
AωA
ω2A
ωt+ϕ2π
π
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( )ϕ+ω= tcos'OP ( )ϕ+ω= tcosA
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L5:Oscilaciones 4.- Fuerza y energía en el MAS
4.4.-- Fuerza y energía en el MAS.Fuerza y energía en el MAS.
= amFrr
Donde hemos considerado: mk 2ω=
“en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario”
[ ] =ϕ+ωω−= 22 )tsen(Am21 [ ])t(cos1mA
21 222 ϕ+ω−ω=
Antes obtuvimos que la aceleración era proporcional al desplazamiento, luego la resultante de las resultante de las fuerzas que genera un MASfuerzas que genera un MAS será:
kxF −=
Energía cinética de una partícula con un MASEnergía cinética de una partícula con un MAS
[ ]222 xAm21
Ec −ω= “la Ec es máxima en el centro (x=0) y mínima en los extremos (x=±A)”
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⇒ω−==⇒ )x(mmaF 2
km
2Tmk π=⇒=ω⇒
== 2mv21
Ec )t(senmA21 222 ϕ+ωω
8
L5:Oscilaciones 4.- Fuerza y energía en el MAS
La fuerza que genera el movimiento es una fuerza central y por tanto conservativafuerza central y por tanto conservativa, luego existe una energía potencialenergía potencial asociada a ésta tal que:
Energía potencial de una partícula con un MASEnergía potencial de una partícula con un MAS
Ckx21
kxdxEp 2 +=∫=⇒
Si tomamos como nivel de energía potencial cero la posición de equilibrio (Ep=0 sí x=0)
“la Ep es máxima en los extremos (x=±A) y mínima en el centro (x=0)”
222 xm21
kx21
Ep ω==
Energía total de una partícula con un MASEnergía total de una partícula con un MAS
ctekA21
Am21 222 ==ω=
2kA21
E = “la energía total de un oscilador armónico es constante y proporcional al cuadrado de la amplitud”
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dx)kx(dxFdEp x −−=−=⇒dxdEp
Fx −=
[ ] xm21
xAm21 22222 ω+−ω=EpEcE +=
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L5:Oscilaciones 4.- Fuerza y energía en el MAS
2kA21
E =
( )22 xAk21
Ec −=2kx21
Ep =
+A-A
Ep
Ec
Diagrama de energías de una partícula con un MASDiagrama de energías de una partícula con un MAS
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x
Ep
0
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L5:Oscilaciones 5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos
5.5.-- Ecuación básica del MAS. PéndulosEcuación básica del MAS. Péndulos--
La fuerza necesaria para producir un MAS es atractiva proporcional al desplazamiento, luego aplicando la segunda ley de la mecánica:
0xmk
dtxd2
2
=+⇒
Si consideramos Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones
son del tipo
0xdt
xd 22
2
=ω+⇒=ωmk2
( )ϕ+ω= tcosA)t(xkm
22
T π=ωπ=
-A
+A
-A
+A
-A
+A
Fr
Fr
vr
ar
ar
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kxdt
xdm 2
2
−=⇒kxmaFamF −==⇒= rr
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L5:Oscilaciones 5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos
Partícula de masa m suspendida de un punto O mediante una cuerda de longitud l y de masa despreciable
tt maFamF =⇒=rr
0dtd 22
2
2
=θω+θ
Péndulo simplePéndulo simple
ll 2
2
dtd
mmsenPθ=α=θ−
0seng
dtd
0senmgdtd
m 2
2
2
2
=θ+θ⇒=θ+θl
l
l
g2 =ω
La fuerza que genera el movimiento oscilatorio es la componente tangencial del peso
Si consideramos que Y si los ángulos son lo suficientemente pequeños (senθ→ θ)
Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones son del tipo
Tr
Pr
θoθ
θ
l
O
( )ϕ+ωθ=θ tcos)t( o g2
2T
lπ=ωπ=
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L5:Oscilaciones 5.- Ecuación básica del MAS. Péndulos
Sólido rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad
( ) α=×=⇒α=rrrrrrr
oooo IPrPMIM
0dtd 22
2
2
=θω+θ
Péndulo físico
o
2
Imgb=ωSi consideramos que
Y si los ángulos son lo suficientemente pequeños (senθ→ θ)
Ecuación diferencial homogénea cuyas soluciones son del tipo
( )ϕ+ωθ=θ tcos)t( o
0senI
mgbdtd
dtd
Isenmgbo
2
2
2
2
o =θ+θ⇒θ=θ−
mgbI
22
T oπ=ωπ=
b
CM
Pr
rr
O
θ
θ
Z
Z’
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L5:Oscilaciones 6.- Superposición de dos MMAASS
6.6.-- Superposición de dos MMAASSSuperposición de dos MMAASS
En ocasiones una partícula puede estar sometida a la influencia de más de un MAS, existe entonces una interferencia de movimientos armónicos simples. Lo estudiaremos para el caso de la superposición de dos MMAASS.
.- Superposición de dos MMAASS con la misma dirección y frecuencia
( )( )
δ+ω=ω=
tcosAxtcosAx
22
11 Donde δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos
( ) ( ) ( )tcosAtcosAtcosAxxx 2121 ω=δ+ω+ω=+=
..-- Sí Sí δ=0 δ=0 δ=0 δ=0 ⇒⇒⇒⇒ 21 AAA += ..-- Sí Sí δ=π δ=π δ=π δ=π ⇒⇒⇒⇒ 21 AAA −=
..-- En generalEn general ⇒⇒⇒⇒ δ++= cosAA2AAA 2122
21
ωt
A1
O
A2
δ
A
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L5:Oscilaciones 6.- Superposición de dos MMAASS
.- Superposición de dos MMAASS con la misma dirección y distinta frecuencia
( )( ) 21
222
111 xxxtcosAx
tcosAx+=⇒
ω=ω=
cuando
21 AAA +=
21 AAA −=
( )tcosAA2AAA 212122
21 ω−ω++=
ω2t A2
O
A1
A
ω1t
(ω1−ω2)tEl ángulo entre los vectores de rotación varía con el tiempo, luego
La amplitud varía entre los valores:
( ) ( ) 1tcosn2t 2121 =ω−ω⇒π=ω−ω
cuando ( ) ( ) ( ) 1tcos1n2t 2121 −=ω−ω⇒π+=ω−ω
A
A1+A2
A1-A2
t
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Un caso especial es cuando A1=A2, entonces,
( )[ ]tcos12AA 211 ω−ω+=
( )2
tcosA2A 21
1ω−ω=
( ) ( )[ ]tcostcosAxxx 21121 ω+ω=+=
Aplicando [7] la amplitud quedará
ω+ω=
ω−ω
ω+ω= t
2cosAt
2cost
2cosA2x 212121
1
( ) ⇒ω−ω++= tcosAA2AAA 212122
21
El movimiento resultante será
Aplicando [9]
El movimiento resultante es un movimiento armónico de frecuencia y cuya amplitud está modulada pues varía periódicamente con el tiempo 2
21 ω+ω
O t
xA
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.- Superposición de dos MMAASS direcciones perpendiculares
( )( ) ( ) ( ) jtcosBitcosAjyixr
tcosBytcosAx rrrrr δ+ω+ω=+=⇒
δ+ω=ω=
..-- Sí Sí δ=0 δ=0 δ=0 δ=0 ⇒⇒⇒⇒ ( )( ) ⇒
ω=ω=
tcosBytcosAx
..-- Sí Sí δ=π δ=π δ=π δ=π ⇒⇒⇒⇒ ( )( ) ( ) ⇒
ω−=π+ω=ω=
tcosBtcosBytcosAx
..-- Sí Sí δ=π/2 δ=π/2 δ=π/2 δ=π/2 ⇒⇒⇒⇒ ( )
( ) ( ) ( ) 1tcostsentsenB
2tcosBy
tcosAx22 =ω+ω⇒
ω−=
π+ω=
ω=
xAB
y =
1By
Ax
2
2
2
2
=+
xAB
y −=
Movimientos armónicos rectilíneos
La trayectoria es una elipse de semiejes A y B. Si las amplitudes fueran iguales tendriamos una circunferencia
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Figuras de Lissajousδ
21 ωω
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L5:Oscilaciones 7.- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia
7.7.-- Oscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. ResonanciaOscilaciones amortiguadas y oscilaciones forzadas. Resonancia
Amortiguamiento: Además de la fuerza elástica existe una fuerza disipativa proporcional
a la velocidad, es decir, donde λ es una constante que
depende del medio y de la forma del cuerpoeFr
dFr
⇒=+= amFFF derrrr
⇒=λ−− 2
2
dtxd
mvkx
vFdrr
λ−=
0xmk
dtdx
mdtxd2
2
=+λ+
Sí recordamos que la frecuencia del oscilados libre eramk2
o =ω
m2
λ=γ
0xdtdx
2dt
xd 2o2
2
=ω+γ+
Y si introducimos el parámetro de amortiguamiento como
La ecuación a resolver será
El movimiento resultante (solución de esta ecuación diferencial) depende de la relación entre el
parámetro de amortiguamiento y la frecuencia natural del oscilador
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..-- Si Si γ γ γ γ > ω> ω> ω> ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Sobreamortiguamiento Sobreamortiguamiento
El movimiento resultante en este caso es oscilatorio y cuya amplitud disminuye
exponencialmente con el tiempo debido a la disipación de energía
El movimiento resultante no es oscilatorio, al alejar la partícula de su posición de equilibrio, ésta tiende a regresar lentamente a esta posición
..-- Si Si γ γ γ γ = ω= ω= ω= ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento crAmortiguamiento crííticotico
El movimiento resultante tampoco es oscilatorio, al alejar la partícula de su posición de equilibrio, ésta tiende a regresar rápidamente a esta posición
..-- Si Si γ γ γ γ << ω<< ω<< ω<< ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento dAmortiguamiento déébilbil
Es el único caso en el que la partícula oscila entorno a la posición de equilibrio. Los desplazamientos de la partícula son de la forma:
( )ϕ+ω= γ− tcosA e)t(x t donde 22o γ−ω=ω
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..-- Si Si γ γ γ γ > ω> ω> ω> ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Sobreamortiguamiento Sobreamortiguamiento
..-- Si Si γ γ γ γ = ω= ω= ω= ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento crAmortiguamiento crííticotico
..-- Si Si γ γ γ γ << ω<< ω<< ω<< ωοοοο2 2 2 2 ⇒⇒⇒⇒ Amortiguamiento dAmortiguamiento déébilbil ( )ϕ+ω= γ− tcosA e)t(x t
x
t
tAe γ−
tAe γ−−
22o
22T
γ−ωπ=
ωπ=
T
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Oscilaciones forzadas: Además de la fuerza elástica y de la fuerza disipativa introducida
con anterioridad, se aplica una fuerza oscilatoria
que aporta energía al sistema
⇒=++ amFFF fderrrr ( ) 2
2
fo dtxd
mtcosFvkx =ω+λ−−
( )tcosmF
xmk
dtdx
mdtxd
fo
2
2
ω=+λ+
Resulta una ecuación diferencial no homogénea que hemos de resolver y en donde hemos
tenido en cuenta la frecuencia del oscilador libre
y el parámetro de amortiguamiento
mk2
o =ω
m2
λ=γ
eFr
dFr
fFr
( )tcosFF fof ω=rr
Donde ωf es la frecuencia de la fuerza aplicada y Fosu amplitud
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El movimiento resultante (solución de la ecuación diferencial) comprende dos términos, uno transitorio y otro permanente. El término transitorio desaparece en un tiempo relativamente pequeño y la solución queda como
x
t
régimen transitorio régimen
permanente
( ) 2f
222o
2f
o
4
mFA
ωγ+ω−ω=
( )α−ω= tsenA)t(x f
Y cuya amplitud es constante y vale
que depende de la frecuencia de la fuerza aplicada
La velocidad será: ( ) ( )α−ω=α−ωω== tcosvtcosAdtdx
)t(v foff
22
f
2o
f
oo
4
mFv
γ+
ωω−ω
=Y cuya amplitud vo vale
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La amplitud se hace máxima para aquellos valores de la frecuencia ωf que cumplan
Se dice entonces que para esta frecuencia se produce un efecto de resonancia en amplitud
⇒=ω
0ddA
f
22of 2γ−ω=ω
La amplitud de la velocidad se hace máxima cuando
Se dice entonces que para esta frecuencia se produce un efecto de resonancia en velocidad
⇒=ω
0ddv
f
oof ω=ω
A
ωf
kFo
γ1γ2
γ=0
γ1> γ2
ωo
vo
ωf
γ1
γ2
γ=0
γ1> γ2 > γ3
ωo
γ3
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L5:Oscilaciones Relaciones trigonométricas
Relaciones trigonométricasRelaciones trigonométricas
[ ]11cossen 22 =α+α
( ) [ ]2cossencossensen αβ±βα=β±α
( ) [ ]3sensencoscoscos βαβα=β±α m
( ) [ ]4cossen22sen αα=α
( ) [ ]5sencos2cos 22 α−α=α
[ ]62cos1
2sen
α−=
α
[ ]72cos1
2cos
α+=
α
[ ]82
cos2
sen2sensen
βα
β±α=β±α m
[ ]92
cos2
cos2coscos
β−α
β+α=β+α
[ ]102
sen2
sen2coscos
β−α
β+α−=β−α
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