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FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (VARIABLES DISCRETAS) Formulario de la distribución binomial:

( ; , ) x n xnb x n p p q

x−⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, donde:

n = número de ensayos independientes; p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de éxitos en los n intentos. (x = 0, 1, . . ., n). Media o valor esperado: µ = np. Varianza: σ2 = npq ; desviación estándar: npqσ = .

Distribución acumulada: B(r; n, p) =0

( ; , )r

xb x n p

=∑ (Se halla en tablas).

Moda: mo = [(n + 1)p], si (n + 1)p∉ ; pero si (n + 1)p∈ , hay dos modas, a saber: (mo)1 = (n + 1)p; y (mo)2 = (n + 1)p − 1. (El símbolo [r ] denota la parte entera de un número real r, por ejemplo [2.23] = 2). En qué casos se usa: Se usa cuando se trata de pruebas repetidas independientes con sólo dos resultados posibles (éxito y fracaso). Se identifica fácilmente porque se conoce un valor de probabilidad fijo (p) para la ocurrencia de un éxito, y otro valor fijo (n) que representa el número de ensayos o pruebas independientes realizadas. Formulario de la distribución binomial negativa:

1*( ; , )

1r n rb x r p p q

xr

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

−−

, donde:

r = número ordinal de éxito deseado (también se suele denotar por la letra k); p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de intentos (éxitos más fracasos) para lograr el r−ésimo éxito.

Media o valor esperado: µ = rp

. Varianza: 2σ =2

rqp

; desviación estándar: rqp

σ = .

Distribución acumulada: 1

0*( ; , ) 1 ( ; , )

rn

x r xb x r p b x n p

−

= == −∑ ∑

Moda: 1 1 1or p rm

p p⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −

= = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(el corchete denota la parte entera).

Al igual que en la binomial, si la parte dentro del corchete ya fuese entera, entonces habría dos modas, que serían ese número y el anterior. En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el r−ésimo éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Se identifica fácilmente por la presencia de adjetivos o pronombres ordinales (tercero, quinto, décimo, etc.). También puede verse como una espera discreta hasta lograr por fin r éxitos (junto con x − r fracasos) en una sucesión de ensayos de Bernoulli1.

1 Exactamente del mismo modo, la distribución gama (o Erlang), rige el tiempo (variable continua) de espera hasta que se acumulen r sucesos de Poisson.

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Formulario de la distribución geométrica:

1( ; ) xg x p pq −=

Media o valor esperado: µ = 1p

.

Moda: 1om = .

Varianza: 2σ =2

qp

; desviación estándar: qp

σ = .

Distribución acumulada: 1

( ; ) 1n n

xg x p q

== −∑ .

En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el primer éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Formulario de la distribución hipergeométrica:

( ; , , )

k N kx n xh x n k N

Nn

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

,

Las letras significan: N = tamaño de la población; n = tamaño de la muestra sin reposición; k = número de éxitos en la población; x = número de éxitos en la muestra.

Media o valor esperado: µ = kn npN

= , donde p = kN

Moda: ( 1)( 1)2o

n kmN+ +⎡ ⎤= ⎢ ⎥+⎣ ⎦

. Al igual que en la binomial y en la binomial negativa, si la parte

dentro del corchete ya es entera, entonces hay dos modas, que son ese número y el anterior.

Varianza: 2σ = 11 1

k k N n N nn npqN N N N

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠; donde p = k

N y q = 1 − p

En qué casos se usa: La distribución hipergeométrica se aplica cuando se toma una muestra sin reposición de una población que tiene sólo dos tipos de objetos: éxitos y fracasos.

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Formulario de la distribución de Poisson:

( ; )!

xx

xe λ λλ−

℘ =

Media o valor esperado: µ = λ. Moda: [ ]om λ= . Si ocurre que λ es entero, entonces hay dos modas, a saber: λ y λ −1.

Varianza: 2σ = λ; desviación estándar: σ λ= .

Distribución acumulada: 0

( ; )r

xx μ

=℘∑ . Con tablas. Se buscan r y μ en las tablas

En qué casos se usa: Es una distribución para eventos independientes poco probables. Puede verse como distribución límite de la binomial cuando n → ∞ y p → 0 . También se aplica en el flujo de sucesos de Poisson, que son eventos inesperados, independientes y poco probables, en los cuales λ es un promedio conocido de ocurrencias por unidad de tiempo, área o volumen. Formulario para la distribución de Bernoulli: Si un experimento aleatorio tiene dos resultados posibles, éxito y fracaso, y sus probabilidades son, respectivamente, p y q = 1− p, entonces el número de éxitos (0 o 1) tiene una distribución de Bernoulli. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X con distribución de Bernoulli y parámetro p es, por tanto:

f(x; p) = px (1−p)1−x, para x = 0, 1.

Media o valor esperado: µ = p. Varianza: 2σ = p (1−p) = pq; desviación estándar: pqσ = . Formulario para la distribución discreta uniforme: Se dice que la variable aleatoria X tiene la distribución discreta uniforme si la función de densidad está dada por:

nnni

ni

pxxxx111

21

...

...

Esta variable tiene número finito de puntos xi que toma con probabilidades iguales a pi. La media y la varianza de la variable aleatoria con distribución discreta uniforme están dadas, respectivamente por:

∑∑==

−====n

i

n

i

XExn

XVxn

XE ii1

2

1

2)]([1)(; 1)( σμ .