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ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPE TENCIAS
DEL TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EN DÉCIMO GRADO
SANDRA MILENA DE LA CRUZ ORTEGA
PABLO ANDRÉS ESTRADA ARIAS
GEOVANNY PEÑA RUEDA
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MAT EMÁTICAS
BARRANQUILLA
2010
2
ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPE TENCIAS
DEL TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EN DÉCIMO GRADO
AUTORES
SANDRA MILENA DE LA CRUZ ORTEGA
PABLO ANDRÉS ESTRADA ARIAS
GEOVANNY PEÑA RUEDA
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA
OPTAR AL TITULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA C ON
ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
ASESORA
MG. Sonia Valbuena Duarte
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN
MATEMÁTICAS
BARRANQUILLA
2010
3
Nota de aceptación:
___________________
___________________
___________________
___________________
___________________
_________________________________
Firma del presidente del jurado
_________________________________
Firma del jurado
_________________________________
Firma del jurado
Barranquilla, Agosto 12 de 2010
4
R. A. E.
1. IDENTIFICACIÓN
1.1 TÍTULO DEL TRABAJO
ESTRATEGIAS PARA FACILITAR EL APRENDIZAJE POR COMPETENCIAS
DEL TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO EN DÉCIMO GRADO
AUTORES
SANDRA MILENA DE LA CRUZ ORTEGA
PABLO ANDRÉS ESTRADA ARIAS
GEOVANNY PEÑA RUEDA
1.2 NOMBRE DEL TUTOR INVESTIGADOR
MG. Sonia Valbuena Duarte
1.3 ÁREA DE ÉNFASIS
Matemáticas
1.4 LUGAR Y FECHA DE PRESENTACIÓN
Barranquilla, 12 de Agosto de 2010
1.5 NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN A LA CUAL SE PRESENTA
Universidad del Atlántico
5
2. ANÁLISIS
2.1 PALABRAS CLAVES: competencias, aprendizaje por competencias,
triángulos, trigonometría, teorema del seno y el coseno, estrategias
didácticas, herramientas tecnológicas.
2.2 DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO
La presente investigación realizada en la Institución Educativa Distrital Jesús
Maestro, Fe y Alegría de Barranquilla, se enfoca en la problemática que
presentan los estudiantes de décimo grado para el aprendizaje del teorema del
seno y el coseno. Esto se debe específicamente en el déficit que mostraron los
discentes para interpretar situaciones problemas, argumentar al momento de
resolverlas y proponer nuevas situaciones basadas en la vida cotidiana en la cual
es necesario utilizar estos teoremas.
Mediante este trabajo, se plantea y se resuelve problemas prácticos sobre
resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana, mediante un
método que enlaza la enseñanza por competencias con las nuevas tecnologías.
Para ello, los estudiantes utilizan instrumentos de medición como la cinta métrica,
el transportador y la brújula. Además realizan una representación a escala en el
computador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para deducir las
magnitudes buscadas.
En esta investigación se presenta el problema objeto de estudio, el proceso que se
lleva a cabo para la recolección de la investigación, el análisis de ésta y el diseño
de una propuesta con la finalidad de mejorar el aprendizaje del teorema del seno y
el coseno.
6
CONTENIDO
Este trabajo de investigación consta de cuatro capítulos que recogen toda la
información de la siguiente manera:
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN: Esta primera parte del proyecto contiene la
introducción, el planteamiento del problema, la justificación, los objetivos de la
investigación y el marco legal.
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO: En éste se presenta un informe de las teorías
relacionadas con el tema de investigación. Igualmente, se esbozan los
antecedentes y los conceptos básicos de la misma.
CAPÍTULO III: REFERENTES DE LA INVESTIGACIÓN: En éste capítulo se
exponen las metodologías que se utilizaron para desarrollar la investigación, por
ende se hace referencia al tipo y a las etapas de investigación, las técnicas e
instrumentos que se usaron para la recolección de datos de la población y muestra
escogida. De igual manera, se presenta el análisis e interpretación de los
resultados obtenidos de las encuestas a estudiantes y docentes, los pre-test y
post-test.
CAPÍTULO IV. PROPUESTA PEDAGÓGICA: En este capítulo se plasman todos
los aspectos asociados con la propuesta pedagógica, dirigida a dar solución al
problema de investigación. Se presenta el diseño, implementación y evaluación de
las estrategias de enseñanza basadas en actividades que permitan fomentar el
aprendizaje del teorema del seno y el coseno. Además, se expone la justificación
de la misma, los objetivos y el análisis de los datos arrojados de la puesta en
marcha de ésta con sus respectivas conclusiones y recomendaciones.
7
AGRADECIMIENTOS
Los autores de este trabajo de investigación manifestamos nuestros
agradecimientos:
A Dios, eje motor de nuestras vidas, acompañante fiel en este duro camino y
principal ayuda para cumplir uno de nuestros sueños más queridos.
A Sonia Valbuena Duarte, motivadora invaluable de nuestros afanes intelectuales,
guía a lo largo de todo el proceso de investigación y maravillosa consejera.
A nuestros profesores, quienes compartieron con nosotros todos sus
conocimientos, inculcándonos el espíritu investigativo y moldeándonos como
verdaderos educadores.
A nuestra Alma Mater, que nos recibió con los brazos abiertos y nos brindó el
espacio para ser mejores personas y excelentes profesionales.
8
CONTENIDO
Pág.
INTRODUCCIÓN………………………………………………………… 14
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA……………………………….... 16
2. JUSTIFICACIÓN……………………………………………………….... 18
3. OBJETIVOS…………………………………………………………….... 21
3.1. OBJETIVO GENERAL………………………………………………….. 21
3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS………………………………………….... 21
4. MARCO LEGAL…………………………………………………………. 23
5. MARCO REFERENCIAL……………………………………………….. 24
5.1. ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS………………………………... 24
5.2. ANTECEDENTES HISTÓRICOS…………………………………….... 26
5.2.1. La resolución de problemas en la antigüedad………………………... 26
5.2.2. La resolución de problemas en la Edad Media……………………..... 28
5.2.3. La resolución de problemas en la época moderna…………………... 30
5.2.4. La resolución de problemas en la época contemporánea…………... 31
5.3. MARCO TEÓRICO……………………………………………………… 35
5.3.1. Resolución de problemas………………………………………………. 35
5.3.2. La resolución de problemas en la educación matemática………….. 37
5.3.3. Los diversos significados de resolución de problemas……………… 37
5.3.4. Estrategias de resolución de problemas……………………………… 38
5.3.5. Teoría del aprendizaje significativo……………………………………. 39
5.3.6. Aprendizaje por descubrimiento……………………………………….. 43
5.3.7. Etapas del desarrollo cognoscitivo…………………………………….. 44
5.3.8. Ingeniería Didáctica……………………………………………………... 46
5.3.9. Constructivismo social…………………………………………………... 47
9
5.3.10. Educación por Competencias………………………………………….. 49
5.3.11. Importancia de las TIC en la educación..…………………………….. 53
5.3.12. GeoGebra……………………...…………………………………………. 55
5.3.13. Orientación por brújula………………………………………………….. 60
5.3.14. Teorema del seno y el coseno…………………………………………. 64
5.4. MARCO CONCEPTUAL………………………………………………... 69
5.4.1. Qué es un problema.……………………………………………………. 69
5.4.2. Qué es un problema matemático.……………………………………… 69
5.4.3. Trigonometría…………………….………………………………………. 69
5.4.4. Aprendizaje………………………………………………………………. 70
5.4.5. Competencia……………………………………………………………... 70
5.4.6. Aprendizaje por competencias…………………………………………. 70
5.4.7. Lúdica……………………………………………………………………... 70
5.4.8. Las TIC en educación…………………………………………………… 71
6. PROCEDIMIENTOS Y METODOLOGÍA……………………………… 72
6.1. DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN…………………………………….. 73
6.2. TIPOS DE INVESTIGACIÓN…………………………………………… 73
6.2.1. Etapas de la investigación……………………………………………… 73
6.3. TÉCNICAS E INSTRUMENTOS………………………………………. 74
6.4. DELIMITACIÓN DEL TEMA…………………………………………… 76
6.4.1. POBLACIÓN Y MUESTRA…………………………………………….. 76
7. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS………… 80
7.1. ENCUESTA A ESTUDIANTES Y DOCENTE………………………… 80
7.1.1. Análisis de encuesta a estudiantes del grupo experimental………... 80
7.1.2. Encuesta a docente……………………………………………………... 85
7.2. ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE OBSERVACIÓN……………………... 89
7.3. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA PRE- PRUEBA………………. 91
7.4. ANÁLISIS DE RESULTADOS DE LA POST- PRUEBA…………….. 95
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 99
8.1. CONCLUSIONES………………………………………………………. 99
10
8.2. RECOMENDACIONES…………………………………………………. 100
9. PROPUESTA…………………………………………………………….. 101
9.1. PRESENTACIÓN………………………………………………………... 102
9.2. JUSTIFICACIÓN………………………………………………………… 103
9.3. OBJETIVOS……………………………………………………………… 104
9.3.1 Objetivo general…………………………………………………………. 104
9.3.2. Objetivos específicos……………………………………………………. 104
9.4. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA……………………………………….. 105
9.5. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS………………………………….. 107
9.5.1. Plan de clase N° 1……………………………………………………….. 107
9.5.2. Plan de clase N° 2……………………………………………………….. 115
9.5.3. Plan de clase N° 3……………………………………………………….. 122
9.5.4. Plan de clase N° 4……………………………………………………….. 126
9.5.5. Plan de clase N° 5……………………………………………………….. 131
9.6. POST- PRUEBA…………………………………………………………. 138
10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES………………………… 148
10.1 CONCLUSIONES……………………………………………………….. 148
10.2 RECOMENDACIONES…………………………………………………. 149
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….. 151
ANEXOS………………………………………………………………….. 153
11
LISTA DE GRÁFICAS
Gráfica 1: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo experimental
Gráfica 2: Estrato socioeconómico estudiantes del grupo control
Gráfica 3: Género de la muestra
Gráfica 4: Edad de la muestra
Gráfica 5: Estudiantes del grupo experimental con computador en su casa
Gráfica 6: Estudiantes del grupo control con computador en su casa
Gráfica 7: Destrezas en el uso del computador por parte de los estudiantes
Gráfica 8: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo experimental
Gráfica 9: Destrezas en el uso de Microsoft Office en el grupo control
Gráfica 10: Frecuencia de uso del computador por la muestra
Gráfica 11: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo experimental)
Gráfica 12: Conocimiento sobre programas adicionales (grupo control)
Gráfica 13: Tiempo de estudio personal (grupo experimental)
Gráfica 14: Tiempo de estudio personal (grupo control)
Gráfica 15: Frecuencia de la muestra al participar en la clase de matemáticas
Gráfica 16: Asimilación del teorema del seno y el coseno
Gráfica 17: Nivel de interpretación de problemas de aplicación del teorema del
seno y el coseno
Gráfica 18: Nivel de argumentación al utilizar el teorema del seno y el coseno
Gráfica 19: Utilidad del teorema del seno y el coseno en la vida cotidiana
Gráfica 20: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo experimental)
Gráfica 21: Respuesta a un ejercicio de trigonometría (grupo control)
Gráfica 22: Preparación de las clases por parte de los docentes
Gráfica 23: Frecuencia en que los estudiantes pasan al tablero
Gráfica 24: Frecuencia en que el docente expone la aplicación del teorema del
seno y el coseno en la vida diaria
Gráfica 25: Motivación del docente en la aplicación del teorema del seno y el
coseno en la resolución de problemas
12
Gráfica 26: Tipo de evaluación utilizada por el docente
Gráfica 27: Capacitación del docente en la enseñanza de la trigonometría
Gráfica 28: Observación de la clase 1
Gráfica 29: Observación de la clase 2
Gráfica 39: Observación de la clase 3
Gráfica 31: Observación de la clase 4
Gráfica 32: Pregunta 1 (pre-prueba)
Gráfica 33: Pregunta 2 - a (pre-prueba)
Gráfica 34: Pregunta 2 - b (pre-prueba)
Gráfica 35: Pregunta 3 (pre-prueba)
Gráfica 36: Pregunta 4 (pre-prueba)
Gráfica 37: Pregunta 1 (post-prueba)
Gráfica 38: Pregunta 2 (post-prueba)
Gráfica 39: Pregunta 3 (post-prueba)
Gráfica 40: Pregunta 4 (post-prueba)
Gráfica 41: Pregunta 8 (post-prueba)
Gráfica 42: Pregunta 9 (post-prueba)
Gráfica 43: Pregunta 11 (post-prueba)
Gráfica 44: Pregunta 16 (post-prueba)
Gráfica 45: Pregunta 19 (post-prueba)
Gráfica 46: Pregunta 5 (post-prueba)
Gráfica 47: Pregunta 13 (post-prueba)
Gráfica 48: Pregunta 14 (post-prueba)
Gráfica 49: Pregunta 18 (post-prueba)
Gráfica 50: Pregunta 6 (post-prueba)
Gráfica 51: Pregunta 7 (post-prueba)
Gráfica 52: Pregunta 10 (post-prueba)
Gráfica 53: Pregunta 12 (post-prueba)
13
LISTA DE ANEXOS
Anexo 1: Encuesta a estudiantes sobre información primaria
Anexo 2: Encuesta a estudiantes sobre perfil del docente
Anexo 3: Cuestionario para estudiantes
Anexo 4: Encuesta a estudiantes para medir actitudes hacia el docente
Anexo 5: Encuesta para profesores
Anexo 6: Encuesta para el docente para medir actitudes sobre los estudiantes
Anexo 7: Ficha de observación del estudiante en la clase de matemáticas
Anexo 8: Taller diagnóstico 1
Anexo 9: Taller diagnóstico 2
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INTRODUCCIÓN
Desde que Tales, en el siglo VI a. C., midió la altura de las grandes pirámides de
Egipto comparando la longitud de la sombra arrojada por ellas con la de otro
objeto, la realización de mediciones indirectas ha constituido un tema de gran
interés. Paralelamente, todos los currículos de enseñanza media han incluido
estos problemas. La cuestión es que la resolución analítica de triángulos exige
conocimientos de trigonometría que no resultan asequibles para muchos
estudiantes. Así, el actual currículo de matemáticas, basado en el aprendizaje por
competencias, contempla la resolución de triángulos cualesquiera en estudiantes
de décimo grado mediante la enseñanza del teorema del seno y el coseno.
La experiencia de este trabajo plantea y resuelve problemas prácticos sobre
resolución de triángulos cualesquiera tomados de la vida cotidiana (altura de
edificios, anchura de un río...) mediante un método que enlaza la enseñanza por
competencias con las nuevas tecnologías. Para ello, los discentes toman medidas
de ángulos con el transportador (como suele hacerse tradicionalmente) y con la
brújula al momento de estar en un espacio al aire libre; medidas de lados con una
cinta métrica o con sus propios pasos. Además realizan una representación a
escala en el ordenador, con GeoGebra, y utilizan esta representación para
deducir las magnitudes buscadas. El resultado es un método atractivo, asequible a
la mayoría de los estudiantes, que fortalece los cálculos trigonométricos por
construcciones gráficas en el ordenador.
El interés de la experiencia se potencia por el hecho de que durante su desarrollo
ha dado lugar a la utilización de herramientas que fomentan el interés y el
aprendizaje significativo del teorema del seno y el coseno en décimo grado.
15
La monografía que se presenta a continuación ha sido desarrollada durante los
años 2009-2010 en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría de
la ciudad de Barranquilla, con estudiantes de décimo grado.
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1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
En observaciones realizadas en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe
y Alegría, entidad de educación básica y media formal, de carácter público y nivel
socioeconómico medio-bajo, situado en la ciudad de Barranquilla, Departamento
del Atlántico, Colombia, se han detectado dificultades en el aprendizaje por
competencias (interpretativa, argumentativa y propositiva) en décimo grado al
momento de abordar el teorema del seno y el coseno.
Los educandos presentan deficiencias en la comprensión de un problema de la
vida cotidiana sobre resolución de triángulos. Esto se afirma por el hecho de que
algunos estudiantes, al plantearles un problema de manera escrita, al momento de
su lectura, ellos confunden conceptos inmersos en el texto, como los de ángulo de
elevación, de depresión, catetos, entre otros. Por otra parte, hay estudiantes que
logran entender el sentido de los problemas pero se les hace complicado
representar matemáticamente expresiones como: “el ángulo es el suplemento
de…”, “el lado opuesto al ángulo α es…”, entre otras.
De igual manera se encuentra que a los estudiantes se les dificulta interiorizar
conceptos fundamentales para la trigonometría, como el teorema de Pitágoras, la
congruencia de triángulos, etc., tanto así que, los que tienen a la mano estos
conceptos, no argumentan de manera clara las razones por las cuales se plantean
fórmulas para la solución de problemas de trigonometría. Además, para el
estudiante es lenta la manera de encontrar la forma de aplicarlas en la resolución
de un taller en clase o en una situación de la vida cotidiana.
Por lo tanto, el proceso de enseñanza y aprendizaje del teorema del seno y el
coseno no está arrojando resultados satisfactorios en los estudiantes de décimo
17
grado de esta institución, haciendo que éstos requieran orientación adicional para
resolver situaciones problemas basados en estos teoremas.
De esta manera se hace necesario encontrar las razones que originan la lenta
asimilación en el aprendizaje del teorema del seno y el coseno como concepto
nuevo, para luego implementar estrategias que dinamicen los procesos de
enseñanza y aprendizaje en las aulas educativas, tomando como base situaciones
problemas encaminados a la realidad y aplicables a la vida cotidiana, teniendo en
cuenta el entorno en que se mueven, facilitando así el aprendizaje y afianzando
los conocimientos adquiridos.
En conclusión, hay deficiencias en el aprendizaje por competencias del teorema
del seno y el coseno. Por lo tanto se ha planteado para su estudio el siguiente
interrogante:
¿Cómo incide en los estudiantes de décimo grado de la Institución Educativa
Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, la falta de f undamentación relacionada
con los teoremas del seno y del coseno, cuando se e nfrentan a situaciones
que requieren su uso para solucionarlas?
18
2. JUSTIFICACIÓN
La trigonometría es una rama muy importante y de mucha utilidad en las
matemáticas, del cual el teorema del seno y el coseno es parte esencial para
resolver problemas de la vida cotidiana de medición de triángulos. Éstos requieren
de un dominio profundo y así poder abordar sin muchas dificultades conocimientos
de mayor rigor como son la geometría analítica y el cálculo. Por lo tanto, el
problema de aprendizaje de este tema debe solucionarse para evitar tropiezos de
los estudiantes en el futuro académico.
Es muy común observar en nuestro medio escolar estudiantes de décimo grado
que presenten este tipo de dificultades. La falta de interiorización del teorema del
seno y el coseno provoca que haya un vacío en el conocimiento integral del
estudiante, debido a que no sólo se impide el avance en las matemáticas sino
también en la física.
De acuerdo con los estándares en matemáticas, mediante un problema de
aplicación de los conceptos de trigonometría se puede fomentar el desarrollo del
pensamiento variacional del estudiante. Por lo tanto, al no superar esta temática
(el teorema del seno y el coseno), éstos no cumplirán las características de una
persona formada integralmente en el área de matemáticas.
Para el docente también es muy importante darle solución a este problema debido
a que, al hallarlo, podrá implementar estrategias precisas que servirán para que el
estudiante pueda tener un aprendizaje adecuado de las matemáticas, en este
caso, el estudio del teorema del seno y el coseno.
Además hace parte de la formación en conocimientos fundamentales que el
estudiante pueda ser capaz de resolver problemas de la vida cotidiana en el cual
19
sea necesario usar el teorema del seno y el coseno, por lo cual la solución de este
problema le facilitará su inmersión en el mundo de formación profesional, en su
carrera universitaria.
En consecuencia, acercarnos a la solución de este problema, reviste particular
relevancia e importancia en el seno de la Institución Educativa Distrital Jesús
Maestro Fe y Alegría, para los docentes de matemáticas y muy especialmente a
los promotores de este trabajo. De ahí, los hallazgos de la investigación dan lugar
a relacionar estos conocimientos con el justo valor o uso social de las
matemáticas, por cuanto será fuente motivadora para abrir espacios de
aprendizaje a partir de los estudiantes.
PREGUNTAS SUBYACENTES
� ¿Cuál es el entorno en que se desenvuelven los estudiantes de décimo
grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con
respecto a la clase de matemáticas?
� ¿Cuáles son las características de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría?
� ¿Qué mediaciones se están implementando para la enseñanza del teorema
del seno y el coseno en décimo grado de la Institución Educativa Distrital
Jesús Maestro Fe y Alegría?
� ¿Cómo relacionan los estudiantes de décimo grado de la Institución
Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría el teorema del seno y el
coseno con la vida diaria?
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� ¿Cuáles son los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes de
la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al comprender y
resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
� ¿Cuáles son los aciertos y errores más frecuentes que cometen los
estudiantes de décimo grado cuando intentan comprender y resolver
problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
� ¿Qué conceptos previos se requieren por parte de los estudiantes de
décimo grado para el dominio de las competencias en el teorema del seno
y el coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y
Alegría?
21
3. OBJETIVOS
3.1 OBJETIVO GENERAL
Determinar la incidencia de la falta de fundamentación relacionadas con el
teorema del seno y del coseno en los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, cuando se enfrentan a
situaciones que requieren su uso para solucionarlas.
3.2 OBJETIVOS ESPEFÍFICOS
� Describir el entorno en el cual se desenvuelven los estudiantes de décimo
grado de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría con
relación al ambiente de la clase de matemáticas.
� Describir las características de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.
� Describir mediante observaciones directas y entrevistas, la metodología
utilizada por el docente en el desarrollo de los procesos de enseñanza del
teorema del seno y el coseno con los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.
� Analizar la relación que los estudiantes tienen entre el teorema del seno y el
coseno y la vida diaria.
� Caracterizar los métodos, procedimientos que emplean los estudiantes al
comprender y resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el
coseno.
22
� Clasificar los aciertos y errores de los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría al momento de
resolver problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno.
� Identificar los conceptos previos que requieren los estudiantes de décimo
grado para el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el
coseno en la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría.
23
4. MARCO LEGAL
Esta investigación está enmarcada de acuerdo a la Ley General de Educación,
Ley 115, Febrero 8 de 1994, artículo 5, sobre los fines de la educación,
especialmente el séptimo (7) que menciona “El acceso al conocimiento, la ciencia,
la técnica y demás bienes de la cultura, el fomento por la investigación y el
estímulo a la creación artística en sus diferentes manifestaciones” y el noveno (9)
fin que establece “El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que
fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con prioridad al
mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la población, a la participación
en la búsqueda de alternativas de solución a los problemas y al progreso social y
económico del país”.
Se señalan estos dos fines de la educación porque el papel del docente en el área
de las Matemáticas con el uso de la tecnología e informática al mismo de la gran
responsabilidad de formar estos valores mencionados arriba en sus estudiantes
para el progreso social y económico del país. Estos valores como el fomento de la
investigación, la participación y la búsqueda de soluciones a los problemas de mi
contexto social, el docente debe vincularlos en proyectos pedagógicos donde el
educando participe y cree una conciencia social y productiva que ayuden a
solucionar problemas del entono social.
24
5. MARCO REFERENCIAL
5.1 ANTECEDENTES BIBLIOGRÁFICOS
Al consultar en forma específica trabajos relacionados con estrategias para facilitar
el aprendizaje del teorema del seno y el coseno y elaborados por competencia no
se encontró material bibliográfico que vincule a estos dos aspectos en el contexto
de la facultad de ciencias de la educación de la Universidad del Atlántico, sin
embargo se pudo encontrar dos investigaciones relacionadas con temas de
trigonometría. Estas son:
1) “Propuesta para el aprendizaje de la solución de problemas de triángulos
rectángulos a partir de las funciones trigonométricas en décimo grado del Instituto
Pestalozzi Nocturno”, por Luís Armando Becerra Vásquez, Augusto César
Jiménez Polo y Rodolfo Rafael Pérez Flórez, año 2000. Este trabajo pretende ser
un aporte pedagógico para superar las dificultades encontradas en el aprendizaje
de la solución de problemas de triángulos rectángulos a partir de las funciones
trigonométricas en décimo grado. Para tal fin se diseñó una propuesta
metodológica basada en el taller y el trabajo grupal, el cual consta de
coordinadores de grupo y un coordinador general como herramienta para el
mejoramiento del aprendizaje del tema en cuestión que permitirá integrar en un
solo proceso tres instancias como son la docencia, la investigación y la práctica.
Además se hizo una encuesta a 24 estudiantes de décimo grado del Instituto
Pestalozzi Nocturno que consistía en 17 preguntas con tres ítems de respuestas
exactas, aplicada antes de realizar la propuesta metodológica con el grupo.
25
2) “Incidencia de la evaluación cualitativa en el aprendizaje de las razones
trigonométricas” por José Brito Pinto, Oscar Cortes Martínez y Ricardo Gutiérrez
Becerra. Este trabajo contiene la fundamentación teórica, metodológica y los
logros del proceso de investigación relacionados con la incidencia de la evaluación
cualitativa en el aprendizaje de las razones trigonométricas en el grado décimo. El
problema de investigación se basa en la necesidad de indagar los factores de la
evaluación por procesos que pueden ser determinantes en el aprendizaje de las
razones trigonométricas en el contexto del área de matemática.
La investigación permitió concluir que la falta de iniciativa y de motivación por
parte de los estudiantes y una inadecuada utilización de los instrumentos y medios
evaluativos generó un ambiente desfavorable en los procesos de enseñanza
aprendizaje de las razones trigonométricas, por lo cual el grupo investigador
recomienda la implementación de una metodología constructivista, en el contexto
de una pedagogía activa que genere en los educandos el deseo de analizar,
razonar, deducir y aplicar los conceptos de las razones trigonométricas. Como
consecuencia de la investigación se presenta la siguiente propuesta: Talleres
procesales para el aprendizaje de las razones trigonométricas.
26
5.2 ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La resolución de problemas matemáticos es el punto clave de la actividad
matemática. Su estudio a lo largo de los años muestra su inseparable relación con
los procesos de enseñanza y aprendizaje de la propia matemática. Sin embargo
esta resolución de problemas se ha convertido en un obstáculo en los estudiantes
de todos los niveles, del cual ha surgido la necesidad de investigar estos
obstáculos.
A continuación se abordará la evolución de la resolución de problemas
matemáticos desde una perspectiva histórico-didáctica, tomando como guía cuatro
etapas fundamentales: la Antigüedad, partiendo desde el 2000 a. C. hasta la caída
del Imperio Romano en el siglo V d. C; se sigue con la Edad Media, hasta el siglo
XV; luego la Era Moderna, que finaliza con la alborada del siglo XX; y se concluye
en la época Contemporánea. De esta manera, se ubicará el tema de esta
investigación en una de ellas.
5.2.1 La resolución de problemas en la antigüedad
De la lectura de un documento histórico se puede inferir que la finalidad
fundamental de los problemas matemáticos propuestos era preparar al hombre
para el cálculo. El autor proclamaba muy orgulloso “Sé sumar y restar a la
perfección, soy diestro en calculo y en contabilidad”. Muchos autores coinciden en
plantear que fue el matemático griego Herón, quien vivió en Alejandría
aproximadamente entre los siglos II y I a. C., el primero en incluir ejercicios con
texto en sus trabajos; sin embargo, se conocen, de hecho, algunos textos
matemáticos escolares más antiguos. Estos textos son de dos tipos: de tablas y de
problemas; estos últimos proponen, por ejemplo, este “problema tipo”, hallado en
un papiro egipcio de mediados del segundo milenio: En una pirámide el lado tiene
140 codos y la inclinación es de 5 palmos y 1 dedo por codo. ¿Cuál es la altura?
27
Los textos matemáticos en su generalidad se inician con una exposición del
problema matemático que se trata de resolver, y los datos se representan como
cifras concretas y no como variables abstractas. Sigue a la exposición del
problema la forma de ir solucionándolo paso por paso, para llegar finalmente al
resultado. Cada nuevo paso se basa en el resultado de un paso anterior, o bien en
uno de los datos facilitados al principio. El “alumno” quedaba así capacitado para
resolver cualquier otro problema del mismo tipo que pudiera presentársele.
Además, estos problemas solían reagruparse de modo que las técnicas
aprendidas pudieran aplicarse inmediatamente en otros casos. Según Boyer: “los
cientos de problemas de tipos muy parecidos que aparecen en las tablillas
cuneiformes tienen todo el aspecto de ser ejercicios que debían resolver los
escolares siguiendo ciertos métodos conocidos o reglas generales.”1
Al penetrar en la Grecia se conoce que el cálculo se enseñaba en la escuela
elemental y, al igual que los textos babilonios o egipcios, los problemas planteados
se refieren explícitamente a una situación concreta, incluso esta es muchas veces
un artificio con fines pedagógicos. Se puede plantear que la aparición de escuelas,
algunas de las cuales llegaron a ser muy reconocidas, se debieron a iniciativas
individuales; así, los dos grandes filósofos atenienses de fines del siglo V y
primera mitad del IV antes de nuestra era, Sócrates (470-399 a. C) y Platón (428-
347 a. C), fundan sus propias escuelas.
Sócrates veía las matemáticas como instrumento indispensable para formar
mentes “bien hechas”. Para Platón, dicha ciencia debe servir de introducción al
estudio de la Filosofía, mientras que a la vez pretendía que esos conocimientos
matemáticos sirvieran como base a un proyecto de reformas políticas. De todos es
1 BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 66
28
conocida la importancia que concedió Platón al estudio de las Matemáticas, en
especial a la enseñanza de la Geometría, y cómo la utiliza desde su posición de
idealista objetivo.
A Platón se le debe la concepción actual de los objetos matemáticos al señalar:
“los razonamientos que hacemos en geometría no se refieren a las figuras visibles
que dibujamos, sino a las ideas absolutas que ellas representan.”1 También
aprecia la importancia de la resolución de problemas, así, en su obra “La
República” plantea que si se quiere desarrollar la inteligencia es preciso proceder
como se hace en Geometría, por medio de problemas.
En resumen, en la Antigüedad se percibe un sentido utilitario de la matemática
prehelénica frente a una óptica cosmológica de la griega, donde en ésta la
instrumentación de las concepciones giran en torno a la comprensión de los
elementos que componen el orden existencial del hombre y su medio, aspecto que
responde a las características propias del desarrollo de la ciencia y de la
cosmovisión humana en relación con la existencia. Es, en estos casos, la
resolución de problemas matemáticos un vehículo socio-clasista de dominación en
manos de los que ostentaban el poder.
5.2.2 La resolución de problemas en la Edad Media
En la Edad Media, en la India, entre los siglos V-VII, las Matemáticas alcanzan un
gran esplendor y su desarrollo estuvo ligado íntimamente con matemáticos de
relieve como Aryabhata, Brahmagupta y Bháskara. Los principales aportes de
estos notables científicos se pueden exponer en la resolución completa de la
ecuación de segundo grado, la resolución de las ecuaciones indeterminadas y su
aplicación a la solución de problemas prácticos. Además, al igual que los
“Elementos” del griego Euclides, en el que se sintetizó gran parte de la matemática
1 BOYER, Carl B. Historia de la Matemática, 1986, p. 125
29
de su época, los conocimientos de esta etapa fueron recogidos por Bháskara en el
siglo VII en su obra capital titulada “Sidhanta Ciromani”. El desarrollo matemático
adquirió gran relevancia en el Mundo Árabe.
En la Edad Media en Europa, el objetivo de la enseñanza era conocer el orden del
universo y la esencia de las cosas, sin importarles la preparación del hombre para
la vida en la sociedad. Con el surgimiento de las universidades, los procedimientos
seguidos por los profesores en casi todas partes eran los mismos; no se acudía a
las fuentes originales, el docente leía un manual y luego se centraba en su
discusión y debate. En esos tiempos ya existían grupos de graduados de las
diferentes universidades que compartían el ejercicio de las Matemáticas: por un
lado, los agrimensores, ingenieros y contables y, por otro, los médicos y
astrólogos, que gozaban de una situación social superior; los del primer grupo,
dentro de sus enseñanzas, enfatizaban en la resolución de problemas prácticos,
ofreciendo determinados modelos para algunas situaciones especificas.
En el siglo XIV, en Europa, los cambios económicos así como el desarrollo de las
ciudades y el comercio van a favorecer el ascenso social de los matemáticos
prácticos, puesto que los intercambios comerciales cada vez más complejos
exigían técnicas idóneas de cálculo y contabilidad. Existían en esos momentos
tratados donde se exponían reglas para la solución de problemas específicos
relacionados principalmente con las tasas de interés, los cambios, la circulación y
el peso de las monedas, o la repartición de los beneficios. En los tratados estos
métodos solían presentarse en forma de casos concretos, integrándose en un
contexto totalmente práctico.
La influencia de las interpretaciones escolásticas como instrumento para la
generalización de la fe, durante la Edad Media, hacen que la dirección formativa
de la resolución de problemas matemáticos evidencie una concepción teológica
donde los procedimientos matemáticos constituyen un elemento básico en la
30
multiplicidad existencial del hombre, evidenciando el rigor de un ordenamiento
que, independientemente de la multiplicidad factorial que lo compone, confluyen
en la existencia de una causa universal que descansa en la idea de Dios.
5.2.3 La resolución de problemas en la época modern a
La actividad matemática de esta época fue marcada por el filósofo y matemático
francés René Descartes (1596-1650), quien fue el fundador del racionalismo. Éste
se formó como resultado de interpretar de manera unilateral el carácter lógico del
conocimiento matemático, dado que la naturaleza universal y necesaria de este
conocimiento le parecía a Descartes derivada de la naturaleza del intelecto mismo.
El matemático asignó dentro del proceso de conocimiento un papel significativo a
la deducción, basada en axiomas, alcanzables por vía intuitiva. Para obtener el
conocimiento, él creía necesario ponerlo todo en duda, salvo la cognoscibilidad
misma; este principio se manifiesta en su máxima: “pienso, luego existo”.
Considera Polya que las palabras siguientes de Descartes describen el origen de
las Reglas: “Cuando, en mi juventud, oí hablar de invenciones ingeniosas, trataba
de saber si no podría inventarlas yo mismo, sin incluso leer al autor, así advertí
que me conformaba a ciertas reglas.”1
La utopía de su gran proyecto descansaba sobre un plan muy simple: Fase I:
reducir cualquier problema algebraico a la resolución de una ecuación simple.
Fase II: Reducir cualquier problema matemático a un problema algebraico. Fase
III: Reducir cualquier problema a un problema matemático. El primer libro culmina
con las reglas IX-XII, que ayudan a consolidar el conocimiento. Enfatiza la
necesidad de profundizar en las cuestiones más simples; en la importancia de la
ejercitación; en la búsqueda de relaciones entre proposiciones simples; y en el
empleo óptimo de cuatro facultades: la inteligencia, la imaginación, los sentidos y
1 POLYA, George. How to Solve it. Princeton University Press,1945, p. 109
31
la memoria. Respecto a las facultades empleadas en el conocimiento, Descartes
destaca que sólo la inteligencia puede percibir la verdad, pero no debe dejar de
ayudarse del resto de las facultades señaladas.
En el siglo XVIII resulta necesario destacar al suizo L. Euler (1707-1783), quien no
llegó a plantear explícitamente, como Descartes, un conjunto de reglas para
abordar los problemas. El mérito fundamental radica en la educación heurística
manifestada en su práctica pedagógica. Según testimonios de Condorcet
(matemático contemporáneo con Euler): “Euler prefería instruir a sus alumnos con
la pequeña satisfacción de sorprenderlos. Él pensaba no haber hecho bastante
por la ciencia si no hubiese añadido a los descubrimientos la íntegra exposición de
las ideas que le llevaron a ellos.”1
De acuerdo a lo anterior, la resolución de problemas en el ámbito de la
modernidad condiciona una perspectiva donde el hombre y su personalidad,
constituyen el centro de la problemática. La propia perspectiva humanista de la
ciencia advierte la necesidad de acrecentar la preocupación por el hombre en la
relación con sus similares y la sociedad, donde los procedimientos matemáticos
constituyen alternativas para satisfacer las demandas humanas e incrementar el
éxito de la humanidad en el proceso de adaptación secular, social y cultural.
5.2.4 La resolución de problemas en la época contem poránea
En la alborada del siglo XX aparecen los aportes del matemático francés H.
Poincaré (1854-1912), que consideraba que las leyes de la ciencia no pertenecen
al mundo real, sino que constituyen acuerdos convencionales para hacer más
cómoda y útil la descripción de los fenómenos correspondientes.
En su “Fundations of Science” (1913), Poincaré dedica un apartado al análisis de
la creación de los conceptos matemáticos. Esta sección recibió el título de 1 POLYA, George. Variable Compleja. Ed. Limusa, 1976, p. 66
32
Creación Matemática, y había aparecido originalmente en una publicación
francesa de 1908 (“Science et Méthode”). Lo más estimable en esta obra es la
distinción que su autor hace respecto al acto creativo, destacando cuatro fases:
Saturación (actividad consciente que implica trabajar en el problema hasta donde
sea posible); Incubación (el subconsciente es el que trabaja); Inspiración (la idea
surge repentinamente, “como un flash” según Poincaré) y Verificación (chequear la
respuesta hasta asegurarse de su veracidad).
Otra importante contribución fue realizada por J. Hadamard (1865-1963) en su
libro “An essay on the psychology of invention in the mathematical field”, publicado
en 1945. Este matemático propone un esquema algo más exhaustivo para explicar
el proceso de creación matemática. Sus fases son las siguientes:
Documentación (informarse, leer previamente, escuchar, discutir); Preparación
(realizar un proceso de ensayo-error sobre diferentes vías e hipótesis,
considerando un cambio eventual de actividad en caso de no obtener ningún
progreso); Incubación (al cambiar de actividad); Iluminación (ocurre la idea
repentina); Verificación (la idea debe someterse al análisis y comprobación, al
juicio crítico); Conclusión (ordenación y formulación de los resultados).
Salvando sus limitaciones idealistas estas ideas son bastante progresistas. Por
primera vez se intentaba explorar los fenómenos que ocurren en el cerebro
humano, durante la resolución de problemas. Ya no se trataba de describir ciertas
reglas para conducir el pensamiento, sino de estudiar el pensamiento mismo.
Resulta certero plantear que ya Hadamard comprendió la necesidad de encarar el
proceso de resolución de problemas desde la perspectiva matemática y
psicológica cuando expresó:
“... este asunto envuelve dos disciplinas, Psicología y Matemática, y requerirá ser
tratada adecuadamente en ese orden, por ambos, tanto por el psicólogo como por
33
el matemático. Por la falta de esta composición, el asunto ha sido investigado por
los matemáticos por un lado y por los psicólogos por el otro...”1
En materia de resolución de problemas es normal que los historiadores y
estudiosos dividan sus análisis en dos etapas, claramente delimitadas por el año
1945, año en que salió a la luz “How to Solve It”, del matemático y pedagogo
húngaro George Polya. La obra didáctica de Polya nace en el prefacio del trabajo
“Aufgaben und Lehrstze auf der Analysis” del cual fue coautor. En las indicaciones
sobre el uso de este libro los autores revelan una breve recomendación, a fin de
lograr un pensamiento productivo. Ellos señalan:
“Reglas generales, capaces de prescribir detalladamente la más útil disciplina del
pensamiento, no son conocidas por nosotros. Sin embargo, si tales reglas
pudieran ser formuladas, ellas no serían muy útiles; uno tiene que asumirlas en
carne y hueso y tenerlas listas para un uso inminente. La resolución independiente
de problemas difíciles ayudará al estudiante mucho más que los aforismos que él
sigue, aunque para un comienzo estos puedan no dañarlo”2.
Schoenfeld (1987) señala que en “How to Solve It” Polya no se contenta con este
simple aforismo, así que realiza un estudio introspectivo del método cartesiano. De
esta obra hay que destacar un aporte fundamental: el aislamiento de cuatro fases
claramente identificables durante el proceso de resolución de problemas:
Comprensión del problema; Concepción de un plan; Ejecución del plan; y Visión
retrospectiva. En cada una Polya propone una serie de reglas heurísticas bastante
sugerentes, pero lo más notorio, en primer lugar, consiste en que la mayoría de
ellas van dirigidas a la segunda fase. El propio Polya señala: “De hecho, lo
esencial de la solución de un problema es concebir la idea de un plan.”(Polya, G.
1976, p.30).
1 HADAMARD, Jacques. The Psychology of Invention in the Mathematical Field. Princeton University Press, 1945. p. 1 2 POLYA, G. y SZEGO, G. Problems And Theorems In Analysis. Ed. Springer, 1998, p. 11
34
A pesar de que “How to Solve It” marcó un hito en el campo de la Didáctica de la
Matemática, en su fecha de aparición no causó gran impacto, ya que los currículos
escolares estaban fuertemente influenciados por los asociacionistas, los cuales
adoptaban un aprendizaje por repetición. Aún así, Polya continuó su obra y en
1954 publicó en la misma dirección “Mathematics and Plausible Reasoning”. Sin
embargo, no es hasta la década de los ochenta que se toman en cuenta, en los
EE.UU., para su instrumentación en el contexto del aula las ideas de Polya, sobre
todo lo concerniente a las etapas en el proceso de resolución de problemas.
En el campo de la Didáctica de la Matemática aparecieron diferentes criterios en
relación con lo que es un problema, al aparecer, en muchos casos, por la
interferencia semántica mezclado con el término “ejercicio”. La escuela de
Didáctica de las Matemáticas de la antigua R.D.A elaboró una clasificación de los
ejercicios, tomando como base el grado de abstracción en el reflejo de los
elementos y relaciones. Como concepto superior tomó los ejercicios matemáticos
propuestos a los alumnos, los cuales se subdividen en dos conceptos
subordinados: ejercicios de aplicación (los que tienen su origen en la práctica) y
ejercicios construidos (aquellos que se conciben con fines didácticos, o sea, para
ejercitar, profundizar, aplicar, asegurar las condiciones previas, entre otros).
A modo de resumen, en el ámbito de la contemporaneidad perpetúa la asunción
logológica constituyendo el elemento directriz de las pretensiones formativas
cimentadas en la resolución de los problemas matemáticos, pero esta vez las
asunciones didácticas tienden al análisis del rol dinámico y activo de los sujetos
cognoscentes como solucionadores de problemas, a partir de la preocupación, no
solo por problemas relacionados con la enseñanza, sino también por cuestiones
que abordan el fenómeno del aprendizaje y su significación; factores estos
devenidos en un conjunto de modelos que, aunque no resuelven en su totalidad
los problemas existentes, condicionan una mayor racionalidad a las intenciones
formativas y didácticas de la Matemática.
35
5.3 MARCO TEÓRICO
En la actualidad, de acuerdo al ICFES, se mantienen unos parámetros para tener
en cuenta en el Programa de Matemáticas en décimo grado: “En lo referente a la
geometría, en este nivel (décimo a undécimo grado) juega un papel importante el
identificar propiedades de las curvas, resolver problemas en donde se usen
propiedades de las cónicas, describir y modelar fenómenos periódicos usando
relaciones y funciones trigonométricas y usar argumentos geométricos para
formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias”1.
En el siguiente apartado se dan a conocer las bases teóricas que dan sustento al
presente trabajo, tales como:
5.3.1 Resolución de Problemas
La resolución de problemas se caracteriza por ser un procedimiento didáctico que
permite no sólo el aprendizaje de hechos y técnicas, sino, al mismo tiempo, de
estructuras conceptuales y estrategias generales. Así, según Dijkstra (1991), la
resolución de problemas es un proceso cognitivo que involucra conocimiento
almacenado en la memoria a corto y a largo plazo.
En otras palabras, la resolución de problemas consiste en un conjunto de
actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de
naturaleza cognitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado
se debe transformar mentalmente metro a centímetros, esta actividad seria de tipo
cognoscitiva. Si se pregunta de cuán seguros se está que las respuestas que se
da sean correctas, tal actividad seria de tipo afectiva, mientras que resolver el
problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución,
podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual.
1 ACEVEDO, Myriam. Fundamentación conceptual área de Matemáticas. ICFES. Bogotá, Mayo 2007. p 29
36
Según André1 el proceso de solución de problemas puede describirse a partir de
los elementos considerados a continuación:
o Una situación en la cual se quiere hacer algo, pero se desconoce los pasos
para alcanzar lo que se desea.
o Un conjunto de elementos que representa el conocimiento relacionado con
el problema.
o El solucionador de problema o sujeto que analiza el problema, sus metas y
datos y se forma una representación del problema en su sistema de
memoria.
o El solucionador de problema que opera sobre la representación para
reducir la discrepancia entre los datos y metas. La solución de un problema
está constituida por la consecuencia de operaciones que pueden
transformar los datos en metas.
o Al operar los datos y las metas, el solucionador de problemas utiliza o
puede utilizar los siguientes tipos de información.
• De esquemas o producciones
• Procedimientos heurísticos
• Algoritmos
o El proceso de operar sobre una representación inicial con el fin de
encontrar una solución de problemas, se denomina búsqueda. Como parte
del proceso de búsqueda de la solución, la representación puede
transformarse en otras representaciones.
o La búsqueda continúa hasta que se encuentra una solución o el
solucionador de problemas se da por vencido.
1 ANDRÉ, T. Problem Solving and Education. En G. Phye y T. André (Eds.). Cognitive Classroom Learning. Understanding, Thinking and Problems Solving. New York, Academic Press. 1896
37
5.3.2 La resolución de problemas en la educación ma temática
Existe un acuerdo general en aceptar la idea de que el objetivo primario de la
educación matemática debería ser que los estudiantes aprendan matemática a
partir de la resolución de problemas. Sin embargo, dadas las múltiples
interpretaciones del término, este objetivo difícilmente es claro.
En efecto, el término resolución de problemas ha sido usado con diversos
significados, que van desde trabajar con ejercicios rutinarios hasta hacer
matemáticas profesionalmente; significados que en muchos casos llegan a ser
contradicciones, como se describen brevemente a continuación:
5.3.3 Los diversos significados de resolución de p roblemas
Resolver problemas como contextos:
Desde una concepción, los problemas son utilizados como vínculos al servicio de
otros objetos curriculares, jugando cinco roles principales:
• Como una justificación para enseñar matemática: al menos algunos
problemas relacionados con experiencia de la vida cotidiana son
involucrado en la enseñanza para mostrar el valor de la matemática.
• Para promover especial motivación a ciertos temas: los problemas son
frecuentemente usados para introducir temas, con el convencimiento
implícito o explicito de que favorecerá el aprendizaje de un determinado
contenido.
• Como actividad recreativa: muestra que la matemática puede ser “divertida”
y que hay usos entretenidos para los conocimientos matemáticos.
38
• Como medio para desarrollar nuevas habilidades: se cree que,
cuidadosamente secuenciados, los problemas pueden proporcionar nuevas
habilidades a los estudiantes y proveer el contexto para discusiones
relacionadas con algún tema.
• Como práctica: la mayoría de las tares matemáticas en la escuela cae en
esta categoría. Se muestra una técnica a los estudiantes y luego se
presentan problemas de práctica hasta que se ha dominado la técnica.
Resolver problemas como habilidad:
La mayoría de los desarrollos curriculares que ha habido bajo el término de
resolución de problemas a partir de la década de los 80 son de este tipo.
La resolución de problemas es frecuentemente vista como una de tantas
habilidades a ser enseñanza en el currículum. Esto es, resolver problemas no
rutinarios es caracterizado como una habilidad de nivel superior, a ser adquirida
luego de haber resuelto problemas rutinarios (habilidad que a su vez es adquirida
a partir del aprendizaje de conceptos y habilidades matemáticas básicas).
Resolver problemas es “hacer matemática”
Hay un punto de vista particularmente matemático a cerca del rol que los
problemas juegan en la vida de aquellos que hacen matemática; consiste en creer
que el trabajo de los matemáticos es resolver problemas y que la matemática
realmente consiste en problemas y soluciones.
5.3.4 Estrategias de resolución de problemas
Las estrategias se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los
solucionadores para pensar sobre la representación de las metas y obtener una
solución.
39
Debido a esto, varios investigadores han analizado la actividad de resolución de
problemas y señalan que tal actividad es un proceso que involucra una serie de
etapas, razón por la cual se viene investigando sobre las fases en la resolución de
problemas. Es así como Wallas (1926) señala que éstas incluyen:
• La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema,
intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al
problema.
• La incubación, es la fase en la cual el resolutor analiza el problema de
manera inconsciente.
• La inspiración, es la fase en la cual la solución al problema surge de
manera inesperada.
• La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución.
Otros autores (André, 1986; Hayes, 1.981) señalan que las etapas en la
resolución de problemas sirven para enfatizar el pensamiento consciente y para
aproximarse analíticamente a la solución, así como también para ofrecer una
descripción de las actividades mentales de la persona que resuelve el problema.
5.3.5 Teoría del aprendizaje significativo
La propuesta de David Ausubel (1973), está centrada en el aprendizaje producido
en un contexto educativo, es decir, en el marco de una situación de interiorización
o asimilación, a través de la instrucción. Esta teoría se ocupa de los procesos de
aprendizaje–enseñanza de los conceptos científicos a partir de los conceptos
previamente formados por el discente en su vida cotidiana.1
Ausubel plantea que el “aprendizaje del estudiante depende de la estructura
cognitiva previa que se relaciona con la nueva información, debe entenderse por
1 POZO, Juan Ignacio. Teorías cognitivas del aprendizaje 3ra edición. Ed. Marota,1996
40
estructura cognitiva, al conjunto de conceptos, ideas que un individuo posee en un
determinado campo del conocimiento”1.
David Ausubel, considera que la estructura de conocimiento de las personas está
formada principalmente por conceptos y múltiples relaciones que se producen en
esta estructura mental, es decir, el aprendizaje, se produce a través de un
proceso que define como Aprendizaje Significativo.
En el proceso de orientación del aprendizaje, es de vital importancia conocer la
estructura cognitiva del estudiante; no sólo se trata de saber la cantidad de
información que posee, sino cuáles son los conceptos y proposiciones que maneja
así como de su grado de estabilidad.
Las condiciones que favorecen la construcción del aprendizaje significativo son:
• Los contenidos que se propone el estudiante debe tener significado en sí
mismo.
• El estudiante debería comprender, desde el principio con suficiente
claridad, lo que trata de hacer.
• Además, es necesario que la tarea que se presenta sea considerada
atractiva e interesante, para que el discente entienda que con su
aprendizaje pueda cubrir una necesidad propia e importante.
Pero en la construcción del aprendizaje significativo, no basta con estructurar los
contenidos, y además que la materia de estudio sea significativa por sí misma,
sino que también es necesario que la estructura cognitiva del discente disponga,
de los conocimientos previos que sirva de enlace con el nuevo contenido que se
propone aprender2.
1 AUSUBEL, D. P. NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Psicología Educativa, Un punto de vista cognoscitivo. Trías Ed. , México. 1983 2GARCÍA, Eduardo. Psicología Cognitiva. La teoría del aprendizaje significativo(David Ausubel) 2003-2006
41
Tomando como base lo anterior, se hace necesario conocer la estructura cognitiva
del estudiante en cuanto a su forma de razonar matemáticamente, empleando
estrategias que ayuden a fortalecer el razonamiento lógico y que de esta manera
adquiera sentido y aplicación en la vida de los educandos.
Un aprendizaje es significativo cuando los contenidos son relacionados de modo
no arbitrario y sustancial (no al pie de la letra) con lo que el estudiante ya sabe.
Por relación sustancial y no arbitraria se debe entender que las ideas se
relacionan con algún aspecto existente específicamente relevante de la estructura
cognoscitiva del alumno, como una imagen, un símbolo ya significativo, un
concepto o una proposición.
Esto quiere decir que en el proceso educativo, es importante considerar lo que el
individuo ya sabe de tal manera que establezca una relación con aquello que debe
aprender. Este proceso tiene lugar si el educando tiene en su estructura cognitiva
conceptos, ideas, estables y definidos, con los cuales la nueva información puede
interactuar.
El aprendizaje significativo ocurre cuando una nueva información "se conecta" con
un concepto relevante pre- existente en la estructura cognitiva, esto implica que,
las nuevas ideas, conceptos y proposiciones pueden ser aprendidos
significativamente en la medida en que otras ideas, conceptos o proposiciones
relevantes estén adecuadamente claras y disponibles en la estructura cognitiva del
individuo y que funcionen como un punto de "anclaje" a las primeras.
Es por esto que la enseñanza de las matemáticas debe estar fundamentada en
conceptos matemáticos básicos, estructuras y habilidades, así como también
métodos y principios que estimulen el pensamiento e integren los conocimientos
adquiridos con los ya existentes.
Desde este punto de vista, el aprendizaje significativo solo tiene lugar activamente
desde el interior de la persona, mediante el establecimiento de relaciones nuevas
y lo que ya se conoce. Por otro lado, lo importante es ayudar a los estudiantes a
42
construir una representación más exacta de las matemáticas y desarrollar pautas
de razonamiento más convencionales. En esencia, la enseñanza de las
matemáticas consiste en traducirlas a una forma en la que los estudiantes puedan
construir su significado y crear oportunidades para desarrollar y ejercer el
razonamiento lógico-matemático y las aptitudes para la resolución de problemas.
Dentro de las características más importante del aprendizaje significativo están:
• El aprendizaje se recuerda durante mucho más tiempo.
• Aumenta la capacidad de aprender nuevos materiales.
• Facilita el aprendizaje. (volver a aprender lo aprendido)
El objetivo primordial por parte de las escuelas y los docentes al enfrentarse a esta
sociedad postindustrial consiste en educar a los jóvenes en destrezas y cualidades
que contribuyan a generar aprendizajes verdaderamente significativos.
Factores que intervienen en el aprendizaje :
• Estructura cognitiva: la estructura cognitiva es el factor principal del
aprendizaje. De acuerdo como estén organizados los conceptos, de
acuerdo a su nivel de generalidad, abstracción, discriminación, estabilidad y
calidad, se facilita o se atrasa el proceso de aprendizaje.
• La disposición: la capacidad de almacenar y procesar información en los
seres humanos, varía con la edad y la experiencia. La capacidad que
tengan en un momento dado de poner en funcionamiento su estructura
cognitiva es llamada disposición, por tanto se refiere a la suficiencia que
tenga la capacidad cognitiva para las tareas del aprendizaje.
• Capacidad intelectual: la inteligencia, la facultad para interferir las
relaciones y los nexos en los sistemas reales y en los sistemas simbólicos,
necesariamente, el mayor o el menor desarrollo de esta facultad intervienen
en el proceso de aprendizaje. De esta manera se puede establecer un nexo
43
directo entre el desarrollo de la capacidad intelectual y calidad del
aprendizaje.
• La práctica: Evidentemente ésta cumple una función prioritaria en el
aprendizaje repetitivo en la medida que afianza la articulación arbitraria y
literal con la estructura cognitiva. Sin embargo, de lo anterior no se puede
derivarse que la práctica no cumple las funciones en un proceso de
aprendizaje significativo. Por lo menos tres de ellas permiten ser
identificadas claramente:
- Primero: La práctica aumenta la claridad y la estabilidad de los significados
aprendidos, especialmente si se tienen en cuenta los matices que se
pierden en una primera presentación.
- Segundo: Aumenta la diferenciación conceptual.
- Tercero: Cumple un papel “inmunizante” al llevar al plano de la conciencia
los factores responsables del olvido.
5.3.6 Aprendizaje por descubrimiento
Para Jerome Bruner, “el aprendizaje por descubrimiento es a la vez un objetivo de
la educación y una práctica de su teoría de la instrucción. El plantea que el
descubrimiento consiste en la transformación de hechos o experiencias que se
presentan, de manera que se pueda ir más allá de la información recibida”1. En
otras palabras, se trata de reestructurar o transformar hechos evidentes, de
manera que puedan surgir nuevas ideas para llegar a la solución de los
problemas.
En el aprendizaje por descubrimiento, el estudiante tiene que evaluar toda la
información que le viene del ambiente, sin limitarse a repetir los que le es dado;
por lo tanto él debe generar ideas y comprender el concepto desde su lenguaje
con el fin de ser constructor de su propio aprendizaje.
1 BRUNER, Jerome. The act of discovery. Harvard Educational Review, 1961
44
Bruner se preocupa por inducir al discente a una participación activa en el proceso
de aprendizaje, por lo tanto los contenidos que se han de aprender deben ser
percibidos por el estudiante como un conjunto de problemas, relaciones y lagunas
que se han de resolver. Por consiguiente el sistema educativo debe tener presente
que el educando es el ente activo en el proceso de enseñanza aprendizaje y el
docente solo es un facilitador durante este proceso.
Por otro lado, el ambiente es uno de los factores primordiales que contribuyen en
el aprendizaje de los estudiantes, por esta razón Bruner considera que el ambiente
necesario para que se dé un aprendizaje por descubrimiento debe presentar al
estudiante alternativas para que perciba relaciones y similitudes entre los
contenidos a aprender. Bruner sostiene que el descubrimiento favorece el
desarrollo mental, y que lo que nos es más personal es que se descubre por sí
mismo.
Bruner destaca una serie de beneficios que se derivan del aprendizaje por
descubrimiento:
• Mayor utilización del potencial intelectual: esto quiere decir que el énfasis
en el aprendizaje por descubrimiento fomenta en el aprendiz el hábito de
organizar la información que recibe.
• Motivación Intrínseca: dentro de la concepción del aprendizaje como un
proceso de descubrimiento, el niño obtiene recompensa en su propia
capacidad de descubrir, la cual aumenta su motivación interna, hacia el
aprendizaje, que cobra más fuerza para él, que la aprobación o
desaprobación proveniente del exterior.
5.3.7 Etapas del desarrollo cognoscitivo
En sus trabajos Jean Piaget1 distingue cuatro etapas del desarrollo cognoscitivo,
en el cual plantea que el pensamiento se desarrolla en orden sucesivo de
1 http://www.earlytechnicaleducation.org/spanien/cap2lis2es.htm
45
estadios, los cuales se relacionan con actividades del conocimiento como pensar,
reconocer, percibir, entre otros.
Las etapas de vital importancia en esta investigación son:
Etapa de las operaciones concretas:
Esta etapa tiene lugar entre los siete y doce años aproximadamente y está
marcada por una disminución gradual del pensamiento egocéntrico y por la
capacidad creciente de centrarse en más de un aspecto de un estímulo.
Sólo pueden aplicar esta nueva comprensión a los objetos concretos (aquellos que
han experimentado con sus sentidos). Es decir, los objetos imaginados o los que
no han visto, oído, o tocado, continúan siendo algo místico para estos niños, y el
pensamiento abstracto tiene todavía que desarrollarse.
Además el niño es capaz de asumir un número limitado de procesos lógicos,
especialmente cuando se le ofrece material para manipularlo y clasificarlo, por
ejemplo. La comprensión todavía depende de experiencias concretas con
determinados hechos y objetos y no de ideas abstractas o hipotéticas.
Etapa de las operaciones formales:
En la etapa final del desarrollo cognitivo (desde los doce años en adelante), los
niños comienzan a desarrollar una visión más abstracta del mundo y a utilizar la
lógica formal. Pueden aplicar la reversibilidad y la conservación a las situaciones
tanto reales como imaginadas. También desarrollan una mayor comprensión del
mundo y de la idea de causa-efecto.
Esta etapa se caracteriza por la capacidad para formular hipótesis y ponerlas a
prueba para encontrar la solución a un problema.
Otra característica del individuo en esta etapa es su capacidad para razonar en
contra de los hechos. Es decir, si le dan una afirmación y le piden que la utilice
46
como la base de una discusión, es capaz de realizar la tarea. Por ejemplo, pueden
razonar sobre la siguiente pregunta: ¿Qué pasaría si el cielo fuese rojo?".
De esta manera, el razonamiento que el estudiante emplea es el que se desarrolla
por efecto de la edad y de la experiencia de la vida cotidiana, ya que a partir de
este momento el sujeto tiene capacidad para razonar de manera lógica.
5.3.8 Ingeniería Didáctica
La ingeniería didáctica surgió en la didáctica de las matemáticas francesa, a
principios de los años ochenta, como una metodología para las realizaciones
tecnológicas de los hallazgos de la teoría de Situaciones Didácticas y de la
Transposición Didáctica. El nombre surgió de la analogía con la actividad de un
ingeniero quien, según Artigue (1998, p. 33):
“Para realizar un proyecto determinado, se basa en los conocimientos científicos
de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico. Sin embargo, al
mismo tiempo, se encuentra obligado a trabajar con objetos mucho más complejos
que los depurados por la ciencia y, por lo tanto, tiene que abordar prácticamente,
con todos los medios disponibles, problemas de los que la ciencia no quiere o no
puede hacerse cargo.”
En realidad el término ingeniería didáctica se utiliza en didáctica de las
matemáticas con una doble función: como metodología de investigación y como
producciones de situaciones de enseñanza y aprendizaje, conforme mencionó
Douady:
“… el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de clase
concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de forma coherente por un
profesor-ingeniero para efectuar un proyecto de aprendizaje de un contenido
matemático dado para un grupo concreto de alumnos. A lo largo de los
intercambios entre el profesor y los alumnos, el proyecto evoluciona bajo las
reacciones de los alumnos en función de las decisiones y elecciones del profesor.
47
Así, la ingeniería didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un
análisis a priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en
funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de una
clase.”1
Artigue (1998, p. 40) distingue varias dimensiones ligadas a los procesos de
construcción de ingenierías didácticas:
• Dimensión epistemológica: asociada a las características del saber puesto
en funcionamiento.
• Dimensión cognitiva: asociada a las características cognitivas de los
alumnos a los que se dirige la enseñanza.
• Dimensión didáctica: asociada a las características del funcionamiento del
sistema reenseñanza.
Como mencionamos anteriormente, el sustento teórico de la ingeniería didáctica
proviene de la teoría de situaciones didácticas (Brousseau, 1997) y la teoría de la
transposición didáctica (Chevallard, 1991), que tienen una visión sistémica al
considerar a la didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones
entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los
modos de apropiación de este saber por el sujeto (Brousseau, 1997).
5.3.9 Constructivismo social
En décadas recientes, los teóricos constructivistas han extendido su tradicional
orientación del aprendizaje individual a tratar dimensiones sociales y de
colaboración al aprender. Es posible entender el constructivismo social como la
manera de reunir aspectos del trabajo de Piaget con el de Bruner y de Vygotsky
(Wood 1998:39)
1 DOUADY, Regine. Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en las matemáticas de collège-seconde. Francia. Topiques éditions. 1996, p. 241
48
El constructivismo social en educación y teoría del aprendizaje es una teoría de la
forma en que el ser humano aprende a la luz de la situación social y la comunidad
de quien aprende. La Zona de desarrollo próximo, desarrollada por Lev Vygotsky y
aumentada por Bruner es una idea bajo el constructivismo social.
Del constructivismo cognitivo al constructivismo so cial:
Las ideas sobre el aprendizaje que ahora llamamos constructivismo cognitivo,
fueron las precursoras del constructivismo, Gracias a Vigotsky, un psicólogo
Bielorruso que vivió y trabajó bajo un ambiente Marxista, se hizo famoso por sus
ideas sobre la mediación como una parte integral de la psicología del ser humano:
"El hecho central sobre nuestra psicología es el hecho de la mediación" Vygotsky
1978:166).
A pesar de que en su trabajo sólo se hace su propia versión de la realidad,
Vygotsky añadió que la importancia de discutir esta versión de la realidad con los
demás para así, a través del proceso de mediación, llegar a un nivel más alto de
verdad que haya sido probado socialmente (Derry)
Una definición práctica de constructivismo social:
El constructivismo social expone que el ambiente de aprendizaje más óptimo es
aquel donde existe una interacción dinámica entre los instructores, los alumnos y
las actividades que proveen oportunidades para los alumnos de crear su propia
verdad, gracias a la interacción con los otros. Esta teoría, por lo tanto, enfatiza la
importancia de la cultura y el contexto para el entendimiento de lo que está
sucediendo en la sociedad y para construir conocimiento basado en este
entendimiento.
Principios del constructivismo social:
Paul Ernest (1991) resume los principios del constructivismo social de la siguiente
manera:
49
• El conocimiento no se recibe pasivamente sino que es construido
activamente por el sujeto cognitivo. “La función de la cognición es adaptable
y sirve la organización del mundo de la experiencia, no el descubrimiento
de una realidad ontológica" (Von Glasersfeld 1989:182).
• Las teorías personales que resultan de la organización experimental del
mundo, deben calzar las restricciones impuestas por la realidad física y
social.
• Esto se logra a través de un ciclo de Teoría - Predicción -Prueba - Error -
Rectificación - Teoría.
• Esto da paso a las teorías socialmente aceptadas del mundo y los patrones
sociales así como las reglas de uso del lenguaje.
• El constructivismo social es la reflexión que hacen aquellos que están en la
posición de enseñar a los demás, como ellos enseñan, y la información que
muestran a los otros.
5.3.10 Educación por competencias
El uso del término competencia se está generalizando últimamente en los medios
educativos, despertando mucho interés entre los educadores y también una cierta
inquietud sobre su preciso significado y su eventual incidencia en los procesos
pedagógicos.
Para muchos, el concepto de competencia en el ámbito educativo, desde que en
1965 Noam Chomsky en su artículo Aspects of theory of syntax introdujera el
término COMPETENCIA, como aquella capacidad que posee todo hablante para
apropiarse del conocimiento de su lengua y así producir y entender enunciados y
significaciones siempre nuevos, lo cual es referida a la aparición del lenguaje
como un acontecer misterioso, sin la evidencia de un saber anterior que lo
explique1.
1 VINENT SOLSONA, Manuel. ¿Qué significa aprender? Un punto de vista sobre el concepto de competencia. En: BOGOYA MALDONADO, Daniel y otros. Competencias y Proyecto Pedagógico. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de Colombia, 2000. P 65
50
Son muchos los autores que han dado su punto de vista sobre lo que significa la
palabra competencia. Las competencias deben entenderse desde un enfoque
sistémico como actuaciones integrales para resolver problemas del contexto con
base en el proyecto ético de vida (Tobón, Pimienta y García Fraile, 2010). Las
competencias son un conjunto articulado y dinámico de conocimientos,
habilidades, actitudes y valores que toman parte activa en el desempeño
responsable y eficaz de las actividades cotidianas dentro de un contexto
determinado (Vázquez Valerio Francisco Javier). Para el ministerio de educación
nacional, es una categoría pensada desde la constitución y formación de los
sujetos en diferentes dimensiones de su desarrollo, la cual está relacionada con el
crecimiento de las capacidades o potencialidades que presenta el sujeto que se
visualizan a través de los desempeños, de acciones, sea en el campo social,
cognitivo, cultural, estético o físico1.
Del análisis de estas definiciones puede concluirse que las Competencias:
• Son características permanentes de la persona,
• Se ponen de manifiesto cuando se ejecuta una tarea o se realiza un
trabajo,
• Están relacionadas con la ejecución exitosa en una actividad, sea laboral
o de otra índole.
• Tienen una relación causal con el rendimiento laboral, es decir, no están
solamente asociadas con el éxito, sino que se asume que realmente lo
causan.
• Pueden ser generalizables a más de una actividad.
Hoy en día tiene lugar un intenso debate sobre el significado, alcances y
limitaciones del concepto de competencias como eje de nuevos modelos de
educación y por supuesto, también hay una variedad de perspectivas para
definirlas; para la educación es definida como “Una habilidad, destreza, aptitud o
1 M.E.N. Lineamientos curriculares de Lengua Castellana. Bogotá D.C. Cooperativa editorial Magisterio, 1998. p 43
51
actitud que un estudiante debe desarrollar en un período de tiempo, después de
haber seguido un PROCESO educativo debidamente programado y controlado de
manera que sea posible la verificación de su logro”1. Sin embargo hay dos
características que de alguna u otra manera se encuentran implícitas en cualquier
definición de competencia: por un lado el centrarse en el desempeño y, por el otro,
el recuperar condiciones concretas de la situación en que dicho desempeño es
relevante.
La primera de ellas es sumamente importante en la medida en que es
indispensable que la educación tenga un impacto directo en las posibilidades de
actuación de la gente y no solo constituya un requerimiento formal de años de
escolaridad, en el mejor de los casos, una vía para acumular conocimientos de
carácter enciclopédico. La segunda característica no es menos relevante, pues
ofrece la posibilidad de abordar de una manera más real las relaciones entre
variables, los factores del contexto de situaciones concretas, las formas de
organización del trabajo y, también de incorporar criterios de evaluación acordes
con situaciones más complejas.
De acuerdo al enfoque con que se interpretan los atributos propios que definen la
competencia, así será el grado de dominio y profundidad existente en su
aplicabilidad en el campo educativo. Requiere por lo tanto tener una visión clara
de los momentos o niveles que encierra el desafío de este proceso para la
apropiación significativa de los conocimientos científicos2. Un primer nivel que
hace referencia al reconocimiento y distinción de los elementos, objetos o códigos
propios de cada área, el segundo nivel que tiene que ver con el uso comprensivo
de los objetos o elementos de un sistema de significación, siendo de mayor
exigencia, elaboración conceptual y acción que el primero; el tercer nivel
comprende el control y la explicación del uso. Es un nivel mucho más profundo
1 MEJIA WILLIAM. Competencias, un desafío para la educación en el siglo XXI. Bogotá, D.C. Editorial Norma, 2000, p 12 2 BOGOYA MALDONADO, Daniel. Competencias y proyectos pedagógicos. Bogotá, D.C. Universidad Nacional de Colombia, 2000. P 18
52
que los anteriores, porque requieren un dialogo fluido entre los procesos
cognitivos que dan cuenta del reconocimiento y la distinción de objetos o códigos,
de su utilización con sentido en determinados contextos.
Es importante, de acuerdo a esto, que las diferentes asignaturas son las llamadas
a garantizar la estructuración y formación de un ciudadano que sea capaz de leer
e interpretar información, proponer alternativas de solución dinamizadas y a
reconocer el mundo que los rodea. En el caso de las matemáticas se “Debe
potenciar al estudiante para aplicar su conocimiento en la resolución de
problemas, tanto al interior de la matemática misma, como en otras disciplinas;
debe además desarrollar habilidades para usar el lenguaje matemático y
comunicar ideas, razonar y analizar, cuestionarse. Interpretar críticamente
información y tomar consecuentes; en fin; para enriquecer y ampliar
continuamente su conocimiento”1
El MEN y el ICFES proponen tres tipos de competencias que se deben trabajar en
los centros educativos para desarrollar habilidades y destrezas en los estudiantes
y a si formar personas capaces de cuestionar el mundo donde habitan. Siendo
estas: competencias argumentativas, propositivas e interpretativas, estamos
dando un paso fundamental para superar limitaciones propias de la escuela activa
y la escuela tradicional. Siendo la competencia argumentativa una de las más
importantes a ser trabajadas en educación básica y media. Porque permite al
estudiante sustentar, dar soporte, justificar o apoyar una idea; permite evaluar
diversas alternativas y convencer auditorios de la conveniencia o justeza de una
posición o tesis.
1 BOGOYA, Daniel. Evaluación de competencias básicas en el lenguaje, matemática y ciencias. Bogotá, D.C. Secretaria de Educación Distrital, 1999.
53
Competencia interpretativa
Esta competencia incluye la habilidad que se tiene para identificar y comprender
las ideas fundamentales en una comunicación, un mensaje, una gráfica, un
dibujo, para comprender las relaciones existentes entre estas ideas
Competencia argumentativa
Esta competencia incluye la habilidad del razonamiento en cuanto a la explicación
de cómo las diferentes partes de un proceso, se ordenen y se relacionan entre si,
para lograr cierto efecto o conclusión. Al argumentar se explica el por qué de las
cosas, se justifican las ideas, se dan razones, se establecen los propios criterios,
se interactúa con el saber
Competencia propositiva
Esta competencia supone un engranaje creativo de los elementos para formar un
sentido nuevo; es decir se ordenan ideas bajo un nuevo patrón o se crean nuevas
configuraciones de ideas. Esta competencia representa la cúspide de la pirámide
del desarrollo del pensamiento; puesto que requiere de una síntesis, de un cambio
o transformación de las ideas.
5.3.11 Importancia de las TIC’s en la educación
Antecedentes en relación a las TIC´s
La necesidad de la búsqueda de una definición propia de la integración curricular
de la TIC, surge de la necesidad del rápido crecimiento innovador de las ciencias y
tecnologías y que esto tendrá una influencia en el ámbito de la formación científica
y educativa, en relación a esto, Sánchez, afirma lo siguiente:
“Integración curricular de TIC´s es el proceso de hacerlas enteramente parte del
currículum, como parte de un todo, perneándolas con los principios educativos y la
didáctica que conforman el engranaje del aprender. Ello fundamentalmente implica
54
un uso armónico y funcional para un propósito del aprender específico en un
dominio o una disciplina curricular”1.
El uso de TIC´s permite jugar desde diferentes papeles en la práctica de
enseñanza-aprendizaje en la formación científica, especialmente en el desarrollo
de habilidades como cálculo, análisis, interpretación de resultados, etc.
El análisis científico que se espera obtener con todos los componentes que
permiten a las TIC´s (animaciones integradas, simulaciones, imágenes, video,
flash...) los materiales científicos generados serán más atractivos para los
estudiantes y les permitirá alcanzar mayor grado de comprensión.
En relación a lo expuesto en los párrafos anteriores, algunos principios que
influyen en el uso de las tecnologías de la información y la comunicación en un
contexto constructivista que se define de lo siguiente:
• Herramientas de apoyo para aprender, con las cuales se puede realizar
actividades que fomenten el desarrollo de destrezas y habilidades cognitivas
superiores en los alumnos.
• Medios de construcción que faciliten la integración de lo conocido y lo nuevo.
• Extensores y amplificadores de la mente a fin de que expandan las
potencialidades de procesamiento cognitivo y memoria, lo que facilita la
construcción de aprendizajes significativos.
• Herramientas que participan en un conjunto metodológico orquestado, lo que
potencia su uso con metodologías activas como proyecto, trabajo colaborativo,
mapas conceptuales e inteligencias múltiples en las cuales alumnos y docentes
coactúen y negocien significados y conocimientos, con la tecnología como socio
en la cognición del alumno.
Es por esto la importancia que adquieren las TIC en la formación docente y no
sólo en la formación inicial sino que durante toda la vida profesional, debido a que 1 SÁNCHEZ, Jaime. (2003). Integración Curricular de TIC´s: Concepto y Modelos, Revista Enfoques Educacionales, 5(1), p. 51-65
55
cada vez más las TIC juegan un papel importante en el aprendizaje de los
estudiantes, por ejemplo, el uso de Internet cada vez adquiere más adeptos lo
que implica que la información es buscada y encontrada más rápido que dentro
del colegio.
Competencia de los docentes en el uso de las TIC
La UNESCO1 ha propuesto tres enfoques de visiones y alternativas de políticas
educativas, a través de ellos, los estudiantes, ciudadanos y trabajadores de un
país adquieren competencias más sofisticadas para apoyar el desarrollo
económico, social y cultural de un país.
Estos enfoques son:
1. Adquisiciones de nociones básicas de TIC: Tiene como objetivo preparar a
los estudiantes, ciudadanos y trabajadores capaces de comprender nuevas
tecnologías, tanto para apoyar el desarrollo social como para mejorar la
productividad económica.
2. Profundización de conocimientos: El objetivo es aumentar la capacidad de
educandos y ciudadanos para agregar valor a sociedad y a la economía,
aplicando los conocimientos de las asignaturas escolares en problemas
complejos encontrados en la vida cotidiana.
3. Generación del conocimiento: Tiene como objeto desarrollar la participación
cívica, la creación cultural y la productividad económica mediante la
formación de estudiantes, ciudadanos y trabajadores dedicados en la
creación de conocimiento, innovar y participar en la sociedad del
conocimiento.
5.3.12 GeoGebra
GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media
(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.
1 UNESCO. Estándares DE Competencia en TIC para Docentes. Londres 2008
Por un lado, GeoGebra es u
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,
GeoGebra tiene la potencia de manejar
y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio
de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares
de una función, como Ra
Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana
algebraica se corresponde con un objeto en la
Cómo introducir funciones en Geo
explorar sus propiedades
0. Instala r Geogebra en el
www.geogebra.org,
enlace del marco de la izquierda) y pulsa
1. Abrir GeoGebr a:
aplicación.
Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica que p
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,
iene la potencia de manejar variables vinculadas a números, vectores
y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio
de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares
de una función, como Raíces o Extremos.
Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana
algebraica se corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa.
Figura 1: muestra la presentación de GeoGebra
Cómo introducir funciones en Geo Gebra y desplazar
explorar sus propiedades
r Geogebra en el ordenador: Entrando
, se selecciona la opción “WebStart-Teleinicio
enlace del marco de la izquierda) y pulsar sobre el botón “GeoGebra WebStart”
a: Haciendo doble clic sobre el icono del programa se abrirá la
56
n sistema de geometría dinámica que permite realizar
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Por otra parte, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así,
variables vinculadas a números, vectores
y puntos; permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece un repertorio
de comandos propios del análisis matemático, para identificar puntos singulares
Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana
ventana geométrica y viceversa.
ebra y desplazar se por ellas para
ndo en la dirección
Teleinicio” (es el tercer
“GeoGebra WebStart”
doble clic sobre el icono del programa se abrirá la
57
2. Introducir y representar una función: Se escribe su ecuación en el Campo
de Entrada . Las funciones pueden escribirse de distintas maneras.
Figura 2: en la parte inferior se muestra el “campo de entrada” del GeoGebra
Ejemplo: Escribir la función � = 2� + 3 y pulsar la tecla “Enter”. Se observa cómo
se representa gráficamente la función y queda seleccionada la opción “Desplaza”
que se usa para la selección de los objetos creados.
Señalada con el ratón la recta trazada, se observa (ver figura 3) cómo queda
resaltada en negrita y pulsando el botón derecho del ratón para que aparezca el
menú contextual permite modificar las propiedades del objeto.
Figura 3: muestra la opción “desplaza” en la esquina superior izquierda
Selecciona “Propiedades” y con las fichas “Color” y “Estilo” le cambias el color y la
anchura del trazo de la recta.
58
Borra la función: Seleccionando la ecuación de la función en la ventana de la
izquierda y pulsando la tecla Suprimir. También se puede usar la opción “Borra”
del menú contextual.
3. Desplazamiento por la gráfica:
Ahora se va a diseñar un punto que se pueda desplazar sobre la gráfica de la
función y mostrar sus coordenadas. Para hacerlo, se diseña previamente otros
objetos como se indica a continuación:
Paso 1: Representación gráfica de la función que se quiere estudiar. En este
caso se representará la función � = �� − 4. Para ello se usa el campo de entrada.
Paso 2: Construcción de un punto que se desplace solo por el eje de abscisas
(eje de las x). Seleccionar la opción Nuevo Punto y marcar un punto cualquiera
del eje de abscisas. Se verá cómo se ha creado un punto A y en la Ventana
Algebraica se muestran sus coordenadas. Seleccionar la herramienta de Desplaza
y mover el punto creado. ¿Se puede mover libremente o está limitado su
desplazamiento?
Si este punto se hubiese creado sobre la gráfica de la función, se movería
sobre ella. Este es el punto que se quiere crear, p ero se hará que se mueva
cuando se desplace el punto creado sobre el eje OX.
Paso 3: Crear el punto B de la gráfica cuya abscisa coincid e con la del punto
A. Basta con trazar por el punto A una recta perpendicular al eje OX, el punto de
intersección de esta recta y la gráfica de la función es el punto B buscado.
Obsérvese la figura 4.
59
Figura 4: muestra el punto B que se puede desplazar sobre la gráfica
GeoGebra es, básicamente, un "procesador geométrico" y un "procesador
algebraico", es decir, un compendio de matemática con software interactivo que
reúne geometría, álgebra y cálculo -y por eso puede ser usado también en física,
proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras
disciplinas-.
Figura 5: muestra el dinamismo de GeoGebra
Su categoría más cercana es "software de geometría dinámica”. En GeoGebra
puede hacerse construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas -a través
del ingreso directo con el ratón o mediante instrucciones con el teclado-, y todo
eso modificable en forma dinámica: es decir que si algún B objeto depende de otro
A, al modificar A, también se actualiza B.
60
Pero también pueden definirse funciones reales de variable real, calcular y graficar
sus derivadas, integrales. GeoGebra está escrito en Java y por tanto está
disponible en múltiples plataformas.
5.3.13 Orientación por brújula
La división de la orientación entre “natural” y artificial” sirve sólo para señalar el
uso o no de elementos fabricados por el hombre para orientarse; aunque no deja
de ser arbitraria, es bastante útil. ¿Qué elementos ha creado el hombre para
orientarse?
• Mapas
• Brújulas
• Astrolabio
• Octante
• Sextante
• GPS (de las siglas en inglés: Global Position System: Sistema de Posición
Global)
• Otros
Tocaremos sólo los dos primeros como los más esenciales. Es necesario aprender
y dominar su uso para estar orientados en todas las disciplinas de las actividades
que se realizan fuera de las ciudades. Si se dominan, con el tiempo se puede
rescatar gran parte del sentido de orientación, aunque no todo.
Qué es la brújula:
Inventada por los chinos, la brújula no es más que una aguja imantada que
responde al campo magnético de la Tierra. Por supuesto es la brújula más
sencilla, pero las actuales tienen diferentes partes específicas que evitan muchos
errores de medición debidos al factor humano. La más completa pero sencilla es
de la marca Silva, que se usa para las competencias de “orientacionismo” en
Europa. Es ligera, sencilla y de f
porque es más sencillo explicar todo el procedimiento de esa forma, pero si no se
tiene a la mano este tipo, cualquiera será suficiente para aprender y únicamente
se tendrán que hacer algunas pequeñas adapt
Partes de la brújula:
Las partes son:
1. Base de plástico
2. Anillo giratorio graduado
3. Aguja magnética
4. Flecha orientadora y
auxiliares
5. Punto de lectura
6. Flecha de dirección de viaje
sus líneas auxiliares
Base de plástico:
Todo el cuerpo de la brújula está sostenido por una base de plástico resistente y
transparente. Ahí están las demás piezas y generalmente uno olvida que la base
está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como
y a veces una lupa, pero, sobre todo, la flecha de dirección de viaje. Es importante
que la base sea transparente para que permita ver el mapa s
Anillo giratorio:
La parte más notoria en la base de plástico es
un anillo giratorio que tiene divisiones cada determinada distancia y que completan
un círculo de 360 grados, lo que convierte a esta escala en un transportador que
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d
de la marca Silva, que se usa para las competencias de “orientacionismo” en
Europa. Es ligera, sencilla y de fácil uso. Aquí hablaremos
porque es más sencillo explicar todo el procedimiento de esa forma, pero si no se
tiene a la mano este tipo, cualquiera será suficiente para aprender y únicamente
se tendrán que hacer algunas pequeñas adaptaciones a lo aquí explicado.
Partes de la brújula:
Base de plástico
Anillo giratorio graduado
Aguja magnética
Flecha orientadora y sus líneas
Punto de lectura
Flecha de dirección de viaje y
sus líneas auxiliares
Todo el cuerpo de la brújula está sostenido por una base de plástico resistente y
transparente. Ahí están las demás piezas y generalmente uno olvida que la base
está ahí. Tiene por sí misma sus privilegios, como una a tres escalas de medición
y a veces una lupa, pero, sobre todo, la flecha de dirección de viaje. Es importante
que la base sea transparente para que permita ver el mapa s
La parte más notoria en la base de plástico es un cilindro aplastado. Sobre él hay
un anillo giratorio que tiene divisiones cada determinada distancia y que completan
un círculo de 360 grados, lo que convierte a esta escala en un transportador que
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una d
Figura 6: La brújula y sus partes
61
de la marca Silva, que se usa para las competencias de “orientacionismo” en
de este tipo de brújula
porque es más sencillo explicar todo el procedimiento de esa forma, pero si no se
tiene a la mano este tipo, cualquiera será suficiente para aprender y únicamente
aciones a lo aquí explicado.
Todo el cuerpo de la brújula está sostenido por una base de plástico resistente y
transparente. Ahí están las demás piezas y generalmente uno olvida que la base
una a tres escalas de medición
y a veces una lupa, pero, sobre todo, la flecha de dirección de viaje. Es importante
que la base sea transparente para que permita ver el mapa sin dificultad.
un cilindro aplastado. Sobre él hay
un anillo giratorio que tiene divisiones cada determinada distancia y que completan
un círculo de 360 grados, lo que convierte a esta escala en un transportador que
puede medir ángulos. Las brújulas estándar tienen una división mínima de dos
: La brújula y sus partes
62
grados y son lo suficientemente buenas como para hacer viajes de mediana
longitud sin muchas correcciones. Es preferible que la brújula tenga esta división
lo más pequeña posible para evitar errores adicionales. Existen brújulas con
división de cinco grados que se pusieron de moda de un día al otro, quizá sólo por
ser un poco más baratas. Sencillamente no sirven en la mayoría de los casos en
que deben ser usadas porque arrojan un error de medición demasiado alto.
Aguja magnética:
Dentro del cilindro está la aguja magnética, inmersa en aceite para que el
movimiento de inercia sea frenado lo más rápidamente pero sin detener el avance
de la aguja. Como ya dijimos, la aguja es la parte más importante de toda la
brújula pues aún si se rompe toda la base y el cilindro, se puede usar, aunque con
muchas más dificultades.
Flecha orientadora:
La flecha orientadora está también dentro del cilindro pero por debajo de la aguja
magnética. Generalmente es una doble línea que semeja una gran flecha, con la
punta señalada claramente por tres líneas que pretenden ser movimiento continuo.
A los lados de esta flecha hay líneas que son paralelas a esta flecha y que son
auxiliares
Punto de lectura:
En la parte superior del cilindro, sobre la numeración de las divisiones mínimas del
transportador, existe un punto, generalmente de color blanco. Ahí se realizará
cualquier lectura que se haga con la brújula.
Flecha de dirección de viaje:
Es una línea que atraviesa la mayor parte de la base de plástico y termina con una
flecha sencilla. A sus lados también hay líneas auxiliares, pero diferentes de la
63
flecha orientadora.
¿Qué es lo que mide una brújula?
Este aparato mide ángulos horizontales con respecto a una línea que es fija: la
línea magnética de la Tierra. La parte roja de la aguja se dirigirá a la parte norte
del campo magnético mientras la blanca se dirigirá al sur. Es muy importante
remarcar que la brújula no apunta al norte, sino que sigue las líneas magnéticas.
Lo que mide, entonces son ángulos horizontales con respecto a la línea magnética
en la que estemos
Líneas magnéticas:
El magnetismo terrestre no es constante en toda la superficie. Se altera por
yacimientos de minerales y masas de agua, por ejemplo. Si quisiéramos cortar
una manzana con gajos que siguieran la forma de estas líneas, no tendríamos
formas simétricas, sino bastante irregulares. Hay dos tipos de líneas magnéticas:
las agónicas [de a, privativo, y gonos, ángulo: sin ángulo] y las isogónicas. En las
primeras la parte roja de la aguja magnética apunta exactamente al norte
geográfico y al mismo tiempo al norte magnético porque están alineadas. Sólo
existen dos. En las líneas isogónicas la parte roja de la aguja magnética apunta
exclusivamente al norte magnético.
Forma de usar la brújula:
Debe mantenérsela en la palma de la mano, con la flecha de orientación de viaje
apuntando directamente hacia el frente, lo mismo que uno. La mejor posición es a
la altura de la cintura pues de ese modo se evita el error de paralaje creado por los
ojos. Cuando la aguja magnética se estabilice en una posición, el disco graduado
debe girarse de tal manera que la punta de la flecha orientadora esté directamente
debajo del extremo rojo de la aguja magnética.
64
Tips útiles para usar la brújula:
• Colocarla justo a nivel de la cintura
• El frente del cuerpo debe mirar en la misma dirección que la Flecha de
dirección de viaje
• La brújula no debe estar inclinada
• Alejarse de cuerpos metálicos o electrificados
• Quitarse el reloj de pulsera (sobre todo si es electrónico) al usarla
5.3.14 TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO
Teorema del Seno
En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre
las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos
respectivamente opuestos.
Otra forma de expresarlo sería: En todo triángulo la relación de un lado al seno del
ángulo opuesto es constante.
Usualmente se presenta de la siguiente forma:
Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C
son respectivamente a, b, c, entonces
�� �=
�
�� �=
�
�� �
Demostración:
A pesar de ser de los teoremas trigonométricos más usados y de tener una
demostración particularmente simple, es poco común que se presente o discuta la
misma en cursos de trigonometría, de modo que es poco conocida.
Figura 7
Dado el triángulo
dibujamos su circunferencia
cortar la circunferencia
Ahora, el triángulo
ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el
segmento BC. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
sen � = sen � =��
��
donde R es el radio de la circunferencia. Despejando
sen �= 2�
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por
C, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor
iguales.
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y
establece:
Para un triángulo ABC
respectivamente, si
Dado el triángulo ABC de la figura 7, denotamos por
circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento
circunferencia, se obtiene un diámetro BP.
Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el
. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
�
2�
es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por
, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y
ABC donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos
respectivamente, si R denota el radio de la circunferencia circunscrita, entonces:
sen ��
�
sen ��
�
sen �� 2�
65
, denotamos por O su circuncentro y
circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta
es un diámetro, y además los
son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el
. Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene
obtenemos:
Repitiendo el procedimiento con un diámetro que pase por A y otro que pase por
, se llega a que las tres fracciones tienen el mismo valor 2R y por tanto son
La conclusión que se obtiene suele llamarse teorema de los senos generalizado y
son los lados opuestos a los ángulos A, B, C
circunscrita, entonces:
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es
constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Teorema del Coseno
El teorema del coseno
triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del
ángulo formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo
respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
Demostración:
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de
cuando el ángulo �
cuando c es adyacente a dos ángulos agudos y cuando
ángulo agudo y un obtuso.
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
Figura 8: c es adyacente a dos ángulos agudos
Puede enunciarse el teorema de una forma alternativa:
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es
constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
Teorema del Coseno
teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras
triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del
o formado por estos dos lados:
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c
respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:
�� � � � �� � 2� cos �
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de
es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos
es adyacente a dos ángulos agudos y cuando c es adyacente a un
ángulo agudo y un obtuso.
es adyacente a dos ángulos agudos.
es adyacente a dos ángulos agudos
66
En un triángulo, el cociente entre cada lado y el seno de su ángulo opuesto es
constante e igual al diámetro de la circunferencia circunscrita.
teorema de Pitágoras en los
triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del
c, los lados
Notemos que el Teorema de Cosenos es equivalente al Teorema de Pitágoras
es recto. Por tanto sólo es necesario considerar los casos
es adyacente a un
Consideremos la figura
así:
�� � �� � ��
Pero, la longitud h también se calcula así:
�� � � � �� � ���
Combinando ambas ecuaciones y luego
�� � � � �� � 2��
Por la definición de coseno, se tiene:
cos � �� � �
y por lo tanto:
� � � � cos �
Sustituimos el valor de u en la ecuación para
�� � � � �� � 2�
con lo que concluye la prueba del
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
Figura 9: es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura 9
�� � �� � �� pero en este caso
obtenemos c2 = u2 +
Consideremos la figura 8. Por el teorema de Pitágoras, la longitud
también se calcula así:
Combinando ambas ecuaciones y luego simplificando obtenemos:
Por la definición de coseno, se tiene:
Sustituimos el valor de u en la ecuación para c2, concluyendo que:
� cos �
con lo que concluye la prueba del primer caso.
es adyacente a un ángulo obtuso.
es adyacente a un ángulo obtuso
Consideremos la figura 9. El teorema de Pitágoras establece nuevamente
pero en este caso h2 = a2 − (b + u)2. Combinando ambas ecuaciones
+ a2 − b2 − 2bu − u2 y de este modo:
67
. Por el teorema de Pitágoras, la longitud c es calculada
simplificando obtenemos:
, concluyendo que:
. El teorema de Pitágoras establece nuevamente
Combinando ambas ecuaciones
68
�� � � � �� � 2��
De la definición de coseno, se tiene cos � = !"
# y por tanto:
� = cos � − �
Sustituimos en la expresión para �� y simplificamos �� = � − �� − 2�( cos � − �)
concluyendo nuevamente
�� = � + �� − 2� cos �.
Esto concluye la demostración.
69
5.4 MARCO CONCEPTUAL
Los conceptos, teorías y construcciones de referentes teóricos sobre los cuales se
fundamenta esta investigación son retomados como sigue:
5.4.1 Qué es un problema
Respecto a este interrogante existe diversidad de referencias dentro de las que se
define como una “situación en la cual un individuo busca hacer algo, pero
desconoce en curso de la acción necesaria para lograr lo que se quiere” (Newell y
Simón 1972) o como una “situación en la cual un individuo actúa con el propósito
de alcanzar una meta, utilizando para ello algunas estrategias en particular” (Chi y
Glaser 1983)
5.4.2 Qué es un problema matemático
De la misma forma como existen múltiples referencias para definir qué es un
problema, ocurre lo mismo para definir un problema matemático. Alguna de estas
posturas los define como problemas que tratan entes matemáticos (números,
figuras geométricas, la continuidad, las transformaciones, etc.) las relaciones que
se establecen entre ellos y las leyes que lo rigen. En la aritmética, por ejemplo, los
problemas giran en torno a los números, las relaciones que se establecen entre
ellos y las propiedades de éstos.
5.4.3 Trigonometría
La trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre
los ángulos y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones
trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos.
En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones seno,
coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o
indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos
70
aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se
aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas
en la geometría del espacio.
5.4.4 Aprendizaje
Es el proceso de adquirir conocimientos, habilidades, actitudes o valores a través
del estudio y la enseñanza de diversas estrategias que fortalezcan el
razonamiento lógico; en el que intervienen activamente el docente y los discentes.
5.4.5 Competencia
Es la forma en que cualquier persona utiliza sus recursos personales, habilidades,
actitudes, recursos y su experiencia; para actuar de manera activa y responsable
en la construcción de su proyecto de vida tanto personal como social.
5.4.6 Aprendizaje por competencias
Se sustenta en dos vertientes teóricas “la primera, que lo considera como un
conocimiento actuado de carácter abstracto, universal e idealizado, la segunda lo
entiende como la capacidad de realización situada y afectada por el contexto en el
que se desenvuelven el sujeto y la actuación misma.
5.4.7 Lúdica
La lúdica se entiende como una dimensión del desarrollo de los individuos, siendo
parte constitutiva del ser humano. El concepto de lúdica es tan amplio como
complejo, pues se refiere a la necesidad del ser humano, de comunicarse, de
sentir, expresarse y producir en los seres humanos una serie de emociones
orientadas hacia el entretenimiento, la diversión, el esparcimiento, que nos llevan
a gozar, reír, gritar e inclusive llorar en una verdadera fuente generadora de
emociones. La Lúdica fomenta el desarrollo psico-social, la conformación de la
personalidad, evidencia valores, puede orientarse a la adquisición de saberes,
71
encerrando una amplia gama de actividades donde interactúan el placer, el gozo,
la creatividad y el conocimiento.
5.4.8 Las TIC en educación
La incorporación de las TIC en educación tiene como función ser un medio de
comunicación e intercambio de conocimiento y experiencias, instrumentos para
procesar la información, fuente de recursos, instrumento para la gestión
administrativa, medio lúdico y desarrollo cognitivo.
72
6 PROCEDIMIENTOS Y METODOLOGÍA
6.1 DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
Esta investigación se fundamenta en el diseño cuasi-experimental ya que, se
estudiarán las relaciones de causa efecto de los factores que inciden en el
aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno, los cuales no
podrían analizarse a fondo desde la óptica del diseño experimental, debido a que
no nos permite trabajar con personas desde el ámbito educativo, puesto que sería
imposible tener una manipulación y control riguroso de las variables en este caso
el aprendizaje por competencias de los estudiantes, por tal razón se tomó como
referencia el diseño cuasi experimental, para el uso de la investigación.
Cabe resaltar, que al hacer uso del diseño cuasi-experimental se manejan dos
grupos, uno control y uno experimental; Teniendo en cuenta que inicialmente a los
dos grupos sin establecer una división, se le aplica un pre-test con el fin de tener
una medición previa que permita vislumbrar el estado en el que se encuentra el
aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno de los discentes,
luego la muestra es seleccionada de forma aleatoria (los grupos se establecieron
teniendo en cuenta el pre-test y la técnica del grupo focal y así formar grupos
homogéneos), a estos grupos se le aplica un tratamiento diferente al inicial y
diferente entre sí (Grupo experimental: se le aplica un tratamiento que consiste en
el desarrollo de clases a través de actividades lúdicas que fortalecen el
razonamiento lógico y el Grupo control: desarrollo de un evento pedagógico de
forma tradicional los cuales carecen de este tipo de actividades lúdicas) después
se complementó con un post-test a fin de analizar y comparar la equivalencia entre
los dos grupos y así verificar que tan eficiente fue la aplicación del tratamiento.
73
6.2 TIPO DE INVESTIGACIÓN
El proceso investigativo se ubica dentro del enfoque holístico, mediado por un
abordaje de tratamiento de la información mixto, donde se combina lo cualitativo y
lo cuantitativo, haciendo énfasis en lo cualitativo, acorde con la significación de los
procesos interpretados, permitiendo la construcción y reconstrucción permanente.
Esto implica que la perspectiva cuasi experimental es válida, mirando con
propósitos de búsqueda de validez y confiabilidad de los avances logrados.
6.2.1. Etapas de la investigación: Las fases llevadas a cabo en la ejecución del
presente trabajo en su parte empírica fueron las siguientes:
• Diseño de técnicas e instrumentos: En esta fase se elaboraron formatos de
encuestas a estudiantes y docentes, pre-test, estructura de una entrevista
focal, fichas de matriz de observaciones y post-test.
• Aplicación de las técnicas e instrumentos: Se le aplica un test a todos los
estudiantes del grupo experimental para indagar la fundamentación teórico-
conceptual del teorema del seno y el coseno en el que se encuentran los
discentes. De igual forma una entrevista a los docentes para conocer qué
tipo de actividades consideran ellos contribuyen a fortalecer el aprendizaje.
• Análisis e interpretación de la información recolectada: En esta fase se
hace un diagnóstico y un análisis de los resultados de las encuestas a
estudiantes y docentes, pre-test, aplicación de la técnica del grupo focal,
matriz de observación y un post-test acerca del nivel de fundamentación
teórico-conceptual del teorema del seno y el coseno presente en cada uno
de los estudiantes del grupo experimental al cual se le implementaron
actividades lúdicas.
74
• Elaboración de conclusiones: en esta fase se identificarán los hallazgos,
aportes logrados y posibles puntos de intervención-solución de acuerdo al
problema de investigación.
• Diseño de la propuesta: En esta fase se elaborán las estrategias didácticas
que contribuyen a fortalecer la fundamentación teórico-conceptual del
teorema del seno y el coseno.
• Implementación de la propuesta: Durante esta fase los estudiantes
fortalecerán su aprendizaje del teorema del seno y el coseno, a través de la
utilización de estrategias y actividades lúdicas.
• Aplicación de post-test: Aquí se llevará a cabo la aplicación de un post-test
en los grupos experimental y de control.
• Elaboración del informe final: Esta fase consiste en sistematizar y analizar
todo el proceso desarrollado en el proyecto de investigación.
6.3 TECNICAS E INSTRUMENTOS
Con la finalidad de analizar el aprendizaje por competencias del teorema del seno
y el coseno en cada uno de los estudiantes del grupo experimental se realizó un
pre-prueba en donde los estudiantes mostraban deficiencias relacionadas con la
aplicación del teorema del seno y el coseno en las cuales pueden incidir ciertos
factores tales como: desinterés, desconfianza, rechazo a la asignatura, o
problemas.
Se aplicaron diferentes instrumentos de evaluación en el desarrollo del proyecto:
6.3.1 Ficha de encuesta de información primaria a estudiantes: Con el fin de
indagar sobre la edad de los estudiantes, estrato, lugar de residencia, acceso al
computador, entre otros ítems que nos permita conocer la muestra tomada (ver
anexo 1).
75
6.3.2 Encuesta a estudiantes: Para corroborar las respuestas dadas por los
discentes (ver anexos 2 y 3) y para indagar sobre la actitud hacia el docente (ver
anexo 4)
6.3.3 Fichas de encuesta a docentes: Aplicar esta técnica permite conocer
aspectos metodológicos y pedagógicos que utiliza el docente para desarrollar su
práctica (ver anexo 5). Además se pregunta acerca de la actitud de los
estudiantes hacia la clase. Ver anexo 6.
6.3.4 Ficha de matriz de observación: Aquí se registraron comportamientos de
los estudiantes durante el evento pedagógico y durante el desarrollo de las
actividades. Ver anexo 7.
6.3.5 Pre-prueba: Basado en los conceptos previos y la aplicación del teorema
del seno y el coseno en la resolución de problemas, donde los estudiantes
debieron aplicar los conceptos vistos en clase. Ver anexos 8 y 9.
6.3.6 Post-prueba: Basado en el aprendizaje por competencias del teorema del
seno y el coseno; y la resolución de problemas, donde los estudiantes debieron
aplicar los conocimientos adquiridos con el fin de interpretar, argumentar y
proponer los resultados de los estudiantes y así verificar los logros obtenidos.
6.4 DELIMITACION DEL TEMA
6.4.1 POBLACIÓN Y MUESTRA
La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes
(10º) de la Institución Educativa
Calle 51B N° 1D- 64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de
conforman 69 estudiantes.
La institución educativa distrital Jesús maestro Fe y Alegría cuenta con
estudiantes de niveles económicos 1,2 y 3, contando con mayor número de
estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos econ
En la gráfica 1 y 2
estudiantes del grupo
En la siguiente grafica (grafica 3
experimental, en donde se evidencia que predomina el género masculino en
ambos grupos.
6% 3%
ExperimentalEstrato socioeconomico
DELIMITACION DEL TEMA
POBLACIÓN Y MUESTRA
La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes
de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, ubicado en la
64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de
conforman 69 estudiantes.
La institución educativa distrital Jesús maestro Fe y Alegría cuenta con
estudiantes de niveles económicos 1,2 y 3, contando con mayor número de
estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos econ
En la gráfica 1 y 2 se encuentran caracterizados los estratos económicos de los
estudiantes del grupo experimental y control, respectivamente.
Gráfica 1 Gráfica 2
la siguiente grafica (grafica 3) se muestra el género del grupo control y
experimental, en donde se evidencia que predomina el género masculino en
91%
3%
ExperimentalEstrato socioeconomico
Uno
Dos
17%
ControlEstrato socioeconomico
Uno
76
La población estudiada estuvo compuesta por los estudiantes de décimo grado
Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, ubicado en la
64, Barrio Siete de Abril. La muestra tomada de la población la
La institución educativa distrital Jesús maestro Fe y Alegría cuenta con
estudiantes de niveles económicos 1,2 y 3, contando con mayor número de
estudiante con un nivel económico bajo (pocos y escasos recursos económicos).
se encuentran caracterizados los estratos económicos de los
, respectivamente.
fica 2
) se muestra el género del grupo control y
experimental, en donde se evidencia que predomina el género masculino en
83%
ControlEstrato socioeconomico
Uno Dos
En la grafica 4 se muestran las edades de los grupos control y experimental, las
cuales oscilan entre los 13 y los 18 años de edad.
Las siguientes gráficas (gr
estudiantes de los grupos experimental
casas.
Gr
0
10
20
30
Sí
ExperimentalTiene compuatdor
Gráfica 3.
se muestran las edades de los grupos control y experimental, las
cuales oscilan entre los 13 y los 18 años de edad.
Gráfica 4.
ficas (gráfica 5 y gráfica 6) muestran que la gran mayoria de los
estudiantes de los grupos experimental y control no tienen computador en sus
Gráfica 5. Gr
Femenino
Masculino
14
21
16
18
Género
Experimental Control
12 años o menos
13 – 14 años
15 – 16 años
17 – 18 años
19 años o más
1
30
4
1
31
2
EdadExperimental Control
No
ExperimentalTiene compuatdor
0
10
20
30
Sí
ControlTiene computador
77
se muestran las edades de los grupos control y experimental, las
) muestran que la gran mayoria de los
no tienen computador en sus
Gráfica 6.
No
ControlTiene computador
La gráfica 7 muestra có
uso del computador.
A continuación en las grá
Office (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de
muestra.
Gr
Se les preguntó a
usan el computador, ya sea en sus casas, en el colegio o en algún café internet,
los resultados obtenidos se observan en
0 1
8
1 22 3
Experimental:Manejo de office
M. Word M. Excel
muestra cómo se evalúan, según los propios estudiantes,
computador.
Gráfica 7.
continuación en las gráficas 8 y 9 se ilustra cómo es el manejo
ffice (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de
Gráfica 8. Grá
los estudiantes de la muestra acerca de la frecuencia en que
usan el computador, ya sea en sus casas, en el colegio o en algún café internet,
los resultados obtenidos se observan en la gráfica 10.
Deficiente
Insuficiente
Aceptable
Sobresaliente
Excelente
No sabe-No responde
1
11
1
1
12
16
4
1
Cómo se evalúa en el uso del computador
Experimental Control
8
15
101113
79
128
610
18
Experimental:Manejo de office
M. PowerPoint Internet
1 213
14
Control:Manejo de office
M. Word M. Excel
78
, según los propios estudiantes, en cuanto al
mo es el manejo de Microsoft
ffice (Word, Excel, PowerPoint) e internet, por parte de los estudiantes de la
Gráfica 9.
acerca de la frecuencia en que
usan el computador, ya sea en sus casas, en el colegio o en algún café internet,
22
Cómo se evalúa en el uso del computador
9
14
911
17
3
8
1399
7
19
Control:Manejo de office
M. Excel M. PowerPoint Internet
En las gráficas 11 y 12
matemáticas (matlab, geogebra, derive, cabri), los resultados arrojados se
presentan en las siguientes graficas.
Grá
Dos horas o
semanales
Cabri
GeoGebra
Derive
MatLab
2
1
1
1
Experimental:Conoce los siguientes software
Gráfica 10.
11 y 12 se determina si conocen algún software que se utilizan en
matemáticas (matlab, geogebra, derive, cabri), los resultados arrojados se
presentan en las siguientes graficas.
áfica 11. Gr
Dos horas o menos
semanales
Tres a cinco horas
semanales
Seis a ocho horas
semanales
Nueve a once horas semanales
Doce o más horas
semanales
No sabe- No responde
1610
21 6
138
3 3 3 4
Frecuencia con que utiliza el computador
Control Experimental
32
33
33
33
Experimental:Conoce los siguientes software
Sí No
Cabri
GeoGebra
Derive
MatLab
3
2
4
1
Control:Conoce los siguientes software
79
se determina si conocen algún software que se utilizan en
matemáticas (matlab, geogebra, derive, cabri), los resultados arrojados se
Gráfica 12.
No
32
33
31
34
Control:Conoce los siguientes software
Sí No
80
7. ANALISIS E INTERPRETACION DE RESULTADOS
En la fase preliminar de este proyecto se realizaron encuestas y entrevistas a los
estudiantes y docentes de la Institución educativa Distrital Jesús Maestro, con el
fin de obtener información que permita fortalecer el trabajo de investigación del
grupo. Además se realizó un taller diagnóstico, tanto al grupo control como al
experimental, esto con el objetivo de detectar el estado en el que se encuentra su
aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno.
7.1. Encuesta a estudiantes y docente: Para facilitar el desarrollo de este
proyecto se cuenta con la acertada participación de los estudiantes y docente de
la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, los cuales se
mostraron dispuestos a colaborar en todas las actividades requeridas, actitud que
contribuirá a mejorar su aprendizaje y responsabilidad en su quehacer diario.
7.1.1. Análisis de encuesta a estudiantes del grupo experimental:
• ¿Cuánto tiempo dedica en el día para estudiar en casa?: De acuerdo a los
resultados arrojados el 14.5 % de los estudiantes no estudian en sus
casas, El 52.2% dedica menos de una hora para estudiar en la casa, el
20.3% dedican entre una a dos horas para estudiar en la casa; y solo 13%
de los estudiantes encuestados dedican más de dos horas para estudiar.
De acuerdo con esta información se puede concluir que el tiempo
empleado por los estudiantes para estudiar en sus casas es muy mínimo
provocando esto un desentendimiento con las asignaturas que ven en el
día en el colegio.
• ¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?
De acuerdo con el gr
la clase de matemáticas, el 43.5% d
en la clase, 40.6% en ciertas ocasiones participa en la clase de matemáticas y
solo el 8.7% participa
demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asigna
matemáticas y esto puede ser una posible causa al problema de investigación.
• ¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:
De acuerdo con la información el 2.9% de los estudiantes no han asimilado el
teorema del seno y el coseno en su aprendizaje, el 53.6% de los estudiantes
con dificultad lo ha asimilado, el 34.8% de los estudiantes con un mínimo
35%
21%
Experimental:¿Cuánto tiempo dedica en el día para
estudiar en casa?NingunoDos horas
Gráfica 13 Gráfica 14
frecuencia participas en la clase de matemáticas?
De acuerdo con el gráfico y la tabla el 7.2% de los estudiantes no participa
la clase de matemáticas, el 43.5% de los estudiantes participa
en la clase, 40.6% en ciertas ocasiones participa en la clase de matemáticas y
solo el 8.7% participan constantemente en la clase de matemáticas. Esto
demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asigna
matemáticas y esto puede ser una posible causa al problema de investigación.
Gráfica 15
¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:
De acuerdo con la información el 2.9% de los estudiantes no han asimilado el
teorema del seno y el coseno en su aprendizaje, el 53.6% de los estudiantes
con dificultad lo ha asimilado, el 34.8% de los estudiantes con un mínimo
12%
32%
Experimental:¿Cuánto tiempo dedica en el día para
estudiar en casa?Menos de una horaMás de dos horas
40%
14%
Control:¿Cuánto tiempo dedica en el día para
estudiar en casa?NingunoDos horas
No participo Pocas veces A veces Constante
7
12 11
5
9 9 10
6
¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?
Control Experimental
81
fica 14
frecuencia participas en la clase de matemáticas?
fico y la tabla el 7.2% de los estudiantes no participan en
e los estudiantes participan pocas veces
en la clase, 40.6% en ciertas ocasiones participa en la clase de matemáticas y
constantemente en la clase de matemáticas. Esto
demuestra el poco interés que los estudiantes tienen a la asignatura de
matemáticas y esto puede ser una posible causa al problema de investigación.
¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?:
De acuerdo con la información el 2.9% de los estudiantes no han asimilado el
teorema del seno y el coseno en su aprendizaje, el 53.6% de los estudiantes
con dificultad lo ha asimilado, el 34.8% de los estudiantes con un mínimo
17%
29%
14%
Control:¿Cuánto tiempo dedica en el día para
estudiar en casa?Menos de una horaMás de dos horas
82
grado de facilidad lo ha asimilado y solo el 8.7% de los estudiantes han
asimilado con mucha facilidad el teorema del seno y el coseno en su
aprendizaje. Es muy preocupante que más de la mitad de los estudiantes
piensen que el teorema del seno y el coseno llegó como un tema más de
matemáticas y así como llegó, se fue sin cambiarle nada en su aprendizaje.
Gráfica 16.
• ¿Cómo es tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
A esta pregunta el 4.3% de los encuestados respondió que al momento de
interpretar un problema acerca del teorema del seno y el coseno ellos no los
entienden, el 59.4% se les dificulta mucho entenderlos, el 26.1% los entienden con
cierta facilidad y solo 10.1% los entienden con gran facilidad. De acuerdo a esta
información los estudiantes no interpretan un problema que involucren para
resolverlos el teorema del seno o el coseno, pueda que esto sea el factor más
influyente en el problema de investigación ya que a partir de la interpretación de
un problema el estudiante abre camino para su resolución y si éste no interpreta
no podrá resolverlo.
316
124
2
18
10
40
10
20
30
40
No lo he aprendido Con dificultad Con cierta facilidad Con mucha facilidad
¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?
Experimental Control
• ¿Cómo argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solución de un ejercicio?
De acuerdo con el gr
qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejerci
49.3% de los estudiantes argumenta con dificultad, el 31.9% con cierta facilidad
argumenta y el 8.7% de los estudiantes sabe argumentar. Cabe resaltar que al
hablar de argumentación en un problema se dirige a la forma como el estudiante
identifica y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además
podemos inferir que la mayoría de los estudiantes no saben que teorema utilizar al
momento de resolver un problema.
Gráfica 17.
argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solución de un ejercicio?
De acuerdo con el gráfico el 10.1% de los estudiantes no sabe argumentar el por
qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejerci
49.3% de los estudiantes argumenta con dificultad, el 31.9% con cierta facilidad
argumenta y el 8.7% de los estudiantes sabe argumentar. Cabe resaltar que al
hablar de argumentación en un problema se dirige a la forma como el estudiante
y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además
podemos inferir que la mayoría de los estudiantes no saben que teorema utilizar al
momento de resolver un problema.
Gráfica 18.
No lo he aprendido
Con dificultad
Con cierta facilidad
Con mucha facilidad
3
16
12
4
2
18
10
4
¿Cómo es tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema del seno y el coseno?
Control Experimental
No sé argumentar
Con dificultad
Con cierta facilidad
Es fácil de argumentar
4
17
10
4
5
15
11
3
¿Como argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para la solucion de un
ejercicio?
Experimental Control
83
argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno
fico el 10.1% de los estudiantes no sabe argumentar el por
qué utiliza el teorema del seno o el coseno al momento de resolver un ejercicio, el
49.3% de los estudiantes argumenta con dificultad, el 31.9% con cierta facilidad
argumenta y el 8.7% de los estudiantes sabe argumentar. Cabe resaltar que al
hablar de argumentación en un problema se dirige a la forma como el estudiante
y aplica el teorema necesario para resolver el problema. Además
podemos inferir que la mayoría de los estudiantes no saben que teorema utilizar al
¿Cómo es tu interpretación de los problemas de
17
teorema del seno y el coseno para la solucion de un
• ¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida cotidiana?
De acuerdo con la información presentada
estudiantes no le ve aplicación a los teorema del seno y el coseno en la vida
diaria, el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta
utilidad y solo el 20.3% piensa que el teorema del seno y el coseno tiene mucha
utilidad. Es preocupante que los estudiantes piensen que las matemáticas no se
dan en contexto (diario
intentaremos que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y
más específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.
• De acuerdo con el siguiente trirecomendarías para hallar el valor de c?
A la anterior pregunta el 12% de los estudiantes no saben cuál es el teorema que
ayuda a encontrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar
mediante la fórmula c² = a² + b², el 44% de los estudiantes creen que la mejor
opción es c² = a² + b²
formulac² = a²- b² -
que menos de la mitad de los estudiantes del grupo experimental hayan
identificado la formula apropiada y que el resto de los estudiantes no hayan
acertado. Esta pregunta es muy importante debido a que el
¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida
De acuerdo con la información presentada en la gráfica 19,
estudiantes no le ve aplicación a los teorema del seno y el coseno en la vida
el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta
utilidad y solo el 20.3% piensa que el teorema del seno y el coseno tiene mucha
utilidad. Es preocupante que los estudiantes piensen que las matemáticas no se
dan en contexto (diario vivir) y es por eso que a través de nuestra propuesta
que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y
s específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.
Gráfica 19
De acuerdo con el siguiente triángulo y los datos presentados, ¿Qué recomendarías para hallar el valor de c?
A la anterior pregunta el 12% de los estudiantes no saben cuál es el teorema que
ntrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar
mediante la fórmula c² = a² + b², el 44% de los estudiantes creen que la mejor
opción es c² = a² + b² - 2ab Cos 30º y solo el 9% cree que se puede utilizar la
2ab Cos 50º. De acuerdo con esta información es preocupante
que menos de la mitad de los estudiantes del grupo experimental hayan
identificado la formula apropiada y que el resto de los estudiantes no hayan
Esta pregunta es muy importante debido a que el
Ninguna Poca utilidad Cierta
utilidad Mucha utilidad
5 109 11
412
9 9
¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el cosen o en la vida cotidiana?
Control Experimental
84
¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el teorema del coseno en la vida
en la gráfica 19, el 11.6% de los
estudiantes no le ve aplicación a los teorema del seno y el coseno en la vida
el 37.7% de los estudiantes le ven poca utilidad, el 30.4% le ve cierta
utilidad y solo el 20.3% piensa que el teorema del seno y el coseno tiene mucha
utilidad. Es preocupante que los estudiantes piensen que las matemáticas no se
vivir) y es por eso que a través de nuestra propuesta
que los estudiantes cambien su visión acerca de las matemáticas y
s específicamente a la aplicación del teorema del seno y el coseno.
ngulo y los datos presentados, ¿Qué
A la anterior pregunta el 12% de los estudiantes no saben cuál es el teorema que
ntrar la solución, el 35% cree que la solución se puede hallar
mediante la fórmula c² = a² + b², el 44% de los estudiantes creen que la mejor
2ab Cos 30º y solo el 9% cree que se puede utilizar la
0º. De acuerdo con esta información es preocupante
que menos de la mitad de los estudiantes del grupo experimental hayan
identificado la formula apropiada y que el resto de los estudiantes no hayan
Esta pregunta es muy importante debido a que el teorema de Pitágoras
¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el cosen o en
es un concepto previo que es fundamental para abordar el teorema del seno y el
coseno.
Gr
7.1.2. Encuesta a docente:
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, con el fin de recoger
datos importantes cuyo análisis e interpretación serán de gran apoyo para el
diseño de la propuesta metodológica que facilite el
el coseno. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
• De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema
de seno y el coseno antes de dar la clase: Dos de los docentes de
matemáticas de la institució
coseno por medio de ejercicios en clases, un docente por medio de la
lúdica y otro más por medio de la lúdica. Se puede concluir que los
docentes de matemática de la institución recurren a la socialización de
ejercicios en clase proporcionando esto que los estudiantes tengan un
papel secundario en la clase, pues es el docente el que resuelve los
ejercicios en la mayoría de los casos.
44%
9%
Experimental:Para hallar el valor de c es
recomendable usar:
No se
c² = a² + b² - 2ab Cos 30º
es un concepto previo que es fundamental para abordar el teorema del seno y el
Gráfica 20. Grá
Encuesta a docente: se le hizo una encuesta a los docentes de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, con el fin de recoger
datos importantes cuyo análisis e interpretación serán de gran apoyo para el
diseño de la propuesta metodológica que facilite el estudio del teorema del seno y
el coseno. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema
de seno y el coseno antes de dar la clase: Dos de los docentes de
matemáticas de la institución preparan las clases del teorema del seno y el
coseno por medio de ejercicios en clases, un docente por medio de la
lúdica y otro más por medio de la lúdica. Se puede concluir que los
docentes de matemática de la institución recurren a la socialización de
ejercicios en clase proporcionando esto que los estudiantes tengan un
papel secundario en la clase, pues es el docente el que resuelve los
ejercicios en la mayoría de los casos.
12%
35%
9%
Experimental:Para hallar el valor de c es
recomendable usar:
c² = a² + b²
2ab Cos 30º c² = a²- b² - 2ab Cos 50º
43%
11%
Control:Para hallar el valor de c es
recomendable usar:
No sec² = a² + b² - 2ab Cos 30º
85
es un concepto previo que es fundamental para abordar el teorema del seno y el
Gráfica 21.
se le hizo una encuesta a los docentes de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, con el fin de recoger
datos importantes cuyo análisis e interpretación serán de gran apoyo para el
estudio del teorema del seno y
De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema
de seno y el coseno antes de dar la clase: Dos de los docentes de
n preparan las clases del teorema del seno y el
coseno por medio de ejercicios en clases, un docente por medio de la
lúdica y otro más por medio de la lúdica. Se puede concluir que los
docentes de matemática de la institución recurren a la socialización de
ejercicios en clase proporcionando esto que los estudiantes tengan un
papel secundario en la clase, pues es el docente el que resuelve los
9%
37%
11%
Control:Para hallar el valor de c es
recomendable usar:
c² = a² + b² 2ab Cos 30º c² = a²- b² - 2ab Cos 50º
• Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio
de trigonometría: El 75% de los docentes encuestados contestaron que son
pocas las veces en que los estudiantes pasan al tabler
contestaron que a veces pasa los estudiantes al tablero. De acuerdo a lo
anterior los estudiantes casi nunca dan sus puntos de vistas o no exponen
la forma como entendieron la clase.
• Con que frecuencia
coseno en la vida diaria: Dos de los docentes encuestados respondieron
que a veces exponen la aplicación del teorema del seno y el coseno en la
Gráfica 22.
Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio
de trigonometría: El 75% de los docentes encuestados contestaron que son
pocas las veces en que los estudiantes pasan al tabler
contestaron que a veces pasa los estudiantes al tablero. De acuerdo a lo
anterior los estudiantes casi nunca dan sus puntos de vistas o no exponen
la forma como entendieron la clase.
Gráfica 23.
Con que frecuencia usted expone la aplicación del teorema del seno y el
coseno en la vida diaria: Dos de los docentes encuestados respondieron
que a veces exponen la aplicación del teorema del seno y el coseno en la
1 1
2
Preparacion de clase
0
5
NuncaPocas veces
A vecesMuchas veces
Nunca Pocas veces A veces
Series1 3 1
Con qué frecuencia pasan los estudiantes la tablero
86
Con que frecuencia pasan los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio
de trigonometría: El 75% de los docentes encuestados contestaron que son
pocas las veces en que los estudiantes pasan al tablero y el 25% de ellos
contestaron que a veces pasa los estudiantes al tablero. De acuerdo a lo
anterior los estudiantes casi nunca dan sus puntos de vistas o no exponen
usted expone la aplicación del teorema del seno y el
coseno en la vida diaria: Dos de los docentes encuestados respondieron
que a veces exponen la aplicación del teorema del seno y el coseno en la
Muchas veces
Muchas veces
Con qué frecuencia pasan los estudiantes la
vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplic
en el diario vivir pueda que cause el desinterés del educando por el tema.
• Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del
teorema del seno y el coseno
docentes la mayoría de las veces motiva al estudiante a argumentar el uso
del teorema del seno y el coseno; el otro 50% lo hace a veces, cuando la
situación lo amerite.
• ¿Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza
75% de los docentes utiliza la coevaluación como medio para medir el nivel
vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplic
en el diario vivir pueda que cause el desinterés del educando por el tema.
Gráfica 24.
Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del
teorema del seno y el coseno en la resolución de problemas: El 50% de los
docentes la mayoría de las veces motiva al estudiante a argumentar el uso
del teorema del seno y el coseno; el otro 50% lo hace a veces, cuando la
situación lo amerite.
Gráfica 25
Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza
75% de los docentes utiliza la coevaluación como medio para medir el nivel
25%
50%
25%
Expone la aplicación del teorema del seno y el coseno en la vida diaria
Nunca Pocas veces A veces Muchas veces
50%50%
Motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema del seno y el coseno
en la resolucion de problemas
Nunca Pocas veces A veces Muchas veces
87
vida diaria. El que no se le muestre al estudiante la aplicabilidad de un tema
en el diario vivir pueda que cause el desinterés del educando por el tema.
Con que frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del
en la resolución de problemas: El 50% de los
docentes la mayoría de las veces motiva al estudiante a argumentar el uso
del teorema del seno y el coseno; el otro 50% lo hace a veces, cuando la
Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza?: El
75% de los docentes utiliza la coevaluación como medio para medir el nivel
Expone la aplicación del teorema del seno
Muchas veces
Motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema del seno y el coseno
Muchas veces
de comprensión de los conc
heterovaluacion.
• ¿Cómo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y
aprendizaje del teorema del seno y el coseno
docentes afirman que su capacitación en el teorema del seno y el coseno
es buena; y solo un docente esta afirma que está completamente
capacitado en este tema.
Justificación:
• Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una
orientación.
de comprensión de los conceptos; y solo el 25% de los docentes utiliza la
heterovaluacion.
Gráfica 26
mo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y
aprendizaje del teorema del seno y el coseno?: Tres de los cuatros
docentes afirman que su capacitación en el teorema del seno y el coseno
es buena; y solo un docente esta afirma que está completamente
capacitado en este tema.
Gráfica 27.
Justificación:
Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una
31
Tipo de evaluacion utilizada en sus clases
75%
25%
Como es su capacitacion en el teorema del seno y el coseno
Debo recibir mas orientacion Regular
Bueno Totalmente capacitado
88
eptos; y solo el 25% de los docentes utiliza la
mo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza y
: Tres de los cuatros
docentes afirman que su capacitación en el teorema del seno y el coseno
es buena; y solo un docente esta afirma que está completamente
Me siento capacitado para desarrollar este tema. No está demás una
Tipo de evaluacion utilizada en sus clases
89
• La experiencia que he tenido durante en mi larga trayectoria en el
magisterio me permite desarrollar este tema con mucho profesionalismo.
• Tengo una buena capacitación pero no está demás una orientación más
especializada para obtener un mejor rendimiento académico por parte de
los estudiantes.
• Tengo la suficiente capacitad para desarrollar este tema, pero siempre
tenemos que estar dispuesto a nuevas propuestas metodológicas.
Queda visto que los docentes están dispuestos a recibir capacitación acerca de
cualquier propuesta metodológica innovadora, permitiendo esto una mejor
socialización de la clase.
7.2 ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE OBSERVACIÓN DE LOS ES TUDIANTES
DEL GRUPO CONTROL Y DEL GRUPO EXPERIMENTAL
Las matrices de observaciones fueron elaboradas con el propósito de visualizar
los factores (atención, motivación, participación, seguridad), los cuales influyen en
el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.
Es preciso decir que en los dos grupos seleccionados (control y experimental) y en
cada clase se hizo uso de una matriz de observación.
En las siguientes gráficas se hace una comparación entre los dos grupos
(experimental y control) de los factores antes mencionados aplicados en cada una
de las clases.
En la gráfica se muestra que en la primera clase, la atención y motivación de los
estudiantes del grupo experimental es superior a la del control, pero fueron más
los estudiantes del grupo control los que participaron.
En la segunda clase se puede notar que los estudiantes del grupo experimental
mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo
En la tercera clase fueron los estudiantes del grupo experimental los que
participaron en el desarrollo de la clase.
Gráfica 28.
En la segunda clase se puede notar que los estudiantes del grupo experimental
mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo
Gráfica 29
En la tercera clase fueron los estudiantes del grupo experimental los que
participaron en el desarrollo de la clase.
Gráfica 30
0
5
10
15
20
Clase 1
Control
Experimental
Atencion
Motivacion
Participacion
Seguridad
24
14
6
4
24
16
7
5
Clase 2
Experimental Control
05
10152025
Clase 3
Control
Experimental
90
En la segunda clase se puede notar que los estudiantes del grupo experimental
mostraron más motivación, participación y seguridad que el grupo control.
En la tercera clase fueron los estudiantes del grupo experimental los que
Control
Experimental
En la cuarta clase observada se noto que fueron más los estudiantes del grupo
control los que estaban motivados y participaron en el desarrollo de la clase.
De manera general se puede notar que los estudiantes tanto del grupo control y
del grupo experimental no están atentos al desarrollo de la clase, además la
participación es poco mostr
7.3 ANÁLISIS DE LOS R
PRUEBA) APLICADA A LOS EST
Debido a que estos cuestionarios
indagar el nivel de aprendizaje
de los discentes se tuvo la necesidad de utilizar
corroborar las respuestas dadas por los mismos y así obtener una información
más detallada y precisa.
En las siguientes gr
de los estudiantes tanto del grupo control como el experimental
En la cuarta clase observada se noto que fueron más los estudiantes del grupo
control los que estaban motivados y participaron en el desarrollo de la clase.
Gráfica 31
De manera general se puede notar que los estudiantes tanto del grupo control y
del grupo experimental no están atentos al desarrollo de la clase, además la
participación es poco mostrando poca seguridad en el dominio del tema.
3 ANÁLISIS DE LOS R ESULTADOS DE LA PRUE BA DIAGNÓSTICA (PRE
) APLICADA A LOS EST UDIANTES
Debido a que estos cuestionarios (ver anexo 5) se realizaron con l
indagar el nivel de aprendizaje por competencia del teorema del seno y el coseno
discentes se tuvo la necesidad de utilizar la técnica del grupo focal
corroborar las respuestas dadas por los mismos y así obtener una información
más detallada y precisa.
En las siguientes gráficas se nota el poco dominio de la temática tratada por parte
de los estudiantes tanto del grupo control como el experimental
Atencion
Motivacion
Participacion
Seguridad
22
15
7
5
20
13
4
3
Clase 4
Control Experimental
91
En la cuarta clase observada se noto que fueron más los estudiantes del grupo
control los que estaban motivados y participaron en el desarrollo de la clase.
De manera general se puede notar que los estudiantes tanto del grupo control y
del grupo experimental no están atentos al desarrollo de la clase, además la
ando poca seguridad en el dominio del tema.
BA DIAGNÓSTICA (PRE -
se realizaron con la intención de
por competencia del teorema del seno y el coseno
la técnica del grupo focal para
corroborar las respuestas dadas por los mismos y así obtener una información
ficas se nota el poco dominio de la temática tratada por parte
de los estudiantes tanto del grupo control como el experimental
92
Pregunta
Objetivo
Porcentajes
Conclusión acertadas No acertadas
Primera
Pregunta
Resolución de un
ejercicio mediante
la utilización de
teorema de
Pitágoras
32%
68%
Los estudiantes mostraron
deficiencias en la aplicación
del teorema de Pitágoras
como concepto previo.
Segunda
Pregunta
(a)
Resolución de un
ejercicio usando
las razones
trigonométricas
para hallar la
medida de un
ángulo
38%
62%
La mayoría de los
estudiantes no manejan
correctamente las razones
trigonométricas y presentan
dificultades en el uso de la
calculadora.
Segunda
Pregunta
(b)
Resolución de un
ejercicio usando el
teorema de
Pitágoras
38%
62%
Los estudiantes utilizan
conceptos que no sirven
para la solución del
ejercicio, despreciando el
uso del teorema de
Pitágoras.
Tercera
Pregunta
Señalar las
proposiciones que
mejor describen al
teorema del
coseno
35%
65%
Los estudiantes no
relacionan el teorema del
coseno con el teorema de
Pitágoras
Cuarta
Pregunta
Proponer una
situación problema
que relacione el
tema dado
26%
74%
Al momento de proponer
situaciones problemas el
estudiante no tiene la
creatividad para ilustrar el
problema.
Tabla 1: muestra las conclusiones de la pre-prueba al grupo experimental.
93
Pregunta
Objetivo
Porcentajes
Conclusión acertadas No acertadas
Primera
Pregunta
Resolución de un
ejercicio mediante
la utilización de
teorema de
Pitágoras
34%
66%
Los estudiantes mostraron
deficiencias en la aplicación
del teorema de Pitágoras
como concepto previo.
Segunda
Pregunta
(a)
Resolución de un
ejercicio usando
las razones
trigonométricas
para hallar la
medida de un
ángulo
31%
69%
La mayoría de los
estudiantes no manejan
correctamente las razones
trigonométricas y presentan
dificultades en el uso de la
calculadora.
Segunda
Pregunta
(b)
Resolución de un
ejercicio usando el
teorema de
Pitágoras
37%
63%
Los estudiantes utilizan
conceptos que no sirven
para la solución del
ejercicio, despreciando el
uso del teorema de
Pitágoras.
Tercera
Pregunta
Señalar las
proposiciones que
mejor describen al
teorema del
coseno
40%
60%
Los estudiantes no
relacionan el teorema del
coseno con el teorema de
Pitágoras
Cuarta
Pregunta
Proponer una
situación problema
que relacione el
tema dado
31%
69%
Al momento de proponer
situaciones problemas el
estudiante no tiene la
creatividad para ilustrar el
problema.
Tabla 2: muestra las conclusiones de la pre-prueba al grupo control.
Sólo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una
propuesta; 5 estudiantes del grupo experimental se acercaron a la descripción de
una situación similar a la planteada, aunque hay que orientarlos mejor; y 25 de los
estudiantes no lograron plantear una situación similar.
Correcta
Primera pregunta
Control
Correctas
Incorrectas
Segunda pregunta (b)
Gráfica 32.
Gráfica 34. Grá
Gráfica 36.
lo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una
propuesta; 5 estudiantes del grupo experimental se acercaron a la descripción de
una situación similar a la planteada, aunque hay que orientarlos mejor; y 25 de los
estudiantes no lograron plantear una situación similar.
CorrectaIncorrecta
12
2311
23
Primera pregunta
Control Experimental
Correcta
Incorrecta
14
21
Segunda pregunta (a)
Control
13
22
23
11
Segunda pregunta (b)
Control Experimental
Correcta
14 12
Tercera pregunta
Control
CorrectasIncorrectas
13 22
23
11
Cuarta pregunta
Control Experimental
94
Gráfica 33.
Gráfica 35.
lo 4 estudiantes del grupo experimental plantearon una situación similar a la
propuesta; 5 estudiantes del grupo experimental se acercaron a la descripción de
una situación similar a la planteada, aunque hay que orientarlos mejor; y 25 de los
21
15
19
Segunda pregunta (a)
Experimental
Incorrecta
21 22
Tercera pregunta
Experimental
Algunas de las situaciones planteadas fueron:
� Un avión sale de un aeropuert
constante de 8º hasta que adquiere una altura de 6 km. Determinar a qué
distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento
� Un triangulo oblicuá
c=4 cm halle los demás datos con el teorema del coseno
� Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura
de 30 m y el pisó 5 m tienen un Angulo de depresión de 180º
7.4 ANÁLISIS DE LA POST
(EL GRUPO EXPERIMENT
El grupo investigador desarrolló una evaluación tipo ICFES donde se evalúa el
componente matemático
solución de problemas.
COMPETENCIAS COMUNICATIVAS:
experimental desarrolló
significativa que el del grupo control, lo que quiere decir, que las actividades
aplicadas para fortalecer el desarr
0
5
10
15
20
25
Control
Pregunta 1
las situaciones planteadas fueron:
Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un Á
constante de 8º hasta que adquiere una altura de 6 km. Determinar a qué
distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento
Un triangulo oblicuángulo donde el lado a=6 cm y el lado b=2 cm y el lado
c=4 cm halle los demás datos con el teorema del coseno
Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura
de 30 m y el pisó 5 m tienen un Angulo de depresión de 180º
DE LA POST-PRUEBA REALIZADOS EN
(EL GRUPO EXPERIMENTAL Y EL CONTROL)
El grupo investigador desarrolló una evaluación tipo ICFES donde se evalúa el
componente matemático y las competencias comunicativas, razonamiento lógico y
oblemas.
COMPETENCIAS COMUNICATIVAS: Se puede evidenciar que
experimental desarrolló las competencias comunicativas de forma más
significativa que el del grupo control, lo que quiere decir, que las actividades
aplicadas para fortalecer el desarrollo de las competencias fueron fructíferas.
Gráfica 37. Gráfica 3
Experimental
Pregunta 1
Correcta
Incorrecta
14Control
Experimental
Pregunta 2
Correcta
95
o y se eleva manteniendo un Ángulo
constante de 8º hasta que adquiere una altura de 6 km. Determinar a qué
distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento
ngulo donde el lado a=6 cm y el lado b=2 cm y el lado
c=4 cm halle los demás datos con el teorema del coseno
Un hombre tira un peñón desde arriba a una diagonal de 20 m y una altura
de 30 m y el pisó 5 m tienen un Angulo de depresión de 180º
PRUEBA REALIZADOS EN LOS DOS GRUPOS
El grupo investigador desarrolló una evaluación tipo ICFES donde se evalúa el
y las competencias comunicativas, razonamiento lógico y
Se puede evidenciar que el grupo
las competencias comunicativas de forma más
significativa que el del grupo control, lo que quiere decir, que las actividades
ollo de las competencias fueron fructíferas.
fica 38.
14
23
21
11
Pregunta 2
Correcta Incorrecta
Gráfica
Control
11
24
Pregunta 3
Correcta
Control
Experimental
12
Pregunta 8
Correcta
Correcta
Incorrecta
0
5
10
15
20
25
30Pregunta 11
fica 39.
Gráfica 41. Gráfica 42.
Gráfica 43 Grá
Experimental
21
24
13
Pregunta 3
Correcta Incorrecta
0
5
10
15
20
25
Control
Pregunta 4
12
25
23
9
Pregunta 8
Correcta Incorrecta
Correctas
Incorrectas
13
Pregunta 9
Control
Control Experimental
10 22
25 12
Pregunta 11
Control
Experimental
Pregunta 16
Incorrecta
96
Gráfica 40.
Gráfica 41. Gráfica 42.
áfica 44
Experimental
Pregunta 4
Correcta
Incorrecta
22
23
11
Pregunta 9
Experimental
13
26
22
8
Pregunta 16
Incorrecta Correcta
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo
experimental tuvo mayor puntaje con relación al grupo control, es decir, las
actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron
capacidad de solucionar problemas de la vida diaria.
Control
13
22
Pregunta 5
Correcta
Gráfica 45
N DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo
experimental tuvo mayor puntaje con relación al grupo control, es decir, las
actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron
capacidad de solucionar problemas de la vida diaria.
Gráfica 46 Gráfica 4
Control
Experimental
13
25
22
9
Pregunta 19
Correcta Incorrecta
Experimental
25
9
Pregunta 5
Correcta Incorrecta
0% 50%
Control
Experimental
Pregunta 13
97
N DE PROBLEMAS: En estas gráficas se puede notar que el grupo
experimental tuvo mayor puntaje con relación al grupo control, es decir, las
actividades aplicadas y las clases desarrolladas formaron en los estudiantes la
fica 47
50% 100%
Pregunta 13
Correcta
Incorrecta
RAZONAMIENTO: Se observa que en el grupo experimental se obtuvieron
mejores resultados, lo que indica que las
fortalecer el razonamiento lógico de los educandos.
Control
11
Pregunta 14
Correcta
Control
15
20
Pregunta 6
Correcta
0
CorrectaIncorrecta
Correcta
Experimental
Control
Pregunta 10
Gráfica 48 Gráfica
RAZONAMIENTO: Se observa que en el grupo experimental se obtuvieron
mejores resultados, lo que indica que las actividades organizadas permitieron
fortalecer el razonamiento lógico de los educandos.
Gráfica 50 Gráfica
Gráfica 52 Gráfica 5
Experimental
11
23
24
11
Pregunta 14
Correcta Incorrecta
05
1015202530
Control
Correcta 10
Incorrecta 25
Pregunta 18
Experimental
27
7
Pregunta 6
Correcta Incorrecta
05
1015202530
Control
Pregunta 7
20 40
Correcta Incorrecta
21 13
8 27
Pregunta 10
05
10152025
Pregunta 12
98
fica 49
RAZONAMIENTO: Se observa que en el grupo experimental se obtuvieron
actividades organizadas permitieron
fica 51
fica 53
Control Experimental
10 26
25 8
Pregunta 18
Experimental
Pregunta 7
Pregunta 12
Correcta
Incorrecta
99
8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
8.1 CONCLUSIONES
Después de analizar los resultados arrojados al aplicar los instrumentos diseñados
se puede concluir que los discentes presentan deficiencias en el aprendizaje por
competencia del teorema del seno y el coseno.
El entorno en el cual se desenvuelven los estudiantes de décimo grado de la
Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría, es óptimo para la
aplicación de estrategias pedagógicas que dinamicen los procesos de enseñanza
y aprendizaje del teorema del seno y el coseno. Sin embargo, aunque la institución
cuenta con espacios e instrumentos propicios para que esto se cumpla, todavía se
sigue la idea de enseñar la trigonometría tradicionalmente.
La falta de fundamentación relacionada con los teoremas del seno y el coseno en
los estudiantes de décimo grado de la institución anteriormente mencionada, se
debe en gran medida al poco manejo de conceptos previos, que son bases
necesarias para la asimilación de estos teoremas. Algunos de estos conceptos
son clasificación de triángulos, congruencia de ángulos, teorema de Pitágoras y
razones trigonométricas.
100
8.2 RECOMENDACIONES
Al observar los resultados arrojados al aplicar las observaciones, el taller
diagnóstico, las encuestas y las entrevistas,, el grupo investigador recomienda la
implementación de la propuesta fundamentada en estrategias para facilitar el
aprendizaje por competencias del teorema del seno y del coseno en décimo grado
Para fortalecer el aprendizaje por competencia, es necesario que los docentes
realicen actividades que integre el tema con el uso de los TICS.
Cuando el docente da inicio a un nuevo tema debe realizar una evaluación
diagnóstica, para determinar los conocimientos previos que poseen los educandos
sobre el tema y partir de estos, para que el aprendizaje que él realiza sea
significativo y duradero.
El docente, en la realización de los eventos pedagógicos, debe involucrar al
estudiante de manera directa con el contexto, de tal manera que éste pueda ver la
relación que existe entre las temáticas tratadas con la vida cotidiana. Esto implica
que el docente no sólo se debe limitar a plantear ejercicios del contexto de manera
escrita, sino llevar al estudiante a que se personifique en ellos, lo cual se puede
hacer en actividades fuera del salón de clases utilizando instrumentos de
medición.
101
102
9.1 PRESENTACIÓN
El problema detectado dentro del Centro Educativo Distrital Jesús Maestro Fe y
Alegría, partiendo de un análisis situacional del plantel, el currículo actual, las
didácticas aplicadas, los medios y recursos didácticos de este bachillerato, y
considerando las evaluaciones en todos los niveles (Local, Departamental y
Nacional) detectamos que es necesario un programa de formación docente en
matemáticas, por lo que diseñamos una propuesta metodológica sobre el teorema
de seno y el coseno, que se propone ilustrar la utilización de las situaciones
didácticas, empleando estrategias centradas en el aprendizaje, que tomen como
base el constructivismo social y la utilización de múltiples representaciones y
hacerlo utilizando todos los recursos disponibles en el plantel.
Este material pretende ser un aporte para la reflexión didáctica a partir de la obra
matemática denominada “Teorema de seno y el coseno”, consiste de una
secuencia didáctica propuesta como taller con dos semanas de duración utilizando
diferentes técnicas demostrativas e interactivas, con actividades donde se
reconstruyen algunas de las demostraciones más conocidas de estos teoremas
que consideramos unos de los más utilizados en las matemáticas de la educación
media y superior. Permite la elaboración de situaciones didácticas que tienen una
recuperación histórica, las cuales serán objeto de un proceso de análisis utilizando
ingeniería didáctica.
103
9.2 JUSTIFICACIÓN
Uno de los objetivos de la educación es: “Ampliar y profundizar en el razonamiento
lógico y analítico para la interpretación y solución de los problemas matemáticos,
de la ciencia, la tecnología y de la vida cotidiana”. Es por ello que se presenta esta
propuesta, que responde en gran medida a los cambios que plantean los actuales
currículos educativos y el Ministerio de Educación Nacional con relación a los
procesos de enseñanza y aprendizaje dentro de las aulas educativas.
Esta propuesta considera la necesidad de desarrollar los procesos de enseñanza
y aprendizaje de los conceptos y procedimientos matemáticos de manera divertida
y placentera, donde los estudiantes le encuentren sentido a los conocimientos que
adquieren durante el evento pedagógico y por ende los puedan aplicar en las
experiencias que le brinde el medio donde se desenvuelva y así propiciar su
desarrollo integral.
De acuerdo a estos planteamientos se hace necesario la creación de estrategias
metodológicas innovadoras, con utilización de herramientas tecnológicas como el
computador e instrumentos de medición como la cinta métrica, el transportador y
la brújula, con el fin de fortalecer en los estudiantes el desarrollo de los
pensamientos métrico y espacial que les permitirán ser más competentes al
momento de resolver problemas de triángulos utilizando el teorema del seno y el
coseno.
104
9.3 OBJETIVOS 9.3.1 OBJETIVO GENERAL Facilitar el aprendizaje por competencias del teorema del seno y el coseno en los
estudiantes de décimo grado del Centro Educativo Distrital Jesús Maestro Fe y
Alegría.
9.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
� Fomentar el descubrimiento de propiedades geométricas mediante la
demostración del teorema del seno y el coseno en las guías de auto
aprendizaje.
� Desarrollar en los estudiantes la competencia interpretativa al momento de
expresar gráficamente un problema de trigonometría utilizando el
GeoGebra.
� Desarrollar en los estudiantes la competencia argumentativa mediante la
resolución de problemas de la vida cotidiana en los cuales es necesario
utilizar el teorema del seno y/o el coseno.
� Desarrollar en los estudiantes la competencia propositiva al momento de
utilizar la brújula y buscar maneras de solucionar un problema de
trigonometría.
105
9.4 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
La propuesta metodológica de este trabajo de investigación se basa en “La
ingeniería didáctica”, metodología que nace de la didáctica de las matemáticas
francesa, recuperando en ella las realizaciones tecnológicas de los hallazgos de la
teoría de las Situaciones Didácticas de BROUSSEAU y de la Transposición
Didáctica de CHEVALLARD , que tienen una visión sistémica al considerar a la
didáctica de las matemáticas como el estudio de las interacciones entre un saber,
un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de
apropiación de este saber por el sujeto.
“Con la teoría de las situaciones didácticas se estudian y modelan fenómenos
didácticos que ocurren cuando un profesor se propone enseñar un teorema…”, es
decir, esta teoría “permite diseñar y explorar un conjunto de secuencias de clase
concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio para realizar un
cierto proyecto de aprendizaje”.
La teoría propone que se estudien las condiciones en las cuales se constituyen
los conocimientos y a partir del control de estas condiciones se reproducen y
optimizan los procesos de adquisición del conocimiento escolar. Es deseable que
el profesor se convierta en un investigador para que observe y analice estas
condiciones y a partir de sus resultados de investigación, diseñe, implemente y
analice los resultados. Es esencial el carácter intencional de las secuencias
construidas con el propósito específico de que alguien aprenda algo. Aun cuando
una situación didáctica fracase, su análisis puede aportar a la didáctica.
Para poder iniciar el estudio de cualquier objeto matemático es necesario abordar
el aspecto cognitivo que esto implica y recurrimos a la teoría de VERGNAUD
quien nos afirma: “La teoría de los campos conceptuales supone que el amago del
desarrollo cognitivo es la conceptualización” y también especifica “Campo
106
conceptual es, para él, un conjunto informal y heterogéneo de problemas,
situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y ingredientes de los
esquemas son las metas y anticipaciones, que permiten descubrir la finalidad de
las situaciones, las reglas de acción que proporcionan continuidad de las
secuencias de acción; los invariantes operatorios obtiene la información pertinente
para deducir la meta y las reglas; y las posibilidades de inferencia.
107
9.5 ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS
9.5.1 PLAN DE CLASE Nº1 (para el grupo experimental )
CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
TEMA: TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO
GRADO: 10-01 FECHA: 23 de Marzo de 2010
Objetivo General:
Dar validez al teorema del seno y el coseno a partir de su demostración
Objetivos Específicos:
� Utilizar el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas como base
para la demostración del teorema del seno y el coseno.
� Realizar conjeturas para llegar a una generalidad de que el teorema del
seno y el coseno se cumple para cualquier triángulo.
� Analizar los estilos de pensamiento que presentan los estudiantes durante
el desarrollo de la demostración del teorema del seno y el coseno
Estándares:
• Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en
la resolución y formulación de problemas. (Pensamiento espacial y
Sistemas geométricos)
• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en
las matemáticas y en otras disciplinas. (Pensamiento espacial y Sistemas
geométricos)
108
Conceptos:
• Ángulos y clasificación
• Triángulos y clasificación
• Teorema de Pitágoras
• Razones trigonométricas
• Teorema del seno y del coseno
Procedimientos:
• Entrega de una guía escrita para su lectura y seguimiento.
• Los estudiantes dibujarán dos triángulos, uno acutángulo y uno
obtusángulo, para que a partir de éstos demuestren el teorema del seno.
• Para demostrar el teorema del seno los estudiantes van hacer uso de las
razones trigonométricas, tal como lo indican los pasos de la guía.
• Los estudiantes dibujarán dos triángulos más, uno acutángulo y otro
obtusángulo, para que a partir de éstos demuestren el teorema del coseno.
• Para demostrar el teorema del coseno los estudiantes van hacer uso del
teorema de Pitágoras, tal como lo indica los pasos de la guía.
• Los estudiantes responderán preguntas de análisis sobre la importancia de
cada paso en la demostración de los teoremas propuestos.
Actitudes:
• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de representar
gráficamente la situación planteada.
109
• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de implementar los
conocimientos previos como base para demostrar el teorema del seno y el
coseno.
Materiales:
• Hojas con la guía
• Lápiz, borrador.
• Regla
110
GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJEGUÍA DE AUTOAPRENDIZAJE
DEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENODEMOSTREMOS EL TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO
ACTIVIDADES
Demostración del Teorema del Seno en diez pasos:
Para un triángulo acutángulo
1. Traza un triángulo acutángulo cualquiera y llama a sus vértices A, B y C. Sus
lados opuestos serán a, b y c respectivamente.
2. Traza una altura h que parta desde C
3. ¿Cuántos triángulos más se formaron? ¿qué tipo de triángulo son?
4. Usando las razones trigonométricas del seno y los ángulos A y B, ¿a qué es
igual el seno de los ángulos A y B?
5. Como puedes observar, h está en ambas ecuaciones. Despeja h de estas dos
ecuaciones.
6. Iguala los valores de h en el paso 5 (propiedad transitiva)
7. Escribe una proporción en la que cada razón sea la de un lado y el seno del
ángulo opuesto a él.
8. Ahora toma otra de las alturas del triángulo y llámala h’.
9. Sigue los pasos 4 y 5 teniendo en cuenta los ángulos A y C, o B y C.
10. Iguala los valores de h’ y procede como en el paso 7. Usa la propiedad
transitiva para igualar las tres razones.
¡Felicitaciones, demostraste el teorema del seno en tan sólo diez pasos! Te
invito a que realices esta demostración para un tri ángulo obtusángulo
111
Demostración del Teorema del Coseno en diez pasos:
Primer caso: c es adyacente a dos ángulos agudos.
1. Dibuja un triángulo teniendo en cuenta que sus ángulos internos sean agudos.
Nombra los lados como a, b, c.
2. Traza un segmento “h” interno (o la altura “h” sobre el lado b), que parta de uno
de los vértices y sea perpendicular al lado b.
¿Cuántos triángulos se formaron?
¿Qué tipo de triángulos son?
3. Llama “C” al ángulo opuesto al lado c.
4. Llama “u” a la medida del cateto adyacente al ángulo A y “b-u” a la medida del
cateto adyacente al ángulo “C”
nota: si deseas, para mayor facilidad, puedes dibujar los dos triángulos por aparte
con sus respectivas medidas
5. Utilizando el teorema de Pitágoras determina el valor de c²
6. Análogamente determina el valor de a²
7. Despeja h² del paso 6.
8. Combinando los pasos 5 y 7, ¿a que será igual c²?
9. Por definición de coseno, encuentra el Cos C y despeja u.
10. Sustituye el paso 9 en 8; y simplifica.
¡Felicitaciones demostraste el teorema del coseno s olo en diez pasos!
112
Segundo caso: c es adyacente a un ángulo obtuso.
1. Dibuja un triangulo teniendo en cuenta que uno de sus ángulos sea obtuso.
2. Nombra los lados como a, b, c, teniendo en cuenta que el ángulo opuesto al
lado a sea obtuso.
3. Designa con las letras C y B los otros ángulos.
4. Prolonga el lado “b” y traza la altura desde el ángulo “b”. Designa con “u” el
tamaño del segmento agregado para formar un triángulo recto.
¿Cuántos triángulos rectángulos hay en la figura? Nombra los lados de cada
triángulo.
5. Según el teorema de Pitágoras determina el valor de c² y de a².
6. Aplica los pasos: 7 – 8 – 9- 10 del ejercicio anterior.
¿Obtuviste el mismo resultado?
¿Qué sucedería si c es adyacente a un ángulo recto?
AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN
1. De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
demostración del teorema del seno? Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
2. De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
demostración del teorema del coseno?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
3. ¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?
¿por qué?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
4. En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?
¿por qué?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
5. Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del
coseno:
A. Se puede utilizar para resolv
B. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado
adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados.
AUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓNAUTOEVALUACIÓN DE LA GUÍADE LA GUÍADE LA GUÍADE LA GUÍA::::
De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
demostración del teorema del seno? Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
demostración del teorema del coseno? Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?
________________________________________________________
__________________________________________________________________
En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del
A. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados.
B. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado
adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados.
113
De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
De los diez pasos utilizados, ¿cuál cree usted que es el paso clave para la
Justifica tu respuesta
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
¿En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del seno?
________________________________________________________
__________________________________________________________________
En cuál paso presentó mayor dificultad para demostrar el teorema del coseno?
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera con respecto al teorema del
er un triángulo cuando tres ángulos son dados.
B. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado
C. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un
ángulo adyacente.
D. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno.
6. Otra forma de decir que el teorema del seno
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de
los ángulos respectivament
A. En algunos triángulos el teorema del seno no cumple porque las razones de los
lados del triángulo y el seno del ángulo opuesto respectivo no son iguales.
B. En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es
constante.
C. Por ser una relación de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
triángulo aumenta, el seno del ángulo inverso también aumenta.
D. Por ser una razón de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
triángulo aumenta,
7. ¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?
__________________________
____________________________________________________________
C. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un
D. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno.
Otra forma de decir que el teorema del seno
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de
los ángulos respectivamente opuestos, es:
A. En algunos triángulos el teorema del seno no cumple porque las razones de los
lados del triángulo y el seno del ángulo opuesto respectivo no son iguales.
B. En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es
C. Por ser una relación de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
triángulo aumenta, el seno del ángulo inverso también aumenta.
D. Por ser una razón de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
triángulo aumenta, el son del ángulo inverso tendrá que disminuir.
¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?
__________________________________________________________________
____________________________________________________________
114
C. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un
D. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno.
es una relación de
proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de
A. En algunos triángulos el teorema del seno no cumple porque las razones de los
lados del triángulo y el seno del ángulo opuesto respectivo no son iguales.
B. En todo triángulo la relación de un lado al seno del ángulo opuesto es
C. Por ser una relación de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
triángulo aumenta, el seno del ángulo inverso también aumenta.
D. Por ser una razón de proporcionalidad, a medida que la longitud del lado del
el son del ángulo inverso tendrá que disminuir.
¿Qué aporte a tus conocimientos obtuviste durante el desarrollo de la guía?
________________________________________
__________________________________________________________________
115
9.5.2 PLAN DE CLASE N° 2 (para el grupo experimenta l)
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
TEMA: USO DEL GEOGEBRA
GRADO: 10-01 FECHA: 26 de Marzo de 2010
Objetivo General:
Aprender a utilizar el GeoGebra como un software de geometría dinámica donde
se construye puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas como con
funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Objetivos Específicos:
• Descubrir propiedades de las figuras geométricas a partir de la construcción
de éstas.
• Realizar conjeturas a partir de la construcción de figuras para llegar a
nuevas conceptualizaciones.
• Reafirmar los conceptos previos al teorema del seno y el coseno mediante
construcciones gráficas con el ordenador.
Conceptos:
• Figura geométrica
• Ángulos.
• Teorema de Pitágoras.
• Congruencia de ángulos
116
Procedimientos:
• Presentación del GeoGebra, mediante una proyección de la pantalla del
computador con el video beam.
• Con la ayuda del video beam, se muestra cada uno de los componentes del
GeoGebra con sus respectivas funciones.
• Manipulación libre del GeoGebra por parte de los estudiantes, cada uno en
su computador.
• Construcción de figuras a través de una orientación dirigida por el docente.
• Espacio para responder preguntas sobre el uso del GeoGebra. Se puede
hacer preguntas durante la clase y al final.
Actitudes:
• Destreza en el manejo del GeoGebra.
• Capacidad de establecer conclusiones a través de la manipulación de
figuras geométricas.
Materiales:
• Video beam
• Computadores con GeoGebra previamente instalado.
Conceptualización
GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media
(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.
Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar
construcciones tanto con puntos, vectores
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente
Ejemplos:
1. Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de
éste.
- Construya un triángulo rectángulo y en cada
Calcula las áreas de los cuadrados.
cuadrado construido sobre la hipotenusa con las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos:
Conceptualización :
CONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRACONOZCAMOS EL GEOGEBRA
GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media
(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.
Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar
construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente
Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de
un triángulo rectángulo y en cada lado construya
las áreas de los cuadrados. Observa qué relación tiene
cuadrado construido sobre la hipotenusa con las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos:
117
GeoGebra es un software de matemática para educación en escuela media
(secundaria) que reúne dinámicamente, geometría, álgebra y cálculo.
Por un lado, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica. Permite realizar
, segmentos, rectas, secciones cónicas
como con funciones que a posteriori pueden modificarse dinámicamente.
Comprobación del teorema de Pitágoras y una nueva conceptualización de
construya un cuadrado.
qué relación tiene el área del
cuadrado construido sobre la hipotenusa con las áreas de los cuadrados
118
- Teniendo como base el mismo triángulo rectángulo, construya sobre cada
lado un pentágono regular. Calcula el área a cada pentágono. Observa qué
relación existe entre el área del pentágono construido sobre la hipotenusa
con las áreas de los pentágonos construidos sobre los catetos.
119
- De la misma manera, construya sobre sus lados polígonos regulares con la
cantidad de lados que el estudiante considere conveniente y compara sus
áreas.
- De acuerdo a lo anterior, ¿Cómo puedes enunciar el teorema de Pitágoras?
- La respuesta debe coincidir a: “En todo triángulo rectángulo, el área del
polígono regular construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las
áreas de los polígonos regulares construidos sobre los catetos”
2. Construcción de un trapecio dadas sus medidas:
3. Congruencia de ángulos: En esta ocasión se observarán la congruencia de
ángulos opuestos por el vértice, alternos internos y alternos externos. El primer
caso se hace mediante la construcción de dos segmentos de recta que se cortan
en un punto, del cual se forman cuatro ángulos. Los casos restantes se harán
mediante la construcción de rectas paralelas.
120
4. Relación entre el baricentro, circuncentro y ortocentro en un triángulo:
Estas construcciones deben ser realizadas por los estudiantes y deben
deducir que estos puntos son colineales para cualquier triángulo
121
5. Comprobación del teorema del seno y el coseno: En esta ocasión, los
estudiantes simplemente construirán un triángulo cualquiera y con los botones de
“calcular distancia” y “ángulo”, encontrarán las medidas de sus lados y ángulos.
Esas medidas se compararán con lo que menciona el teorema del seno y del
coseno. Con el botón “elige y mueve” se manipulará los lados del triángulo y la
ventana algebraica permitirá visualizar mejor cada uno de los componentes del
triángulo al ser manipulado en relación a los teoremas mencionados.
Reflexión:
¿Qué ventajas y/o desventajas crees tiene el GeoGebra en la construcción de
figuras geométricas?
�� �=
�
�� �=
�
�� �
�� = � + �� − 2� cos �
Recuerda:
122
9.5.3 PLAN DE CLASE Nº3 (para el grupo experimental )
CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
TEMA: TEOREMA DEL SENO Y EL COSENO
GRADO: 10-01 FECHA: 30 de Marzo de 2010
Objetivo General:
Aprender a utilizar la brújula como instrumento de orientación en el espacio.
Objetivos Específicos:
� Relacionar ángulos con la ubicación en el espacio.
� Utilizar la brújula para encontrar coordenadas.
Conceptos:
• Ángulos.
• Puntos cardinales
Procedimientos:
• Exposición sobre el uso de la brújula. Este evento pedagógico se llevará a
cabo en el patio de la institución.
• Entrega de fotocopia donde está la relación de los puntos de lectura de la
brújula con los puntos cardinales.
• Ejemplo por parte del docente sobre el uso de la brújula dada una
coordenada.
• Manipulación de la brújula por parte de los estudiantes. Para ello se
contarán con siete (7) brújulas.
123
• Práctica para los estudiantes, en el cual se les dirá una serie de
coordenadas y ellos las van a ubicar con la brújula.
Actitudes:
• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de entender la
función de la brújula.
• Destreza de los estudiantes en el manejo de la brújula como medio de
orientación en el espacio.
Materiales:
• Brújulas (7)
• Fotocopia sobre la relación entre los puntos de lectura de la brújula con los
puntos cardinales.
124
Conceptualización:
CONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULACONOZCAMOS LA BRÚJULA
La brújula o compás magnético es un instrumento que sirve de orientación, que
tiene su fundamento en la propiedad de las agujas magnetizadas. Por medio de
una aguja imantada señala el Norte magnético, que es ligeramente diferente para
cada zona del planeta, y distinto del Norte geográfico. Utiliza como medio de
funcionamiento el magnetismo terrestre. La aguja imantada indica la dirección del
campo magnético terrestre, apuntando hacia los polos norte y sur. Únicamente es
inútil en las zonas polares norte y sur, debido a la convergencia de las líneas de
fuerza del campo magnético terrestre.
Actividades:
1. Con la brújula ubicar 42° NO.
Solución:
Usando la tabla de coordenadas que previamente se entregó, se notará que al
ángulo de 42° Norte del Oeste le corresponde el pun to de lectura 312 en la brújula,
como indica en el siguiente dibujo:
125
Para determinar la dirección pedida, el estudiante gira en su propio eje,
observando el comportamiento de la brújula y se detiene cuando el punto de
lectura sea 312. Luego alineará este punto con la flecha de dirección de viaje lo
cual le dirá cuál es la dirección a 42° NO.
2. Desde el punto asignado por el profesor, sigue estas instrucciones:
� Camina 15 pasos en dirección 45° NE.
� Camina 10 pasos en dirección 10° SO.
� Desde este punto, observa en la brújula a qué dirección se encuentra el
punto de origen.
� En tu casa grafica la situación planteada anteriormente y determina de qué
manera puedes conocer el ángulo y la distancia desde el último punto al
lugar de origen sin hacer uso de la brújula.
126
9.5.4 PLAN DE CLASE Nº 4 (para el grupo experimenta l)
CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
TEMA: INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
GRADO: 10-01 FECHA: 6 de Abril de 2010
Objetivo general:
Desarrollar las competencias interpretativa y argumentativa en la solución de un
problema de trigonometría.
Objetivo Específicos:
• Presentar una situación real, inicialmente sencilla, y mostrar
progresivamente, el surgimiento de problemas interesantes, como el
resultado de interrogantes prácticos que se generan alrededor de la
situación inicial.
• Mostrar la integración natural de distintos conceptos de la geometría, la
trigonometría y la aritmética, dirigidos a dar solución a problemas reales.
• Propiciar la utilización de las calculadoras o del computador, si se dispone
de esta herramienta, para lograr mayor precisión y eficiencia en los
cálculos, a la vez que permite mayores posibilidades de indagación sobre
los algoritmos que conducen a las soluciones de los problemas propuestos.
• Familiarizar al estudiante, en una forma intuitiva, con la existencia de las
soluciones aproximadas, como una característica propia de los problemas
que surgen en las situaciones prácticas, y como, éstas soluciones pueden
refinarse, mejorando los instrumentos y los algoritmos empleados en los
cálculos.
127
Conceptos:
• Ángulos y clasificación
• Línea recta
• Distancia entre puntos
• Triángulos y clasificación
• Teorema del seno y del coseno
Procedimientos:
• Utilización de ejemplos de la vida cotidiana que requieran de un análisis
interpretativo para poder graficarlo
• Utilización del geogebra como medio para representar gráficamente un
problema de trigonometría.
• Mostrar una posible solución a un problema de trigonometría, dando la
oportunidad al estudiante de darle un criterio de verdad, justificando por qué
tal solución es verdadera o falsa.
Actitudes:
• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de representar
gráficamente la situación planteada.
• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de plantear una
posible solución al problema.
• Destreza de los estudiantes en el manejo del geogebra como medio para
resolver problemas de trigonometría.
128
• Utilización del GeoGebra como medio de verificación de procesos mentales
utilizados por el estudiante en la resolución de problemas, pues si se utiliza
los comandos de “calcular distancia” o “ángulo” sin hacer un procedimiento
mental, no se está aprovechando este programa para el aprendizaje de la
trigonometría.
Materiales:
• Hojas con taller
• Computador con geogebra
• Lápiz
• Papel
• Borrador
Actividades:
INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
INICIO
I. Utilizando el GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:
3. Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros
del mismo sitio. Sus trayectos forman un ángulo de 42º. ¿Cuál es la distancia
que separa la casa de Mauricio de casa de Claudia?
4. Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;
otro camino recto de 124Km de longitud comienza en A y termina en una
tercera población C. Si los dos caminos forman entre sí un ángulo de 68º,
calcula la distancia entre B y
5. Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al
este del norte; el primer avión a una velocidad de 245Km/h y el segundo a
327Km/h. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas de vuelo?
6. Un observador mira
500 m de E1 y 800 m de E2. Si el ángulo que forman las líneas visuales es de
132º, determina la distancia que separa los edificios E1 y E2.
CONCEPTUALIZACIÓN:
II. De acuerdo con las ilustracion
podrás utilizar para resolver cada ejercicio? Resuelve cada ejercicio de acuerdo
con el teorema propuesto.
INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:
Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros
del mismo sitio. Sus trayectos forman un ángulo de 42º. ¿Cuál es la distancia
que separa la casa de Mauricio de casa de Claudia?
Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;
otro camino recto de 124Km de longitud comienza en A y termina en una
tercera población C. Si los dos caminos forman entre sí un ángulo de 68º,
calcula la distancia entre B y C.
Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al
este del norte; el primer avión a una velocidad de 245Km/h y el segundo a
327Km/h. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas de vuelo?
Un observador mira los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a
500 m de E1 y 800 m de E2. Si el ángulo que forman las líneas visuales es de
132º, determina la distancia que separa los edificios E1 y E2.
CONCEPTUALIZACIÓN:
II. De acuerdo con las ilustraciones anteriormente propuestas, ¿Qué teorema
podrás utilizar para resolver cada ejercicio? Resuelve cada ejercicio de acuerdo
con el teorema propuesto.
129
INTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOSINTERPRETEMOS Y ARGUMENTEMOS PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS
GeoGebra, ilustra las siguientes situaciones:
Mauricio vive a 253 metros del paradero del bus y Claudia vive a 319 metros
del mismo sitio. Sus trayectos forman un ángulo de 42º. ¿Cuál es la distancia
Un camino recto de 85Km de longitud tiene por extremos las poblaciones A y B;
otro camino recto de 124Km de longitud comienza en A y termina en una
tercera población C. Si los dos caminos forman entre sí un ángulo de 68º,
Dos aviones salen del mismo aeropuerto, el uno hacia el norte y el otro a 42º al
este del norte; el primer avión a una velocidad de 245Km/h y el segundo a
327Km/h. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas de vuelo?
los edificios E1 y E2 desde un tercer edificio E3, situado a
500 m de E1 y 800 m de E2. Si el ángulo que forman las líneas visuales es de
132º, determina la distancia que separa los edificios E1 y E2.
es anteriormente propuestas, ¿Qué teorema
podrás utilizar para resolver cada ejercicio? Resuelve cada ejercicio de acuerdo
130
REFLEXIÓN:
III. ¿Qué ventajas y/o desventajas crees tiene el GeoGebra en la solución de
triángulos?
EVALUACIÓN:
IV. Después de discutir los resultados obtenidos con tu compañero, comparte con
los demás estudiantes de tu clase y digan de qué manera el uso del GeoGebra les
facilita o les dificulta el aprendizaje en la solución de triángulos. ¿Para qué otras
cosas les puede servir esta herramienta?
131
9.5.5 PLAN DE CLASE Nº 5 (para el grupo experimenta l)
CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
TEMA: RALLY TRIGONOMÉTRICO
GRADO: 10-01 FECHA: 10 de Abril de 2010
Objetivo general:
Integrar las competencias básicas al momento de resolver ejercicios de resolución
de triángulos en un espacio abierto.
Objetivo Específicos:
• Fomentar el trabajo en equipo al momento de utilizar la brújula y elaborar el
mapa del recorrido del grupo.
• Mostrar la integración natural de distintos conceptos de la geometría, la
trigonometría y la aritmética, dirigidos a dar solución a problemas reales.
• Propiciar la utilización de la calculadora y la brújula para lograr mayor
precisión y eficiencia en los cálculos, a la vez que permite mayores
posibilidades de indagación sobre los algoritmos que conducen a las
soluciones de los problemas propuestos.
Conceptos:
• Ángulos y clasificación
• Orientación con la brújula
• Postulados de congruencia de ángulos
• Teorema del seno y del coseno
132
Procedimientos:
• La actividad lúdica se llevará a cabo en el Parque Metropolitano.
• Se formarán cinco grupos de cinco personas. Los grupos se distinguirán por
color: equipos amarillo, azul, rojo, naranja y violeta.
• Los cinco alumnos restantes serán los supervisores por cada equipo. Ellos
sabrán de antemano todos los “secretos” del juego.
• Cada equipo tendrá una brújula y partirán desde el mismo punto, llamado
“la primera estación”.
• En la primera estación, a cada equipo se le entregará un papel en el cual
está escrita unas coordenadas mediante la cual los estudiantes, con la
brújula, deberán encontrar. Esas son las coordenadas de la “segunda
estación” para cada equipo. Hay que tener en cuenta que las coordenadas
de cada equipo son diferentes, por lo que también son las estaciones.
• Al llegar a la segunda estación, el supervisor del equipo correspondiente les
colocará una prueba de conocimiento y destreza física las cuales se
evaluarán del 1 al 10. Al terminar la prueba, se les dará en un papel las
coordenadas de la “tercera estación”.
• Al llegar a la tercera estación, al grupo se le dará una prueba de
conocimiento y destreza física y se evaluará del 1 al 10. Luego se les
preguntará cuántos pasos aproximadamente hay desde este punto hasta la
“primera estación”.
• Se dará mayor puntaje al equipo que primero responda correctamente a
esta pregunta y llegue a la primera estación.
• El equipo ganador será el que obtenga más puntos.
Actitudes:
• Desarrollo de la competencia interpretativa al momento de utilizar
correctamente la brújula.
133
• Desarrollo de la competencia argumentativa al momento de representar
gráficamente el mapa del recorrido del grupo y hallar la medida de ángulos
desconocidos a través de los postulados de congruencia de ángulos.
• Desarrollo de la competencia propositiva cuando el estudiante utiliza
alternativas de solución diferentes a las convencionales para hallar solución
al problema.
• Fomento del trabajo en equipo, en el cual la aceptación de las ideas de los
compañeros es importante para el éxito en el juego.
134
Actividades:
RALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICORALLY TRIGONOMÉTRICO
LUGAR: Parque Metropolitano
MATERIALES:
• Hoja de papel
• Lápiz
• Calculadora
• Brújula
COORDENADAS 1:
EQUIPO AMARILLO: 100 pasos, 60º al Norte del Este
EQUIPO AZUL: 100 pasos, 10º al Oeste del Norte
EQUIPO ROJO: 100 pasos, 20º al Sur del Oeste
EQUIPO NARANJA: 100 pasos, 20º al Sur del Este
EQUIPO VIOLETA: 100 pasos, 10º al Norte del Este
COORDENADAS 2:
EQUIPO AMARILLO: 125 pasos, 25º al Sur del Oeste
EQUIPO AZUL: 125 pasos, 35º al Sur del Este
EQUIPO ROJO: 125 pasos, 70º al Este del Sur
EQUIPO NARANJA: 125 pasos, 70º al Oeste del Sur
EQUIPO VIOLETA: 125 pasos, 45º al Oeste del Sur
135
MAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANOMAPA DEL PARQUE METROPOLITANO
La “x” indica el punto de partida de todos los equipos
EJERCICIOS DE LA ESTACIÓN 2
1. ¿Cuántos t r iángulos
observas en la f igura?
136
2. ¿Cuál es la medida de ∠���?
3. De acuerdo con la figura, señala los ángulos que son congruentes entre sí:
(teniendo en cuenta que �� ∥ �&, () ∥ *+ )
4. Calculemos la longitud de una
escalera, sabiendo que está
apoyada en la pared a una
distancia de 1,8 m y alcanza
una altura de 7 m.
137
EJERCICIOS DE LA ESTACIÓN 3:
1. De un t r iángulo sabemos
que: a = 6 m, B = 45° y
C = 105°. Calcula los
restantes elementos
2. Calcular el radio del círculo
circunscrito en un triángulo,
donde A= 45°, B= 72° y
a=20m.
3. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC miden 2
m. y 4 m., respectivamente. Calcula:
a) el lado BC
b) el ángulo ABC
c) el ángulo ACB
4. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está
situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente
manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte
inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio
de enfrente.
PREGUNTA FINAL: ¿Cuántos pasos hay aproximadamente desde este
punto hasta la primera estación?
138
9.6 POST- PRUEBA
Durante esta fase se aplicó una evaluación escrita a toda la muestra seleccionada,
con el fin de comparar el aprendizaje por competencias de los mismos y verificar
que tan eficiente fueron las actividades implementadas y así lograr que los
discentes aprendan de manera integral, a través del uso de las tecnologías, el
teorema del son y el coseno. Esta evaluación se hizo de veinte preguntas tipo
ICFES, opción múltiple con única respuesta. Sin embargo, se les pidió a los
estudiantes que cuatro de esas preguntas las puedan argumentar con el
procedimiento para su solución.
EVALUACIÓN INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA En los ejercicios 1, 2, 3 y 4 se presenta un problema y dos informaciones. En
cada caso debes determinar si para resolver la información necesitas:
A. Solamente la información I.
B. Solamente la información II.
C. Las dos informaciones.
D. Ninguna de las informaciones.
1. En el siguiente triángulo:
139
D es el pie de la altura de △ ���, trazada desde el vértice B. Calcular la longitud
de &�----
I. Medida de .
II. Longitud de hipotenusa de △ ���
2. Calcula la altura que debe ascender un niño para luego deslizarse por un
tobogán.
I. La longitud del tobogán es de 10 metros.
II. La inclinación del tobogán es de 30°.
3. Hallar la longitud de una cuerda de ángulo central / en una circunferencia de
radio R.
I. Teorema del seno
II. Teorema del coseno
4. Hallar / de la siguiente figura:
I. La definición de función tangente
II. Teorema del coseno
5. Si en un triángulo rectángulo un ángulo
mide 70° y su lado opuesto 7 cm, la medida de la hi potenusa es:
A. 9,4 cm
B. 14 cm
C. 10 cm
D. 7,4 cm
6. Una de las siguientes ternas no corresponde a las longitudes de un triángulo
rectángulo:
A. (3, 4, 5)
B. (12, 16, 20)
C. (13, 14, 15)
D. (15, 20, 25)
140
7. Si � = �� + �� − 2�� cos �, entonces cos � es igual a:
A. #01 0120
� 2
B. 0!201#0
� 2
C. #0! 0!20
� 2
D. 201#01 0
1� 2
Responda las preguntas 8, 9 y 10 de acuerdo con la siguiente información:
En un triángulo ABC como el que muestra la figura, a, b y c corresponden a las
longitudes de sus lados.
Los siguientes teoremas relacionan lados y ángulos de un triángulo ABC
cualquiera.
Teorema del Seno
�� �=
�
�� �=
�
�� �
Teorema del Coseno
� = �� + �� − 2�� cos �
�� = � + �� − 2� cos �
�� = � + �� − 2� cos �
141
8. Del triángulo que se muestra, es correcto afirmar que
A. 4 �� � = 3 �� �
B. �� � = �� �
C. 3 �� � = 4 �� �
D. 6 �� � = �� �
9. En el triángulo que muestra la figura los valores de b y �� / son:
Recuerda que
�� 60° = √6
� , �78 60° =
9
�
A. � = 7 � �� / =;√6
9<
B. � = 7 � �� / =;
9<
C. � = 7 � �� / =;√6
9=
D. � = 7 � �� / =;
9=
10. Si en un triángulo ABC se tiene que cos � = 0, es posible que
A. = �
B. � = �
C. � >
D. � >
Responda las preguntas 11 y 12 de acuerdo con la siguiente información:
Dos triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si se cumple uno cualquiera de los
siguientes
criterios:
142
1. Los ángulos correspondientes son congruentes.
2. Dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos
comprendidos son congruentes.
3. Los lados correspondientes son proporcionales.
11. En cada figura se muestra un par de triángulos.
De los pares de triángulos, son semejantes, los mostrados en las figuras
A. 1 y 2
B. 2 y 4
C. 1 y 3
D. 3 y 4
12. Sea ABC un triángulo, D un punto de ��---- y E un punto de ��----, como se muestra
en la figura
143
Si &?---- es paralelo a ��---- se puede concluir que @A
@B=
AC
BD , porque
A. ∠�?& = ∠���.
B. �� = �� � �& = &?
C. El triángulo ADE es semejante al triángulo ABC.
D. El ángulo ACB es congruente con el triángulo BAC.
13. Los triángulos sombreados que aparecen en cada figura son rectángulos.
Sobre los lados de cada triángulo se han construido figuras planas semejantes.
Si las áreas de los semicírculos 1 y 2 son respectivamente E
�F �G� � 8F �G�, el
diámetro del semicírculo 3 es
A. 6 cm.
B. 8 cm.
C. 9 cm.
D. 10 cm.
144
14. Para el triángulo rectángulo de la
figura, cuáles son los valores de x y
de y, si el sen 30°= ½
A. √6
�, 1
B. √2,9
�
C. √3, 1
D. √3, √2
15. Basándose en el triángulo anterior, ¿cuáles son los valores de sen60°, cos60°
y Tan 60°?
A. √�
� ,
9
� , √3
B. 9
� , √6
� , √3
C. √3 ,9
� , √6
�
D. √6
� ,
9
� , √3
16. Si sen30°= 1/2 , ¿cuáles son los valores para l os ángulos 150°, 210° y 330°?
A. -1/2 , 1/2 , -1/2
B. 1/2 , 1/2 , -1/2
C. 1/2 , -1/2 , -1/2
D. -1/2 , -1/2 , 1/2
Responde las preguntas 17 y 18 de acuerdo a la siguiente información:
Cuando el ángulo de elevación del Sol es de 64°, un poste de teléfonos inclinado a
un ángulo de 9° en dirección opuesta al Sol arroja una sombra de 21 pies de largo
a nivel del suelo.
145
17. ¿Qué ilustración describe de manera precisa la situación planteada?
A B C D
18. La longitud del poste es:
A. 42 pies
B. 28 pies
C. 33 pies
D. 30 pies
Responde las preguntas 19 y 20 de acuerdo con la siguiente información:
Un punto P a nivel del suelo está a 3 kilómetros al norte del punto Q. Un corredor
avanza en dirección 25° al este del norte desde Q al punto R, y luego de R a P en
dirección 70° al oeste del sur.
19. La figura que mejor describe el recorrido de la persona es:
146
A B
C D
20. La distancia recorrida por el corredor es:
A. 7.5 Km.
B. 4.9 Km.
C. 6.3 Km.
D. 5.8 Km.
147
RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN
Pregunta clave componente Competencia
1 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
2 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
3 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
4 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
5 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
6 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO
7 B GEOMÉTRICO-
VARIACIONAL
RAZONAMIENTO
8 A GEOMÉTRICO-METRICO COMUNICACIÓN
9 A GEOMÉTRICO-METRICO COMUNICACIÓN
10 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO
11 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
12 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO RAZONAMIENTO
13 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
14 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
15 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
16 C GEOMÉTRICO -MÉTRICO COMUNICACIÓN
17 B GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
18 C GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
19 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO COMUNICACIÓN
20 D GEOMÉTRICO-MÉTRICO SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
148
10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
10.1 CONCLUSIONES
Al terminar la investigación, el grupo realizó las siguientes conclusiones:
• Sí el aprendizaje se determina partiendo del conocimiento previo del
educando, este se hace de manera significativa, se interioriza y por lo tanto
es perdurable, se estructura en su lógica cognitiva y puede verificarse.
• Cuando se aplican estrategias didáctica basadas en la Ingeniería didáctica
y el constructivismo social, los discentes:
- Hacen un engranaje de cada una de las secuencias de clase que los lleva a
una rápida adaptación del tema principal, esto es, teorema del seno y el
coseno.
- Desarrollan su capacidad de interpretar, argumentar y proponer situaciones
problemas de la vida cotidiana donde sea necesario utilizar el teorema del
seno y el coseno.
- Desarrollan una interacción dinámica con el docente, sus compañeros y las
actividades que les ayudarán a construir su propia verdad de manera
coherente.
Al utilizar el GeoGebra como instrumento para construir gráficas en el ordenador:
- Se induce al discente a utilizar su pensamiento y su razón, ayudando así a
fortalecer su capacidad de interpretar problemas de trigonometría.
- Son más partícipes y ejecutores de su aprendizaje, contribuyen a que estos
desarrollen un aprendizaje por competencias.
149
- Los discentes tienen mayor desarrollo del pensamiento métrico y espacial
debido a la exactitud de las medidas que ofrecen las gráficas.
- Se convierte la clase en un estímulo positivo para el estudiante, puesto que
cambia de ambiente de aprendizaje.
10.2 RECOMENDACIONES
El grupo investigador realiza las siguientes:
• Cuando el docente da inicio a un nuevo tema debe realizar una evaluación
diagnóstica, para determinar los conocimientos previos que posean los
educandos sobre el tema y partir de estos, para que el aprendizaje que el
discente realiza sea significativo.
• Para lograr un aprendizaje significativo es necesario que los docentes
realicen actividades pedagógicas que impliquen el uso de materiales
didácticos pertinentes a la temática a tratar.
• Los docentes que deseen desarrollar en sus alumnos el aprendizaje por
competencias del teorema del seno y el coseno, pueden apoyarse en una
metodología basada en la Ingeniería didáctica y el constructivismo social,
teniendo en cuenta lo siguiente:
-Utilizar herramientas manipulables por los estudiantes durante el desarrollo
de la temática.
-Estimular a los discentes cada vez que note sus pequeños y grandes
logros.
-Propiciar un ambiente adecuado en el aula.
-Estimular constantemente la creatividad en los estudiantes.
150
-Aprovechar siempre que sea posible el aporte espontáneo de los
discentes.
• Dichas actividades organizadas pueden utilizarse tal como se sugiere y
se pueden agregar más actividades dinámicas con base a la propuesta,
donde se pueden encontrar maneras novedosas y de diferente
aplicación.
151
BIBLIOGRAFÍA
NEWEL, A; SIMON, H.A. Human Problem Solving. Englewood Cliffs: Prentice-Hall.
1972
CHI, M. y GLASER, R. Problem Solving Abilities. Material mimeografiado, 1983
DIJSKTRA, Sanne (1991). Instructional design models and the representation of
knowledge and skills. Educational Technology, 31 (6), pp. 19-26.
ANDRÉ, T. Problem solving and education. En G. D. Phye y T. André (Eds.),
Cognitive classroom learning. Understanding, thinking, and problem solving. New
York, Academic Press. 1986
FARFÁN, Rosa, FERRARI, Marcela. Ingeniería Didáctica. Un ejemplo construido
para la función 2x. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. México. Grupo
Editorial Iberoamérica, Volumen 14, 2001, p. 408-415.
AGUILAR, P., FARFÁN, R., LEZAMA, J., MORENO, J. Estudio didáctico de la
función 2x. Actas de la undécima Reunión Latinoamericana de Matemática
Educativa. México. Grupo Editorial Iberoamérica, 1997, p. 19-23.
ARTIGUE, Michelle. Ingeniería didáctica. En Artigue, M., Douady, R., Moreno, L.,
Gómez, P. (Eds.). Ingeniería didáctica en educación matemática. Colombia. Una
empresa docente. 1998
BROUSSEAU, Guy. Teoría de Situaciones Didácticas en Matemáticas. Kluwer
Academic Publishers, 1997.
152
CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica: Del saber sabio al saber
enseñado. AIQUE, Argentina, 1991.
DOUADY, Régine. Ingeniería didáctica y evolución de la relación con el saber en
las matemáticas de collège-seconde. En Barbin, E., Douady, R. (Eds.). Enseñanza
de las matemáticas: Relación entre saberes, programas y prácticas. Francia.
Topiques éditions. Publicación del I.R.E.M, 1996.
SWOKOWSKI, E.; COLE, J. Trigonometría. Ed. Math Learning. Novena edición,
2001
153
ANEXOS
154
ANEXO 1
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRÍA
PERFIL DEL ESTUDIANTE DE DÉCIMO GRADO DE LA INSTITUCIÓN EDUCATIVA DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRIA
ENCUESTA A ESTUDIANTES
CURSO: 10º__ Estimado estudiante: El objetivo de esta encuesta es poder identificar el perfil del estudiante de la Institución Educativa Distrital Jesús Maestro Fe y Alegría. Para esto hemos diseñado la siguiente encuesta que le solicitamos responda en su totalidad. Agradecemos que lo diligencie con sinceridad.
I. DATOS DE IDENTIFICACIÓN 1. Género:
1. Femenino
2. Masculino
2. Edad:
1) 12 años o menos
2) 13 – 14 años
3) 15 – 16 años
4) 17 – 18 años
5) 19 años o más
3. Estado civil:
1. Casado
2. Soltero
3. Unión libre
4. Divorciado
5. Viudo
II. INFORMACIÓN FAMILIAR Las preguntas de esta sección se refieren a su familia
de origen constituida por: padre, madre, hermanos…
4. ¿Cuántas personas conforman su núcleo familiar? Inclúyase usted también
5. Indique en cuál estrato socioeconómico está ubicada la residencia de su familia de origen de acuerdo con la estratificación establecida para el pago de servicios públicos. Si no sabe o no existe tal clasificación, señale aquel estrato que usted cree le corresponde:
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
5) 5
6) 6
6. ¿Sus padres tienen vivienda propia?
1) Si
2) No
7. ¿A quién reconoce como jefe del hogar en la familia donde usted creció? Marque una sola respuesta.
1. Padre
2. Madre
3. Hermano(a)
4. abuelo(a)
5. tío(a)
6. otro familiar
7. otro no familiar
155
8. Máximo nivel educativo alcanzado por sus padres y/o jefes del hogar cuando éste último es una persona diferente a sus padres. En cada columna marque una
sola casilla
Nivel Padre Madre Jefe del hogar
1. Ninguno
2. Primaria incompleta
3. Primaria completa
4. Secundaria incompleta
5. Secundaria completa
6. Universidad incompleta
7. Técnico
8. Tecnológico
9. Universitaria completa
10. Postgrado
9. Nivel educativo alcanzado por sus hermanos, si los tiene, en orden de edad, de mayor a menor. No se incluya usted
mismo.
Nivel Hermano 1
Hermano 2 Hermano 3
Hermano 4
Hermano 5
1. Ninguno
2. Primaria incompleta
3. Primaria completa
4. Secundaria incompleta
5. Secundaria completa
6. Universidad incompleta
7. Técnico
8. Tecnológico
9. Universitaria completa
10. Postgrado
10. ¿Cuál es la ocupación del jefe de hogar de su familia de origen? Marque una sola respuesta:
OCUPACIÓN
1. Obrero no calificado o jornalero del campo
2. Obrero Calificado
3. Artesano o pequeño trabajador independiente
4. Empleado subalterno de rango inferior
5. Empleado subalterno de rango medio
6. Dueño de finca
7. Profesional asalariado
8. Profesional Independiente
9. Oficial de las fuerzas armadas
10. Ejecutivo de rango superior
11. Hacendado
12. Empresario
13. Educador
11. ¿Tiene usted personas a cargo?
156
1. si
2. no
12. ¿A quienes?
1. Padre
2. Madre
3. Hermano
4. Cónyuge
5. Hijos
6 Otros
13. Cuantos en total:
III. RESIDENCIA 14. Vive usted en el hogar de:
1. Su familia de origen
2. Familiares diferentes a sus padres
3. En hogar propio con su pareja o solo
4. En el hogar de la familia de origen de su pareja
5. Compañeros o amigo
IV. INFORMACIÓN LABORAL 15. ¿Está usted trabajando actualmente?
1. Sí
2. No
16. ¿En qué días trabaja?
17. ¿Qué tiempo dedica a su trabajo?
1. Menos de una hora
2. Una hora
3. Dos horas
4. Tres horas
5. Cuatro horas
6. Mas de cinco horas
V. INFORMACIÓN USO DE TECNOLOGÍA 18. ¿Tiene computador?
1. Sí
2. No
1. Entre semana
2. Fines de semanas y festivos
3. Entre semanas y Fines de semana
157
19. ¿Cómo se evalúa en el manejo del computador?
1. Deficiente
2. Insuficiente
3. Aceptable
4. Sobresaliente
5. Excelente
20. Califique el nivel de manejo de los siguientes programas, teniendo en cuenta la siguiente valoración: 1. Deficiente, 2. Insuficiente, 3. Aceptable, 4. Sobresaliente, 5. Excelente
Programas 1 2 3 4 5
M. Word
M. Excel
M. PowerPoint
Internet
21. ¿Con qué frecuencia utiliza en computador?
1. Dos horas o menos semanales
2. Tres a cinco horas semanales
3. Seis a ocho horas semanales
4. Nueve a once horas semanales
5. Doce o más horas semanales
22. ¿Has utilizado estos programas?
Programa Sí No
Cabri
GeoGebra
Derive
MatLab
158
ANEXO 2
CENTRO EDUCATIVO DISTRITAL JESÚS MAESTRO FE Y ALEGRIA
ENCUESTA A ESTUDIANTES
PERFIL DEL DOCENTE
Para llevar a cabo la encuesta es imprescindible su colaboración, por ello es necesario que conteste con sinceridad, responsabilidad y precisión a las cuestiones que le presentamos. Las preguntas que responden a actuaciones objetivas, deben contestarse con objetividad. Si sobre algún aspecto no tiene opinión formada, elija la opción “no sabe/no contesta”. Recuerde que sus respuestas deben referirse al profesor, a la asignatura indicada (no a otras posibles asignaturas que este profesor haya impartido) y sólo a las actuaciones que sean responsabilidad de dicho profesor. A continuación exprese su valoración sobre las afirmaciones que se presentan, siguiendo la siguiente escala:
I. SOBRE LA LABOR DEL DOCENTE
A. SOBRE LA INFORMACION FACILITADA POR EL PROFESOR AL COMENZAR EL CURSO 1. Informa de los objetivos, contenidos, bibliografía y materiales recomendados
1 2 3 4 5
2. Informa de las pruebas y criterios de evaluación que se seguirá
1 2 3 4 5
3. Informa de los fines y horario de las tutorías
1 2 3 4 5
B. SOBRE EL CUMPLIMIENTO DE OBLIGACIONES DEL PROFESOR 4. Asiste a sus clases y, en caso contrario, se justifica y se sustituye o recupera
1 2 3 4 5
5. Es puntual al comenzar y al finalizar la actividad docente
1 2 3 4 5
6. El profesor atiende las tutorías
1 2 3 4 5
Definitivamente No (1)
Probablemente No (2)
Neutro (3)
Probablemente Sí (4)
Definitivamente Sí (5)
159
C. SOBRE LAS RELACIONES DEL PROFESOR CON EL ESTUDIANTE 7. Es correcto y respetuoso con el estudiante
1 2 3 4 5
8. Tiene una actitud receptiva y muestra disposición para el diálogo
1 2 3 4 5
9. Promueve el interés por la asignatura
1 2 3 4 5
10. Durante las tutorías ayuda a la comprensión y estudio de la asignatura
1 2 3 4 5
D. SOBRE EL DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD DOCENTE DEL PROFESOR 11. Explica de manera clara y ordenada, destacando los aspectos más importantes
1 2 3 4 5
12. Relaciona unos temas con otros de la asignatura
1 2 3 4 5
13. Relaciona los conceptos de la asignatura con sus aplicaciones
1 2 3 4 5
14. La labor de este profesor hace que la asistencia a clase facilite la comprensión de la asignatura
1 2 3 4 5
15. Realiza el seguimiento y asesora sobre las actividades o trabajos
1 2 3 4 5
16. Fomenta la participación del estudiante
1 2 3 4 5
17. Fomenta el trabajo continuo del estudiante
1 2 3 4 5
160
E. OPINION GLOBAL 18. La labor docente de este profesor me parece excelente
1 2 3 4 5
II. SOBRE SU PROPIA LABOR COMO ESTUDIANTE
19. Asisto a las actividades docentes diariamente
1 2 3 4 5
20. Considero mi preparación previa suficiente para seguir esta asignatura
1 2 3 4 5
21. Llevo al día el estudio de esta asignatura
1 2 3 4 5
22. Resuelvo las dudas preguntando en clase o en tutorías
1 2 3 4 5
23. Me siento satisfecho con lo aprendido
1 2 3 4 5
24. Me parece interesante esta asignatura para mi formación
1 2 3 4 5
25. Espero estar en condiciones de aprobar esta asignatura en la próxima convocatoria
1 2 3 4 5
Si la respuesta nº 19 del estudiante es 1, 2 o 3 debe contestar a la siguiente pregunta. Si no asisto a clase habitualmente es por alguno/os de los siguientes motivos: � Coincidencia de horarios con otra asignatura � trabajo, � Familiares o personales, � Disponer de apuntes, � Dificultad de la materia, � No tenía dinero para transporte � Relativos al profesor, � Otros (indicar cuáles)
161
III. SOBRE EL PROCESO DE EVALUACION (Conteste a este apartado sólo tras haber realizado la evaluación final y sólo respecto a las actuaciones que sean responsabilidad de dicho profesor) 26. El programa de la asignatura se ha desarrollado completamente
1 2 3 4 5
27. La evaluación se ha ajustado a las pruebas y criterios establecidos
1 2 3 4 5
28. Las pruebas se ajustan a los contenidos y actividades desarrollados durante el curso
1 2 3 4 5
29. El nivel de las pruebas se corresponde con el de las clases
1 2 3 4 5
30. El profesor da a conocer los resultados de la evaluación en el plazo establecido
1 2 3 4 5
31. El profesor explica las razones de los fallos en la revisión de las pruebas
1 2 3 4 5
32. Opinión global: La evaluación realizada por este profesor me parece
1 2 3 4 5
162
ANEXO 3
BARRANQUILLA ATLANTICO
CUESTIONARIO PARA ESTUDIANTES
Este cuestionario es con el fin de recoger datos importantes, cuyo análisis e
interpretación serán de gran apoyo para el diseño de una propuesta metodológica
que facilite el estudio del teorema del seno y el coseno. Tu aporte es valioso.
- Género
a) Masculino b) Femenino
- Edad: _________________
1. Aparte del tiempo en el colegio, ¿cuánto tiempo dedica en el día para estudiar?
a) Ninguno
b) Menos de una hora
c) Dos horas
d) Más de dos horas
2. ¿Con qué frecuencia participas en la clase de matemáticas?
a) No participo
b) Pocas veces
c) A veces
d) Constante
163
3. ¿Cómo has asimilado el teorema del seno y el coseno en tu aprendizaje?
a) No lo he aprendido
b) Con dificultad
c) Con cierta facilidad
d) Con mucha facilidad
4. ¿Cómo consideras tu interpretación de los problemas de aplicación del teorema
del seno y el coseno?
a) No los entiendo
b) Se dificulta mucho entenderlos
c) Los entiendo con cierta facilidad
d) Son fáciles de entender
5. ¿Cómo argumentas al momento de utilizar el teorema del seno y el coseno para
la solución de un ejercicio?
a) No se argumentar
b) Con dificultad
c) Con cierta facilidad
d) Es fácil de argumentar
6. ¿Qué utilidad le ves al teorema del seno y el coseno en la vida cotidiana?
a) Ninguna
b) Poca utilidad
c) Cierta utilidad
d) Mucha utilidad
164
ά
θ β c
a
b
7. De acuerdo con el siguiente triángulo y los siguientes datos:
ά = 50º
θ = 30º
a = 85m
b = 110m
Para hallar el valor de c es recomendable usar:
a) No se
b) c2= a2 + b2, pues conocemos los valores de a y b
c) c2= a2 + b2 – 2ab Cos 30º
d) c = a2 - b2 - 2ab Cos 50º
Gracias por tu colaboración
165
ANEXO 4
ENCUESTA PARA LOS ESTUDIANTES DE DÉCIMO GRADO
Buenos días (tardes): Estamos trabajando en un estudio que servirá para elaborar una tesis profesional acerca del manejo de las competencias en el estudio del teorema del seno y el coseno. Te pedimos que contestes con la mayor sinceridad posible. Marca con una x en la casilla correspondiente a tu criterio.
Definitivamente no (1)
Probablemente no (2)
Indeciso (3)
Probablemente sí
(4)
Definitivamente sí
(5)
- El docente de matemáticas utiliza oportunamente materiales didácticos para enseñar
- La institución presta los implementos adecuados para un aprendizaje óptimo de la trigonometría.
- El docente motiva al estudiante a aplicar lo aprendido en la vida cotidiana
- La metodología empleada por el docente al enseñar el teorema del seno y el coseno es la adecuada para usted
- La forma de evaluar del docente coincide con las temáticas vistas en clases
- El docente corrige oportunamente los errores en los talleres en clase
- El entorno es el adecuado para el aprendizaje de la trigonometría
- La interacción docente-alumno en la clase de matemáticas es la mejor
166
ANEXO 5
BARRANQUILLA ATLANTICO
ENCUESTA PARA PROFESORES
Este cuestionario es con el fin de recoger datos importantes, cuyo análisis e
interpretación serán de gran apoyo para el diseño de una propuesta metodológica
que facilite el estudio del teorema del seno y el coseno. Tu aporte es valioso.
1. ¿Qué bibliografía utiliza para preparar los ejes temáticos antes de dar la clase
de matemáticas a décimo grado? (Puede marcar más de una respuesta)
a) Módulos facilitados por la institución
b) Alfa 10
c) Matemáticas Constructiva 10
d) Otro (especifique)
2. ¿De qué manera usted prepara los ejes temáticos con respecto al teorema del
seno y el coseno antes de dar la clase?
a) Clase magistral
b) Utilizando la lúdica
c) Por medio de ejercicios en clase para que los estudiantes construyan el
conocimiento
d) Exposiciones a cargo de los estudiantes
e) Guías de auto aprendizaje
f) Otros. (especifique)
_______________________________________________________________
_______
167
3. Con qué frecuencia fomenta la participación activa de los estudiantes en clase
a) Nunca
b) Pocas veces
c) A veces
d) Muchas veces
4. Con qué frecuencia pasa a los estudiantes al tablero a resolver un ejercicio de
trigonometría
a) Nunca
b) Pocas veces
c) A veces
d) Muchas veces
5. ¿Con qué frecuencia usted expone a sus estudiantes a que apliquen el teorema
del seno y el coseno en la vida diaria?
a) Nunca
b) Pocas veces
c) A veces
d) Muchas veces
6. ¿Con qué frecuencia motiva a los estudiantes a argumentar el uso del teorema
del seno y el coseno en la resolución de problemas?
a) Nunca
b) Pocas veces
168
c) A veces
d) Muchas veces
7. ¿Qué tipo de evaluación utiliza usted para su proceso de enseñanza? Marque
con una x las que usted utilice
___ Auto evaluación
___ Coevaluación
___ Heteroevaluación
___ Otra
8. ¿Cómo califica su capacitación docente en el proceso enseñanza-aprendizaje
del teorema del seno y el coseno?
a) Debo recibir más orientación
b) Regular
c) Bueno
d) Totalmente capacitado
Justifique la respuesta de la pregunta anterior
Gracias por tu colaboración
169
ANEXO 6
ENCUESTA PARA EL DOCENTE DE DÉCIMO GRADO
Buenos días (tardes): Estamos trabajando en un estudio que servirá para elaborar una tesis profesional acerca del manejo de las competencias en el estudio del teorema del seno y el coseno. Te pedimos que contestes con la mayor sinceridad posible. Marca con una x en la casilla correspondiente a tu criterio.
Definitivamente no (1)
Probablemente no (2)
Indeciso (3)
Probablemente sí
(4)
Definitivamente sí
(5)
- Los estudiantes son atentos mientras se dicta la clase
- La institución brinda las herramientas necesarias para enseñar el teorema del seno y el coseno
- El aula es la adecuada para la explicación de la trigonometría
- Los estudiantes están motivados con la metodología que usted utiliza
- Los estudiantes responden a las estrategias evaluativos utilizadas por usted en el proceso enseñanza-aprendizaje
- La clase de matemáticas es abierta al diálogo y la participación
- Los ejercicios dados a los estudiantes son acordes a lo enseñado en clase
170
ANEXO 7
INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL JESUS MAESTRO FE Y ALEGRIA
FICHA DE OBSERVACIÓN DEL ESTUDIANTE EN EL AREA DE M ATEMATICAS
FECHA:__________________________________
ESTUDIANTES
ITEMS
- EL estudiante es atento mientras se dicta la clase
- La institución brinda las herramientas necesarias para el desarrollo de la clase
-El estudiante resuelve las dudas preguntando en clase
- El estudiante está motivado con la metodología que utiliza el docente
- El estudiante responde a las estrategias evaluativas utilizadas por el docente en el proceso enseñanza-aprendizaje
- La clase de matemáticas es abierta al diálogo y la participación
- Los ejercicios dados al estudiante son acordes a lo enseñado en clase
SIEMPRE: 2 Pto CASI SIEMPRE: 1 Pto RARAS OCASIONES: 0 Pto
171
ANEXO 8
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO LICENCIATURA EN EDUACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATE MÁTICAS
TALLER DIAGNOSTICO 1
El propósito de este taller es el de tener un conocimiento más amplio y concreto acerca de la preparación que tienen los estudiantes al momento de abordar el tema del teorema del seno y el coseno. Al principio se harán preguntas acerca de los conocimientos previos para luego preguntar acerca del tema principal. 1. Una escalera de 3.5 metros de largo esta recostada sobre un muro vertical, con su extremo superior en el muro vertical a 2.5 metros del suelo.
Una señora de 1.8m de estatura camina, desprevenidamente, por la acera de donde está la escalera manteniendo una distancia de 1.5m de separación del mismo. ¿Podrá pasar por debajo de la escalera sin golpearse con ésta? 2. en la figura si la longitud del hilo de la comenta es 200m y la distancia horizontal 150m. a. ¿Cuál es el ángulo de elevación?
172
b. Si hay otro observador, ubicado a 230m de la persona que tiene la cometa, ¿Qué métodos utilizarías para hallar la distancia entre el observador y la cometa? 3. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas con respecto al teorema del coseno:
A. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados.
B. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado
adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados.
C. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un
ángulo adyacente.
D. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno.
4. Describa una situación de la vida cotidiana donde se utiliza el teorema del seno y el coseno. Grafícala. (Sin copiarse de los ejercicios anteriores)
173
ANEXO 9
UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO TALLER DIAGNÓSTICO 2
El propósito de este taller es el de tener un conocimiento más amplio y concreto acerca de la preparación que tienen los estudiantes al momento de abordar el tema del teorema del seno y el coseno. Al principio se harán preguntas acerca de los conocimientos previos para luego preguntar acerca del tema principal.
R e s p o n d e l a s p r e gu n t a s 1 , 2 y 3 d e a cu e rd o a l a s i g u i e n t e i n f o r m a c i ó n :
La siguiente gráfica ilustra el diseño que corresponde a la instalación de una torre de comunicación sostenida en el piso por dos cables. Los puntos de amarre del cable en el piso tienen una separación de 12 metros y los puntos de amarre del cable a la torre la dividen en 3 partes iguales de la misma longitud.
torre de comunicación 30º 30º Piso Piso 1. Del amarre en el piso del cable más largo al pie de la torre hay una distancia de
a. 4 metros b. 6 metros c. 8 metros d. 12 metros
2. La altura de la torre en metros, es
a. (4tan 30º) b. (6tan 60º)
c. (8tan 60º) d. (12tan 30º)
3. Si se modifica el diseño, ubicando los amarres de los cables a la torre en su punto medio y los amarres del piso se ubican cada uno a 6 metros del pie de la torre, entonces la cantidad de cable requerido en el nuevo diseño es,
a. Igual a la cantidad de cable requeridos en el diseño original
b. Mayor que la cantidad de cable requerido en el diseño original
c. La mitad de la cantidad de cable requerido en el diseño original
d. La tercera parte de la cantidad de cable requerido en el diseño original
4. Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas con respecto al teorema del coseno: a. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando tres ángulos son dados. b. Se puede utilizar para resolver un triángulo cuando un ángulo, un lado adyacente y un lado opuesto al ángulo son dados. c. Éste expresa la relación de un lado de un triángulo como una función de un ángulo adyacente. d. El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno. 5. Describa una situación de la vida cotidiana donde se utiliza el teorema del seno y el coseno. Grafícala.
174
FOTOS
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