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IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL
EVALUACIÓN ANALÍTICO-NUMÉRICADE LAS FUNCIONES GEOMETRICAS-PESO Y LOS INTENSIFICADORES DE
ESFUERZOS
T E S I SQ U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E
M A E S T R O EN CIENCIASCON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA
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MÉXICO, D.F. 2008
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INSTITUTO POLITECNICO NACIONALSECRETARIA DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO
CARTA DE CESIÓN DE DERECHOS
En la ciudad de México, D. F., el día 30 del mes de Julio del año 2008 el (la) que
suscribe SERGIO VIVEROS BRETON alumno(a) del Programa de
MAESTRIA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA con
número de registro A060557 adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación de la E. S. I. M. E. Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a)
intelectual del presente trabajo de tesis bajo la dirección del: DR. GUILLERMO
URRIOLAGOITIA SOSA Y DEL DR. GUILLERMO URRIOLAGOITIA CALDERÓN,
cede los derechos del trabajo intitulado: “EVALUACION ANALITICA-NUMERICA DE
LAS FUNCIONES DE PESO Y LOS INTENSIFICADORES DE ESFUERZO” , al
Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines Académicos y de
Investigación.
Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o
datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede
ser obtenido a la siguiente dirección:
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN
UNIDAD PROFESIONAL ADOLFO LOPEZ MATEOS, EDIF. 5 2do. PISO
COL LINDAVISTA, 07738 MEXICO D F. TEL 5729 6000 EXT. 54740
Sin el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y
citar la fuente del mismo.
Nombre y Firma
Sergio Viveros Bretón
Resumen
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
iv
Este trabajo, presenta la aplicación del método de elemento finito hacia el desarrollo de la
Mecánica de la Fractura, donde herramientas muy especializadas se pueden utilizar para obtener
soluciones más adecuadas y rápidas para un desarrollo acorde con un modelo sujeto a la realidad.
Las aplicaciones de Ingeniería son muy vastas, en este trabajo de tesis se desarrollan algunos
casos de Ingeniería. Sin embargo, se trata con un enfoque de investigación, donde se utilizarán
las técnicas más recientes aplicadas a la Mecánica de la Fractura para dar soluciones de manera
numérica. No obstante se tiene que llevar a cabo una evaluación de la manera tradicional
(desarrollo matemático clásico) y utilizando los cálculos analíticos ya establecidos en trabajos
anteriores (desde los años sesenta). Por otro lado, se desarrollará el cálculo del factor de
intensidad de esfuerzos, el cual se ha investigado a fondo de manera analítica y ahora de forma
numérica. Con los valores obtenidos, se comparan estos resultados numéricos con los analíticos y
se calculan los porcentajes de error.
También se hará un desarrollo en aplicaciones de la función de peso, utilizada para determinar el
factor de intensidad esfuerzos. La función de peso tiene aplicación en casos de elementos
sometidos a fatiga, donde se presenta la apertura de una grieta. Se evaluaran algunos casos
investigados, haciendo la simulación en cada uno de ellos. En estos casos, se desarrollaran de
manera analítica los cálculos de la función de influencia (Z(a)) y de la misma forma se obtendrán
numéricamente.
Al final de los cálculos desarrollados se llegarán a conclusiones generales y específicas,
comparado resultados obtenidos por el método de elemento finito y con el método analítico.
Además de señalar las ventajas y desventajas de utilizar estos dos métodos.
Abstract
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
v
In the following work are presented the application of the finite element method to be used into
the area of Fracture Mechanics, where more specialized tools are been employed to obtain faster
and more accurate solutions for a model closer to reality.
Engineering applications are very vast, in this thesis some of the most practical engineering cases
are developed. Nevertheless, focusing on investigation matter where the newest techniques are
applied by using Fracture Mechanics tools to found solutions in a numeric form. An evaluation in
a traditional manner (classic mathematics) was carried out and also on analytic calculus based on
previously research (from 1960). On the other hand, the stress intensity factors are developed in a
depth by analytic manner and now in a numeric manner. With the obtained results, the numeric
solutions are compared against the analytic ones and the error percentage is calculated.
Also a development in the weight function was carried out, which is used to determine the stress
intensity factor. The weight function has application in cases where fatigue failure occurs and
where the opening crack is present. Some cases will be evaluated performing a simulation in each
one. In these cases, the evaluation on the influence function will be developed in an analytic
manner and also will be evaluated in a numerically way.
At the end of this work, some general and specific conclusions will be presented, where a
comparison between the finite element method and the analytic method results are show. Also it
is presented the advantages and disadvantages of using these two methods.
Índice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
Resumen
Abstract
Índice de figuras
Índice de tablas
Simbología
Objetivos
Justificación
Introducción
Capítulo I
I.1.- Generalidades
I.2.- Antecedentes históricos
I.3.- Principios teóricos de Mecánica de la Fractura Lineal Elástica
I.4.- Principios teóricos de la Mecánica de la Fractura Elastoplástica
I.5.- Futuro de la Mecánica de la Fractura
I.6.- Sumario
Capítulo II
II.1.- La Mecánica de la Fractura
II.2.- Modos de desplazamiento de grietas
II.2.1.- Factor de intensidad de esfuerzos
II.3.- Casos particulares más comunes para evaluar
II.4.- Aspectos fundamentales del Método del Elemento Finito
II.4.1.- Conceptos sobre el método del elemento finito
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Índice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
II.4.2.- Tipos de elementos
II.4.3.- Pasos requeridos para el análisis con elemento finito
II.4.3.1.- Pre proceso
II.4.3.2.- Solución
II.4.3.3.- Post proceso
II.5.- Programa computacional
II.5.1.- Características del programa computacional
II.5.2.- Ventajas del programa computacional
II.5.3.- Desventajas de programa computacional
II.6.- Sumario
Capítulo III
III.1.- Desarrollo analítico del Factor de Intensidad de Esfuerzos Modo I
III.1.1.- Caso 1; Placa con grieta en el centro
III.1.2.- Caso 2; Placa con grieta en un extremo
III.1.3.- Caso 3; Placa con grietas en ambos extremos
III.1.4.- Caso 4; Probeta normalizada para ensayos de flexión con grieta en el centro
III.1.5.- Caso 5; Probeta normalizada para ensayos de tensión con grieta en el centro
III.1.6.- Caso 6; Probeta desarrollada para prueba de tensión en dos sentidos, empuje y
abrimiento de grieta
III.2.- Desarrollo numérico por medio del Método de Elemento Finito MEF
III.2.1.- Parámetros de diseño
III.2.2.- Materiales para la consideración en la simulación numérica
III.2.3.- Condiciones de apoyo o condiciones de frontera
III.2.4.- Aplicación de cargas en los modelos
III.3.- Desarrollo numérico para cada caso que se desea analizar
III.3.1.- Caso 1; solución numérica para una placa con grieta en el centro
III.3.2.- Caso 2, solución numérica para placa con grieta en el costado
III.3.3.- Caso 3, solución numérica para placa con doble grieta en los costados
III.3.4.- Caso 4, solución numérica para probeta normalizada a flexión con grieta en el
centro
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Índice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
III.3.5.- Caso 5, solución numérica para probeta normalizada para ensayos a tensión con
una grieta, en el centro (C (T))
III.3.6.- Caso 6, solución numérica para probeta desarrollada para prueba de tensión en
dos sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta, en el centro
III.4.- Comparación de resultados
III.5.- Sumario
Capítulo IV
IV.1.- El método de la función geometrica
IV.2.- Cálculo de la función de peso, utilizando el MEF
IV.3.- Cálculos analíticos realizados en para el cálculo de la función de peso
IV.3.1.- Caso 1, Probeta circular para la prueba de tensión
IV.3.2.- Caso 2, Probeta rectangular para la prueba de tensión
IV.3.3.- Caso 3, Probeta rectangular para la prueba de flexión
IV.3.4.- Caso 4, Placa circular para la prueba de tensión
IV.4.- Sumario
Conclusiones
Conclusiones
Referencias
Referencias
Apendice
1.- Programación realizada para desarrollo de las geometrías en paquete comercial
1.1.- Caso 1
1.2.- Caso 2
1.3.- Caso 3
1.4.- Caso 4
1.5.- Caso 5
1.6.- Caso 6
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Índice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
1.7.- Caso 1 Función de peso
1.8.- Caso 2 Función de peso
1.9.- Caso 3 Función de peso
1.10.-Caso 4 Función de peso
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Índice de Figuras
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
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Figura I.1.- Estructura de base para contenedor de fluidos, antes y después de un sismo,
la cual se presenta por fallas en el material
Figura I.2.- Rangos de aplicación de LEFM y EPFM
Figura I.3. Falla de estructura por acción del viento, como consecuencia de muerte a un
individuo
Figura. I.4. Cuadro simplificado de Mecánica de la Fractura
Figura I.5.- Inspección de los barcos Lyberty antes de entrar en operación
Figura I.6.- Pérdidas materiales y humanas por mal diseño en casas habitación.
Figura I.7.- Barcos Liberty, puesto en marcha.
Figura I.8. Astilleros de fabricación de los barcos Lyberty, inicio de la producción en
masa.
Figura I.9.- Placa de tamaño infinito con una grieta en forma elíptica en el centro de
longitud 2a, y una grieta los focos de longitud
Figura I.10.- Modos de carga.
Figura I.11.- Cálculo de la integral J.
Figura II.1.- Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa
Figura II.2.- Tipos de elementos empleados para discretizar un continuo
Figura II.3.- Ejemplos de elementos finitos unidimensionales
Figura II.4.- Ejemplos de elementos finitos bidimensionales
Figura II.5.- Ejemplos de elementos finitos tridimensionales
Figura II.6.- Elemento finito Axi-simétrico
Figura III.1.- Modelo de una placa finita con una grieta en el centro.
Figura III.2.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el centro
Figura III.3.- Modelo de una placa finita con una grieta en la orilla
Figura III.4.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el
extremo
Figura III.5.- Modelo de una placa finita con doble grieta en los extremos
Figura III.6.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con grietas en los
extremos
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Índice de Figuras
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
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Figura III.7.- Modelo de una probeta en flexión con grieta en el centro
Figura III.8.- Modelo de una probeta en tensión con grieta en el centro
Figura III.9.- Dimensionamiento de una probeta en tensión con grieta en el centro
Figura III.10.- Modelo de una probeta en tensión doble con grieta en un extremo al centro
Figura III.11.- Modelo numérico CASO 1
Figura III.12.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 1
Figura III.13.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 1
Figura III.14.- Modelo numérico CASO 2
Figura III.15.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 2
Figura III.16.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 2
Figura III.17.- Modelo numérico CASO 3
Figura III.18.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 3
Figura III.19.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 3
Figura III.20.- Modelo numérico CASO 4
Figura III.21.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 4
Figura III.22.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 4
Figura III.23.- Modelo numérico CASO 5
Figura III.24.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 5
Figura III.25.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 5
Figura III.26.- Modelo numérico CASO 6
Figura III.27.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 6
Figura III.28.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 6
Figura IV.1.- Representación gráfica para el desarrollo de la función Z(a) para el cálculo
numérico
Figura IV.2.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 1
Figura IV.3.- Modelo mallado para el cálculo de KI del primer caso a desarrollar
Figura IV.5.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 2
Figura IV.6.- Modelo mallado para el cálculo de KI del segundo caso a desarrollar
Figura IV.7.- Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y
numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo
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Índice de Figuras
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
xii
caso
Figura IV.8.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 3
Figura IV.9.- Modelo mallado para el cálculo de KI del tercer caso a desarrollar
Figura IV.10.-Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y
numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el tercer
caso
Figura IV.11.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 4
Figura IV.12.- Modelo mallado para el cálculo de KI del cuarto caso a desarrollar
Figura IV.13.-Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y
numérica, con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo
caso.
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Índice de Tablas
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
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Tabla II.1.- Representación de los modos I y II para los esfuerzos para un material
isotrópico, lineal elástico
Tabla II.2.- Representación de los modos I y II para los desplazamientos en la punta de la
grieta, para un material isotrópico, lineal elástico
Tabla II.3.- Esfuerzo y desplazamiento diferente de cero en sus componentes del modo III,
para un material isotrópico, lineal elástico
Tabla II.4.- Casos más comunes donde se aplica el Factor de Intensidad de esfuerzo en
Modo I
Tabla III.1.- Comparación de resultados del “Intensificador de esfuerzos KI” Analíticos Vs
“Intensificador de esfuerzos KI” Numéricos y el porcentaje de error que
existe para cada caso.
Tabla IV.1.- Casos comunes de aplicación de la función de peso.
Tabla IV.2.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de la
función Z(a) para el primer caso.
Tabla IV.3.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de la
función Z(a) para el segundo caso.
Tabla IV.4.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de la
función Z(a) para el primer caso.
Tabla IV.5.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de la
función Z(a) para el cuarto caso.
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Simbología
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
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a = Longitud de la grietaUP = Energía potencial acumulada en la vecindad de la grietaUS = Energía almacenada en la vecindad de la grieta= Esfuerzo normalt = espesor de la placa
E = Modulo elástico del materialE' = Modulo elástico del material= Coeficiente de Poissons = Energía almacenada por unidad de áreap = Energía potencial almacenada por unidad de áreaKI = Factor de intensidad de esfuerzo Modo IKII = Factor de intensidad de esfuerzo Modo IIKIII = Factor de intensidad de esfuerzo Modo III
J = Integral Jfij = Funciónr = distancia polar de una grieta= Factor geométrico= Angulo de propagación en una grietau = Desplazamiento en dirección respecto al ejeP = Carga de tracción aplicada en una placaw = Ancho de la placa= Angulo de orientación en una grietaS = Distancia entre apoyos
%E = Porcentaje de error= Perímetro de un cuerpoT = Carga de tracción arbitrariaF= Fuerza de tracción aplicadaA = Área de un cuerpo
p(x) = Función carga de tracciónh(x) = Función integrada de peso
h= Función de pesoKIref = Factor de intensidad de esfuerzo critico
ds = Distancia de excentricidadD = Diámetro de la probetae = excentricidad en disco sometido a carga de tensión
Z(a) = Función geométrica
Objetivos
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
xv
Objetivo general
El objetivo principal de este trabajo es desarrollar una metodología que sea capaz de calcular de
manera sencilla y eficaz las funciones de geométrica-peso y los intensificadores de esfuerzo por
medio del método de elemento finito MEF. Además es necesario validar los resultados numéricos
obtenidos, mediante la utilización de métodos analíticos ya conocidos para cada uno de los casos
tratados en este trabajo.
Objetivos particulares
Para poder cumplir con la meta trazada en el párrafo anterior es necesario cumplir con metas
intermedias, las cuales se proponen a continuación:
Conocer y desarrollar la aplicación de las funciones geométrica-peso en casos
específicos de estudio.
Conocer y entender los fundamentos básicos de la Mecánica de la Fractura.
Determinar las funciones y/o intensificadores de esfuerzo para cada uno de los
casos propuestos por medio de un método analítico.
Conocer y entender los fundamentos del Método de Elemento Finito.
Determinar las funciones y/o intensificadores de esfuerzo para cada uno de los
casos propuestos por medio del MEF.
Comparar los resultados obtenidos para cada modelo desarrollado y discutir las
variaciones en los resultados.
Justificación
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
xvi
Justificación
En la industria en general, existe la problemática de ser capaz de determinar la vida útil de los
componentes mecánicos y por ende de los materiales utilizados en el diseño. Es principalmente
que por esta razón, es necesario determinar una aproximación con la realidad sobre la
propagación de una grieta que puede causar fallas (en ciertos casos mortales o catastróficos).
Debido a la acción de diversos agentes externos, los cuales actúan durante un periodo, estos
pueden generar fallas o grietas en todo tipo de materiales y por lo tanto reducir la vida útil del
componente.
Por lo regular en el diseño de componentes mecánicos y en donde es necesario se determinan los
intensificadores de esfuerzo aplicando métodos analíticos, que generalmente no son los más
sencillos e ideales. Por lo que este trabajo presenta la posibilidad de agilizar el análisis del cálculo
de los intensificadores de esfuerzos por medio del MEF. De la misma manera, se aplica el MEF
para la determinación de las funciones de peso y geométricas.
Los casos que se analizarán, serán determinados para aplicarse en elementos estructurales, o bien
para las partes que se someten a trabajos de manufactura, y que al ser trabajadas, presentan
grietas o fisuras en su volumen, considerando que con esto se tienen un intensificador de
esfuerzos.
Introducción
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
xvii
Introducción
El avance en condiciones de investigación para el desarrollo de la Ingeniería, constantemente está
cambiando en función del avance tiene la ciencia a nivel mundial. Con la misma forma como se
va avanzando es necesario desarrollar técnicas más acordes a las aplicaciones con las que se
cuenta actualmente. Una de las herramientas de mayor empleo en la actualidad es el uso de
simuladores digitales, en donde se modelan algunos fenómenos reales se presentan en la vida
cotidiana. Las aplicaciones que se pueden dar a nivel Ingeniería son muchas pero los avances que
se pretenden alcanzar están en función del desarrolló de la investigación. Es por esto, que en el
presente trabajo se utiliza la aplicación de elementos computacionales y paquetes de simulación
para desarrollar modelos matemáticos que han sido aplicados en trabajos anteriores.
Las condiciones que se desarrollarán en ese trabajo se basan en la aplicación de equipo
computacional, con el que se auxiliará el desarrollo de los modelos ya estudiados con
anterioridad. En donde el cálculo analítico es en algún momento muy tedioso, es por eso que
utilizamos herramientas para la simulación de problemas sujetos a cargas que originan altas
concentraciones de esfuerzos, para determinar estos, se utilizaran herramientas específicas para
localizar los puntos críticos donde se presenta un esfuerzo mayor que podría dar lugar a una falla
en algún elemento que este trabajando sujeto a esfuerzos.
A lo largo de la historia se ha tratado de realizar más eficiente y de forma explícita los análisis en
Ingeniería, si se utilizan las herramientas adecuadas y haciendo consideraciones acordes a los
fenómenos establecidos u observados. Es por esto que el desarrollo de la investigación tiene que
considerar métodos específicos en función de las nuevas herramientas para cubrir dichos
objetivos.
Por este motivo se desarrollarán modelos para analizar, por medio de métodos computacionales y
haciendo referencia al método del elemento finito, y mediante el uso de las herramientas con las
que cuenta, siendo posible desarrollar una solución acorde a los fenómenos que se presentan en la
realidad.
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
En este capítulo, se proporcionan los antecedentes
históricos sobre la Mecánica de la Fractura. Además se
describe, de forma muy general, los principios de estudio de
las dos corrientes más importantes que existen actualmente.
Es de suma importancia recalcar que la propagación de la
grieta juega un papel muy importante en el inicio de este
trabajo, dado que estos conceptos serán retomados para
estudios posteriores. Donde el conocimiento adquirido se
desarrollará por métodos numéricos y analíticos de los
intensificadores de esfuerzo y Z(a).
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
2
I.1.- Generalidades
Se encuentra documentado mundialmente [Broek, 1986, Murakami, Nomoto y Ueda, 1999, y
Anderson, 2005] que cuando los componentes mecánicos tienden a fallar, principalmente se debe
por que existen defectos o imperfecciones (por lo general en la superficie del material). Los
diferentes tipos de imperfecciones o fallas que se presentan en el material se pueden clasificar en
dos grupos; desde el punto de vista metalúrgico o desde el punto de vista mecánico. En forma
general, la falla es conocida como grieta y se clasifica dependiendo de su forma geometría y su
tamaño y son directamente responsables de reducir la vida útil de los componentes mecánicos en
servicio (Figura I.1).
Figura I.1.- Estructura de base para contenedor de fluidos, antes y después de un sismo,la cual se presenta por fallas en el material
Los continuos ciclos de trabajo de los elementos o partes mecánicas que contienen este tipo de
imperfecciones, se encuentran expuestos a un posible daño por falla. Dentro del área de la
Mecánica, la ciencia que estudia y evalúa las fallas o grietas, se conoce como Mecánica de la
Fractura. Esta línea como ciencia en la investigación, se puede dividir en dos grandes corrientes
de estudio [Broek, 1988]:
Mecánica de la Fractura Lineal Elástica (LEFM).
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
3
La mecánica de la fractura elastoplástica (EPFM).
El caso de estudio de la LEFM, sólo se estudia casos completamente elásticos y en materiales
frágiles (en otras palabras, donde la grieta cuenta con una zona plástica muy reducida en la
punta). Mientras que para los casos relacionados con EPFM, se consideran para el desarrollo de
grietas con grandes zonas dúctiles al frente de la falla (Figura I.2).
Figura I.2.- Rangos de aplicación de LEFM y EPFM
A B C D E
Material muyduro en
deformaciónplana
Material muyduro en
esfuerzo plano
Materialdúctil en
esfuerzo planoo deformación
plana
Materialdúctil con
granplasticidad
Materialdúctil
totalmenteplástico
LEFM
EPFM
Colapso Plástico
Comportamiento de la Fractura
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
4
La LEFM tiene soportada su validez para los casos de estudio en donde la grieta no se considera
como tal, dado que existen deformaciones permanentes en una pequeña región alrededor de la
punta de la grieta. Este tipo de comportamientos son característicos de los materiales frágiles. La
EPFM esta sustentada en la hipótesis de que los materiales muestran en su diagrama esfuerzo
deformación un comportamiento no-lineal y este es independiente del tiempo. Este método utiliza
dos herramientas muy importantes para el desarrollo de un análisis fractomecánico al rango
elastoplástico [Urriolagoitia-Sosa, 1996]:
Desplazamiento de apertura de grieta (COD)
Integral J.
Figura I.3. Falla de estructura por acción del viento, consecuencia muerte de un individuo.
Los parámetros presentados anteriormente, tienen ciertas condiciones de restricción. En ambos
casos se describe la condición de esfuerzos en la punta de la grieta y sólo son criterios validos
para la fractura. La Figura I.4, muestra una clasificación simplificada del campo de Mecánica de
la Fractura [Urriolagoitia-Sosa, 1996].
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
5
Figura. I.4. Cuadro simplificado de Mecánica de la Fractura.
I.2.- Antecedentes históricos
El inicio de las fallas en los componentes mecánicos por causa de una grieta o fisura, ha sido
desde los inicios del hombre, como ente pensante, una cuestión de gran interés. Ya que sin
conocer bien el área de Mecánica de la Fractura, el hombre ha sido capaz de aplicarla con gran
existo en el desarrollo de sus herramientas de caza o construcción [Timmins, 1994].
En los pocos registros que se han encontrado sobre Mecánica de materiales [Timoshenko, 1983],
se indica que el primero en realizar estudios sobre la Mecánica de la Fractura fue Leonardo Da
Vinci, al medir la resistencia de las lianas o cuerdas y enunciando que la resistencia de estas
dependían de la longitud de la misma (sin embrago hoy en día se sabe que no es así).
Se ha investigado, que las primeras fallas registradas en un material, consideradas como proceso
industrial, fueron en la obtención de materia prima de las canteras, los cuales se ocupaban para la
construcción de casas y templos en algunas civilizaciones. Así como el tallado de piedra para la
construcción de estatuas [Urriolagoitia-Sosa, 1996].
Tiempo después, cuando se inició el uso de otro tipo de materiales (el caso de los metales puros y
aleaciones) para aplicaciones industriales y estructurales (Revolución Industrial) se suscitaron
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
6
problemas muy graves en las fallas de grandes estructuras, a tal grado que hubo pérdidas
humanas. Donde se ha encontrado que el problema era, que no existía un diseño adecuado y de la
misma forma no se había detectado lo perjudicial que eran las imperfecciones en los materiales
[Kirby, 1990].
Ahora bien, los primeros antecedentes del desarrollo de una investigación más formal en el área
de Mecánica de la Fractura, datan desde el tiempo de la segunda guerra mundial, cuando los
primeros barcos Liberty sufrieron roturas en el casco y cubierta, y algunos cuantos se perdieron
debido a defectos estructurales [Shukla, 2005] (Figura I.5).
Figura I.5.- Inspección de los barcos Lyberty antes de entrar en operación.
Poco a poco se fueron corrigiendo este tipo de fallas por medio de la modificación de algunos
materiales de construcción, los cuales quedaban expuestos y tendían, con la aplicación de las
cargas, a fracturarse. Lo que llevó a ser utilizados en una mejor construcción y finalmente
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
7
cambiar en diseño, lo que dio origen a los barcos tipo Victory, mucho más fuertes y menos
rígidos [Ayyub, 1998].
Las fallas usualmente tienen un impacto socioeconómico muy amplio, por la sencilla razón que
cuando existen fallas en estructuras grandes, existe el riesgo de pérdidas de vidas humanas.
Además de considerar el impacto, muy significativo, en la economía de la industria que tiene que
ver en el diseño de tales elementos estructurales (Figura I.6).
Figura I.6.- Pérdidas materiales y humanas por mal diseño en casas habitación.
Las pérdidas en la industria, por el caso de fallas en el diseño, y en el constante desarrollo en las
evaluaciones para predecir el tiempo de vida de los elementos que los componen, indican que
para el caso de equipos en los cuales hay mucho riesgo de vida humana, y de aquellos de los
cuales existe dependencia en el caso de los servicios. Como son los recursos naturales, productos
energéticos y productos de consumo alimenticio. Donde un paro, por pequeño que sea, implica
bajas en la bolsa de valores y pérdidas en el recurso financiero en la parte del desarrollo
industrial. Uno de los ejemplos más mencionados de falla de materiales fueron los cargueros
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
8
construidos en los EE.UU. durante la Segunda Guerra Mundial (Figura I.7) [Janssen, Zuidema y
Wanhill, 2004].
Figura I.7.- Barcos Liberty, puesto en marcha.
Los barcos Liberty eran de diseño británico, pero adaptados por los EE.UU. Eran embarcaciones
baratas y rápidas de construir, vinieron a simbolizar la capacidad de producción de los EE.UU. en
tiempos de guerra. Su diseño se basaba en buques encargados por el gobierno británico, clase
Ocean, para reemplazar a los barcos torpedeados por los U-BOOT alemanes, que infligieron
enormes pérdidas en la flota mercante del Reino Unido. Estos barcos fueron comprados para la
flota de los EE.UU por la ley de Prestamos y Arriendos para aprovisionar al Reino Unido, que
adquirió 60 unidades. Dieciocho astilleros americanos (Figura I.8) construyeron 2.751 Liberties
entre 1941 y 1945, el mayor número de barcos producidos y adaptados a un único diseño. El
diseño británico fue modificado por la Comisión Marítima de los Estados Unidos para adaptarlo a
un modelo americano más práctico e incluso más rápido y barato de construir. Esta versión fue
denominada EC2-S-C1 (E por Emergency, C por cargo, 2 por la longitud de la línea de flotación
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
9
de 400 a 450 pies, que era el índice del desplazamiento, S por propulsión a vapor y C1 por el
diseño). Inicialmente tuvieron una imagen pobre entre los americanos, debido a su apariencia; la
revista Times les llamó Patito Feo. Para ganarse a la opinión pública, el 27 de septiembre de 1941
fue designado Día de la Flota de la Libertad y los primeros 14 barcos Emergency fueron botados
ese día. Cada buque costó 2 millones de dólares [Smith, D.J. Garwood, S.J., 1990].
Figura I.8. Astilleros de fabricación de los barcos Lyberty, inicio de la producción en masa.
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
10
En gran detalle en esta sección se presentó la necesidad histórica del estudio y desarrollo de
Mecánica de la Fractura. A continuación, en la siguiente sección se detalla la cuestión teórica que
fundamente a esta área de la Física.
I.3.- Principios teóricos de Mecánica de la Fractura Lineal Elástica [Griffith, 1921]
El primer antecedente histórico registrado y aceptado como el inicio de la Mecánica de la
Fractura, se le reconoce a A. A. Griffith's. (1920-1924), el cual propone su hipótesis sobre la
cantidad de energía requerida para la propagación de una grieta. Griffith demostró por primera
vez que la resistencia real de un material frágil era menor a la calculada teóricamente. Esto se
manejo en principio con un material frágil (vidrio), donde se manejaba el concepto de que se
necesita una cantidad de energía para la propagación de una grieta. Hace un enfoque al problema
de la fractura, marcando el inicio del desarrollo del estudio de la misma, desde que los
investigadores sobre el campo de la fractura, tienen que compartir un crecimiento general en
aplicaciones de la mecánica.
Figura I.9.- Placa de tamaño infinito con una grieta en forma elíptica en el centro de longitud 2a,y una grieta los focos de longituda.
t
2
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
11
El primer modelo considerado para su estudio, fue el de una placa de tamaño infinito con un
barreno elíptico en el centro, donde la elipse describe en la longitud total de 2a, donde a,
representa la longitud de la grieta; tomando en cuenta que este es un material frágil y será
analizado. A partir de este modelo, se desarrolló se inicio el concepto de la energía de Griffith.
El concepto parte de la energía potencial que se acumula en la placa.
2 2
P
a tU
E
I.1
Donde, para esfuerzo plano y deformación plana
2
EE
1
y E E I.2
E, representa el modulo elástico del material y ν representa el coeficiente de Poisson.
La energía del que se almacena la grieta, se representa con la ecuación.
S SU 4at I.3
Donde γs, representa la energía por unidad de área.
Si se suma el total de energía que se acumula en la placa, se obtiene.
2 2
P S S
a tU U U 4at
E
I.4
Griffith, encontró que la consideración critica en la grieta, se obtiene bajo estas condiciones:
2 2
S
dU 2 a t4t 0
da E
I.5
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
12
El resultado crítico de esta condición es:
S2Ea
I.6
Para un trabajo elastoplástico, se encuentra que la relación para el inicio de la propagación de la
grieta, se establece para la relación:
S pE (2 )
a
I.7
Donde γp representa el trabajo plástico por unidad de área. Este concepto, tiene limitantes, ya que
γp, no puede ser medido de forma independiente.
Inglis (1913) hace una de las primeras contribuciones en el campo, el estudio del comportamiento
de los esfuerzos, que se presentan alrededor de un agujero elíptico en una placa, y demostró que
la concentración de esfuerzos en la punta de la grieta es infinito. Griffith y Taylor (1917)
utilizaron el método de una película de jabón para solucionar problemas en elementos sometidos
a torsión, marcando con líneas en el contorno para determinar los esfuerzos cortantes. Griffith
(1920-1924) establece el concepto de propagación de la grieta; calculó los esfuerzos y las
deformaciones debidas apoyándose en el desarrollo matemático realizado por Inglis (1913) y
utilizo el método de la película de jabón para el cálculo de los esfuerzos ya antes mencionado.
Concluyó que los grietas normalmente se encuentran con el incremento de las esfuerzos
incrementados de dos a seis veces, de acuerdo a la forma del cuerpo y que el aumento del
esfuerzo no era suficiente para hacer fallar al material. En vista de ser una hipótesis inadecuada y
ordinaria, adjuntó el problema de la ruptura de sólidos elásticos por el del Teorema de la mínima
energía. De acuerdo a este teorema el estado de equilibrio en un solidó elástico, deformado por
una fuerza en una superficie, es tal que la energía potencial completa del sistema es mínima y el
criterio de ruptura fue obtenido al agregar el teorema del estado del equilibrio. Si el equilibrio es
posible, se debe a que la ruptura ha ocurrido en el sólido, si el sistema puede pasar de la
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
13
condición continua, por un proceso donde se involucra una reducción ininterrumpida en la
energía potencial.
Sin embargo, para aplicar el teorema ampliado al problema de encontrar la carga de abrimiento
en un sólido, Griffith encontraba necesario tomar en cuenta el aumento en la energía potencial
que ocurre en la formación de nuevas superficies en el interior de tales sólidos. El razonó que, en
la formación de una grieta en un cuerpo compuesto de moléculas que se atraen, el trabajo se
realiza contra la fuerza cohesiva de las moléculas sobre cualquier superficie de la grieta. Este
trabajo aparece como la energía potencial de superficie y si el ancho de la grieta es más grande
que la pequeña distancia llamada Radio de acción molecular, la energía por unidad de área es una
contaste del material, llamada tensión de superficie.
Un teorema fue establecido como Un cuerpo sólido elástico deformado por fuerzas aplicadas en
la superficie, la suma de la energía potencial aplicada en la fuerza de la energía de deformación
del cuerpo es inalterada por la introducción de una grieta en la superficie libre de tracción, y
ofrece la prueba de esto.
Westergaard [1939], utilizo una técnica semi-inversa para el análisis de los esfuerzos y las
deformaciones en la punta de la grieta, donde obtuvo resultados muy satisfactorios. Mientras
tanto Irwin [1948] logró hacer ampliaciones a los trabajos realizados anteriormente en un
Laboratorio de Investigación Naval para el análisis de falla en metales, utilizando la inclusión de
la energía de disipación por flujo plástico local. Derivado de este estudio, Irwin [1956] desarrolló
el concepto de la Razón de la Energía Liberada (G), la cual tiene una relación directa con la
teoría desarrollada por Griffith. Además, Irwin [1957], considerando el trabajo desarrollado por
Westergaard, demostró que los esfuerzos y deformaciones en la punta de la grieta pueden ser
descritos por una constante simple. La cual tiene relación con la energía liberada. Este parámetro
se llamo el campo de esfuerzo en la punta de la grieta y después se le conoció como el factor de
intensidad de esfuerzos (K) y planteó el sistema de aplicación de carga (Figura I.10).
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
14
Figura I.10.- Modos de cargas
Alternadamente se aplicó una técnica diferente para describir el campo de esfuerzos en la
vecindad en la punta de la grieta. Williams [1957] encontró que los resultados son idénticos con
los obtenidos por Irwin. Estos trabajos fueron aplicados en otros campos de estudio; para obtener
la propagación de la grieta por la acción de cargas cíclicas en diferentes componentes mecánicos
[Winne y Wund, 1958 y Paris, Gómez y Anderson, 1961].
I.4.- Principios teóricos de la Mecánica de la Fractura Elastoplástica
El principal exponente y padre de esta teoría es Irwin [1961], el cual corrige el concepto de que
no existe zona plástica en la punta de la grieta y determina la nueva propagación de esta, bajo el
concepto de una zona plástica. Generando Rice los conceptos de COD.
Para aceros estructurales Wells [1995] aplicó la Mecánica de la Fractura Lineal Elástica en
componentes estructurales de mediana resistencia. Estos materiales presentaban fallas cuando
existían deformaciones plásticas, por lo que fue posible desarrollar el parámetro de
desplazamiento de apertura en la punta de la grieta COD, el cual es el primer paso para el
surgimiento de Mecánica de la Fractura Elastoplástica.
Mientras tanto Rice [1968] demostró que la proporción de energía liberada durante la
propagación de la grieta puede ser expresada como una integral de línea, conocida como la
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
15
integral J, esta se puede evaluar y cuantificar en un contorno alrededor de una punta de grieta
(Figura I.11).
Figura 1.11.- Cálculo de la integral J.
Este análisis representa estudios de un comportamiento No-lineal de la grieta, en la cual sus
parámetros de utilización son universales.
yxx y
r r
uuJ Wdy t t ds
x x
I.8
En los años 70’s, ya se contaba con las relación matemáticas en la Mecánica de la Fractura para
determinar el Factor de Intensidad de Esfuerzos y el tamaño crítico de una grieta. Entre otros
problemas de tipo lineal-elástico. En el caso del comportamiento no-lineal, Shih y Hutchinson
[1976] proponen la integral J para este mismo caso de estudio. Años después de estos
desarrollos, en los Estados Unidos de América y en la Gran Bretaña, se inicio el desarrollar y
publicación de manuales y métodos de diseño basados en las investigaciones antes mencionadas.
Para el caso de Estados unidos se basó en la integral J [Kumar, German y Shih, 1981] para
determinar la tenacidad del material, y en el caso de la Gran Bretaña se desarrollaron dentro del
concepto del COD [Wells, 1963].
Capítulo I
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
16
I.5.- Futuro de la Mecánica de la Fractura
A pesar de que se tiene un sustancial avance en Mecánica de la Fractura, no se cuenta con
modelos sofisticados para el comportamiento del material, que se puedan incorporar dentro de los
análisis. En trabajos más actuales, se incorpora la dependencia del tiempo en los materiales de
comportamiento no-lineal, tales son los materiales viscoplásticos y viscoelásticos, esto con la
finalidad de trabajar con materiales más resistentes a las temperaturas y aplicaciones plásticas en
elementos estructurales. La Mecánica de la Fractura en la actualidad tiende a trabajar en
materiales compuestos.
Cabe mencionar que existen documentos y curvas de comportamiento, desarrollados a partir de
diferentes conceptos de Mecánica de la Fractura. Existen otras líneas de investigación avanzada,
basadas en Mecánica de la Fractura la cual utiliza el análisis fractal aplicado en grietas [Wells,
1963], el cual se desarrolla en la parte Microestructural con la aportación del conocimiento
desarrollado por Mecánica de la Fractura.
Actualmente se están utilizando métodos alternativos como es el caso de los métodos numéricos,
y el método del elemento finito, para la determinar casos por medio de simulación numérica y
obtener resultados muy semejantes a la realidad [Urriolagoitia-Sosa, 1996].
I.6.- Sumario
En el capítulo anterior, se hace mención sobre los antecedentes históricos de la mecánica de la
fractura, donde se describen de forma muy general los principios de estudio de las dos corrientes
más importantes que existen actualmente. Se habla sobre los principales exponentes de dichas
corrientes, así como cuales fueron las aportaciones más importantes de dichos trabajos.
Por otra parte es de suma importancia recalcar que la propagación de la grieta juega un papel muy
importante en el inicio de este trabajo, dado que estos conceptos serán tomados para capítulos
posteriores, donde se desarrollaran por métodos numéricos, los cálculos sobre intensificadores de
esfuerzo y se estudiarán de forma analítica.
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
En este capítulo, se describe cómo se desarrolla, por la
parte matemática, las teorías de propagación de la
grieta. Así como la solución de los intensificadores de
esfuerzo. Se seleccionarán los casos más comunes para
el cálculo analítico y se presentaran los esquemas o
modelos matemáticos para dichos casos. Los cuales se
consideran de manera representativa y demostrativa.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
18
II.1.- La Mecánica de la Fractura
En los problemas de Ingeniería se utiliza en gran manera la teoría de fallas estáticas,
considerando el material homogéneo e isotrópico. Lo anterior implica que está libre de cualquier
defecto (grietas, huecos y/o inclusiones) [Norton, 1999]. Estos defectos sirven como
intensificadores de esfuerzo, además que se considera que todos los materiales tienen
microgrietas (las cuales son demasiado pequeñas para verse a simple vista), cuyo tamaño y
distribución dependen del material, y de su proceso de manufactura [Norton, 1999]. Esto puede
encontrarse y variar desde inclusiones no metálicas o microhuecos, hasta defectos de soldadura,
grietas del maquinado, por defectos de solidificación en la fundición, por desgaste intergranular,
grietas de templado, dobleces superficiales, etc. [Dolan, 1970].
Las fallas duras o miniaturas son originadas por mal manejo en la superficie, también suelen
hacer las veces de grietas incipientes [Norton, 1999]. Sin embargo, las grietas que ocurren
durante el servicio de manera espontánea debido al daño, son más difíciles de predecir y de tomar
en consideración. La presencia de una grieta limpia en un campo de esfuerzos, crea
intensificadores de esfuerzo que teóricamente se acercan al infinito. En la Ecuación II.1 y Figura
II.1 se muestra este tipo de efectos [Dolan, 1970].
1 2t
aK
c
II.1
Figura II.1.- Concentración de esfuerzos en el borde de un orificio elíptico en una placa[Norton, 1999]
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
19
En la Ecuación II.1, se puede observar que la variable c, cuando tiende a acercarse al valor de 0,
resulta en un valor del esfuerzo que tiende a infinito. Como no hay material de soporte en el
componente, el esfuerzo tiende a ser elevado, así tendría a fluir localmente (si este fuese un
material dúctil), o microfractura localizada (en el caso de que fuese un material frágil), o
cuarteaduras localizadas (en el caso de ser un polímero), lo cual puede ocurrir en la punta de la
grieta. [Dowling, 1993].
El estudio de la Mecánica de la Fractura supone la presencia de algunas grietas y el estado del
comportamiento de material en la región de la grieta, puede ser por deformación plana o esfuerzo
plano. Si la zona de fluencia alrededor de la grieta es pequeña, en comparación con las
dimensiones de la pieza, entonces puede ser aplicable la teoría de la Mecánica de la Fractura
Lineal Elástica (LEFM). El LEFM, supone que el grueso del material está comportándose de
acuerdo con la ley de Hooke. Sin embargo, si una porción de importancia del grueso del material
está la región plástica de su comportamiento esfuerzo-deformación, entonces se requiere de
adecuar mediante un método más complicado y cae dentro de la Mecánica de la Fractura Elasto
Plástica (EPFM).
II.2.- Modos de desplazamiento de grietas
Dependiendo de la orientación de la carga con respecto a la grieta (Capítulo I, Figura I.10), las
cargas aplicadas pueden tener tendencia a tirar abriendo una grieta a tensión, a esta forma de
carga se le conoce como Modo I, cuando la carga corta al plano de la grieta se le conoce como
Modo II, y cuando desgarra al corte fuera del plano de la grieta, se le conoce como Modo III
[Norton, 1999].
II.2.1.- Factor de intensidad de esfuerzos
Cada modo de carga produce la singularidad de 1/r en la punta de la grieta. Pero la constante de
proporcionalidad en la Figura II.2, depende de la forma de aplicación de la carga. Es
conveniente que en este punto se remplace por un factor de intensidad de esfuerzo K [Wu &
Carlsson, 1991].
K a II.2
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
20
Donde K es conocido como el factor de intensidad de esfuerzo y es la constante de
proporcionalidad.
El factor de intensidad de esfuerzo se representa usualmente subscrito y denota que el modo de
carga sea KI, KII o KIII. Estos modos se localizan en la punta de la grieta considerando que es un
material Isotrópico y elástico, donde los esfuerzos se expresan de la siguiente manera:
0
lim2
I IIij ijr
Kf
r
II.3
0
lim2
II IIIIij ijr
Kf
r
II.4
0
lim2
III IIIIIIij ijr
Kf
r
II.5
Los modos de carga (Capítulo I, Figura I.10) se pueden encontrar combinados y se pueden
representar de la siguiente manera:
Total I II IIIij ij ij ij II.6
Para encontrar las combinaciones más comunes de los modos de carga, en la Tabla II.1 se
muestran los esfuerzos para los modos I y II y los desplazamientos se presentan en la Tabla II.2
para los mismos modos de carga.
Además en la Tabla II.3, se muestra la representación de la grieta sin esfuerzos y desplazamientos
en sus componentes del modo III, para un material isotrópico y con comportamiento elástico
[Anderson, 1995].
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
21
Tabla II.1.- Representación de los modos I y II de los esfuerzos para un material isotrópico,lineal elástico [Anderson, 1995]
Esfuerzo Modo I Modo II
xx3
cos 1 sin sin2 2 22
IKr
3sin 2 cos cos
2 2 22IIKr
yy 3cos 1 sin sin2 2 22
IKr
3sin cos cos2 2 22
IIKr
xy 3cos sin sin2 2 22
IKr
3cos 1 sin sin2 2 22
IIKr
zz0 (esfuerzo plano)
xx yy (deformación plana)
0 (esfuerzo plano)
xx yy (deformación plana)
,xz
yz
0 0
Donde es el coeficiente de Poisson.
Tabla II.2.- Representación de los modos I y II para los desplazamientos en la punta de la grieta,para un material isotrópico, lineal elástico [Rice, 1972]
Desplazamientos Modo I Modo II
xu 2cos 1 2sin2 2 2 2
IK rk
2sin 1 2cos
2 2 2 2IIK r
k
yu 2s 1 2cos2 2 2 2
IK r in k 2cos 1 2sin
2 2 2 2IIK r k
Donde
Módulo de cortante.
3 4k Deformación plana.
31
k Esfuerzo plano.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
22
Tabla II.3.- Esfuerzo y desplazamiento diferente de cero en sus componentes del modo III, paraun material isotrópico, lineal elástico [Anderson, 1995]
Modo III
xz sin22
IIIKr
yz cos22
IIKr
zu sin2 2
IIIK r
II.2.- Casos particulares más comunes para evaluar
En la Mecánica de la Fractura, se han estudiado con mucho énfasis el Modo I de carga para
materiales frágiles. En este respecto, este trabajo se enfocará en este tipo de modo de carga y
material ya que son los casos más comunes. De la misma forma, se analizaran los casos por el
método numérico, para corroborar la exactitud en los análisis. Los análisis se desarrollaran por
medio de un modelo común (entre los casos de estudio), aplicando dimensiones generalizadas y
desarrollando todo el concepto teórico por medio de paquete computacional ANSYS [Bueckner,
1970].
A continuación en la Tabla II.4, se representan los modelos típicamente utilizados en la Mecánica
de la Fractura Elástica Lineal. En estos modelos, se calculara el K, para el Modo I por método
analítico y por el método numérico y se determinara el porcentaje de error para verificar una vez
más el grado de error entre un método y otro.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
23
Tabla II.4.- Casos más comunes donde se aplica el Factor de Intensidad de esfuerzo en Modo I[Rice, 1972]
Modelo KI
Modo I
Función geométrica
w
2a
IK a
Pwt
seca w a
Tanw a w
para 0<a<0.5
2 4 6
1 0.5 20.46 81.72a a aw w w
a a
w
IK a
Pwt
2 3 4
1.12 0.23 10.55 21.71 30.38a a a aw w w w
w
a
IK a
Pwt
2 3
1.12 0.41 4.78 15.44a a aw w w
S
w
L
P
P2
P2
IK a
Pwt
2 3 4
2
3
1.68 1.82 1.51 5.61 2.28
21 1
a a a a Sw w w w
a aaw
w w
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
24
a
P
w
IK a
Pwt
2 3 4
3
2 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16
1
a a a a aww w w w w
aaww
w
2a
PIK P a
w
sinIK a
II.3.- Aspectos fundamentales del Método del Elemento Finito
En el ámbito mundial, son ampliamente conocidas las complicaciones matemáticas que
consideran la aplicación de los distintos métodos de cálculo estructural a problemas de Ingeniería
[Hernández-Gómez, 1985]. Las formulaciones que las distintas teorías llevan implícitas en el
planteamiento de los sistemas de ecuaciones, son cada vez más complejas, por lo que se
imposibilita su aplicación práctica y en forma directa [Hernández-Gómez, 1985]. Claro está,
salvo los casos más elementales que carecen de interés técnico.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
25
Una de las soluciones, propuestas en el ramo de la Ingeniería Mecánica, es la utilización del
Método del Elemento Finito (MEF). Pero, es muy importante hacer notar que la utilización de
este método, por lo regular a nivel de licenciatura, se lleva a cabo como si fuera una caja negra.
Donde se introducen datos para los programas que se corren en una computadora y se obtienen
alguna serie de resultados. La complejidad programática del MEF, es tan grande, que en este
trabajo no se pretende explicar en extenso la teoría sobre la que se basa la aplicación de este
método ya que realmente es muy difícil de dominar. Por lo que actualmente, en primera instancia
se pretende saber utilizar un programa computacional que trabaje con el MEF, para en posteriores
estudios entender ampliamente su funcionamiento matemático. A continuación se presentará una
corta investigación sobre los métodos utilizados para el análisis de estructuras los cuales son
también utilizados por el MEF.
II.3.1.-Conceptos sobre el método del elemento finito
En un problema del medio continuo de cualquier dimensión, las variables bajo consideración (ya
sea presión, temperatura, desplazamiento, esfuerzo, etc) tiene una infinidad de valores. Ya que es
una función de la posición de cada uno de los puntos que ubicados en el cuerpo o dominio de
estudio. Como consecuencia de esto, el problema tiene un número infinito de incógnitas. El MEF
discretiza el dominio reduciendo el problema a un número finito de incógnitas, mediante la
división del dominio en elementos determinados físicamente y expresa al mismo tiempo el campo
de incógnitas en términos de funciones aproximadas para cada elemento [Domínguez, V. M.,
1992.].
Las funciones de aproximación (también llamadas funciones de interpolación) son definidas en
términos de los puntos nodales. Se define como punto nodal, aquellos puntos sobre los cuales
trazamos una serie de líneas rectas que nos sirven para delimitar la geometría de elemento finito y
cada elemento finito puede ser unidimensional, una recta, bidimensional plano construido con 3 o
más rectas o tridimensional sólido espacial con seis o más rectas poliédrico. El comportamiento
del campo de la variable respecto de los elementos, viene dado por los valores nodales del campo
de la variable y las funciones de interpolación para los elementos. Para el MEF, los valores
nodales en el campo de la variable se convierten en las nuevas incógnitas. Una vez que se
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
26
resuelven las incógnitas, las funciones de interpolación definen la variable a través del ensamble
de los elementos [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998].
Naturalmente, la exactitud de la solución depende tanto del tamaño, como de la cantidad de
elementos usados, así como de las funciones de interpolación empleadas. No se deben elegir
funciones arbitrariamente, porque no se cumplirían las condiciones de compatibilidad requeridas.
Normalmente se eligen funciones de interpolación de modo que la variable o sus derivadas sean
continuas a través de variables y sus derivadas sean continuas en forma de interpolación en
condiciones de compatibilidad dentro de los límites de los elementos adyacentes.
El MEF posee una característica que lo hace único entre los métodos numéricos aproximados.
Esta característica es la capacidad para formular soluciones para elementos individuales antes de
ensamblarlos para representar el problema completo. Un ejemplo de dicha característica es que si
se estuvieran tratando problemas de análisis de esfuerzos, sería posible encontrar la rigidez para
cada elemento y ensamblar todos los elementos para determinar posteriormente la rigidez de la
estructura completa. En esencia, un problema complejo se reduce considerando varios problemas
simplificados [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998].
El MEF es un procedimiento ordenado, el cual puede resumirse a grandes rasgos como
[Hernández-Gómez, 1985]:
Discretización del dominio.- El primer paso consiste en dividir el dominio de
estudio en elementos. Puede emplearse una amplia variedad de formas de
elementos (Figura II.2) y si se tiene el suficiente cuidado, se pueden emplear
diferentes tipos de elementos en la misma discretización. En realidad, cuando se
analiza una estructura que tiene diferentes tipos de componentes, como son
placas y vigas, no sólo es deseable sino necesario, emplear diferentes tipos de
elementos en el mismo dominio. A pesar de que la decisión del tipo y número de
elementos a usar son cuestiones de ingeniería, el analista puede apoyarse en la
experiencia de otros analistas para guiarse.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
27
Figura II.2.- Tipos de elementos empleados para discretizar un continuo. a) Elementos de formasimple sin refinamiento. b) Elementos de forma simple con refinamiento [Xu and Needleman,
1994]
Definir las propiedades de los elementos.- Una vez que ha sido establecido el
modelo de elementos finitos (esto es, ya que se eligieron los elementos y sus
funciones de interpolación), se está en posibilidad de determinar las ecuaciones
matriciales que expresan las propiedades de cada uno de los elementos. Para
realizar esto se puede emplear alguna de las cuatro formulaciones posibles del
método del elemento finito: la formulación directa, la formulación variacional, la
formulación de los pasos residuales, o la formulación del balance de energía.
Seleccionar las funciones de interpolación.- El siguiente paso es asignar los
nodos de cada elemento y elegir el tipo de función de interpolación para
representar el cambio de la variable sobre el elemento. La variable puede ser un
escalar, un vector, o un tensor de orden superior. En muchas ocasiones, pero no
siempre, se seleccionan polinomios como funciones de interpolación para la
variable porque éstos se integran y se diferencian fácilmente. El grado del
polinomio elegido depende del número de nodos asignado a cada elemento, de la
naturaleza y el número de las incógnitas de cada nodo y los requerimientos de
continuidad impuestos a los nodos, a lo largo de los límites de los elementos. La
magnitud de la variable, así como la magnitud de sus derivadas, pueden ser las
incógnitas existentes en cada nodo.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
28
Ensamble de las ecuaciones de los elementos.- Las ecuaciones matriciales para
el sistema tienen la misma forma que las ecuaciones para un solo elemento,
excepto que éstas contienen muchos más términos porque incluyen a todos los
nodos. La base para realizar el procedimiento de ensamble se fundamenta en el
hecho de que en un nodo, donde se interconectan elementos, el valor de la
variable es el mismo para cada elemento que comparte dicho nodo. El ensamble
de las ecuaciones de los elementos es una labor rutinaria y usualmente se hace
empleando computadoras. Antes de que las ecuaciones del sistema estén listas
para ser solucionadas, deberán modificarse para introducir las condiciones de
frontera del problema. Esta parte es fundamental para llevar a buen término un
análisis mediante el método del elemento finito. Si no se representan de una
forma adecuada las condiciones de frontera que tiene el espécimen modelado,
los resultados obtenidos serán poco confiables.
Resolver el sistema de ecuaciones.- El proceso de ensamble del paso anterior,
establece una serie de ecuaciones simultáneas, las cuales pueden resolverse para
obtener los valores nodales de la variable. Si el sistema de ecuaciones es lineal,
se pueden emplear varias técnicas de solución comunes, como son; el método de
Eliminación de Gauss–Seidal, o la descomposición de Cholesky si las
ecuaciones son no–lineales, su solución es más difícil de obtener y puede
emplearse el método de Newton–Raphson, el método de Sustituciones
Sucesivas, o algún otro método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no
– lineales.
Efectuar cálculos adicionales.- En muchas ocasiones deseamos usar la solución
de los sistemas para calcular otros parámetros importantes.
Para los problemas de elasticidad plana, la solución del sistema de ecuaciones dan como
resultado los desplazamientos nodales. Partiendo de dichos valores, es posible calcular tanto las
deformaciones, como los esfuerzos principales en los nodos. Así como, en los centroides de los
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
29
elementos. De la misma manera es posible calcular los ángulos principales, además de otras
magnitudes que sean de interés para los usuarios del MEF [Kubilay S. and Volakis J.L., 1998,
Tipper, 1962].
II.3.2.- Tipos de elementos
Para realizar un análisis mediante el MEF, es necesario comenzar con la discretización del
dominio de estudio, de este modo se idealiza la región física de interés. Así por ejemplo, una
estructura puede idealizarse empleando elementos axiales, mientras que las regiones planas
pueden ser discretizadas con elementos en forma de polígonos, como es el triángulo y los sólidos
por elementos poliédricos, como es el tetraedro [Segerlind, 1976].
Conforme las investigaciones en el campo del MEF se han hecho más sofisticadas y requieren de
discretizaciones más pequeñas, ha sido preciso emplear elementos de forma más complicada. Los
problemas idealizados con elementos unidimensionales, en los cuales se presenta una flexión
excesiva, no pueden manejarse adecuadamente empleando elementos axiales simples, con
funciones de desplazamiento lineales u(x) y v(x). De este modo, se deriva el elemento curvo
empleando una expansión cúbica para la función de desplazamiento v(x). Adicionalmente, para
considerar factores tales como la deformación del cuerpo rígido y estados de deformación
permanente, se hace necesaria la inclusión de elementos con refinamiento [Xu y Needleman,
1994].
Se pueden seleccionar alguna de las siguientes tres categorías de elementos finitos:
Elementos de forma simple sin refinamiento.
Elementos de forma simple con refinamiento.
Elementos de forma complicada con refinamiento.
La Figura II.3 muestra estos elementos como se emplearían para idealizar una región dada. Así
también los elementos finitos pueden clasificarse dependiendo de la dimensionalidad
involucrada, por lo que se tiene [Segerlind, 1976]:
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
30
Elementos unidimensionales.
Elementos bidimensionales.
Elementos tridimensionales.
Los elementos unidimensionales tienen una sección transversal determinada, pero por lo general
se representa esquemáticamente como un segmento de línea.
La Figura II.3a muestra un elemento unidimensional sin refinamiento, el cual tiene dos nodos,
uno en cada extremo. El elemento unidimensional cuadrático de la Figura II.3b, el cual es el
elemento de orden superior más comúnmente empleado, tiene tres nodos, mientras que el
elemento cúbico tiene cuatro nodos (Figura II.3c) [Xu y Needleman, 1994].
Figura II.3.- Ejemplos de elementos finitos unidimensionales. a) Sin refinamiento. b)Cuadrático. c) Cúbico.
Los elementos finitos bidimensionales, que se emplean con mayor frecuencia, son el triángulo y
el cuadrilátero. Las Figuras II.4a y II.4b muestran los elementos lineales de ambos tipos
triangulares y cuadrilátero, respectivamente. Mientras que en las Figuras II.4c y II.4d se muestra
un elemento de orden superior, el cual puede tener lados rectos o lados curvos. La capacidad de
modelar fronteras curvas se obtiene agregando nodos intermedios en los lados del elemento. Es
posible emplear ambos tipos de elementos en un mismo dominio, siempre que éstos tengan la
misma cantidad de nodos en los lados que comparten elementos adyacentes. El espesor de los
elementos puede ser constante, o bien, puede variar en función de las coordenadas del elemento
[Segerlind, 1976].
a) b) c)
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
31
Figura II.4.- Ejemplos de elementos finitos bidimensionales. a) Lineal Triangular. b) LinealCuadrilátero. c) Superior Triangular. d) Superior Cuadrilátero.
Los elementos tridimensionales más comunes son los tetraedros y paralelepípedos (Figura II.5).
En ambos casos, los elementos lineales sólo presentan lados rectos (Figura II.5a). Mientras que
los elementos de orden superior pueden tener superficies curvas (Figura II.5b). Así mismo se
presenta otro grupo de elementos tridimensionales que pueden emplearse en problemas que
involucran formas cilíndricas, estos se muestran en la Figura II.5c. Dichos elementos son
similares al elemento triangular tridimensional, excepto que éstos permiten una variación en su
tercera dimensión.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
32
Figura II.5.- Ejemplos de elementos finitos tridimensionales. a) Lineal. b) Superior. c) Superiorcilíndrico.
En el análisis de problemas axi-simétricos se emplean comúnmente elementos como el que se
observa en la Figura II.6, el cual se construye girando un triangulo 360°. Puede obtenerse un
elemento similar, empleando un cuadrilátero en vez de un triangulo.
Figura II.6.- Elemento finito Axi-simétrico.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
33
En forma muy general estos son los elementos finitos más utilizados dentro de los análisis
estructurales. A continuación se presentan las diferentes formulaciones utilizadas por el MEF
para obtener la solución en casos de análisis estructurales.
II.3.3.- Pasos requeridos para el análisis con elemento finito
Las rutinas del elemento finito, para la solución de los problemas, pueden variar con el tipo de
análisis. A pesar de esto hay un procedimiento general que se divide en tres etapas que son: Pre
proceso, Solución y Post proceso.
II.3.3.1.- Pre proceso
En está sección del estudio se determina el tipo de análisis que se va a efectuar, se agregan las
características que definen el tipo de material de estudio (modulo de elasticidad E y la relación de
Poisson ), se define el tipo de elementos que se emplearán. También en esta etapa se desarrolla
la geometría que se va a analizar (modelo), así como se realiza el mallado o discretizado del
modelo, donde se utilizan elementos singulares y el resto del dominio existente, en el cual están
los elementos convencionales.
II.3.3.2.- Solución
En está sección, aunque también se puede realizar en la sección anterior, se introducen las
condiciones de frontera y se aplican los agentes externos. Finalmente se procede a evaluar o
realizar la solución del análisis del problema especificado.
II.3.3.3.- Post proceso
Una vez que el programa de cómputo de MEF ha resuelto el problema, se dan a conocer los
resultados en forma tabulada o gráfica. Donde se puede apreciar como se deforma el elemento de
acuerdo a los desplazamientos de cada nodo o elemento.
Las rutinas anteriormente descritas del MEF formulan la matriz de rigidez, hacen el ensamble
para llegar a una matriz de rigidez global del sistema, reducen el ancho de banda para minimizar
el problema y encuentran finalmente desplazamientos y esfuerzos en los elementos.
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
34
II.4.- Programa computacional
Este programa se inició en los años setenta por John Swanson, a raíz de la necesidad de hacer
análisis numéricos en problemas de geometrías complejas y de un mallado muy fino que permita
estudiar da manera detallada ciertas regiones de gran interés. También se ha logrado hacer
simulaciones casi reales que representan situaciones que se presentarían en una prueba en el
laboratorio, lo anterior ayuda a ahorrar recursos económicos y tiempo, generando así resultados
muy cercanos a los reales [Xu y Needleman, 1994].
II.4.1.- Características del programa computacional
Este programa emplea el MEF como herramienta de análisis. Es un programa de propósito
general por lo que es útil para más de un tipo de análisis, dentro de las disciplinas de la ingeniería
como son: análisis estructural, térmico, eléctrico, magnético, flujo de fluidos, etc.
En cuanto a los tipos de análisis se encuentran el estático modal, armónico, transitorio, espectro
de respuesta y subestructura. En cualquier tipo de problema que se esté trabajando se puede hacer
un análisis lineal o no lineal. El programa maneja 100 tipos de elementos distintos de los cuales
se pueden escoger algunos de ellos para caracterizar la respuesta del sistema, las dimensiones del
modelo y el nivel de precisión que se busca en los resultados.
El programa computacional comercial puede interactuar con otros programas de cómputo, que se
basan en el MEF. Esto significa que se puede procesar gran parte o toda la base de datos en otros
programas y posteriormente introducir este archivo en un lenguaje de exportación de datos
universal y seguir trabajando con él. El tiempo que se requiere para ejecutar un problema
depende obviamente del sistema de computo que se use y del número de elementos, pero
aproximadamente se encuentra en un intervalo de segundos dependiendo de la cantidad de
elementos que se tengan.
II.4.2.- Ventajas del programa computacional
Este programa es de manejo práctico para el usuario, ya que las versiones actuales se basan en
comandos que permiten realizar las operaciones de una manera muy sencilla, otras ventajas
pueden ser:
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
35
Es flexible en el modelado del continuo, ya que se pueden introducir con
facilidad geometrías irregulares sofisticadas.
Así como también, se puede hacer el mallado del continuo con gran facilidad.
En cada paso si existe algún error, se muestra una ventana donde describe cual
es el problema, dónde el programador con su conocimiento del método puede
corregirlo.
Tiene la ventaja de que considera las propiedades de los dos o más materiales y
su comportamiento respectivo al momento de hacer el análisis.
II.4.3.- Desventajas de programa computacional comercial
Este programa tiene sus limitaciones como todo programa de análisis. Se puede decir que entran
entre las más importantes se encuentran las siguientes:
El programa computacional se considera adecuado para problemas con pequeñas
deformaciones, no para análisis de grandes deformaciones.
Se requiere de un equipo de cómputo con enorme capacidad de memoria
disponible para su operación. Lo cual representa un serio problema, ya que
debido a esto no es posible su instalación en cualquier computadora.
En problemas con un gran número de nodos la computadora tiende a detenerse y
pararse o abortar el análisis.
Los resultados obtenidos, sólo son una aproximación de la realidad.
II.5.- Sumario
En el presente capítulo se consideran los principios teóricos para el calculo del intensificador de
esfuerzos, así como el análisis para cada modo de carga que se presenta en una situación de grieta
Capítulo II
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
36
en una placa, así también los casos más comunes que se presentan en el Modo I de carga para
análisis en deformación plana o esfuerzo plano, de la misma forma, también se marcan los
conceptos básicos mínimos requeridos para entender el funcionamiento del programa
computacional, además de los métodos más comunes de cálculo analítico, y el procedimiento
para desarrollar un análisis por MEF.
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
En este capítulo, se presentan los análisis realizados a
cada caso seleccionado de la Tabla II.4. De tal manera
que se comparen los resultados para cada caso y
comparar el porcentaje de error que exista entre los
métodos utilizados. De la misma forma, se dará la
interpretación y una ligera conclusión para cada caso de
estudio. Se propondrán métodos por medio de
programación en ANSYS, de tal manera que cuando se
apliquen las condiciones de geometría y condiciones de
carga, no sean problema para que se desarrolle el
análisis numérico.
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
38
III.1.- Desarrollo analítico del Factor de Intensidad de Esfuerzos Modo I
Para lograr una mejor compresión de los problemas a desarrollar en el área de Mecánica de la
Fractura, en esta sección de la tesis se presentan una serie de casos más comunes como base
ilustrativa de solución. Además, estos ejemplos seleccionados servirán para posteriormente
evaluar la exactitud de las soluciones proporcionadas por el Método de Elemento Finito. A
continuación se presenta el desarrollo de los casos de estudio propuestos (Tabla II.1 del Capítulo
II). Los casos seleccionados, son ejemplos muy bien definidos y que tienen la factibilidad de
poder ser desarrollados por medio de una simulación numérica y fácilmente comparados contra el
desarrollo analítico clásico. Se hará una comparación de resultados y se calculará el margen de
error entre los análisis propuestos para cada caso. Para este efecto, se determina el factor de
intensidad de esfuerzos en modelos típicos analíticos, los cuales se enumeran como se muestran.
III.1.1.- Caso 1; placa con grieta en el centro
2a
w
h
Figura III.1.- Modelo de una placa finita con una grieta en el centro.
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
39
Para este caso, se cuenta con una placa que presenta una grieta en el centro (Figura III.1) y a
continuación se representan la solución matemática para el desarrollo del análisis para obtener el
valor de K I.
Para la solución analítica que se utiliza está presentada en la Tabla II.4 del caso referente al
ilustrado en la Figura III.1, con lo que es posible calcular el factor de intensidad de esfuerzo en el
modo I. Sin embargo, para el modelo de una placa con una grieta en el centro, se utiliza una
relación de proporcionalidad geométrica, la cual se determina con las fórmulas que se encuentran
en la tabla antes mencionada, para el caso particular que se desea calcular, existe una relación de
proporcionalidad geométrica.
III.1.1.1.- Caso 1; solución analítica
Para este caso de estudio, se tiene una placa con una grieta en el centro, donde se representan
matemáticamente, para el cálculo analítico, las formulas para obtener el valor de KI. Con base a
las dimensiones presentadas en la Figura III.2.
4
6
10
20
10
Figura III.2.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el centro.
Acot: mm
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
40
Utilizando las dimensiones propuestas en la Figura III.2 y la formulación propuesta se analiza
este caso:
2 4 6
1 0.5 20.46 81.72I
a a a PK a
w w w wt
III.1
Sustituyendo valores en la Ecuación III.1 y desarrollándola, se obtiene el valor numérico del
factor de intensidad de esfuerzo para un componente con espesor de 0.1mm.
2 4 61 1 1 101 0.5 20.46 81.72
10 10 10 5 0.1IK
III.1a
El valor obtenido para KI es de:
36.514IK MPa m III.1b
III.1.2.- Caso 2; placa con grieta en un extremo
En este caso de estudio, se tiene una placa con una grieta en un extremo (Figura III.3) donde a
continuación se presenta la solución matemáticamente para el cálculo analítico (basado en las
ecuaciones del capítulo anterior). La formulación representa el valor de KI, en la cual se calcula el
factor geométrico para este caso en particular y el valor del esfuerzo que se aplica en la
geometría.
III.1.2.1.- Caso 2; solución analítica
Además para este caso, se tiene una placa con una grieta en un extremo donde se obtendrá el
valor de KI. Se utiliza el modelo correspondiente con base a las dimensiones presentadas en la
Figura III.4. El factor de intensidad de esfuerzos se calcula de la siguiente manera:
2 3 4
1.12 0.23 10.55 21.71 30.38I
a a a a PK a
w w w w wt
III.2
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
41
wh
a
Figura III.3.- Modelo de una placa finita con una grieta en la orilla
20
10
10
1
Figura III.4.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con una grieta en el extremo
Acot: mm
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
42
Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada anteriormente se obtiene el valor del factor de
intensidad de esfuerzo, para un espesor de placa de 0.1mm.
2 3 41 1 1 1 101.12 0.23 10.55 21.71 30.38
10 10 10 10 10 0.1IK
III.2a
El valor que se obtiene para KI es de:
20.983IK MPa m III.2b
III.1.3.- Caso 3; placa con grietas en ambos extremos
En este siguiente caso de estudio, se estudiará una placa con una grieta en ambos extremos. Así
como se muestra en la Figura III.5 y a continuación, se presenta matemáticamente el desarrollo
analítico.
w
h
a a
Figura III.5.- Modelo de una placa finita con doble grieta en los extremos
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
43
Para obtener la solución se utiliza el modelo correspondiente con base a las dimensiones
presentadas en la Figura III.6.
1 1
20
10
10
Figura III.6.- Dimensionamiento del modelo de una placa finita con grietas en los extremos
III.1.3.1.- Caso 3; solución analítica
Para calcular el factor geométrico de este caso de estudio, el factor de intensidad de esfuerzos se
obtiene de la siguiente manera.
2 3
1.12 0.41 4.78 15.44I
a a a PK a
w w w wt
III.3
Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada, se obtiene el valor del Factor de intensidad de
esfuerzo (para espesor de placa de 0.1mm).
2 31 1 1 10
1.12 0.41 4.78 15.4410 10 10 5 0.1IK
III.3a
Acot: mm
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
44
El valor de KI:
40.058IK MPa mm III.3b
III.1.4.- Caso 4; probeta normalizada para ensayos de flexión con grieta en el centro
Para este ejemplo, se tiene una probeta normalizada según la norma ASTM E399, [Tipper, C. F.,
1962] con una grieta en el centro (Figura III.7). A continuación, se presenta el desarrollo analítico
para obtener el valor de KI.
21
42
10
4.3
3
Figura III.7.- Modelo de una probeta en flexión con grieta en el centro
La fórmula siguiente, presenta el valor de KI, en la cual muestra desarrollado junto con el factor
geométrico para este caso en particular, y el valor del esfuerzo que se aplica para este caso.
2
3
3 1.99 1 2.15 3.93 2.7
2 1 2 1
I
a a a a aw w w w wPS
Kt w a a
w w
III.4
Acot: mm
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
45
III.1.4.1.- Caso 4; solución analítica
Para el cálculo del factor geométrico, se utiliza la relación matemática. Del caso anterior,
utilizando las formulas anteriores y analizando las dimensiones propuestas para el modelo. La
relación de S, tiene la siguiente equivalencia:
2S w III.5
Sustituyendo valores en la ecuación, para simplificar el resultado, se tiene:
2
2
33
3.93 2.971 2.15
3 1.99
21 1I
a a aa
w w waPw
w w
Ka at w
w w
III.4a
Para realizar el cálculo, se sustituyen valores, todos en función de w, de tal manera que:
2
2
33
1 3.93(1) 2.97(1)1 1 2.15
10 10 1013(10)(10) 1.99
10 10
2(1) 15 10 1 110 10
IK
III.4b
El valor para KI es igual a:
1.0714IK MPa mm III.4c
III.1.5.- Caso 5; probeta normalizada para ensayos de tensión con grieta en el centro
En este caso de estudio, se tiene una probeta normalizada ASTM E399 [Tipper, C. F., 1962] con
una grieta en el centro (Figura III.8).
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
46
R 0.125w
1.2w
w
0.25w
1.25w
0.32
5w
0.6w 0.87
5w
a
Figura III.8.- Modelo de una probeta en tensión con grieta en el centro
12
10
2.5
12.53.
25
6 8.75
2.91
Figura III.9.- Dimensionamiento de una probeta en tensión con grieta en el centro
III.1.5.1.- Caso 5; solución analítica
La fórmula siguiente presenta el valor de KI, en la cual se muestra desarrollado el factor
geométrico para este caso en particular y el valor del esfuerzo que se aplica para este caso. Para el
cálculo del factor geométrico, se utiliza la relación matemática.
Acot: mm
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
47
3 5 7 9
29.6 185.5 655.7 1017 638.9I
P a a a a aK
w w w w wt w
III.6
Sustituyendo valores en la ecuación anterior y para un espesor de t = 5 se desarrolla la siguiente
relación:
3 5 7 910 1 1 1 1 1
29.6 185.5 655.7 1017 638.910 10 10 10 105 10
Ik
III.6a
El valor de KI
3.3308Ik MPa mm III6b
III.1.6.- Caso 6; probeta desarrollada para prueba de tensión en dos sentidos (empuje y
abrimiento de grieta)
En esta sección se presenta el caso de una probeta desarrollada para prueba de tensión en dos
sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta.
0.356
11.644
12
2.5
0.33
30.
666
11.33
31.
66722.33
3
2.66
733.33
43.
667
Ø0.12
518
HOLES
0.44
40.
889
1.33
3
1.77
82.
222
2.66
73.
111
3.55
6 4
Figura III.10.- Modelo de una probeta en tensión doble con grieta en un extremo al centro
Acot: mm
Acot: pulg
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
48
La grieta se encuentra en un extremo al centro y la aplicación de las cargas son perpendiculares
entre sí.
III.1.6.1.- Caso; solución analítica
Para este caso, se tiene una placa con una grieta en un extremo (Figura III.10), donde a
continuación se presenta matemáticamente para el cálculo analítico. Para la solución del
problema se utiliza la siguiente expresión:
2 3 4
3
2 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16
1I
a a a a aw
w w w w w PK a
wtaaw
w
III.7
Sustituyendo valores en la ecuación desarrollada, se obtiene el valor del KI, para un espesor de
placa de ¼ pulg.
2 3 4
3
2.5 2.5 2.5 2.5 2.52 0.5 2.62 7.52 8.3 3.16
12 12 12 12 12 1002.5
12(0.25)2.52.5(12) 1
12
I
w
K
III.7a
El valor de KI, vale que se obtiene es de:
710.83IK Psi in III.7b
III.2.- Desarrollo numérico por medio del MEF
Para el desarrollo de esta sección, se analizarán nuevamente los casos que anteriormente se
resolvieron por medios analíticos. Para este efecto se seleccionó el MEF para desarrollar los
análisis numéricos y para evaluar su exactitud con respecto a los análisis anteriores. En particular,
se emplea un paquete computacional (ANSYS) de solución numérica donde se aplica el método
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
49
del elemento finito y se desarrollará el procedimiento de solución programada. El desarrollo
analítico y numérico se desarrolla en el sistema métrico.
III.2.1.- Parámetros de diseño
Para el desarrollo de cada uno de los casos, se realizan las siguientes consideraciones:
Tipo de análisis.- Se desarrolla un análisis de tipo estructural, para un material Elástico lineal,
Isotrópico, Homogéneo y Continuo. Se aplican consideraciones de análisis plano y sólo se
desarrollará la mitad del modelo o en algunas situaciones una cuarta parte del mismo. La
simplificación del modelo por este medio es con la finalidad de ahorro de recurso de cómputo,
utilizando las herramientas de simetría que es capaz de aplicar el programa. Además, se empleará
un elemento solidó del tipo PLANE 183, las características del elemento son las siguientes:
Este elemento es definido por 8 o 6 nodos.
El elemento está constituido por dos grados de libertad en cada nodo, por lo que es
necesario adicionar un grado de libertad de rotación en Z.
El elemento puede ser usado como un elemento plano (esfuerzo plano y esfuerzo
plano generalizado) o como un elemento axisimétrico.
Este elemento tiene propiedades para analizar plasticidad, hyperelasticidad, fluencia
por efecto de temperatura, esfuerzos extremos, grandes desplazamientos, y la
capacidad de analizar grandes deformaciones.
También tiene la función de mezclar funciones para simular deformaciones de
materiales elasto-plásticos incompresibles, y materiales hyper-elásticos
incompresibles.
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
50
III.2.2.- Materiales para la consideración en la simulación numérica
La consideración para los materiales que se utilizarán para la simulación numérica son para
cálculos realizados en la zona elástica, de tal forma que para la mecánica de la fractura
consideramos que el material es frágil.
Para este caso, consideraremos un material con un módulo elástico con valor de E = 200 Gpa, y
un = 0.27 respectivamente. Es importante mencionar, que sólo los primeros 5 casos de estudio
se considerarán los datos anteriores, mientras que para el caso 6 se utilizará un valor de E = 360
Ksi, y un = 0.38. En este caso 6, se quiere comprobar numéricamente contra el comportamiento
experimental que se realizó con un marco de carga y mediante esta simulación se validará el
valor de K I.
III.2.3.- Condiciones de apoyo o condiciones de frontera
En este caso, la condición de frontera es muy importante, ya que tiene que simular el modelo
geométrico con características que dependen de continuidad, homogeneidad, linealidad e
isotropía. De tal forma que para estar en condiciones de poder simular el modelo y aplicar la
condición del ahorro de recursos computacionales. Además, solamente se modelará una parte del
componente a analizar, lo cual dependerá de la geometría de la pieza, considerando sólo la mitad
del cuerpo, ya que en ciertos casos se pueden aplicar consideraciones de simetría y/o en algunos
casos se utilizarán sólo la cuarta parte del modelo a analizar.
Como solamente se va a modelar la mitad o la cuarta parte del componente a analizar, entonces la
condición de frontera se considera como simetría. Lo cual permitirá analizar una sección y
obtendremos, el resultado deseado.
III.2.4.- Aplicación de cargas en los modelos
En los modelos que se van a desarrollar por medio de simulación numérica, se considerarán
cargas continuas o cargas puntuales. Por consiguiente se aplicarán para la condición de carga
distribuida una presión por línea y considerar que la carga es totalmente distribuida en la
superficie de contacto. La carga puntual se aplicará en el modelo que así lo requiera, por
consiguiente la carga puntual se utilizará para el cálculo de la función geométrica.
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
51
III.3.- Desarrollo numérico para cada caso que se desea analizar
Cada uno de los casos que se analizarán, tendrá su propia consideración para el modelado de su
geometría. De tal manera que para cada modelo, se explicarán paso a paso, de forma general, las
operaciones que se desarrollaron para el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos KI.
III.3.1.- Caso 1; solución numérica para una placa con grieta en el centro
La Figura III.11 muestra el caso de estudio. El procedimiento que se desarrolló se describe a
continuación:
1. En la geometría mostrada en la Figura III.11 tan sólo se analizará una sección (parte
delimitada de azul) la cual es una cuarta parte del modelo total.
Figura III.11.- Modelo numérico CASO 1
2. Se proponen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría
y considerando que la placa es totalmente simétrica.
3. Para la realizar la simulación con el paquete computacional comercial (ANSYS), se
modela sólo una cuarta parte del componente (Figura III.11).
Acot: mm
4
6
10
20
10
Línea 2
Línea 5kpoint 2
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
52
4. Se modela la placa y se restringe línea 2 y línea 5 con simetría.
5. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al esfuerzo
que se le aplica al modelo a estudiar.
6. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual es la
punta de la grieta, para calcular KI.
7. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
8. Se manda a resolver el modelo (Figura III.11).
9. Se solicita el resultado, se presenta en forma gráfica (Figura III.12) y numérica.
Figura III.12.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 1
Como se puede observar, en la Figura III.12, se muestra la solución del modelo desarrollado en
ANSYS 11.0. La cual muestra gráficamente los esfuerzos que se presenta en la punta de la grieta.
De la misma forma, en la Figura III.13, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos
Esfuerzo Cortante
xyMin=-30.808MpaMax=7.781Mpa
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
53
obtenido. Así como las condiciones que se establecieron para el análisis del nodo donde se
encuentra la punta de la grieta.
Figura III.13.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 1
III.3.2.- Caso 2, solución numérica para placa con grieta en el costado
Para este caso (Figura III.14), se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:
Figura III.14.- Modelo numérico CASO 2
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****
ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 2 50 1WITH NODE 2 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX=0.20000E+06 NUXY=0.27000 AT TEMP=0.0000
**** KI=37.500 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****
Acot: mm
20
10
10
1
Línea 2
Kpoint 2
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
54
1. Del modelo mostrado en la Figura III.14, se analiza una sección de la cual sólo se
realiza la mitad del modelo.
2. Se realizan consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.
3. Se modela la placa y se restringe en la línea 2 por simetría.
4. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al
esfuerzo que se le aplica al modelo de estudio.
5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual
es la punta de la grieta para calcular KI.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
7. Se resuelve el modelo (Figura III.15).
8. Se solicita el resultado para KI y este se obtiene por medio de un texto (Figura III.16).
Figura III.15.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 2
EsfuerzoCortante
xy
Min=-41.376MpaMax=11.310Mpa
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
55
Figura III.16.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 2
Como se puede observar, en la Figura III.15, se muestra la solución del modelo desarrollado en
ANSYS 11.0. La cual muestra gráficamente los esfuerzos que se presenta en la punta de la grieta.
De la misma forma, en la Figura III.16, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos
obtenido.
III.3.3.- Caso 3, solución numérica para placa con doble grieta en los costados
Para este caso (Figura III.17), se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:
1. El modelo mostrado en la Figura III.17, se analiza una sección la cual sólo se dibuja la
cuarta parte del modelo.
2. Se hacen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.
3. Se modela y restringe en la línea 2 por simetría.
4. Se aplica una presión en la línea superior, considerando que la presión es igual al
esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.
5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual
es la punta de la grieta para calcular KI.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
7. Se resuelve el modelo (Figura III.17).
8. Se solicita el resultado para K I.
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****
ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3 NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 2 50 1WITH NODE 2 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.20000E+06 NUXY = 0.27000 AT TEMP = 0.0000
**** KI=21.632 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
56
Figura III.17.- Modelo numérico CASO 3
Figura III.18.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 3
EsfuerzoCortante
xyMin=-9.063MpaMax=33.629Mpa
Acot: mm
1 1
20
10
10
kpoint 2Línea 1
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
57
Como se puede observar, en la Figura III.18, se muestra la solución del modelo desarrollado en
ANSYS 11.0. La cual muestra gráficamente los esfuerzos que se presenta en la punta de la grieta.
Asimismo, en la Figura III.19, se muestra el cálculo del factor de intensidad de esfuerzos
obtenido.
Figura III.19.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 3
III.3.4.- Caso 4, solución numérica para probeta normalizada a flexión con grieta en el
centro
Para este caso (Figura III.20) se presenta a continuación el procedimiento que se desarrolló:
1. El modelo mostrado en la Figura III.20, se analiza una sección la cual sólo se dibuja la
mitad del modelo.
2. Se realizan consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.
3. Se modela y restringiendo en la línea 5 por simetría y el keypoint 7.
4. Se aplica una carga puntual en el keypoint 5, considerando la carga con la que se
calcula el esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.
5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 4, el cual
es el final de la grieta, para calcular KI.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****
ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3 NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 2 226 194WITH NODE 2 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.20000E+06 NUXY = 0.27000 AT TEMP = 0.0000
**** KI=41.170 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
58
7. Se resuelve el modelo (Figura III.21).
8. Se solicita el resultado (Figuras III.21 y III.22).
Figura III.20.- Modelo numérico CASO 4
Esfuerzo Cortante
xy
Min=-10.524MpaMax=55.800Mpa
Acot: mm
21
42
10
4.33
Línea 5
kpoint 5
kpoint 7
kpoint 4
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
59
Figura III.21.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 4
Figura III.22.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 4
III.3.5.- Caso 5, solución numérica para probeta normalizada para ensayos a tensión con
una grieta, en el centro (C (T))
Se presenta a continuación la metodología que se realizó para el caso de estudio de la Figura
III.23:
Figura III.23.- Modelo numérico CASO 5
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 70 136 62WITH NODE 70 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.20000E+06 NUXY = 0.27000 AT TEMP = 0.0000
**** KI=28.396, KII=0.0000, KIII=0.0000 ****
Acot: mm
12
10
2.5
12.5
3.2
5
6 8.75
2.91
Línea 4kpoint 4
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
60
1. Del modelo (Figura III.23) se analiza sólo la mitad del modelo.
2. Se hacen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.
3. Se modela la placa con el elemento plane 183, y restringiendo en la línea 4 por simetría.
4. Se aplica una presión en las líneas del barreno modelado, considerando que la presión es
igual al esfuerzo que se le aplica al modelo a estudiar.
5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 4, el cual es el
final de la grieta, para calcular KI.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
7. Se resuelve el modelo.
8. Se solicitan los resultados.
Figura III.24.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 5
EsfuerzoCortante
xy
Min=-229.814Mpa
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
61
Como se puede observar, en la Figura III.24, se muestra la solución del modelo desarrollado. De
la misma forma, en la Figura III.25, se muestra el cálculo del KI.
Figura III.25.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 5
III.3.6.- Caso 6, solución numérica para probeta desarrollada para prueba de tensión en
dos sentidos, en sentido de empuje y abrimiento con una grieta, en el centro
Para el siguiente caso, se realizó el procedimiento que se describe a continuación:
Figura III.26.- Modelo numérico CASO 6
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****
ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3 NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 198 244 190WITH NODE 198 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.20000E+06 NUXY = 0.27000 AT TEMP = 0.0000
**** KI=38.142 , KII = 0.0000 , KIII=0.0000 ****
Acot: inch
0.356
11.644
12
2.5
0.3
33
0.6
66
11.3
331.
66722.3
33
2.6
67
33.3
34
3.6
67
Ø0.
125
18H
OLE
S
0.4
44
0.8
89
1.3
33
1.7
782
.22
2
2.6
67
3.1
11
3.5
56 4
kpoint 2 Línea 2
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
62
1. Del modelo mostrado en la Figura III.26, se analiza una sección, de la cual sólo se modela
la mitad del componente.
2. Se hacen consideraciones de restricción en las condiciones de frontera por simetría.
3. Se modela la placa con el elemento plane183, y restringiendo en la línea 2 por simetría.
4. Se aplica una presión en la línea superior.
5. Se modela un mallado tomando en cuenta que todo se aplica en el keypoint 2, el cual es el
final de la grieta, para calcular KI.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá el programa
para calcular KI.
7. Se resuelve el modelo.
8. Se solicitan los resultados.
Figura III.27.- Resultados gráficos de esfuerzos en X para el CASO 6
Esfuerzo Normaldirección Y
y
Min=-12779PsiMax=10890Psi
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
63
Como se puede observar (Figuras III.27 y III.28) se muestran las soluciones por medio del
paquete ANSYS 11.0.
Figura III.28.- Resultado numérico de la solución obtenida para el CASO 6
III.4.- Comparación de resultados
A continuación, se presentan una comparación de los resultados obtenidos de los cálculos
analíticos y numéricos desarrollados en este trabajo. De tal manera que podemos cotejarlos en la
tabla III.1, y calcular el porcentaje de error que existe entre ellos.
Tabla III.1.- Comparación de resultados de KI Analíticos contra KI NuméricosDesarrollo
AnalíticoDesarrollo Numérico
Tipo de Modelo
KI [ Pa m ] KI [ Pa m ]
% Error
Caso I Placa de tamaño finito con grieta
en el centro36.514 37.500 2.63%
Caso II Placa de tamaño finito con
grieta en la orilla20.983 21.632 3.00%
Caso III Placa de tamaño finito con
grietas en las orillas40.058 41.170 2.70%
Caso IV Probeta para prueba en flexión 27.516 28.396 3.10%
**** CALCULATE MIXED-MODE STRESS INTENSITY FACTORS ****
ASSUME PLANE STRAIN CONDITIONS
ASSUME A HALF-CRACK MODEL WITH SYMMETRY BOUNDARY CONDITIONS (USE 3 NODES)
EXTRAPOLATION PATH IS DEFINED BY NODES: 2 60 1WITH NODE 2 AS THE CRACK-TIP NODE
USE MATERIAL PROPERTIES FOR MATERIAL NUMBER 1EX = 0.36000E+06 NUXY = 0.38000 AT TEMP = 0.0000
**** KI=853.40 , KII=0.0000 , KIII=0.0000 ****
Capítulo III
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
64
Caso V Probeta para prueba en tensión 36.994 38.142 3.01%
Caso VI Placa de tamaño finito con
grieta en la orilla, un caso experimental824.190[ Psi in ] 853.400[ Psi in ] 3.42%
Como se puede observar, los resultados tienen un porcentaje de error bajo, lo cual permite en
cierta medida que sean aceptables. Una de las condiciones para tomar está conclusión, es que los
resultados son consistentes por ambas metodologías y que la diferencia de error no es
considerable.
III.5.- Sumario
En el presente capítulo, se presentan los análisis realizados a cada caso de estudios propuestos en
la Tabla II.4. Los resultados presentados son analíticos y numéricos. De tal manera que es muy
sencillo realizar una comparación y determinar el grado de error. Se propondrá, basados en los
resultados obtenidos, que es posible por medio de programación en paquete computacional
realizar análisis de casos más complejos y de distintas situaciones de cálculo (como la función de
peso y geométricas, que se presentan en el siguiente capítulo).
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
En este capítulo, se presentan los cálculos de la función
geométrica-peso. Así como los análisis realizados a
cada caso de estudio. Se utilizará modelos de la Tabla
II.4, programados en ANSYS, para realizar el desarrollo
los cálculos numéricos. También, se realizaran análisis
analíticos respectivos. De tal manera que se comparen
los resultados para cada caso y comparar el porcentaje
de error que halla entre ambos métodos. De la misma
forma, se le dará su interpretación y una conclusión de
cada modelo empleado.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
66
IV.1.- El método de la función geométrica
Cuando se lleva a cabo un análisis para deducir un factor de intensidad de esfuerzo en un
componente agrietado, el valor de K calculado puede ser aplicado solamente a un conjunto con
especiales condiciones de frontera. Sin embargo, en este tipo de solución las condiciones de
frontera no presentan situaciones reales ingenieriles.
Por ejemplo, considerando dos cargas arbitrarias en un cuerpo con grieta (material isotrópico y
elástico, esfuerzo plano o deformación plana), se asume que la carga es simétrica con respecto a
la grieta en el plano, de manera que solamente actúa en el Modo I. Lo que puede ser muy
inconveniente en ciertas ocasiones. Supóngase que se tiene un factor de intensidad de esfuerzos
en carga modo I y que se desea resolver para el factor de intensidad esfuerzos para la segunda
parte de la condición de frontera. Rice muestra que los factores de KI(1) y KI
(2), se pueden obtener
como sigue [Rice, 1972]:
1 1(2)
(1)2i i
I i iI
u uEK T d F dAK a a
IV.1
Donde Г y A, son del perímetro y el área de un cuerpo, respectivamente, y ui, es el
desplazamiento en dirección de x, y la dirección en y. Entonces el sistema de cargas (1) y (2) son
arbitrarios, esto predice que KI(2), no puede depender de KI
(1) y ui(1), entonces la función queda:
(1)
(1)2i
xiI
uEh
K a
IV.2
Donde xi, representa las coordenadas de su componente x y su componente en y, esencialmente es
independiente en un sistema natural de cargas (1). La función de peso es el primer orden del
tensor que depende sólo de la geometría de la grieta en el cuerpo. Obtener la función de peso para
una configuración particular, es posible al computar KI desde la ecuación para alguna condición
de frontera. Además, involucrando el principio de su proposición que se muestra en la figura o la
configuración de cargas puede ser representada por las tracciones apropiadas aplicadas en
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
67
directamente en la superficie de la grieta. Por lo tanto KI para un cuerpo en la carga de la grieta en
dos dimensiones, se puede deducir, con la siguiente expresión [Murakami, 1987].
( ) ( )iK p x h x dx
IV.3
Donde p(x) es la tracción en la cara de la grieta y Γc, es el perímetro de la grieta. La función de
peso h(x), puede ser interpretada como resultado de una intensidad esfuerzo desde la unidad de
carga aplicada en la cara de la grieta desde x.
M
dan
a r
w
y
x
L
a
Figura IV.1.- Representación grafica para el desarrollo de la función Z(a) para el calculonumérico.
El concepto de la función de peso no restringe cuerpos en dos dimensiones, la carga en modo I
para materiales isotrópicos lineales. En un trabajo reciente sobre funciones de peso, donde Rice
[Rooke y Cartwright, 1976] extendió la teoría en tres dimensiones. Mientras que Bueckner
[Bueckner, 1970] consideró la combinación de las cargas en Modo I/II. Ambos estudios
admitieron por anisotropía propiedades elásticas. Subsecuentemente en investigaciones
demostraron la aplicación de la teoría en todo cuerpo elástico lineal que contiene un número
arbitrario de grietas [Bueckner,1970].
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
68
Para problemas en modo combinados, separan la función de peso requerida para cada modo; hI,
hII y hIII. Desde entonces los factores de intensidad esfuerzo pueden variar a lo largo en grietas en
tres dimensiones, la función de peso puede variar hacia el frente de la grieta.
( , )ih h x IV.4
Donde α(i = 1, 2, 3) indica el modo de la carga yηes la posición frontal de la grieta.
Obteniendo algún tipo de configuración de carga en el cuerpo agrietado puede presentarse por un
equivalente grieta en la cara a tracción, el general los modos combinados formulados en tres
dimensiones para la función de peso, se puede enfocar a la siguiente expresión con la siguiente
forma.
( , )c
i iS
h T h x ds IV.5
Donde Ti, representa la tracción asumida en la superficie de la grieta.
IV.2.- Cálculo de la función de peso, utilizando el MEF
La aplicación necesaria para desarrollar el método de elemento finito, se desarrollará por medio
de cálculo del intensificador de esfuerzos. De tal manera cuando se aplica la carga, esta se
mantendrá constante por lo que se estará variando la longitud de la grieta y se evaluará el valor de
KI, en cada punto según se desarrolle cada corrida.
Una vez obtenida el valor de KI, se aplicará lo siguiente relación para realizar la evaluación de la
función geométrica.
( )Iref
a
KtZ
F ds
IV.6
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
69
Donde Z(a), representa la función geométrica del componente, F, representa la carga aplicada, t,
representa el espesor de la probeta y ds, representa la diferencia de altura del eje donde se
ncuentra la grieta. Además en la Tabla IV.1 se muestras los casos más representativos de esta
función.
Tabla IV.1.- Casos comunes de aplicación de la función geométrica [Wu y Carlsson, 1991].
a) Espécimen Circular para prueba de tensión en mecánica de lafractura
( ) 32
7.952
1a
a eZ
D a eD
IV.7
b) Espécimen rectangular para prueba de tensión en mecánica dela fractura
( ) 3
2.532aZ
w a
IV.8
D
we
0.275w
a
0.275w
1.2w
w
a
1.25w
0.275w
0.275w
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
70
c) Espécimen Circular para prueba de flexión en mecánica de lafractura
2
( ) 3
2
2.5321 25 0.2
5.926 0.2 0.288 0.2 1
aa
Zww a
a aw w
IV.9
( ) 3
2.532aZ
w a
IV.10
d) Modelo cilíndrico para análisis de tensión
( ) 32
7.952
1a
aDZ
D aD
IV.11
IV.3.- Cálculo analítico para obtener la función geométrica
Para el desarrollo analítico de la función geométrica, se desarrolla aplicando las ecuaciones
mostradas en la Tabla IV.1. Donde se aplica los cálculos para la función Z(a), según sea el caso
por determinar. Se presenta el desarrollo de los cuatro casos de la Tabla IV.1 y posterior de la
misma forma se desarrollaran de manera numérica utilizando el paquete computacional ANSYS.
IV.3.1.- Caso 1; probeta circular para la prueba de tensión
Para el primer caso se utilizará la Ecuación IV.7 directamente, la cual por medio de las
dimensiones de la probeta se deduce de la siguiente manera.
Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.2, utilizando la Ecuación IV.7 de la
Tabla IV.1 y sustituyendo los valores de manera que se ajustan las ecuaciones para que quede
todo en función de la longitud de la grieta, se obtiene la función Z(a) para cada incremento de
longitud de grieta.
D
kpoint 4
L
w
a
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
71
( ) 2 3
7.952 3.5
13.5 3.51
13.5
a
aZ
a
IV.7a
Figura IV.2.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 1
De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el caso de una probeta de placa
circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:
( ) 3
3.50.013889
0.74074 0.074074a
aZ
a
IV.7b
IV.3.1.1.- Caso I; desarrollo por medio del MEF
Dadas las circunstancias para el desarrollo del primer caso de estudio, para realizarlo
numéricamente, se desarrolla el modelado como se muestra en la Figura IV.3. A continuación se
describe el procedimiento para el desarrollo en el paquete computacional ANSYS 11.0:
kpoint 4kpoint 6
Línea 4
Acot: mm
1
Ø13.5
2.75
3.5Ø2.5
10
6.75
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
72
Figura IV.3.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del primer caso a desarrollar
1. Del modelo mostrado anteriormente se analiza solamente una sección, ya que se
utilizarán cuestiones de simetría en el análisis.
2. Se realizan consideraciones de una placa totalmente simétrica.
3. Se modela la placa con elementos plane 183 y restringiendo en la línea 4 por
simetría.
4. Se aplica una carga puntual en el sentido de las Y en el keypoint 6 y se aplica en
forma perpendicular a la longitud de la grieta.
5. Se modela un mallado libre, con consideraciones especiales para modelar la punta
de la grieta keypoint 4.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá su
propagación y calcular KI.
7. Se resuelve el modelo.
8. Se solicitan los resultados.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
73
Se repite el procedimiento anterior varias veces, modificando la longitud de la grieta. Se calculan
el KI para este cambio en la longitud de grieta y se aplican para obtener la función Z(a). En la
Tabla IV.2, se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta, y
simultáneamente, se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica,
Tabla IV.2.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el primer caso.
Calculo analítico Calculo Numérico
A Z(a) Z(a) t F KIref ds1.000 -0.05412710 -0.05586036 2.500000 1000 -44.5250 1.9931.889 -0.06923112 -0.07197035 2.500000 1000 -57.3659 1.9932.778 -0.08893424 -0.08563413 2.500000 1000 -68.2570 1.9933.667 -0.11571306 -0.11160781 2.500000 1000 -88.9600 1.9934.556 -0.15391809 -0.14924534 2.500000 1000 -118.9600 1.9935.444 -0.21190292 -0.20482091 2.500000 1000 -163.2580 1.9936.333 -0.30769151 -0.31828626 2.500000 1000 -253.6986 1.9937.222 -0.48726861 -0.47076516 2.500000 1000 -375.2360 1.9938.111 -0.90427298 -0.87636483 2.500000 1000 -698.5301 1.9939.000 -2.43571959 -2.35313829 2.500000 1000 -1875.6320 1.993
Funcion de pesoCaso 1
-3.0000
-2.5000
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000
a/w
Z(a
)
Z(a)AnaliticaZ(a)Numerica
Figura IV.4.- Gráfica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
74
Con los valores obtenidos numéricamente y analíticamente, se obtiene la Figura IV.4. Donde se
muestra el incremento del valor de la función Z(a) con respecto al incremento de la grieta.
IV.3.2.- Caso 2; probeta rectangular para la prueba de tensión
Para el segundo caso, se utilizará la Ecuación IV.8, la cual por medio de las dimensiones de la
probeta, la forma se deduce lo siguiente:
Figura IV.5.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 2
Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.5, y utilizando la Ecuación IV.8. Se
sustituyen los valores de manera que se ajustan a la ecuación para que quede todo en función de
la longitud de la grieta, para así poder calcular la función Z(a) para cada incremento de longitud.
De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el caso de una probeta de placa
circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:
( ) 3
2.532
10aZ
a
IV.8a
kpoint 4Línea 4
kpoint 6
Acot: mm
12
12.5
10
2.75
6
1Ø
2.5
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
75
IV.3.2.1.- Caso 2; desarrollo medio del MEF
Dadas las circunstancias para el desarrollo del segundo caso, para desarrollarlo numéricamente,
se desarrolla el modelado como se muestra en la figura IV.6, a continuación se describe el
procedimiento para el desarrollo de la corrida en el ANSYS ver. 11.0:
Figura IV.6.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del segundo caso a desarrollar
1. Del modelo mostrado anteriormente se analiza solamente una sección, ya que se
utilizarán cuestiones de simetría en el análisis.
2. Se realizan consideraciones de una placa totalmente simétrica.
3. Se modela la placa con elementos plane 183 y restringiendo en la línea 4 por
simetría.
4. Se aplica una carga puntual en el sentido de las Y en el keypoint 6 y se aplica en
forma perpendicular a la longitud de la grieta.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
76
5. Se modela un mallado libre, con consideraciones especiales para modelar la punta
de la grieta keypoint 4.
6. Se ubica el sentido de la grieta, para determinar la trayectoria que seguirá su
propagación y calcular KI.
7. Se resuelve el modelo.
8. Se solicitan los resultados.
Se repite el procedimiento anterior variando la longitud de la grieta, en la cual el intensificador de
esfuerzo esta variando proporcionalmente, según cómo va creciendo la grieta. En la Tabla IV.3,
se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta y simultáneamente
se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica.
Tabla IV.3.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el segundo caso.
Calculo analítico Calculo Numérico
a Z(a) Z(a) t F KIref ds5.00 -0.22646896 -0.23509375 2.500000 1000 -22.5690 0.2405.40 -0.25664154 -0.26482292 2.500000 1000 -25.4230 0.2405.80 -0.29416416 -0.30372917 2.500000 1000 -29.1580 0.2406.20 -0.34181279 -0.35370833 2.500000 1000 -33.9560 0.2406.60 -0.40387347 -0.41907813 2.500000 1000 -40.2315 0.2407.00 -0.48728363 -0.50679500 2.500000 1000 -48.6523 0.2407.40 -0.60395375 -0.62660000 2.500000 1000 -60.1536 0.2407.80 -0.77594275 -0.80058333 2.500000 1000 -76.8560 0.2408.20 -1.04846743 -1.08196875 2.500000 1000 -103.8690 0.2409.00 -2.53200000 -2.63541667 2.500000 1000 -253.0000 0.240
Con los valores obtenidos numéricamente y analíticamente se obtiene la gráfica de comparación
de resultados mostrada en la Figura IV.4. Se puede apreciar el incremento del valor de la función
Z(a) con respecto al incremento de la grieta.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
77
Funcion de pesoCaso 2
-3.0000
-2.5000
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
0.0000
0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
a/w
Z(a
)
Z(a)Analitica
Z(a)Numerica
Figura IV.7.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica
IV.3.3.- Caso 3; probeta circular para la prueba de tensión
Para el tercer caso se utilizará la Ecuación IV.9 la cual por medio de las dimensiones de la
probeta se deduce lo siguiente. Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.8, y
utilizando la Ecuación IV.9 de la Tabla IV.1 se sustituyen los valores de manera que se ajustan
las ecuaciones para que quede todo en función de la longitud de la grieta y calcular la función Z(a)
para cada incremento de longitud. De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el
caso de una probeta de placa circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:
( ) 3
2.532
10aZ
a
IV.9a
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
78
42
210.8
4.3
3
2.16
10
Figura IV.8.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 3.
Figura IV.9.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del tercer caso a desarrollar.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
79
IV.3.3.1.- Cálculos realizados por MEF, caso 3.
Dadas las circunstancias para el desarrollo del tercer caso, para desarrollarlo numéricamente, se
procede a realizar el modelo como se muestra en la Figura IV.9. El procedimiento se realiza de la
misma manera que en los casos anteriores. En la Tabla IV.4 se pueden observar muestran los
cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta y simultáneamente se aplican las
condiciones para calcularla de manera numérica.
Tabla IV.4.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el primer caso.
Calculo analítico Calculo Numérico
a Z(a) Z(a) t F KIref ds2.00 -0.11189965 -0.11590000 2.500000 1000 -11.5900 0.2502.70 -0.12837469 -0.13255200 2.500000 1000 -13.2552 0.2503.40 -0.14933025 -0.15456900 2.500000 1000 -15.4569 0.2504.10 -0.17667931 -0.18398600 2.500000 1000 -18.3986 0.2504.80 -0.21352989 -0.22126500 2.500000 1000 -22.1265 0.2505.50 -0.26524361 -0.27512346 2.500000 1000 -27.5123 0.2506.20 -0.34181279 -0.35456300 2.500000 1000 -35.4563 0.2506.90 -0.46389657 -0.48121200 2.500000 1000 -48.1212 0.2507.60 -0.68099957 -0.70896500 2.500000 1000 -70.8965 0.2509.00 -2.53200000 -2.61756320 2.500000 1000 -261.7563 0.250
Funcion de pesoCaso 3
-3.0000
-2.5000
-2.0000
-1.5000
-1.0000
-0.5000
0.00000.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000
a/w
Z(a
)
Z(a)AnaliticaZ(a)Numerica
Figura IV.10.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica,con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el tercer caso.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
80
Con los valores obtenidos numérica y analíticamente, se obtiene la grafica de comparación de
resultados mostrada en la Figura IV.10.
IV.3.4.- Caso 4; probeta circular para la prueba de tensión
En este caso se utiliza la Ecuación IV.11 la cual por medio de las dimensiones de la probeta la
forma se deduce lo siguiente:
( ) 2 3
7.952 13.513.5
113.5
a
a
Za
IV.11a
Con las dimensiones del modelo mostrado en la Figura IV.11 y utilizando la Ecuación IV.11ase
obtiene la función Z(a) para cada incremento de longitud.
Ø13.5
4.5
9
Figura IV.11.- Dimensiones del modelo para calcular la función de peso en el caso 4.
De la misma forma entonces la ecuación desarrollada para el caso de una probeta de placa
circular para prueba de tensión, queda de la siguiente manera:
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
81
( ) 30.0510311 0.074074
a
aZ
a
IV.11b
IV.3.4.1.- Caso 4; cálculos realizados por MEF
Dadas las circunstancias para el desarrollo del primer caso y para desarrollarlo numéricamente, se
desarrolla el modelado como se muestra en la Figura IV.12. Además se desarrolla la solución de
la misma manera que en los ejemplos anteriores
Figura IV.12.- Modelo resuelto para el cálculo de KI del cuarto caso a desarrollar.
En la tabla IV.5, se muestran los cálculos de la función Z(a), según el crecimiento de la grieta, y
simultáneamente, se aplican las condiciones para calcularla de manera numérica. Con los valores
obtenidos numérica y analíticamente, se obtiene la gráfica de comparación de resultados
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
82
mostrada en la Figura IV.13, donde se muestra el incremento del valor de la función Z(a) con
respecto al incremento de la grieta.
Tabla IV.5.- Tabla representativa de los valores obtenidos numérica y analíticamente de lafunción Z(a) para el cuarto caso.
Calculo analítico Calculo Numérico
a Z(a) Z(a) t F KIref ds1.00 -0.05727560 -0.05929792 2.500 1000 -47.2650 1.9931.80 -0.08485786 -0.08185986 2.500 1000 -65.2486 1.9932.60 -0.11341787 -0.10930371 2.500 1000 -87.1235 1.9933.40 -0.14540921 -0.15049591 2.500 1000 -119.9568 1.9934.20 -0.18290882 -0.17635552 2.500 1000 -140.5689 1.9935.00 -0.22839730 -0.22110251 2.500 1000 -176.2357 1.9935.80 -0.28530682 -0.27473845 2.500 1000 -218.9877 1.9936.60 -0.35878348 -0.37104824 2.500 1000 -295.7540 1.9937.40 -0.45704088 -0.44144929 2.500 1000 -351.8690 1.9939.00 -0.79549218 -0.76699899 2.500 1000 -611.3571 1.993
Funcion de pesoCaso 4
-0.9000
-0.8000
-0.7000
-0.6000
-0.5000
-0.4000
-0.3000
-0.2000
-0.1000
0.00000.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000
a/w
Z(a
)
Z(a)AnaliticaZ(a)Numerica
Figura IV.13.- Grafica del comportamiento comparativo de la función Z(a) analítica y numérica,con forma va aumentando el tamaño de la grieta para el segundo caso.
Capítulo IV
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
83
IV.4.- Sumario
En el presente capítulo se presentan los cálculos de la función geométrica-peso, así como los
análisis realizados a cada caso seleccionado para su desarrollo. Se utilizara algunos modelos de la
Tabla II.4, programados en ANSYS para hacer el desarrollo los cálculos numéricos. Así como
sus análisis analíticos respectivos de cada caso seccionado. De tal manera que se comparen los
resultados para cada caso y analizar el porcentaje de error que exista entre ambos métodos. De la
misma forma, se le dará su interpretación y una conclusión de cada modelo empleado.
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
Conclusiones
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
85
Conclusiones
En el caso del cálculo del intensificador esfuerzo se concluye que para encontrar un valor muy
preciso comparado con el analítico, es necesario variar la trayectoria de la grieta de una manera
equivalente dependiendo de las circunstancias, de otra forma el valor de K varía con respecto a la
separación de la trayectoria escogida.
Con respecto a los casos de estudio de los factores de intensidad de esfuerzos se concluye de la
siguiente manera:
Caso 1, se encontró que la trayectoria de la grieta debía ser dividido por la suposición de simetría
en el análisis, si lo anterior no se lleva a cabo el resultado no es correcto.
Caso 2, se encontró un error un poco mayor que en el caso anterior, la razón de esta diferencia es
de la grieta comparada del caso anterior es mayor, por consiguiente el resultado encontrado en
este punto tiende a tener un error mayor. Sin embargo se encuentra en los parámetros aceptables.
Caso 3, se encuentra casi con el error de la misma magnitud que se tiene el caso 2. Ya que el caso
de estudio es muy similar al anterior. Se aplicaron las mismas características para el modelo y por
consiguiente se obtuvo el mismo valor del porcentaje de error.
Caso 4, en este caso se analiza el modelo de una probeta que se utiliza para realizar pruebas a
tensión. Este modelo se aplica por medio de elemento finito para tratar de entender el
comportamiento que se aplica en un modo experimental. No obstante la comparación es analítica
y numérica, por consiguiente se utiliza la relación determinada para calcular el factor de
intensidad esfuerzo. Por consiguiente, como se desarrolla el modelo numérico de manera
parecida a cómo sería el comportamiento real en una máquina para pruebas a tensión, entonces el
porcentaje de error que se tiene es mayor al calculado numéricamente con respecto al calculado
analíticamente. Ya que el numérico trata de simular en lo más posible el comportamiento real.
Caso 5, en este caso se analiza el modelo de una probeta que se utiliza para hacer pruebas a
flexión. Este modelo se aplica por medio de elemento finito para tratar de entender el
Conclusiones
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
86
comportamiento que se aplica en un modo experimental, no obstante la comparación como el
caso anterior debe de ser analítico y numérico. Por consiguiente también tuvo su grado de
dificultad al momento de aplicar las consideraciones físicas reales según el diagrama de la
probeta. No obstante se logró solucionar dando así un cálculo del factor de intensidad esfuerzo
aceptable, considerando que la relación matemática que se tiene del modelo y comparado con el
caso analítico está dentro del aceptable.
Caso 6, en este caso se desarrolla analíticamente y numéricamente una probeta desarrollada
también en forma real (trabajo de tesis) de manera experimental, tratando de encontrar una
similitud con modelo de determinado. Se encontró que el porcentaje de error es muy alto, pero no
se debe a que exista un modelo que no sea compatible, considerando que en este modelo se aplica
dos cargas una que abre el modelo y la otra empuja el modelo físico. Por consiguiente se pidió el
valor del factor de intensidad de esfuerzos obtenido experimentalmente y se cotejó contra el
calculado numéricamente. El porcentaje de error que se encuentra numéricamente y
experimentalmente es aproximadamente del uno por ciento, lo que valida al procedimiento
numérico. Sin embargo, el porcentaje de error entre el numérico y analítico es del 16%, lo que se
llega a la conclusión de que el modelo analítico no considera adecuadamente a la carga de
abrimiento.
Como conclusión en este tema, se puede decir que para desarrollar el cálculo del factor de
intensidad esfuerzos es necesario tener mucho cuidado en las consideraciones a tomar. Además,
que aparentemente, el análisis numérico el más adecuado y cercano a la realidad.
En el caso del cálculo de la función Z(a), se concluye que para cada uno de los casos analizados,
se encuentra que existe un ajuste de los parámetros en la trayectoria de la grieta y se deben de
identificar los nodos (análisis numérico) donde debe de pasar dicha trayectoria para obtener un
valor de KI aceptable. Por lo que se concluye que se debe de ir variando los puntos necesarios
conforme se va alargando la grieta.
Caso 1, se encontró que la grieta conforme iba abriendo en los primeros cálculos el valor del
intensificador de esfuerzos estaba variando mucho con respecto al cálculo de la función Z(a). No
Conclusiones
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
87
obstante se ajustó la trayectoria y se encontró el porcentaje de error no variará demasiado tanto
así que se encontró un porcentaje aproximadamente del 3%. En este caso la solución analítica no
es exacta.
Caso 2, nuevamente la solución analítica no es exacta. Se ajustó directamente la trayectoria de la
grieta, contando que el modelo ya se había utilizado para analizar el KI en el Capítulo III, lo que
nos llevó a esto ha simplemente ajustar el modelo de manera de su tuvo aproximadamente un
promedio del 3.5%.
Caso 3, se ajustaron los modelos anteriores de manera que se aplicaron las mismas condiciones
consideradas en el primer caso y segundo caso, de tal forma que los resultados ajustaron en un
promedio semejante a los anteriores. En este caso de forma muy general se concluye este método
de su método indirecto tal que cuando aplicamos la solución no es directa, hay que aplicar
métodos analíticos para determinar el cálculo necesario para desarrollar la función; no obstante se
sigue encontrando que el método numérico es todavía más rápido y se puede combinar con otros
métodos para obtener una solución más adecuado al fenómeno que se está presentando.
Caso 4, probablemente es el más significativo, ya que la solución analítica es exacta y presenta
un grado de error entre métodos de 1.9%. Lo que significa que el análisis numérico puede de ser
de gran valía en la solución de este tipo de problemas, ya que es muy fácil de utilizar y cuenta
con gran rapidez.
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
Referencias
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Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
92
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Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
94
1.- Programación realizada para desarrollo de las geometrías en ANSYS.
1.1.- Caso 1!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME, Caso I, 0*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACAa=1h=10w=h/2P=10t=1/10E=200e3nu=0.27!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO/PREP7ET,1,PLANE183KEYOPT,1,1,0KEYOPT,1,3,3KEYOPT,1,6,0KEYOPT,1,10,0R,1,t,!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIALKEYOPT,1,3,2KEYOPT,1,5,0KEYOPT,1,6,0MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,EX,1,,EMPDATA,PRXY,1,,0.27!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACAK,1,,K,2,a,K,3,w,K,4,w,hK,5,,h!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACAL,1,2L,2,3L,3,4L,4,5L,5,1!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADOLESIZE,3, , ,56, , , , ,1LESIZE,4, , ,56, , , , ,1LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1KSCON,2,a/16,1,16, ,!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMAAl,allDL,2,1,SYMMDL,5,1,SYMMSFL,4,PRES,-(P/(w*t)),AMESH,1finish/SOLU
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
95
solveFINISH!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETAPPATH,1,2,PPATH,2,50,PPATH,3,1,PATH,STAT!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.2- Caso 2!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso II,0
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=1
h=10
w=h/2
P=10
t=1/10
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,0.27
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,
K,2,a,
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
96
K,3,w,
K,4,w,h/2
K,5,,h/2
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,1
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,56, , , , ,1
LESIZE,4, , ,56, , , , ,1
LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1
KSCON,2,a/16,1,16, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,2,1,SYMM
SFL,4,PRES,-(P/(w*t)),
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,2,
PPATH,2,50,
PPATH,3,1,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.3.- Caso 3!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso III,0
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
97
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=1
h=10
w=h/2
P=10
t=1/10
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,0.27
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,30E6
MPDATA,PRXY,1,,.0.3
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,
K,2,W-a,
K,3,w,
K,4,w,h
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
98
K,5,,h
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,1
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,56, , , , ,1
LESIZE,4, , ,56, , , , ,1
LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1
KSCON,2,a/16,1,16, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,1,1,SYMM
DL,5,1,SYMM
SFL,4,PRES,-(P/(w*t)),
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,2,
PPATH,2,156,
PPATH,3,140,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.4.- Caso 4!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso IV,0
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
99
a=4.33
w=10
lt=4.2*w
l=2*w
t=0.5*w
P=100
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,w/20
K,2,(a/2)-w/20,w/20
K,3,(a/2),
K,4,a,
K,5,w,
K,6,w,w/20
K,7,w,lt/2
K,8,,lt/2
K,9,,l+w/20
K,10,,l-w/20
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
100
L,3,4
L,4,5
L,5,6
L,6,7
L,7,8
L,8,9
L,9,10
L,10,1
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,40, , , , ,1
LESIZE,4, , ,40, , , , ,1
LESIZE,5, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1
LESIZE,7, , ,50,.2, , , ,1
LESIZE,8, , ,40,, , , ,1
LESIZE,9, , ,4,, , , ,1
LESIZE,10, , ,70,, , , ,1
KSCON,4,a/16,1,16, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,9,1,all
DL,4,1,SYMM
SFL,5,PRES,(P/(w*t/20)),
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,70,
PPATH,2,136,
PPATH,3,1,62
PATH,STAT
!* DETERMINA KI
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
101
KCALC,0,1,0,0
1.5.- Caso 5!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso V,0
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=3
w=10
lt=1.25*w
h=1.2*w
r=0.25*w/2
t=0.5*w
s=0.275*w
P=1000
E=200e3nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,w/20
K,2,(lt-w)-w/20,w/20
K,3,(lt-w),
K,4,(lt-w)+a,
K,5,lt,
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
102
K,6,lt,h/2
K,7,,h/2
K,8,(lt-w),s
K,9,(lt-w),s+r
K,10,(lt-w),s-r
K,11,(lt-w)+r,s
K,12,(lt-w)-r,s
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,6
L,6,7
L,7,1
!*
LARC,9,11,8,r,
LARC,11,10,8,r,
LARC,10,12,8,r,
LARC,12,9,8,r,
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,40, , , , ,1
LESIZE,4, , ,56, , , , ,1
LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1
LESIZE,7, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,8, , ,40,, , , ,1
LESIZE,9, , ,40,, , , ,1
LESIZE,10, , ,40,, , , ,1
LESIZE,11, , ,40,, , , ,1
KSCON,4,a/16,1,16, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,4,1,SYMM
SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
103
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,418,
PPATH,2,594,
PPATH,3,546,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.6.- Caso 6!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso VI,0*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=2.5w=12
h=4
F=1000/4P=100/5
t=0.25
r=t/4
E=360e3
nu=0.38
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
104
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,
K,2,a,
K,3,w,
K,4,w,h/18
K,5,w,h/18+h/9
K,6,w,h/18+2*h/9
K,7,w,h/18+3*h/9
K,8,w,h/2
K,9,,h/2
K,10,h/12,h/12
K,11,h/12,2*h/12
K,12,h/12,3*h/12
K,13,h/12,4*h/12
K,14,h/12,5*h/12
K,15,h/12+r,h/12
K,16,h/12-r,h/12
K,17,h/12,h/12+r
K,18,h/12,h/12-r
K,19,h/12+r,2*h/12
K,20,h/12-r,2*h/12
K,21,h/12,2*h/12+r
K,22,h/12,2*h/12-r
K,23,h/12+r,3*h/12
K,24,h/12-r,3*h/12
K,25,h/12,3*h/12+r
K,26,h/12,3*h/12-r
K,27,h/12+r,4*h/12
K,28,h/12-r,4*h/12
K,29,h/12,4*h/12+r
K,30,h/12,4*h/12-r
K,31,h/12+r,5*h/12
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
105
K,32,h/12-r,5*h/12
K,33,h/12,5*h/12+r
K,34,h/12,5*h/12-r
K,35,,h/18
K,36,,h/18+h/9
K,37,,h/18+2*h/9
K,38,,h/18+3*h/9
K,39,w-h/12,h/18
K,40,w-h/12,h/18+h/9
K,41,w-h/12,h/18+2*h/9
K,42,w-h/12,h/18+3*h/9
K,43,(w-h/12)+r,h/18
K,44,(w-h/12)-r,h/18
K,45,(w-h/12),h/18+r
K,46,w-h/12,h/18-r
K,47,(w-h/12)+r,(h/18+h/9)
K,48,(w-h/12)-r,(h/18+h/9)
K,49,w-h/12,(h/18+h/9)+r
K,50,w-h/12,(h/18+h/9)-r
K,51,(w-h/12)+r,(h/18+2*h/9)
K,52,(w-h/12)-r,(h/18+2*h/9)
K,53,w-h/12,(h/18+2*h/9)+r
K,54,w-h/12,(h/18+2*h/9)-r
K,55,(w-h/12)+r,(h/18+3*h/9)
K,56,(w-h/12)-r,(h/18+3*h/9)
K,57,w-h/12,(h/18+3*h/9)+r
K,58,w-h/12,(h/18+3*h/9)-r
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,6
L,6,7
L,7,8
L,8,9
L,9,38
L,38,37
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
106
L,37,36
L,36,35
L,35,1
LARC,16,17,10,r,
LARC,17,15,10,r,
LARC,15,18,10,r,
LARC,18,16,10,r,
LARC,20,21,11,r,
LARC,21,19,11,r,
LARC,19,22,11,r,
LARC,22,20,11,r,
LARC,24,25,12,r,
LARC,25,23,12,r,
LARC,23,26,12,r,
LARC,26,24,12,r,
LARC,28,29,13,r,
LARC,29,27,13,r,
LARC,27,30,13,r,
LARC,30,28,13,r,
LARC,32,33,14,r,
LARC,33,31,14,r,
LARC,31,34,14,r,
LARC,34,32,14,r,
LARC,43,45,39,r,
LARC,45,44,39,r,
LARC,44,46,39,r,
LARC,46,43,39,r,
LARC,47,49,40,r,
LARC,49,48,40,r,
LARC,48,50,40,r,
LARC,50,47,40,r,
LARC,51,53,41,r,
LARC,53,52,41,r,
LARC,52,54,41,r,
LARC,54,51,41,r,
LARC,55,57,42,r,
LARC,57,56,42,r,
LARC,56,58,42,r,
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
107
LARC,58,55,42,r,
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,1, , ,20,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,30,0.2, , , ,1
LESIZE,3, , ,3, , , , ,1
LESIZE,4, , ,6, , , , ,1
LESIZE,5, , ,6, , , , ,1
LESIZE,6, , ,6, , , , ,1
LESIZE,7, , ,6, , , , ,1
LESIZE,8, , ,50,0.2, , , ,1
LESIZE,9, , ,6, , , , ,1
LESIZE,10, , ,6, , , , ,1
LESIZE,11, , ,6, , , , ,1
LESIZE,12, , ,6, , , , ,1
LESIZE,13, , ,3, , , , ,1
LESIZE,14, , ,3, , , , ,1
LESIZE,15, , ,3, , , , ,1
LESIZE,16, , ,3, , , , ,1
LESIZE,17, , ,3, , , , ,1
LESIZE,18, , ,3, , , , ,1
LESIZE,19, , ,3, , , , ,1
LESIZE,20, , ,3, , , , ,1
LESIZE,21, , ,3, , , , ,1
LESIZE,22, , ,3, , , , ,1
LESIZE,23, , ,3, , , , ,1
LESIZE,24, , ,3, , , , ,1
LESIZE,25, , ,3, , , , ,1
LESIZE,26, , ,3, , , , ,1
LESIZE,27, , ,3, , , , ,1
LESIZE,28, , ,3, , , , ,1
LESIZE,29, , ,3, , , , ,1
LESIZE,30, , ,3, , , , ,1
LESIZE,31, , ,3, , , , ,1
LESIZE,32, , ,3, , , , ,1
LESIZE,33, , ,3, , , , ,1
LESIZE,34, , ,3, , , , ,1
LESIZE,35, , ,3, , , , ,1
LESIZE,36, , ,3, , , , ,1
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
108
LESIZE,37, , ,3, , , , ,1
LESIZE,38, , ,3, , , , ,1
LESIZE,39, , ,3, , , , ,1
LESIZE,40, , ,3, , , , ,1
LESIZE,41, , ,3, , , , ,1
LESIZE,42, , ,3, , , , ,1
LESIZE,43, , ,3, , , , ,1
LESIZE,44, , ,3, , , , ,1
LESIZE,45, , ,3, , , , ,1
LESIZE,46, , ,3, , , , ,1
LESIZE,47, , ,3, , , , ,1
LESIZE,48, , ,3, , , , ,1
LESIZE,49, , ,3, , , , ,1
KSCON,2,a/8,1,8, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
AMESH,1
!*
DL,2,1,SYMM
DL,34,,UY
DL,37,,UY
DL,38,,UY
DL,41,,UY
DL,42,,UY
DL,45,,UY
DL,46,,UY
DL,49,,UY
DL,9,,UX,
DL,10,,UX,
DL,11,,UX,
DL,12,,UX,
DL,13,,UX,
!*
SFL,14,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,15,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,18,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,19,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,22,PRES,P/(1.570796327*r*t),
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
109
SFL,23,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,26,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,27,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,30,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,31,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,35,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,36,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,39,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,40,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,43,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,44,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,47,PRES,F/(1.570796327*r*t),
SFL,48,PRES,F/(1.570796327*r*t),
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,2,
PPATH,2,60,
PPATH,3,1,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.7.- Caso 1 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 1 Funcion de peso,0!
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=2
w=10
m=0.1*w
d=1.35*w
r=0.25*w/2
t=0.5*w
s=0.275*w
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
110
P=1000
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,m,w/20,
K,2,0.3*w,w/20,
K,3,0.35*w,,
K,4,0.35*w+a,,
K,5,d,,
K,6,d/2,d/2,
K,7,m,0.353553391*w,
K,8,0.35*w,s,
K,9,0.35*w,s+r,
K,10,0.35*w,s-r,
K,11,0.35*w+r,s,
K,12,0.35*w-r,s,
K,13,d/2,
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
111
L,7,1
!*
LARC,5,6,13,d/2,
LARC,6,7,13,d/2,
LARC,9,11,8,r,
LARC,11,10,8,r,
LARC,10,12,8,r,
LARC,12,9,8,r,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,1,2,3,4,5,6,7
Al,8,9,10,11
ASBA,1,2
!*
DL,4,3,SYMM
SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,3, , ,4, , , , ,1
LESIZE,4, , ,30, , , , ,1
LESIZE,5, , ,40,.2, , , ,1
LESIZE,6, , ,40,.2, , , ,1
LESIZE,7, , ,30,.2, , , ,1
LESIZE,8, , ,20,, , , ,1
LESIZE,9, , ,20,, , , ,1
LESIZE,10, , ,20,, , , ,1
LESIZE,11, , ,20,, , , ,1
KSCON,4,a/16,1,16, ,
!*
AMESH,3
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
112
PPATH,1,70,
PPATH,2,76,
PPATH,3,62,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.8.- Caso 2 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 2 Funcion de peso,0!
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=3
w=10
lt=1.25*w
h=1.2*wr=0.25*w/2
t=0.5*w
s=0.275*wP=1000
E=200e3nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
113
K,1,,w/20
K,2,(lt-w)-w/20,w/20
K,3,(lt-w),
K,4,(lt-w)+a,
K,5,lt,
K,6,lt,h/2
K,7,,h/2
K,8,(lt-w),s
K,9,(lt-w),s+r
K,10,(lt-w),s-r
K,11,(lt-w)+r,s
K,12,(lt-w)-r,s
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,6
L,6,7
L,7,1
!*
LARC,9,11,8,r,
LARC,11,10,8,r,
LARC,10,12,8,r,
LARC,12,9,8,r,
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,40, , , , ,1
LESIZE,4, , ,56, , , , ,1
LESIZE,5, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1
LESIZE,7, , ,64,.2, , , ,1
LESIZE,8, , ,40,, , , ,1
LESIZE,9, , ,40,, , , ,1
LESIZE,10, , ,40,, , , ,1
LESIZE,11, , ,40,, , , ,1
KSCON,4,a/16,1,16, ,
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
114
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,4,1,SYMM
SFL,11,PRES,P/(1.570796327*r*t),
SFL,8,PRES,P/(1.570796327*r*t),
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,418,
PPATH,2,594,
PPATH,3,546,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.9.- Caso 3 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 3 Funcion de peso,0!*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=4.33
w=10
lt=4.2*w
l=2*w
t=0.5*w
P=100
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
115
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,w/20
K,2,(a/2)-w/20,w/20
K,3,(a/2),
K,4,a,
K,5,w,
K,6,w,w/20
K,7,w,lt/2
K,8,,lt/2
K,9,,l+w/20
K,10,,l-w/20
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
L,3,4
L,4,5
L,5,6
L,6,7
L,7,8
L,8,9
L,9,10
L,10,1
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,3, , ,40, , , , ,1
LESIZE,4, , ,40, , , , ,1
LESIZE,5, , ,4,.2, , , ,1
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,4,.2, , , ,1
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
116
LESIZE,6, , ,80,.2, , , ,1
LESIZE,7, , ,50,.2, , , ,1
LESIZE,8, , ,40,, , , ,1
LESIZE,9, , ,4,, , , ,1
LESIZE,10, , ,70,, , , ,1
KSCON,4,a/16,1,16, ,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
DL,9,1,all
DL,4,1,SYMM
SFL,5,PRES,(P/(w*t/20)),
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,70,
PPATH,2,136,
PPATH,3,1,62
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
1.10.- Caso 4 Función de peso!* GUARDA EL ARCHIVO DE ANSYS CON EL NOMBRE DEL CASO A ESTUDIAR/FILNAME,Caso 4 Función de peso,0
*afun,deg DEFINE LA GEOMETRIA DE LA PLACA
a=2
w=10
d=1.35*w
t=0.5*w
P=1000
E=200e3
nu=0.27
!* DEFINE EL TIPO DE ELEMENTO PARA EL MODELO
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
117
/PREP7
ET,1,PLANE183
KEYOPT,1,1,0
KEYOPT,1,3,3
KEYOPT,1,6,0
KEYOPT,1,10,0
R,1,t,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES MECANICAS DEL MATERIAL
KEYOPT,1,3,2
KEYOPT,1,5,0
KEYOPT,1,6,0
MPTEMP,,,,,,,,
MPTEMP,1,0
MPDATA,EX,1,,E
MPDATA,PRXY,1,,nu
!* CREA LOS PUNTOS GEOMETRICOS DE LA PLACA
K,1,,,
K,2,a,,
K,3,d,,
K,4,d/2,d/2,
K,5,d/2,,
!* CREA LAS LINEAS DE LA PLACA
L,1,2
L,2,3
!*
LARC,3,4,5,d/2,
LARC,4,1,5,d/2,
!* DEFINE LAS PROPIEDADES DE SIMETRIA Y SOLUCIONA EL PROBLEMA
Al,all
!*
DL,2,1,SYMM
FK,1,FY,P
!* DEFINE LAS DIVISIONES DEL MALLADO
LESIZE,1, , ,30,5, , , ,1
LESIZE,2, , ,40,.2, , , ,1
LESIZE,3, , ,50, , , , ,1
LESIZE,4, , ,50, , , , ,1
KSCON,2,a/16,1,16, ,
Apéndice
Evaluación Analítica-Numérica de las Funciones Geometricas de Pesoy los Intensificadores de Esfuerzo
118
!*
AMESH,1
finish
/SOLU
solve
FINISH
!* DEFINE EL SENTIDO PARA EL CALCULO DE KI/POST1
PATH,K1,3,30,20, DETERMINA LA TRAYECTORIA DE LA GRIETA
PPATH,1,2,
PPATH,2,68,
PPATH,3,1,
PATH,STAT
!* DETERMINA KIKCALC,0,1,0,0
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