factorizacion

FACTORIZACION

Factorizar es descomponer en factores a cualquier polinomio( Factorable)

1º caso

FACTOR COMÚN

Factor común

8a - 4b + 16c + 12d

= 4. (2a - b + 4c + 3d)

Saco el factor común que es 4

divido a cada término por el número 4,

pongo todos los resultados dentro del paréntesis,

sumo o resto según el signo que resulte de la división.

2º caso POR AGRUPACION DE TERMINOS

Agrupación de términos

Saco factor común "4" en el primer y segundo término

Saco factor común "x" en el tercer y cuarto término.

Los dos resultados son iguales: (a + b).

Luego, saco como factor común a (a + b).

4a + 4b + xa + xb

=4.(a + b) + x.(a + b) =(a + b).(4 + x)

3º casoTRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Trinomio cuadrado perfecto

Busco dos términos que sean cuadrado de algo. Son: x2 y 9.

Entonces bajo la x y el 3 (las bases).

Luego verifico 2.x.3 = 6x (doble producto del primero por el segundo). Dio igual que el otro término.

El polinomio es un cuadrado perfecto.

El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 32*3*x6x

4º caso

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Diferencia de cuadrados perfectos

REGLA Se extrae la raíz cuadrada al

minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces.

PROCEDIMIENTO Sacar la raíz cuadrada Multiplicar los factores

x^2 -y^2 = (x +y)(x – y)x^2 = xy^2 = y(x +y)(x – y)

5º casoTRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCION

Trinomio cuadrado perfecto por adición y

sustracción extrayendo la raíz cuadrada al

primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos

términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.

Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto

4x⁸ - 16x³y² + 9y=4x⁸ - 12x⁴y² + 9y⁴ - 4x⁴y²=(2x⁴ - 3y²)² - 4x⁴y²=(2x⁴ - 3y² - 2x²y)(2x⁴ - 3y² + 2x²y)

TRINOMIO INCOMPLETO

Trinomio incompleto

ordenar en forma ascendente o descendente

El primer y tercer termino deben tener raíz cuadrada exacta

Los signos deben ser todos positivos o alternados

No cumple con la regla del trinomio cuadrado perfecto

x2+7x=0. x2=X²+7x=0x(x+7)=0x=0^x+7=0x=0^ x=-7

6ºcaso

TRINOMIO DE LA FORMA X^2+bX+C

Trinomio de la forma X^2+bx+C

El producto de x por x es igual a x2

El producto de 5 por 2 es igual

a 10 que es el tercer termino

La suma de 5 mas 2 es igual a

7 que es el segundo termino

x2 + 7x + 10

= ( x +5)(x+2)

7º caso

TRINOMIO DE LA FORMA ax^2+bx+c

Trinomio de la forma ax^2+bx+c

6 por 6 es igual a 36 El 6 que esta al lado del 7 es el

primer termino del trinomio El primer termino del trinomio

(6) se multiplica con el tercero (3) = 18

Se buscan dos números que al sumarlos su resultado sea el segundo termino del trinomio (7) y multiplicados el tercero (18)

El denominador de la expresión es el primer termino del trinomio

Se descompone el (6) para que pueda dividir ambos factores

6x2 - 7x - 3 = 36x2 - 6(7x) - 18

= (6x - 9)(6x + 2)6

= (6x - 9) (6x + 2) 3 x 2

= (2x-3)(3x + 1)

8º casoCUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Cubo perfecto de binomios

cuatro términos El primer y último término tienen

raíz cúbica exacta El segundo término es tres veces el

producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término. El tercer término sea tres veces, el

producto de la raíz delprimer término por el cuadrado de la raíz del último término. El primer y tercer términos son

positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el mismo signo

a3 + 3 a2b + 3 a b2 + b3

= (a + b)3

a3 + 3 a2 + 3 a + 1 = ( a + 1)3

8 - 36 X + 54 X2 - 27 X3 = ( 2 – 3X)3

9º casoSUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Suma o diferencia de cubos perfectos

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

el primero es la suma de sus raíces cúbicas

el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores

el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas

el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.

(x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

10º casoSUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Suma o diferencia de dos potencias iguales Se sacan las raíces de cada

termino. El signo del primer factor

(binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.

Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos

Cuando en el polinomio, el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la respuesta.

512p^9+a^27 = (2p)^9 +(a³)^9 (2p+a³)·[(2p)^8(2p)^7·a³+(2p)^6·(a³)(2p)^4·(a³)^4- (2p)³·(a³)^5 +(2p)²·(a³)^6 - (2p)·(a³)^7 + (a³)^8]213p^10 - 1/32 p^5= (p/2)^5· [ 6816·p^5 -1]