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ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Problemas de Mecánica de Medios
Continuos
Problemas de Mecánica de Medios
ContinuosTEMA 5TEMA 5
ECUACIONES DEECUACIONES DE CONSERVACIÓN-BALANCECONSERVACIÓN-BALANCE
X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos
X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos - ETSECCPB UPC
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
...
En la figura se presenta la sección longitudinal de una tubería de sección cuadrada de lado h por la que circula agua.
El agua entra por la sección AE con una velocidad uniforme v1
... y sale por la sección CD con velocidad uniforme v2.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
B
C
E D
A
h/2
h/2v1
v2
p1
p2
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
... En la sección de salida se dispone una compuerta que puede bascular alrededor de la rótula situada en B
...y que se mantiene en posición vertical mediante la aplicación de una fuerza horizontal F en el extremo de la compuerta.
Planteamiento de problema
F
B
C
E D
A
v1
v2
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis:
Planteamiento de problema
H4
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.
Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij
).
Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H5
H3
H2
H6
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se pide :
La velocidad de salida v2 en función de la de entrada v1, [v1= v2(v1)] justificando la fórmula empleada.
Planteamiento de problema
1)
B
C
E D
A
v1
V2(V
1)
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería.
B
fluido/MB
fl uido/R
Se pide :
Planteamiento de problema
2)
B
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas por el fluido sobre la compuerta BC.
Se pide :
3)
B
puertafl uido/ comR
C
B
B
puertafl uido/ comM
Planteamiento de problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
B
mpuertatubería/ coM
El valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical ...
Se pide :
B
mpuertatubería/ coR
4)
B
E D
A
FC
Planteamiento de problema
... y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B.
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
La potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo.
Se pide :
5)
Planteamiento de problema
B
C
A
v2E
v1 D
W
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se pide la velocidad de salida v2 en función de la velocidad de entrada v1.
Imponemos el principio de conservación de la conservación de la masamasa, que en su forma local espacial corresponde a la ecuación de continuidad:
Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene:
1)
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
0v
0v
0 vdt
dρ
0Fluido incompresible
Puesto que la densidad es no nula queda: 0
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.
Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.
Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son: El fluido es incompresible y por
tanto la densidad de las partículas no varía con el
tiempo, por lo que:0
dt
dρ
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Esta condición se debe cumplir para cualquier punto del medio y por lo tanto, se cumplirá también para cualquier volumen de control que se escoja.
Se escoge un volumen de controlvolumen de control delimitado por:
la compuerta BC
la sección de salida CD
la sección de entrada AE
las paredes de la tubería
Se impone ahora la condición :V en 0 v
0 dVV
v Volumen de control V
A
EC
D
B
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
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V
Al ser un volumen cerrado, se puede aplicar el:
V es el contorno del volumen de control V ...
dSdVVV
nvv
Resolución del problema
Teorema Teorema de lade la
DivergenciDivergenciaa
Donde:
... y n la normal unitaria exterior del contorno.
n
nn
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
ê1
ê2
Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el
contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego
su producto escalar es cero
0nv
Entonces se tiene:
dSdV0VV
nvv
El desarrollo de la expresión integral es:
dSS
11 nv1
dSS2
22 nv dSS nv
dSV
nv0
S1 es la sección de entrada
S2 es la sección de salida
S es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)
0
Contorno impenetrable
Así queda:
Resolución del problema
B
C
E D
A
v1
v2
n1 n2
n
S1
S
S2
S
n
dSS
2
22 nv dSS
11 nv1
dSV
nv0
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
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Empezamos calculando el caudal que entra por la sección de entrada AE :
dSS1
11 nv dSv-S1
1 11Sv
Resolución del problema
n1
B
C
E D
A
v1
v2
La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa
1v 11 nv 01
0
,
,v1
1
1
n
v
1e
2e
S1
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se calcula ahora el caudal que entra por la sección de salida CD:
dSS2
22 nv dSvS2
2 22Sv
01
02
,
,v
2
2
n
v222 nv v
Resolución del problema
B
C
E D
A
v1
v2
n2
La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa
1e
2e
S2
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
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Reagrupando términos se obtiene la siguiente expresión:
Despejando se obtiene v2 en función de v1:
02211 SvSv
2
112 S
Svv
Resolución del problema
12 2vv La solución es:La solución es:
22
21
h2
1
h
S
S1v2
h
hv
2
2
1
2
1
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se pide la resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería.
Imponiendo balance de la cantidad de balance de la cantidad de movimientomovimiento se obtiene la resultante de fuerzas.
dVρdt
d
V
v/RB
fluido
Imponiendo balance del momento de la balance del momento de la cantidad de movimientocantidad de movimiento se obtiene la resultante de momentos.
dVρdt
d
V
vr/MB
fluido
Resultante de fuerzas sobre el fluidoResultante de fuerzas sobre el fluido
Resultante de Resultante de momentos sobre el momentos sobre el
fluido en Bfluido en B
Resolución del problema
2)
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
es el contorno del volumen de control V.V
dVρdt
d
V
vRB
fluido/
Donde:
Así queda:
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Se aplicará el Teorema del Transporte de Teorema del Transporte de ReynoldsReynolds para resolver la integral:
Cálculo de la resultante de fuerzasresultante de fuerzas sobre el fluido en el punto B:
dSρdVρt VV
nvvv
0Régimen estacionario
Resolución del problema
A
E
B
D
C dSρV
nvvRfluido/
V
V
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
0
t
El régimen es
estacionario y por
tanto:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
ê1
ê2
B
C
E D
A
v1
v2
Se desarrolla la expresión integral:
dSρV
/ nvvRB
fluido
dSρS
222 nvv2
dSρS
nvv 0
Contorno impenetrable
Resolución del problema
Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el
contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego
su producto escalar es cero
(v·n=0)
S1 es la sección de entrada
S2 es la sección de salidaS es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)
Así queda:
n1 n2
n
S1
S
S2
S
n
dSρ/
V
nvvRB
fluido
dSρ1S
111 nvv dSρS
222 nvv 2
dSρ1S
111 nvv
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
S1B
C
E D
A
v1
v2
En la sección de entrada AE:
dSρ1S
111 nvv dSvρ 1S1
1v dSˆvρ 21
S1
1e La velocidad es uniforme en
toda la sección, por tanto la integral es
directa
1S
2
1 dSˆvρ 1e1eSvρ 1
2
1
Resolución del problema
n1
1,0
,0v1
1
1
n
v
cteρ
1e
2e
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.
Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.
Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son: El fluido es
incompresible, luego
su densidad es
constante .cte
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
En la sección de salida CD:
dSρS
222
2
nvv dSvρ 2S
2
2
v dSˆvρ 2
S12
2
e La velocidad es uniforme en
toda la sección, por tanto la integral es
directa
2
12S
2 dSˆvρ e 122 eSvρ 2
Resolución del problema
B
C
E D
A
v1
v2
1,0
,0v
2
22
n
v
cteρ
1e
2e n2
S2
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Reagrupando términos:
Substituyendo los valores de S1 y S2:
1fluidoeR /ˆv
2
1vhρ 2
2
2
1
2
Y aprovechando el resultado del apartado 1):
1fluidoeR /ˆhvρ 22
1
Resolución del problema
1eSvSvρ 2221
21 B
fluidoR / dSρ
1S
111 nvv dSρ1S
222 nvv dSρS
nvv 0Contorno impenetrable
22
21
h2
1
h
S
S
12 2vv
La solución es:La solución es:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Donde: V es el contorno del volumen de control V ...
Así queda:
dSρV
nvvrM B
fluido/
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
dVρdt
d
V
vr/M B
fluido
Se aplicará el Teorema del Transporte de Teorema del Transporte de ReynoldsReynolds para resolver la integral:
dSρrdVρt
VV
nvvvr
0Régimen estacionario
Resolución del problema
Cálculo de la resultante de momentosresultante de momentos sobre el fluido en el punto B:
A
E
B
D
C
V
VRégimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
0
t
El régimen es
estacionario y por
tanto:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el
contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego
su producto escalar es cero
(v·n=0)
B
C
E D
A
v1
v2
Se desarrolla la expresión integral:
dSρV
nvvrB
fluido/M
dSρ1S
111 nvvr dSρS
222 nvvr2
dSρS
nvvr
Resolución del problema
S1 es la sección de entradaS2 es la sección de salidaS es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)
Contorno impenetrable
Así queda:
n1 n2
n
S1
S
S2
S
n0
dSρV
nvvr/
M B
fluido
dSρ1S
111 nvvr dSρS
222 nvvr 2
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B.
h/2
En la sección de entrada S1 respecto al punto B:
Resolución del problema
1S
dSρ 111 nvvr 1S
1 dSvρ 1vr dSˆρv1S
2
1 1er
dSˆρv*1S
2
1 1er
1er ˆSρv* 121
3e2
hSρv 1
21
3
3
e2
hρv2
12
1 hS
v1
n1 r
1e
2e
3e
2h
SvM 1
2
1ρ
3eMM
1eR ˆR
Br*
El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto.
21vρ
121SvR ρ
M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico (h/2) respecto al
punto B
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
En la sección de salida S2 respecto al punto B:
Resolución del problema
2S
dSρ 222 nvvr 2
2
S
dSvρ 2vr dSˆρvS
22
2
1er
1e
2e
3e
dSˆρv*S
2
2
2 1er
1er ˆSρv* 222
322 4
3e
hSρv 2
3ehρv 2 3
28
3
2
2
2
hS
n2
3h/4
43h
SvM 222ρ
r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B.
1eR ˆR
3eMM
El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto.
M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico respecto al punto
B (3h/2)
rr*v2
222SvR ρ
B
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Reagrupando términos nos queda la siguiente expresión:
Resolución del problema
33
B
fluidoee
/M ˆhρv
8
3ˆhρv2
1 2
2
32
1
3
Y aprovechando el resultado del apartado 1):12 2vv
3
B
fluidoe
/M ˆhρv 32
1La solución es:La solución es:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
C
Resolución del problema
3) Se pide el valor de la resultante (fuerza y momento en el punto B) de las acciones que el fluido ejerce sobre la compuerta BC.Fuerza resultante en el punto B ejercida por el fluido sobre la
compuerta:
B
compuertafluidoR /
Momento resultante en el punto B ejercido por el fluido sobre la
compuerta:
B
compuertafluidoM /
B
puertafl uido/ comR
B
B
puertafl uido/ comM
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Cálculo de la fuerza resultantefuerza resultante ejercida por el fluido sobre la compuerta:
Por el principio de acción-reacciónprincipio de acción-reacción la fuerza del fluido sobre la compuerta es igual y de signo contrario que la de la compuerta sobre el fluido:
fluidocompuertacompuertafluidoRR //
Donde:dVρ
V
b es la componente de las fuerzas másicas...
...y la componente de las fuerzas de superficie. V
dS
t
Resolución del problema
Se parte de la expresión de la fuerza resultante total sobre el medio continuo (fluido):
dVρV
b V
dS
tfluido
R /
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S1).
Se descompone la resultante de fuerzas en:
Peso del fluido despreciable
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dSt
1S
dSt
2S
dSt es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S2).
.L.C
dSt es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.).
Resolución del problema
C
E D
BA
S1
C.L.Comp.
S2C.L.
dVV
b V
dS
tfluido
R /
fluidocompuerta.Comp
/dS Rt es la resultante de las fuerzas de superficie que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido.
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Se desprecian el
peso del fluido,
luego el valor de las
fuerzas másicas es
nulo.
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
1ehvρ 22
1 Resultado obtenido en el apartado anterior.
fluido
R /
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
1S
dSt 1S
1 dSˆp 1e
1e
2e
3e
La presión es uniforme en toda
la sección, por tanto, la integral
es directa
11 eSp 1 11 ehp 2
2
1 hS
p1
S1
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
2S
dSt 1S
2 dSˆp 1e
p2
S2
P2 es la presión
atmosférica que vamos a considerar
nula
0 atm2 pp
0
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
1e
2e
3e
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
.L.C
dSt
p
C.L.
p
Las presiones en el contorno lateral se
compensan entre ellas mismas,
luego0..
dSLC
t
0.L.C
dSp
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
C.L.
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
.Comp
dSt compuertafluidoR /
fluidocompuertaR /
Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN-PRINCIPIO DE ACCIÓN-REACCIÓNREACCIÓN sabemos que la fuerza que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo
opuesto a la fuerza que ejerce el
fluido sobre la compuerta.
fluidocompuertaR /
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
1S
dSt 2S
dSt .L.C
dSt .Comp
dStfluido
R /
Resolución del problema
1ehvρ 221
0 0
compuertafluidoR /
Reagrupando términos queda:
11 ehp 2
1eRcompuertafluido
ˆρvph 211
2
/ La solución es:La solución es:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
dVρ V
br es la componente de las fuerzas másicas...
V
dS
trfluido
M/
Cálculo del momento resultantemomento resultante ejercido por el fluido sobre la compuerta en B:
Resolución del problema
Se parte de la expresión del momento resultante total sobre el medio continuo (fluido):
dVρV
br V
dS
trfluido
M/
Peso del fluido despreciable
Así queda:
Donde:
...y la componente de las fuerzas de superficie. V
dS
tr
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Se desprecia el peso
del fluido, luego el
valor de las fuerzas
másicas es nulo.
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Resolución del problema
Se descompone la resultante de momentos en:
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S1).es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S2).
es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.).
C
E D
BA
S1
C.L. Comp.
S2C.L.
es el momento que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido.
1S
dStr
2S
dStr
..
dSLC
tr
fluidocompuertaMtr
/dS
.Comp
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
3ehvρ 21
3Resultado obtenido en el apartado anterior.
fluido
M/
Resolución del problema
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
1e
2e
3e
h/2
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
1S
dStrS1
1
1
S
1 dSˆp er
2
1 hS
dSˆp*s
11
1
er
r*r
3e2
hSp 11 3
3
e2
hp1
111 er ˆSp*
3eM ˆM
M
p1
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
2S
dStr S2 2
12
S
dSˆp er
P2 es la presión atmosférica que
vamos a considerar nula
0 atm2 pp
0
p2
1e
2e
3e
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
..
dSLC
tr
p
C.L.
p
Los momentos de las presiones en el contorno lateral se compensan entre ellas mismas, luego
0..
dSLC
tr
0
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
C.L.
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Vamos a identificar cada uno de los términos:
Resolución del problema
.
dSComp
tr compuertafluidoM /
fluidocompuertaM /
Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN-PRINCIPIO DE ACCIÓN-REACCIÓNREACCIÓN sabemos que el momento
que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo
opuesto al momento que ejerce el fluido sobre la compuerta.
fluidocompuerta /M
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
fluido
M/
V
dS
tr 1S
dStr 2S
dStr .L.C
dStr .Comp
dStr
Resolución del problema
3ehvρ 21
3
0 0
compuertafluidoM /
Reagrupando términos queda:
3compuertafluidoeM ˆρvph 2
11/
2
13
3
3
e2
hp1
La solución es:La solución es:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se pide el valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B.
4)
Bmpuertatubería/ coR
FB
E D
A
C
Resolución del problema
B
mpuertatubería/ coM
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
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Empezamos por identificar todas las acciones que intervienen en la compuerta.
Compuerta
Rótula
compuertafluidoR /
Resultante de fuerzas que el fluido ejerce sobre la compuerta.
B
compuertafluidoM /
Resultante de momentos que el fluido ejerce sobre la compuerta.
rótulaR Reacción en la rótula.
.compW Peso de la compuerta.
F Fuerza que mantiene la compuerta en posición vertical.
comp.WF
rótulaRB
compuertafluido /M
compuertafluido /R
B
1e
2e
3e
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Puesto que la compuerta es un sólido rígido en equilibrio, podemos plantear las siguientes ecuaciones:
Equilibrio de momentos en el
punto B
0MB
Equilibrio de fuerzas
0F
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Suponiendo el sentido de la fuerza F contrario al sentido del eje de abcisas, se obtiene:
Equilibrio de momentos en el punto B:
Las fuerzascompuertafluido
R /
rótulaR
.compW
no ejercen momento sobre la compuerta respecto al punto B.
3eρvph 211
2
13B
compuertafluido /M
Resultado obtenido en el apartado anterior.
3e2
hFB
FM Momento en el punto B que la fuerza F ejerce sobre la compuerta.
Resolución del problema
h/2
comp.W
rótulaRB
compuertafluido /M
compuertafluido /R
B
1e
2e
3e
F
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Así el equilibrio de momentos queda:
BM0 0e3
ˆ
2
hFρvp
2
1h 2
113
Despejando se obtiene el valor del módulo de la fuerza F:
La solución es:La solución es:
2
11 ρvphF 22
1
2 2 eF ˆρvph 2
11
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Equilibrio de fuerzas:
F0 compuertafluido
R / rótulaR .compW F
fluidocompuertacompuertafluido // RR
1
epρvh1
2
1
2
Resultados obtenidos en apartados anteriores.
0
1
2 2 eF ˆρvph 2
11
Resolución del problema
h/2
comp.W
rótulaRB
compuertafluido /M
compuertafluido /R
B
1e
2e
3e
F
Peso del compuerta despreciableH
6
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Así el equilibrio de fuerzas queda:
F0 1epρvh 121
2
rótulaR 1
2 2 eρvph 2
11
Despejando se obtiene la solución:
La solución es:La solución es: 1rótula eR ˆhρv 22
1
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Se pide la potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo.
5)
VV
vtvb dSdVρPWe
Por el Teorema de las Fuerzas VivasTeorema de las Fuerzas Vivas sabemos que la potencia mecánica entrante se invierte en modificar la Energía Cinética y en crear Potencia Tensional, resultando:
V
2v dVρdt
d
2
1 V
σ:ddVeP
Variación deenergía cinética
Potencia tensional
Resolución del problema
La potencia de la bomba, W, será la potencia mecánica entrante en el sistema, Pe, que en un medio continuo tiene la siguiente expresión:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
La Potencia Tensional por unidad de volumen es:
σ:d 1:dp dtrp vp 0
Entonces se obtiene que la potencia tensional es nula:
0σ:dV
dV
V
2v dVρdt
d
2
1
Luego la potencia mecánica entrante se invierte únicamente en variar la Energia Cinética:
eP
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
Como se ha visto en el Apartado 1, aplicando conservación de la masa y dado que el fluido es incompresible, se obtiene
0 v
Resolución del problema
Régimen estacionario.
Se desprecia el peso del fluido.
Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.
H1
H3
H4
H5
H6
H2
Las hipótesis del problema son:
1σ p
Entonces el
tensor de
tensiones vale:
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
V
dVvρdt
d 2
2
1
Se aplica el Teorema de ReynolTeorema de Reynolddss para resolver la integral:
dSρvdVρvt
22
VV
nv2
1
2
1eP
0
A
E
B
D
C
V
V
Resolución del problema
Régimen estacionarioH1
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
B
C
E D
A
v1
v2
Se desarrolla la expresión integral:
dSvρ 22
S
22 nv22
1 dSvρS
nv 2
2
1
0Contorno
impenetrable
Así queda:
n1 n2
n
S1
S
S2
S
n
dSvρ 21
S1
11 nv2
1
eP V
dVvρdt
d 2
2
1
dSvρ 2
V
nv2
1
eP
dSvρ 2
V
nv2
1
dSvρ 2
1
S1
11 nv2
1 dSvρS
22 nv 2
2
22
1
Resolución del problema
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
En la sección de entrada S1:
dSvρ2
1 2
1
S1
11 nv dSvρ2
1 3
1
S1
131Sρv
2
1
2
1 hS
231hρv
2
1
En la sección de salida S2:
dSvρ2
1 22
S2
22 nv
B
C
E D
A
v1
v2
n1
S1
1e
2e
3e
n2
S2
dSvρ2
1 32
S2
232Sρv
2
1 23
2
23
2 hρv4
1
2
hρv
2
1
Resolución del problema
2
2
2
hS
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
Así queda:
e
P 231hρv
2
1 23
2hρv
1
4
23
1ehρvPW
2
3La solución es:La solución es:
Resolución del problema
Y aprovechando el resultado del apartado 1):12 2vv
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
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