estadística para la toma de decisiones. · explicación. intervalos de confianza para diferencias...
Post on 12-Apr-2020
44 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Estadística Inferencial. Sesión 4. Estimación por intervalos
Contextualización.
Como se definió en la sesión anterior la
estimación por intervalos es utilizada
para medir la confiabilidad de un
estadístico. Existen diferentes métodos
tal es el caso de los intervalos de
confianza para medias o para
proporciones poblacionales.
En esta sesión aprenderemos a medir
esta confiabilidad a través de la
diferencia entre dos medias
poblacionales independientes, la
diferencia entre dos proporciones
poblacionales y la varianza poblacional.
Fuente: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/img/image1075.gif
Introducción.
Un problema industrial que surge con frecuencia es el de comparar dos
métodos de producción y determinar cuál es mejor y por cuánto.
Como se menciona en el enunciado anterior en muchas ocasiones lo que
necesitamos es comparar la eficiencia de dos métodos, esto lo podemos
hacer a través de conocer sus medias poblacionales. Podemos comparar
que tan iguales son, si existen entre ellas alguna diferencia y que tan
significativa es.
Para situaciones de este tipo podemos estimar la diferencia entre las
medias poblaciones considerando las muestras que se tienen de cada una
de las poblaciones.
Explicación.
Intervalos de confianza para diferencias de medias y proporciones.
Los límites de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales, en
el caso de poblaciones infinitas y tienen desviación estándar conocidas σ1, σ2
están dados por:
𝑥 1 − 𝑥 2 ± 𝑧𝑐𝜎1
2
𝑛1+
𝜎22
𝑛2
; Donde 𝑥 1, 𝑛1 y 𝑥 2, 𝑛2 son las medias y el tamaño respectivos de las
dos muestras tomadas de la población.
Explicación.
De manera similar, los límites de confianza de la diferencia entre dos
proporciones de poblaciones, donde estas son infinitas, están dados por:
𝑃 1 − 𝑃 2 ± 𝑧𝑐𝑃1(1−𝑃1)
𝑛1+
𝑃2(1−𝑃2)
𝑛2
; Donde P1 y P2 son las proporciones muestrales y n1 y n2 son los
tamaños de las dos muestras tomadas de las poblaciones.
Explicación.
Valores de zα/2 para los niveles de confianza más usados:
Nivel de
confianza
α α/2 zα/2
90% .10 .05 1.645
95% .05 .025 1.960
99% .01 .005 2.576
Explicación.
Ejemplos:
Problema 1. Una muestra de 150 focos de marca A mostró una vida media
de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de
200 focos de marca B mostró una vida media de 1200 horas y una
desviación estándar de 80 horas. Determinar los límites de confianza para
a) 95% y b) 99% de las vidas medias de las poblaciones de marcas A y B.
Los límites de confianza de la diferencia de dos medias de las marcas A y B
están dados por:
𝑥 1 − 𝑥 2 ± 𝑧𝑐
𝜎12
𝑛1+
𝜎22
𝑛2
Explicación.
a) Sustituyendo los valores en la formula, tenemos que:
1400 − 1200 ± 1.96(120)2
150+
(80)2
100= 200 ± 24.8
Por lo tanto, se tiene un límite de confianza de 95% de que la diferencia de las
medias poblacionales está entre 175 y 225 horas.
b) Los límites de confianza para el 99% son:
1400 − 1200 ± 2.58(120)2
150+
(80)2
100= 200 ± 32.6
Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia de las medias
poblacionales está entre 167 y 233 horas.
Explicación.
Problema 2. En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 adolescentes que vieron
cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 adolescentes indicaron que les gustó.
Determinar los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la diferencia de
proporciones de todos los adultos y todos los adolescentes que vieron el programa y
les gustó.
Los límites de confianza para la diferencia de proporciones de los dos grupos están
dados por:
𝑃 1 − 𝑃 2 ± 𝑧𝑐
𝑃1(1 − 𝑃1)
𝑛1+
𝑃2(1 − 𝑃2)
𝑛2
Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los adolescentes y adultos, respectivamente,
por lo tanto tenemos que P1= 300/600= 0.5 y P2 = 100/400 = 0.25, éstas son las
proporciones de adolescentes y adultos que si les gusto el programa.
Explicación.
a) Los límites de confianza de 95%:
0.5 − 0.25 ± 1.960.5 (1 − 0.5)
600+
0.25 (1 − 0.25)
400= 0.25 ± 0.06
Por tanto, se tiene una confianza de 95% de que la diferencia verdadera en
proporciones se encuentra entre 0.19 y 031
b) Los límites de confianza para 99%:
0.5 − 0.25 ± 2.580.5 (1 − 0.5)
600+
0.25 (1 − 0.25)
400= 0.25 ± 0.08
Por tanto, se tiene una confianza de 99% de que la diferencia
verdadera en proporciones se encuentra entre 0.17 y 0.33.
Explicación.
Intervalos de confianza para la varianza poblacional de una
distribución normal.
Fórmula para calcular los límites de confianza de 95% utilizando la
distribución ji cuadrada:
𝑆 𝑛−1
𝑥0.975≤ 𝜎 ≤
𝑆 𝑛−1
𝑥0.025
Conclusión.
En esta sesión aprendimos a estimar los límites
de confianza para diferencias de dos medias y
dos proporciones poblacionales independientes,
así como también para la varianza poblacional.
Se demostró que esta estimación permite inferir
si hay o no diferencia significativa entre los
valores de las poblaciones en cuestión.
En la siguiente sesión iniciaremos nuestro
aprendizaje con las Pruebas de hipótesis, su
definición y sus componentes así como también
conoceremos los dos tipos de errores que se
pueden tener en este método de estimación.
Fuente: http://2.bp.blogspot.com/-
ptynw2VvMwE/T20hHTSwDpI/AAAAAAAABG0/a4eUgkL11I8/s320/que-es-una-
hipotesis.JPG
Bibliografía.
Spiegel, M., Schiller, J., Alu Srinivasan, R. (2010). Probabilidad y
Estadística.(3era.ed.). México: Editorial McGraw-Hill. ISBN-13: 978-
607-15-0270-4
top related