figuras

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NNÚÚMEROS Y FIGURASMEROS Y FIGURASConteo de figuras:Conteo de figuras:Las figuras a, b, c, y d presentan todas ellas una Las figuras a, b, c, y d presentan todas ellas una misma caractermisma caracteríística, la de ser tristica, la de ser triáángulos, pero no ngulos, pero no son idson idéénticos, pues se diferencian en sus tamanticos, pues se diferencian en sus tamañños os y en sus y en sus áángulos, sin embargo esto no nos debe ngulos, sin embargo esto no nos debe importar:importar:

a b c a b c ddSi queremos contar triSi queremos contar triáángulos, solo nos interesarngulos, solo nos interesaráá la forma de esta la forma de esta figura. Este es el principio fundamental de estos problemasfigura. Este es el principio fundamental de estos problemas

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Ejemplo: Ejemplo: ¿¿CuCuáántos trintos triáángulos puedes ngulos puedes observar en la siguiente figura?observar en la siguiente figura?

AA

B C D EB C D EPodemos contestar de dos formasPodemos contestar de dos formas1ra.1ra.-- Si utilizamos los vSi utilizamos los véértices para identificarlos rtices para identificarlos tendremos los siguientes tritendremos los siguientes triáángulos: ABE, ABC, ngulos: ABE, ABC, ACD, ADE, ABD, y ACEACD, ADE, ABD, y ACE

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FORMULAS PARA CASOS NOTABLESFORMULAS PARA CASOS NOTABLESA)A) SEGMENTOS SOBRE UNA LINEASEGMENTOS SOBRE UNA LINEA::Figura Modelo FormulaFigura Modelo Formula

#s#s = = n(nn(n –– 1)1)1 2 3 n 21 2 3 n 2

#s#s = n= núúmero de segmentosmero de segmentosn = # Puntos sobre la ln = # Puntos sobre la lííneaneaEn la figura se nota que n = 6 por lo tanto habrEn la figura se nota que n = 6 por lo tanto habráá6x56x5 = 15 segmentos = 15 segmentos 22

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A manera de comprobaciA manera de comprobacióón, con el n, con el mméétodo combinatorio tenemos:todo combinatorio tenemos:

A B C D E FA B C D E FAB,BC,CD,DE,EFAB,BC,CD,DE,EFAC,BD,CE,DFAC,BD,CE,DF 15 Segmentos15 SegmentosAD,BE,CFAD,BE,CFAE,BFAE,BF y AFy AF

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B) B) TRIANGULOS SOBRE UNA LINEATRIANGULOS SOBRE UNA LINEA::Formula.Formula.

#t#t = = n (n n (n -- 1)1)n 2n 2

#t#t = = NroNro de Tride Triáángulos ngulos n: # de puntos sobre la base.n: # de puntos sobre la base.En la figura mostrada: n = 5 En la figura mostrada: n = 5 #t#t = = 5x45x4 #t#t = 10= 10

22

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C) C) CUADRILATEROS SOBRE UNA LINEACUADRILATEROS SOBRE UNA LINEA::Formula:Formula:

# c = # c = n (n n (n -- 1)1)n 2n 2

#c#c = = NroNro de cuadrilde cuadrilááteros teros n: # de puntos sobre la basen: # de puntos sobre la basePara la figura n = 5 hay Para la figura n = 5 hay 5 x 4 5 x 4 #c#c= 10 = 10 cuadrilcuadrilááterosteros

22

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D) D) CUADRILATEROS EN UN ENREJADOCUADRILATEROS EN UN ENREJADO::FORMULAFORMULA

#c#c = = n (nn (n--1)1) . . m (mm (m--1)1)2 2 22

nnmm

n: n: # de puntos en la base# de puntos en la basem: # de puntos sobre un ladom: # de puntos sobre un ladoVemos que n = 5 y m = 4 entonces Vemos que n = 5 y m = 4 entonces 5x45x4 . . 4x34x3

2 2 22#c#c = 10 x 6 = 10 x 6 #c#c = 60 cuadril= 60 cuadrilááterosteros

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E) E) CUADRADOS EN UN CUADRADOCUADRADOS EN UN CUADRADO::FFóórmula:rmula:

# s = 1# s = 122 +2+22 2 ++…………+n+n22

la figura modelo debe ser la figura modelo debe ser un cuadrado de un cuadrado de nxnnxn donde donde

nn n es el # de casilleros por n es el # de casilleros por lado. Para n = 4lado. Para n = 4

# s = 1# s = 122 +2+22 2 +3+322 + 4+ 422 = 1 + 4 + 9 + 1 6= 1 + 4 + 9 + 1 6# s = 30# s = 30

1 2 3 4

2

3

4

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CORTES Y POSTESCORTES Y POSTESPor inducciPor induccióón elemental se puede obtener una relacin elemental se puede obtener una relacióón n entre el nentre el núúmero de cortes que se debe aplicar a una mero de cortes que se debe aplicar a una varilla y el nvarilla y el núúmero de partes iguales en que quedarmero de partes iguales en que quedaráádividida. Ldividida. L

a a 1 corte 2 partes a a 1 corte 2 partes

b b b 2 cortes 3 partesb b b 2 cortes 3 partes

c c c c 3 cortes 4 partesc c c c 3 cortes 4 partes

En General: En General: # de cortes = partes # de cortes = partes -- 11

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Una relaciUna relacióón parecida se establece por analogn parecida se establece por analogíía a cuando se colocan postes o estacas a lo largo cuando se colocan postes o estacas a lo largo de un camino, por ejemplo:de un camino, por ejemplo:

4 postes4 postes

a a a a a a # postes = # partes # postes = # partes –– 113 partes3 partes

En cualquier caso se cumple:En cualquier caso se cumple:# partes =# partes = Longitud TotalLongitud Total

Longitud de una parteLongitud de una parte

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Cuando los cortes se hacen sobre una longitud Cuando los cortes se hacen sobre una longitud cerrada, como por ejemplo una circunferencia, cerrada, como por ejemplo una circunferencia, la relacila relacióón entre cortes y postes es an entre cortes y postes es aúún mn máás s sencilla.sencilla.

2 cortes 3 cortes 4 cortes2 cortes 3 cortes 4 cortes2 partes 3 partes 4 partes2 partes 3 partes 4 partes

# de cortes = # partes# de cortes = # partes

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Ejemplo sobre cortes:Ejemplo sobre cortes:A una soga de longitud L se le hacen 9 cortes y A una soga de longitud L se le hacen 9 cortes y se obtienen pedazos de 5 metros cada uno. se obtienen pedazos de 5 metros cada uno. ¿¿CuCuáántos cortes deben hacerse para conseguir ntos cortes deben hacerse para conseguir partes del mismo tamapartes del mismo tamañño en una soga de o en una soga de longitud 2L?longitud 2L?SoluciSolucióón:n:Para la soga de longitud L: 9 = Para la soga de longitud L: 9 = # partes # partes –– 1 de aqu1 de aquíí se se deduce que son 10 partes y L = 10x5= 50.deduce que son 10 partes y L = 10x5= 50.La otra soga de longitud 2L = 100 y si queremos partes La otra soga de longitud 2L = 100 y si queremos partes de 5 metros cada una, debemos hacer:de 5 metros cada una, debemos hacer:

100 100 -- 1 = 20 1 = 20 –– 1 = 19 cortes1 = 19 cortes55

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Ejemplo de postes:Ejemplo de postes:Se electrifico una avenida de 400 metros de largo de Se electrifico una avenida de 400 metros de largo de modo que los postes en una cerca estmodo que los postes en una cerca estáán ubicados cada n ubicados cada 25 metros y en la otra acerca cada 40 metros 25 metros y en la otra acerca cada 40 metros ¿¿CuCuáántos ntos postes se usaran?postes se usaran?SoluciSolucióón:n:

25 25 25 25 En la 1ra acerca25 25 25 25 En la 1ra acerca

40 40 40 40 # postes = # postes = 400 400 + 1 = 17+ 1 = 172525

En la 2da acerca # postes = En la 2da acerca # postes = 400400 + 1 = 11+ 1 = 114040

En total de usaron : 17 + 11 = 28 postes.En total de usaron : 17 + 11 = 28 postes.

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En conclusiEn conclusióónn

El nEl núúmero de cortes sermero de cortes seráá igual a:igual a:#Cortes#Cortes = L= LTT -- 11

LLUU

El nEl núúmero de postes sermero de postes seráá igual a:igual a:#Postes#Postes = L= LTT + 1+ 1

LLUU

Donde: LDonde: LTT : longitud Total: longitud TotalLLUU : longitud unitaria: longitud unitaria

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PROBLEMAS RESUELTOSPROBLEMAS RESUELTOS1) 1) ¿¿CuCuáántos trintos triáángulos y cuantos ngulos y cuantos cuadrilcuadrilááteros hay en esta figura?teros hay en esta figura?A) 10A) 10--66B) 12B) 12--1010C) 12C) 12--1212D) 10D) 10--1010E) 12E) 12--66

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SoluciSolucióónn::Por el mPor el méétodo combinatorio, hacemos una lista todo combinatorio, hacemos una lista de las figuras observadas.de las figuras observadas.

TriTriáángulosngulos: 1,2,3,4,5,6,: 1,2,3,4,5,6,(12 tri(12 triáángulos) 12,16,34,45,273 y 675ngulos) 12,16,34,45,273 y 675CuadrilCuadrilááterosteros: 7,27,37,67,57,275,376,12675,: 7,27,37,67,57,275,376,12675,12(cuadril12(cuadrilááteros) 12673,67345,23457,1234567teros) 12673,67345,23457,1234567Respuesta: C Respuesta: C

12 3

4

5

7

6

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2) 2) ¿¿CuCuáántos trapecios hay en la siguiente ntos trapecios hay en la siguiente figura?figura?A) 25A) 25B) 28B) 28C) 30C) 30D) 32D) 32E) mE) máás de 25 s de 25

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SoluciSolucióónn::Si distorsionamos ligeramente la figura, vemos Si distorsionamos ligeramente la figura, vemos que se trata de un enrejado y contar los que se trata de un enrejado y contar los trapecios es como contar cuadriltrapecios es como contar cuadrilááterosterosPor la formula: mPor la formula: m#C#C = = n(nn(n--11).).m(mm(m--1)1)

2 22 2#C#C = = 3x23x2 . . 5x4 5x4

2 2 2 2 nn#C#C = 30 Respuesta C= 30 Respuesta C

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3) Un comerciante tiene una pieza de 3) Un comerciante tiene una pieza de papañño de 60 metros de longitud que quiere o de 60 metros de longitud que quiere cortar en trozos de 1 metro. Necesita 5 cortar en trozos de 1 metro. Necesita 5 segundos para hacer cada corte. segundos para hacer cada corte. ¿¿CuCuáánta nta tarda en cortar la pieza?tarda en cortar la pieza?A) 295 sA) 295 sB) 300 sB) 300 sC) 285 sC) 285 sD) 305 sD) 305 sE) 290 sE) 290 s

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SoluciSolucióónn::La pieza de tela es de 60 metros y cada La pieza de tela es de 60 metros y cada trozo es de 1 metro por lo tanto el ntrozo es de 1 metro por lo tanto el núúmero mero de partes es 60de partes es 60

# de cortes = # partes # de cortes = # partes –– 11# de cortes = 60 # de cortes = 60 –– 1 = 591 = 59

Tiempo para hacer el corte = 59x5Tiempo para hacer el corte = 59x5Tiempo para hacer el corte = 295 STiempo para hacer el corte = 295 SRespuesta: ARespuesta: A

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4) 4) ¿¿cucuáántos sectores circulares hay en la ntos sectores circulares hay en la figura?figura?A) 18A) 18B) 20B) 20C) 22C) 22D) 24D) 24E) E) N:AN:A

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SoluciSolucióónn::El problema es anEl problema es anáálogo al de contar logo al de contar tritriáángulos en la figura ngulos en la figura ““adaptadaadaptada””1) En el AOB habr1) En el AOB habráá

5 x 45 x 4 = 10= 1022

2) en el DOC habr2) en el DOC habráá5 x 45 x 422

En Total 10 + 10 = 20 Respuesta: BEn Total 10 + 10 = 20 Respuesta: B

A

D

oC

B

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5) En un terreno rectangular de 60 metros de 5) En un terreno rectangular de 60 metros de ancho y 80 metros de largo, se plantan ancho y 80 metros de largo, se plantan áárboles rboles en el peren el períímetro y en las diagonales, es metro y en las diagonales, es espaciados 10 metros. espaciados 10 metros. ¿¿CuCuáántas ntas áárboles hay?rboles hay?

A) 45A) 45B) 46B) 46C) 47C) 47D) 48D) 48E) 50E) 50

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SoluciSolucióónn::Aplicando el teorema Aplicando el teorema De PitDe Pitáágoras, la diagonalgoras, la diagonalMide 100 los Mide 100 los áárboles delrboles delPerPeríímetro son:metro son:280280 = 28 = 28 lo largo de la diagonallo largo de la diagonal ACAC

10 10 100100 -- 1 = 9 (sin contar A y C) 1 = 9 (sin contar A y C) 10 10

En la diagonal BD tambiEn la diagonal BD tambiéén habrn habráá 9 arboles9 arbolesEn total tendremos: 28+9+9En total tendremos: 28+9+9--1 = 451 = 45Se resta 1 por que corto dos veces el Se resta 1 por que corto dos veces el áárbolrbol en el cruce de lasen el cruce de lasdiagonales diagonales

A B

D C

80

80

60 60

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6) 6) ¿¿CuCuáál mes menor nl mes menor núúmero de personas mero de personas que deben ser dispuestas en 5 filas de 4 que deben ser dispuestas en 5 filas de 4 personas cada una?personas cada una?A) 10A) 10B) 15B) 15C) 20C) 20D) 16D) 16E) 12E) 12

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SoluciSolucióónn::Aparentemente la soluciAparentemente la solucióón n Es 4x5 = 20 personas, sinEs 4x5 = 20 personas, sinEmbargo no es el nEmbargo no es el núúmeromeroQue buscamos.Que buscamos.Observando la figura adjuntaObservando la figura adjuntaSi cada punto es una personaSi cada punto es una personaY cada lY cada líínea es una fila, tendremos que la nea es una fila, tendremos que la solucisolucióón mn míínima es con 10 personasnima es con 10 personasRepuesta: ARepuesta: A

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7) 7) ¿¿CuCuáántos ntos cuadrados y cuantos cuadrados y cuantos cuadrilcuadrilááteros se teros se pueden observar en pueden observar en esta figura?esta figura?A) 50 y 125A) 50 y 125B) 91 y 225B) 91 y 225C) 75 y 250C) 75 y 250D) 30 y 100D) 30 y 100E) 55 y 150E) 55 y 150

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SoluciSolucióónn::# de cuadrados = 1# de cuadrados = 122+2+222+3+322+4+422+5+522+6+622

# de cuadrados = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36# de cuadrados = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36# de cuadrados = 91# de cuadrados = 91# de cuadril# de cuadrilááteros = teros = n(nn(n--1)1) x x m(mm(m--1 )1 )

2 22 2# de cuadril# de cuadrilááteros = teros = 6x5 6x5 . . 6x56x5 = 15 x 15= 15 x 15

2 22 2# de cuadril# de cuadrilááteros = 225teros = 225Respuesta: BRespuesta: B

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8) Calcular el n8) Calcular el núúmero de segmentos que mero de segmentos que aparecen en la siguiente figura.aparecen en la siguiente figura.A) 30A) 30B) 31B) 31C) 32C) 32D) 33D) 33E) 34E) 34

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SoluciSolucióónn::Para el segmentoPara el segmento#s#s = = 4x54x5 = 10= 10

22Para el segmentoPara el segmento#s#s = = 4x34x3 = 6= 6

22Para el segmentoPara el segmento#s#s = = 6x56x5 = 15= 15

22En total hay 10 + 6 + 15 = 31En total hay 10 + 6 + 15 = 31

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9) Calcular el n9) Calcular el núúmero de cuadrilmero de cuadrilááteros que se teros que se pueden contar en la figura siguiente:pueden contar en la figura siguiente:

A) 11A) 11B) 12B) 12C) 13C) 13D) 14D) 14E) 15E) 15

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SoluciSolucióónn::

Aplicamos la formula n = 6Aplicamos la formula n = 6# cuadril# cuadrilááteros = teros = n (n n (n -- 1)1)

22# cuadril# cuadrilááteros = teros = 6x56x5

22# cuadril# cuadrilááteros =15 teros =15

1 2 3 4 5

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11) 11) ¿¿Cuantos Cuantos cuadrilcuadrilááteros hay en teros hay en la siguiente figura?la siguiente figura?A) 85A) 85B) 90B) 90C) 95C) 95D) 126D) 126E) 105E) 105

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SoluciSolucióónn::Aplicando la formula tenemos:Aplicando la formula tenemos:# Cuadril# Cuadrilááteros = teros = n(nn(n--1)1) . . m(mm(m--1)1)

2 22 2# Cuadril# Cuadrilááteros = teros = 4x34x3 . . 7x67x6

2 22 2# Cuadril# Cuadrilááteros = 6 x 21 = 126teros = 6 x 21 = 126

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12) en la figura adjunta 12) en la figura adjunta ¿¿CuCuáántos ntos tritriáángulos se pueden contar como ngulos se pueden contar como maximomaximo??A) 10A) 10B) 12B) 12C) 15C) 15D) 18D) 18E) 20E) 20

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SoluciSolucióónn::Aplicamos la formula para n = 6Aplicamos la formula para n = 6# de tri# de triáángulos = ngulos = n (nn (n--1)1)

2 2 # de tri# de triáángulos = 6 x 5ngulos = 6 x 5

2 2 # de tri# de triáángulos = 15ngulos = 15

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13) Indicar el m13) Indicar el mááximo nximo núúmero de trimero de triáángulos que ngulos que se pueden contar en la figura.se pueden contar en la figura.A) 80A) 80B) 82B) 82C) 84C) 84D) 86D) 86E) 88E) 88

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SoluciSolucióónn::Aplicando la formula: para n = 7Aplicando la formula: para n = 7# de tri# de triáángulos = ngulos = n (nn (n--1)1)

22# de tri# de triáángulos = ngulos = 7 x 67 x 6

22# de tri# de triáángulos = 21 se le multiplica por 4 ngulos = 21 se le multiplica por 4 segmentos horizontalessegmentos horizontales

# de tri# de triáángulos = 21 x 4 = 84ngulos = 21 x 4 = 84

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14) En la figura hallar el n14) En la figura hallar el núúmero de mero de cuadrados que se puede contar.cuadrados que se puede contar.A) 24A) 24B) 26B) 26C) 28C) 28D) 30D) 30E) 34E) 34

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SoluciSolucióónn::Aplicando la formula:Aplicando la formula:# s = 1# s = 122 +2+22 2 +3+322 + 4+ 422 = 1 + 4 + 9 + 1 6= 1 + 4 + 9 + 1 6# s = 1 + 4 + 9 + 16# s = 1 + 4 + 9 + 16# s = 30# s = 30

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15) Observa cuidadosamente la siguiente 15) Observa cuidadosamente la siguiente figura y determina cuantos trapecios se figura y determina cuantos trapecios se pueden contar como mpueden contar como mááximoximoA) 26A) 26B) 28B) 28C) 30C) 30D) 32D) 32E) 34E) 34

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SoluciSolucióónn::Aplicamos la formula : para n = 8Aplicamos la formula : para n = 8# trapecios = # trapecios = n (nn (n--1)1)

22# trapecios = 8 x 7# trapecios = 8 x 7

22# trapecios = 28 # trapecios = 28

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15) 15) ¿¿en la figura determinar cuantos en la figura determinar cuantos trapecios hay?trapecios hay?A)30A)30B)32B)32C)34C)34D)36D)36E)38E)38

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SoluciSolucióónn::Si observamos la figura tenemos dos trapecios Si observamos la figura tenemos dos trapecios entonces: para n = 6entonces: para n = 6

# trapecios normal = # trapecios normal = n (nn (n--1) 1) = = 6 x 56 x 5 = 15 = 15 2 2 2 2

# trapecios Invertido = # trapecios Invertido = n (nn (n--1) 1) = = 6 x 56 x 5 = 15 = 15 2 2 2 2

Entonces en total hay 15 + 15 = 30Entonces en total hay 15 + 15 = 30 trapeciostrapecios

5 14 23 32 4

1 5