estadistica i gaonazambranoreimundo
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7/26/2019 Estadistica I GaonaZambranoReimundo
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CUADERNO VIRTUAL ESTADSTICA I
Estadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos
DOCENTE:
Ing. Oswaldo Latorre .
Sangolqu
FEBRERO/2016
Tabla de contenidoS
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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMASESPE
ESTADSTICA IEstadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos
CONCEPTOS BSICOS.............................................................................5
Estadstica:.................................................................................................5
Poblacin:...................................................................................................5Muestra:......................................................................................................5
an!o:.........................................................................................................5
Par"#etro:..................................................................................................5
Estadstico:.................................................................................................5
$ariable:...................................................................................................... 5
EST%&'STIC% &ESCIPTI$%.....................................................................5
Medidas de tendencia central:.................................................................... 5
Medidas de dis(ersin:...............................................................................)Medidas de *or#a:...................................................................................... )
Medidas de Posicin:...................................................................................)
E+ercicios:................................................................................................,
COMBIN%CIONES - PEMT%CIONES..................................................../0
Per#utaciones con re(eticin.................................................................../0
E+ercicios:............................................................................................../0
Per#utaciones sin re(eticin..................................................................../2
E+ercicios:............................................................................................../2
E+ercicios de Per#utaciones....................................................................../2
Co#binacin sin re(eticin.......................................................................15
E+ercicios:..............................................................................................15
Co#binacin con re(eticin......................................................................1)
E+ercicios:..............................................................................................1)
E+ercicios:..............................................................................................1)
POB%BII&%&......................................................................................),
Es(acio #uestral (s ) :...........................................................................),
E3ento:......................................................................................................),
Probabilidad Mar!inal:.............................................................................. )4
E+ercicios:..............................................................................................)4
Probabilidad Con+unta:..............................................................................)
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E+ercicios:..............................................................................................)
e!la de adicin:...................................................................................... ,/
E+ercicios...............................................................................................,/Probabilidad Condicional:..........................................................................,2
E+ercicios:..............................................................................................,1
&I%7%M% &E BO........................................................................./0,
$%I%BES %E%TOI%S....................................................................../90
&istribucin de (robabilidad de una 3ariable aleatoria.........................../9/
E+ercicios:............................................................................................/92
&ISTIBCIONES &E POB%BII&%& &ISCET%................................../50
&istribucin Bino#ial............................................................................../50esolucin.........................................................................................../55
&istribucin i(er!eo#;trica................................................................./)
E+ercicios:............................................................................................/,0
&istribucin de Poisson.........................................................................../0
E+ercicios:............................................................................................/0
&istribucin Multino#ial......................................................................... 2/0
E+ercicios:............................................................................................2//
$%I%BE %E%TOI% CONTIN%........................................................2/1E+ercicios:............................................................................................2/9
&ISTIBCIONES &E POB%BII&%& CONTIN%.................................29
&istribucin Nor#al................................................................................ 29
E+ercicios:............................................................................................25
%(roa...........................................................................1/1
E+ercicios:............................................................................................1/9
&istribucin ni*or#e............................................................................. 1/
E+ercicios:............................................................................................12/
E+ercicios de &istribucin ni*or#e.........................................................121
&istribucin E
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ESTADSTICA IEstadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos
E+ercicios:............................................................................................111
E+ercicios de &istribucin de Probabilidades...........................................195
e!resiones........................................................................................1,5e!resin ineal......................................................................................1,5
Mni#os Cuadrados.................................................................................1,5
E+ercicios:............................................................................................1,4
e!resin (olino#ial...............................................................................145
E+ercicios:............................................................................................144
e!resin lineal #?lti(le.........................................................................11
E+ercicios:............................................................................................11
%(licaciones de la re!resin lineal @*uncin e
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ESTADSTICA IEstadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos
Estadstica ICONCEPTOS BSICOS
Estadstica: a estadstica es una disci(lina ue utili>a recursos#ate#"ticos (ara or!ani>ar resu#ir una !ran cantidad de datosobtenidos de la realidad (oder in*erir ciertas caractersticas sobreellos.
Poblacin: Se deno#ina (oblacin estadstica a todo el con+unto deele#entos sobre los cuales se 3a a reali>ar las obser3aciones.
M!st"a: Es un subcon+unto de los ele#entos de la (oblacin. Seto#a o se aduiere una #uestra cuando es di*cil la obser3acin detodos los ele#entos de la (oblacin.Ran#o: Es la di*erencia entre el #aor #enor 3alor del con+unto de
datos.
Pa"$%!t"o:Son los datos descri(tores de la (oblacin.
Estadstico:Son los datos descri(tores de la #uestra.
Va"iabl!: Es un con+unto de 3alores nu#;ricos ue ado(tan uncar"cter cuantitati3o (ueden ser:
Va"iabl! Disc"!ta: Es auella ue est" relacionada con los
n?#eros enteros6 es decir ue no Da un n?#ero inter#edioentre dos consecuti3os.E+e#(lo: N?#ero de Di+os
Va"iabl! Contina: Es auella ue to#a un in=nito n?#ero de3alores est" relacionada con la recta real.E+e#(lo: cali=caciones.
ESTADSTICA DESCRIPTIVA
Es auella ue utili>a los datos nu#;ricos6 obtenidos de la #uestra(or #edio de las #edidas descri(ti3as6 resu#en la in*or#acincontenida en la #uestra.
as #edidas descri(ti3as se clasi=can en:
M!didas d! t!nd!ncia c!nt"al:Son los 3alores nu#;ricos uese consideran co#o los #"s re(resentati3os dentro de un con+untoordenado de datos son:
M!dia A"it%&tica ' x (:Es el cociente entre la su#a de los
datos con el n?#ero de datos.
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x= xi
n sin : n?#ero de datos.
Moda ' Mo (: Es el 3alor de la 3ariable ue #"s 3eces sere(ite dentro de un con+unto de datos.
M!diana ' Me (: Es el 3alor nu#;rico ue di3ide a los
obser3ados ordenados de #enor a #aor en la #itad. Si eln?#ero de obser3ados ordenados es i#(ar6 la #ediana es el3alor central6 caso contrario si el n?#ero es (ar la #ediana esla #edia arit#;tica entre los dos 3alores centrales.
M!didas d! dis)!"sin: Sir3en (ara indicar ue tanre(resentati3as son las #edidas de tendencia central se clasi=can en
absolutas relati3as. Absoltas
Va"ian*a ' 2
(: Es el cociente entre la su#a de los
cuadrados de la di*erencia de la #edia arit#;tica concada uno de os datos el n?#ero de datos.
2=i=0
i
(xx i)2
n
D!s+iacin !st$nda" ' (: Es el 3alor (ositi3o de la
ra> de la 3arian>a=2
R!lati+as: Es el coe=ciente de 3ariacin de Pearson6 es elcociente de la des3iacin el 3alor absoluto
CVP=
|x|
M!didas d! ,o"%a: Se consideran ue una distribucin essi#;trica si su #edia arit#;tica su #oda coinciden6 se dice ue es
asi#;trica (or la derecDa si sus *recuencias descienden lenta#ente (ordicDo lado6 caso contrario se consideran asi#;trica (or la i>uierda.Para deter#inar a *or#a de distribucin se Dace uso del coe=ciente deasi#etra de Pearson.
AS=xMo
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AS=0 trico
AS>0Derecha
AS
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/)1/ / ) 0./)),
/)
T2TAL )
x=52.8333
Mo=50
Me=50
2=i=0
i
( xx i )2
n =
4 (52.83350 )2+(52.83357 )
2+(52.83360 )
2
6 =20.1664
=2=20.1664=4.4907
CVP=
|x|=4.4907
52.8333=0.08499>0 Asimetra por laderecha
2. allar las #edidas de tendencia central6 #edidas de dis(ersin6#edidas de *or#a #edidas de (osicin (ara la 3ariable (esosde Do#bres
$alores:
,06 56 )06 )/6 56 ,06 )0P!sos
d!3o%b"!s
F"!c!ncia
F"!c!nciaabsolta
F"!c!ncia"!lati+a
.4 2 2 0.245,24.5
1/ 2 9 0.245,24.5
15 / 5 0./924/9.2
0/ 2 , 0.245,24.5
T2TAL ,x=62.714
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Mo=60,59,70
Me=60
2=i=0
i
( xx i )2
n =
2 (62.71459 )2+2 (62.71460 )
2+(62.71461 )
2+ (62.71470 )
2
7 =25.2376
=2=25.2376=5.0237
CVP=
|x|=
5.0237
62.714=0.08011>0 Asimetra porla derecha
1. Se!?n la asociacin de lucDa contra la Buli#ia la %nore seasinni#o de ;o del 200)6 en el cole!io FEMESG dela ciudad de Huito6 des(u;s de las 3acaciones de 3erano6 seobser3 con (recaucin a 2, alu#nos con snto#as deanore
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c!nci
a
absolta "!lati+a
Di!ta s!+!"a 0.111111.00
Mi!do a!n#o"da"
1 /2 0.//// /.00
6i)!"acti+idad 9 /) 0./94//9.4/
Uso d! la7ant!s 5 2/ 0./45//4.5/
Uso d! "o)a3ol#ada
) 2, 0.222222.22
T2TAL 2,
Mo=Dieta Seera
Inter(retacin: a ue las 3ariables usadas (ara estee+ercicio no son cuanti=cables la #edida descri(ti3a uese (uede obtener del #is#o es ?nica#ente la #odaarro+ando el dato ue la dieta se3eras es el si!no #"sidenti=cable en los +3enes del cole!io FEMESG (ara el
desorden ali#enticio.
9. El trata#iento de los nios con desrdenes de la conducta(uede ser co#(le+o. El trata#iento se (uede (ro3eer en una3ariedad de escenarios de(endiendo de la se3eridad de losco#(orta#ientos. %de#"s del reto ue o*rece el trata#iento6se encuentran la *alta de coo(eracin del nioJnia el #iedo la *alta de con=an>a de los adultos. Para (oder disear un (laninte!ral de trata#iento6 el siuiatra de nios adolescentes(uede utili>ar la in*or#acin del nio6 la *a#ilia6 los (ro*esores de otros es(ecialistas #;dicos (ara entender las causas del
desorden. Para ello6 un siuiatra local Da considerado una#uestra aleatoria de 20 nios6 anotando el tie#(o necesarioue reuiere en cada nio (ara lo!rar un (lan inte!ral deltrata#iento6 obteni;ndose lo si!uiente @en DorasA:
)6 ,6 ,6 46 46 46 46 6 6
6 6 6 6 /06 /06 /06 /06 /06 //
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Motor Princi(al
Siste#a Pro(ulsin Ser3icio
Mdulo de Ser3icio
Mdulo de E
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$ (1+27+272 )=729 $(28+729)=551853
Permutaciones sin repeticin
P (n !r )=nPr= n %
(nr )%
E+ercicios:/ En una acti3idad Da 1 nios 2 nias. &e cuantas #aneras:
dA os nios las nias (ueden sentarse en una =la.P5=5 %=120
eA Pueden sentarse en =la si las nias deben estar +untas los nios ta#bi;n
P2$ P3$ P2=2% $3 % $2 %=24
*A Pueden sentarse en =la si solo las nias se sientan +untas.P3$ P3=3 % $3 %=36
!A Pueden sentarse en =la alternados.P3$ P2=3 % $2 %=12
). En una clase de /0 alu#nos 3an a distribuirse 1 (re#ios.%3eri!uar de cuantos #odos se (uede Dacer si los (re#ios sondi*erentes.
P (10 ! 3 )= 10 %
(103 )%=10 %
7 % =720
,. Cuantos n?#eros de ) ci*ras di*erentes se (uede *or#ar con losd!itos: /626169656)
P6=6 %=720
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4. Se reali>an (ruebas con , recubri#ientos usados en la(roteccin de cables de =bra (tica contra el *rio e
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colocar estos /4 libros @os libros del #is#o ti(o se consideranindistin!uibles entre sA.
es. 29051,)0
4. Con las ci*ras 26 26 26 16 16 16 16 96 9 cu"ntos n?#eros de nue3eci*ras se (ueden *or#ar
es. /2)0
. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera
es./0Q
/0. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de
asi!nar las (osiciones de salida de 4 autos ue (artici(an en unacarrera de *r#ula uno @Considere ue las (osiciones de salida delos autos (artici(antes en la carrera son dadas total#ente al a>arAb. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de asi!nar los (ri#eros tres(re#ios de esta carrera de *r#ula uno
es.a9 906120 #anerasb9 11) #anerasc9
//. n 3endedor uiere 3isitar 5 ciudades@(or e+e#(lo %lbacete6 Barcelona6 Crdoba6 &enia Este(onaA. Si
no uiere re(etir ciudades6 cu"ntas rutas distintas (uede elaborarsi (uede e#(e>ar acabar en cualuiera de las ciudades
es. /20
/2. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e
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/5. &e cu"ntas *or#as (ode#os contestarun e
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22. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e
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1/. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasen una =la de butacas
es. 90120
12. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras di*erentes se (uede *or#arcon los d!itos: /6 26 16 96 5.
es. /20
11. Cu"ntos n?#eros de tres ci*ras se (uede *or#ar con losd!itos: 06 /6 26 16 96 5
es. /40
19. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasalrededor de una #esa redonda
es. 5090
15. Cu"ntas uinielas de una colu#na Dan de rellenarse (araase!urarse el acierto de los /5 resultados
es. /91940,
1). Con las letras de la (alabra libro6 Cu"ntas ordenacionesdistintas se (ueden Dacer ue e#(iecen (or 3ocal
es. 94
1,. Cu"ntos n?#eros de cinco ci*ras distintas se (ueden *or#ar
con las ci*ras i#(areses. /20
14. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar tresbanderas ro+as6 dos a>ules cuatro 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las nue3ebanderas
es. /2)0
1. na #esa (residencial est" *or#ada (or ocDo (ersonas6 decuantas *or#as distintas se (ueden sentar6 si el (residente elsecretario sie#(re 3an +untos
es. /0040
90. Se ordenan en una =la 5 bolas ro+as6 2 bolas blancas 1bolas a>ules. Si las bolas de i!ual color no se distin!uen entre s6de cuantas *or#as (osibles (ueden ordenarse
es. 2520
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9/. &e cuantas *or#as di*erentes se (ueden cubrir los (uestosde (residente6 3ice(residente tesorero de un club de *utbolsabiendo ue Da /2 (osibles candidatos
es. /120
92. Cuatro libros distintos de #ate#"ticas6 seis di*erentes de*sica dos di*erentes de u#ica se colocan en un estante. &ecuantas *or#as distintas es (osible ordenarlos si:
a9 os libros de cada asi!natura deben estar todos +untos.b9 Sola#ente los libros de #ate#"ticas deben estar +untos.
es. a. 20,1)0 b. 4,0/20
91. na Deladera tiene /) sabores dis(onibles. &e cuantas*or#as se (ueden (edir ) Delados si:
a9 No se eli!e el #is#o sabor #"s de una sola 3e>b9 Se (uede (edir un #is#o sabor Dasta ) 3ecesc9 n sabor no se (uede (edir #"s de 5 3ecesd9 a #itad debe ser de *resa
es. a. 4004 b. /),,,2/) c. /5,24)9 d. 11,5
99. En un len!ua+e de co#(utacin un identi=cador consta deuna letra o de una letra se!uida de Dasta siete s#bolos ue(ueden ser letra o d!itos. @En este len!ua+e son indistin!uibles lasletras #a?sculas #in?sculas. a 2) letras /0 d!itos.Cu"ntos identi=cadores di*erentes se (ueden utili>ar en el
len!ua+e de la co#(utacines. 2.095710
12
95. En cualuier set de un (artido de tenis el o(onente R (uede3encer al o(onente - de siete #aneras. @Con el #arcador ) ) se+ue!a un dese#(ate: tie breaerA. El (ri#er tenista ue !ane tressets obtiene la 3ictoria. &e cuantas #aneras se (ueden re!istrarlos resultados si:
a9 R !ana en 5 setsb9 Para !anar el (artido se necesita +u!ar co#o #ni#o tres
setses. a. ),224 b. ,9,,9
9). Con las letras de la (alabra UMOSEU Cu"ntas (alabrasdistintas se (ueden *or#ar
es. /20
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9,. Con los d!itos i#(ares6 Cuantos nueros de 9 ci*ras distintas(uede *or#ar
es. 29
94. Huere#os ordenar los , libros ue tene#os: 9 son deMate#"ticas6 2 de e!ua / de *sica@los de una #is#a #ateriason i!ualesA &e cuantas *or#as (ode#os ordenarlos en elestante
es. /2)0
9. &e cu"ntos (artidos consta una li!uilla *or#ada (or cuatroeui(os
es. /2
50. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera &is(one#os de /0+u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osiciones distintas.
es. 91)24400
5/. Se busca las di*erentes ternas @ V 1A ue se (ueden *or#arcon los /0 atletas @n V /0A
es. ,20
52. &e cu"ntas #aneras di*erentes se (odr"n ubicar las ci*ras
del / al , en la si!uiente =!ura
es. 490
51. a #esa de in3itados en una boda est" *or#ada (or ocDoser3icios6 &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar los
in3itadoses. 5090
59. En una asa#blea de accionistas6 Da ) (ersonas ue Dansolicitado Dacer uso de la (alabra En cu"ntas rdenes di*erentes(ueden Dablar6 si es ue no se Da establecido un orden de(rioridades
es. ,20
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55. En un (roceso de #anu*actura Da seis o(eracionesdistintas6 ue se indican con %6 B6 C6 &6 E W. En !eneral no ea en otra O#ar una
es. 5090
54. Obten!a todas las seales (osibles ue se (ueden disearcon seis banderines6 dos de los cuales son ro+os6 tres son 3erdes uno #orado.
es. )0
5. El n?#ero uno inicial nos indica ue e
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ESTADSTICA IEstadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos
es. ,20
)/. aA Cu"ntas cla3es de acceso a una co#(utadora ser"
(osible disear con los n?#eros /6 /6 /6 26 16 16 1616 bA cu"ntasde las cla3es anteriores e#(ie>an (or un n?#ero uno se!uido deun dos6 cA cu"ntas de las cla3es del inciso a e#(ie>an (or eln?#ero dos ter#inan (or el n?#ero tres
es. a. 240 b. /5 c. 20
R!solcin
/. &e cu"ntas #aneras (ueden Dacer cola , a#i!os ue est"nes(erando (ara entrar al cine Tene#os ue *or#ar !ru(os con los, a#i!os.
Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de , ele#entos es:
2. Tene#os ue *or#ar !ru(os de 5 ele#entos donde el (ri#ero sere(ite 2 3eces el se!undo 1 3eces.
Tene#os ue *or#ar !ru(os de 5 ele#entos donde el (ri#ero sere(ite 2 3eces el se!undo 1 3eces. Tene#os ue *or#ar !ru(osde 5 ele#entos donde el (ri#ero se re(ite 2 3eces el se!undo 13eces.
Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones con re(eticin de 5 ele#entos
donde uno se re(ite dos 3eces otras tres 3eces es:
1. &e cu"ntas #aneras se (ueden sentar /0 (ersonas en una #esacircular
Co#o las (ersonas est"n colocadas alrededor de unacircun*erencia6 si traslada#os a todas las (ersonas un asiento6obtene#os una (osicin ue es e
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9. Cu"ntos n?#eros distintos se (ueden *or#ar con las ci*ras2//95994
Tene#os ue *or#ar !ru(os de /0 ele#entos donde el (ri#erose re(ite dos 3eces6 el se!undo una 3e>6 el tercero tres 3eces6 elcuarto una 3e>6 el uinto una 3e> el se6 dos de ellos se re(iten dos3eces uno tres 3eces es:
5. En una (arada de autob?s est"n es(erando tres a#i!as dos(ersonas #aores. &e cu"ntas #aneras (ueden sentarse estascinco (ersonas si las tres a#i!as uieren estar sie#(re +untas(ara (oder Dablar entre ellas
as tres a#i!as 3an sie#(re +untas6 as ue tene#os ue *or#ar!ru(os con estas tres a#i!as.
Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos es:
%Dora Da ue tener en cuenta la #anera en la ue se sientanlas tres a#i!as las dos (ersonas #aores. Si considera#os al!ru(o de las a#i!as co#o una unidad6 tene#os el !ru(o de lasa#i!as6 una (ersona #aor otra (ersona #aor6 es decir6 1ele#entos. %s ue tene#os ue 3ol3er a Dallar el n?#ero de
(er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos.
). &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar tres cDicos doscDicas en una =la de butacas de cine si no (ueden estar +untos nidos cDicos ni dos cDicas
Considere#os la si!uiente notacin:
ei#undo6 7aona6 8a#brano
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a. O: cDicob. %: cDica
Co#o no (ueden sentarse ni dos cDicos ni dos cDicas +untos6 la#anera en la ue se sentar"n es:O%O%OEs decir6 la =la tiene ue e#(e>ar acabar (or cDico
necesaria#ente.n cDico (uede ocu(ar entonces las (osiciones /6 1 5. Entonces
(ara saber de cuantas #aneras se (ueden sentar los cDicostene#os ue *or#ar !ru(os con los 1 cDicos.
Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.
No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos es:
&e #anera an"lo!a6 las cDicas (ueden ocu(ar las (osiciones 2 9. Entonces (ara saber de cu"ntas #aneras se (ueden sentar lascDicas tene#os ue *or#ar !ru(os con las dos cDicas.
%s ue el n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 2ele#entos es:
,. En una estantera caben /4 libros. a , libros de "l!ebra6 1 dec"lculo ) de (robabilidad. &e cu"ntas #aneras se (uedencolocar estos /4 libros @os libros del #is#o ti(o se consideranindistin!uibles entre sA.
Tene#os ue *or#ar !ru(os de /4 ele#entos donde uno sere(ite , 3eces6 otras 1 3eces otras ) 3eces. Co#o no nos dicennada acerca de los dos restantes6 su(one#os ue Da uno de cadati(o distintos a los ti(os anteriores.
Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:
S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones con re(eticin de /4 ele#entos
donde uno se re(ite , 3eces6 otro 16 otras ) 3eces6 los dos?lti#os una 3e> es:
ei#undo6 7aona6 8a#brano
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4. Con las ci*ras 26 26 26 16 16 16 16 96 9 cu"ntos n?#eros de nue3eci*ras se (ueden *or#ar
# V a V 1 b V 9 c V 2 a Y b Y c V S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.
. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera
&is(one#os de /0 +u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osicionesdistintas.S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.
/0. Cu"ntas #aneras di*erentes Da deasi!nar las (osiciones de salida de 4 autos ue (artici(an en unacarrera de *r#ula uno @Considere ue las (osiciones de salida delos autos (artici(antes en la carrera son dadas total#ente al a>arA
b. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de asi!nar los (ri#eros tres(re#ios de esta carrera de *r#ula uno
aA n V 46 r V 44P4V 4Q V 4 < , < ) < 5 < 9
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restantes. Para la tercera ciudad tiene 1 o(ciones. Para la cuarta62. - (ara la ?lti#a6 /.
%s ue (uede elaborar 5 Z 9 Z 1 Z 2 Z / V /20 rutas distintas.
Pode#os utili>ar ta#bi;n la *r#ula de las (er#utaciones decirue:
/2. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA ear cualuiera de los /2 corredores.El se!undo est" al alcance de // corredores6 el tercero (uede ser(ara cualuiera de los /0 restantes.
%s ue ear la *r#ula de las 3ariaciones sin
re(eticin
/9. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras son di3isibles (or 5
Para ue un n?#ero sea di3isible (or cinco debe acabar en 0 o 56as ue:
Pode#os ele!ir la (ri#era ci*ra de entre @/6 26 16 96 56 )6 ,6 46 6si la (ri#era ci*ra es 0 no cuenta co#o n?#ero de 5 ci*rasA.Pode#os ele!ir la se!unda ci*ra de entre /0 @nos 3ale cualuier!uaris#oA. Ta#bi;n (ode#os ele!ir de entre /0 la tercera la
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cuarta ci*ra. a ?lti#a ci*ra solo (uede ser 0 56 lo ue nos da solo2 (osibilidades.
%s ue e
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(ode#os ser3ir de los /0 sabores6 (or lo ue es una (er#utacinre(etida.
/. En una urna Da bolas6 1 blancas6 2ro+as 9 ne!ras. &e cuantas *or#as distintas se (ueden ear ta#bi;n la *r#ula de las (er#utaciones decir
ue:
22. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e
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Pode#os ele!ir la (ri#era ci*ra de entre (osibilidades @/6 26 1696 56 )6 ,6 46 A. as si!uientes dos ci*ras (ode#os ele!irlas deentre /0 (osibilidades cada una @los /0 !uaris#osA.
%s ue e
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P @969AV @9.1.2./A V 1)
2). &e cuantos *or#as distintas se (ueden
colocar 4 (ersonas en una =la (ara to#ar una *oto
P @46/AV4
2,. Se tiene 5 banderas de di*erentescolores Cuantas seales di*erentes se (ueden en3iar usando lasal #is#o tie#(o
P @565AV @5.9.1.2./AV/2024. &e cuantas #aneras se (ueden
re(artirse 1 (re#ios a un con+unto de 4 (ersonas6 su(oniendo ue
cada una no (uede recibir #"s de un (re#io
n@%A[n@BA[n@CA
4R,R)V11)
2. Cuantos #ensa+es (ueden en3iar con /2banderas utili>adas todas si son 9 a#arillas 1 3erdes 2 ro+as
P @/26 96 16 2A V @/2.//./0..4.,.).5.9.1.2./AJ@9.1.2./.1.2./.2./AV/))1200
10. &e un !ru(o de ) econo#istas in!enieros se 3a a *or#ar una co#isin. En cuantas *or#asdistintas (ueden seleccionarse si la co#isin debe estar *or#ada(or 9 (ersonas deben ser econo#istas 2 in!enieros
P @)62A[ P@62AV @@).5.9.1.2./AJ@2./AA[@@.4.,.).5.9.1.2./AJ@2./AAV 2/)0
1/. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasen una =la de butacas
P8=8 %=40320
12. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras di*erentes se (uede *or#arcon los d!itos: /6 26 16 96 5.
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P5=5 %=120
11. Cu"ntos n?#eros de tres ci*ras se (uede *or#ar con los
d!itos: 06 /6 26 16 96 5P(5,1)&P(6,2)=5 &62=180
19. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasalrededor de una #esa redonda
PC8=P(81)=(81)%=7 %=5040
15. Cu"ntas uinielas de una colu#na Dan de rellenarse (araase!urarse el acierto de los /5 resultados
P @@16/5AAV1\/5V/91940,
1). Con las letras de la (alabra libro6 Cu"ntas ordenacionesdistintas se (ueden Dacer ue e#(iecen (or 3ocal Si e#(ie>a (oruna 3ocal seran: i o.
P2P4=2 %4 %=24321=48
1,. Cu"ntos n?#eros de cinco ci*ras distintas se (ueden *or#arcon las ci*ras i#(ares
P5=5 %=120
14. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar tres
banderas ro+as6 dos a>ules cuatro 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las nue3ebanderasn=9'o(as=3 azules=2 erdes=2 )ro(as+azules+erdes=9
deopciones= 9%
3%4 %2%=1260 @Per#utacin con re(eticinA
1. na #esa (residencial est" *or#ada (or ocDo (ersonas6 decuantas *or#as distintas se (ueden sentar6 si el (residente el
secretario sie#(re 3an +untosPresidente secretario sie#(re +untosPS] ] ] ] ] ] ]
P2P7=2%4 %=27654321=10080
90. Se ordenan en una =la 5 bolas ro+as6 2 bolas blancas 1bolas a>ules. Si las bolas de i!ual color no se distin!uen entre s6de cuantas *or#as (osibles (ueden ordenarse
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n=10'o(as=5*lancas=2azules=3 )ro(as+azules+erdes=9
deopciones= 10 %
5 %2 %3 %=2520
@Per#utacin con re(eticinA
9/. &e cuantas *or#as di*erentes se (ueden cubrir los (uestosde (residente6 3ice(residente tesorero de un club de *utbolsabiendo ue Da /2 (osibles candidatos
V(12,3 )=12 %
9 %=121110=1320
92. Cuatro libros distintos de #ate#"ticas6 seis di*erentes de*sica dos di*erentes de u#ica se colocan en un estante. &ecuantas *or#as distintas es (osible ordenarlos si:
a. os libros de cada asi!natura deben estar todos +untos.
MMMM WWWWWW HH
1P4P6P2P 3=4 %6 %2%3 %=207360
b. Sola#ente los libros de #ate#"ticas deben estar +untos.MMMM W W W W W W H H
9 P4P9=4 %9 %=8709120
91. na Deladera tiene /) sabores dis(onibles. &e cuantas*or#as se (ueden (edir ) Delados si:a( No se eli!e el #is#o sabor #"s de una sola 3e>b( Se (uede (edir un #is#o sabor Dasta ) 3ecesc( n sabor no se (uede (edir #"s de 5 3ecesd( a #itad debe ser de *resa
aA /) sabores ) Delados
(16,6 )= 16 %6 % (166 ) %
=8008
bA /) sabores ) Delados+ (16,6 )=16 6=16777216
cA /5 sabores en un Delado /) sabores en 5 Delados
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deopciones=151165=15728649
dA1 Delados solo de *resa
+ (15,3 )=153
=3375
99. En un len!ua+e de co#(utacin un identi=cador consta deuna letra o de una letra se!uida de Dasta siete s#bolos ue(ueden ser letra o d!itos. @En este len!ua+e son indistin!uibles lasletras #a?sculas #in?sculas. a 2) letras /0 d!itos.Cu"ntos identi=cadores di*erentes se (ueden utili>ar en ellen!ua+e de la co#(utacin
Es(acio #uestral V 1) Dasta , s#bolos.
26 x=0
7
(36x )=2.09571012
95. En cualuier set de un (artido de tenis el o(onente R (uede3encer al o(onente - de siete #aneras. @Con el #arcador ) ) se+ue!a un dese#(ate: tie breaerA. El (ri#er tenista ue !ane tressets obtiene la 3ictoria. &e cuantas #aneras se (ueden re!istrarlos resultados si:
a. R !ana en 5 setsb. Para !anar el (artido se necesita +u!ar co#o #ni#o tres
setsaA^, #aneras de 3encerdeopciones=475=67228
bA^!ana en tres sets. deopciones=73+(374 )+( 475 )=74774
9). Con las letras de la (alabra FMOSEG Cu"ntas (alabrasdistintas se (ueden *or#ar
P5=5 %=54321
P5=120palar*rasdistintas
9,. Con los d!itos i#(ares6 Cuantos nueros de 9 ci*ras distintas(uede *or#ar
Vmm=Pn=n %
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V44=P4=4 %
P4=4 %=24 numerosdistintos,
94. Huere#os ordenar los , libros ue tene#os: 9 son deMate#"ticas6 2 de e!ua / de *sica @los de una #is#a #ateriason i!ualesA
&e cuantas *or#as (ode#os ordenarlos en el estante
Pna!* !c=
n%
a %* %c %
P94,3,2= 7 %4 %2%1 %
7654 %4 %3 %2 %
210
2 =1260 formasde ordenar
9. &e cu"ntos (artidos consta una l i!ui lla *or#ada (orcuatro eui(os
P42=43
P42=12
50. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores deun eui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uede
ocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera &is(one#os de /0+u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osiciones distintas.
P10=10 %
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P10=43628800
5/. Se busca las di*erentes ternas @ V 1A ue se (ueden *or#arcon los /0 atletas @n V /0A
P310=
10 %
7 %
P310=
7 %
7 %8910
P310=720
52. &e cu"ntas #aneras di*erentes se (odr"n ubicar las ci*rasdel / al , en la si!uiente =!ura
demaneras=75 %=720=840
51. a #esa de in3itados en una boda est" *or#ada (or ocDoser3icios6 &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar losin3itados
PC8=(81 ) %
PC8=7 %
PC8=5040
59. En una asa#blea de accionistas6 Da ) (ersonas ue Dansolicitado Dacer uso de la (alabra En cu"ntas rdenes di*erentes(ueden Dablar6 si es ue no se Da establecido un orden de(rioridades
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P6=6 %
P6=654321
P5=720
55. En un (roceso de #anu*actura Da seis o(eracionesdistintas6 ue se indican con %6 B6 C6 &6 E W. En !eneral no e
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Es(ar>a6 c. Cu"ntas #aneras Da de ue se ocu(en las(osiciones de +ue!o si es necesario ue en una de ellas este rielXos; Es(ar>a en otra O#ar una
P512=
12%
(125)%
P512=
12 %
7 %
P512=
121110897 %7 %
P512=95040
54. Obten!a todas las seales (osibles ue se (ueden disearcon seis banderines6 dos de los cuales son ro+os6 tres son 3erdes uno #orado.
n V ) banderines
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n V "rbolesan (or un n?#ero uno se!uido de undos6 cA cu"ntas de las cla3es del inciso a e#(ie>an (or eln?#ero dos ter#inan (or el n?#ero tres
aA n V 4 n?#eros
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Combinacin sin repeticin
C(n ! r )=nCr= n%r % (nr ) %
E+ercicios:
/ % (artir de un !ru(o de 5 estadsticos ) econo#istas se 3as a*or#ar un co#it; de 1 estadsticos 2 econo#istas Cu"ntosdi*erentes se (ueden *or#ar si
bA No se i#(onen restricciones.
C(5 !3 )$ C(6 !2 )= 5 %
3 % (53 )%$
6 %
2% (62 ) %=10$15=150
cA 2 estadsticos en (articular deben estar en el co#it;.
C(5 ! 1 )$C(6 ! 2 )= 5 %1 % (51 )%
$ 6 %
2% (62 ) %=5 $15=75
dA / econo#ista en (articular no (uede estar en el co#it;.
C(5 ! 3 )$ C(5 ! 2 )= 5 %
3% (53 ) %$
5 %
2 % (52 )%=10$ 10=100
. Cu"ntos co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ara (artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(artodas cualuier (uesto
C(8 ! 1 )$ C(7 ! 3 )= 8 %
1% (81 ) %
$ 7 %
3 % (73 ) %
=8 $35=280
/0. n !ru(o escolar consta de /) alu#nos. Es necesario *or#arsi#ult"nea#ente 1 eui(os con ellos6 uno de 5 alu#nos (ara ira la Cru> o+a6 otro de 1 alu#nos (ara 3isitar el os(ital eltercero de 2 alu#nos (ara ir al Banco. &e cuantas #aneras se(ueden distribuir
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C(16 !5 )$ C(11!3 ) $C(8 !2 )=
16 %
5 % (165 ) %$
11%
3 % (113 )%$
8 %
2 % (82 )%
4368 $165 $28=20180160
//. Se tiene siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &ecuantas #aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue elresultado sea (ositi3o
C(7 !3 )+C(5 !2 )$ C(7 !1 )= 7 %
3% (73 ) %+
5 %
2% (52 )%$
7 %
1% (71 ) %
35+10 $7=105
Combinacin con repeticin
C(n ! r )=nCr=Crn=
(n+r1 ) %r % (n1 )%
E+ercicios:
/ Cu"ntas =cDas tiene el +ue!o de do#ino
C(7 ! 2 )=(7+21 )%
2 % (71 ) %
= (8 )%
2 % (6 ) %
=40320
1440
=28
/2. En una (astelera Da ) ti(os distintos de (asteles. &ecuantas *or#as se (ueden ele!ir 9 (asteles
C(6 !4 )=(6+41 )%4 % (61 )%
= (9 ) %4 % (5 ) %
=362880
2880 =126
/1. En una bode!a Da cinco ti(os di*erentes de botellas. &ecuantas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas
C(5 ! 4 )=(5+41 ) %4 % (51 ) % =
(8 )%4 % (5 )%=
40320
2880 =14
/9. Calcular las co#binaciones con re(eticin de los ele#entos@a6 b6 c6 dA to#ados de dos en dos.
C(4 !2 )=(4+21 )%2% (41 )%
= (5 )%2 % (3 ) %
=120
12=10
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NOT%: SI dentro del con+unto de n ele#entos ue se tiene (araesco!er e
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9 %
3 % $4 % $2%=362880
288 =1260
/,. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar cuatrobanderas ro+as6 dos a>ules cinco 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las oncebanderas
11%
4 % $2 % $5 %=
39916800
5760 =6930
E-!"cicios d! Co%binacion!s
Ennciados
/. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos tri"n!ulos se(uede in*or#ar con sus 3;rtices
'es ,10(2ran1ulos)
2. Cu"ntos eui(os de 3oleibol se (ueden *or#ar a (artir de +u!adores dis(onibles
Se reuieren ) +u!adores (ara *or#ar un eui(o de 3oleibol6 (orlo ue6 en este caso se tiene ue: n V r V )
'es ,84
1. Cu"ntas co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ar a(artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(ar todascualuier (uesto
Se reuiere una sola (ersona6 de entre las 4 dis(onibles6 (araocu(ar el car!o de (residente6 1 de entre las siete ue restan(ara ocu(ar el (uesto de 3ocal. Se trata de un (roble#a deco#(osicin6 a ue la co#binacin total @el co#it;A se co#(one asu 3e> de 3arias subco#binaciones. Si n( es el n?#ero dis(onible
de (ersonas (ara (residente6 r( es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara (residente6 n3 es el n?#ero dis(onible de(ersonas (ara 3ocales r3 es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara 3ocales6 en este caso se tiene ue:
Presidente: n(V4 r(V/
$ocales: n3V, r3V1
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'es ,280
9. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un cuestionarioue consta de /5 reacti3os. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo sidebe contestar e restantes6 ue son C@/06,A *or#as.
'es ,1200
5. Se tienen siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &e cu"ntas#aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue el resultadosea (ositi3o
Tres n?#eros #ulti(licados dan un (roducto (ositi3o en doscasos:
Si los tres son (ositi3os'es ,10
). Si en el sorteo Melate se tienen 59 n?#eros Da ue atinarle a
seis de ellos cualesuiera (ara sacarse el (ri#er lu!ar6 Cu"ntas#aneras di*erentes es (osible atinarle a seis n?#eros
Si de 59 Da ue atinarle a seis6 entonces la solucinsi#(le#ente es
'es ,25827165
,. na tar+eta de circuito i#(resa se (uede co#(rar de entre 5(ro3eedores. &e cu"ntas #aneras (uede ele!irse 1 (ro3eedores
'es ,10
4. na #ano de Per consta de 5 cartas6 si el #a>o (osee 52 cartas&e cu"ntas *or#as se (uede recibir una #ano
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&ado ue es indi*erente el orden de lle!ada de las cartas6entonces:
'es ,2598960
. n co#it; de 9 (ersonas 3a a ser seleccionado de un !ru(o de 1estudiantes de 9to. %o6 9 de 1ro. - 5 de 2do. Si dos estudiantesde tercero no son ele!ibles. &e cu"ntas #aneras (uedeseleccionarse el co#it; con 2 estudiantes de 2do.6 / de 1ro. - / de9to
&ado ue no es i#(ortante el orden de eleccin6 entonces:Para ele!ir dos estudiantes de se!undo ao: C@26 5APara ele!ir un estudiante de tercer ao dado ue dos no son
ele!ibles: @/6 2A
Para ele!ir un estudiante de cuarto: @/6 1AEntonces tene#os ue:
'es ,60
/0. n a#i!o le uiere re!alar a otro 2 libros los (uede ele!irde entre /5 o(ciones di*erentes. &e cu"ntas *or#as (uedeDacerlo
&ado ue no es i#(ortante el orden en el cual los libros sonele!idos6 entonces:
'es ,105
//. na #ano de Per consta de 5 cartas. &e cu"ntas #aneras(osibles se (uede obtener un *ull @un (ar Yun trioA
Tro: &ado ue un tro est" *or#ado (or 1 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un tro de ases se (uede ele!irde un total de 9 ases ue tiene el #a>oA6 entonces:
Pero dado ue Da /1 di*erentes 3alores de cartas6 entonces un
tro se (uede obtener de las si!uientes *or#as:C@/16/A _ C@961A
Par: &ado ue un (ar est" *or#ado de 2 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un (ar de rees se (uede ele!irde un total de 9 rees ue tiene el #a>oA6 entonces:
C@962A
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Pero dado ue Da /2 di*erentes 3alores de cartas @a se eli!iun troA6 entonces un (ar se (uede obtener de las si!uientes*or#as:
C@/262A < C @962AEntonces:
'es ,3744
/2. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener
Huere#os saber cu"ntos !ru(os distintos (ode#os *or#arinde(endiente#ente del orden en ue se eli+a los in3itados.
'es ,84 1rupos distintos de initados
/1. En una Deladera dis(onen de /5 sabores di*erentes deDelados Cu"ntos Delados de 1 sabores di*erentes (ueden o*recer
'es , 455 helados diferentes
/9. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el 9. Cu"ntas (osiblesco#binaciones Da Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"ntonos tendre#os ue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertarse!uro los ) n?#eros
Huere#os acertar ) n?#eros de 9 (osibles6inde(endiente#ente del orden en ue los eli+a#os.
'es ,13.983.816
/5. Se Dan reunido 5 a#i!os. Cu"ntos saludos se Daninterca#biado si se Dan saludado todos entre s
Co#o no inue el orden6 se trata de Dallar el n?#ero deco#binaciones de 5 ele#entos to#ados de 2 en 2.
'es ,10 saludos
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/). os alu#nos del ?lti#o curso de un centro escolar desean*or#ar una co#isin con1 alu#nas 2 alu#nos (ara or!ani>ar el3ia+e de =n de curso. El n?#ero total de alu#nas es de 25 el dealu#nos es de 20.
&e cu"ntas *or#as distintas (ueden co#(letar dicDa co#isin
'es , 437000
/,. En un interca#bio cultural6 el #onitor res(onsable deseadistribuir (or (are+as a los 29 alu#nos ue (artici(an (araco#(letar los asientos del autob?s ue 3an a utili>ar en los
des(la>a#ientos.&e cu"ntas *or#as (uede reali>arlo
Si Da 4 alu#nos del #is#o (as6 en cu"ntas dis(osicionesestos 4 alu#nos no est"n e#(are+ados entre ellos
'es , 294 alu#nos
/4. Si Da (ersonas ele!ibles &e cu"ntas #aneras se (uede*or#ar un co#it; de 9 (ersonas6 si una de las (ersonas Da de
*or#ar (arte sie#(re del co#it;'es ,56 formas posi*les
/. na (ersona desea in3itar a 5 de sus a#i!os entre un !ru(ode 4 a#istades. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo:
aA En total
bA Si las (ersonas % B no deben ir +untas
cA Si las (ersonas % B no (ueden ir (or se(arado
es.
aA 5) *or#as
bA 36 formas
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cA 26 formas
20. niendo 5 3;rtices de un De(t"!ono se obtiene un(ent"!ono
Cuantos (ent"!onos distintos se (ueden conse!uir si!uiendoeste (rocedi#iento
'es ,21pent.1onos
2/. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un
cuestionario ue consta de /) reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e
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29. Xuan uiere irse de 3ia+e el =n de se#ana dis(one de 5ca#isetas de las cuales desea lle3ar 1. &e cuantas *or#asdistintas (uede reali>ar la eleccin
'es ,10 formasdistintas
25. na e#(resa necesita /9 (ersonas (ara Dacer un traba+o6distribuidas de la si!uiente *or#a: 9 #u+eres6 5 Do#bres losrestantes (ueden ser de uno u otro se
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2. En una li!a de 4 clubes de (elota Cu"ntos encuentros see*ectuaran si cada eui(o +ue!a 1 con cada uno de los restantes
'es , 49 encuentros
10. Se desea *or#ar un co#it; de 9 (ersonas de un curso de 21estudiantes. Calcular el n?#ero de co#it;s ue se (ueden *or#ar
'es ,8855 comits
1/. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar
'es , )595
12. En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes de botellas.&e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas
'es , 90
11. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos
tri"n!ulos se (uede in*or#ar con sus 3;rtices
'es , /0
19. En una (rueba de atletis#o en la ue (artici(an 4 atletas se(ueden clasi=car slo 1 (ara la =nal. Cuantos !ru(os distintos de=nalistas se (ueden *or#ar
'es , 5)
15. Cu"ntas co#binaciones se (ueden Dacer con dos ele#entosto#ados del con+unto CVKa6b6 c6d6e6 *L Escribe las co#binaciones(osibles.
'es , /5
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1) . &e cu"ntas *o r#as (ueden #e>cla rse l os sie tecolores del arco iris to#"ndolos de tres en tres
'es , 15
En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir unco#it; *or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;sdi*erentes se (ueden *or#ar
'es , )595
1, . Cu"ntas a(ues tas de otera Pr i# iti3a de unacolu#na Dan de rellenarse (ara ase!urarse el aciertode los seis resultados6 de 9
'es ,13983816
14 . En una bode!a Da cinco ti(os d i*e rentes debotellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatrobotellas
'es , ,0
1 . n !ru(o6 co#(uesto (or cinco Do#bres sie te#u+eres6 *or#a un co#it; de 2 Do#bres 1 #u+eres. &ecu"ntas *or#as (uede *or#arse6 si:
aA Puede (ertenecer a ;l cualuier Do#bre o #u+er.bA na #u+er deter#inada debe (ertenecer al co#it;.cA &os Do#bres deter#inados no (ueden estar en el
co#it;.es.
aA 150bA /50
cA /05
90. Con nue3e alu#nos de una clase se desea *or#ar treseui(os de tres alu#nos cada uno. &e cuantas #aneras (uedeDacerse
'es , /)40
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9/. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco#onedas
'es , 1/
92. Cu"ntos (artidos se +ue!an en un ca#(eonato en el ue(artici(an 20 eui(os en el +ue!an todos contra todos6 uno encasa otro de 3isitante
'es , 140
91. a (roduccin de una #auina consta de 9 *ases. a )
lneas de #onta+e (ara la (ri#era *ase6 1 (ara la se!unda6 5 (arala tercera 5 (ara la cuarta. &eter#ine de cuantas *or#asdistintas se (uede #ontar la #auina en este (roceso de(roduccin.
'es , 950
99. En un (lano Da /5 (untos de los cuales no Da 1 ue seancoloniales. Cu"ntas rectas deter#inan
'es ,
/05
95. Cu"ntos tri"n!ulos deter#inas los 3;rtices de un (ol!onore!ular de lados
'es , 49
9). Calcular el n?#ero de co#binaciones de /0 ele#entosto#ados de 9 en 9.
'es ,
2/0
9,. Cu"ntas =cDas tiene el +ue!o del do#inna =cDa de do#in es un rect"n!ulo en el ue Da dos (artes6
en cada una de ellas Da una serie de (untos ue indican la(untuacin de esa (arte. Estas (untuaciones 3an de blanca @0(untosA a ). Tene#os (ares de (untuaciones de 0 a ).
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'es , 24
94. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar
No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden: Xuan6 %na.No se re(iten los ele#entos.
'es , )595
9. En una (astelera Da ) ti(os distintos de (asteles. &ecu"ntas *or#as se (ueden ele!ir 9 (asteles
Nota: Si nos !usta un (astel lo (ode#os (edir Dasta cuatro3eces.Esta#os en el caso en el ue no nos i#(orta el orden en ueeli+a#os los (asteles (ode#os re(etir6 son co#binaciones conre(eticin.
'es , /2)
50. En una bode!a Da en una ca+a cinco ti(os di*erentes de
botellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas Noentran todos los ele#entos. Slo eli+e 9.. No i#(orta el orden. &ai!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de ron6 ue 2 de ron 2 deans. S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir #"s de una botelladel #is#o ti(o.
'es , /2)
5/. &e cuantas #aneras (ueden ordenarse , libros en uninstante
aA Sin nin!una restriccin
bA Tres libros deter#inados deben estar sie#(re +untoscA &os libros deter#inados deben ocu(ar los e
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52. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener.
Huere#os saber cu"ntos !ru(os distintos (ode#os *or#arinde(endiente#ente del orden en ue se eli+a los in3itados.
'es , 49
51. n estudiante debe res(onder siete de las die> (re!untas deun e
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'es , /20
5. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el Cu"ntas (osibles co#binacionesDa Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"nto nos tendre#osue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertar se!uro los )n?#eros
'es , /1.41.4/)
)0. El dueo de un bar desea atraer el n?#ero #"clarlas as tener un n?#ero#"
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n (ro!ra#a de T$ desea (oner 1 (resentadores (ara una !ala
(uedes decir cu"ntos !ru(os de !;neros @Do#bre6 #u+erA distintosse (ueden *or#ar Cu"ntos !ru(os (osibles de se (ueden *or#ar sidis(one#os de , (ersonas
es.
aA 9
bA 15
)1. En una clase Da 25 alu#nos. &e cu"ntas *or#as se (uede
ele!ir un dele!ado un subdele!ado'es , )000
)9. Para a(robar un eosa#ente las dos
(ri#erascA Cuantas #aneras tiene si debe contestar una de las tres
(ri#eras (re!untas
dA &e cuantas #aneras (uede contestar si debe contestar co#o#"
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/. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos tri"n!ulos se
(uede in*or#ar con sus 3;rticesC(5 !2 )5=
5 %
2 % (52 )%5
5(Dia1onales)
C(5 !3 )= 5 %
3 % (53 )%
10(2ran1ulos)
2. Cu"ntos eui(os de 3oleibol se (ueden *or#ar a (artir de +u!adores dis(onibles
Se reuieren ) +u!adores (ara *or#ar un eui(o de 3oleibol6 (orlo ue6 en este caso se tiene ue: n V r V )
C(9,6 )= 9 %
6% (96 )%
84
1. Cu"ntas co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ar a(artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(ar todascualuier (uesto
Se reuiere una sola (ersona6 de entre las 4 dis(onibles6 (araocu(ar el car!o de (residente6 1 de entre las siete ue restan(ara ocu(ar el (uesto de 3ocal. Se trata de un (roble#a deco#(osicin6 a ue la co#binacin total @el co#it;A se co#(one a
su 3e> de 3arias subco#binaciones. Si n( es el n?#ero dis(oniblede (ersonas (ara (residente6 r( es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara (residente6 n3 es el n?#ero dis(onible de(ersonas (ara 3ocales r3 es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara 3ocales6 en este caso se tiene ue:
Presidente: n(V4 r(V/
$ocales: n3V, r3V1
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C(8,1 )xC(7,3 )= 8 %
1% (81 ) %x
7%
3 % (73 ) %
280
9. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un cuestionarioue consta de /5 reacti3os. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo sidebe contestar e restantes6 ue son C@/06,A *or#as.
C(5,3 )xC(10,7 )= 5 %
3 % (53 )%x
10 %
7 % (107 )%
1200
5. Se tienen siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &e cu"ntas#aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue el resultado
sea (ositi3oTres n?#eros #ulti(licados dan un (roducto (ositi3o en dos
casos:
aA Si los tres son (ositi3os bA si dos de ellos son ne!ati3os el otro(ositi3o6 no i#(orta el orden.
C(7,3 )+C(5,2 )x C(7,1 )
C(7,3 )+C(5,2 )x C(7,1 )= 7 %3 % (73 )%
+ 5 %
2 % (52 ) %x
7 %
1 % (71 )%
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1 (ositi3os 2 ne!ati3os / (ositi3o
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). Si en el sorteo Melate se tienen 59 n?#eros Da ue atinarle aseis de ellos cualesuiera (ara sacarse el (ri#er lu!ar6 Cu"ntas#aneras di*erentes es (osible atinarle a seis n?#eros
Si de 59 Da ue atinarle a seis6 entonces la solucinsi#(le#ente es
C(54,6 )= 54 %
6 % (546 )%
25827165
,. na tar+eta de circuito i#(resa se (uede co#(rar de entre 5(ro3eedores. &e cu"ntas #aneras (uede ele!irse 1 (ro3eedores
C(5,3 )= 5 %
3 % (53 )%
10
4. na #ano de Per consta de 5 cartas6 si el #a>o (osee 52 cartas
&e cu"ntas *or#as se (uede recibir una #ano&ado ue es indi*erente el orden de lle!ada de las cartas6
entonces:
C(52,5 )= 52 %
5 % (525 ) %
2598960
. n co#it; de 9 (ersonas 3a a ser seleccionado de un !ru(o de 1estudiantes de 9to. %o6 9 de 1ro. - 5 de 2do. Si dos estudiantesde tercero no son ele!ibles. &e cu"ntas #aneras (uedeseleccionarse el co#it; con 2 estudiantes de 2do.6 / de 1ro. - / de9to
&ado ue no es i#(ortante el orden de eleccin6 entonces:Para ele!ir dos estudiantes de se!undo ao: C@26 5A
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Para ele!ir un estudiante de tercer ao dado ue dos no sonele!ibles: @/6 2A
Para ele!ir un estudiante de cuarto: @/6 1A
Entonces tene#os ue:C(5,2 )xC(2,1 )xC(3,1 )= 5 %
2 % (52 )%x
2%
1% (21 )%x
3 %
1% (31 ) %
60
/0. n a#i!o le uiere re!alar a otro 2 libros los (uede ele!irde entre /5 o(ciones di*erentes. &e cu"ntas *or#as (uedeDacerlo
&ado ue no es i#(ortante el orden en el cual los libros sonele!idos6 entonces:
C(15,2 )= 15 %2% (152 ) %
105
//. na #ano de Per consta de 5 cartas. &e cu"ntas #aneras(osibles se (uede obtener un *ull @un (ar Yun trioA
Tro: &ado ue un tro est" *or#ado (or 1 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un tro de ases se (uede ele!irde un total de 9 ases ue tiene el #a>oA6 entonces:
Pero dado ue Da /1 di*erentes 3alores de cartas6 entonces untro se (uede obtener de las si!uientes *or#as:
C@/16/A _ C@961A
Par: &ado ue un (ar est" *or#ado de 2 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un (ar de rees se (uede ele!irde un total de 9 rees ue tiene el #a>oA6 entonces:
C@962APero dado ue Da /2 di*erentes 3alores de cartas @a se eli!i
un troA6 entonces un (ar se (uede obtener de las si!uientes*or#as:
C@/262A < C @962A
Entonces:
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C(13,1)$C(4,3)x C(12,2)x C(4,2)= 13%
1% (131 )%x
4 %
3 % (43 ) %x
12 %
2 % (122 )%x
4 %
2% (42 )%
3744
/2. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener
Huere#os saber cu"ntos !ru(os distintos (ode#os *or#arinde(endiente#ente del orden en ue se eli+a los in3itados.
C(9,6 )= 9 %
6% (96 )%
84 1ruposdistintos de initados
/1. En una Deladera dis(onen de /5 sabores di*erentes deDelados Cu"ntos Delados de 1 sabores di*erentes (ueden o*recer
C(15,3 )= 15 %3 % (153 )%
455 helados diferentes
/9. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el 9. Cu"ntas (osiblesco#binaciones Da Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"nto
nos tendre#os ue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertarse!uro los ) n?#eros
Huere#os acertar ) n?#eros de 9 (osibles6inde(endiente#ente del orden en ue los eli+a#os.
C(49,6 )= 9 %
6 % (496 ) %
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13.983.816
/5. Se Dan reunido 5 a#i!os. Cu"ntos saludos se Daninterca#biado si se Dan saludado todos entre s
Co#o no inue el orden6 se trata de Dallar el n?#ero deco#binaciones de 5 ele#entos to#ados de 2 en 2.
C(5,2 )= 5 %2% (52 ) %
10 saludos
/). os alu#nos del ?lti#o curso de un centro escolar desean*or#ar una co#isin con1 alu#nas 2 alu#nos (ara or!ani>ar el3ia+e de =n de curso. El n?#ero total de alu#nas es de 25 el dealu#nos es de 20.
&e cu"ntas *or#as distintas (ueden co#(letar dicDa co#isin
C(25,3 )x C(20,2 )= 25 %3 % (253 )%
x 20 %
2 % (202 ) %
437000
/,. En un interca#bio cultural6 el #onitor res(onsable deseadistribuir (or (are+as a los 29 alu#nos ue (artici(an (araco#(letar los asientos del autob?s ue 3an a utili>ar en losdes(la>a#ientos.
&e cu"ntas *or#as (uede reali>arlo
Si Da 4 alu#nos del #is#o (as6 en cu"ntas dis(osicionesestos 4 alu#nos no est"n e#(are+ados entre ellos
C(24,2 )= 24 %2 % (242 )%
276
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na6 ue % no 3aa #ientras B s6 con lo cual es su=ciente (araue a#bos no est;n +untos dos6 ue B no 3aa #ientras % s tres6 ue ni % ni B 3aan.
C(6 ! 4 )+C(6 ! 4 )+C(6 ! 5 )= 6 %4 % (64 )%
+ 6 %
4 % (64 ) %+
6 %
5 % (65 ) %
15+15+6
36 formas
cA a dos o(ciones: na6 ue % B s asistan la otra6 ue ni %ni B 3aan.
C(6 !3 )+C(6 !5 )= 6 %
3 % (63 ) %+
6 %
5 % (65 ) %
20+6
26 formas
20. niendo 5 3;rtices de un De(t"!ono se obtiene un(ent"!ono
Cuantos (ent"!onos distintos se (ueden conse!uir si!uiendo este(rocedi#iento
C(7,5 )= 7 %5 % (75 )%
21pent.1onos
2/. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de uncuestionario ue consta de /) reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e
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cA Cuando el reacti3o 5 es contestado
C(4 !1 )x C(2! 1 )x C(9,7)= 4 %
1% ( 41 )%3
2 %
1 % (21 )%3
9 %
7 % (97 ) %
288 formas
dA Cuando el reacti3o 5 no es contestado
C(4 !2 )x C(2!2 )x C(9,6)= 4 %
2% (42 ) %3
2%
2% (22 )%3
9 %
6 % (96 )%
504 formas
Total: 244Y509V,2 #aneras.
22. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de uncuestionario ue consta de /5 reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e
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29. Xuan uiere irse de 3ia+e el =n de se#ana dis(one de 5ca#isetas de las cuales desea lle3ar 1. &e cuantas *or#asdistintas (uede reali>ar la eleccin
C(5, 3 )= 5 %
3 % (53 ) %
10 formas distintas
25. na e#(resa necesita /9 (ersonas (ara Dacer un traba+o6distribuidas de la si!uiente *or#a: 9 #u+eres6 5 Do#bres losrestantes (ueden ser de uno u otro se
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),
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371maneras
2,. Siete a#i!os Dacen cola (ara el cine. %l lle!ar slo uedan 9entradas. &e cu"ntas *or#as (odran re(artirse estas entradas(ara 3er la (elcula
C(7,3 )= 7 %3 % (73 )%
35 formas
24. &e un (auete de 90 nai(es Cu"ntas #anos de 5 cartas(ode#os re(artir
C(40 ! 5 )= 40 %5 % (405 ) %
658008
2. En una li!a de 4 clubes de (elota Cu"ntos encuentros see*ectuaran si cada eui(o +ue!a 1 con cada uno de los restantes
C(8,2 )= 8 %2 % (82 )%
28 encuentros
C(8,3 )=
8%
3 % (83 ) %
56encuentros
Total: 24 Y 5) V 49 encuentros
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10. Se desea *or#ar un co#it; de 9 (ersonas de un curso de 21estudiantes. Calcular el n?#ero de co#it;s ue se (ueden *or#ar
C(23 !4 )= 23 %4 % (234 ) %
8855 comits
1/. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar
No entran todos los ele#entos.
No i#(orta el orden: Xuan6 %na.
No se re(iten los ele#entos.
12. En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes de botellas.&e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas
No entran todos los ele#entos. Slo eli+e 9..
No i#(orta el orden. &a i!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de
ron6 ue 2 de ron 2 de ans.S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir #"s de una botella del
#is#o ti(o.
11. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntostri"n!ulos se (uede in*or#ar con sus 3;rtices
$a#os a deter#inar en (ri#er lu!ar las rectas ue se (uedentra>ar entre 2 3;rtices.
No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden.
No se re(iten los ele#entos.
Son 6 a las ue tene#os ue restar los lados ue deter#inan 5rectas ue no son dia!onales.
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19. En una (rueba de atletis#o en la ue (artici(an 4 atletas se(ueden clasi=car slo 1 (ara la =nal. Cuantos !ru(os distintos de=nalistas se (ueden *or#ar
El orden no i#(orta. ue!o son co#binaciones. os ele#entos nose (ueden re(etir. Entonces tene#os co#binaciones sinre(eticin6 de 4 ele#entos to#ados de 1 en tres:
C461V8 %
3 % (83 ) %=
8765 %3 %5 %
=56
15. Cu"ntas co#binaciones se (ueden Dacer con dos ele#entosto#ados del con+unto CVKa6b6 c6d6e6 *L Escribe las co#binaciones(osibles.
Tene#os ue Dallar el n?#ero de co#binaciones del con+unto deseis ele#entos to#ados de dos en dos:
C)62V6 %
2 % (62 )%= 6 %
2 %4 %=654321
214321=15
Esas /5 co#binaciones son las si!uientes:
ab6 ac6 ad6 ae6 a*6 bc6 bd6 be6 b*6 cd6 ce6 c*6 de6 d*6 e*.
1) . &e cu"ntas *o r#as (ueden #e>cla rse l os sie tecolores del arco iris to#"ndolos de tres en tres
C(7,3)= 7%
3 %& (73) %=7 &6 & 5
3 &2=35
1, . En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir unco#it; *or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;sdi*erentes se (ueden *or#ar
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C(35,3)= 35 %
3 %& (353)%=35 &34 & 33
3 &2 &1=6545
14 . Cu"ntas a(ues tas de otera Pr i# iti3a de unacolu#na Dan de rellenarse (ara ase!urarse el aciertode los seis resultados6 de 9
C(49,6)= 49 %
6 %& (496)%=13983816
1 . En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes debotellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatrobotellas
C(5,4 )=
(5+41 )%4 %& (51)%
= 8 %4 %& 4 %
=70
90 . n !ru(o6 co#(uesto (or cinco Do#bres sie te#u+eres6 *or#a un co#it; de 2 Do#bres 1 #u+eres. &ecu"ntas *or#as (uede *or#arse6 si:
a. Puede (ertenecer a ;l cualuier Do#bre o #u+er.
C(5,2) &C(7,3 )= 5 %
2% & (52 ) %&
7 %
3% & (73 ) %=10 &35=350
b. na #u+er deter#inada debe (ertenecer al co#it;.
C( 5,2) &C(6,2 )= 5 %
2 % & (52 ) %&
6 %
2% & (62 )%=10& 15=150
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c. &os Do#bres deter#inados no (ueden estar en elco#it;.
C( 3,2) &C(7,3 )= 3 %
2% & (32 ) %&
7 %
3 % & (73 ) %=3 &35=105
9/. Con nue3e alu#nos de una clase se desea *or#ar treseui(os de tres alu#nos cada uno. &e cuantas #aneras (uede
Dacerse
C(9,3 )C(6,3 )C(3,3 )=
9 %
3 %6 %6 %
3 %3 % 3 %
3 %0 % =84201=1680
92. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco
#onedasC(5,1 )+C(5,2 )+C(5,3 )+C(5,4 )+C(5,5 )=
5%
1 %4 %+
5 %
2 %3%+
5 %
3 %2%+
5 %
4 %1%+
5%
5%0%=5+10+10+5+1=31
91. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco#onedas
C(5,1 )+C(5,2 )+C(5,3 )+C(5,4 )+C(5,5 )=
5%
1 %4 %+
5 %
2 %3%+
5 %
3 %2%+
5 %
4 %1%+
5%
5%0%=5+10+10+5+1=31
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99. Cu"ntos (artidos se +ue!an en un ca#(eonato en el ue(artici(an 20 eui(os en el +ue!an todos contra todos6 uno encasa otro de 3isitante
Eui(os ue +ue!an en casa.
202=190
Eui(os ue +ue!an de 3isitantes
202=190
Total se juegan 380 partidos.
95. Cu"ntos tri"n!ulos deter#inas los 3;rtices de un (ol!onore!ular de lados
(9,3 )= 9%
3 % (93 ) %=84
9). Calcular el n?#ero de co#binaciones de /0 ele#entosto#ados de 9 en 9.
C @/0 9A V109874321
= 2/0
C @/0 9A V
10 %
4 %6 %=
109876 %
43216 %=
/0[1[, V 2/0
9,. En un !ru(o de /4 estudiantes Da ue *or#ar un !ru(o de):
aA &e cuantas #aneras (uede DacersebA &e cuantas #aneras (uede Dacerse sabiendo ue un
estudiante en (articular debe *or#ar el !ru(ocA &e cuantas #aneras (uede Dacerse si se e
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cA C @/, )A V17 %
6 % (176 )%=12376
94. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar
No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden: Xuan6 %na.No se re(iten los ele#entos.
C @15 1A V
353433
321 =
)595
9. En una ciudad % los n?#eros tele*nicos se *or#an con 9d!itos @del 0 al A no (udiendo ser 0 el (ri#ero de ellos en otraciudad B se *or#an con 5 d!itos en las #is#as condicionesanteriores Cuantas co#unicaciones (ueden #antenerse entre losabonados de a#bas ciudades
50. En una bode!a Da en una ca+a cincoti(os di*erentes de botellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ircuatro botellas No entran todos los ele#entos. Slo eli+e 9. Noi#(orta el orden. &a i!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de ron6ue 2 de ron 2 de ans. S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir#"s de una botella del #is#o ti(o.
C @5 9A V5+41%
4 %(51)%=
19 %
5 %4 %= /2)
5/. &e cuantas #aneras (ueden ordenarse , libros en uninstante
aA Sin nin!una restriccinbA Tres libros deter#inados deben estar sie#(re +untoscA &os libros deter#inados deben ocu(ar los e
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aA P @, ,A V ,Q V 5090
bA P @5 5A ] P @1 1A V 1)0
cA P @5 5A ] P @2 2A V 290
52. n estado tiene un #illn de 3eDculos re!istrados est"nconsiderando a(licar (lacas de ) ci*ras en las ue las 1 (ri#erassean letras el resto n?#eros. a (ri#era letra re(resenta elestado al ue (ertenecen los 3eDculos.
aA Con este esue#a ser" *actible re!istrar todos los 3eDculosbA &e no serlo de una solucin
a ue Dacer (lacas de ,d!itos
51. n estudiante debe res(onder siete de las die> (re!untas deun e
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55. %l (ri#er +u!ador (ode#os darle C @526/1A #anos6 alse!undo C @16/1A6 al tercero C @2)6/1A al ?lti#o /.
C @526/1A. C @16/1A. C @2)6/1A
V
52%
13%(5213)%39 %
13 %(3913)% 26 %
13 %(2613)%=
5.1)
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aA C @/) 2A V *rac/)Q2Q @/) ^ 2AQ V /20
bA C @4 2A Y C @4 2A Y C @4 /A [C @4 /A V /20
)0. El dueo de un bar desea atraer el n?#ero #"clarlas as tener un n?#ero#"
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Si el (residente decide ue de los cinco +ueces tres deben serDo#bres dos #u+eres6 de cu"ntas #aneras (uede lo!rarse
C @/06 1A V /20 casos (osibles de Do#bres
C @96 2A V ) casos (osibles de #u+eres.
Por lo ue el n?#ero total de casos es:
/20Z ) V ,20 casos totales
)1. n (ro!ra#a de T$ desea (oner 1 (resentadores (ara una
!ala (uedes decir cu"ntos !ru(os de !;neros @Do#bre6 #u+erAdistintos se (ueden *or#ar Cu"ntos !ru(os (osibles de se(ueden *or#ar si dis(one#os de , (ersonas
)9.
C @26 1A V 9 !ru(os (osibles distintos
C @,6 1A V 15 !ru(os de (resentadores di*erentes
)5. En una clase Da 25 alu#nos. &e cu"ntas *or#as se (uedeele!ir un dele!ado un subdele!ado
aA EV K/626 1625L6 #V25. &os e+e#(los si!ni=cati3os son 156516
(V2bA Inue el orden6 no entran todos los ele#entos no (uede
Daber re(eticin V 3ariaciones ordinariascA $ @2562A V 25[92 V )000
)). Para a(robar un e
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aA Cuantas #aneras tiene de seleccionar las (re!untasbA Cuantas #aneras tiene si debe contestar *or>osa#ente las
dos (ri#eras
cA Cuantas #aneras tiene si debe contestar una de las tres(ri#eras (re!untasdA &e cuantas #aneras (uede contestar si debe contestar co#o
#"
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E+!nto: Es un con+unto ue abarca resultados6 ue (osee ciertascaractersticas en co#?n6 los e3entos son:
S!#"o:%uel ue contiene todos los (osibles resultados de unea un dado car!ado6 ade#"s su(one#os ue las carascon el n?#ero tres cuatro tienen el doble de (robabilidadesde ocurrir ue cualuiera de las de#"s caras. Encontrar la(robabilidad de los si!uientes sucesos:
p+p+2p+2p+p+p=1
ei#undo6 7aona6 8a#brano
5 < = . 1) ( 2
(2
(( (
2
8
2
8
1
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p=1
8
aA %(are>ca el n?#ero 9
P (sal1a 4 )=2
8
bA %(are>ca el n?#ero 2
P (sal1a2 )=1
8
/4. &e acuerdo con las estadsticas del de(arta#ento detr"nsito6 durante el ao de 20/2 Dubo /2005 accidentes 3iales6de los cuales )4) se debieron a e
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cA Probabilidad de ue sea un ,
P (7 )=452
20. Se e
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P"!#nt
as
/
P"obabilidad
aA Calcule la (robabilidad de ue las (ri#eras 9 res(uestassean correctas las ?lti#as 1 sean incorrectas.
P (4primeras correctas)=( 12 )4
=1
16
P (3ultimasincorrectas )=( 12 )3
=1
8
P (4 correctas 7 3incorrectas )= 1
16$
1
8
22. Con cierto #;todo de un (rocedi#iento ue se lla#a#uestreo de ace(tacin6 se selecciona aleatoria#ente sinree#(la>o una #uestra de artculos6 el lote co#(leto se ace(tasi cada artculo en la #uestra es a(robado. a Nio ElectronicsCo#(an acaba de *abricar 5000 C&6 de los cuales el 1 est"nde*ectuosos. Si se seleccionan al a>ar /2 de estos C& (ara(robarlos6 Cu"l es la (robabilidad de ue se ace(te el loteco#(leto
P (nodefectuoso )= 97100
P (aceptarel lotecompleto )=(97100 )12
=0.694
21. na !erente de (roduccin de FTelettonicsG a=r#a ue sunue3o (roceso de *abricacin de re(roductores de C&6 es #e+or(orue su tasa de de*ectos es #"s ba+a ue el 26 ue la tasade de*ectos (asado. Para *unda#entar su a=r#acin ella *abricaun lote de 5000 re(roductores de C&6 lue!o seleccionaaleatoria#ente /5 de ellos (ara (robarlos6 con el resultado deue no Da de*ecto en los /5 re(roductores de C&
ei#undo6 7aona6 8a#brano
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seleccionados. Con base en el resultado6 a su=cientee3idencia (ara *unda#entar la a=r#acin de la !erente de uesu nue3o (roceso es el #e+or
P (nodefectuoso )= 98100
P (nin1unodefectuoso )( 98100 )15
=0.739
SOCIN: E
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P (ni-a)= 45
2223
P (mu(er o ni-a)=4222223 + 452223=0.210
29. Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea unDo#bre o una (ersona ue sobre3i3i al Dundi#iento.
P (hom*re)=322
2223P ( so*reiiente )=
706
2223
P(hom*re o so*reiiente)322
2223+706
2223=0.462
25. Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea un nioo un sobre3i3iente.
P (ni-o)= 64
2223
P (so*reiiente )=706
2223
P (ni-oo so*reiiente )= 64
2223+706
2223=0.346
2). Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea una#u+er o al!una (ersona ue no sobre3i3i al Dundi#iento.
P (mu(er )= 422
2223
P (murio)=1517
2223
422
2223+1517
2223=0.872
2,. as e#(resas ue reali>an encuestas se interesan en losni3eles decrecientes de coo(eracin de las (ersonas ue secontactan (ara ue las encuesten. n encuestador contacta a
ei#undo6 7aona6 8a#brano
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49 indi3iduos de entre /4 2/ aos6 descubre ue ,1res(onden // se reD?san a Dacerlo. Cuando se contacta a 2,5(ersonas de entre 22 2 aos6 255 res(onden 20 se.
Su(on!a ue se selecciona al a>ar a / de las 15 (ersonas.Calcule la (robabilidad de ue sea una (ersona en el ran!o deedad de /4 a 2/ aos o al!uien ue recDa>a res(onder.
P (1821 )=84
359
P (rehusan)=31
359
P (18215 rehusan)=84
359+31
359=0.320
24. Sean los d!itos del 0 al 6 calcular la (robabilidad de lossi!uientes sucesos:
06 /6 26 16
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