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Funciones de Varias Variables

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Funciones de varias variables

Consideremos el volumen de un cilindro circular recto

El volumen del cilindro depende de:

• radio

• Altura

• Matemáticamente, se puede escribir como sigue:

Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura

2( , )V r h r h

Funciones de varias variables

2( , )V r h r h

02

46

810

0

5

100

500

1000

1500

2000

2500

3000

x

x2 y

y

Funciones de varias variables

2( , )V r h r h

• A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función. • Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro?

• A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función. • Qué valores pueden tomar V?

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

• Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w?

• Debido a que la raíz cuadrado, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que

• O que

Considere la siguiente función:

2 0y x

2y x

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Recordemos la gráfica de

Considere la siguiente función:

2y x

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad?

Considere la siguiente función:

2y x

Cualquier pareja de puntos que se encuentra sobre la parábola, de donde, podemos decir que el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.

Funciones de varias variables

2( , )w x y y x

Considere la siguiente función:

El rango de la función w va a estar dado por: 0, )

Funciones de varias variables

1

( , )w x yxy

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: 0xy

El rango de la función w va a estar dado por: ,0) (0, )

Funciones de varias variables

( , ) sin( )w x y xy

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y

El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x y)

y

Funciones de varias variables

2 2( , )

1

yw x y

x y

Considere la siguiente función:

-5

0

5

-5

0

5

-0.5

0

0.5

x

y/(x2 + y2 + 1)

y

Funciones de varias variables

2 2( , )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.5

1

1.5

2

x

x2 + y2

y

Funciones de varias variables

2 2( , ) sin( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

sin(x2 + y2)

y

z

Funciones de varias variables

2 2( , ) cos( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-1

0

1

-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

-4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x2 + y2)

y

z

Funciones de varias variables

( , ) sin( )cos( )w x y x y

Considere la siguiente función:

-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(y) sin(x)

y

Funciones de varias variables

2 2 2( , )w x y x y z

Considere la siguiente función:

El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z)

El rango de la función w va a estar dado por: 0, )

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y

2 2 100x y 2 2 49x y

2 2 25x y

Circulo de radio 10 y centro en el origen

Circulo de radio 7 y centro en el origen

Circulo de radio 5 y centro en el origen

Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)=0 representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es 0. De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.

2 2( , ) 100f x y x y

( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función

2 2( , ) 100f x y x y

-74.7

-49.7

-24.8

0.2

25.1

50.1

75

radio

altura

Curvas de nivel

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función

2( , )f r h r h

392

783

1.17e+03

1.57e+03

1.96e+03

2.35e+03

2.74e+03

radio

altura

Curvas de nivel

2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función

-0.75

-0.75

-0.75

-0.75

-0.75

-0.75

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

-0.25

-0.25

-0.25

-0.25

-0.25

2.11e-10

2.11e-10

2.11e-10

2.11e-10

2.11e-10

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.75

0.750.75

0.75

0.75

0.75

eje x

eje

y

Curvas de nivel

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2 2( , ) sin( )w x y x y

Funciones de varias variables Curvas de nivel

El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función

2 2( , ) cos( )w x y x y

-0.75

-0.75

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

-0.5

-0.25

-0.25

-0.25

-0.25

-0.25

3.75e-09

3.75e-09

3.75e-09

3.75e-09

3.75e-09

3.75e-093.75e-09

3.75e-09

3.75e-09

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

0.75

eje x

eje

y

Curvas de nivel

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Ejercicios

567

567

567

567

572

572

572

572

577

577

577

577

581

581

581

581

586

591

595

eje x

eje

y

Curvas de nivel

-6 -4 -2 0 2 4 6-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Ejercicios

0.588

1.18

1.76

2.35

2.94

3.53

4.11

4.7

5.29

5.88

peso

esta

tura

Curvas de nivel

0 10 20 30 40 500

5

10

15

20

25

30

35

40

45

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Ejercicios

-5

0

5

-5

0

5-10

-5

0

5

10

x

(2 x + 3 y)/(5 x - 2 y)

y

Funciones de varias variables Ejercicios

-20

-10

0

10

20

-20

-10

0

10

200

2

4

6

8

10

x

(x2 + y2 - 64)1/2

y

z

Funciones de varias variables Ejercicios

-5

0

5

-5

0

5

-40

-20

0

20

40

x

x y

y

Funciones de varias variables Ejercicios

-10

-5

0

5

10

-10

-5

0

5

10-1

-0.5

0

0.5

1

x

(2 x)/(x2 + y2 + 3)

y

Funciones de varias variables Ejercicios

0

5

10

-10

-5

0

5

10-2

-1

0

1

2

3

4

x

log(2 x + y - 1)

y

Funciones de varias variables Ejercicios

Funciones de varias variables Geogebra

Solución sistema lineal de 2 por 2

A:={{1, 4}, {-1, 2}}

B:={{0}, {-1}}

Inversa[ A ]*B

{x+3y=4,2x-y=2}

b:=x^2+2x+10

Derivada[ b ]

Integral[ b, 0, 2 ]

Integral[ b ]

Funciones de varias variables Ejercicios

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