estadística aplicada a las ciencias sociales i · 2021. 7. 28. · 4 bibliografía básica básica...

Estadística Aplicada a las Ciencias Sociales I

Sistema Universidad Abiertay Educación a Distancia

Facultad de Ciencias Políticas y Sociales UNAM

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Aspectos generales

Video de bienvenida

https://www.youtube.com/watch?v=kA6W14U_-1k

Datos de identificación

• Instituciónresponsable:FacultaddeCienciasPolíticasySociales.Suaed.UNAM.• Asignatura:EstadísticaAplicadaalasCienciasSocialesI• Autores:LauraAzucenaLiraJiménezyMaríaMarthaMirandaHernández• Semestre:3º• Créditos:08• Carácter:Obligatoria• Áreaalaquepertenece:Metodológica• Seriación: Indicativa• Clave:2314

Objetivos

Objetivo general

Altérminodelcurso,elalumnoserácapazde:

• Entenderlosconceptosmatemáticosyestadísticoselementalesparaladescripcióndegruposyprocesossociales.

Objetivos específicos

• Distinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.• Entender el concepto de variable, correlación y causación desde la perspectiva matemática, aplicados a problemas

socialesrelevantes(pobreza,clase,identidad,producción,opinión).• Seleccionaryvalorarresultadosydatossociodemográficos.• Representardatossociodemográficos.• Comprenderlalógicadelaestadísticaylosmodeloselementales.• Dominar la estadística descriptiva y realizar operaciones estadísticas básicas con la finalidad de hacer inferencias

generalessobrepoblacionesdelimitadas.

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Temario

Tema 1. Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos

1.1Conjuntos,ydescripcióndegrupos,individuosyunidadessociales.1.1.1Definicióndeconjuntoyelemento.1.1.2ComplementodeConjuntos.1.1.3InterseccióndeConjuntos.1.1.4UnióndeConjuntos.1.1.5InclusióndeConjuntos.1.1.6IgualdaddeConjuntos.

1.2Definicióndeuniverso,pertenencia.1.2.1Notación.1.2.2Operaciones(pertenencia,unión,intersección).1.2.3Relaciones.1.2.4Funciones.

1.2.4.1Graficarrelacionesyfunciones.1.2.4.2Clasificacióndefunciones.1.2.4.3Operacionesdefunciones.

Tema 2. Estadística

2.1IntroducciónalaEstadísticaenCienciasSociales.2.1.1Estadística,cienciayobservación.

2.1.1.1Inferenciasdelaspoblaciones.EstadísticasVitalesyEstadísticasMatemáticas.2.1.1.2UtilidadylimitantesdelaEstadísticaenlasCienciasSociales.2.1.1.3Poblaciónymuestras.

2.1.1.3.1Tiposdemuestras.2.1.1.3.2Tiposdeencuestas,general.

2.1.2Estructuradeinformación,métodosdeinvestigación.2.1.3Variables,medición.2.1.4Anotaciónestadística.

2.2Frecuencias.2.2.1Distribucióndefrecuencias.2.2.2Distribuciones–TablasyGráficas(relacionesx,y).

2.2.2.1Presentacióndetablas,intervalos.2.2.2.2Histogramas,Gráficasdebarra,Polígonos.

2.2.3TendenciaCentralTotal.2.2.4Promedio,Media,Moda.

2.2.4.1TeoremadetendenciacentralySkwenessyKurtosis.2.3Variabilidad.

2.3.1Rangoyrangointercuartil.2.3.2Desviaciónestándar.

2.4DiseñodehipótesisenlasCienciasSociales.2.4.1CausalidadycorrelaciónPearson.2.4.2Hipótesisnula.2.4.3Pruebasdehipótesis.

2.4.3.1Errorestándar.2.4.3.2Estimación.2.4.3.3Índicedeconfianza.

2.5Modelosprobabilísticos.2.5.1Normal.2.5.2Binomial.2.5.3Poisson.

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Bibliografía básica

Básica

TEMA 1

Elorza,H.(2008).Estadísticasparalascienciassociales,delcomportamientoydelasalud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.

García-Ferrando,M.(1999).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.Madrid:Alianza.

Rioboo,J.yDelOro,C.(2000).Representacionesgráficasdedatosestadísticos.Madrid:AC.

Zeisel,H.(1999).Dígaloconnúmeros.México:FCE.

TEMA 2

Pliego-López,J.yRuiz-Pérez,L.(2002).EstadísticaI:Probabilidad.Madrid:AC.

Triola,M.(2008).Estadística.México:PearsonEducación.

Complementaria

Ai-Camp,R.(1996).Encuestasydemocracia:opiniónpúblicayaperturapolíticaenMéxico.México:SigloXXI,1996.

Babbie,E.(2000).Fundamentosdelainvestigaciónsocial.México:ThomsonLearning.

Evans,M.(2005).ProbabilidadyEstadística:lacienciadelaincertidumbre.Barcelona:Reverté.

Flores-Villa,A.(1968).NocionesdelmétodoEstadístico.México:Porrúa.

Jauset,J.(2000).Lainvestigacióndeaudienciasentelevisión:Fundamentosestadísticos.BuenosAires:Paidós.

Malhotra,N.(1996).Investigacióndemercados:unenfoquepráctico.México:PrenticeHallHispanoamericana.

Sitios de interés

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Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos

Introducción

Enestetemaestudiaremoslosconceptosfundamentalesdellenguajematemáticoylateoríadeconjuntos,paraquealfinalizareltemaseascapazdedistinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.

Lateoríadeconjuntosesunmarcoparaelanálisisdehechossociales.Diversosautoresconsideranelmanejodeestateoría como un instrumento fundamental para el científico social. Elorza (2008), por ejemplo, comenta que la teoríadeconjuntos“esuninstrumentoadecuadoparalasistematizacióndelainformaciónrelevantequepermiteenfocarunproblemaensutotalidad,deslindandoenélloqueesfundamental”(p.83).

Porsuparte,Kleiman(2009)señalaquelateoríadeconjuntosesuna“estructuralógicaqueunificalosconceptosmásfundamentalesmediante un lenguaje intuitivo y simple” (p. 5). Él mismo destaca que buena parte del conocimientomatemáticomodernoocupaenmenoromayormedidalateoríadeconjuntos.

Elestudiodelateoríadeconjuntosesimportanteporquetepermitiráenfocarelanálisisdeproblemassocialesdesdeunaperspectivalógico-matemática,sinqueellosignifiquepasarporaltolacomplejidadymultidimensionalidaddeloshechossociales.Porelcontrario,elanálisisatravésdelenguajematemáticodebemejorarlacomprensiónysistematizacióndeunproblema,yfomentarlacreatividadparagenerarhipótesisdetrabajo.

Para el estudio de este tema hemos desarrollado el contenido puntual, en un lenguaje sencillo y abundando enexplicaciones,conlaintencióndequeellenguajematemáticoporsísólonoseaunimpedimentoparatucomprensiónyusodelosconceptoselementalesdelateoríadeconjuntos.

Además,eneldesarrollodecontenidoencontrarásvariosejemplosqueserefierenaunarealidadconcreta:elestudiodelosgruposyhechossocialesquetenemosalamano.Lohicimosasíparaquepuedasutilizarlosconceptosmatemáticosen las situaciones de análisis que corresponden a las ciencias sociales. De esta manera, te proporcionamos uncomplementoalostextosclásicossobrelateoríadeconjuntos,enloscualespredominanlosejemplosabstractosyenlenguajematemático.

Los conceptos abordados en esta unidad te permitirán identificar elementos, conjuntos (grupos) y relaciones, en ladescripcióndeproblemassociales.Podrásenunciarlascaracterísticasquedeterminanlapertenenciadeunelementoaunconjunto.Éstaesunatareadeclasificaciónqueponeenprácticaelestudiodecategoríassociales.

Además, podrás identificar las operaciones que pueden darse entre conjuntos, por ejemplo, la inclusión, la unión,intersección, complementación y diferencia; si pensamos que dichos conjuntos representan unidades de estudio, esposibleanticiparlautilidadquetieneidentificarlafactibilidaddelasoperacionesmencionadas.Elestudiodelasrelacionesyfuncionesentreconjuntosfomentalahabilidadparadetectarposiblesrelacionesentrevariablesdeestudio.

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Objetivo particular

Altérminodelaunidad,elalumnoserácapazde:

• Distinguirladiferenciaentrerelacionesyfuncionesenelcontextodeladescripcióndegruposycategoríassociales.• Entenderelconceptodevariable,correlaciónycausacióndesdelaperspectivamatemática,aplicadosaproblemassociales

relevantes(pobreza,clase,identidad,producción,opinión).

Temario

TEMA 1. Lenguaje Matemático y Teoría de Conjuntos

1.1.Conjuntos,ydescripcióndegrupos,individuosyunidadessociales1.1.1.Definicióndeconjuntoyelemento1.1.2.Complementodeconjuntos1.1.3.Interseccióndeconjuntos1.1.4.Unióndeconjuntos1.1.5.Inclusióndeconjuntos1.1.6.Igualdaddeconjuntos

1.2.Definicióndeuniverso,pertenencia1.2.1.Notación1.2.2.Operaciones(pertenencia,unión,intersección)1.2.3.Relaciones1.2.4.Funciones

1.2.4.1.Graficarrelacionesyfunciones1.2.4.2.Clasificacióndefunciones1.2.4.3.Operacionesdefunciones

Exposición de los temas

1.1. Conjuntos y descripción de grupos, individuos y unidades sociales

1.1.1. Definición de conjunto y elemento

Kleiman(2009)exponequeladefinicióndeconjuntopuedeestablecersedemaneraintuitiva,apartirdenuestraexperienciaenelmundo,yensuformamáselementalserefiereaunacoleccióndefinidadeelementos.

Estoselementospuedenserobjetos,personas,instituciones,animales,conceptos,ideas,periodostemporales,características,hechos,etcétera.

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Conjuntodeedificios.Tomadodehttps://mx.wikimedia.org/wiki/Archivo:Vista_de_um_conjunto_residencial_em_Guar%C3%A1_(DF).jpg

Conjuntodeatletas.Tomadodehttps://mx.wikimedia.org/wiki/Archivo:Conjunto_espa%C3%B1ol_1999_Budapest.PNG

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Unelementoes,porlotanto,unmiembrodeunconjuntodeterminado.

Haytrescondicionesparaestablecerunconjunto:

1. Lapertenenciadeunelementoaun conjuntodebeestar definida sinambigüedad.Esdecir, se sabesi unelementoperteneceaun conjuntoono.Por ejemplo, si pensamosenel conjuntode científicas reconocidas conunNobel, esindispensabledeterminarsiMarieCurieestáentreellasono.

ConjuntodecientíficasconNobel={MarieCurie,GertyCori,MariaGoeppert,DorotyCrowfoot,IrèneJoliot,RosalynSussman}

2.Loselementosnoserepitenenunmismoconjunto.Sipensamosenelconjuntodenúmerodemascotasporpersona,aunquevariaspersonastienenlamismacantidaddemascotas,sólomencionaremoscadacantidadunavez.

Conjuntodecantidadmascotasporpersona={0,1,2,3,4,5…}

3.Loselementospuedenaparecerencualquierordenysiguesiendoelmismoconjunto.Ejemplo:

ConjuntodelenguasmáshabladasenHidalgo={náhuatl,otomí,tepehua,mixteco}ConjuntodelenguasmáshabladasenHidalgo={tepehua,náhuatl,otomí,mixteco}

Notación

Quizánotastequecadavezquemencionounconjuntoescriboloselementosentrellavesyseparadosporcomas,sedebeaqueeslanotaciónmatemáticadeunconjunto.Entonces,lanotaciónsonlossímbolosqueseusanparadefinirconjuntosdemaneraescrita.Losconjuntosgeneralmenteserepresentanconletrasmayúsculas,porejemplo:

M={ConjuntodeniñosensituacióndecalleenOaxacadeJuárez}P={ConjuntodemujeresensituacióndeviolenciaenSanPedroNuevoLeón}V={ConjuntodevaronesconenfermedadesmentalesenMéxico}

Lalecturadeunconjuntoexpresadoconnotaciónescomosigue:

C={soltero,casado,divorciado,viudo}Selee“loselementosdelconjuntoCsonsoltero,casado,divorciadoyviudo”.

E={alcoholismo,ansiedad,depresión,fobia}Selee“loselementosdelconjuntoEsonalcoholismo,ansiedad,depresiónyfobia”.

Enlosejemplosanterioreshemosescritotodosloselementosdeunconjuntodentrodelasllaves,aesoselellamanotaciónporextensión.Perocuandoloselementosdeunconjuntosondecenasomilesesimprácticomencionarlostodos,porloqueenesoscasosusamoslanotaciónporcomprensión:

Y={MunicipiosdeMéxico}Z={DerechohabientesdelIMSS}

Lanotaciónpor comprensión tambiénutilizaotrossímbolosmatemáticos, como labarra “|”, se lee “tal que”, y literalespararepresentaraloselementos.Sesueleutilizaralaletra“x”pararepresentaraloselementos,perobienpodríasercualquierotraletra.Veamosunejemplo:

A={x|xesunríonacional}Seleeasí:“ElconjuntoAestáformadoporloselementosxtalquexesunríonacional”.

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Luegolanotaciónpuedeexpresarseconrangossinosreferimosamedidas.Porejemplo:

T={x|140>x≥90}Selee“elconjuntoTestáformadoporloselementosxtalquexesmenorque140ymayoroigualque90”.

Elconjuntoanteriorpuedereferirsealatalla(estatura)delosestudiantesdeunaprimariaexpresadaencentímetros.

Paradenotarqueunelementoespartedeunconjuntoseusaelsímbolo ,queselee“pertenecea”.Porelcontrario,siunelementonoperteneceaunconjuntosecruzaelsímbolo yselee“nopertenecea”.Porejemplo:

P={LaPrensa,Ovaciones,Metro,Publimetro,Reforma,ElGráfico,LaJornada}

Entonces:

ReformaDSelee“ReformapertenecealconjuntoP”.

ElPaísD Selee“ElPaísnopertenecealconjuntoP”.

Otroejemplo.Sea:

F={m|180≥x>90}ElconjuntoFtienelosnúmerosmayoresque90(sinincluira90)ymenoresoiguala180.

Así:

180 FSelee“180pertenecealconjuntoF”.

90 FSelee“90nopertenecealconjuntoF”.

ElconjuntoFpodríarepresentarlospesosdemujeresdeestaturamediaquepadecenobesidad.

Cardinalidad

Lacardinalidadeselnúmerodeelementosquecontieneunconjunto,seescribeasí:n(A),yselee“cardinalidadndelconjuntoA”.

Parael conjuntode siglosde la era cristiana tenemosuna cardinalidadde21, porqueactualmente vivimosenel sigloXXI.Revísaloacontinuación.

H={I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI,XII,XII,XIV,XV,XVI,XVII,XVIII,XIX,XX,XXI}

n(H)=21Selee“lacardinalidaddelconjuntoHesiguala21”.

Los conjuntos cuya cardinalidadpodemos calcular se llaman conjuntos finitos.Pero tambiénhay conjuntos infinitos, que sucardinalidadesimposibledeterminar,porejemplo,elconjuntodenúmerosrealesqueseextiendeyextiendeyextiende.

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Conjunto universal

Elconjuntouniversalouniversoesaquelquecontienetodosloselementosenuncasodeestudioenparticular.Porejemplo,siestuviéramosestudiandolascaracterísticasdelospintores,escultoresyactores,nuestroconjuntouniversalpuedeserllamado“Artistas”yloscontieneatodos.

Otro ejemplo, si hablamos de “el sector turismo”, “el sector agropecuario”, “el sector industrial” y “otros sectores”, entoncespodemosdefinirnuestroconjuntouniversalcomo“lossectoresproductivosdelpaís”.

Siestudiamosprimarias,secundariasypreparatorias,eluniversopuedeserlasinstitucioneseducativas.

ElconjuntouniversalsedenotaconelsímboloΩoconelsímboloU.

1.1.2. Complemento de conjuntos

Elcomplementodeunconjuntosetratadelconjuntointegradoportodosloselementosqueestánenelconjuntouniversalperonoestánenunconjuntodeterminado.EntoncesparaelconjuntoF,sucomplementose integrapor todos loselementosquepertenecenaluniversoynopertenecenaF.Uncomplementosedenotaconapóstrofo‘,oconunsuperíndicec.

LoentenderemosmejorconundiagramaVenn-Euler:

EláreacoloreadacorrespondealcomplementodelconjuntoFseescribeasí:

F’={Biología,Antropología,Geografía}

Existendoscasosespecialesparalacomplementación:

Elcomplementodelconjuntovacíoeselconjuntouniversal c=ΩElcomplementodelconjuntouniversaleselconjuntovacíoΩc=

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1.1.3. Intersección de conjuntos

Lainterseccióneselconjuntoformadoportodosloselementosquepertenecensimultáneamenteadosomásconjuntos.Serepresentaconelsímbolo∩.EnelsiguientediagramaVenn-Eulersepresentasombreadaeláreaquerepresentalainterseccióndetresconjuntos,seexpresadelasiguienteforma:

A∩B∩C={Jalisco}Selee“AintersecciónBintersecciónCigualaJalisco”.

Observa en el diagrama anterior cómo la intersección es una operación que nos permite detectar los elementos que estánpresentesesvariosconjuntosalavez,porejemplo,elEstado“Jalisco”esproductordemaíz,decañadeazúcarydesorgo.

1.1.4. Unión de conjuntos

Launióndeconjuntosseformaportodosloselementosquepertenezcanadosomásconjuntos.Serepresentaconelsímbolo.EnelsiguientediagramaVenn-EulerestásombreadaeláreaquerepresentalaunióndelosconjuntosA,ByC:

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Seexpresadelasiguienteforma:

A B C={Sinaloa,Jalisco,Veracruz,Michoacán}

Selee“AuniónBuniónCincluyeaSinaloa,Jalisco,Veracruz,Michoacán”.Notaqueaunqueunelementopertenezcaadosomásconjuntos,enlaunióndelosconjuntossemencionaunasolavez.

1.1.5. Inclusión de conjuntos

Lainclusiónsedacuandounconjuntocontieneaotro.Estotambiénseexpresacomoqueunconjuntoessubconjuntodeotro.Paraanotarunarelacióndeinclusiónseutilizaelsímbolo .

Siporelcontrariosequiereanotarqueunconjuntonoestáincluidoenotro,seusaelsímbolo

Porejemplo:

V={x|x=trabajadoresasalariados}W={x|x=trabajadoresquepercibenunsalariomínimo}

ParalosconjuntosanterioressepuededecirqueW VSelee“WestáincluidoenV”o,bien,“WessubconjuntodeV”.

Podemosdefinirloanteriorporquelostrabajadoresquepercibenelsalariomínimonecesariamentesontrabajadoresasalariados,aunqueenelconjunto“V”tambiénpuedenexistirotrostrabajadoresquepercibenmásdeunsalariomínimo.

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Otroejemplo:

Y={x|x=trabajadoressindicalizados}V={x|x=trabajadoresasalariados}

Alreflexionarsobrelosconjuntosanterioresnotamosquenonecesariamentetodoslostrabajadoresasalariadostambiénestánsindicalizados,porellopodemosestablecerque

V Y,esdecir,VnoestáincluidoenYo,bien,VnoessubconjuntodeY.

Observaeldiagramaquerepresentalasoperacionesdeinclusióndescritas:

Existencasosespecialesenlainclusióndeconjuntos:

• SilosconjuntosAyBsoniguales,entoncespodemosdecirqueAessubconjuntodeBytambiénqueBessubconjuntodeA.• Todoconjuntoessubconjuntodesímismo,aestarelaciónseledenominainclusiónimpropiaysesimbolizacon ,dela

siguienteformaA A.• Existeunconjuntovacíosimbolizadoconϕqueestáincluidoencualquierotroconjunto.

1.1.6. Igualdad de conjuntos

Laigualdadentredosomásconjuntosseestablecesiemprequetenganexactamentelosmismoselementos.Cuandoestoocurreseanotaasí:

A=BSelee“elconjuntoaesigualalconjuntoB”.

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Siporelcontrariolosconjuntossondesiguales,seanotaasí:

A≠BSelee“elconjuntoAesdiferentealconjuntoB”.

Veamosunejemplo:

R={x|x=ramasdelderecho}Selee“Rcontieneloselementosxtalquexrepresentaalasramasdelderechopúblico”.

D={Administrativo,Constitucional,Penal,Procesal,Laboral,Tributario}

EnelconjuntoRsemenciona,porcomprensión,lasramasdelderechopúblicoquesonelderechoadministrativo,constitucional,penal,procesal,laboralytributario;justamenteloselementosdelconjuntoD.Porelloestosconjuntossoniguales,entoncessepuedeanotarque:

R=D

Otroejemplo:

I={x|x=Médicos}N={x|x=Pediatras}

Aunquetodoslospediatrassonmédicos,notodoslosmédicossonpediatras.Porelloestepardeconjuntosnosoniguales,yseanotadelasiguienteforma:

N≠I

1.2. Definición de universo, pertenencia

Elconjuntouniversalouniversoestáconstituidoportodosloselementosdeestudioenunasituaciónparticular.Estoquieredecirquecadainvestigadordefineelconjuntouniversaldeestudioparaunproblemadeterminado.Incluso,paraunmismoproblemasepuedenplantearvariasposibilidadesdeconjuntouniversal.

Aunqueparaladefinicióndelconjuntouniversalelinvestigadortieneamplialibertad,sítendráqueestablecerunconjuntopreciso,yquesemantendráfijomientrasrealizaunanálisisbasadoenteoríadeconjuntos.

1.2.1. Notación

El conjuntouniversal sedenotaconel símboloΩoconel símboloU;en losdiagramasVenn-Euler se representacomounrectánguloquecontienetodosloselementos.Observaqueenlasiguienteimagensehasombreadotodoelconjuntouniversal.

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Elaboraciónpropia.

1.2.2. Operaciones (pertenencia, unión, intersección)

Unavezquesedefineunconjuntouniversalseasumenlassiguientespropiedades:

• Pertenencia: Todoconjuntoessubconjuntodelconjuntouniverso.• Unión: Launióndeunconjuntoconelconjuntouniversaldapor resultadoelconjuntouniversal.Porellosedicequeel

conjuntouniversalesunelementoabsorbentedelaunión.• Intersección: Lainterseccióndeunconjuntoconelconjuntouniversaldaporresultadoelconjuntoinicial.Porellosedice

queelconjuntouniversalelunelementoneutroenlaintersección.

1.2.3. Relaciones

Unarelaciónvinculaloselementosdeunconjuntoconloselementosdeotroconjunto.Veámoslográficamente:

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Se expresa como un conjunto de parejas ordenadas, donde el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundoelementoalsegundoconjunto.Delasiguienteforma:

Sean los conjuntos:E={Guerrero,Coahuila,Yucatán,Jalisco} y

C={Chilpancingo,Saltillo,Mérida,Guadalajara}

Se propone la siguiente relación:R={(Guerrero,Chilpancingo),(Coahuila,Saltillo),(Yucatán,Mérida),(Jalisco,Guadalajara)}

Otrosejemplosderelacionespuedenser:

Sean los conjuntos:M={Angélica,Laura,Vanesa,Carolina} y H={3,4,5}

Se propone la siguiente relación:R={(Angélica,4),(Laura,3),(Vanesa,4),(Carolina,5)}

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Unejemplomás:

Sean los conjuntos:M={6,9,13,19} y H={5000,6000,8000,16000,30000}

Se propone la siguiente relación:R={(6,5000),(6,6000),(9,8000),(13,16000),(19,30000)}

Podrásencontrartrestiposderelaciones:

Deunelementodelprimerconjuntoaunelementodelsegundoconjunto.

Demásdeunelementodel primer conjuntoaunelementodelsegundoconjunto.

Deunelementodel primer conjuntoamásdeunelementodelsegundoconjunto.

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Dominio y rango

Enunarelaciónsepuededeterminareldominioyelrango.

• Eldominioeselconjuntoformadoporlosprimeroselementosdelosparesordenados,yseescribeasí:D(R).• Elrangoeselconjuntoformadoporlossegundoselementosenlosparesordenadoyseescribeasí:r(R).

Veámoslográficamente:

D(R)= {Guerrero,Coahuila,Yucatán,Jalisco}r(R)={Chilpancingo,Saltillo,Mérida,Guadalajara}

Encienciassocialesestudiamos las relacionesentreconjuntosparaproponervínculosquenosayudenaexplicarypredecircaracterísticasdenuestrosobjetosdeestudio.

1.2.4. Funciones

Unafunciónesunarelaciónconlassiguientestrescaracterísticas:

• Tieneundominio(generalmentesedenotaconlaletraX).• Tieneunrango(generalmentesedenotaconlaletraY).• Tieneunaregladecorrespondenciaconlassiguientesrestricciones:

1.Cadaelementodeldominiodebetenernecesariamenteunelementoasociadoenelrango.2.Unelementodeldominionopuedetenermásqueunsóloelementoasociadoenelrango.

Unafunciónsedenotageneralmenteconlaletraf.

Observagráficamentecuálesrelacionessonfuncionesycuálesno:

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Imaginaqueunafunciónesunaespeciede“caja”querecibeunvalorX,loevalúayarrojacomoresultadounvalorY:

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Unafuncióngeneralmenteseexpresaasí:Y=f(X)yselee“YigualafuncióndeX”.

LaletraXrepresentaacualquieradeloselementosdeldominiodelafunción,esdecir,suvalorirácambiando,porellosedicequeesunavariable.

TambiénelvalordeYtomarávaloresdistintos,deentrelosvaloresposiblesparaelrango,porellotambiénesunavariable.

Además,sabemosqueelvalordeYdependedelvalorqueseleasigneaX,poresodecimosqueesunavariabledependiente.EncambioelvalordeXnodependedeotravariable,poresodecimosqueesunavariableindependiente.

Hastaahorahemosrepresentado las funcionescondiagramasoconparejasordenadasdeelementos,pero¿quépasaríasituviéramosunarelacióncuyodominioestáintegradoporunacantidadinfinitadeelementos?¡Exacto!Hacerundiagramaoanotartodaslasparejasposiblesesimpráctico.Porello,losdominiosdelasfuncionessuelenrepresentarseconecuaciones,ademásseindicaquétipodeelementospuedenpertenecer.Porejemplo:

Loanteriorselee“Yigualaxcuadrada.Siemprequexpertenecealosnúmerosnaturales,esmayoroiguala2yesmenoroigualque6”.

Otroejemplo:

Queselee“Yesiguala2x,xpertenecealosnúmerosreales.Enestecasonoseaclaraconcuálnúmeroiniciaofinalizax,loquesignificaquesusvaloresvandemenosinfinitoainfinito,seescribiríaasí: ”.

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Para saber más…

Repasaladiferenciaentrerelaciónyfunción,enelsiguientevideo:https://youtu.be/qd8QHJEo-6o

1.2.4.1. Graficar relaciones y funciones

Lasfuncionespuedenrepresentarsemediantegráficas.Paraelaborarlagráficadeunafunción,determinacuálessonlospuntosquedebessituarenunejecartesiano,esdecir,lascoordenadasXyY.Dichascoordenadasseacomodanenunatabladedobleentradaotabulación.Veamosunejemplo:Dadalafunción latabulaciónquetepermitirágraficarlafuncióneslasiguiente.

Enlatabulaciónanteriorlosvaloresdexseobtuvierondeldominiodelafunción: ,selee“xpertenecealosnúmerosnaturales,xesmayoroiguala2,xesmenoroiguala6”.Entendiendoeldominiosabemosquelosúnicosvaloresposiblesparaxson:2,3,4,5y6.

Despuéslosvaloresde“y”seobtuvieronresolviendolafunciónparacadavalordex,así:

X

2

3

4

5

6

Y

4

9

16

25

36

Y =22

Y =32

Y =42

Y =52

Y =62

UnavezterminadalatabulaciónpodemoselaborarlagráficaacomodandolospuntosX,Y.Semuestraacontinuación:

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Finalmente,podemosespecificarlosconjuntosqueformaneldominioyelrangodelafunción:

a)Dominio{2,3,4,5,6}b)Rango{4,9,16,25,36}

1.2.4.2. Clasificación de Funciones

Puedenclasificarseeninyectivas,suprayectivasybiyectivas.

Enlasfuncionesinyectivasparavaloresdiferenteseneldominiohayvaloresdiferentesenelrango.Observaestacaracterísticaenlasiguienteimagen:

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Enlassuprayectivascadaelementodelrangodebetenerasociadounelementoeneldominio.

Finalmente,lasfuncionesbiyectivassontantoinyectivascomosuprayectivas:

1.2.4.3. Operaciones de funciones

Confuncionesesposiblerealizarlassiguientesoperacionesalgebraicas:suma,resta,multiplicaciónydivisión.Tambiénpodemoshacerunaquintaoperaciónllamadacomposición.Acontinuaciónexplicaremoscadaunadeellas.

SumaDadasdosfuncionesfyg,lasumadeéstasseexpresaasí:

f(x) +g(x)= (f+g) (x) Selee“fdexmásgdexigualafmásg,dex”.

Unpropiedadimportantedelasumadefuncionesesqueeldominiodeunasumadefuncionesesigualalainterseccióndelosdominiosdecadafunción.Seexpresadelasiguienteforma:

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Dominio de (f+g) (x) es igual a Df ∩ DgSelee“dominiodefmásg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.

Veamosunejemplo:

Seanf(x) = x2-1g(x) = x+3

Entonces(f + g)(x) = x2 - 1+(x +3)

Simplificandotérminosqueda:(f + g)(x) = x2 +x +2

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunasumadefunciones:https://youtu.be/uXumaGG1yws

RestaDadasdosfuncionesfyg,larestadeestasfuncionesseexpresaasí:

f(x) - g(x)= (f - g) (x) Selee“fdexmenosgdexigualafmenosg,dex”.

Tambiéneldominiodeunasumade funcioneses iguala la intersecciónde losdominiosdecada función.Seexpresade lasiguienteforma:

Dominio de (f - g) (x) es igual a Df ∩ Dg

Selee“dominiodefmenosg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.

Veamosunejemplo:

Seanf(x) = x2 - 1g(x) = x + 3

Entonces(f-g)(x)=x2-1-(x+3)

Simplificandotérminosqueda:(f - g)(x) = x2 - x - 4

25

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunarestadefunciones:https://youtu.be/L5Bwmis_d18

Producto o multiplicaciónDadasdosfuncionesfyg,larestadeestasfuncionesseexpresaasí:

f(x) . g(x) = (f . g) (x)Selee“fdexporgdexigualafporg,dex”.

Tambiéneldominiodeunproductodefuncionesesigualalainterseccióndelosdominiosdecadafunción.Seexpresadelasiguienteforma:

Dominio de (f . g) (x) es igual a Df ∩ Dg

Selee“dominiodefporg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg”.

Veamosunejemplo:

Seanf(x)= x^2-1g(x) = x+3

Entonces(f . g)(x) = (x2 - 1)(x + 3)

Resolviendolamultiplicaciónqueda:(f . g)(x) = x3 + 3x2 - x - 3

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicaunproductodefunciones:https://youtu.be/EV9TRVYs36k

Cociente o divisiónDadasdosfuncionesfyg,ladivisióndeestasfuncionesseexpresaasí:

f(x) / g(x) = (f/g) (x) Selee“fdexentregdexigualafentreg,dex”.

26

Tambiéneldominiodeuncocientedefuncioneses iguala la intersecciónde losdominiosdecadafunción,excluyendo los valores de x para los cuales g(x) = 0.Seexpresadelasiguienteforma:

Dominio de (f/g) (x) es igual a Df ∩ Dg,g(x)≠0

Selee“dominiodefporg,igualalainterseccióndeldominiodefconeldominiodeg,siemprequegdexseadiferentede0”.

Veamosunejemplo:

Sean

f(x)=x2-1g(x)=x+3

Entonces

(f/g)(x)=(x2-1)/(x+3)

Resolviendolafracciónqueda:

(f/g)(x)=x-3+8/(x+3)Siemprequex+3≠0

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicauncocientedefunciones:https://youtu.be/_hJkxqoZlCQ

ComposiciónConsisteenevaluarunafunciónenotra.Dadasdosfuncionesfyg,lacomposicióndeéstasseexpresaasí:

f(x) • g(x)=f(g(x))

Selee“fdexcompuestagdexigualafcompuestag,dex”.

Siemprequeeldominiodexpertenezcaaldominiodeg(x),yeldominiodeg(x)pertenezcaaldominiodef(x).Seexpresadelasiguienteforma:

Dominiode

Selee“dominiodefcompuestagdex,igualax,talquexpertenecealdominiodeg,ygdexpertenecealdominiodefdex”.

Veamosunejemplo:

Sean

f(x)= x2-1g(x)= x+3

27

Entonces

Para saber más…

Revisaenelsiguientevideounaintroducciónalacomposicióndefunciones:https://youtu.be/Nc7dtwfgqtM

Siaúntienesdudassobrelasoperacionesconfuncionesrevisaelsiguientevideo:

Operacionesconfunciones:suma,resta,multiplicaciónydivisión,https://youtu.be/78QxHDCibIE

Sagrera,E.(25demarzode2016).Lasfuncionesylavidacotidiana[Archivodevideo].Consultadodehttps://youtu.be/GH5DKqCwSAk

En conclusión…

Lateoríadeconjuntossepuedeocuparparaanalizarhechossocialesdeformasistemática.Permiteconceptualizaralosgruposy procesos sociales como conjuntos con propiedades conocidas, sobre los que pueden plantearse operaciones de unión,intersección,inclusión,complementariedad.Estasoperacionestienenunfundamentomatemáticoquebrindacoherenciaysolidezaunanálisisbasadoenteoríadeconjuntos.

Enestaunidadrevisamosqueunconjuntoesunacoleccióndeelementos.Dichoselementospuedenserpersonas,objetos,ideas,etc.Secumplentrescondicionesparadelimitaraunconjunto:primerocadaelementoperteneceaunoomásconjuntosdemaneradefinitiva,sinambigüedad;segunda,loselementosnoserepitenenunmismoconjunto,ytercera,noimportaelordenenelqueseexpresenloselementosdelconjunto.

Paraelanálisisdeunasituaciónenparticularexisteunconjuntouniversalquecontieneatodosloselementosposiblesdeestudio.Esteconjuntoesdelimitadoporelinvestigadordeacuerdoalascaracterísticasdelproblemadeinvestigación.Lalibertadparadefinirloestáacotadapordoscaracterísticas:sedebeestablecerdemaneraprecisaunavezdelimitadoeluniversosemantienefijodurantetodoelprocesodeanálisis,

Parausar lateoríadeconjuntostenemosunanotaciónparticular,entrecuyossímbolospodemosdestacar lossiguientes: losconjuntosserepresentanconletrasmayúsculas,elconjuntouniversalconelsímboloU,enconjuntovacíoseexpresaconɸ,lapertenenciadeunelementoaunconjuntoserepresentaconelsímbolo ,porlotanto,paraexpresarqueunelementonoperteneceaunconjuntousamoselmismosímbolocruzado .

28

Podemosrealizarlassiguientesoperacionesconconjuntos:unión,intersección,inclusión,igualdadycomplemento.Launióndedosomásconjuntosseformaconloselementosqueestánpresentesendichosconjuntos;encasodequeunelementoestépresenteenmásdeunconjuntosóloseincluyeunavezenelresultadodelaoperaciónunión.LauniónserepresentaconelsímboloU.

Laintersecciónseformaconloselementosqueestánpresentesdemanerasimultáneaendosomásconjuntos;serepresentaconelsímbolo ∩.Existe inclusióncuandotodos loselementosdeunconjuntopertenecenaotroconjunto,aestaoperacióntambiénseleconocecomosubconjunto,sesimbolizacon .

Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente losmismos elementos, esta situación se representa con el símbolo =, enconsecuencia,silosconjuntossondiferentesserepresentaconelsímbolo≠.Finalmentelaoperacióncomplementoincluyeatodosloselementosqueformanpartedelconjuntouniversalmenosloselementosdeunconjuntodeterminado,serepresentaconelapóstrofo.

Unarelaciónvinculaelementosdeunconjuntoconloselementosdeotroconjunto.Cuandoloselementosdelosconjuntossonnúmerosseformaunconjuntodeparesordenados(x,y)quesepuedengraficarenuncuadrantecartesiano.Dichasgráficassonrepresentacionesvisualesdelarelación,sonútilesparaproporcionarunadescripcióndelascaracterísticasdelarelación,esdecir,nosfacilitansuinterpretación.

Paratodarelaciónsepuededefinirundominioyunrango.Eldominioestáconstituidoportodoslosprimeroselementosdelosparesordenados,generalmenterepresentadosporlaliteral“x”,estoselementossegraficanenelejedelasabscisas.Elrangosontodoslossegundoselementosdelosparesordenados,serepresentanconlaliteral“y”ysegraficanenelejedelasordenadas.

Existe un caso particular de relación, llamado función, que se caracteriza porque todos los elementos de su dominio estánrelacionadosúnicamenteconunelementoenelrango.Elvalordelafuncióndependedelvalordeloselementosdeldominio,porellounafunciónesunaexpresiónmatemáticaquepermitemodelarelcomportamientodeunavariabledependienteconrespectoaunaomásvariablesindependientes.

Encienciassocialesestudiamos las funcionesentreconjuntosparaproponervínculosquenosayudenaexplicarypredecircaracterísticasdenuestrosobjetosdeestudio.Porejemplo,lafunciónquedefineelcomportamientodelaofertaylademandanosdicequeelincrementodelademandaelevaelpreciodelosbienesyservicios.

Fuentes básicas de consulta

Básica

Elorza,H.(2008).Estadísticas para las Ciencias Sociales, del Comportamiento y de la salud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.

García-Ferrando,M.(1999).Socioestadística: Introducción a la estadística en sociología.Madrid:Alianza.

Rioboo,J.yDelOro,C.(2000).Representaciones gráficas de datos estadísticos.Madrid:AC.

Zeisel,H.(1999).Dígalo con números.México:FCE.

Complementaria

Kleiman,A.(2009).Conjuntos: Aplicaciones matemáticas a la administración.México:Limusa.

29

El Comportamiento Demográficoen México

Introducción

Enlaactualidad,laestadísticasehaconvertidoenunmétodoefectivoparadescribirconprecisiónlosvaloresdedatospolíticos,sociales,económicos,psicológicos,etc.,puesesunaherramientapararelacionaryanalizardichosdatos.

Laestadísticasedivideenestadísticadescriptivayestadísticainferencial.

• Laestadísticadescriptivaodeductivarequieredelusodemodelosnuméricosygráficospararesumirypresentardatos,eslaqueincluyelastécnicasqueserelacionanconelresumenyladescripcióndedatosnuméricos.

• Estadísticainferencialoinductiva:Consisteeninferirpropiedadesdeunapoblaciónsobrelabasedeunamuestraconresultadosconocidos,sebasadadirectamenteenlateoríadelaprobabilidad.Esunadisciplinapuramentedeductivaqueproporcionaunabaseracionalparaelrazonamientoinductivo.

Objetivos particulares

Altérminodelaunidad,elalumnoserácapazde:

• Seleccionaryvalorarresultadosydatossociodemográficos.• Representardatossociodemográficos.• Comprenderlalógicadelaestadísticaylosmodeloselementales.• Dominarlaestadísticadescriptivayrealizaroperacionesestadísticasbásicasconlafinalidaddehacerinferencias

generalessobrepoblacionesdelimitadas.

Temario

Tema 2. Estadística

2.1.Introducciónalaestadísticaencienciassociales2.1.1.Estadística,cienciayobservación

2.1.1.1.Inferenciasdelaspoblaciones.Estadísticasvitalesyestadísticasmatemáticas2.1.1.2.Utilidadylimitantesdelaestadísticaenlascienciassociales2.1.1.3.Poblaciónymuestras

2.1.1.3.1.Tiposdemuestras2.1.1.3.2.Tiposdeencuestas,general

2.1.2.Estructuradeinformación,métodosdeinvestigación2.1.3.Variables,medición2.1.4.Anotaciónestadística

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2.2.Frecuencias2.2.1.Distribucióndefrecuencias2.2.2.Distribuciones:tablasygráficas(relacionesx,y)

2.2.2.1.Presentacióndetablas,intervalos2.2.2.2.Histogramas,gráficasdebarra,polígonos

2.2.3.Tendenciacentraltotal2.2.4.Promedio,media,moda

2.2.4.1.TeoremadetendenciacentralySkwenessyKurtosis2.3.Variabilidad

2.3.1.Rangoyrangointercuartil2.3.2.Desviaciónestándar

2.4.Diseñodehipótesisenlascienciassociales2.4.1.CausalidadycorrelaciónPearson2.4.2.Hipótesisnula2.4.3.Pruebasdehipótesis

2.4.3.1.Errorestándar2.4.3.2.Estimación2.4.3.3.Índicedeconfianza

2.5.Modelosprobabilísticos2.5.1.Normal2.5.2.Binomial2.5.3.Poisson

Exposición de los temas

2.1. Introducción a la estadística en ciencias sociales

2.1.1. Estadística, ciencia y observación

La estadística es una rama de lasmatemáticas que, mediante las técnicas que proporciona, permite recolectar, organizar,presentar,analizare interpretardatos,yaseadeunamuestrao inferirsobreunapoblación, locualpermitetomardecisionesacertadas.

CienciaEsunadisciplinaqueutilizaelmétodocientíficoconlafinalidaddehallarestructurasgenerales.

Observación o datoAcadaresultadoqueseobtienealrealizarunexperimentoselellamadatouobservación.

2.1.1.1. Inferencias en las poblaciones. Estadísticas vitales y estadísticas matemáticas

Lainferenciaestadísticaesunprocesoqueseñalalosaspectoscontenidosenunapoblación,utilizandoúnicamentelainformaciónde unamuestra. El uso de la inferencia estadística tiene grandes ventajas, ya que se ahorra tiempo y dinero al recolectarinformacióndeunamaneramássencilla.

Lasestadísticasvitalesson“elresultadodelrecuentodeloshechosocurridosenlavidadelapoblación,comoson:nacimientos,matrimonios,divorcios,defuncionesymuertesfetales.Lasestadísticasvitalessonelementosbásicosparaelanálisisdemográfico

31

delasituacióndeunpaís,asícomounodelosrequisitosparapoderllevaracabolaplanificacióndeldesarrolloeconómicoysocial.Yaqueproporcionaninformaciónsobrelatendenciadelcrecimientonaturaldelapoblaciónbasándoseenlastasasdenatalidadymortalidad;sobrelaconductadesuscomponentes,sudistribucióngeográficaymediantesuagregaciónalolargodeltiempo,sobreeltamañodelapoblaciónysuestructura.Porotrolado,permiteidentificaralosgruposdemandantesdeserviciosmédicos,educación,vivienda,etc.”(INEGI,2003,p.1).

Laestadísticaesunaramadelasmatemáticasqueestudialarecolección,organizaciónyanálisisdelosdatos,losresumeysimplificaparasuanálisisyestudio.

2.1.1.2. Ventajas y limitantes de la estadística en las ciencias sociales

Laestadísticacuentaconunaseriedetécnicasquetienenaplicaciónenlasmásdiversasdisciplinas,elusodeellasdependedelconocimientodelaspersonasquelasapliquen.Asimismo,proveeloselementosbásicosparafundamentarunainvestigación.

Limitantes:Alutilizarlaestadísticaesimportantecuidarcómoseobtiene,cuantificaypresentanlosdatosparanodarunmalusodeellos,porqueestopuedehacerquelaspersonasinterpretenmallainformacióny,portanto,eltrabajopierdevalidez.Además,estálaéticadequienesrecolectanlainformaciónynointervenirenlosdatosqueseobtienen.

Consideraquelosproblemasdeinvestigaciónsocialrequierenestardefinidosteóricamentedemaneracorrecta,delocontrariodepocoserviráelusodeunaparatoestadístico(García,1989).

2.1.1.3. Población y muestras

Lapoblaciónouniversosedefinecomoelconjuntodetodoslosindividuos,objetos,omedidasqueposeenalgunacaracterísticacomúnobservable.Porejemplo,todaslasmujeresquesonmadressolterasdeciertopaís.

Lamuestraesunsubconjuntodelapoblación,seleccionadamedianteprocedimientosaleatorios(alazar)opormétodosdirigidosaobtenerrepresentatividaddelapoblacióndedondeseobtiene.Lasmuestrassonconsideradascomounaautenticarepresentacióndelapoblacióndondetodosycadaunodelosindividuosobjetostienenlamismaoportunidaddeserseleccionados,mediantelosdiferentestiposdemuestreo.

2.1.1.3.1.Tiposdemuestras

Muestras de convenienciaCuandolaconvenienciasealaconsideraciónfundamentalysóloseescojanparaobservaciónlasunidadeselementalesmásfácilmenteaccesibles,elsubconjuntoresultantedetodasellasodeunapoblaciónestadísticaasociada,constituyeunamuestradeconveniencia.

Ejemplo:Encuestaalas10personasquesalgandeunaempresaacercadecuántogananyseobtieneasíunpromediode20000dólaresalaño;estas10personasnorepresentanlafuerzalaboralcomountodo,niunmismonivel.

Muestras de juicioÉsteesuntipodemuestramáscompleja,yaquesebasaenlaexperienciaprevia,juegaunpapelimportanteenlaseleccióndeunidadeselementalesparaobservación.Sinembargo,formulardichojuiciopuedeserpuntomenosqueimposible,enespecialcuandolasunidadeselementalessonheterogéneasylamuestradeseadaespequeña.

32

Ejemplo:Sihubiera600hombresy400mujeresysetuvieraunamuestrade4hombresy6mujeres,enestesentido,lamuestravendríaenunaminiaturadelapoblación.¿Quépasacontodaslascaracterísticasquetienelaspersonas,comolaedad,educación,ingresoyraza?

Muestras aleatorias (o de probabilidad)Sondegran importancia,puesevitanelproblemade lacarenciade representatividad,es lamuestraaleatoriaomuestradeprobabilidad,lacualesunsubconjuntodetodaslasunidadesdeunapoblaciónasociadadesuscaracterísticas,queseescogeporunprocesoaleatorioquedaráacadaunidaddeunapoblaciónasociadaunaposibilidadpositivayconocidadeseleccionarse(aunquenonecesariamenteigual).

2.1.1.3.2.Tiposdeencuestas,general

Unaencuestaesunatécnicacuantitativaqueconstadeunaseriedepreguntasrealizadasaunamuestrarepresentativadeunapoblación,diseñadaparaobtener informaciónespecíficade losparticipantes.Apartirdeestosepuedenobtenermedicionescuantitativasdecualidadestantoobjetivascomosubjetivasdelapoblación.Lasencuestaspuedenserclasificadasdedistintasmaneras.

TIPOS DE ENCUESTAS

Asistida por computadoraTradicional

Encuesta telefónica Encuesta personal Encuesta por correo Encuesta electrónica

En centros comerciales

Asistida por computadoraEn casa Panel por

correoCorreo CorreoCorreo electrónico

Malhotra,N.(2008).Clasificacióndelatécnicadeencuesta[esquema].Tomadode:Investigacióndemercados,p.184.

2.1.2. Estructura de información, métodos de investigación

Unavezrecolectadalainformaciónporalgunatécnicacuantitativa,éstasepuedeanalizarmedianteunmétododeinvestigaciónquepermitalamejortomadedecisiones.

Elsiguientediagramamuestraelprocesocuantitativo.

33

Sampieri,R.(2006)Procesocuantitativo.[esquema].Tomadode:Metodologíadelainvestigación,p.5.

2.1.3. Variables, medición

Variable:característicaofenómenoquepuedetomardiferentesvalores.

Existendosclasesdedatos,loscualesprovienendelassiguientesvariables.

Proceso cuantitativo

Idea Planteamiento del problema

Fase 1F ase 2F ase 3F ase 4F ase 5

Fase 10 Fase 9F ase 8F ase 7F ase 6

Revisión de la literatura y desarrollo

del marco teóricoVisualización del

alcance del estudio

Elaboración del reporte de resultados

Análisis de los datos Recolección de los datos

Desarrollo del diseño de investigación

Variable continua

Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dosvalores dados, los datos obtenidos respecto a éstas sellamandatoscontinuos,puedenserenterosofraccionarios(altura,peso,velocidad,gasolinaqueseexpendeporhora,etc.).Elresultadoseobtienedemedir.

Variable discreta

Aquellascuyamediciónsólopuedeexpresarseennúmerosenteros(númerodepersonasqueentranaunrestaurante,número de personas en una empresa, etc.) porque nopuede tomar un valor cualquiera entre dos dados. Losdatosqueseobtienenconrespectoaéstasellamandatosdiscretos.Elresultadoseobtienedecontar.

Niveles de medición

Losnivelesdemediciónoescalasdemediciónrigenloscálculosquesellevanacaboconelfinderesumirypresentarlosdatos.Determinanlaspruebasestadísticasquesedebenrealizar.

Existencuatronivelesdemedición:nominal,ordinaldeintervaloyderazón.Lamediciónmásbaja,correspondealnivelnominal.Lamásalta,oelnivelqueproporcionalamayorinformaciónrelacionadaconlaobservación,eslamediciónderazón.Elsiguientecuadropresentalaclasificacióndedichosniveles.

34

VARIABLES DISCRETAS O DISCONTINUAS

Sonaquellasqueutilizanvaloresnuméricosoalfanuméricos,tambiénserefiereadatoscualitativos.

•Losdatossóloseclasifican.• Ninguna respuesta valemásqueotra.•Noimportaelorden.•Noexistejerarquía.

Ejemplos:

Sí,No

Losnúmerosdelasplayerasdejugadoresdefutbol.

El género de las personas enunauniversidad.

Marcadeautomóviles.

• Diferencias significativasentre los valores. (magnitudesy distancia entre los númerosdesuescala).

Ejemplos:

Las temperaturas de lasdiferentes zonas geográficasdelmundo.

Laedadde losestudiantesdeprimersemestre.

La talla de vestido o trajes deungrupodepersonas.

• Los datos se clasifican deacuerdoaunajerarquía.• No se conoce la diferenciaentreunvaloryotro.•Noesequidistante.

Ejemplos:

Bueno,Malo,Regular

Alto,Medio,Bajo

Calificaciones en un examen(MB,B,R,NA).

•Cuentaconunceroabsoluto(elcerorepresentalaausenciatotaldemedida).• Cociente o Razón entre dosnúmerosdelaescala.

Ejemplos:

Númerodeempresasalasqueselesdioconsultoría.

Peso,estatura.

Númerodellamadasrealizadasenuncall center.

VARIABLE CONTINUAS O ESCALARES

Sonaquellasvariablescuyosvaloresdentrode lamismarepresentan la información exacta, también se refiere adatoscuantitativosocontinuos.

VARIABLE NIVELES DE MEDICIÓN S DISCRETAS O DISC

NOMINALES INTERVALOORDINALES RAZÓN

Elniveldemediciónde losdatosrige loscálculosquese llevanacaboconelfinderesumirypresentar losdatos.Tambiéndeterminalaspruebasestadísticasquesedebenrealizar.

2.1.4. Notación estadística

Lanotaciónestadísticaonomenclaturaesunlenguajesimbólicoqueseusapararepresentardealgunaformaideasuoperacionesmatemáticas.

Lanomenclaturaqueseusaenestasnotassepresentarádeacuerdoconlostemasquesevayanmencionando.

2.2. Frecuencias

Frecuencias:númerodevecesqueocurreuneventouobservación,serepresenta(f).

35

2.2.1. Distribución de frecuencias

Losdatosordenadosengruposocategoríasrecibenelnombrededistribucióndefrecuencias.Sisetieneunconjuntodedatos,primerohayqueorganizarlosenformaordenadayensubconjuntosquepresentancaracterísticassimilares(mismaasignatura,mismaedad,mismaestatura,etc.),conelpropósitodefacilitarsuinterpretación.

2.2.2. Distribuciones: tablas y gráficas (relaciones x, y)

Elprimerprocedimientoqueseempleaparaorganizary resumirunconjuntodedatos,organizándolossegúnsuclaseysufrecuencia,esunatabladefrecuencias.

Estatablapuedeserutilizadaparaorganizaryresumirdatoscualitativosydatoscuantitativos.

Ejemplo1:Lasiguientetabladedistribucióndefrecuenciasesunamuestraaleatoriade130personasenedaddevotarenlaciudadMparaelegiraunnuevorepresentante,estáclasificadaporgrupodeedad.

Frecuencia

1828262533

Grupo de edad

(18-24](24-30](30-36](36-42](42-48]

Enlaprimeracolumnaseencuentranlasclasesointervalosdondeseclasificanlosdatosdelamuestraobtenida.Elparéntesisindicaellímiteinferiordeclaseyelcorcheteellímitesuperiordeclase.Porloqueelnúmerodevecesqueserepiteeleventosóloesenesaclase.

Enlasegundacolumnaseencuentranelnúmerodevecesqueserepiteeleventoencadaclase.

2.2.2.1Presentacióndetablas,intervalos

Considerando el ejemplo 1, con los datos recolectados de lamuestra de votantes se presenta el desarrollo de laTabla dedistribucióndefrecuenciasabsolutasyrelativas.

Tabla de distribución de frecuencias absolutas y relativas

Estasfrecuenciassedeterminandelasiguientemanera:

LaXiesunpromedioaritméticodeclase,queseobtienesumandoloslímitesrealesdeclaseydividiéndolosentredos.

Delaclase2tenemos(24+30)/2=27

Lafrseobtienededividirlafdecadaclaseentreeltotaldedatosuobservaciones(enestecasoson130).

36

Lafadeunaclaseseobtienedesumarlafadeesaclaseylafdelaclasesiguiente.Elresultadodelaclase2es18+27=46.

Lafradeunaclaseseobtienedesumarlafracumuladadeesaclaseylafrecuenciarelativadelaclasesiguiente.Elresultadodelafradelaclase3es0.35+0.20=0.55.

Nomenclatura:

f:frecuenciaabsolutaXi:marcadeclaseopromediodeclaseFr:frecuenciarelativafa:frecuenciaabsolutaacumuladafra:frecuenciarelativaacumulada

2.2.2.2.Histogramas,gráficasdebarra,polígonos

Losgráficossonlarepresentacióndelosdatosenformadedibujo,detalmaneraquelapersonaquelosveapuedacomprenderlosdatosrecabadossintenerqueremitirseaunatabladefrecuencias.

Lasgráficasseclasificansegúneltipodedatos,sisoncualitativosocuantitativos.

f

1828262533130

fr

18/130=0.140.220.200.190.251.00

Xi

2127333945

fa

18467297130

fra

0.140.350.550.751.00

Grupo de edad(clases o intervalos)

18-2424-3030-3636-4242-48Totales

GRÁFICOS

BarrasCircular

Datos cualitativos Datos cuantitativos

Dispersión HistogramaLíneas

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Histograma

Gráficadebarrasverticalessinespaciamientoentreellas,construidacolocandoenelejeverticalalasfrecuenciasabsolutasorelativasyenelejehorizontalaloslímitesrealesdeclasedeunatabladefrecuencias.

Polígono

Esunagráficaconstruidaconsegmentosdelíneasrectasqueunenlospuntosobtenidosalcolocarenelejehorizontallosvaloresmediosdeclaseyenelejeverticalalasfrecuenciasabsolutasorelativas.

38

Ojiva de frecuencias acumuladas

Esunagráficaconstruidaconsegmentosdelíneasqueunenlospuntosobtenidosalcolocarenelejehorizontalalaslíneassuperioresdeclaseyenelejeverticalalasfrecuenciasacumuladasabsolutasorelativas.

Frecuencia absoluta acumulada (fa)

Variable (frontera superior o límite superior de clase)

2.2.3 Tendencia central total

Lasmedidasdetendenciacentralsonmedidasdescriptivasqueindicanhaciadóndetiendenaconcentrarselosvalorescontenidosenunconjuntodedatos.

2.2.4. Media (promedio), media, moda

Lasmedidasdetendenciacentralmásutilizadassonlamedia,medianaymoda.

Mediaeselpuntodelrangoodistribuciónporencimaopordebajodelcualhayunnúmeroexactamenteigualdeunidadesdedesviación.Seobtienedividiendolasumadetodaslaspuntuacionesporelnúmerodeéstas.

Medianaeseldatocentralomedidadeposición.

Modaeselvalorquemásvecesserepite.

Para datos agrupados

Lamediaaritméticaopromediosedenotacon:

=mediamuestralµ=mediapoblacional

39

Secalculaconlafórmulasiguiente:

Media

Mediana

LRi=límiterealinferiordelaclasequecontienelamediana.n=núm.totaldeobservacionesenladistribucióndefrecuencias(nparamuestra).fa=frecuenciaacumuladadelaclasequecontienelamediana.fc = número de observaciones en la clase que contiene la mediana (donde se estátrabajando).i=tamañodelintervalodeclase.

Moda

Donde:LRi=límiterealinferiordelaclasequecontienelamoda.d1=diferenciaentrelafrecuenciadelaclasemodalylafrecuenciadelaclaseprecedente.d2=diferenciaentrelafrecuenciadelaclasemodalylafrecuenciadelaclasesiguiente.i=tamañodelintervalodeclase.

Deladistribucióndefrecuenciasdelejemplo1,determinarlasmedidasdetendenciacentral.

Solución:

Media

Realizarelproductodelafrecuenciaabsolutaconlamarcadeclase,decadaclase.

Delaclase3setiene26x33=858,estosehacecontodaslasclasesparadeterminarlasumatoriayéstaes4452.

Frecuencia

1828262533

130

Xi

2127333945

f *Xi

3787568589751485

4452

fa

18467297130

Grupo de edad

18-2424-3030-3636-4242-48

CLASES

12345

TOTALES

40

Sustituyendoenlafórmulasetiene:

Mediana

Seobtieneapartirdeobtener laposicióncentral n/2 =(130)/2=65,éstaseencuentraen laclase3,deacuerdoa lafórmulafa=46,ylafcquelecorrespondees26.Sustituyendoenlafórmulatenemos:

Moda

Enelcasodedatosagrupadosseidentificalaclasemodal,esdecir,laclasequecontengamásdatosolademayorfrecuencia.Enestecasoes28,porloqueseprocedeadeterminard1=28–18=10yd2=28–26=2

Sustituyendoenlafórmula:

Para datos no agrupados

Media

Mediana:seordenanlosdatosdemaneraascendenteodescendente.

Moda:Eselvalorquemásserepiteenunaseriededatos.

41

Ejemplo2:Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:

Añosdeedad181819191920202020212123242525

Determinar:

Media

Mediana

Unavezordenadoslosdatos,eldatocentralomedidadeposiciónes20añosdeedad.

Moda

Laedadquemásserepitees20añosdeedad.

2.2.4.1.Teoremadetendenciacentralyasimetría(Skweness)yKurtosis

Lasmedidasdetendenciacentraldanunvalorrepresentativodeladistribucióndefrecuenciassituadoenunlugarintermedio(promedio)alrededordelcualseencuentranotrosvalores.Indicancuáleselcomportamientodelosdatos,esdecir,haciadóndetiendenaagruparse.

AsimetríadePearson,elcoeficientedeasimetríadePearsonmideladesviacióndelaasimetría,expresandoladiferenciaentrelamediaylamedianaconrespectoaladesviaciónestándardelgrupodemediciones.Lasfórmulasson:

Paraunadistribuciónsimétrica,elvalordelcoeficientedeasimetríaessiempre0,porquelamediaylamedianasoniguales.

Paraunadistribuciónconasimetríapositiva,lamediaessiempremayorquelamediana,porloqueelvalordelcoeficienteespositivo.

Paraunadistribuciónconasimetríanegativa,lamediaessiempremenorquelamediana,porloqueelvalordelcoeficienteesnegativo.

42

Coeficientedeasimetríaα3

α3>0sesgoalderechooasimetríapositivaα3=0insesgadaα3<0sesgoizquierdooasimetríanegativa

Lafórmulademomentossedeterminapara…

DatosagrupadosDatosnoagrupados

Lacurtosisesunamedidadeapuntamientodeunadistribucióndefrecuencias,eselgradodeconcentraciónalrededordelamediasuresultadorepresentaelgradodeapuntamientodeunadistribución,esdecir,quétanpuntiagudooquétanaplanadaeslacurvadeunadistribución.

Lasformasdeunadistribuciónsimétricarecibendistintosnombres.

Leptocúrtica: Eslacurvadondesetienemayorapuntamiento.

43

Mesocúrtica: Deacuerdoaladistribucióndevalores,niesplana,nipuntiaguda,tieneunaproporcionalidaddeconcentraciónalrededordelcentrodeladistribucióndefrecuencias.

Platicúrtica: Setienepocaconcentraciónomenorapuntamientoalrededordelcentroenambasdirecciones,suformaesplana.

Elíndicedecurtosissedeterminadeacuerdoalosdatosquesetengan,puedenserdeunamuestraodeunapoblación,oquelosdatosseencuentrenagrupadosonoagrupados.Serepresentamediantelaexpresiónα4

44

ysucálculoserealizamediantelafórmulademomentosparadatosagrupados.

Elcuartomomentoessiemprepositivoyseusaparaconocerelapuntamientodeladistribuciónocoeficientedecurtosis.Cuandoelíndicedecurtosises:

α4=3mesocurticaα4>3leptocurticaα4<3platicurtica

Elcuartomomentosirvecomounamedidaabsolutadeapuntamientoocurtosis.

Paradatosnoagrupados

Ejemplo3:Conlosdatosdelejemplo1,determinarelíndicedecurtosis.

La tabla siguiente presenta los datos que se requieren para determinar la curtosis (recordemos que lamedia ya se habíacalculado).Seagreganlascolumnasparacalcularlacurtosis.

Xi

2127333945

fa

18467297130

f *Xi

3787568589751485

4452

30421372

266253993

9058

51409867228

2615625483153

1080130

f

1828262533

130

Grupo de edad(clases o intervalos)

18-2424-3030-3636-4242-48

Totales o ∑

45

Media

Desviaciónestándar

Secalculaelmomento4,sustituyendoenlafórmula

momento4

ysedeterminaelcoeficientedecurtosissustituyendoenlafórmula

comoα4=1.69,y1.69<3laformaesplaticurtica,esdecir,setienepocaconcentraciónomenorapuntamientoalrededordelcentro.

2.3. Variabilidad

Lavariabilidadodispersiónpermitecomprenderquétandispersos(esparcimiento)seencuentranlasobservacionesconrespectoaunpuntomedioopromedio.Esdecir,esunnúmeroqueindicaelgradodedispersiónenunconjuntodedatosconrespectoalpromedio.

2.3.1. Rango y rango intercuartilElrangooamplitud,seclasificacomounamedidadedistancia.Enelcasodeunadistribucióndefrecuenciasseencuentraalconsiderarelvalordellímitesuperiorrealdelaúltimaclasemenoselvalordellímiterealinferiordelaprimeraclase.

Para datos agrupados

R=LSC-LIC

Donde:

R=RangooamplitudLSC=LímitesuperiorrealdelaúltimaclaseLIC=Límiteinferiorrealdelaprimeraclase

46

Elrango intercuartílico permitemedirladispersióndelosdatosyesladiferenciaentreelprimeroyeltercercuartil.Loscuartilesdividenalaseriededatosencuatropartesporcentuales.

Q1=25%Q2=50%Q3=75%Q4=100%

ElvalordelQ2eselquecoincideconlamedianaopuntomedio.PorloqueelQ3indicaqueeselvalordelcualquedantrescuartaspartespordebajode75%.Loscuartilessecalculanconlafórmuladelamediana,sólocambiaelnúmerodelcuartiladeterminar.

Donde:

m=1,2,3elnúmerodecuartilacalcular.Li=Límiteinferiordelaclasedondeseencuentraelcuartilm.n=númerodedatos.fa=frecuenciaacumuladadelaclasequeprecedealaclasedelcuartilm.i=tamañodelintervalodelaclasedelcuartilm.

El rango intercuartil se determina con la fórmula siguiente:

R=Q3-Q1

Conlosdatosdelatabladefrecuenciasabsolutasyrelativasdelejemplo1,determinarelrangoyelrangointercuartil.

Solución:

Rango

R=LSC-LICSustituirenlafórmulalosdatoscorrespondientes.

R=48-18=38añosdeedadParaelrangointercuartil,primerosecalculanQ3yQ1

Xi

2127333945

fr

0.140.220.200.190.25

1.00

fra

0.140.350.550.751.00

fa

18467297130

f

1828262533

130

Grupo de edad(clases o intervalos)

18-2424-3030-3636-4242-48

Totales

47

Sustituyendoenlafórmulasetiene

PorlotantoR=42.12–27.10=15.02

Para datos no agrupados

Elrangosepuedeconocerapartirdeunamuestraordenadadetamañon,endondeelrangoesladiferenciaquehayentreelvalormáximoyelvalormínimodelaserieoconjuntodedatos.

R = Dm – dm

Donde:

Dm=Valormayordm=Valormenor

Rango intercuartil

Elrango intercuartiles ladiferenciaentreelprimeroytercercuartil,permitemedir laextensiónodispersiónde losdatos.Secalculaconlafórmula:

R = Q3 - Q1

Paradatosnoagrupadosloscuartilessecalculanconlafórmula:

Donde:

Q=cuartil.m=1,2,3elnúmerodecuartilacalcular.X=laposicióndelcuartilacalcularparaencontrarsuvalor.n=númerodedatos.

Conlosdatosdelejemplo2,calcularelrangoyelrangointercuartil.

Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:

Añosdeedad181819191920202020212123242525

48

Rango

Solución

Sustituyendoenlafórmula

R=25–18=7

Rangointercuartil,determinarprimerolaposicióndeQ3yQ1yobtenerelvalordeloscuartiles ,estoindicaqueelvalordelcuartilseencuentraenlaposicióndoce.

estoindicaqueelvalordelcuartilseencuentraenlaposicióncuatro.

2.3.2. Desviación estándar

Ladesviaciónestándaresunamedidadevariabilidadquetomaencuentaladispersióndelosvaloresdelosdatosrespectoasumediaysuresultadoseexpresaenlasmismasunidadesdelavariablequeseexamina.SerepresentaconlaletraSparalamuestrayσparalapoblación.

Fórmulas para datos agrupados

Fórmulas para datos no agrupados

Datos agrupados

Con los datos del ejemplo 1

Determinar:

Desviaciónestándar

49

Solución

Seagregaunacolumnapararealizarloqueindicaelnumeradordeafórmulacomosemuestraenlasiguientetabla.

Xi

2127333945

fa

18467297130

18(21–34)2=3,0421372

266253993

9058

f

1828262533

130

Grupo de edad(clases o intervalos)

18-2424-3030-3636-4242-48

Totaleso∑

Sustituyendoenlafórmula

Datos no agrupados

Con los datos del ejemplo 2

Sepreguntólaedadaungrupodeestudiantesqueseencuentranenlaparadadelaruta2delPumaBús,seobtuvolosiguiente:

Añosdeedad181819191920202020212123242525

Determinar:

Desviaciónestándar

Solución:

Primerocalcularloqueindicalafórmulaenelnumerador(lamediayasehabíacalculadoyes21),sepuederealizarunatablaparaqueseamásprácticoelcálculo.

50

Sustituyendoenlafórmulasetiene

Referencias

INEGI. (2003). Síntesis metodológica de las estadísticas vitales. México: Dirección General de Estadística. Dirección deestadísticas demográficas y Sociales. Consultado de http://www.inegi.org.mx/est/contenidos/espanol/metodologias/registros/sociales/sm_ev.pdf

García-Ferrando,M.(1989).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.Madrid:Alianzaeditorial.

Malhotra,N.(2008).InvestigacióndeMercados.México:PearsonPrenticeHall.

Hernández,R.,Fernández,C.,Baptista,P.(2010).Metodologíadelainvestigación.México:McGraw-Hill.

Tiposdeencuesta:http://www.tiposde.org/escolares/123-tipos-de-encuestas/#ixzz4PxJzA9ef

WhatisSkewness-BusinessStatisticsTips.Disponibleen:https://youtu.be/RAekTsenqPI

2.4. Diseño de hipótesis en las ciencias sociales

Unahipótesisesunaafirmaciónsobreunacaracterísticadelapoblaciónestudiada.Paraconocersipodemosaceptarorechazarunahipótesisrecabamosinformacióndelapoblación.Sinembargo,nosiempreseráposiblerecabarinformacióndetodosloselementosdelapoblación;enesocasostomaremosdatosdeunaovariasmuestras.Estosdatossesometenaunprocedimientoestadísticollamadopruebadehipótesisparaaceptarorechazarnuestrasafirmacionesiniciales.

García(1989),enSocioestadística,nosexplicaque“Unaparteimportantedelainvestigaciónquesellevaacaboenelcampodelasociologíaestárelacionadaconlaaceptabilidadorechazodelashipótesisquesededucendelasteoríassociológicas”(p.157).Porello,enestetemarevisaremosenquéconsisteeldiseñodeunahipótesisycómoseponenaprueba.

2(18-21)2=183(19-21)2=124(20-21)2=42(21-21)2=0(23-21)2=4(24-21)2=92(25-21)2=32

∑ 79

51

2.4.1. Causalidad y correlación Pearson

Unacorrelaciónesunarelación,estadísticamentesignificativa,entredosvariables.Nosinteresaestudiarcorrelacionesporquesidosvariablesestáncorrelacionadaspodríamospredecirelcomportamientodeunavariableenfuncióndelaotra.Laposibilidaddecorrelaciónentredosvariablespuedeservistacomounsupuesto,esdecir,unahipótesis;existenprocedimientosparaanalizarlaexistenciadecorrelaciones.

Esposibleanalizarlarelaciónentrevariablesutilizandográficosdedispersión,comolossiguientes:

Lafigura(a)muestraunarelaciónlinealpositivaentre“x”y“y”,estoquieredecirquesiaumentaxtambiénaumentaydemaneramásomenosproporcional.

Lafigura(b)muestraunacorrelaciónlinealnegativaentre“x”y“y”,esdecir,siaumentaxdisminuyey,demaneramásomenosproporcional.

Ademásdelaapreciacióngráficadeunacorrelaciónexistenformasdemedirlaintensidadconlaqueserelacionandosvariables.ParavariablescuantitativasexisteelcoeficientedecorrelaciónlinealocoeficientedePearson.Esteestadísticoarrojaunresultadoentre-1y1.CuandoelvalordelcoeficientedePearsonescero,decimosquenohaycorrelaciónentrelasvariables.Sielvalordelcoeficienteesnegativodecimosquehayunacorrelaciónlinealnegativa,yporelcontrariosiespositivohayunacorrelaciónlinealpositiva.Entremásseacerqueelvalordelcoeficientea-1oa1másfuerteserálacorrelaciónentrelasdosvariables.

Cuandoseestudiancorrelacionesesposiblecaerenelerrordeconsiderarlascomorelacionescausales,esdecir,suponerqueunavariablecausaaotra.Sinembargo,esposiblequeunaterceravariableestéinfluyendoenelcomportamientodelasdosvariablesestudiadas.Aesaterceravariableselellamainterviniente.

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoenelqueseexplicauncasoqueconfundeunacorrelaciónconcausalidad:https://youtu.be/h01rR3M1OT8

52

2.4.2. Hipótesis nula

Recordemosqueenestadísticaunahipótesisesunsupuestosobreelvalordeunparámetropoblacional.Porejemplo,podemossuponerquelosingresosmediosdelostrabajadoresdelsectordelaconstrucciónson7000pesos.Enestecasonuestrahipótesisserefierealamediadeunavariableparatodaunapoblación.

Lahipótesisdepartidasellamahipótesisnula.Escomúnqueseformuleunahipótesisnulanoconelpropósitodeprobarlasinoderechazarlaydeestamaneraprobarlaafirmacióndeseada.Porejemplo,sisequieredemostrarqueunmétododeestudiodaresultadosdiferentesaotro,laprimerahipótesisnulasería“losmétodosdanelmismoresultado”;luegohacemoslapruebaysirechazamosestaprimerahipótesisalmenoshabremosobtenidoevidenciadequelosmétodosestadísticosnodanelmismoresultado.LahipótesisnulasedenotaconH0

Alaevidenciadequelahipótesisnulaesrechazablelellamamoshipótesisalternativa.Usualmente,lahipótesisalternaserefierealahipótesispropuestaporelinvestigador.Siguiendonuestroejemplo,laevidenciadequelosmétodosestadísticosnodanelmismoresultadoesnuestrahipótesisalternativa.

Lahipótesisnulaessometidaaunapruebadehipótesisconlacualselerechazaoseleacepta.Encasodequeselerechace,seasumecomofactiblelahipótesisalterna.

2.4.3 Pruebas de hipótesis

Yacomentamosqueunahipótesisestadísticaesunaafirmaciónsobreunacaracterísticadelapoblaciónestudiada.Veamosunejemplo:“loshabitantesdelaciudadparticipanenpromedioentresactosdecorrupciónalmes”;éstaesunaafirmaciónsobreelparámetromediadelapoblaciónestudiada.

Ahora,unapruebadehipótesisesunprocedimientogeneralmenteaceptadoparatomarunadecisión:seaceptaoserechazalahipótesis.Tambiénesconocidacomopruebadesignificancia,testdehipótesis,ensayodehipótesisocontrastedehipótesis.

Uncontrastedehipótesisconsisteencompararlahipótesisnulaversuslahipótesisalternativa,paraellosedividenlosdatosmuestralesendoszonas,lazonadeaceptaciónylazonaderechazo.Elvalorqueresultedelapruebadehipótesiscaeráenlazonadeaceptaciónoenlazonaderechazo.Paraejemplificaresteconceptográficamenteobservalaimagendelasiguientedistribuciónmuestral:

53

Sielestadísticodecontrastecaeenlaregiónderechazo,entoncesrechazamoslahipótesisnula.Sielestadísticodecontrastecaeenlaregióndeaceptaciónentoncesaceptaremoslahipótesisnula.

Alaregiónderechazoseleconocecomoregión críticay lospuntosqueladelimitansonconocidoscomopuntos críticos de rechazo.

García(1989)consideraquelosprocedimientosestandarizadosquesesiguenenlaspruebasdedecisiónestadísticasonlossiguientes:

● Formulacióndelashipótesisestadísticas○ Hipótesisnula○ Hipótesisalternativa

● EleccióndeunapruebaestadísticaconsumodeloasociadoparacontrastarH0.● Especificacióndeunniveldesignificaciónyuntamañodelamuestra.● EncontrarladistribuciónmuestraldelapruebaestadísticaenelsupuestoH0.● Definicióndelaregiónderechazodelahipótesisnula.

Ladefinicióndehipótesisnulaehipótesisalternativayasehaexplicadoenelapartado4.2.

Encuantoalaeleccióndeunapruebaestadística,diremosquesetratadeelegirunestadísticodecontraste,esdecir,unavariablealeatoria,cuyadistribuciónmuestralnospermitedeterminarlaprobabilidadasociadaaundeterminadovalorparaelestadístico.

Alcriterioqueutilicemosparasabersiaceptamosorechazamoslahipótesisnulalellamamosregladedecisión.Consisteendefinirlazonaderechazoylazonadeaceptacióndelahipótesisnula.Lazonaderechazocontieneatodoslosvaloresparaelestadísticodecontrastequesealejandelahipótesisnulayporlotantoespocoprobablequeocurransidichahipótesisesverdadera.

Lapruebadecontrastepuedeserunilateralsiparatomarladecisiónutilizamossólovaloresdeunodelosextremosdelagráfica,comosemuestraenlasiguienteimagen:

Tambiénpodemoshaceruncontrastebilateralsiutilizamosambosextremosdelagráfica.

54

2.4.3.1.Errorestándar

ExistelaposibilidaddeunavezconcluidalapruebadehipótesisrechazarH0cuandoenrealidadsíeraverdadera;enestecasosedicequesecometeunerrordetipoI.Oporelcontrario,podríamosaceptarH0cuandoenrealidaderafalsa,aestoselellamaerrordetipoII.Veámosloenlasiguientetabla:

SellamaniveldesignificacióndeunapruebadehipótesisalaprobabilidaddecometerunerrordetipoI.Serepresentaconlaletragriegaalfaα.

Elnivelsignificanciaonivelderiesgosedefinecomo laprobabilidadderechazar lahipótesisnulacuandoesverdadera.Esposiblequequienrealizalapruebadehipótesisdetermineelniveldesignificancia.

Para saber más…

Repasaelconceptodetiposdeerroresconelsiguientevideo:https://youtu.be/XEULRVqVT0U

2.4.3.2.Estimación

Losmétodosbásicosdelaestadísticainferencialsonlaestimaciónyelcontrastedehipótesis.

Deunapoblaciónseextraeunamuestra,apartirdedichamuestrasedeterminanunaseriedeestadísticos(mediamuestral,varianzamuestral,etc.),yatravésdelosprocedimientosdeestimaciónycontrastesehallanlosparámetros(mediapoblacional,varianzapoblacional,etc.)quedescribenadichapoblación.

55

Laestimaciónpuederealizarsededosmaneras:

• Estimaciónpuntual:determinaunvalorúnicoparaelparámetro.• Estimaciónporintervalodeconfianza:sedeterminaunintervalodentrodelcualpuedeestarelparámetro.

Para saber más…

Revisaenelsiguientevideoladiferenciaentreunaestimaciónpuntualyunaestimaciónporintervalo:https://youtu.be/DPpSrsndLJQ

Generalmente se realizan estimaciones por intervalo, porque tenemos mayor probabilidad de acertar sobre el valor de unparámetrosidecimosqueseencuentraentretodoslosnúmerosposiblesenmarcadosporellímiteinferiordelintervaloyellímitesuperiordelintervalo.

Matemáticamenteestablecemoslasiguientedefinición:

Selee“thetaesmayoroigualquethetauno,ymenoroigualquethetados”.

Dondeeselparámetroaestimary sonloslímitesinferiorysuperiorrespectivamente.

Antesderevisarelprocedimientodeunaestimaciónporintervalos,veamosalgunosconceptos:

Variabilidad del parámetroHabitualmenteseusaladesviacióntípicapoblacional.

Error de estimaciónMidelaprecisióndelaestimación.Cuantamásprecisiónnecesitemos,másestrechodebeserelintervalodeconfianza,yporlotantomenorseráelerrordeestimación.Unmenorerrorgeneralmenterequieredemuestrasmásgrandes.

Nivel de confianzaEslaprobabilidaddequeelvalordelparámetroqueestamosbuscandosesitúeenelintervalodeconfianza.Sedenotaconygeneralmenteseexpresacomoporcentaje,eshabitualtenernivelesdeconfianzadel95%y99%.Comoyahabrásobservado,siaumentamoselanchodeunintervalotenemosunmayorniveldeconfianzaperotambiénadmitimosunmayorerrordeestimación.

Valor αSe leecomovaloralfa.Conocidocomoniveldesignificación,es laprobabilidadde fallaren laestimacióndelparámetro.Secalculacomo ladiferenciaentre lacerteza (laprobabilidad1)yelniveldeconfianza.Entoncessiestablecemosunniveldeconfianzade.95,alfaesiguala1-0.95,esdecir,alfaesiguala0.05.

Valor crítico ZEselvalordeunaabscisaenunadistribución.Normalmentelosvalorescríticosestántabulados.

Para saber más…

RevisaelsiguientevideoparaconocercómoutilizarunatabladevaloresZ:https://youtu.be/UEVkpAIEB1w

56

Existendiversosprocedimientosparaencontrarelintervalodeconfianzadeunparámetro,revisaunodeellosenelsiguientevideo:

Para saber más…

Procedimientopararealizarunaestimaciónporintervalodeconfianza:https://youtu.be/N36TGN8k2tY

2.4.3.3.Índicedeconfianza(niveldeconfianza)

Comoya revisamosenelpuntoanteriorelniveldeconfianza indica laproporcióndevecesqueseráciertounparámetroalseleccionarmuchasmuestras.

Ahoraqueconoceslosconceptosreferentesalaestimaciónesimportantequelosusesparainterpretarelvalordeunparámetro.Porejemplo:sitedicenqueunvalorpromediosesitúaen24puntos,con3puntosdemargendeerroryunniveldeconfianzadel95%,debemosentenderqueelvalordelpromedioenrealidadsesitúaentre22.5y25.5puntosconunaconfianzadeacertareneseintervaloel95porciendelasvecesquelocalculemos.Loslímitesdelintervalodeconfianzaseobtienendeañadiralparámetrolamitaddelmargendeerrorhaciaabajoylamitadhaciaarriba.

Para saber más…

Repasaelconceptodeniveldeconfianzarevisaelsiguientevideo:https://youtu.be/YDFzX4fT1BU

2.5. Modelos probabilísticos

Antesdeexplicartelosmodelosprobabilísticostecomentaremosdemanerageneralenquéconsistelateoríadelaprobabilidadysuimportancia.

Estateoríaestudiaquétanposibleesqueocurraunevento.Porejemplo,¿quétanprobableesquebajociertascondicioneslluevahoy?¿Quétanprobableesqueallanzarunamonedacaigaáguila?

LateoríadelaprobabilidadtienesuorigenenlostrabajosdeAntoineGombaud—llamadoCaballerodeMéré—,BlaisePascalyPierredeFermat.Gombauderaunjugadorasiduosobretododecartasydados,ytratandodeencontrarlamejormaneradeganarestosjuegosplanteóvariosproblemasmatemáticosrelacionadosconlaprobabilidaddeobtenerunouotrovalorenalgúnmomentodeljuego.PascalyFermat,juntoconGombaud,comenzaronaresolverlosproblemaspropuestos,yesteconocimientoseconvirtióenelfundamentodelateoríadelaprobabilidad(Hald,p.42).

Matemáticamente,laprobabilidaddequeuneventoocurraseexpresadelasiguienteforma:

P(x)=Casosfavorables/Casosposibles

Selee“laprobabilidaddequeocurraxesigualaloscasosfavorablesentreloscasosposibles”.

57

Parasabermás…

Revisaelsiguientevideopararepasarelconceptodeprobabilidad:https://youtu.be/D4Udmu3FHZA

Porúltimo,podemoscomentarqueelobjetivodeunmodeloprobabilísticoespredecir lamaneraencomoprobablementesecomportaráunavariablealeatoria.

Unavariablealeatoriaesaquellacuyovalorestádeterminadoporelazar,esdecir,puedetomarunvalordentrodeunconjuntodevaloresposibles.Hayvariablesaleatoriasdiscretasycontinuas.Lasdiscretastomanvaloresdiscontinuosylascontinuastomanvaloressininterrupciones.Veamosalgunosejemplos:

• Cantidad de personas formadas en una fila.Esunavariablediscretaporquenopuedehaber2.5personas.Sólopuedehaber2o3personas.Esdecir,elvalordelavariableseveinterrumpido,esdiscontinuo.

• Consumo de refresco al día.Elconsumoderefrescosepuedemedirenlitrosyesposibletener2.1litros,2.18litros,2.1842litrosyasíhastaelinfinito.Porlotanto,lavariabletienevalorescontinuosquenuncaseinterrumpen.

Enelsiguienteesquemaseobservalarelaciónentrelaestadísticadescriptiva,elestudiodelaprobabilidadylacreacióndeunmodeloteórico.

EsquemaadaptadodeTriola,2004,p.182.

Losmodelosparaencontrarlaprobabilidaddecadavalordeunavariablealeatoriaseconocencomodistribuciones de probabilidad. Unadistribucióndeprobabilidadseconcretaenunafórmula,gráficaotabla.

Todadistribucióndeprobabilidadcumplelassiguientescondiciones:

• Lasumadelasprobabilidadesdetodoslosvaloresdexesiguala1.• Laprobabilidaddecadavalorxesmayoroiguala0ymenoroiguala1.

58

Acontinuaciónmencionaremosalgunasdelasdistribucionesdeprobabilidadmásusadas,brevemente,porquelasestudiarásconmásdetallecuandorealiceslaactividaddeaprendizaje.

2.5.1. Normal

Enunadistribuciónnormalunavariablealeatoriacontinuaserepresentagráficamentecomounacurvasimétrica,enformadecampana(llamada campana de Gauss).Esladistribuciónmásutilizadaporquemuchosfenómenosestudiadossedistribuyenconestaforma.

Unacaracterísticaevidentedeldiagramaanterioresquecoincidenenelmismopuntoelvalormedio,lamedianaylamodadeladistribución.

Para saber más…

Observaelsiguientevideopararevisarcómoseobtieneunaprobabilidadconunadistribuciónnormalhttps://youtu.be/csBanoXXmPc

2.5.2. Binomial

Ladistribuciónbinomialsirveparaestudiarlaprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretaquepuedetomarunodedosvalores.Cumpleconlassiguientescondiciones:

• Seefectúounnúmerofijodeensayos.• Elresultadodeunensayonoafectaaelresultadodelresto.• Todoslosensayosdebenclasificarseendoscategorías.• Lasprobabilidadessemantienenconstantesparacadaensayo.

Unadelasfórmulasgeneralmenteempleadases:

59

Donde:x=númerodeéxitosen“n”ensayosn=númerodeensayosp=probabilidaddeéxitoq=probabilidaddefracaso(qesiguala1menosp)

Para saber más…

Revisaelsiguientevideoparaconocercómosecalculaunprobabilidadconelmodelobinomial.https://youtu.be/bfbp2WaMYV8

2.5.3. Poisson

LadistribucióndePoissonseutilizaparacalcularlaprobabilidaddequeocurrauneventoduranteunintervaloespecífico.Dichointervalopuedereferirseatiempo,distancia,volumenocualquiermagnitudsimilar.

Seocupalafórmula:

Donde:x=númerodeocurrenciasdeunsucesoduranteunintervalo=mediadeladistribucióne=númeroeuler=2.71828

Para saber más…

RevisaelsiguientevideoparaverunejemplodecálculodeunaprobabilidaddePoisson:https://youtu.be/uAcWCOOPWa8

60

Referencias

García-Ferrando,M.(1989).Socioestadística:Introducciónalaestadísticaensociología.España:Alianza.

Hald,A.(2003).AHistoryofprobabilityandstatisticsandtheirapplicationsbefore1750.NuevaJersey:JohnWiley&Sons.

Elorza,H.(2008).Estadísticasparalascienciassociales,delcomportamientoydelasalud(3.ªed.).México:CengageLearningEditores.

Triola,M.(2008).Estadística(9.ªed.)México:PearsonEducación