factor escala

Ing. Msc. Ralfo Herrera Rosado

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA Facultad de Ingeniería Civil CENTRO DE CAPACITACIÓN TÉCNICA DEL DEPARTAMENTO DE TOPOGRAFÍA Y VÍAS DE TRANSPORTE

Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el elipsoide de referencia sobre el plano cartográfico.

Donde: LP : Longitud proyectada al plano cartográfico. LO : Longitud medida en el elipsoide de referencia. KESCALA : Factor de escala.

2

OESCALAP LKL

En la siguiente imagen se muestra un punto ''P'' ubicado sobre la superficie del elipsoide. El meridiano que pasa por ''P'' (sección meridiana o elipse meridiana) se confunde con el plano del papel.

3

4

Es el radio correspondiente al círculo tangente al meridiano que pasa por ''p'' en dicho punto.

Así pues, la latina geodésica '' '', es el ángulo limitado por la normal R el plano ecuatorial.

2/322

2

Sen.e1

e1a

R

4

Es el radio correspondiente al círculo tangente al plano perpendicular a la sección meridiana que pasa por ''P'' en dicho punto.

2/122

Sen.e1

a

N

5

En cálculos geodésicos, se suele usar el radio medio de curvatura el radio medio de curvatura, el cual se define como la media geométrica de R y N respecto al punto en mención.

NRr

6

Para calcular KESCALA de un punto; primero es necesario conocer la posición de tal punto, expresadas en coordenadas geodésicas y UTM.

PTO COORDENADAS GEODÉSICAS COORDENADAS UTM

LATITUD LONGITUD NORTE ESTE ZONA

A N E #

Siendo así, el factor de Escala KESCALA de un punto se puede expresar del siguiente modo:

42 0000301. qqKK O

7

Donde:

e'2 : Cuadrado de la segunda excentricidad. N : Radio de curvatura de la primera vertical en el punto ''A''. Ko : Factor de escala en el Meridiana Central = 0,9996

: Latitud Geodésica.

12

2

0

2

21

102

cos1

000500

.000001.0

2

KN

eP

ESTEX

xq

8

Ejemplo 1.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto ''A''.

84:

0

"91.12'1476

"46.33'4311

WGSDatum

mh

Solución: Transformando a coordenadas UTM:

Cálculo de ''X'':

m0211.4537038N

m9239.205365E

18

0761.794134

9239.205365000500

ZONA

mX

X

Cálculo de N: Dado que el Datum de referencia es WGS84:

381694006.0e

0.1373786a

2

9

ZONA 18

9

Cálculo de P:

a 2

e2/1

22

sene1)m(N

Cálculo de K:

N222 KN

21e 21 cos12

e P

95.637901813

101318.8 006739497.0 006461137.1 012376753.0

137.0 378 6 10.00669438 33.46 43' 11º- 742 0.999861 018.95 379 6

X q2

qp4

q00003.0 K

0761.134794 134794076.0 000224879.09

10x90386.9 999824799.0

999824799.0K

10

Ejemplo 2.- Calcular el factor de escala para el siguiente punto ''B''. :

Solución:

Transformando a coordenadas UTM:

84

0

"35.06'1576

"35.15'4411

WGSDatum

h

m921.1587028N

m723.593363E

mX

X

277.406136

723.593363000500

Cálculo de ''X'':

Cálculo de N: Dado que el Datum de referencia es WGS84:

381694006.0e

0.1373786a

2

11

Cálculo de ''P''

a 2

e2/1

22

sene1)m(N

Cálculo de ''K''

N2

o

2KN2

21

e21

cose1

2

P

677.020379613

1013187.8 006739497.0 006460592.1 01237674.0

137.0 378 6 381 694 0.006''15.35 44' 11- 471 0.999861 020.677 379 6

Xq

2

qp4

q00003.0 K

277.406136 136406277.0 00023029.08

10x03862.1 999830208.0

12

Sean A y B; dos puntos ubicados sobre la superficie Elipsoidal; cuando estos puntos se proyectan al plano cartográfico, se generan los puntos A' y B'. La longitud de la línea recta que une dichas proyecciones, toma el nombre de distancia de cuadrícula (LC).

13

Dado que dicha longitud se desarrolla en un plano; su cálculo está gobernado por la fórmula aplicado al plano cartesiano Y-X.

2

AB

2

ABCNNEEL

14

m338.0672LC

En nuestro ejemplo 1 y 2:

Punto A:

Punto B:

mN

mE

B

B

921.1587028

723.593363

Aplicando la fórmula:

22

C021.4537038921.1587028924.205365723.593363L

m021.4537028N

m924.205365E

A

A

15

Distancia Geodésica, es la longitud entre los puntos A y B medida en la superficie del Elipsoide de referencia

0L

Distancia Geodésica, se puede calcular apoyándonos en el factor de escala de los puntos extremos que limita la mencionada línea.

16

Sea:

Según el concepto de factor de escala:

KA : Factor de escala del punto A. KB : Factor de escala del punto B. KESCALA : Factor de escala promedio.

2

KK

K

BA

ESCALA

17

ESCALA

C

oK

L

L

Lo : Distancia geodésica LP : Distancia de cuadrícula KESCALA : Factor de escala promedio.

Punto A:

999827503.0

2

KK

K

BA

Escala

Punto B:

Además:

999827503.0

338.0672

K

L

L

Escala

C

o

m338.0672LC

999830208.0KB

999824799.0KA

Cálculo de:

m695.0672Lo

18

Es aquel valor que permite proyectar la longitud medida entre dos puntos en el terreno (distancia reducida al horizonte) sobre el Elipsoide de referencia (Lo)

19

Asumiendo:

Semejanza de triángulos:

LT : Longitud Topográfica. hA : Altura Elipsoidal de ''A'' hB : Altura Elipsoidal de ''B'' R : Radio de curvatura del meridiano correspondiente a la latitud promedio de A y B.

RM

MR

hR

L

L

Cuerda

T

Donde:

20

2

cos1

AB

Luego: TCUERDA

L

hR

MR

L

Para llevar : LCUERDA al Elipsoide (Lo), es necesario adicionar:

S

R24

L

2

3

CUERDA

A modo de ejemplo:

mm1,0Sm0005L

mm1Sm00010L

CUERDA

CUERDA

Para lo cual conlleva a deducir que para trabajos de Ingeniería con distancias menores o igual a 5 km; podemos despreciar Finalmente:

Factor de elevación

S

ToL

hR

MR

L

hR

MR

K.Elem

21

Ejemplo 3.- Considerando que los puntos ''A'' y ''B'' son los mismos presentados en el ejemplo 1 y 2. Calcular el factor de elevación; sabiendo que altura ortométrica es:

Calcular también la distancia topográfica entre A y B.

Solución:

En primer lugar, es preciso transformar las alturas ortométricas a Elipsoidales.

En el presente ejemplo nos hemos apoyado en el modelo Geoidal EGM 96-Perú, obteniendo:

m820,3H

m419,3H

B

A

m831.6503

2

hh

h

m302.8513h

m359.4503h

BA

B

A

22

Cálculo de R:

Cálculo de M:

m397.0703386R:Luego

"41.54'4311

"35.15'4411

"46.33'4311

PROMEDIO

B

A

m070,0M

2

cos1RMAB

23

Cálculo de Factor Elevación (KELEVACIÓN):

Cálculo de Distancia Topográfica (LT):

Sabiendo:

hR

MR

KELEVACIÓN

m695.0672Lo

831.6503397.0703386

07.03970703386

KELEVACIÓN

679994243045.0

695.0672

K

L

L

ELEVACIÓN

o

T

m886.0682LT24

m679994243045.0KELEVACIÓN

Es el producto proveniente entre el factor de elevación y el factor de escala.

K : Factor combinado entre A y B. KELEVACIÓN : Factor de elevación entre A y B. KESCALA : Factor de escala entre A y B.

El factor combinado K, permite transformar la distancia topográfica existente entre dos puntos a distancia de cuadrícula, directamente:

LC : Longitud de cuadrícula. K : Factor combinado. LT : Longitud Topográfica.

25

K = (KELEVACIÓN

) (KESCALA

)

LC =

K . LT

Ejemplo 4.- Considerando los ejemplos antecesores:

Se pide: A) Calcular el factor combinado. B) Calcular la distancia topográfica.

Solución:

Cálculo del factor combinado:

338.2067L

)promedio(304567424999.0K

)promedio(503827999.0K

C

ELEVACIÓN

ESCALA

679994243045.0999627503.0K

Cálculo de la distancia topográfica:

049992519073.0

338.0672

L

K

L

L

T

C

T

26

049992519073.0K

m886.0682LT

h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

359.4503 302.8513 338.0672 886.0682 695.0672

m94.400h)1

h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

359.5503 302.8513 338.0672 902.0682 695.0672

m94.300h)2

27

h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

302.8513 338.0672 918.0682 695.0672

m94.200h)3

359.6503

h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

359.7503 302.8513 338.0672 935.0682 943.0672

m94.100h)4

h1 h2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

359.7503 302.8513 338.0672 951.0682 695.0672

m943.0h)5

Como es de suponer, al analizar la influencia del desnivel en las distancias (Cuadrícula, Topográfica y Geodésica), la única longitud que sufre dicha influencia es la topográfica. En tal sentido se recomienda tomar desniveles no muy pronunciadas (máximo 400 metros).

28

H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

4193 8203 338.0672 875.0682 695.0672

401H)1

H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

5193 8203 338.0672 892.0682 695.0672

301H)2

H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

6193 8203 338.0672 908.0682 695.0672

201H)3

29

H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

7193 8203 338.0672 875.0682 695.0672

101H)4

H1 H2 LCUADRÍCULA LTOPOGRAFÍCA LGEODÉSICA

8193 8203 638.0672 924.0682 695.0672

1H)5

Comparando los cuadros obtenidos con alturas ortométricas respecto a los obtenidos con alturas Elipsoidales, se deduce que en las longitudes Topográficas se presenta una diferencia promedio de 1 cm (en el presente caso). Se recomienda en lo posible trabajar con alturas Elipsoidales.

30

PTO UTM

N(m) E(m) ZONA h(m)

A

B

63.9723259 90.664703 17 369.0892

29.4173319 99.827690 17 932.3582

Calculando M : m151.1M

Calculando (LC) : m696.94813LC

31

Considerando M: 449997309762.0KCOMBINADO

Despreciando M: (M=0)

mLATOPOGRÁFIC

45.95213

mLATOPOGRÁFIC

447.95213

19997311579.0COMBINADOK

En el presente ejemplo, se observa que en 14 km (aprox.) de distancia Topográfica, existe tan solo una diferencia de 3 mm al despreciar el valor de M. Si consideramos que la máxima longitud a tomar es 5 km, la diferencia antes indicada será aún mucho menor. Finalmente concluimos que es posible despreciar el valor de M.

32

Considerando los datos del ejemplo anterior. Cálculo de los Radios de Curvatura del Meridiano en cada punto.

2

Para

127.1453366RPara

536.1563366RPara

BA

BB

AA

33

m82.1503366R

Calculando el radio medio entre A y B:

Considerando que para una distancia Topográfica de 14 km, la diferencia de resultados es cuanto al cálculo del Radio es de tan solo 1 cm; se concluye que basta con calcular el Radio promedio entre A y B para efectos de encontrar el factor de elevación.

m83.1503366

2

RR

RBA

Observación: En adelante para obtener el Factor Combinado entre dos puntos, será suficiente calcular independientemente el Factor Combinado de cada punto para luego promediarlo.

34

PTO UTM

N(m) E(m) ZONA h(m)

A 8 703 453.021 365 205.924 18 3 450.359

B 8 702 158.921 363 593.723 18 3 851.302

Calculando el Factor Combinado para cada punto:

PTO KESCALA KELEVACIÓN KCOMBINADO

A

B

8247986607999.0 99945591.0 999280804.0

0239998302082.0 999392723.0 999223035.0

35

m338.0672LC

Calculando el Factor Combinado Promedio entre A y B:

Calculando la Distancia Topográfica entre A y B:

Si comparamos el resultado obtenido (LT) respecto al calculado en el ejemplo 4; deducimos que son iguales.

749992519192.0

2

999223035.0999280804.0

K

K

m886.0682L

749992519192.0

338.0672

K

L

L

T

C

T

36

El Azimut de cuadrícula es aquel que se obtiene sobre la proyección del cilindro transversal de mercator. El Azimut de cuadrícula esta compuesta por:

37

A) Azimut Plano: t Es aquel ángulo medido desde el norte de la cuadrícula en sentido horario hacia la línea recta que une los puntos A y B. Su cálculo obedece a las mismas reglas establecidas en Topográfia.

Ejemplo: Datum WGS84

COORDENADAS UTM

PTO N (M) E (M) ZONA

B 8 703 453.021 365 205.924 18

A 8 702 158.921 363 593.723 18

:Calculando

38

"62.46'1451t

B) Azimut Geodésico Proyectado: T

La línea recta entre las puntas A y B ubicados en el elipsoide; se proyecta en el cilindro transversal de Mercator como una línea curva cóncava hacia el Meridiano Central.

39

El ángulo medido en sentido horario desde el norte de cuadrícula hasta la línea tangente en ''A'', se le llama Azimut Goedésico proyectado de A.

40

Corrección por Curvatura (T-t): Es la diferencia de los Azimuts de cuadrícula antes expuesto y debe ser aplicado en los lados de partida y llegada de una poligonal Geodésica.

41

8

21 108755.62 xxPxXXNtT BA

12

22

21

22

11

102

cos1

000500

000500

2

o

AB

KN

eP

Ex

Ex

NNNDonde:

42

e'2 : Cuadrado de la segunda excentricidad. N : Radio de curvatura de la primera vertical en el punto A. Ko : Factor de escala en el Meridiano Central = 0,9996

: Latitud Geodésica en el punto A.

Aplicando a nuestro ejemplo anterior: (T-t)

40123767394.0*

737.63790201

*

"35.15'4411*

076.794134924.205365000500*

277.406136723.593363000500*

1.1294*

2/122

2

1

P

sene

aN

X

X

NNN

A

A

AB

43

BA

Calculando el Azimut Geodésico proyectado (T)

"45.0BAtT Corrección por curvatura.

tTtT

En nuestro caso:

"45.0"62.46'1451T

44

"17.46'1451T

8108755.640123767394.0076.794134277.40613621.2941* BAtT

Cálculo de Coordenadas UTM de un Punto ''B'', conociendo las Coordenadas UTM de un punto ''A'', el Azimut Plano AB y la distancia de cuadrícula entre ambos. Ejemplo: COORDENADAS UTM

PTO N E ZONA

A 8 702 158.921 363 593.723 18

m338.0672ByAL

"62.46'1451tZ

C

ABAB

45

Calculando las Coordenadas UTM del punto B:

"62.46'1451cos338.0672921.1587028

cos

B

ABCAB

N

tLNN

m021.4537038NB

"62.46'1451338.0672723.593363 senE

tsenLEE

B

ABCAB

m924.205365EB

46

Cálculo de Coordenadas Topográficas de un punto «B», conociendo las Coordenadas UTM de A y B.

Ejemplo: Datum WGS84

COORDENADAS UTM

PTO N E ZONA h

A 8 702 158.921 363 593.723 18 3 851.302

B 8 703 453.021 365 205.924 18 3 450.359

Calculando el Factor Combinado para cada punto:

PTO KESCALA KELEVACIÓN KCOMBINADO

A 0.9998302082023 0.999392723 0.999223035

B 0.9998247986607 0.99945591 0.999280804

47

Calculando el Factor Combinado promedio entre A y B:

749992519192.0K

Calculando la distancia Topográfica entre A y B:

Calculando la corrección de Azimut por Curvatura (T-t)

"45.0tTBA

48

m886.0682L

749992519192.0

338.0672

K

L

L

T

C

T

Azimut plano tAB = 51

14'46.62'' Azimut Geodésico proyectado: T

"17.46'1451

"45.0"62.46'1451

T

T

tTtT

Cálculo de las Coordenadas Topográficas del punto B:

Como quiera que las Coordenadas Topográficas son relativas, es posible asignar al punto de partida (A), valores inspirados en nuestra imaginación; no obstante es prácticamente común asignarle como Coordenadas Topográficas al punto A, los mismos valores que las UTM.

49

Calculando las Coordenadas UTM del punto B:

"17.46'1451cos886.0682921.1587028

cos

B

ABTAB

N

TLNN

m993.4537038NB

"17.46'1451886.0682723.593363 senE

TsenLEE

B

ABTAB

m128.207365EB

50