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Física del Radar de alta frecuencia para aplicaciones
marinas.Primera presentación de
Tópicos 2
• Fabián A. Torres Ruiz
• Profesor: Sr. Dante Figueroa
Programación.
Primera Presentación, Física del mar:
•Introducción a las corrientes marinas
•Fuerzas externas
•Fuerzas internas
•Ecuación del momentum
•Dispersión de ondas electromagnéticas en el océano
Introducción a las corrientes marinas
Fuerzas actuando sobre una masa de agua.
•Introduciremos el operador derivada convectiva:
vtDt
D
Este operador nos entrega la razón total de cambio de la parcela de fluido.
Como la Tierra es un sistema no inercial, debemos considerar el efecto del Spin el cual introduce dos fuerzas ficticias, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífugaLa aceleración para un cuerpo en un marco de referencia no inercial vista desde otro inercial queda expresada como:
)(2 xuuut
uDtDu
rrrri
Fuerzas externas
El potencial total causado por la gravedad sobre una parcela de fluido es:
tcgtr ),,,(
donde g es el potencial gravitacional, c es el potencial centrifugo y t es el potencial causado por las mareas .
R
GMTg 2
2
R
GM Lt )(
22
22
sinr
c
pkzp
jyp
ixp
VF
ˆˆˆ
La otra gran fuente de influencia sobre el océano son los llamados gradientes de presión que producen una fuerza por unidad de volumen de la forma:
Ahora, si consideramos a las fuerzas internas del fluido, se tienen las fuerzas viscosidad, para las cuales se necesita un tratamiento especial ya que se deben hacer consideraciones de tipo estadístico para modelar el problema de la turbulencia.
Para ello se utilizan habitualmente dos modelos:
•El modelo de Prandtl
•El modelo de Reynolds
Fuerzas internas
Antes de introducirnos a los modelos Prandtl y Reinolds debemos introducir el llamado Tensor de Esfuerzos Turbulentos que resumen las fuerzas por viscosidad, presión y expansión que actúan sobre una unidad de área de fluido.
Las componentes de este tensor son de la forma:
El primer subíndice indica la componente de la corriente. El segundo indica la dirección en que varía la velocidad.
jiij xx
Teoría de la longitud de mezcla o modelo de Prandtl
El modelo de Prandtl es adecuado para el análisis de la turbulencia en las proximidades de los bordes de un fluido donde se supone viscosidad isotrópica.
Si suponemos que las propiedades de un fluido las podemos separar en una parte fluctuante mas una parte promedio, entonces para la velocidad, mediante este modelo, la parte fluctuante queda como:
z
ulu
'
Así, el coeficiente del tensor de esfuerzos turbulentos queda como
22
z
ulxz
Experimentalmente se sabe que l=k z, donde k es la constante de Karman de valor 0.4, y z es la distancia al borde.
Tensiones turbulentas de Reynolds
En este modelo, se supone que las tensiones de Reynolds dependen linealmente de las derivadas espaciales de las componentes de la velocidad del flujo de gran escala. Así las componentes del tensor adoptan la forma:
j
ivh
i
jvhij x
xA
x
xA
,,
Finalmente, si queremos obtener una forma explícita de las fuerzas internas, se tiene que:
iljljii xApf 11
)( int
Ecuación de continuidad
Si consideramos un elemento de volumen, podemos estudiar la acumulación de masa en este.
udydzLa cantidad de masa que entra por la cara (dx,0,dz) es:
La cantidad que sale por la cara (dx,dy,dz)es:
dxx
uu
)(
dxdy
dz
0
u
Así, la acumulación de masa por esta cara es:
dxdydzut
)(
Ahora, si consideramos la contribución de todas las caras se tiene la variación local del cambio de densidad. Así la ecuación de continuidad la escribimos como:
0
ut
o en forma alternativa con la derivada convectiva:
0 uDt
D
La ecuación del momentum
Ahora, podemos escribir una ecuación general que describe en gran parte los movimientos de las masas de agua en la Tierra. Esta es la ecuación del momentum y tiene la forma:
iljljiikjijkijj uApuuutu
11
2
Dispersión de ondas electromagnéticas
Cuando una onda electromagnética pasa de un medio a otro, es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida.
De las ecuaciones de Maxwell podemos escribir una ecuación que relaciona a los campos eléctricos y magnéticos como:
Et
EB
00
Desarrollando este término y considerando que la divergencia del campo magnético es cero, se tiene que:
2
2
002
t
B
t
BB
Esta es la ecuación de una onda amortiguada. Para valores pequeños de se puede escribir que:
01
2
2
22
t
B
cB
Que es la ecuación de una onda con velocidad de propagación:
0
1c
Para estudiar la dispersión de ondas electromagnéticas es necesario recurrir al teorema de la divergencia:
V S
xdnAxAd 20
3 ˆ
Podemos elegir como función de Green la función:
R
eG
ikR
4
Si reemplazamos esta función en la ecuación de Helmholtz inhomogénea:
)'(22 xxGkG y la reemplazamos en el teorema de Green se tiene que:
''
2 ''''''
)'(s
xdn
BG
n
GBxB
Ahora, dividimos la superficie de integración en dos partes, una superior llamada S, , y la otra al nivel del mar llamada S0.
En S0 la corriente inducida en el punto x’ se debe tanto al campo incidente como al campo dispersado desde los puntos cercanos a x’. Así se tiene que el campo total en el punto x’ es:
)()(
''
)'(
')'()()(
0'
2
xBxB
xdn
xBG
n
GxBxBxB
si
s
ttit
donde Bi esta integrado sobre S y Bs sobre S0
Aproximación de KirchhoffSuponemos que los efectos de campo cercano son despreciables.
Los ángulos de incidencia y dispersión se miden con respecto a la vertical.
Podemos escribir de la figura que:k
xkrR s '
La aproximación de Kirchhoff consiste en despreciar la diferencia entre r y R de modo que se pueda escribir la función de Green como:
r
e
R
eRG
xkkriikR s
44)(
)'(
Si L(x’,y’) representa la superficie iluminada, se llega a escribir para el campo dispersado:
''''
1)','(2
'.,
0 dydxey
bx
ayxLRr
eBikB xi
hv
ikrz
s
En este caso se ha cambiado la integral de la superficie del océano a una de el nivel del mar.
en que representa la forma de la superficie del área iluminada y a y b son términos geométricos, dependientes del ángulo de dispersión.
Sección eficaz de la superficie del océano
Definimos la sección eficaz biestática de dispersión por unidad de área como la normalización del flujo de energía dispersado por unidad de área del mar desde un ángulo incidente i , entre los ángulos s y s , y observado a una gran distancia.
Una integral aproximada para la sección eficaz está dada por:
'')','()( )'(14)'2(2,2
40
22
dydxeeyxLRk
k xkxikhv
zi
zh
Ahora, debemos considerar un caso especial de utilización de esta formula. Se trata de la llamada teoría de las pequeñas perturbaciones o Teoría de Bragg
Teoría de las pequeñas perturbaciones (Teoría de Bragg)
Cuando la longitud de onda de una onda electromagnética es grande comparada con la altura de la superficie del agua con respecto al nivel de equilibrio, se puede considerar que la superficie es poco rugosa.
Para poder aplicar este modelo, se debe cumplir que:
0)(
)sen(2)(
yw
ibxw
k
kkk
La dispersión de Bragg se produce cuando las olas viajan paralelas o perpendicularmente a la línea del rayo.
)0),sen(2()0),sen(2()(cos8)(
)0),sen(2()0),sen(2()(cos8)(
244
244
iiivviivv
iiihhiihh
kSkSgk
kSkSgk
La sección eficaz queda expresada como:
Aquí, las cantidades S( 2k sen(i ),0) son los valores del espectro del número de onda bidimensional evaluado en los vectores de onda de Bragg positivos y negativos.
22sen)cos(
1)(
iri
rihhg
2
2
2
sen)cos(
sen))sen(1()1()(
irir
iirrivvg
Los coeficientes ghh y gvv son los coeficientes de Fresnel modificados que para la transmisión y recepción vertical y horizontal respectivamente son
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•Análisis de datos obtenidos con un radar de alta frecuencia
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