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Geometría
LÍNEA RECTA Concepto matemático no definible. Se considera como un conjunto de puntos ubicados en una misma dirección; ilimitada en ambos sentidos.
: Se lee, recta LSEGMENTO
Porción de línea recta limitada por dos puntos llamados extremos del segmento. Un segmento se representa por dos letras mayúsculas que se oponen en sus extremos, con una rayita en la parte superior.
: Se lee, segmento AB MEDIDA O LONGITUD DEL SEGMENTO
Todo segmento se caracteriza por tener una longitud que es un número real positivo que nos indica la distancia que existe entre los puntos que son sus extremosEjemplo:
AB=5cm ó m =5cmSEGMENTOS CONGRUENTES
Son aquellos que tienen igual longitud
Así y son congruentes, escribiremos:
, ó simplemente AB=CDPUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Punto del segmento que equidista de los extremos.
Si “M” es punto medio del , entonces
AM = MB = = a.PUNTOS COLINEALES
Son los que pertenecen a una misma recta. Por ejemplo, los puntos A, B, C, D, contenidos en la recta L. Además, si se marcan sobre la recta en
que se mencionan, diremos que A, B, C, D son consecutivos.
OPERACIONES DE LONGITUDES DE SEGMENTOS
Para el gráfico: Suma: AB +BC + CD = AD Resta: AB = AD – BD Multiplicación: AC = 5CD
División: AB=CUATERNA ARMONICA
Sean A, B, C, y D puntos colineales y co consecutivos forman una “Cuaterna Armónica” si se cumple la proporción:
PROPIEDADES DE LA CUATERNA ARMONICA
Sabiendo que A, B, C, y D forman una “Cuaterna Armónica” según como muestra la figura se cumplen las siguientes propiedades:
AB BC
Relación de Descartes: =Relación de Newton: Si “O” es el punto medio de en la figura, entonces:
Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria
CAP 1; SEGMENTOS
1
Geometría
Ejercicios1.Sea una recta en la cual se toman los
puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que: AC+BC=28m.Calcular la longitud del segmento MC, si M es el punto medio de AB.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 142.En una recta, sean los puntos
consecutivos A, B, C, D y E; tal que F sea el punto medio de AB y G punto medio de DE. Además AB=BC y CD=DE. También AB+DE=10.Calcular FG.
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 153.Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C ,D, de modo que AB=BD=4.CD.Hallar CD, si AD=24
a)1 b)2 c)4 d)3 e)64.En una recta se marcan los puntos
consecutivos A, B, C, D, tal que CD=3.AC, BD-3.AB=28.Calcular BC.
a)6 b)7 c)4 d)3 e)8 5.En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D de modo que AD=6.BC y AB+CD=50.Calcular AD.
a) 70 b) 50 c) 40 d) 60 e) 806.En una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C, D de modo que AC=12 y AD+CD=32.Calcular AD.
a) 21 b) 24 c) 22 d) 10 e) 127.Los puntos A,B,C se encuentran sobre una
línea recta de modo que AC+AB= .
Hallar a)1/6 b)1/8 c)1/5 d)1/4 e)1/108.Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D de modo que
. Hallar a)1 b)2 c)3 d) 1,5 e) 0,59.Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D de modo que
. Hallar a)1,5 b)2 c)3 d) 1,3 e) 0,510. Sobre una línea recta se consideran los
puntos colineales y consecutivos A,B,C,D; tal que AC=19 y BD=23.Determinar la longitud del segmento que une los puntos medios de ,y .
a) 12 b)8 c) 16 d) 10,5 e) 2111. En una línea recta se ubican los
puntos consecutivos A,B,C,D tal que
AB+CD=2.BC,además AC+CD=21. Hallar BC
a)5 b)7 c)6 d)3 e)412. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D de donde B es punto medio de AC. Encontrar BD , si AC.BD+ =12+
a)1 b)2 c)3 d)4 e)213. Sobre una línea recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D, E tal que AD=CE, AB=2.BC Y DE+BC=16.Calcular AB.
a)4 b)6 c) 10 d)8 e) 1214. Sobre una línea recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D, E de modo que 2.AE=5.BD, Además AD+BE=42.Calcular BD.
a)7 b) 12 c) 14 d) 16 e) 10,515. En los puntos colineales A, B, C, D, E se marca
el punto medio M del segmento .Hallar CD, si AD=10,BM=6 y AB=BC+DE
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0,516. En una línea recta se ubican los puntos
consecutivos A,B,C,D tal que 17.AC=5.CD y 5BD-17.AB=132.Encontrar BC. a)3 b) 12 c)4 d)8 e)617. En los puntos colineales A, B, C, D se cumple
que AB=4, AC=20, además 3.BC=2. (BD+CD). Calcular AD.
a )22 b)23 c)24 d)25 e)2618. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A,B,C,D de modo que 3.CD=5.AC y 3. BD-5.AB=96. Calcular BC
a) 14 b) 24 c) 16 d) 10 e) 1219. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D. Si
CD=BC=13cm y CD-AB=8cm, calcula la longitud de .
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 2020. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A, B, C, D. Si AD=24m,AC=15m y BD=17m.Halla (BC)/(AD)
a)1/4 b)1/2 c)1/3 d)1/4 e)1/521. Sobre una recta se toman los puntos
consecutivos A,B,C,D de modo que B es punto medio de ,además AD=2.CD+10.Hallar BC
a)3 b)4 c)5 d)6 e)222. En una recta se hallan los puntos
A, B, C, D y E colineales, C es punto medio de BD, AB=2BD, DE=14 y AE=44. Calcular AC.
a) 20 b) 25 c) 28 d) 30 e) 3523. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos A, B, C y D. Si: AC + BD = 24. Hallar PQ siendo P y Q puntos medios de y respectivamente.
a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 24
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Geometría
24. En una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que CD=4.BC y AD + 4. AB= 20.Calcular AC
a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 e) 825. Sobre una línea recta se ubican los
puntos consecutivos A, B, C, D, E y F.
Sabiendo que: AB = EF = y AC + BD+CE+DF =24. Hallar BE.
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 2026. En una recta se tiene los puntos
consecutivos A, B, C, D, de modo que: 2AB = 3BC = 4CD y AD = 52; Calcular BD.
a) 36 b) 24 c) 28 d) 42 e) 3927. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos P, Q, M, R y S tal que PS=30, QS=18, PR=22 y M es punto medio de QR. Calcular PM. a)12 b) 13 c) 14 d) 17 e) 18
28. En una recta L, se dan los puntos consecutivos A,B,C,D y los puntos medios M,N y P de y respectivamente de modo que MN+MP+MD=2AD.HalleAD, si MB+CP=6
a)6 b)9 c)12 d)18 e)2429.
A,B, C, D y E, son puntos colineales y consecutivos tales que: 2AB=3BC=4CD=5DE y AE+BD=56. Hallar: AB
a)50 b)55 c)56 d)60 e)6130. Sean los puntos colineales y
consecutivos A, E, B, P y C; E es punto medio de Y P lo es de . Hallar PC, si: AB+2BC=36.
a)8 b)16 c)18 d)9 e)1231. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B,C y D; tal que :
y AC =529. Calcular “AB”
a) 46 b) 13 c) 19 d) 23 e) 6932. Sean los puntos colineales y consecutivos P,Q,R y S, tales que:
Y: 2PQ+5QR+8RS=132.Hallar PQ
a)3 b)6 c)9 d)12 e)433. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,B,C y D; de manera que: AB =96 y AB-CD=8
Calcular:”BC” a)8 b)2 c)6 d) 12 e)3
34. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A,B,C ,D,E y F de tal manera que: AC+BD+CE+DF=39 y
BE= .Calcular AF a)6 b)12 c)13 d)8 e)24
35. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D,E y F,
tal que: AC+BD+CE+DF=91m y BE= AF. Calcular AF
a)46m b)53m c)56m d)58m e)50m
36. Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D,E y F,
tal que: AC+BD+CE+DF=26m y BE= AF. Calcular AF
a)6m b)13m c)16m d)18m e)20m37. En una línea recta se dan los puntos consecutivos A, B y C, y los puntos medios M y N de respectivamente.
Si NB=2 y n MC =(n+1) MN, Calcular AC.
a)2n b)2(n-1) c)4(n-1) e)4(n+1)38. Sean los puntos colineales y consecutivos E, F, G y H. Si:EF=8; GH=9 y EG.GH+EF.FH=FG.EH. Hallar FG
a)10 b)12 c)14 d)17 e)20
ÁNGULOSe denomina así a la abertura formada por dos rayos trazados desde un mismo origen llamado “Vértice”. Los rayos que forman el ángulo reciben el nombre de “Lados”.
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CAP 2: ÁNGULOS
3
Geometría
Notación:
El ángulo AOB: AOB , AOBMedida del ángulo AOB: mAOB =
BISECTRIZSe denomina bisectriz de un ángulo a un rayo que partiendo del vértice divide al ángulo en dos ángulos iguales.
Clasificación de los ángulos
Los ángulos se clasifican según su magnitud, según sus características y según suposición.
a) SEGÚN SU MAGNITUD
Nulos: (su medida es 0°)
Convexos: Si: 0° < < 180°
Agudos
Rectos
Obtusos
Llano:
Miden 180°
Cóncavos:
Si: 180° < < 360°
De una vuelta:
Si: = 360°
b) SEGÚN SUS CARACTERÍSTICAS Ángulos Complementarios: Son dos ángulos que sumados dan 90°.
Es decir: “” y “” son complementarios si se cumple:
+ = 90°
Complemento de un AnguloEl complemento de un ángulo es lo que le falta a éste para medir 90°. Así: el Complemento de 15° es 75° . en General:
C = 90° –
Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos que sumados dan 180°Es decir: “” y “” son suplementarios si se cumple:
+ = 180°
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Geometría
Suplemento de un AnguloEl suplemento de un ángulo es lo que le falta a éste para medir 180°. Así: el Suplemento de 70° es 110° . en General:
S = 180° –
c) SEGÚN SU POSICIÓN
Ángulos Consecutivos: Son aquellos que teniendo el mismo vértice y un lado común, se encuentran a uno y otro lado del lado común.
El AOB es consecutivo al BOC
Ángulos Adyacentes Suplementarios.
El AOB es adyacente al BOC
Ángulos Opuestos por el vértice
El AOB es opuesto por el vértice al COD
Se cumple entonces: =
PRACTICA 1
01.-
02.-
03.-
04.-
05.-
06.-
07.-
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Geometría
08.-
09.-
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
16.-
17.-
18.-
PROBLEMAS NIVEL I
01.- Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el doble de su complemento resulta la medida de dicho ángulo pero más 80°. Calcular dicha medida.
a) 50° b) 60° c) 70° d) 80° e) 90°
02.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC; Sí las bisectrices de los ángulos AOB y AOC forman unángulo de 40º. Calcular mAOC.a) 20° b) 40° c) 80° d) 30° e) 10°
03.- Un ángulo llano es dividido en cinco ángulos parciales en progresión aritmética.Calcular el ángulo menor sabiendo que el cuadrado de su medida es igual al ángulo
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Geometría
mayor.a) 4º b) 6° c) 8° d) 10° e) 9°
04.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC en donde se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AOB y MOC respectivamente. Hallar mNOB Sí, mAOC – 3mAOM = 36° Y BOC > AOBa) 36° b) 9° c) 12° d) 18º e) NA
05.- La suma del complemento de un ángulo “” con el suplemento de su ángulo doble es igual a 2/3 del complemento de un ángulo “” y además: - = 35°. Calcular el complemento del ángulo “”. a) 20º b) 24º c) 30° d) 32° e) 10°
06.- Se tienen los ángulos consecutivos AOB; BOC y COD, tal que: mCOD=3mAOB. Hallar: mBOC ; si al trazar las bisectrices OX yOY de los ángulos AOB y COD, se cumple que: 2mXOY - mAOD = 30°a) 20° b) 15° c) 30° d) 18° e) 60°
07.- El suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al complemento de la diferencia entre el complemento del complemento y el suplemento del mismo ángulo. Calcular dicho ángulo.a) 300 b) 45° c) 60° d) 75° e) 90°
08.-Sabiendo que el suplemento del complemento de la mitad del mayor ángulo que forma la bisectriz del ángulo adyacente suplementario a un ángulo “θ” y el otro lado no común es 140º, calcular θ.a) 30º b) 15º c) 20º d) 25º e) NA
09.- Se tiene dos ángulos consecutivos AOB y BOC. Calcular la medida del ángulo formado por OA con la bisectriz del ángulo BOC, si mAOB=aº y mAOC=bº
a) (2aº+bº)/2 b) (aº+2bº)/2 c) (aº+bº)/2 d) (aº-bº)/2 e) NA
10.- La suma de dos ángulos consecutivos AOB y BOC es menor de 180º y la
diferencia de los mismos es 28º. Hallar el ángulo formado por el lado OB y la bisectriz del ángulo AOC.
a)28b)14ºc) 62ºd)76ºe)20º
NIVEL II01.- Calcular “x” del grafico, si:
mAOD=100° ; mBOC=40°
a) 50ºb) 60ºc) 70ºd) 80ºe) 90º
02.- Calcular “x” en la figura, si: mPOR=100°
a) 10ºb) 20º c) 30º d) 45ºe) 50º
03.- En el grafico: mPOR + mQOS = 240°
Calcular: mQOR
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Alternos internos: (4=Alternos externos: (
(1=5) ; (2= (4=8) ; (3=
Geometría
a) 54º b) 62º c) 60º d) 30º e) 35º
04.- Si: mAOC + mBOD = 120º. Calcular: MON.
a)45º b)30ºc) 60ºd)55ºe)80º
05.- En la figura, calcular “+”; si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90º.
a)150ºb)135ºc) 175ºd)180ºe)160º
06.- La suma de las medidas de dos ángulos es 42º y el suplemento del complemento del primero es el doble del complemento del ángulo doble del segundo. Hallar la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
a) 10º b) 12º c) 15º d) 18º e) 20º
07.- Según la figura, calcular:
m∠POC
a) 120º b) 135º c) 100º d) 95º e) 145º
08.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es igual a 38º. Calcular la medida del ángulo formado por el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC.a) 18º b) 19º c) 20º d) 38º e) 24º
Ángulos formados por dos rectasParalelas y una secante
L1 // L2 ; L3 es secante con L1 y L2
Ángulos Internos: 3 , 4 , 5 , 6
Ángulos Externos: 1 , 2 , 7 , 8
Ángulos Alternos: (de igual medida)
Ángulos Correspondientes (de igual medida)
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CAP 3: Rectas paralelas cortadas por una secante
8
Conjugados internos: (4,5) ; (3,6)Conjugados externos: (1,8) ; (2,7)
Geometría
Ángulos Conjugados (son suplementarios)
Propiedades:Siendo: L1 // L2 , se cumple:
01.
02.
03.
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Geometría
PRACTICA 1 PRACTICA 2
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Geometría
PRACTICA 3PROBLEMAS
01.- Hallar “x” de la figura. L1//L2
a)10° b)15°c) 18°d)20°e)24°
02.- Hallar “x” ; si: L1//L2
a)52° b)55°c) 63°d)67°e)73°
03.- Calcular “” de la figura. L1//L2
a)40°b)50°c) 60°d)30°e)80°
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Geometría
04.- Hallar “x” ; si: L1//L2
a)15°b)18°c) 30°d)20°e)25°
05.- Calcular “x” de la figura; si: L1//L2
a)30°b)70°c) 45°d)60°e)80°
06.- Calcular “x” si: L1//L2
a)120° b)150°c) 170°d)135°e)160°
07.- Calcular “x”, si: L1//L2
a)110°b)150°c) 120°d)160°e)140°
08.- Si: L1//L2 ; calcular “x”
a)30°b)20°c) 45°d)40°e)24°
09.- Hallar “x”; si:
a)20°
b)45°c) 75°d)30°e)60°
10.- Calcular “x”, si: + = 72°
a)108°b)144°c) 124°d)11°e)136°
11.- Si: L1 // L2 ; L3 // L4 ; calcular: ° + °
a)180°b)220°c) 270°d)310°e)360°
12.- Si: L1 // L2 ; a° + b° = 220° ; calcular “x”
a)2°b)3° c) 4°d)5°e)8°
13.- Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de tal forma que es bisectriz del ángulo AOD; m AOB = 40º, m DOE = 20º. Calcular el valor de "x".
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Geometría
A) 50º B) 60º C) 75ºD) 80º E) 65º
14.-. Según el gráfico, calcular m BOC, si
m AOC +m BOD = 280º y
m AOD = 120º.
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
15.- Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, de tal forma que m AOB = 20º, m BOC = 30º y m AOD = 70º. Calcular la medida del ángulo que forma la bisectriz del ángulo COD con el rayo
.
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
16.- ¿Cuánto es la diferencia de las medidas de los ángulos AOB y COD, sin m BOD = 100º?
A) 40º B) 50º C) 60º
D) 80º E) 55º
17.-. Un ángulo es tal que, la suma de su complemento y de su suplemento es igual al triple de dicho ángulo. Halar el suplemento del complemento de dicho ángulo.
A) 54º B) 36º C) 126º
D) 144º E) 162º
18.-. Dado los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD de modo que: m BOD = 90º y m AOB = 30º. Calcular mCOD.
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 50º E) 60º
TRIANGULO:Figura Formada por la unión de tres puntos no colineales mediante segmentos de línea recta.
Notación: El triángulo ABC: ABCElementos:Lados: AB , BC y AC
Internos:, , Ángulos: Externos: x, y , z
Perímetro: (2p)
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CAP 4: TRIANGULOS
13
Geometría
CLASIFICACIÓN
A) Según sus Lados
* Equilátero
* Isósceles
* Escaleno
B) Según sus ángulos:
* Rectángulo
* Acutángulo
* Obtusángulo
TEOREMAS FUNDAMENTALES
DE LOS TRIÁNGULOS
Teorema 1: (De la suma de ángulos internos)
Teorema 2: (De la medida del ángulo exterior)
Teorema 3: (De la suma de ángulos exteriores)
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Geometría
Teorema 4: Propiedad de la existencia de un triángulo
En todo triángulo la medida de un lado, debe ser menos que la suma de los otros dos lados y a su vez mayor que la diferencia de los mismos lados.
Regla de Correspondencia: En todo triángulo escaleno, se cumple que a menor lado se opone menor ángulo y a mayor lado se opone mayor ángulo.
PROPIEDADES
1.-
2.-
3.-
PROBLEMAS
01.- Hallar “”
a)50ºb)45ºc) 30ºd)60ºe)NA
02.- Hallar “”
a)50ºb)60ºc) 75ºd)70ºe)NA
03.- Hallar “x”
a)112ºb)115ºc) 110ºd)100ºe)NA
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a – b < c < a +
a – c < b < a +
b – c < a < b +
15
Geometría
04.- Hallar “x”
a)30ºb)20ºc) 35ºd)60ºe)NA
05.- Calcular “x”, según la figura:a)8ºb)9ºc) 10ºd)11ºe)NA
06.- En el gráfico, calcular “x”
a)25ºb)35ºc) 30ºd)28ºe)NA
07.- En el gráfico, calcular “2”
a)25ºb)22ºc) 23ºd)21ºe)20º
08.- Del gráfico mostrado, calcular “”
a)10ºb)29ºc) 20ºd)60ºe)70º
09.- En el gráfico, calcular “x”
a)40ºb)50ºc) 80ºd)90ºe)70º
10.- En la figura ABC es un triángulo equilátero. Calcular “x”a) 60ºb) 55ºc) 65ºd) 70ºe) NA
11.- Encontrar el valor de “x”.
a)60°b)55°c) 45°d)65°e)50°
12.- Calcular: x+y+z+wa)180°b)360°c) 720°d)540°e)900°
13.- En el gráfico calcular “x”
a) 60º b) 50ºc) 70ºd) 65ºe) NA
14.- Hallar la suma de los valores que admite el lado desconocidoa) 1 b) 2c) 4 d) 5
Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria 16
Geometría
e) 3
15.- En el gráfico calcular “x”a)25ºb)30ºc) 35ºd)40ºe)NA
16.- En el gráfico si AB = BC. Calcular “x”a)45ºb)50ºc) 60ºd)70ºe)NA
17.- En el gráfico si AB = BC = BP. Calcular “x”a)45ºb)50ºc) 60ºd)70ºe)NA
18.- Si en el gráfico: ++ = 380º . Calcular “x”
a)18ºb)20ºc) 16ºd)15ºe)NA
19.- En el triángulo ABC, un lado es la mitad de otro. Calcular el perímetro
del triángulo
a) 21 ó 28 d) 18 ó 24b) 16 e) 20c) 23
20.- En el gráfico calcular: aº + bº + cº + dº + eº + f º
a)120ºb)180ºc) 210ºd)360ºe)450º
21.- Encontrar “x”, el triángulo ABC equilátero.
a)60°b)64°c) 74°d)72° e) 36°
22.- Calcular “x” .
a)58°b)48°c) 60°d)70°e)68°
23.- Hallar “x”
a) 9°b) 10°c) 12°d) 15°
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Geometría
e) 18°
24.- Calcular “”
a) 10° b) 12° c) 15° d) 9° e) 18°
25.- Hallar “x”
a) 15°b) 10°c) 25°d) 40°e) 45°
26.-En la figura : AB + BC = 28. Calcular el máximo valor entero de
BH
a) 16 b) 9 c) 15d) 14 e) 13
27.-En la figura calcule el máximo valor entero de “BD”. Si: AD = 3; CD = 12 y AB + BC = 19
a) 15 b) 16 c) 17d) 14 e) 18
01.- LA CEVIANA
Es aquella recta que parte de un vértice y cae en cualquier punto del lado opuesto o de su prolongación.
BP y BQ son cevianasDel triángulo ABC
02.- LA MEDIANA
Es la recta que parte de un vértice y cae en el punto medio del lado opuesto.
BM es mediana relativa al lado AC AM = MC
Importante:
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CAP 5: TRIANGULOS II
18
Geometría
El punto de intersección de las medianas de un triángulo se denomina “Baricentro” y forma en cada mediana segmentos proporcionales de 2 a 1.
“G”: baricentro o Gravicentro
AG = 2GN BG = 2GM CG = 2PG
03.- LA ALTURAEs la recta que parte de un vértice y cae perpendicularmente en el lado opuesto o en su prolongación.
04.- LA MEDIATRIZEs la recta que pasa por el punto medio de un segmento formando 90°
L1 es mediatriz L2 es mediatriz L3 es mediatriz de AB de PQ el lado AC AM = MB PR = RQ AM= MC
05.- LA BISECTRIZ
Bisectriz interiorRecta que divide a la medida de un ángulo interior en dos partes iguales.
BD es bisectriz del ángulo ABC
Bisectriz exterior
Recta que divide a la medida de un ángulo exterior en dos partes iguales.
CP es bisectriz del ángulo exterior BCQ
PROPIEDADES ADICIONALES
01.-
X = 90° +
θ2
02.-
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Geometría
x = 90° -
θ2
03.-
x =
θ2
RELACIÓN DE EXISTENCIA DEL
TRIÁNGULO
b c
aSi: a > b > c. Se cumple:
b – c < a < b + c
a – c < b < a + c
a – b < c < a + b
PROBLEMAS
01.- En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos es el doble del otro ángulo agudo. Calcular el menor ángulo agudo. a) 20º b) 25º c) 50º d) 30º e) NA
02.- En un triángulo equilátero ABC se traza la bisectriz BD (D pertenece a AC). Calcule el valor del ángulo BDC. a) 75º b) 80º c)90º d)85º e) NA
03.- En la figura calcular “x”. AC es bisectriz del BAD
a)30ºb)25ºc) 45ºd)28ºe)NA
04.- En la figura, si BI y BR son bisectrices, calcular “x”
a)45ºb)50ºc) 60ºd)55ºe)NA
05.- Del gráfico calcule “x”
a)35ºb)40ºc) 60ºd)35ºe)NA
06.- Hallar “x”
a)100ºb)105ºc) 106ºd)110ºe)NA
07.- Hallar “x”
a)36ºb)70ºc) 72ºd)60ºe)NA
08.- Hallar “x”
a)110º
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Geometría
b)120ºc) 112ºd)130ºe)NA
09.- En un triángulo isóseles ABC (AB=BC) se traza la altura AH. Calcular la mHAC, si mB=80°. a) 35 b) 40º c) 45º d) 50º e) NA
10.- En un triángulo ABC: mA = 20° y mC = 40°. Calcular la medida del menor ángulo formado por las alturas que parten de A y C. a) 55º b) 45º c) 35º d) 60º e) NA
11.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz interior AD, las cuales se intersectan en P. Si BP=6 y DC=13, Calcular BC. a) 15 b) 16 c) 19 d) 20 e) NA
12.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH. La bisectriz del HBC intersecta en P a HC. Si AB=5, calcular el máximo valor entero de BP. a) 12 b)9 c) 15 d) 16 e) NA
13.- El ángulo A de un triángulo ABC mide 20º. Se traza la ceviana CT y en el triángulo ATC se traza la ceviana TQ. Si mATQ = 40° y TQ = QC = BC. Calcular la mB
a) 80º b) 70º c) 10º d) 65º e) NA
14.- En un triángulo ABC, mB = 90° la bisectriz del ángulo exterior A intersecta en P y Q a las prolongaciones de CB y de la altura BH respectivamente, si BP = 13 y HQ = 7. Calcular BH.
a) 8 b) 10 c) 6 d)11 e) NA
15.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
I. AB > BDII. x = 30ºIII. AC = BD
a ) Sólo I b) III c) II y III d) Sólo II e) NA
16.- Calcular “x”
a) 124° b) 146°c) 132°d) 144°e) 164°
17.- Si: AE=AD ; DC=CF. Hallar “x”a)30°b)60°c) 45°d)55°e)65°
18.- Calcular “x”, si: AB=BC y BP=BR
a)16°b)18° c) 24°d)32°e)36°
19.- En la figura: MN = NC = BC .Hallar “x”
a)80°b)60°c) 75°d)85°
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Geometría
m°n°
B
A
E
D C
F
x°
e)90°
20.- En la figura, hallar “x”
A) 10º B) 20º C) 30ºD) 40º E) 50º
21.- Exteriormente a un triángulo equilátero ABC se construye el triángulo ADC, tal que AD=3 y DC=12. Calcular el mayor valor entero del Perímetro del triángulo ABC.
A) 42 B) 45 C) 44D) 43 E) 46
22.-Si AB=BC, DF=EF y m+n=80, calcular “x”
A) 20B) 25C) 40D) 50E) 80
23.-En el triángulo ABC, AB=BC, en
AC y BC se ubican los puntos “E” y “D” respectivamente, tal que BE=BD. Si la m<ABE=50, calcular la m<CEDA) 15 B) 20 C) 25D) 35 E) 40
24.-Dos lados de un triángulo miden 6 y 2. ¿Cuántos valores enteros puede tomar la medida del tercer lado del triángulo?
A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5
25.-Dos lados de un triángulo miden 7 y 9. Calcular el perímetro del tirángulo si el tercer lado mide el doble de lo que mide uno de los otros dos.
A) 16 B) 21 C) 30D) 34 E) 30 ó 34
26. Hallar “x + y”
a) 14 b) 12 c) 13d) 15 e) 11
27. Hallar “”
a) 45° b) 70° c) 40°d) 50° e) 60°
28. En la figura, si: BC = CD y AC = CE. Hallar “x +y”
a) 41° b) 35° c) 32°d) 26° e) 68°
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Geometría
B
w
C
x
D
y
EAz
29. Si: AE = DC. Hallar “x + y”
a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) N.A.
30. Hallar “QR”
a) 50 b)60 c) 30 d) 80 e) 90
31. Calcular “x”
a) 10b) 12c) 8d) 17e) 20
32. BM es mediatriz de
AD ; BN es mediatriz de
DC y AB = 8. Hallar “BC”.
a) 4b) 6c) 8d) 10e) 16
33. Hallar “PQ”, si AB = 7 y A= 4
a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5
34. En la figura, hallar “PR”
a) 6b) 8c) 12d) 69
e) 4√2
Se llama polígono a la figura geométrica plana que se encuentra formada por tres o más segmentos.
ELEMENTOS
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P O L Í G O N O S
23
Geometría
Vértices :..........................................
Lados:....................................................
ÁngulosInternos:...............................
Ángulos externos…………………….
Diagonales..............................................
Perímetro:...............................................
CLASIFICACIÓN:
Polígono convexo
.........................................
.....................................
……………………………
………………………….Polígono cóncavo o no convexo
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………...
Polígono equiángulo
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Polígono equilátero
.
……………………………………………
……………………………………………
…………………………………………..
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Geometría
Polígono regular
……………………………………………
……………………………………………
……………………………………………
PROPIEDADES EN LOS POLÍGONOS
CONVEXOS:
1. Suma de las medidas de los ángulos interiores.
n : número de lados
2. Suma de las medidas de los ángulos exteriores
Observación: Todo polígono de “n” lados tendrá también “n” vértices y “n” ángulos interiores.
Polígonos según el número de lados:
Polígono de 3 lados:………………….
Polígono de 4 lados:…………………
Polígono de 5 lados:………………..
Polígono de 6 lados:………………..
Polígono de 7 lados:………………..
Polígono de 8 lados:………………..
Polígono de 9 lados:………………..
Polígono de 10 lados:……………….
Polígono de 11 lados:……………….
Polígono de 12 lados:………………
Polígono de 15 lados:………………
Polígono de 20 lados:………………
Cálculo del número de diagonales
De un solo vértice:
n = número de lados
De todos los vértices:
n = número de lados
Completar el siguiente cuadro:
Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria
S : 180 (n - 2)
S : 360
d = n – 3
d = n – 3
25
Geometría
1. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de 18 lados?
a) 1380° b) 1600° c) 2120°d) 2380° e) 2145°
2. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1800°, ¿cuántos lados tiene el polígono?
a) 8 b) 10 c) 12d) 15 e) 20
3. ¿En qué polígono se cumple que el número de diagonales es numéricamente igual al número de lados?
a) Triángulo b) cuadrado
Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria
A C T I V I D A D E S
26
Número de lados Nombre Suma de ángulos
internos (S)Número de diagonales (D)
6
8
10
15
20
Geometría
x°
x°
x°
c) pentágono d) hexágono e) octógono
4. ¿De cuántos lados es el polígono que tiene 170 diagonales?
a) 17 b) 18 c) 20d) 19 e) 21
5. Hallar “x”
a) 100° b) 120° c) 150°d) 130° e) 160°
6. ¿En qué polígono al sumar el número de diagonales mas el número de lados se obtiene 21?
a) Pentágono b) heptágono c) hexágono d) octógono e) nonágono
7. ¿En qué polígono se cumple que el número de diagonales es el triple del número de lados?
a) Pentágono b) heptágono c) hexágono d) octógono e) nonágono
8. ¿En qué polígono se cumple que la suma de ángulos interiores es el triple de la suma de sus ángulos exteriores?
a) Hexágono b) decágonoc) cuadrado d) octógono e) endecágono
9. Si el número de diagonales es igual a 44, calcular la suma de los ángulos internos del polígono
a) 1434° b) 1820° c) 1620°d) 1500° e) 1760°
10. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es 1080°, ¿cuántas diagonales posee?
a) 15 b) 18 c) 20d) 22 e) 25
11. ¿Cuántas diagonales tiene aquél polígono en el cual la suma de sus ángulos internos es 8 veces la suma de los externos?
a) 102 b) 125 c) 146d) 165 e) 135
12. ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo en el cual el número de diagonales es mayor en 133 que el número de lados?
a) 13 b) 17 c) 11d) 14 e) 19
13. ¿Cuántos vértices tiene el polígono cuyo número de diagonales excede al número de lados en 18? a) 4 b) 5 c) 7d) 9 e) absurdo
14. ¿En qué polígono se cumple que al disminuir en 2 el número de lados, el número de diagonales disminuyó en 7?
a) Triángulo b) hexágono c) pentágono d) decágono e) heptágono
ACTIVIDAD
1) ¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un polígono de 8 lados?
a) 1000° b) 1050° c) 1080°d) 1090° e) 1100°
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Geometría
x+10° x+15°
x+20°
x+25°
x+5°
2) ¿Cuántas diagonales se pueden traza en un polígono de 15 lados?
a) 75 b) 60 c) 80d) 90 e) 100
3) ¿Cuál es el valor del ángulo “x” en el polígono mostrado?
a) 60° b) 85° c) 93°d) 120° e) 75°
4) La suma de los ángulos de un polígono convexo es igual a 8 rectos. ¿Cuál es el nombre de este polígono?
a) Triángulo b) cuadrado c) hexágono d) pentágono
e) N.A.
5) Si a un polígono se le trazan 119 diagonales, ¿cuántos lados tiene dicho polígono?
a) 15 b) 17 c) 20d) 21 e) 23
1 ) ¿ C u á n t o m i d e c a d a u n o d e l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r d e 1 5 l a d o s ?
a ) 1 3 8 ° b ) 1 5 6 ° c ) 1 2 0 °d ) 1 1 8 ° e ) 1 4 5 °
2 ) S i e l á n g u l o i n t e r n o d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e s 1 2 0 ° , ¿ c u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o ?
a ) 5 b ) 6 c ) 7d ) 8 e ) 9
3 ) ¿ C u á n t o m i d e e l á n g u l o e x t e r n o d e u n i c o s á g o n o r e g u l a r ?
a ) 8 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 5 4 ° e ) 3 6 °
4 ) ¿ E n q u é p o l í g o n o r e g u l a r , e l á n g u l o i n t e r i o r e s e l t r i p l e d e l e x t e r i o r ?
a ) 8 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 5 4 ° e ) 3 6 °
5 ) H a l l a r “ ” e n e l s i g u i e n t e p o l í g o n o r e g u l a r .
a) 30° b) 90° c) 120° d) 150° e) 80°
6 ) ¿ C ó m o s e l l a m a a q u e l p o l í g o n o r e g u l a r c u y o á n g u l o i n t e r i o r e s 3 v e c e s e l e x t e r i o r ?
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A C T I V I D A D E N C A S A
28
Geometría
a ) p e n t á g o n ob ) o c t ó g o n o c ) d e c á g o n o d ) h e x á g o n o e ) h e p t á g o n o
7 ) A l a u m e n t a r e n 2 e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o , s u á n g u l o c e n t r a l d i s m i n u y e e n 9 ° . ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o d e m e n o s l a d o s ?
a ) 3 b ) 6 c ) 5d ) 8 e ) 1 0
8 ) ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o r e g u l a r e n e l c u a l e l á n g u l o i n t e r n o m i d e 8 v e c e s e l e x t e r n o ?
a ) 1 0 b ) 1 2 c ) 1 4d ) 1 6 e ) 1 8
9 ) E l á n g u l o i n t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r m i d e e l q u í n t u p l o d e l a m e d i d a d e s u á n g u l o e x t e r i o r . H a l l a r e l n ú m e r o d e l a d o s d e l p o l í g o n o .
a ) 6 b ) 8 c ) 1 0 d ) 1 2 e ) 1 4
1 0 ) A l d i s m i n u i r e n 2 e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o , s u á n g u l o c e n t r a l a u m e n t a e n 6 ° . ¿ C u á n t o s l a d o s t i e n e e l p o l í g o n o i n i c i a l ?
a ) 1 0 b ) 1 1 c ) 1 2d ) 1 3 e ) 1 5
1 1 ) E n e l s i g u i e n t e p e n t á g o n o r e g u l a r , h a l l a r “ x ” :
a ) 3 6 ° b ) 2 4 ° c ) 1 8 °d ) 1 5 ° e ) 3 2 °
1 2 ) H a l l a r e l n ú m e r o d e d i a g o n a l e s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r e n e l c u a l s u á n g u l o i n t e r i o r m u l t i p l i c a d o p o r l a i n v e r s a d e s u á n g u l o e x t e r i o r e s i g u a l a 1 2 .
a ) 2 5 0 b ) 2 9 9 c ) 3 1 5d ) 4 2 0 e ) 3 6 5
Prof. Carlos Cobeñas de la Cruz 2do de secundaria 29
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