Estadistica Descriptiva UPC

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Estadística Descriptiva MA460 201601 Las profesoras y los profesores del curso

Temario La Estadística y sus subdivisiones.

Definiciones de población, muestra, variables, clasificación de variables, parámetros y estadísticos.

Métodos de organización y presentación de datos:

• Datos cualitativos

• Datos cuantitativos

• Tablas de distribución de frecuencias y representaciones gráficas (circular, barras, Pareto)

• Tablas de doble entrada

Al finalizar la unidad 1,

el estudiante interpreta con rigurosidad tablas y gráficos,

con ayuda del programa MS Excel 2010.

Logro de la unidad 1

Unidad 1: Organización de datos

4 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.1. Definición de Estadística

Es la ciencia que proporciona un conjunto de métodos, técnicas y procedimientos para recopilar, organizar, presentar y analizar datos con el fin de describirlos o realizar gene-ralizaciones válidas.

Subdivisión de la Estadística

La Estadística se puede dividir en Estadística descriptiva y Estadística inferencial.

Ejercicio 1

Según la encuesta nacional realizada por la encuestadora CPI publicada el 18 de marzo del 2016, la intención de voto para las próximas elecciones es la siguiente:

La encuesta fue realizada del viernes 11 al lunes 14 de mar-zo de 2016 tuvo una muestra de 1200 casos y cuenta con un margen de error +/- 2,83%. Indique si, estas afirmaciones son afirmaciones de tipo des-criptiva o Inferencial.

Recolección Organización Presentación Análisis

Estadística descriptiva

Son métodos y técnicas de recolección, caracterización, resumen y presentación que permiten describir apropiadamente las características de un conjunto de datos.

Comprende el uso de gráficos, tablas, diagramas y criterios para el análisis.

Estadística inferencial

Son métodos y técnicas que hacen posible estimar una o más características de una población o tomar decisiones sobre población basadas en el resultado de muestras.

Estas conclusiones no son totalmente válidas y tienen cierto margen de error.

Unidad 1. Organización de Datos 5

Notas importantes

1.2. Definiciones

Unidad elemental, variables y observación

Ejemplo 1

Dato

Es el resultado de medir una característica observable de una unidad elemental.

Caso Aerolínea Wayra

Aerolínea Wayra S.A es una empresa peruana de transporte aéreo con vuelos nacionales e internacionales, ofrece un servicio alta calidad a sus pasajeros y busca mejorar conti-nuamente la eficiencia de sus operaciones, valorando el empeño diario de su personal.

Actualmente, la flota de la empresa está constituida por cuatro aviones Boeing, que brindan una gran capacidad de empuje y autonomía. Sus aviones han sido remodelados en su interior. Juan, gerente de la compañía, desea determinar si las remodelaciones en la flota han servido para brindar un mejor servicio a los usuarios. Por esta razón, le ha encargado a su asistente Felipe que realice un estudio.

Indique la unidad elemental en la investigación que hizo Felipe, dos variables que segu-ramente preguntó y una posible observación.

Unidad elemental es la entidad

acerca de la cual se reúne los datos

Variables son las características de

interés de las unidades

elementales

Observación es el conjunto de mediciones

obtenido de una unidad elemental

particular

A una persona (Unidad

elemental)

se le pregunta su género y edad.

(Variables)

Ella responde: “Soy mujer y tengo

19 años” (Observación)

(Unidad elemental) (Variables) (Observación)

6 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Población y muestra

Ejemplo 2

La Secretaría Académica de una universidad está interesada en realizar un estudio sobre los motivos por los cuales algunos alumnos del pregrado han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo. La universidad cuenta con quince facultades y un total de 7500 alumnos, de los cuales 830 han decidido rendir exámenes de recuperación ese ciclo. De la población se va a entrevistar a una muestra aleatoria de 200 alumnos. Defina la po-blación y la muestra

Solución

Ejercicio 2

El objetivo de una investigación es estimar la estatura media de los peruanos de 18 años. Indique la población y la muestra.

Población

Población es el conjunto de todos las unidades elementales de interés en determinado estudio.

Es un conjunto de personas, objetos, conceptos, etc. de los cuales se sacan conclusiones a partir de una o más características observables de naturaleza cualitativa o cuantitativa.

Muestra

Muestra es un subconjunto de la población.

Será representativa si se parece a la población de la que proviene.

Población

Los 830 alumnos que han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo.

Muestra

Los 200 alumnos que han decidido dar exámenes de recuperación ese ciclo.

Población

......................................................................

Muestra

.....................................................................

Unidad 1. Organización de Datos 7

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Actualmente, la flota de la empresa está constituida por aviones Boeing, que brindan una gran capacidad de empuje y autonomía. Sus aviones han sido remodelados en su in-terior.

Juan, gerente de la compañía, desea determinar si las remodelaciones en la flota han servido para que los pasajeros mejoren su percepción acerca del servicio. Por esta razón, le ha encargado a su asistente Felipe que realice un estudio. Indique la población y la muestra de dicha investigación.

Además, Juan quiere determinar el porcentaje de vuelos que salen sin retraso, con el fin de ver si es necesario establecer políticas de mejora. Indique la población y la muestra de dicha investigación.

Por otro lado, Juan quiere determinar la media del número mensual de pasajeros de la aerolínea Wayra. Indique la población y la muestra de dicha investigación.

Población

......................................................................

Muestra

.....................................................................

Población

......................................................................

Muestra

.....................................................................

Población

......................................................................

Muestra

.....................................................................

8 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Escalas de medición de las variables

Son los tipos de valores asignados a las unidades elementales para una variable definida.

La escala de medición permite determinar la cantidad de información que contienen los datos y el análisis estadístico más apropiado.

Escalas de medición

Nominal Ordinal Intervalo Razón

Nominal •Una variable está medida en escala nominal cuando los datos son etiquetas que se emplean para definir un atributo del elemento.

Ordinal

•Una variable está medida en escala ordinal cuando los datos son etiquetas y el orden es significativo.

•Se pueden ordenar, de tal manera que puedan expresar grados de la característica medida.

•No tiene sentido medir la distancia entre los valores de la variable ni realizar operaciones aritméticas con ellos pues no toman valores numéricos específicos ni existe proporcionalidad entre categorías vecinas.

Intervalo

•Una variable está medida en escala de intervalo si los datos tienen propiedades de datos ordinales y el intervalo entre observaciones se expresa en términos de una unidad fija de medida.

•Los datos de intervalo siempre son numéricos.

•El cero es relativo, es decir, no indica la ausencia de la característica medida.

Razón

•Una variable está medida en escala de razón si los datos tienen todas las propiedades de los datos de intervalo y se puede realizar cualquier operación aritmética (suma, resta, multiplicación y división) y lógica (comparación y ordenamiento).

•El cero es absoluto, es decir, indica la ausencia total de la característica medida.

Unidad 1. Organización de Datos 9

Notas importantes

Ejemplo 3

Caso Aerolínea Wayra

Se realizó una encuesta a una muestra de 150 pasajeros de la aerolínea. Algunas de las variables fueron las siguientes. Indique la escala de medición de cada variable.

Variable Nominal Ordinal Intervalo Razón

Edad del pasajero, en años

Género del pasajero

Nacionalidad del pasajero

Número de pasaporte

Opinión respecto al servicio: malo regular, bueno, muy bueno

Ciudad de destino del viaje

Altura sobre el nivel del mar de la ciudad de destino del viaje

Número de viajes al mes del pasa-jero en la aerolínea Wayra

Precio del pasaje

Número de asiento (1A, 1B,…)

Peso del equipaje de mano, en kilogramos

Nominal •El género de las personas

•El estado civil de los empleados de una empresa

•Las carreras profesionales universitarias

Ordinal •El orden de mérito de los atletas en una competición

•El grado de instrucción de los clientes de un banco

Intervalo •Las escalas de temperatura. Las temperaturas en grados centígrados 0ºC, y 20ºC equivalen a, en grados Fahrenheit, 32ºF, y 68ºF

Razón •El sueldo de los empleados de una empresa

•El tiempo en terminar un examen

10 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Tipos de variables según su naturaleza

Las variables se pueden clasificar en cualitativas o cuantitativas.

Ejemplo 4

Variables Tipo de variable Escala de medición

Marca de computadora personal que utiliza Cualitativa Nominal

Tiempo que usa la computadora por semana Cuantitativa continua Razón

Número de perros en una casa Cuantitativa discreta Razón

Número de granos de arena en una gran playa Cuantitativa discreta Razón

Caso Aerolínea Wayra

Se tienen otras variables como las siguientes. Indique su escala de medición y tipo.

Variable Tipo de variable Escala de medición

Número de maletas del pasajero en un vuelo

Tiempo de retraso del último vuelo, en horas.

Tipo de boleto (Primera, business, económica)

Razón de elección de la aerolínea Wayra

Variable

cualitativa

Es una variable que puede ser expresada en escala nominal u

ordinal.

Variable

cuantitativa

Es una variable que puede ser medida en escala de intervalo o

de razón.

A su vez, la variable cuantitativa se

clasifica en discreta o continua.

Variable discreta

Tiene un número finito o infinito numerable de posibles valores; es

decir, que en un intervalo solo puede tomar ciertos valores.

Variable continua

Tiene un número infinito no numerable de posibles valores; es decir, que en un intervalo puede

tomar cualquier valor.

Unidad 1. Organización de Datos 11

Notas importantes

Parámetro y estadístico

Ejemplo 5

En un estudio entre alumnos de la UPC, se registró la edad de todos los alumnos de la UPC. La media de la edad fue de 19,3 años. Además, de una muestra de aleatoria de 300 alumnos se encontró que el 12% trabaja. Indique lo siguiente.

Medida de resumen Variable Valor Parámetro o estadístico

Media Edad 19,3 años Parámetro

Porcentaje Condición de trabajo 12% Estadístico

Ejercicio 3

El objetivo de una investigación es estimar el sueldo promedio de un obrero en la ciudad de Lima. En una muestra aleatoria, se encontró una media de 1650 soles. Indique lo si-guiente.

Población: …………………….……………………………………………………………………………………………….

Medida de resumen Variable Valor Parámetro o estadístico

Caso Aerolínea Wayra

En una muestra de 150 pasajeros se encontró que el 55% de los pasajeros considera que el menú de a bordo de la aerolínea Wayra es regular. Indique lo siguiente.

Medida de resumen Variable Valor Parámetro o estadístico

Usando el registro del aeropuerto Jorge Chávez, se encontró que la media del tiempo de retraso de todos los vuelos de la aerolínea Wayra fue 32 minutos. Indique lo siguiente.

Medida de resumen Variable Valor Parámetro o estadístico

•Es cualquier resumen de la población. Parámetro

•Es cualquier resumen de la muestra. Estadístico

12 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Estudios estadísticos

Los datos se obtienen mediante la realización de un estudio estadístico. A esos estudios se les clasifica como experimentales u observacionales.

Ejercicio 5

Indique a qué tipo de estudio, experimental u observacional, corresponden los siguien-tes ejemplos.

Tomado de http://elcomercio.pe/economia/peru/turistas-gastan-nuestra-gastronomia-us350-millones

Actualizado el 27 de julio de 2015 a: 03:54 p.m. Por: AFP

Estudio clínico confirma eficacia de vacuna contra el dengue La vacuna contra el dengue del laboratorio Sanofi es eficaz en más de 80% de los afectados de es-ta infección tropical transmitida por el mosquito, según un nuevo análisis independiente.

Estudio experimental

•En un estudio experimental, se identifican las variables de interés, las cuales son controladas por el investigador. Luego, se identifican otras variables que influyan en las variables de interés.

Estudio observacional

•En un estudio observacional, no se trata de controlar las variables de interés, ni de influir sobre ellas, por ejemplo, en una encuesta.

http://elcomercio.pe/economia/peru/turistas-gastan-nuestra-gastronomia-us350-millones

Unidad 1. Organización de Datos 13

Notas importantes

Errores en la adquisición de datos

Un error en adquisición de datos se presenta cuando el valor obtenido de los datos no es igual al valor real que se hubiera obtenido con un procedimiento correcto.

Se debe comprobar la consistencia interna de los datos.

También se analiza la existencia de valores demasiado grandes o demasiado pequeños, conocidos atípicos, que son datos candidatos a posibles errores.

Fuentes de datos

Los siguientes sitios web son ejemplos donde conseguir datos de fuente secundaria.

Fuentes públicas: bases de datos de ministerios y de oficinas gubernamentales de esta-dística, como por ejemplo.

Instituto Nacional de Estadística e Informática www.inei.gob.pe

Banco Central de Reserva del Perú www.bcrp.gob.pe/

Ministerio de Salud del Perú www.minsa.gob.pe

Fuentes privadas: bases de datos de las empresas, bases de datos que se compran a empresas de estudios de mercado, bases de datos en Internet, como por ejemplo.

Datum Perú www.datum.com.pe/

Ipsos Apoyo. Opinión y Mercado www.ipsos-apoyo.com.pe/

Instituto de Opinión Pública PUCP www.pucp.edu.pe/iop/

Caso Aerolínea Wayra

Luego de la encuesta realizada por Felipe se tiene una base de datos. Parte de los resul-tados se muestra en la siguiente tabla:

Pasajero Edad Género Nacionalidad Motivo de viaje Destino Número de

viajes realizados Precio

pagado Queja

1 20 M Peruana Negocios México DF 1 $899,00 Desinformación

2 43 M Chileno Turismo Cuzco 2 $399,00 Precio

…..

¿Qué podemos hacer para resumir esta información?

Fuentes primarias

•Los datos se obtienen por medio de encuestas y estudios experimentales realizados con el objeto de recolectar nuevos datos.

Fuentes secundarias

•Los datos se han compilado y están disponibles para el análisis estadístico.

http://www.inei.gob.pe/

http://www.bcrp.gob.pe/

http://www.minsa.gob.pe/

http://www.datum.com.pe/

http://www.ipsos-apoyo.com.pe/

http://www.pucp.edu.pe/iop/

14 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.3. Estadística Descriptiva

Frecuencias absolutas, relativas y porcentuales

Se tiene que:

n

f

casosdenúmero

absolutafrecuenciahrelativafrecuencia i

i

%100%100% n

f

casosdenúmero

absolutafrecuenciahpporcentualfrecuencia i

ii

Distribución de frecuencias

Es un resumen, expresado en un cuadro, de un conjunto de datos que muestra las fre-cuencias absolutas, relativas y porcentuales en cada una de varias clases que no se tras-lapan.

Título: ……………………………………………………………………………………

Categorías Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi Frecuencia porcentual pi = hi%

Categoría 1 f1 11

fh

n %1001

1 n

fp

Categoría 2 f2 22

fh

n %1002

2 n

fp

… … … …

Categoría k fk k

k

fh

n %100

n

fp k

k

Fuente: ………………………

Es usual, usar en estos cuadros la frecuencia relativa en el ámbito académico y la fre-cuencia porcentual fuera del ámbito académico.

Frecuencia absoluta (fi)

•de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen a esa clase

Frecuencia relativa (hi)

•de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa clase

Frecuencia porcentual (pi)

•de una clase es la frecuencia relativa multiplicada por 100%

Unidad 1. Organización de Datos 15

Notas importantes

Elementos de un cuadro estadístico

Ejemplo 6

3.1 PERÚ. POBLACIÓN TOTAL, CENSADA Y OMITIDA, SEGÚN CENSOS

REALIZADOS, 1940, 1961, 1972, 1981, 1993, 2005 Y 2007

Año Población

Total Censada Omitida

1940 7,023,111 6,207,967 815,144

1961 10,420,357 9,906,746 513,611

1972 14,121,564 13,538,208 583,356

1981 17,762,231 17,005,210 757,021

1993 22,639,443 22,048,356 591,087

2005 a/ 27,219,264 26,152,265 1,066,999

2007 28,220,764 27,412,157 b/ 808,607

a/ Censo de Derecho o De Jure. Se recopiló información de la población en su lugar de residencia. b/ No incluye la población del distrito de Carmen Alto, provincia Hua-manga, departamento Ayacucho. Autoridades locales no permitieron la ejecución de los Censos. Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática (INEI) - Censos Nacionales de Población y Vivienda, 1940, 1961, 1972, 1981, 1993, 2005 y 2007.

16 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.4. Distribución de frecuencias de variables cualitativas

Título: ………………………………………………..………………………

Categorías Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi

Categoría 1 f1 11

fh

n

Categoría 2 f2 22

fh

n

… … …

Categoría k fk k

k

fh

n

Fuente: ………………………

Ejercicio 6

En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el INEI se preguntó a todos los peruanos el idioma o lengua con el que aprendió hablar, obteniéndose los siguientes resultados.

Perú. Distribución de peruanos según idioma o lengua con el que aprendió hablar. 2007

Idioma o lengua con que aprendió a hablar Frecuencia absoluta fi Frecuencia relativa hi

Castellano 21 713 165

Quechua 3 360 331

Aymará 443 248

Otra lengua nativa 174 410 0,0068

Asháninka 67 724 0,0026

Es sordomudo 30 019 0,0012

Idioma extranjero 21 434 0,0008

Total 25 810 331 1,0000

Fuente ………………………………………………………………………………………….

Indique e interprete el valor de f2.

Indique e interprete el valor de h1%.

Indique el número de peruanos que aprendieron a hablar en una lengua diferente al cas-tellano.

Indique el porcentaje de peruanos que aprendieron a hablar en aymará.

Unidad 1. Organización de Datos 17

Notas importantes

1.5. Gráficos

“Un gráfico puede valer más que mil palabras,

pero puede tomar muchas palabras para hacerlo”

John Wilder Tukey (1915-2000)

Gran estadístico del siglo XX, con gran influencia en la visualización de información

William Playfair (1759-1823), economista e ingeniero escocés es considerado el pionero de la estadística gráfica. Fue el creador del gráfico circular, de sectores y de barras. Los principios de su trabajo fueron los siguientes:

Recomendaciones sobre la presentación de gráficos

Descripción del diagrama

El método gráfico es una forma de

simplificar lo tedioso y lo

complejo

Las personas ocupadas

necesitan ayuda visual

Un gráfico es más accesible que una

tabla

El método gráfico ayuda al cerebro, ya que permite

entender y memorizar mejor.

El título del gráfico siempre debe ser indicado.

En los ejes, siempre se debe indicar explícitamente las variables que se está

representando y las respectivas unidades.

Las fuentes de donde se obtuvieron los datos que permitieron su construcción, así como quiénes o qué entidad elaboró el diagrama y cualquier otra información se

debe indicar siempre que sea relevante.

18 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Elección de la base de comparación

Uso adecuado de la escala de los ejes

Eliminación de ruido

Uso del punto inicial del eje vertical

Si se va a representar gráficamente los datos de solo

una muestra, el mismo diagrama sirve para representar las

frecuencias absolutas y relativas.

Si se va a comparar el comportamiento de una variable en dos o más poblaciones distintas, pero

solo se tiene muestras representativas de las poblaciones, entonces es conveniente usar la

frecuencia relativa.

Si se va a comparar el comportamiento de una variable en dos o más poblaciones y se tiene los datos de las poblaciones, entonces

se puede realizar la comparación por separado de las frecuencias absolutas y de

las relativas.

Si bien es totalmente factible comparar gráficamente dos o más series de datos que han sido agrupados en intervalos

distintos en amplitud y límites, es preferible para facilitar la comparación que todas las series de datos utilicen los

mismos intervalos.

La escala utilizada en los ejes debe mantenerse. El cambio de proporciones

distorsiona el propósito de usar gráficos, el cual

consiste en ver rápidamente la proporción

con que se está distribuyendo la variable.

Si se ha utilizado una escala especial en alguno de los

ejes del diagrama, por ejemplo, escala logarítmica,

esta se debe indicar.

Debe hacer que los valores de la variable abarquen

adecuadamente la longitud de cada eje.

Los excesivos adornos y la inclusión de figuras, muchas veces, en lugar de

aclarar más los diagramas, terminan confundiendo o dificultando su rápida

comprensión.

El uso de algunas figuras en lugar de barras o columnas puede distorsionar visualmente la real proporción de las

magnitudes que se están representando.

El punto de inicio del eje vertical debe empezar con un cero para no

distorsionar la impresión visual respecto de la magnitud.

El cambio de punto de inicio distinto de cero debe estar completamente

justificado.

Unidad 1. Organización de Datos 19

Notas importantes

Gráfico de barras

Es una forma de representar datos cualitativos resumidos en una distribución de fre-cuencias.

En uno de los ejes, se representan las categorías o clases de la variable; para el otro eje, se puede usar una escala de frecuencias absolutas, relativas o porcentuales. Se traza una barra sobre cada indicador de clase de una altura proporcional a la frecuencia corres-pondiente.

Las barras deben estar separadas para enfatizar el hecho de que cada clase es diferente de otra.

Diagrama circular

Cuando se utiliza el gráfico circular, también llamado pastel, cada sector circular repre-senta la frecuencia observada de una clase o categoría.

El sector circular que representa a una determinada clase de la variable tiene un ángulo en el centro proporcional a la frecuencia relativa de dicha clase. El ángulo que le corres-ponde a cada clase se obtiene multiplicando 360º por la respectiva frecuencia relativa.

20 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Determinar la composición porcentual de los usuarios según motivo de viaje

Felipe realizó una encuesta a una muestra de 150 pasajeros de la aerolínea, en base a la siguiente información complete la siguiente gráfica.

Complete los siguientes enunciados.

- El motivo de viaje menos frecuente es ______________ por tener el ________ %.

- Para hallar el ángulo en un diagrama circular se multiplica la frecuencia ____________________ por 360° que tiene la circunferencia.

- Son _______ el total de pasajeros cuyo motivo de viaje fue estudios o trabajo.

Frecuencias acumuladas, absolutas relativas y porcentuales

Se tiene que:

ii

frecuencia absoluta acumulada Ffrecuencia relativa acumulada H

número de datos n

100% 100%ii

frecuencia absoluta acumulada Ffrecuencia porcentual acumulada P

número de datos n

20%

34%

10%

20%

10%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

CompetenciaDeportiva

Estudios Retorno a casa Trabajo Turismo Visita Familiar

______________________

Título: _________________________________________

Fuente:_________

Frecuencia acumulada absoluta (Fi)

•de una clase es la cantidad de elementos que pertenecen hasta esa clase

Frecuencia acumulada relativa (Hi)

•de una clase es la proporción de elementos que pertenecen hasta esa clase

Frecuencia acumulada porcentual (Pi)

•de una clase es la frecuencia acumulada relativa multiplicada por 100%

Unidad 1. Organización de Datos 21

Notas importantes

“pocos factores son vitales y muchos son triviales”.

lo que se podría

resumir como

pocos factores pueden

producir la mayoría de las consecuencias,

El diagrama de Pareto permite

ver que, en muchos casos,

Diagrama de Pareto

El diagrama de Pareto, también llamado curva 80%-20%, es una gráfica para organizar datos de forma que queden en orden descendente, de izquierda a derecha.

Permite asignar un orden de prioridades, afirmando que en todo grupo de factores que contribuyen a un mismo efecto, unos po-cos son responsables de la mayor parte de dicho efecto.

Por ejemplo, en control de calidad, se puede mostrar que la mayoría de los defectos surgen de un número pe-queño de causas.

En 1909 el economista y sociólogo Vilfredo Pareto (1848 – 1923) publicó su estudio sobre la riqueza: “El 80% de la riqueza se concentra en el 20% de la población”.

En base al principio de Pareto, el diagrama fue creado por el estadístico Joseph Juran (1904 – 2008) para sus trabajos sobre control de calidad. La curva de la frecuencia acu-mulada fue agregada por el economista Max Lorenz (1876 – 1959).

Los pasos para realizar un gráfico de Pareto son los siguientes:

Construya la distribución de frecuencias, ordenando las categorías en forma descendente respecto de la

frecuencia.

La categoría “Otros” es colocada en la última posición. No importa cuán

grande sea.

Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

En el eje vertical derecho, marque este eje con una escala de 0% a 100%.

En el eje vertical izquierdo, marque una escala de 0 hasta el número total de observaciones o de 0% a 100%.

En el eje horizontal: marque los espacios donde estarán dibujadas las

barras para cada una de las categorías, incluida la categoría “Otros”.

Elabore el diagrama de barras y dibuje la línea de frecuencias acumuladas

(Curva de Pareto)

22 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejemplo 7

El gerente de producción de una empresa, que produce asientos de fibra de vidrio, quie-re identificar los problemas más frecuentes reportados en la fabricación de este produc-to, y planear soluciones de acuerdo con la recurrencia del problema. Al extraer una muestra aleatoria de productos fallados, obtuvo los siguientes resultados:

Distribución de productos según problemas reportados de asientos de fibra de vidrio

Tipo de problema reportado Número de ocurrencias (fi)

Color inadecuado 28

Forma no simétrica 16

Medidas fuera de norma 50

Superficie rugosa 71

Bordes afilados 9

Desprendimiento de capa protectora 12

Otros 14 Fuente: Gerencia de Producción

Elabore el diagrama de Pareto.

Solución

Lo primero es ordenar los datos en orden descendente a la frecuencia fi. La categoría Otros va al final. Luego, se calcula las frecuencias relativas y las relativas acumuladas.

Distribución de productos según problemas reportados de asientos de fibra de vidrio

Tipo de problema reportado fi hi Fi Hi

Superficie rugosa 71 0,355 71 0,355

Medidas fuera de norma 50 0,250 121 0,605

Color inadecuado 28 0,140 149 0,745

Forma no simétrica 16 0,080 165 0,825

Desprendimiento de capa protectora 12 0,060 177 0,885

Bordes afilados 9 0,045 186 0,930

Otros 14 0,070 200 1,000 Fuente: Gerencia de Producción

Se puede realizar el gráfico usando las frecuencias relativas hi y las frecuencias relativas acumuladas Hi.

Distribución de productos según problemas reportados de asientos de fibra de vidrio

Unidad 1. Organización de Datos 23

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Identificar las principales quejas de los pasajeros sobre el servicio que brinda la aerolínea.

Teniendo en cuenta la siguiente información, elabore el diagrama de Pareto:

Distribución de pasajeros según principal queja del servicio de la aerolínea

Principal queja fi

Impuntualidad 10

La comida no es buena 60

Mala información 19

Mucho tiempo en cola 51

Otros 7

Personal poco amable 3

Fuente: Wayra S.A

Construya la tabla completa para realizar un diagrama de Pareto.

Distribución de pasajeros según principal queja del servicio de la aerolínea

Principal queja fi hi Fi Hi

Fuente: Wayra S.A

Construya el gráfico completo y realice una conclusión al respecto.

24 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.6. Tabulaciones cruzadas

También llamadas tablas de contingencia o de doble entrada. Se usan para resumir de manera simultánea los datos para dos variables.

Ejercicio 7

En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-formática se preguntó a las peruanas de 12 a más años por la cantidad de hijos que han tenido vivos, obteniéndose los siguientes resultados.

Perú. Distribución de madres según edad de la madre y número de hijos nacidos vivos

Número total de hijos/a que ha tenido nacidos vivos

Edad de la madre Cero hijos Un hijo Dos hijos Tres hijos Cuatro hijos Total

12 años 298,985 1,028 300,013

13 años 284,650 1,162 285,812

14 años 285,732 1,638 734 288,104

15 años 283,045 4,909 994 288,948

16 años 247,888 12,358 922 576 261,744

17 años 231,839 24,243 2,280 636 258,998

18 años 216,999 38,938 5,089 586 481 262,093

19 años 193,952 52,797 9,273 1,118 496 257,636

Total 2,043,090 137,073 19,292 2,916 977 2,203,348

Fuente: INEI - Censos Nacionales 2007: XI de Población y VI de Vivienda

Rellene los espacios en blanco.

El número de peruanas menores de 16 años que han tenido hijos es …………………

El ………….…….% de las mujeres peruanas de 18 años ha tenido hijos.

Gráfico de barras agrupadas

Un gráfico de barras agrupadas muestra todas las series en una sola barra por cada ca-tegoría. El alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada categoría.

Unidad 1. Organización de Datos 25

Notas importantes

Gráfico de barras apiladas

Un gráfico de barras apiladas muestra todas las series apiladas en una sola barra para cada categoría. El alto de cada barra es proporcional a la frecuencia de cada categoría.

Gráfico de barras apiladas al 100%

Un gráfico de barras apiladas 100% muestra todas las series apiladas en una sola barra para cada categoría. El alto de cada barra es el mismo para cada categoría.

26 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Identificar el porcentaje de pasajeros que siendo de nacionalidad peruana via-jan al extranjero y porcentaje de pasajeros que siendo de nacionalidad extranjera viajan al interior de nuestro país.

A continuación, se muestra la información de una tabla de contingencia y un gráfico in-completo para las variables lugar de destino y nacionalidad.

Distribución de pasajeros según su lugar de destino y nacionalidad

Lugar de destino Nacionalidad

Total Peruana Extranjero

Arequipa 8 8 16

Cuzco 15 20 35

Miami 20 10 30

México D.F 22 10 32

Piura 2 7 9

Río de Janeiro 23 5 28

Total 90 60 150

Fuente: Wayra S.A

Complete todos los elementos del siguiente gráfico.

Distribución de pasajeros según su lugar de destino y nacionalidad

Usando la información pertinente, de respuesta al objetivo propuesto

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

Arequipa Cuzco Miami México D.F Piura Río deJaneiro

Peruano

Extranjero

Unidad 1. Organización de Datos 27

Notas importantes

Complete todos los elementos del siguiente gráfico.

50.0%

33.3% 31.3%

77.8%

17.9%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Arequipa Cuzco Miami MéxicoD.F

Piura Río deJaneiro

Extranjero

Peruana

8.9% 13.3%

16.7%

22.2%

24.4%

2.2%

25.6%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Peruana Extranjero

Río de Janeiro

Piura

México D.F

Miami

Cuzco

Arequipa

28 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.7. Resumen de datos cuantitativos

Distribución de frecuencias de variables discretas

Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada valor de la variable el número de elementos (frecuencia) que la componen. Es un cuadro que se calcula de la siguiente manera.

Título: ……………………………………………………………….……

Valores de la variable discreta

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Frecuencia absolu-ta acumulada Fi

Frecuencia relati-va acumulada Hi

x1 f1 11

fh

n 1 1F f 1 1H h

x2 f2 22

fh

n 2 2 1F f F 2 2 1H h H

… … … … …

xk fk k

k

fh

n 1k k kF f F 1k k kH h H

Fuente: ……………………………..

Gráfico de bastones

En este caso, la variable se ubica en el eje de las abscisas y las frecuencias, absolutas, re-lativas o porcentuales, en el eje ordenado.

576,215

119,642

58,315 18,748 9,908 81 32 22 7

0

100,000

200,000

300,000

400,000

500,000

600,000

700,000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nú

me

ro d

e a

lum

no

s

Número de veces que postuló

Distribución de alumnos de pregrado según número de veces que postuló a la universidad donde estudia

Fuente: PERÚ, II Censo Nacional Universitario 2010. INEI

Unidad 1. Organización de Datos 29

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Determinar el número de viajes más frecuente realizados por los pasajeros.

Complete los valores de la tabla.

Realice el gráfico de bastones.

Responda al objetivo.

Para Fiestas Patrias, la empresa está dispuesta a realizar una promoción en los pasajes de su aerolínea siempre y cuando el porcentaje de pasajeros que hayan realizado como mínimo cuatro viajes supere el 70%. ¿La empresa debe realizar una promoción en los pasajes para Fiestas Patrias para este grupo de pasajeros?

Título: ……………………………………………………………………………………………………………

Número de viajes Número de pasajeros pi Pi

1 15

2

12%

3

38%

4 30

5

150

Fuente: ……………………………………………….

Número de viajes

30 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

La regla de Sturges la propuso Herbert

Sturges (1926). La fórmula trata de que el histograma resul-

tante se aproxime a la distribución normal.

Distribución de frecuencias de variables continuas

Es un resumen de un conjunto de datos que consiste en presentar para cada categoría el número de elementos (frecuencia) que la componen.

Los tres pasos necesarios para definir en una distribución de frecuencias con datos cuan-titativos son los siguientes:

Cantidad de clases

Se recomienda usar entre 5 y 20 clases, inclusive.

La idea es emplear suficientes clases para mostrar la varia-ción de los datos, pero no tantas que varias contendrían unos cuantos elementos.

Para determinar el número de clases se usa la regla de Stur-ges. k=1+3,322 log n. Si la estimación tiene decimales, se to-ma el entero más próximo.

Amplitud de cada clase

Se usa el mismo ancho para todas las clases.

Se calcula de la siguiente manera:

rangoAmplitud

k

La amplitud se redondea al número inmediato superior de acuerdo con la cantidad de decimales que tienen los datos o según la precisión con que se desea trabajar.

Límites de cada clase

Los límites de clase se escogen de tal manera que cada valor de dato pertenezca a una clase y sólo a una.

El límite inferior de clase es el valor mínimo posible de los datos que se asigna a la clase. El límite superior de clase es el valor máximo posible de los datos que se asigna a la cla-se.

La marca de clase es el punto medio de los límites de cada intervalo.

Determine la cantidad

de clases

Determine el ancho

de cada clase

Determine los límites

de cada clase

Unidad 1. Organización de Datos 31

Notas importantes

Ejemplo 8

El jefe de la Oficina de Rentas de una Municipalidad ha realizado un estudio sobre los impuestos que pagan los vecinos del distrito. La tabla muestra los pagos de impuestos, en soles, en el 2014 de 48 viviendas elegidas al azar.

145,1 216,3 252,5 303,6 196,9 234,8 265,2 317,2 206,5 242,9 289,1 331,7

151,0 225,9 257,1 305,8 202,6 238,4 271,0 320,2 208,0 244,0 291,0 344,6

159,0 227,1 259,2 315,4 204,9 239,9 286,7 324,8 208,0 247,7 291,9 346,7

195,6 231,2 262,5 315,5 206,1 241,1 288,1 331,1 209,3 249,5 294,5 351,1

Elabore la tabla de frecuencias para la variable: pago por impuestos municipales año 2014.

Solución

El rango r se calcula con:

r = valor máximo – valor mínimo = 351,1 – 145, 1 = 206

Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:

10 101 3,322log 1 3,322log (48) 6,585 7k n

El ancho del intervalo es:

20629,429 29,5

7

rw

k (Redondeo por exceso a un decimal)

Distribución de frecuencias del pago de impuestos municipales del año 2014

Pago de impuestos Marca de clase fi hi Fi Hi

[145,1 ; 174,6] 159,85 3 0,0625 3 0,0625

]174,6 ; 204,1] 189,35 3 0,0625 6 0,1250

]204,1 ; 233,6] 218,85 10 0,2084 16 0,3334

]233,6 ; 263,1] 248,35 12 0,2500 28 0,5834

]263,1 ; 292,6] 277,85 7 0,1458 35 0,7292

]292,6 ; 322,1] 307,35 7 0,1458 42 0,8750

]322,1 ; 351,6] 336,85 6 0,1250 48 1,0000

Total 48 1,0000

32 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Determinar el número de pasajeros que exceden el peso de equipaje de mano.

Se seleccionó una muestra al azar de pasajeros de la aerolínea Wayra que viajaron a di-ferentes destinos turísticos.

Peso del equipaje de mano por pasajeros, en kilogramos

4,2 4,6 4,9 5,7 5,9 7,3 7,3 7,5 7,5 7,5

7,6 7,7 7,9 8,0 8,0 8,1 8,3 8,4 8,4 8,5

8,6 8,8 8,9 9,0 9,0 9,1 9,4 9,4 9,4 9,5

9,7 9,7 9,7 9,8 9,8 9,9 9,9 9,9 9,9 10,0

10,5 10,6 10,7 11,0 11,5 12,0 12,0 12,3 12,4 12,7

Construya la tabla de frecuencia utilizando el método de Sturges.

El valor máximo es …………………..………………….

El valor mínimo es …………………..………………….

Luego, el rango es …………………..………………….

Siguiendo la regla de Sturges, la cantidad de intervalos es igual a k = 1 + 3,322 log(……….)

esto es igual a …………………..………………….

Como, la cantidad de intervalos es un número entero, entonces k = ……………….

La amplitud es igual al rango entre la cantidad de intervalos, esto es, w = ……………………..

El valor de la amplitud se redondea por exceso a ……………………… decimal(es), pues los

datos tienen ………………… decimal(es), entonces la amplitud (w) es ………………………………

Título: …………………………………………………………………………………………………………………….

Intervalo Marca de

clase

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Frecuencia absoluta acumulada Fi

Frecuencia relati-va acumulada Hi

Fuente: ………………………………..……………………………………

Unidad 1. Organización de Datos 33

Notas importantes

Indique e interprete el valor de las siguientes frecuencias para la distribución de fre-cuencias anterior.

f3

F2

H4

Si el peso máximo permitido en equipaje de mano por persona es de 10 kg y el pago por cada kilo o fracción adicional es de tres dólares. ¿Cuál fue el monto total de dinero que recibió la compañía Wayra por exceso de peso de equipaje de mano?

Distribuciones de frecuencias de dos o más grupos de datos con intervalos co-munes

La idea básica para distribuciones de frecuencias de dos o más grupos de datos es tener intervalos comunes, es decir, que los límites de los intervalos para ambas distribuciones sean iguales. Para ello, debemos seguir los siguientes pasos:

Hallar el mínimo de todos los datos y el máximo de todos los grupos de datos, y usarlos para calcular el rango.

Calcular el número de categorías, el número de datos es el máximo número de datos de cada grupo. Tener en cuenta que no es la suma de ambos tamaños muestrales.

Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es

101 3,322logk n

34 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejemplo 9

La empresa de investigación de mercado “Eléctrico” lleva a cabo un estudio para obte-ner indicadores que le permitan inferir respecto al consumo de energía eléctrica men-sual (medido en kilovatios, redondeado al entero más próximo) de las familias en los departamentos de Arequipa y Tacna. Dicho estudio, sustentado en el análisis de mues-tras aleatorias tomadas en ambos departamentos, arrojó los siguientes resultados:

Arequipa

227 231 261 270 291 351 359 369 371 382 387 392 393 395 396 413 420 422 424 436

453 461 463 471 495 498 510 512 533 534 541 542 584 589 591 628 630 630 657 666

Tacna

217 219 263 287 294 340 346 347 348 377 390 392 395 396 397 408 418 424 426 429

438 438 442 446 447 450 456 481 496 508 511 533 549 583 609 636

Usando la regla de Sturges, calcule intervalos comunes y marcas de clase de una tabla de distribución de frecuencias que permita comparar los datos.

Solución

Hallar el mínimo de todos los datos (217) y el máximo de todos los datos (666) de ambas ciudades, y usarlos para calcular el rango.

Calcular el número de categorías, el número de datos es el máximo número de datos (40) entre ambas ciudades. Tener en cuenta que no es la suma de ambos tamaños muestrales.

Siguiendo la regla de Sturges, el número de intervalos es:

10 101 3,322log 1 3,322log (40) 6,322 6k n (Redondeo simple)

Tabla 1. Distribución de clientes según consumo eléctrico

Consumo de energía Marca de clase

217 ; 292 254,5

292 ; 367 329,5

367 ; 442 404,5

442 ; 517 479,5

517 ; 592 554,5

592 ; 667 629,5

Fuente: Empresa A

Unidad 1. Organización de Datos 35

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Comparar la distribución de las horas diarias trabajadas según las horas extras.

El jefe de recursos humanos de la aerolínea Wayra está interesado en analizar el impac-to en los empleados al suprimir las horas extras de trabajo pagadas que anteriormente se aplicaba. Con este fin se extraen dos muestras aleatorias. La primera de 80 emplea-dos tomando de los datos históricos de un día al azar con el sistema anterior y la segun-da de 60 empleados tomando los datos de un día al azar con el sistema vigente. Se muestran las horas de trabajo por día por empleado.

Datos sobre horas diarias trabajadas con y sin horas extras pagadas

Horas diarias trabajadas con horas extras pagadas Horas trabajadas sin horas extras pagadas

6,7 8,9 9,8 10,8 11,2 11,8 12,3 13,2 5,0 8,2 8,5 8,9 9,7 10,8

7,9 8,9 10,1 10,8 11,3 11,9 12,4 13,4 7,0 8,2 8,5 8,9 9,8 11,0

8,0 9,0 10,2 10,9 11,4 12,0 12,4 13,5 7,0 8,2 8,5 8,9 9,9 11,2

8,0 9,1 10,2 11,0 11,4 12,0 12,4 13,6 7,0 8,3 8,6 9,0 9,9 11,6

8,1 9,1 10,3 11,0 11,5 12,1 12,5 13,7 7,0 8,3 8,6 9,1 10,0 11,7

8,1 9,3 10,4 11,0 11,5 12,1 12,5 13,9 7,1 8,3 8,7 9,1 10,0 12,2

8,2 9,4 10,6 11,1 11,5 12,1 12,6 14,6 8,1 8,4 8,7 9,3 10,3 12,5

8,5 9,5 10,6 11,1 11,6 12,2 12,7 14,8 8,2 8,4 8,7 9,4 10,5 12,9

8,6 9,7 10,7 11,1 11,7 12,2 12,9 15,0 8,2 8,4 8,8 9,6 10,5 13,3

8,8 9,7 10,8 11,2 11,7 12,3 13,1 15,5 8,2 8,4 8,8 9,7 10,6 14,0

Fuente: Aerolínea Wayra

Determine los intervalos comunes de las distribuciones de frecuencias que permitan comparar los datos de ambas muestras.

36 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Comparar el exceso de peso del equipaje de los pasajeros según su género.

Se realizó un estudio en el cual, se elaboró bajo una muestra elegida al azar de 40 pasa-jeras y 110 pasajeros, obteniéndose la siguiente gráfica. Además, se considera exceso de peso cuando el pasajero lleva consigo maletas que sobrepasan los 32 kilogramos.

Complete las siguientes afirmaciones, tenga en cuenta que se considera exceso de peso cuando las maletas sobrepasan los 32 kilogramos.

a. El número de pasajeros hombres _______ que llevan consigo maletas que pesan más de 36 kilogramos pero a lo más 40 kilogramos.

b. El _______ % de las pasajeras mujeres lleva consigo maletas que pesan hasta 36 ki-logramos.

c. El _______% de los pasajeros hombres lleva consigo maletas con exceso de peso.

d. El género que presenta un mayor porcentaje de pasajeros con exceso de peso del equipaje es _____________ y representa en __________ % superior con respecto al otro género.

0% 13%

31%

65% 74%

83%

100%

20%

31%

61%

83%

93%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

20 24 28 32 36 40 44

Po

rcen

taje

de

pas

ajer

os

Peso, en kilogramos

Distribución porcentual de los pasajeros según el peso de sus maletas por género

Femenino

Masculino

Fuente: Aerolínea Wayra

Unidad 1. Organización de Datos 37

Notas importantes

1.8. Gráficos de datos cuantitativos

Histograma

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Un ejemplo de histograma es el siguiente gráfico.

Se traza colocando la variable

sobre el eje horizontal y las frecuencias

sobre el eje vertical.

Cada frecuencia de clase se representa trazando un rectángulo, cuya base es el intervalo de clase sobre el eje horizontal

y cuya altura es proporcional a la frecuencia correspondiente (absoluta,

relativa o porcentual).

Los rectángulos adyacentes se tocan entre sí.

38 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Polígono de frecuencias

Un polígono de frecuencias es un gráfico de líneas que une los puntos asociados a las marcas de clase de una variable. La altura del punto asociado a cada marca de clase es proporcional a la frecuencia de dicho valor.

Un ejemplo de polígono de frecuencias es el siguiente gráfico.

Se realiza uniendo con segmentos de recta

los puntos de intersección de las marcas de clase

con las frecuencias (absolutas, relativas o porcentuales).

Los polígonos de frecuencias se cierran creando

dos intervalos ficticios, uno antes del primer intervalo

y uno después del último.

Si los intervalos creados toman valores

que pueden no ser reales, igual se crea el intervalo, como,

ejemplo, tiempos negativos.

Unidad 1. Organización de Datos 39

Notas importantes

Distribuciones acumuladas

La distribución de frecuencias acumuladas muestra la cantidad de elementos con valores menores o iguales al límite superior para cada clase.

Ojiva

La ojiva es la gráfica de una distribución acumulada de frecuencias.

Un ejemplo de ojiva es el siguiente gráfico.

Se obtiene uniendo con segmentos de recta

los puntos de intersección del límite superior de cada intervalo

y la frecuencia acumulada respectiva.

La ojiva usa los líimtes de los intervalos

y no las marcas de clase.

Con la ojiva se puede estimar fácilmente

el número o porcentaje de observaciones

que corresponden a un intervalo determinado.

19.82%

57.62%

84.75%

95.42%

100.00%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

0 4 8 12 16 20

Po

rce

nta

je a

cum

ula

do

Número de años

Distribución porcentual de empleados según el tiempo de servicio

Fuente: Empresa A. Gerencia de RRHH

40 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Determinar el porcentaje de pasajeros que exceden el peso de equipaje de mano.

Grafique el histograma, el polígono de frecuencias y la ojiva con los datos de la muestra.

Use uno de los gráficos para calcular, aproximadamente, porcentaje necesario para re-solver el objetivo.

Unidad 1. Organización de Datos 41

Notas importantes

Ejercicios adicionales de la Unidad 1

1. El objetivo de una investigación es estimar la media, en años, de la edad de los egresados de la UPC. Indique el elemento, una variable a medir y una posible observación.

2. Según el estudio “Rumores de oficina”, el 42% de los ejecutivos limeños considera que los rumores influyen mucho en el clima laboral de la oficina. Indique el elemento, una va-riable a medir y una posible observación.

3. En una investigación, se quiere estimar el promedio del número de asistentes a los con-ciertos de artistas internacionales realizados en Lima durante el año 2014. Indique el elemento, una variable a medir y una posible observación.

4. El objetivo de una investigación en la ciudad de Lima es determinar la ocupabilidad en hoteles de 4 y 5 estrellas en Cusco durante el día de año nuevo del 2013, es decir, el por-centaje de habitaciones ocupadas durante ese día. Indique la población y la muestra.

5. El objetivo de una investigación en el Perú es determinar el promedio de la edad de las mujeres en edad fértil que usan métodos anticonceptivos. Defina la población, muestra, elemento y variable. El INEI considera a la edad fértil en las mujeres desde los 15 hasta los 49 años.

6. Según los Censos Nacionales XI de Población y VI de Vivienda 2007 ejecutados por el INEI, el 50,30% de los peruanos son mujeres. Indique si este dato es un parámetro o un esta-dístico.

7. La nueva lista roja de aves de 2014, confeccionada con datos de BirdLife, muestra que de las 10.425 especies de aves identificadas en el mundo, el 13% están amenazadas de ex-tinción. Estas listas, dice Juan Carlos Atienza, de SEO BirdLife, contribuyen establecer prioridades a la hora de favorecer políticas de conservación y declarar nuevos espacios protegidos. Indique si este valor corresponde a un parámetro o a un estadístico.

8. El gráfico muestra la evolución de la inflación desde el año 1980 al 2013. Indique si el ín-dice de precios al consumidor IPC que obtiene el INEI es un parámetro o un estadístico.

9. Según el estudio “Rumores de oficina” realizado por la empresa Transearch publicado en julio del 2014, el 42% de los ejecutivos limeños considera que los rumores influyen mu-cho en el clima laboral de la oficina. Indique los siguientes conceptos con respecto a di-cho estudio: población, muestra, elemento, variable, estadístico, valor del estadístico. ¿Por qué los encargados del estudio calcularon estadísticos y no parámetros?

42 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

10. El objetivo de una investigación es estimar el porcentaje de peruanos que aprueban la gestión de Ollanta Humala como presidente de la República, para lo cual se tomó una muestra aleatoria de personas de 18 a 70 años y se les preguntó por su opinión. Los re-sultados son los siguientes.

Desaprueba Aprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba

No sabe Aprueba Aprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Aprueba

Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba No sabe Desaprueba

Aprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba

Desaprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba

Aprueba No sabe Desaprueba Desaprueba Aprueba Desaprueba No sabe

Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba

Desaprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba

Aprueba Desaprueba No sabe Aprueba Desaprueba Desaprueba Aprueba

Aprueba Aprueba Aprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba Desaprueba

Construya la distribución de frecuencias de los datos. Interprete los valores f2 y h1.

11. Se tiene como objetivo mostrar la composición porcentual de alumnos universitarios en el Perú por tipo de institución educativa al final de la secubdaria, para lo cual se tomó como referencia los datos del II Censo Universitario 2010 realizado por el INEI, donde se preguntó a los alumnos universitarios por el tipo de institución educativa donde terminaron su educación secundaria. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Tabla. …………………………………….………………………………………………………………………

Tipo de institución fi hi Ángulo

Estatal 256 060 0,5405

Particular 154 275 0,3256

Particular religioso 58 673 0,1238

No escolarizado 4 472 0,0094

Otro 309 0,0007

Total 473 789

Realice un diagrama circular con dichos datos.

12. Observe el siguiente gráfico e indique un posible error.

Unidad 1. Organización de Datos 43

Notas importantes

13. En la publicación Revista Científica-Estudiantil de Ciencias Médicas de Cuba se publicó el artículo “Pancreatitis aguda. Retos y perspectivas” el cual contenía el siguiente gráfico. Observe el gráfico e indique un posible error.

Distribución de pacientes según hábito tóxico

Fuente: Datos tomados de HC del departamento de archivo del HDCQ “10 de Octubre”

Tomado de http://www.16deabril.sld.cu/rev/228/articulo3.html

14. Observe los dos gráficos siguientes e indique la posible diferencia de interpretación entre ambos.

15. En la agencia de viajes A se realizó una encuesta a 330 clientes respecto a las principales quejas que tienen clientes acerca de los tours del tipo todo incluido al exterior. Las cuales se detallan en el siguiente cuadro:

Agencia A. Distribución de clientes según principales quejas de clientes

Queja Número de quejas

Cambio de fecha de los vuelos 120

El hotel no era de la categoría que se veía en el folleto 94

Los hoteles no incluyen bebidas premium 61

La comida de los hoteles no es de calidad excelente 23

Otros 25

Que les venden otros servicios como tiempo compartido 7

Fuente: Dirección de Atención al cliente. Agencia A

Realice el diagrama de Pareto correspondiente a estos datos.

http://www.16deabril.sld.cu/rev/228/articulo3.html

44 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

16. Uno de los objetivos de una investigación en la empresa A es mostrar la composición porcentual del número de cursos de capacitación dadas a sus trabajadores. Los siguien-tes datos muestran el número de capacitaciones que 48 trabajadores han recibido en el presente año.

3 3 1 2 1 1 2 2 1 6 3 1 3 1 3 2

1 1 1 1 3 2 2 4 1 2 2 2 1 3 1 2

3 2 2 3 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 6 2

Complete el cuadro y construya el gráfico de bastones de frecuencias porcentuales para la variable “número de capacitaciones”.

17. El objetivo de una investigación sobre la lúcuma, de la empresa A en el presente mes, es establecer la distribución de su peso para la exportación. La lúcuma es originaria de las regiones tropicales de Sudamérica. Es empleada, sobre todo, en la preparación de dulces, postres y helados. En el siguiente cuadro se muestra el peso, en gramos, de una muestra de 60 frutos.

167 172 173 180 182 182 183 183 183 184 185 186

186 186 187 189 190 191 191 192 193 194 194 194

194 195 195 195 197 197 199 201 201 201 201 201

203 204 205 207 207 207 207 209 210 212 212 213

213 214 218 218 218 219 220 222 223 226 228 232

Realice la tabla de distribución de frecuencias de los datos.

18. La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los salarios, en soles, del último mes de los empleados de la empresa A. Complete la tabla.

Empresa. A. Distribución de trabajadores según salarios, en soles, del último mes

Clase Marca de clase

Frecuencia absoluta fi

Frecuencia relativa hi

Frecuencia abso-luta acumulada

Fi

Frecuencia rela-tiva acumulada

Hi

1200 - 120

- 1 800 300 0,42

- 780

- 150

-

Fuente. Gerencia de Recursos Humanos. Agosto 2014. Empresa A

19. En economía, la prima de riesgo es el sobreprecio que paga un país para financiarse en los mercados en comparación con otros países. De esta forma, cuanto mayor es el riesgo país, más alta será su prima de riesgo. Significa la confianza de los inversores en la solidez de una economía. La prima de riesgo de los países de la Unión Europea se calcula respec-to de Alemania porque se supone que su deuda pública es la que tiene menor riesgo de impago. Para el caso de España, la agencia de calificación de riesgos A ha medido la pri-ma de riesgo durante 50 días desde junio del 2015.

Unidad 1. Organización de Datos 45

Notas importantes

España. Distribución de días según prima de riesgo. Junio y julio del 2015

Prima de riesgo Marca de clase fi hi Fi Hi

[ 120 ; 130 ] 125 1 0,0200 1 0,0200

] 130 ; 140 ] 135 3 0,0600 4 0,0800

] 140 ; 150 ] 145 11 0,2200 15 0,3000

] 150 ; 160 ] 155 14 0,2800 29 0,5800

] 160 ; 170 ] 165 12 0,2400 41 0,8200

] 170 ; 180 ] 175 6 0,1200 47 0,9400

] 180 ; 190 ] 185 3 0,0600 50 1,0000

Fuente: Agencia de Calificación de Riesgos A.

Grafique el histograma de frecuencias relativas, el polígono de frecuencias absolutas y la ojiva de frecuencias relativas.

20. Indique el tipo y escala de medición de las siguientes variables y su escala de medición.

Variable

Número de personas que van a ver una película

Género de una película (drama, comedia, acción, etc.)

Duración de una película

Opinión sobre la película (buena, regular, mala)

21. En el II Censo Nacional Universitario del año 2010 realizado por el INEI se preguntó a los alumnos de todo el Perú por su tipo de universidad y su género. Los datos se muestran en el siguiente cuadro.

Perú. Distribución de alumnos de pregrado por género y tipo de universidad. 2010

Género Pública Privada Total

Mujer 135 082 247 743 382 825

Hombre 174 093 226 052 400 145

Total 309 175 473 795 782 970

Fuente: INEI. II Censo Universitario. 2010

Interprete el valor “135 082” de la tabla.

Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por género y tipo de universidad.

Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por género según tipo de universidad.

Elabore un gráfico comparativo que permita ver la composición porcentual por tipo de universidad según género.

46 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

22. Encuentre todos los errores del siguiente gráfico, realizado a partir de la Encuesta Nacio-nal de Hogares realizada por el Instituto Nacional Estadística e Informática del Perú entre los años 2005 y 2011.

Tomado de http://www.inei.gob.pe/perucifrasHTM/inf-soc/cuadro.asp?cod=3718&name=edu14&ext=gif

23. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación

El valor de un parámetro se puede conocer solamente si se realiza un censo

En un estudio observacional se controlan las variables de interés

Solo las variables cuantitativas continuas pueden toman valores con decimales

Variable es el conjunto de mediciones obtenido de un elemento particular

Para graficar las ojivas se usan las marcas de clase

Con la ojiva se puede estimar el porcentaje de observaciones que corresponde a un intervalo determinado

Para el polígono de frecuencias solamente se usa las frecuencias relativas

Los cuadros de doble entrada usan exclusivamente variables ordinales o nominales.

En un gráfico circular, el ángulo que le corresponde a cada parte se obtiene multiplicando 360º por la respectiva frecuencia absoluta dividida entre la cantidad de datos.

La frecuencia porcentual de una clase es la proporción de elementos que pertenecen a esa clase.

En un gráfico de barras apiladas al 100%, el alto de las barras es igual en cada categoría.

24. Se ha tomado un examen a 100 personas y registrado el tiempo empleado en terminarlo. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones con respecto al gráfico.

http://www.inei.gob.pe/perucifrasHTM/inf-soc/cuadro.asp?cod=3718&name=edu14&ext=gif

Unidad 1. Organización de Datos 47

Notas importantes

Afirmación

El número de personas que tarda 20 minutos o menos es 30

El número de personas que tarda más de 20 pero menos o igual a 70 minutos es 42

El porcentaje de personas que tarda más de 60 minutos es 28%

El porcentaje de personas que tarda 25 minutos o menos es 40%

El porcentaje de personas que tarda 20 minutos es 30%

25. A nivel nacional, se observa que la curva de frecuencia acumulada del ingreso real para el año 2012 se ha desplazado ligeramente hacia la derecha, lo que indica un …………………….. (aumento o decremento) del ingreso en todos los segmentos de la distribución.

26. Loy Toy es una red de librerías, con sucursales en los distritos de Santiago de Surco, San Borja y San Luis. Se ha observado que durante los últimos meses los montos de ventas vienen disminuyendo, por lo que el administrador desea conocer los factores que están originando este problema y le ha encargado a su equipo de trabajo realizar una encuesta entre sus clientes, seleccionados aleatoriamente de cada sucursal.

Entre los clientes que respondieron la pregunta sobre el aspecto que considera deficien-te del local, se tiene:

30 40

72

80

100

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Fre

cue

nci

a ac

um

ula

da

Tiempo (en minutos)

Distribución porcentual de alumnos según el tiempo en resolver un examen

Fuente: Calidad Educativa Universidad A

48 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Distribución de clientes según aspecto que considera deficiente del local

Aspecto deficiente Número de clientes

Local muy pequeño 53

Poco stock de libros 56

Limpieza 10

Otros 12

Pocas ofertas 38

Personal no capacitado 31

Fuente: Loy Toy

Elabore el gráfico de Pareto y realice una conclusión.

Al procesar los datos de 50 clientes del local de San Borja, se obtuvo la siguiente infor-mación:

Número de hijos en edad escolar fi hi

1 a

2 2a

3 12

4 6

5 2

Complete la tabla y responda: - La variable en estudio es ______________________ y su escala es _____________. - El gráfico a usar para esta variable es _______________. - Calcule el valor de interprete f2 y h5.

El siguiente gráfico se ha obtenido a partir de la información brindada por 100 clientes de la sucursal de San Borja y 110 clientes de la sucursal de San Luis.

En base a esta información, complete: - La cantidad de clientes de San Borja que cuentan con un ingreso familiar mensual

superior a 180 soles es: ____________ - En el distrito de ………………….. es mayor el porcentaje de clientes cuyo ingreso fami-

liar mensual es como máximo 220 soles, cuyo valor es …………...clientes de San Borja cuentan con un ingreso familiar superior a 140 hasta 220 soles.

- Presente la tabla comparativa usando intervalos y marcas de clase comunes.

Unidad 2. Medidas descriptivas 49

Notas importantes

Temario Medidas de tendencia central: media aritmética, mediana, moda, media ponderada

Medidas de posición: cuartiles, deciles, percentiles

Medidas de dispersión: varianza, desviación estándar, coeficiente de variación

Medidas de asimetría

Diagramas de cajas

Unidad 2: Medidas descriptivas

Al finalizar la unidad 2,

el estudiante analiza el comportamiento de datos reales

aplicando las medidas de resumen de datos,

utilizando el programa MS Excel 2010.

Logro de la unidad 2

50 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Datos simples y datos agrupados

Ejemplo de datos simples

10,6 14,5 17,2 12,8 13,6 11,6 11,3 13,0 13,5 10,8 13,9 14,2 15,3 14,3 14,3 14,3

11,8 16,1 16,8 18,8 14,8 14,0 16,4 14,2 16,5 12,1 13,3 12,0 14,3 14,9 15,1 14,4

Ejemplo de datos agrupados por intervalos

Empresa A. Distribución de obreros según descuentos en su planilla en el presente mes

Descuentos, en soles Marca de

clase fi hi Fi Hi

[204,1 ; 233,6] 218,85 16 0,2084 16 0,3334

]233,6 ; 263,1] 248,35 12 0,2500 28 0,5834

]263,1 ; 292,6] 277,85 7 0,1458 35 0,7292

]292,6 ; 322,1] 307,35 7 0,1458 42 0,8750

]322,1;351,6] 336,85 6 0,1250 48 1,0000

Total 48 1,0000

Fuente: RRHH Empresa A

Ejercicio 8

Luego de una investigación se tiene muchos datos, con ellos se puede realizar algunos gráficos y distribuciones de frecuencias, pero ¿cómo resumir alguna característica de la información en un solo número?

Datos simples

•Se denomina datos simples (datos no agrupados) a los valores que no están agrupados en distribuciones de frecuencia.

Datos agrupados

•Se denomina datos agrupados a los valores que están agrupados en distribuciones de frecuencia.

Si se tienen datos simples no se construye la distribución de frecuencias para calcular la media, la mediana o cualquier estadístico,

se prefiere el cálculo con los datos simples.

Unidad 2. Medidas descriptivas 51

Notas importantes

1.1. Medidas de tendencia central

Una medida de localización o de tendencia central se refiere al valor central que repre-senta a los datos de una determinada variable.

Media

La media aritmética (media o promedio) de un conjunto de valores de una variable es la suma de dichos valores dividida entre el número de valores.

52 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Cálculo de la media aritmética

La fórmula para la media poblacional es

1

N

ii

x

N

Las fórmulas para la media muestral son:

Caso Aerolínea Wayra

A una muestra de tripulantes de la aerolínea Wayra se les preguntó el tiempo, en años, que venían trabajando en Wayra. Calcule e interprete la media muestral.

4 5 7 2 3,5 5 2 0,5 6 7 1 2

Si la media muestral es mayor a 3,5 años, se implementará un programa de incentivo para que los tripulantes postulen a ascensos. Indique lo que hará la compañía

Unidad 2. Medidas descriptivas 53

Notas importantes

A una muestra de viajeros frecuentes se les preguntó por el número de veces que viajó con Wayra en el último mes. Calcule e interprete la media muestral.

Distribución de viajeros frecuentes según el número de veces que viajó en el último mes

Número de veces fi

1 71

2 133

3 346

4 85

6 15

Fuente: Wayra

A una muestra de 500 pasajeros premium se les preguntó por la cantidad de dinero que estarían dispuestos a pagar por un menú gourmet durante un vuelo nacional. Los datos se muestran a continuación.

Distribución de viajeros premium según lo que pagarían por menú gourmet en vuelo nacional

Dinero (en soles) Marca de clase fi hi Fi Hi

,

20

0,05

,

225

,

30

0,75

,

Fuente: Wayra

Calcule e interprete la media muestral.

54 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicio 9

Calcule la media de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7

Grupo 2 1 2 3 4 5 6 700

¿Qué nota al calcular la media de cada grupo?

Características de la media

- Se puede calcular para datos medidos en escala de intervalo o razón.

- El cálculo de la media es sencillo y es una medida muy conocida.

- El valor de la media es sensible a los valores extremos, por lo que varía mucho con valores muy grandes o muy pequeños con respecto a los demás.

- Si cada uno de los n valores xi es transformado en: yi = a xi + b, siendo a y b constan-tes, entonces, la media de los n valores yi es:

y ax b

Caso Aerolínea Wayra

La empresa Wayra ha decidido hacer dos ofertas a su sindicato sobre el aumento de sueldo anual a sus trabajadores:

- Aumento general del 5%.

- Aumento del 2% más un bono de 200 soles.

Si el sueldo promedio es de 4100 soles, ¿cuál de las dos ofertas debe aceptar el sindicato si lo que desea es hacer máximo el sueldo medio de los trabajadores

Unidad 2. Medidas descriptivas 55

Notas importantes

Mediana

La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a di-cho conjunto.

Ejercicio 10

Interprete alguna de las siguientes medianas.

56 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Cálculo de la mediana

Caso Aerolínea Wayra

A una muestra de pasajeros se les registró el tiempo, en minutos, que demoraron en la cola hasta ser atendidos en los counters del aeropuerto. Los datos se muestran en la ta-bla siguiente. Calcule e interprete la mediana muestral.

8 20 15 14 20 10 5 14 13 16 17 14 8 25

Si la mediana es mayor a 15 minutos se aumentará la cantidad de personas en los coun-ters de atención del aeropuerto. Indique lo que hará la compañía.

Unidad 2. Medidas descriptivas 57

Notas importantes

De una muestra de 50 vuelos, se ha registrado el número de personas que pierden su vuelo por presentarse tarde al counter del aeropuerto. Los datos se muestran a conti-nuación.

Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….

Número de pasajeros fi hi%

0 10

1 17

2 13

3 7

5 3

Fuente: Wayra

Calcule e interprete la mediana muestral.

De una muestra de 600 pasajeros que habían realizado compras en el duty free durante el vuelo, se registró la cantidad de dinero, en dólares, que habían gastado. Los datos se muestran a continuación.

Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….

Dinero (en dólares) Marca de clase fi hi Fi Hi

0 ,

162

, 70 240

,

143

,

Fuente: Wayra

Calcule e interprete la mediana muestral.

58 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicio 11

Calcule la mediana de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 10 11 12 13 14 15 16

Grupo 2 10 11 12 13 14 15 700

¿Qué concluye al calcular la mediana de cada grupo?

Características de la mediana

- Se puede calcular para variables medidas en escala de ordinal, intervalo o razón.

- La mediana no se ve afectada por valores extremos, por lo que se prefiere como medida de tendencia central cuando hay datos extremos o la distribución de fre-cuencias no es simétrica.

Unidad 2. Medidas descriptivas 59

Notas importantes

Moda

La moda de un conjunto de datos observados de una variable es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Ejercicio 12

Interprete alguna de las siguientes modas.

60 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Cálculo de la moda

Para datos en distribuciones de frecuencia por intervalo, - si la moda está en el primer intervalo, entonces d1 es igual a la primera frecuencia

- si la moda está en el último intervalo, entonces d2 es igual a la última frecuencia.

Caso Aerolínea Wayra

A una muestra de pasajeros de clase económica se les preguntó si pagarían un suple-mento de diez dólares por estar en las primeras filas de la clase económica en un vuelo nacional. Los datos se muestran en la tabla siguiente. Calcule e interprete la moda muestral.

No No Sí No No Sí No Sí Sí Sí No No No Sí

Sí No Sí Sí No Sí No No No Sí Sí No Sí Sí

Si la moda es “Sí” se implementará esta opción. Indique lo que hará la compañía.

Unidad 2. Medidas descriptivas 61

Notas importantes

De una muestra de 500 vuelos de Wayra, se ha registrado el número de personas por vuelo que han tenido problemas de salud. Los datos se muestran a continuación.

Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….

Número de pasajeros fi

0 310

1 146

2 33

3 7

4

Fuente: Wayra

Calcule e interprete la moda muestral.

De una muestra de 600 pasajeros se registró la cantidad de tiempo de anticipación, en días, con la que los pasajeros compran sus vuelos internacionales. Los datos se muestran a continuación.

Distribución de …………………………………………………………………………………………………………………….

Tiempo de anticipación (en días) Marca de clase fi hi Fi Hi

0 , 25 13 154 0,26 154 0,26

25 , 50 38 240 0,40 394 0,66

50 , 75 63 157 0,26 551 0,92

75 , 100 88 49 0,08 600 1,00

Fuente: Wayra

Calcule e interprete la moda muestral.

62 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicio 13

Calcule la moda de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 1 2 3 3 4 4 5

Grupo 2 1 2 3 3 4 4 500

¿Qué concluye al calcular la moda?

Características de la moda

- La moda se puede calcular para cualquier escala de medición.

- El valor de la moda no se ve afectada por valores extremos.

- La moda no siempre es un valor único. Una serie de datos puede tener dos modas (bimodal) o más modas (multimodal). Algunas series de datos no tienen moda.

Media ponderada

Permite calcular el valor medio considerando la importancia o peso de cada valor sobre el total.

Cálculo de la media ponderada

La fórmula es:

1

n

i ii

ww n

ii

x w

x

w

donde:

xi: Observación individual wi: Peso asignado a cada observación

Ejercicio 14

Las notas de un alumno de Estadística Descriptiva son:

PC1 PC2 Promedio de laboratorios

Promedio de controles

Examen parcial

Examen final

Trabajo final

15 14 13 15 13 9 15

Si las prácticas pesan ………………………………..…………..…………………………de la nota final, los

laboratorios ………………………………………., los controles ……………………………………, el examen

parcial …….……………, el examen final …………………y el trabajo final………………. ¿cuál es el

promedio final del alumno?

Unidad 2. Medidas descriptivas 63

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Comparar la media de los precios de pasajes por tipo de cliente.

Distribución de pasajeros según precio de pasajes, en dólares, por tipo de cliente

Precios de pasajes

Marca de clase

hi% Grupos

hi% Ocasional

hi% Premium

hi% Viajero frecuente

0 176 88 50,0% 43,5% 39,4% 52,9%

176 352 264 12,5% 13,0% 21,2% 13,7%

352 528 440 0,0% 9,8% 18,2% 0,0%

528 704 616 37,5% 9,8% 18,2% 33,3%

704 880 792 0,0% 13,0% 3,0% 0,0%

880 1056 968 0,0% 7,6% 0,0% 0,0%

1056 1232 1144 0,0% 2,2% 0,0% 0,0%

1232 1408 1320 0,0% 1,1% 0,0% 0,0%

Fuente Aerolínea Wayra S.A.

Wayra lanzará una campaña de marketing a los dos tipos de clientes con los precios me-dios de pasajes más altos. Indique los tipos de clientes a los que lanzará la campaña.

Objetivo: Establecer el costo medio de una campaña de fidelización de clientes.

Wayra lanzará una campaña de fidelización de clientes y rebajará 15% los precios de los pasajes a Miami. Si la media del precio de estos pasajes es 740 dólares. Indique el nuevo precio medio.

Wayra lanzará una campaña de fidelización de clientes y rebajará 10 dólares los precios de los pasajes a Cusco. Si la media del precio de estos pasajes es 105 dólares. Indique el nuevo precio medio.

64 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Objetivo. Analizar un reclamo de clientes Premium sobre el precio excesivo de pasajes.

Los clientes tipo Premium han expresado su malestar por las altas tarifas en los precios de los pasajes que pagan. Por ello, la empresa desea conocer cuál es el precio mínimo de los pasajes más costosos que paga la mitad de clientes Premium, con el fin de revisar un porcentaje de descuento en su próximo viaje ¿Cuál es este precio mínimo?

Objetivo. Lanzar una campaña para los clientes de tipo grupos.

La empresa desea lanzar una campaña de marketing directo a los clientes de tipo grupos considerando el precio de pasaje más frecuente que suelen pagar. ¿Cuál es ese precio?

Unidad 2. Medidas descriptivas 65

Notas importantes

1.2. Cuantiles

Los cuantiles son valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos, que comprenden el mismo número de valores. Los más usados son:

- cuartiles, que dividen a la distribución en cuatro partes,

- deciles, que dividen a la distribución en diez partes,

- percentiles, que dividen a la distribución en cien partes.

Deciles

Un decil se refiere a cada uno de los nueve valores que dividen un grupo de datos (clasi-ficados con una relación de orden) en diez partes iguales, de manera que cada parte re-presenta un décimo de la población.

Ejercicio 15

El siguiente gráfico muestra la evolución del ingreso real promedio per cápita en el Perú del año 2013 al 2014. ¿Qué grupo mejoró porcentualmente más sus ingresos, las perso-nas con menores o con mayores ingresos?

66 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Percentil

El percentil k-ésimo Pk es un valor tal que por lo menos k por ciento de las observaciones son menores o iguales que este valor.

Ejercicio 16

Interprete alguno de los siguientes percentiles.

Unidad 2. Medidas descriptivas 67

Notas importantes

Cálculo del percentil

Ejercicio 17

Calcule el percentil 75 de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 10 12 13 14 15 16 17

Grupo 2 10 12 13 14 15 16 17 700

¿Qué concluye al calcular dicho percentil?

Características de los percentiles

- Se puede calcular en variables medidas en escala ordinal, de intervalo y razón.

- El valor del percentil no se ve afectado por valores extremos.

68 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo. Analizar un reclamo de clientes Premium sobre el precio excesivo de pasajes.

Distribución de pasajeros según precio de pasajes de clientes Premium, en dólares

Precios de pasajes Marca de clase fi hi% Fi Hi%

0 176 88 394 39,4% 394 39,40%

176 352 264 212 21,2% 606 60,60%

352 528 440 182 18,2% 182 78,80%

528 704 616 182 18,2% 182 97,00%

704 880 792 30 3,0% 30 100,00%

Fuente Aerolínea Wayra S.A.

Calcule el precio máximo de un pasaje para estar en el 15% de los pasajes más baratos.

Calcule el precio mínimo de un pasaje para estar en el 25% de los pasajes más caros.

Calcule el porcentaje de clientes que pagó como máximo 500 dólares.

Unidad 2. Medidas descriptivas 69

Notas importantes

Ejemplo 10

La siguiente tabla corresponde a la distribución de frecuencias de los 200 trabajadores de la empresa A según salario, en soles, del último mes.

Distribución de empleados según salario del último mes

Salario (en soles) fi hi Fi Hi

450 - 650 32 0,160 32 0,160

650 - 850 40 0,200 72 0,360

850 – 1 050 60 0,300 132 0,660

1 050 – 1 250 48 0,240 180 0,900

1 250 – 1 450 20 0,100 200 1,000

Fuente: Empresa A

Calcule el sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados.

Solución

Usando las frecuencias absolutas se tiene:

85 4 1

4

85 200 200 851050 132 1208,33

100 48 100i

w nP L F

f

soles

Usando las frecuencias relativas se tiene:

85 4 1

4

85 200 851050 0,66 1208,33

100 0,24 100i

wP L H

h

soles

El sueldo mínimo para estar en el 15% de los trabajadores mejores pagados es S/.1208,33.

70 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.3. Medidas de variabilidad

Con las medidas de tendencia central es posible determinar el valor central de una

distribución, pero no indican qué tan cercanos o lejanos están los datos de dicho

valor central.

Las medidas de variabilidad indican cuán alejados están los valores de una variable

del valor que los representa y, por lo tanto, permiten evaluar la confiabilidad de ese

valor central.

Si la medida de dispersión:

- tiene un valor pequeño, los datos están concentrados alrededor de la medida de tendencia central,

- tiene un valor grande, los datos no están concentrados alrededor de la medida de tendencia central.

Unidad 2. Medidas descriptivas 71

Notas importantes

Varianza

La varianza es el promedio de los cuadrados de la diferencia de cada dato con la media.

Las unidades de la varianza son las unidades de los datos al cuadrado.

Cálculo de la varianza

La fórmula para la varianza poblacional es

2

2 1

N

ii

x

N

La fórmula para la varianza muestral es

Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

La desviación estándar poblacional se denota por y la muestral por s.

Ejercicio 18

Calcule la desviación estándar de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7

Grupo 2 1 2 3 4 5 6 700

¿Qué concluye al calcular dicha medida de dispersión?

72 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Características de la varianza y la desviación estándar

- La varianza y la desviación estándar se ven afectadas por valores extremos.

- La varianza y la desviación estándar son números reales no negativos.

- Se pueden calcular para variables medidas en escala de intervalo o razón.

- La varianza es expresada en unidades cuadráticas a las unidades de los datos, mien-tras que, la desviación estándar es expresada en las mismas unidades de los datos.

- Si cada uno de los n valores xi es transformado en yi = a xi + b, siendo a y b constan-tes, entonces, la varianza de los n valores yi es:

2 2 2Y Xs a s sY = a sX

Ejercicio 19

Calcule la desviación estándar de los siguientes grupos de números.

Grupo 1 1 2 3 4 5 6 7

Grupo 2 1 001 1 002 1 003 1 004 1 005 1 006 1007

¿Qué concluye al calcular dicha medida de dispersión?

Coeficiente de variación

El coeficiente de variación (CV) de un conjunto de datos indica lo grande que es la des-viación estándar en comparación con la media.

Cálculo del coeficiente de variación

La fórmula para el coeficiente de variación poblacional es 100%CV

La fórmula para el coeficiente de variación muestral es 100%s

CVx

Características del coeficiente de variación

- El coeficiente de variación se calcula en variables medidas en escala de razón.

- Se debe calcular para valores positivos.

Es útil al comparar la variabilidad de dos o más series de datos

que se expresan en distintas o iguales unidades, pero difieren a tal punto que

una comparación directa de las respectivas desviaciones estándar no es

muy útil,

por ejemplo, cuando las medias

están muy distantes.

Unidad 2. Medidas descriptivas 73

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo: Analizar si la compra con promociones genera mayor variabilidad de los tiem-pos de espera en la compra de un pasaje.

Con la siguiente información compare la variabilidad en los tiempos de espera en la compra de un pasaje entre pasajeros que compran con o sin promoción.

Ejemplo 11

Los siguientes datos representan resúmenes del número de mediciones de resistencia de cierto artículo que realizaron dos grupos de técnicos.

Grupo 1: media = 3 y desviación estándar = 1,10

Grupo 2: media = 5 y desviación estándar = 1,66

¿En cuál de los grupos el número de mediciones es más disperso?

Solución

Como los promedios son diferentes, se usa como indicador el coeficiente de variación:

1

1,10100% 36,67%

3CV

2

1,66100% 33,20%

5CV

El número de mediciones es más disperso en el grupo 1.

3.8%

17.5%

36.3%

25.0%

11.3%

1.3% 2.5% 2.5%

20.0%

23.3%

26.7% 30.0%

0.0% 0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5

Po

rce

nta

je d

e p

asaj

ero

s

Tiempos de espera, en minutos

Distribución de pasajeros según tiempos de espera para adquirir un boleto por condición de compra

Sin promoción

Con promoción

Fuente: Aerolínea Wayra S.A.

74 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Rango

El rango (alcance, amplitud o recorrido) de un conjunto de datos observados es la dife-rencia entre el dato mayor y el dato menor.

Cálculo del rango

Rango = R = Xmax - Xmin

donde Xmax y Xmin son los valores máximo y mínimo observados de la variable

Características del rango

- Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón

- Se ve muy afectado por valores extremos.

Rango intercuartil

Es la diferencia entre el tercer y primer cuartil.

Cálculo del rango intercuartil

Rango intercuartil = RIC = Q3 – Q1= P75 – P25

Características del rango intercuartil

- Se puede calcular en variables medidas en escala de intervalo o razón.

- No se ve afectado por valores extremos.

P25

P75

RIC = P75

- P25

50% 25% 25%

Rango = Xmáx

- Xmín

Mínimo valor Máximo valor

Unidad 2. Medidas descriptivas 75

Notas importantes

Ejercicio 20

Calcule la mediana y desviación estándar muestral de los siguientes grupos de datos.

Grupo 1 1 2 3 4 5 8 8 8 8

Grupo 2 2 2 2 2 5 6 7 8 9

En base a sus resultados, ¿qué puede afirmar sobre los datos de cada grupo?

1.4. Medidas de asimetría

Coeficiente de asimetría de Pearson

Mide si los datos aparecen ubicados simétricamente o no respecto de la media.

Cálculo del coeficiente de asimetría de Pearson

El coeficiente de asimetría para datos simples o agrupados se calcula con la siguiente fórmula:

s

MedianaxAs 3

Si el coeficiente de simetría As es:

positivo, indica sesgo a la derecha (cola derecha)

igual a cero la distribución es simétrica

alrededor de la media

negativo indica sesgo a la izquierda (cola izquierda)

76 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.5. Diagrama de cajas

Un diagrama de cajas es una gráfica que describe la distribución de un conjunto de datos tomando como referencia los valores de los cuartiles como medida de posición y el valor del rango intercuartil como medida de referencia de dispersión. Además, nos permite apreciar visualmente el tipo de distribución de los datos (simétrica o asimétrica) y la identificación de valores extremos (datos atípicos).

Dato atípico

Es un dato inusualmente grande o pequeño con respecto a los otros datos. Se considera dato atípi-co a cualquier punto que esté:

- a más de 1,5(RIC) por arriba (o a la derecha) del tercer cuartil

- a más de 1,5(RIC) por debajo (o a la izquierda) del primer cuartil

Pasos para trazar un diagrama de cajas

Se traza un rectángulo con los extremos en el primer y tercer

cuartil

En la caja se traza una recta vertical en el lugar de la

mediana. Así, la línea de la mediana divide los datos en

dos partes iguales

Se ubican los límites mediante el rango intercuartil,

el límite superior está a 1,5 RIC arriba (o a la derecha) de Q3

el límite inferior está a 1,5 RIC debajo (o ala izquierda) de Q1

Se trazan los bigotes desde los extremos de las cajas hasta los

valores mínimo y máximo dentro de los límites inferior y

superior

Se marcan con un asterisco (*) las localizaciones de los valores

atípicos

Unidad 2. Medidas descriptivas 77

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo. Comparar el precio de los pasajes por condición de compra.

Complete el diagrama de cajas con la siguiente información:

Datos de precios de pasajes de clientes que compraron su pasaje con promoción

45 50 55 55 55 160 160 220 220 360 425 700 1150

Estadísticos Con promoción Sin promoción

Percentil 25 67,5

Percentil 50 355,0

Percentil 75 540,0

Rango intercuartil 472,5

Largo máximo del bigote = 1,5 RIC 708,75

Límite inferior = P25 – 1,5 RIC -641;25

Límite superior = P75 + 1,5 RIC 1248,75

Mínimo 45

Máximo 950

La condición de compra que presenta menor mediana en el precio de los pasajes es …….………………….…………. y este valor es ………………………………………………..

La condición de compra que presenta mayor variabilidad en el precio del 50% de los va-lores centrales es …….………………….…………. pues ……………………………………………………………..

La condición de compra que presenta valores atípicos en los precios de los pasajes es ………………..…………. y dichos valores atípicos son ……………………………………………………………..

78 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejemplo 12

Los registros policíacos del distrito A muestran los siguientes números de informes de delitos diarios para una muestra de días durante los meses de invierno y una muestra de días durante los meses de verano.

Invierno 5 5 6 7 7 8 12 14 15 15 17 17 18 18 20 21 21 21 21 22

Verano 5 5 8 8 9 9 10 12 18 20 20 20 24 24 26 27 27 27 28 28

Construya un gráfico que permita comparar, entre invierno y verano, los valores medios, la variabilidad y encontrar los valores atípicos del número de delitos diarios.

Solución

Se debe calcular los percentiles con datos simples. No calcule la distribución de fre-cuencias.

Calculemos los percentiles y los rangos intercuartiles.

Estadísticos Invierno Verano

Percentil 25 7,5 9,0

Percentil 50 16,0 20,0

Percentil 75 20,5 26,5

Rango intercuartil 20,5 – 7,5=13,0 26,5 – 9,0=17,5

Largo máximo del bigote = 1,5 RIC 1,5 x 13 = 19,5 1,5 x 17,5 = 26,25

Límite inferior = P25 – 1,5 RIC 7,5 – 19,5 = -12,0 9,0 – 26,25 = -17,25

Límite superior = P75 + 1,5 RIC 20,5 + 19,5 = 40 26,5 + 26,25 = 52,75

Para el invierno, de acuerdo con los datos, los bigotes llegan como mínimo a 5 y como máximo a 22.

Para el verano, de acuerdo con los datos, los bigotes llegan como mínimo a 5 y como máximo a 28.

No hay valores atípicos, pues ningún está fuera de los límites.

Unidad 2. Medidas descriptivas 79

Notas importantes

Ejercicios de la Unidad 2

1. Los datos siguientes corresponden a la estatura, en metros, de una muestra aleatoria de hombres peruanos de 18 años. Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra.

1,67 1,70 1,83 1,65 1,70 1,65 1,60 1,70 1,61 1,69

2. Los datos siguientes corresponden a la estatura, en metros, de una muestra aleatoria de hombres peruanos de 18 años.

Distribución de una muestra de peruanos de 18 años, según su estatura

Estatura (en metros) fi hi

1,60 50 0,2778

1,63 78 0,4333

1,66 28 0,1556

1,70 14 0,0778

1,75 10 0,0556

Fuente: MINSA

Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra.

3. Los datos siguientes corresponden a la estatura, en metros, de una muestra aleatoria de hombres peruanos de 18 años. Complete la distribución de frecuencias.

Distribución de una muestra de peruanos de 18 años, según su estatura

Estatura (en metros) Marca de clase fi hi Fi Hi

,

155

0,48

,

0,32

,

167

0,95

,

600

Fuente: MINSA

Calcule e interprete la media de la estatura de la muestra. Use las frecuencias absolutas.

4. Una tienda rebaja los precios, en 12%, a toda su línea de casacas. Si la media de los pre-cios de las casacas antes de la rebaja era de 155 soles. Calcule la nueva media de los pre-cios.

5. En una empresa el sueldo medio es 2500 soles. La gerencia, luego de la negociación con el sindicato, decide realizar un aumento del 3,5% y un bono de 150 soles a cada trabaja-dor. Calcule el nuevo sueldo medio.

6. Se registra los tiempos, en minutos, que se demora una cajera en atender a algunos clientes del supermercado A.

5,3 2,7 10,7 8,2 3,0 5,4 5,6 10,2 11,3 2,6 2,6 5,4 3,5 7,0 11,5

Calcule e interprete el valor de la mediana.

80 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

7. En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-formática se preguntó a las madres peruanas que fueron menores de edad cuando nació su primer hijo(a) nacido vivo, obteniéndose los siguientes resultados.

Perú. Distribución de peruanas según edad al nacer su primer hijo(a) vivo. 2007

Edad de la madre fi hi Fi Hi

12 años 6,380 0,0054 6,380 0,0054

13 años 13,840 0,0118 20,220 0,0173

14 años 62,898 0,0537 83,118 0,0710

15 años 210,250 0,1795 293,368 0,2505

16 años 366,822 0,3132 660,190 0,5636

17 años 511,133 0,4364 1,171,323 1,0000

Fuente: PERÚ, INEI. Censos Nacionales 2007

Calcule e interprete la mediana de la variable en estudio.

8. En una ciudad, se tomó una muestra aleatoria de 1000 personas y se les preguntó por su ingreso mensual, en dólares, obteniéndose los siguientes resultados.

Distribución de personas según ingreso mensual

Ingreso (en dólares) Marca de clase fi hi Fi Hi

300

, 700

500 104 0,104 104 0,104

700

, 1 100

900 224 0,224 328 0,328

1 100

, 1 500

1 300 437 0,437 765 0,765

1 500

, 1 900

1 700 151 0,151 916 0,916

1 900

, 2 300

2 100 84 0,084 1000 1,000

Fuente: Empresa A

Calcule e interprete la mediana de la variable en estudio.

9. En la empresa A se tomó un examen de conocimientos sobre los procesos administrati-vos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Distribución de trabajadores según resultados del examen de conocimientos

Puntaje del examen Marca de clase fi hi Fi Hi

20 , 40 30 54 0,3103 54 0,3103

40 , 60 50 60 0,3448 114 0,6552

60 , 80 70 48 0,2759 162 0,9310

80 , 100 90 12 0,0690 174 1,0000

Fuente: Empresa A

Calcule e interprete la moda del puntaje.

10. Complete los siguientes textos:

“La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que divide en dos partes a dicho conjunto. El …………………………………………….. son menores o igual a la mediana.”

“Usar la mediana como medida de tendencia central es preferible a usar la media cuan-do…………………………………………………….………………………”

Unidad 2. Medidas descriptivas 81

Notas importantes

11. Calcule e interprete la moda de los siguientes datos, que corresponden al número de errores ortográficos por correo electrónico que cometen algunos gerentes de una em-presa en una comunicación escrita.

2 2 5 2 3 3 2 3 2 1 2 0 0 1 3 0 3 2 1 2

4 2 1 3 1 1 3 3 3 1 2 4 2 0 1 4 2 2 2 2

12. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación Verdadero Falso

La mediana se puede calcular solo en variables cuantitativas

La media es un valor que siempre está entre el mínimo valor y el máximo valor de los datos

Si se tienen datos simples se construye la distribución de frecuen-cias para calcular la mediana.

La media se puede calcular solo en variables medidas en escala de razón

13. Los siguientes datos corresponden a consumos, en soles, de alumnos en la cafetería de una universidad. Calcule la desviación estándar y la varianza.

3,0 7,5 5,5 12,0 6,5 2,7 2,0 4,5 8,0 4,0 2,5 3,0 1,5 7,0

14. Los datos corresponden a las notas de 327 alumnos en la primera práctica de Estadística Descriptiva del ciclo anterior. Calcule la desviación estándar muestral.

Distribución de alumnos según notas de la primera práctica de Estadística Descriptiva

Nota fi hi Fi Hi

12 110 0,3364 110 0,3364

14 136 0,4159 246 0,7523

15 44 0,1346 290 0,8869

16 37 0,1131 327 1,0000

Fuente: Secretaría Académica. Universidad A

15. Los datos muestran las ventas de 90 vendedores de una empresa en el último mes.

Distribución de vendedores según volumen de venta en el último mes

Ventas, en miles de dólares Marca de clase fi hi Fi Hi

5,0 - 7,8 6,4 13 0,144 13 0,144

7,8 - 10,6 9,2 20 0,222 33 0,367

10,6 - 13,4 12,0 38 0,422 71 0,789

13,4 - 16,2 14,8 19 0,211 90 1,000

Fuente: Empresa A

Calcule la desviación estándar muestral.

82 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

16. En una tienda, la desviación estándar de los precios de los jeans es de 20 soles, calcule la nueva desviación estándar de los precios de los jeans si se realiza:

a. una rebaja del 6% de todos los precios,

b. una oferta y se rebaja ocho soles a cada precio.

17. El siguiente cuadro muestra la distribución de los sueldos mensuales, en soles, de los empleados de las empresas A y B.

Distribución de empleados según salario mensual de las empresas A y B

Sueldos

Empresa A

Marca de clase

fi Sueldos

Empresa B

Marca de clase

fi

[1 500 – 2 500] 2 000 120 [3 000 – 3 500] 3 250 150

]2 500 – 3 500] 3 000 80 ]3 500 – 4 000] 3 750 120

]3 500 – 4 500] 4 000 77 ]4 000 – 4 500] 4 250 45

]4 500 – 5 500] 5 000 63 ]4 500 – 5 000] 4 750 55

Fuente: Empresa A Fuente: Empresa B

¿Cuál de los grupos presenta mayor variabilidad de salarios?

Si en la empresa A hay un aumento de sueldo del 6%, mientras que en la empresa B se da un aumento de sueldo del 4% y una bonificación de 120 soles. Luego de los aumen-tos, ¿qué grupo presenta mayor variabilidad de salarios?

18. Los siguientes datos representan las notas de la primera práctica de alumnos de Estadís-tica Descriptiva. Calcule e interprete el percentil 25 de los siguientes datos.

Distribución de alumnos según notas de la primera práctica de Estadística Descriptiva

xi fi hi Fi Hi

12 5 0,025 5 0,025

13 46 0,230 51 0,255

14 109 0,545 160 0,800

16 40 0,200 200 1,000

Fuente: Secretaría Académica. Universidad A

19. Las notas de un curso de capacitación sobre tributación se muestran en la siguiente dis-tribución de frecuencias.

Distribución de empleados según notas del curso de capacitación. Agosto 2015

Notas Marca de clase fi hi Fi Hi

08 – 10 9 15 0,1056 15 0,1056

10 – 12 11 48 0,3380 63 0,4437

12 – 14 13 60 0,4225 123 0,8662

14 – 16 15 12 0,0845 135 0,9507

16 – 18 17 7 0,0493 142 1,0000

Fuente: Empresa A. Gerencia de RRHH

Unidad 2. Medidas descriptivas 83

Notas importantes

Calcule la nota mínima para estar en el quinto superior.

Calcule la nota máxima para estar en el 10% de las notas más bajas.

Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas menores o iguales a 13.

Calcule el porcentaje de personas que tuvo notas mayores a 12 y menores o iguales a 15,5.

20. Dados los siguientes datos, calcule e interprete el percentil 30 y el percentil 75.

38 45 20 20 10 12 18 28 18 23 11 15 3 5 6 4 3 5 5

21. En el artículo “Estudios españoles de crecimiento 2008. Nuevos patrones antropométri-cos” se muestra el siguiente gráfico:

Tomado de http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1575092208758455

¿Qué significa que para las jóvenes de 18 años el percentil 3 del peso sea 44 kilos?

¿Qué significa que para las jóvenes de 19 años el percentil 50 de la talla es 1,64 metros?

22. El tiempo, en meses, que viene laborando 51 trabajadores en una empresa se registra en la siguiente tabla.

6 7 11 12 13 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 19

19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 21 22

22 22 22 23 23 24 26 26 26 28 29 29 31 41 48 50 60

Calcule el rango y el rango intercuartil de los datos.

84 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

23. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación Verdadero Falso

El percentil 90 es siempre mayor al percentil 10

El cuartil 2 es igual al decil 5

El percentil siempre se expresa en porcentaje

Si todos los pesos son iguales, la media ponderada es igual a la media aritmética

La media ponderada no tiene unidades

24. La siguiente tabla muestra información de los precios del artículo A (en soles) en estable-cimientos elegidos al azar en el distrito de La Molina.

Distribución de establecimientos de la Molina según precios del artículo A

Intervalo de clase

Marca de clase

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Frecuencia abso-luta acumulada

Frecuencia rela-tiva acumulada

– 4

– 0,150

– 0,300 22

– 8,35 8

– 0,900

– 40

Fuente: Indecopi

Complete la tabla anterior si se sabe que el rango intercuartil es 0,8.

25. De datos sacados de la Intranet de la Universidad A, se desea comparar el resultado de la primera práctica de tres horarios de un curso de estadística, para lo cual, se tienen los si-guientes resultados.

H1 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 15 15 16 16 17 18 18 19 19 19 20

H2 4 11 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 15 16 16 17 17 18

H3 9 9 10 10 10 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 15 17

Construya un diagrama de cajas que permita comparar el resultado de los horarios.

Indique el horario con mayor mediana de notas, el horario con mayor rango intercuartil y el horario donde existen valores atípicos.

26. Complete el siguiente texto:

“Los datos atípicos se define como ……………………….……………………………………………………..”

“Se trazan los bigotes desde los … ……………………... de las cajas hasta los valores mínimo y máximo ……………..……………. de los límites inferior y superior.

Unidad 2. Medidas descriptivas 85

Notas importantes

27. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación Verdadero Falso

El coeficiente de asimetría tiene unidades las mismas unidades que los datos

Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta en 10%, el coeficiente de asimetría no varía

Si a cada valor de un grupo de datos se le aumenta 10 unidades, el coeficiente de asimetría no varía

En un diagrama de cajas siempre se puede conocer el máximo y mínimo de un grupo de datos

28. En un examen de Estadística Descriptiva se tomó la siguiente pregunta:

Con la intención de conocer los hábitos y preferencias de los estudiantes acerca de los productos naturales, se contrató los servicios de la consultora Data Mining Today S.A. la cual elaboró una encuesta para el estudio de mercado y se aplicó a 400 estudiantes de diferentes instituciones educativas. Algunos resultados fueron:

- El 70% de los encuestados prefiere consumir productos naturales enlatados. - La fruta más consumida es la manzana, seguida por el plátano y la pera. - El gasto promedio por semana en productos naturales es de 25 soles con una des-

viación estándar de 5 soles. - El 15% de los encuestados gasta más de 28 soles semanales en productos naturales. - El 50% de los encuestados tiene una edad superior a 20 años. - El número promedio de vasos de yogurt consumidos durante la semana es de 6.

En base a esta información indique: (1,5 puntos)

Población

Variable cuantitativa continua

Variable cuantitativa discreta

Variable Nombre del estadístico Valor del estadístico

Tendencia central

Dispersión

Posición

Lo siguiente es la respuesta de un alumno, póngale nota.

Población Los 400 estudiantes de diferentes instituciones educativas

Cuantitativa continua Gasto promedio semanal en productos naturales

Cuantitativa discreta Número promedio de vasos de yogurt consumidos durante

la semana

86 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Variable Nombre del estadístico Valor del estadístico

Tendencia central

Fruta consumida Moda Manzana, plátano y

pera

Dispersión Gasto promedio semanal

en productos naturales

Desviación estándar 5 soles

Posición Tipo de producto prefe-

rido

Percentil 70

29. El salario, en cientos de soles, de los trabajadores una empresa se presenta a continua-ción:

13 12 13 14 15 15 15 18 23 24 24 25 25 36 42 48 60

Calcule el coeficiente de asimetría de Pearson

30. El siguiente cuadro muestra la distribución de los sueldos mensuales de los empleados de las empresas A y B.

Distribución de empleados según de sueldos mensuales en la empresa A y B

Sueldos

Empresa A

Marca de clase

fi Sueldos

Empresa B

Marca de clase

fi

[1 500 – 2 500] 2 000 45 [3 000 – 3 500] 3 250 18

]2 500 – 3 500] 3 000 148 ]3 500 – 4 000] 3 750 70

]3 500 – 4 500] 4 000 60 ]4 000 – 4 500] 4 250 70

]4 500 – 5 500] 5 000 15 ]4 500 – 5 000] 4 750 18

Fuente: Empresa A Fuente: Empresa B

Calcule la asimetría de los dos grupos. Realice una conclusión

31. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación Verdadero Falso

El coeficiente de variación se puede calcular en escalas de in-tervalo y de razón

Si las unidades de los datos son minutos, la varianza se expresa en minutos al cuadrado

El rango intercuartil se ve muy afectado por valores muy gran-des o muy pequeños

El coeficiente de variación tiene las mismas unidades que la varianza

32. Loy Toy es una red de librerías, con sucursales en los distritos de Santiago de Surco, San Borja y San Luis. Se ha observado que durante los últimos meses los montos de ventas vienen disminuyendo, por lo que el administrador desea conocer los factores que están originando este problema y le ha encargado a su equipo de trabajo realizar una encuesta entre sus clientes, seleccionados aleatoriamente de cada sucursal.

Unidad 2. Medidas descriptivas 87

Notas importantes

La administración se ha trazado cumplir los siguientes objetivos: 1. Identificar el número de libros universitarios más frecuente que vende diariamente

en cada una de las sucursales. 2. Determinar el monto de venta mínima que debe tener la librería en un día, para estar

considerada dentro del 18% de los días con mayores ventas. 3. Determinar la sucursal que tiene las ventas más homogéneas. 4. Identificar el comportamiento de las ventas de los grupos de artículos: útiles escola-

res, material de oficina y libros universitarios.

Para cumplir los objetivos 1, 2 y 3 se seleccionaron muestras de las dos sucursales las que se representan a continuación:

Distribución del número de libros universitarios vendidos por día en la sucursal de San Luis

Número de libros vendidos Hi hi

0 0,0833 0,0833

1 0,1833 0,1000

2 0,3133 0,1300

3 0,5333 0,2200

4 0,6833 0,1500

5 0,9333 0,2500

7 10,000 0,0667

a. Identifique la unidad elemental b. Interprete h3 del gráfico. c. El gerente comercial Loy Toy propone un reconocimiento a la sucursal cuyas ventas

diarias más frecuentes superen los cuatro libros universitarios. ¿Qué sucursal recibirá dicho reconocimiento? Justifique numéricamente su resultado usando el gráfico y la tabla.

1

8 9

7 7

3

5

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4 5 6 7

Nú

me

ro d

e d

ías

Número de libros vendidos

Distribución del número de libros universitarios vendidos por día en la sucursal de Surco

Fuente: Loy Toy

88 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

El gerente comercial otorgará un bono al personal de la sucursal, cuya venta mínima dia-ria del 18% de los días con mayores ventas sea superior a 250 soles. ¿En qué sucursal o sucursales los trabajadores recibirán el bono de reconocimiento? Justifique numérica-mente su resultado usando el gráfico y la tabla.

Distribución poblacional porcentual de las ventas diarias, en nuevos soles, de la sucursal San Borja

Tabla Nº 2: Muestra de ventas diarias, en nuevos soles, de la sucursal de San Luis

101,07 102,7 110,85 130,26 138,63 139,3 152,34 156,31 169,27 174,46

193,55 204,57 210,1 222,05 232,51 238,7 259,13 259,13 264,32 300,61

El gerente comercial de Loy Toy realizó el análisis de las ventas diarias por sucursal consi-derando solo los promedios, pero esto generó el reclamo de los trabajadores. ¿Qué me-dida adicional le sugiere calcular para realizar una comparación objetiva que le permita determinar la sucursal con ventas más homogéneas? Justifique numéricamente su res-puesta usando el gráfico y la tabla de la pregunta anterior. Para cumplir el objetivo 4 se seleccionarán muestras de artículos que fueron clasificados en tres grupos: útiles escola-res, material de oficina y libros universitarios.

El gerente comercial analizará las ventas del mes de agosto según grupo de artículos. Los resultados se muestran a continuación:

Unidad 2. Medidas descriptivas 89

Notas importantes

Ventas en miles de nuevos soles, del mes de agosto según grupo de artículos

Grupo de artículos Ventas (miles de nuevos soles)

Útiles escolares 31,5 37,8 39,7 39,8 40,3 59,2 59,3 67,1 74,9 77,7 88,7 91,9 96,3 99,5 104,7

Material de oficina 29,2 29,5 33,4 35,8 37,4 44,5 57,6 58,8 62,7 65,3 75,1 115,0

Libros universitarios 55,0 67,5 74,2 78,0 78,7 80,0 85,0 85,0 85,0 86,6 92,0 100,0 115,0 125,0

Usando la tabla, complete el cuadro y el diagrama de cajas.

Libros universitarios

Mínimo Límite Inferior

Máximo Límite Superior

Percentil 25 Valor atípico(s) inferior(es)

Percentil 50 Valor atípico(s) superior(es)

Percentil 75 Bigote inferior

RIC

Bigote superior 100

39.8 34 31.5 29.2

67.1

51.05

104.7

75.1

91.9

64.65

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Útiles escolares Material de oficina Libros universitarios

Ve

nta

s

Grupo de artículos

Gráfico Nº 3: Ventas del mes de agosto, en miles de nuevos soles, por grupo de artículos

Fuente: Lay Toy

*

90 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Si el gerente comercial desea identificar qué grupo de artículos: útiles escolares, mate-rial de oficina y libros universitarios presenta mayor dispersión en el 50% de las ventas centrales. ¿Cuál sería su conclusión? Justifique su respuesta. Si el gerente comercial ha decidido implementar una estrategia publicitaria para incre-mentar las ventas para aquel grupo que presente una asimetría positiva o hacia la dere-cha en el 50% central de las ventas centrales. ¿Qué grupo de artículo requiere de dicha estrategia? Justifique su respuesta.

Temario

Reglas de conteo y combinaciones

Probabilidad: concepto, experimento aleatorio, espacio muestral y evento

Operaciones con eventos

Probabilidad condicional

Probabilidad total

Teorema de Bayes

Diagrama del árbol

Eventos independientes

Al finalizar la unidad 3, el alumno

utiliza los diferentes conceptos relacionados

con probabilidades en la toma de decisiones

frente a situaciones de incertidumbre.

Logro de la unidad 3

Unidad 3:

Teoría de la probabilidad

92 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.1. Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades

La probabilidad mide o cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento.

La probabilidad es el lenguaje para describir y tratar la incertidumbre.

Ejercicio 21

Marque con un aspa, asignando una opción a la situación descrita de acuerdo con su po-sibilidad de ocurrencia.

Situación Muy poco probable

Poco probable

Igualmente pro-bable que ocurra o que no ocurra

Bastante probable

Muy probable

Una mujer será la próxima presienta del Perú

Aprobaré este curso

Lanzo un dado y sale un número par

El PBI del Perú crecerá 4% este año

Perú se clasificará al Mundial Rusia 2018

Experimento aleatorio

Es todo proceso que genera dos o más resultados bien definidos sin que se pueda pre-decir con certeza cuál de ellos será observado u ocurrirá en cada realización del proceso.

En cualquier repetición simple de un experimento, ocurrirá uno y solo uno de los posi-bles resultados experimentales.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de todos los resultados experimentales. Se le suele simbolizar por S o Ω.

Evento

Un evento es un subconjunto del espacio muestral.

Al realizar un experimento, diremos que el evento A ha ocurrido si el resultado obtenido es un elemento del evento A.

Usualmente a un evento se le denota con las letras mayúsculas del abecedario (A, B, C, etc.)

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 93

Notas importantes

Probabilidad de un evento

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, la probabilidad es una medida del grado de incertidumbre asociado con un even-to.

Los valores de la probabilidad siempre se asignan en una escala de 0 a 1.

Una probabilidad cercana a 0 indica que es difícil que el evento ocurra, mientras que, una probabilidad cercana a 1 indica que es casi seguro que el evento ocurra.

Ejemplo 13

Sea el experimento aleatorio “Una app se ofrece por App Store y se registra el número de descargas en un día”, indique el espacio muestral definido, un evento y asigne una probabilidad de ocurrencia a dicho evento.

Ejercicio 22

Sea el experimento aleatorio “Un alumno se matricula en Estadística Descriptiva y anali-za su situación al final del ciclo (aprobado, desaprobado, retirado)”. Indique el espacio muestral definido, un evento y asigne una probabilidad de ocurrencia a dicho evento.

Experimento aleatorio

•Una app se ofrece por App Store y se registra el número de descargas en un día

Espacio muestral

•S = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Evento

•A = que el número de descargas sea mayor a 5 = 6, 7, ....

Probabilidad

•P(A) = 0,10

Experimento aleatorio

Espacio muestral S =

Evento A =

Probabilidad P(A) =

0 1 0,5

Poca probabilidad de ocurrencia

Alta probabilidad de ocurrencia

La ocurrencia del evento es tan probable como improbable

94 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Definición clásica de la probabilidad de un evento

Sea un experimento aleatorio cuyo correspondiente espacio muestral S está formado por un número n finito de posibles resultados distintos y con la misma probabilidad de ocurrir, entonces definimos la probabilidad de un evento como:

casosdetotalnúmero

Aeventoalfavorablescasosdenúmero

Sn

AnAP )(

Ejemplo 14

Sea el experimento aleatorio “Lanzar un dado y anotar el número de puntos de la cara superior”, indique el espacio muestral definido, un evento e indique su probabilidad de ocurrencia.

Solución

Ejemplo 15

Sea el experimento aleatorio “Lanzar dos dados y anotar el número de puntos de cada cara superior”, indique el espacio muestral definido, un evento e indique su probabili-dad de ocurrencia.

Solución

Ejercicio 23

Sea el experimento aleatorio “Lanzar dos monedas y anotar el resultado”, indique el es-pacio muestral definido, un evento e indique su probabilidad de ocurrencia.

Solución

Experimento aleatorio

•Lanzar un dado y anotar el número de puntos de la cara superior

Espacio muestral

•S = 1 2, 3, 4, 5, 6

Evento

•A = 1 , 3, 5

Probabilidad

•P(A) = n(A) / n(S) = 3/6 = 0,5

Experimento aleatorio

•Lanzar dos dados y anotar el número de puntos de cada cara superior

Espacio muestral

•S = (1,1); (1,2); (1,3); .... (6,6)

Evento

•A = (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)

Probabilidad

•P(A) = n(A) / n(S) = 6/36 = 1/6

Experimento aleatorio Lanzar dos monedas y anotar el resultado

Espacio muestral S =

Evento A =

Probabilidad P(A) = n(A)/n(S) =

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 95

Notas importantes

Algunas relaciones básicas de probabilidad

Con frecuencia se construyen eventos mediante la combinación de eventos más senci-llos. Es usual emplear la notación de conjuntos para describir los eventos construidos de esta forma.

Sea un experimento aleatorio y S el espacio muestral asociado. Si A y B son dos even-tos definidos en S, se define las siguientes operaciones con eventos.

Complemento (AC)

Para un evento A cualquiera se define su complemento CA como el evento consistente en todos los puntos de S que no están en A.

Se tiene que:

P(A) = 1 - P(AC)

CA se expresa como: “El evento A no ocurre”

Ejercicio 24

Diego invierte en un negocio. Escriba el evento complementario al evento A:= Diego tie-ne éxito en el negocio.

Ejercicio 25

Una gerente toma diez decisiones en su empresa. Escriba el evento complementario al evento A:= La gerente tiene razón en tres o más de las decisiones.

Ejercicio 26

Complete los espacios en blanco.

La probabilidad de que una empresa gane una licitación es 0,60, por lo tanto, la probabi-lidad de que no la gane ……………………….

La probabilidad de que una persona gane la Tinka con una jugada es del 0,0000123%, por lo tanto, la probabilidad de que no la gane en una jugada es …………………………%.

96 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Unión de eventos (A B)

Para dos eventos A y B, la unión del evento A con el evento B es el evento que contienen todos los puntos de S que pertenecen a A o a B o a ambos.

BA se expresa como: “Al menos uno de los eventos A o B ocurre”.

Intersección de eventos (A ∩ B)

Para dos eventos A y B, la intersección de los eventos A y B es el evento que contienen todos los puntos de S que pertenecen tanto a A como a B.

BA se expresa como: “Ambos eventos, A y B ocurren a la vez”.

Diferencia de eventos (A - B)

Para dos eventos A y B, la diferencia de los eventos A y B es el evento que contienen to-dos los puntos de S que pertenecen a A y no pertenecen a B.

BA se expresa como: “Ocurre el evento A pero no el evento B”

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 97

Notas importantes

Diferencia simétrica de eventos (A ∆ B)

Para dos eventos A y B, la diferencia simétrica de los eventos A y B es el evento que con-tienen todos los puntos de S que pertenecen solo a A o aquellos que solo pertenecen a B.

BA se expresa como: “Ocurre solamente uno de los eventos A o B”

Ejercicio 27

Una financista invierte en fondos mutuos y en la Bolsa de Valores. Se definen los even-tos:

A:= que la financista tenga éxito en la inversión de fondos mutuos

B:= que la financista tenga éxito en la inversión en la Bolsa de Valores.

Escriba los siguientes eventos en función de los eventos A y B. Además, grafique dicho evento en un diagrama de Venn.

Evento Notación Diagrama de Venn

que la financista tenga éxito en las dos inversiones

A ………... B

que la financista no tenga éxito en la Bolsa de Valores

que la financista tenga éxito en, al menos una, de sus inversiones

que la financista tenga éxito solamente en una de sus inversiones

que la financista tenga éxito en la Bolsa de Valores, pero no en los fondos mutuos

98 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Eventos mutuamente excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen puntos de S en co-

mún. Los eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si A B = .

Ejercicio 28

Indique si los siguientes eventos son mutuamente excluyentes.

A: Estudio mucho el curso Estadística, B: Desapruebo el curso Estadística …….………………

A: Apruebo el curso Estadística, B: Desapruebo el curso Estadística……………….................

Tengo cinco soles, A: Compro un sándwich que cuesta cuatro soles, B: Compro una ga-seosa que cuesta dos soles …….………………

1.2. Reglas de conteo y combinaciones

Regla de la adición

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces

n(A U B) = n(A) + n(B)

Caso Aerolínea Wayra

En un día, una persona puede viajar de Lima a Cusco en cualquiera de los diez vuelos diarios directos o en cualquiera de los tres vuelos con escala en Ayacucho. ¿De cuántas maneras diferentes puede viajar una persona de Lima a Cusco por dicha aerolínea?

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 99

Notas importantes

Regla de la multiplicación

Si un experimento se realiza por una sucesión de k pasos, en los el primer paso tiene n1 resultados posibles, el segundo tiene n2 resultados posibles y así sucesivamente, enton-ces el número total de resultados del experimento es n1 x n2 x … x nk.

Caso Aerolínea Wayra

Un pasajero puede elegir, en el menú de primera clase, una de tres entradas diferentes, uno de cuatro segundos y uno de tres postres. ¿De cuántas maneras diferentes puede elegir un pasajero su menú?

Regla de conteo para combinaciones

La cantidad de formas de seleccionar x objetos de un total de n objetos distinguibles sin tomar en cuenta el orden es:

!!

!

xnx

nC n

x

Caso Aerolínea Wayra

En un vuelo, la aerolínea ha sobrevendido pasajes, por lo que tendrá que ofrecer pre-mios a pasajeros para que no viajen en ese vuelo. Si hay 15 pasajeros que viajan solos y están dispuestos a no viajar y recibir los premios ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir a solo ocho de ellos?

Objetivo específico: Establecer una política de inspección exhaustiva de pasajeros.

En cada vuelo se elegirá al azar al 5% de los pasajeros para realizar una inspección ex-haustiva, la cual detecta si una persona lleva sustancias ilegales. Si en un vuelo de 120 personas, hay tres personas que llevan sustancias ilegales. Calcule la probabilidad de de-tectar al menos a una de ellas.

100 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Axiomas de la probabilidad

Sea un experimento aleatorio, S el espacio muestral asociado a dicho experimento alea-torio y A un evento definido en S, entonces la probabilidad del evento A, denotada por P(A), es aquel número que cumple los siguientes axiomas:

Ley aditiva para eventos cualesquiera

Sean A, B y C tres eventos cualesquiera, se cumple que:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(A B C)= P(A) + P(B) + P(C) - P(A B) - P(A C) - P(B C) + P(A B C)

Caso Aerolínea Wayra

La probabilidad que la aerolínea Wayra quiebre en los próximos dos años es de 0,3 y que su empresa rival quiebre en esos dos años es de 0,5; mientras que la probabilidad de que no quiebre ninguna de las dos empresas en esos dos años es 0,4.

Defina los eventos necesarios para resolver este problema:

A:= ………………………………………………………………………………………………………………

B:= ………………………………………………………………………………………………………………

Calcule la probabilidad de que ocurran los siguientes eventos:

Axioma 1

0 P(A) 1

Axioma 2

P(S) = 1

Axioma 3

Si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes

entonces: P(A B) = P(A) + P(B)

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 101

Notas importantes

Evento Probabilidad Diagrama de Venn

que quiebre alguna de las dos aerolíneas P(A …… B)=

que quiebre solo una de las aerolíneas P(A …… B)=

que quiebre solo la aerolínea rival de Wayra

P(A …… B)=

que no quiebre alguna de las dos aerolí-neas

P(A …… B)=

1.3. Probabilidad condicional

La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento conociendo cierta información (condición).

BP

BAPBAP

Ejemplo 16

En un grupo, conformado por hombres y mujeres, existen profesionales y no profesiona-les de acuerdo con la siguiente tabla.

Hombres (H) Mujeres (M) Total

Profesionales (P) 1 2 3

No profesionales (N) 7 10 17

Total 8 12 20

Si se elige una mujer al azar, calcule la probabilidad de que sea profesional.

Solución

Primero, definamos los eventos necesarios para resolver este problema:

M:= Que la persona escogida sea mujer

P:= Que la persona escogida sea profesional mujer

102 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Analizar el comportamiento de los clientes considerando el destino de viaje, el tipo de cliente y el modo de compra. Dentro de su proceso de creación de reportes, Felipe ha obtenido la siguiente tabla:

Tipo de cliente

Destino de viaje nacional Destino de viaje internacional

Total Compra presencial

Compra por Internet

Compra presencial

Compra por Internet

Premiun 12 28 38 13

Frecuente 8 25 12 23

Ocasional 7 15 9 10

Total

Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar compre pasajes por Internet y tenga un destino de viaje internacional.

Si se elige al azar a un cliente frecuente, calcule la probabilidad de que compre pasajes de forma presencial.

Si la probabilidad de que un cliente viaje dentro del país supera a 0,6, se decidirá partici-par del próximo Cyber Day. ¿Qué decisión se tomará?

Solución

Defina los eventos necesarios para resolver este problema:

……………:= ………………………………………………………………………………………………………………

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 103

Notas importantes

Pregunta Probabilidad

Calcule la probabilidad de que una persona elegida al azar compre pasajes por Internet y tenga un destino de viaje internacional.

P(………………………) =

Si se elige al azar a un cliente frecuente, calcule la probabilidad de que compre pasa-jes de forma presencial.

P(………………………) =

Si la probabilidad que un cliente viaje dentro del país supera a 0,6, se decidirá participar del próximo Cyber Day. ¿Qué decisión se tomará?

P(………………………) =

Ejemplo 17

La mayoría de las estaciones de servicio venden tres tipos de gasolina: 90 octanos, 95 octanos y 97 octanos. Con frecuencia, alguna de cada está enriquecida con un aditivo. La tabla siguiente ilustra los porcentajes de clientes que prefieren cada tipo.

90 octanos (B) 95 octanos (C) 97 octanos (D) Total

Con aditivo (A) 0,05 0,10 0,05 0,20

Sin aditivo (AC) 0,15 0,40 0,25 0,80

Total 0,20 0,50 0,30 1,00

Se selecciona al azar un cliente que ha comprado uno de estos tipos de gasolina.

Solución

¿Cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina con aditivo o no sea de 95 oc-tanos?

60,0)05,005,0(50,020,0 ccc CAPCPAPCAP

Si el cliente no compró gasolina de 95 octanos, ¿cuál es la probabilidad de que hay com-prado gasolina de 97 octanos?

60,050,0

30,0)(

c

cc

CP

CDPCDP

Si el cliente no compró gasolina de 90 0ctanos, ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado gasolina sin aditivo?

8125,080,0

65,0

c

cccc

BP

BAPBAP

104 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ley multiplicativa para eventos cualesquiera

La ley multiplicativa se usa para calcular la probabilidad de una intersección de eventos.

BAPBPABPAPBAP //

Caso Aerolínea Wayra

Un sistema de seguridad en un avión tiene dos componentes. La probabilidad de que el primer componente falle es 0,5% y la probabilidad de que el segundo componente falle si el primero ha fallado es 3%. El sistema falla si ambos componentes fallan. Calcule la probabilidad de que falle el sistema de seguridad.

Árbol de probabilidades

Si los eventos Ai y Bi son independientes, el árbol de probabilidades se simplifica dado que las probabilidades condicionales serían iguales a las probabilidades simples corres-pondientes.

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 105

Notas importantes

Partición del espacio muestral

Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak mutuamente excluyentes y tales que entonces consti-tuyen una partición del espacio muestral S.

Probabilidad total

Sean los k eventos A1, A2, A3,..., Ak, mutuamente excluyentes y que constituyen una par-tición del espacio muestral S, entonces para cualquier evento B de S se cumple:

kABPABPABPABPBP ...321

Por la ley multiplicativa de eventos cualesquiera, se tiene finalmente que:

kk ABPAPABPAPABPAPBP /...// 2211

1.4. Teorema de Bayes

Si los k eventos A1, A2, A3, ..., Ak, constituyen una partición del espacio muestral S, en-tonces para cualquier evento B de S tal que P(B) > 0, se cumple:

BP

BAPBAP i

i

Por definición de probabilidad condicional y probabilidad total se tiene que:

kk

iii

ABPAPABPAPABPAP

ABPAPBAP

/...//

/

2211

El teorema de Bayes establece una relación muy importante en la teoría de probabilida-des y es la base para la revisión de la asignación de probabilidades a la luz de informa-ción adicional.

Probabilidades a priori

Información nueva

Teorema de Bayes

Posibilidades posteriores

106 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Evaluar la situación de incidentes mecánicos de los aviones y su re-paración dentro de las 24 horas con la finalidad de dar un bono de reconocimiento a los mecánicos.

Se sabe que el 30% de los incidentes mecánicos ocurren con el avión 1, el 50% en el avión 2 y el resto con el avión 3. Asimismo, la probabilidad que el avión 1 sea reparado dentro de las 24 horas después de ocurrido el incidente es 90%, de 73% para el avión 2 y de 65% para el avión 3.

Si se elige en forma aleatoria un informe por incidente de un avión, ¿cuál es la probabili-dad que el informe indique que el avión logró ser reparado dentro de las 24 horas?

Si el informe dice que el avión no fue reparado dentro de las 24 horas, ¿de cuál de los aviones es más probable que sea el informe?

Solución

Los eventos y el árbol de probabilidades necesarios para resolver este problema son:

….:= ………………………………………………………………………………………………………………

Si se elige en forma aleatoria un informe por incidente de un avión, ¿cuál es la probabili-dad que el informe indique que el avión logró ser reparado dentro de las 24 horas?

Si el informe dice que el avión no fue reparado dentro de las 24 horas, ¿de cuál de los aviones es más probable que sea el informe?

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 107

Notas importantes

Ejemplo 18

El departamento de créditos de una tienda comercial sabe que sus ventas se pagan con dinero en efectivo, con cheque o al crédito, con probabilidades respectivas de 0,3; 0;3 y 0,4. La probabilidad de que una venta sea por más de $50, es igual a 0,2 si ésta es en efectivo, es igual a 0,9 si ésta es con cheque y es igual a 0,6 si ésta es al crédito.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona compre por más de $50?

Si compra por más de $50, ¿qué es más probable que haya pagado en efectivo, con che-que o al crédito?

Solución

Sean los eventos:

E: La compra se realiza con dinero en efectivo

CH: La compra se realiza con cheque

C: La compra se realiza al crédito

M: La compra es por más de $ 50

MC: La compra no es por más de $ 50

Con la información proporcionada, construimos el siguiente diagrama de árbol:

Se pide calcular:

57,060,040,090,030,020,030,0 MP

0,30 0,20 2

/0,57 19

P E M

0,30 0,90 9

/0,57 19

P CH M

0,40 0,60 8

/0,57 19

P C M

Se observa que es más probable la compra se haya hecho con cheque.

108 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

1.5. Eventos independientes

Si 0AP , los eventos A y B son independientes si y solo si:

APBAP

Ley de la multiplicación para eventos independientes

Si dos eventos A y B son independientes se cumple que

BPAPBAP

Tres eventos A, B y C son independientes si se cumple que:

BPAPBAP

CPAPCAP

CPBPCBP

CPBPAPCBAP

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Hacer un reporte sobre la compra de pasajes usando el canal de In-ternet considerando diferentes tipos de clientes.

La probabilidad que un cliente premium compre un pasaje usando Internet es 13% y, que un cliente frecuente haga la compra por esta vía es 46%. Si un día cualquiera, dos clientes (uno de cada tipo) que no se conocen (por lo tanto la decisión de compra de uno no influye en el otro), deciden comprar un pasaje:

¿Cuál es la probabilidad que por lo menos uno de los clientes compre su pasaje vía In-ternet?

Si la probabilidad de que exactamente uno de los clientes haya utilizado Internet en su compra es inferior a 0,30, se rebajará el costo de los pasajes. ¿Qué decisión se tomará?

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 109

Notas importantes

Si se tiene un grupo de 30 clientes premium que no se conocen entre sí, calcule la pro-babilidad de que al menos uno de ellos compre su pasaje por Internet.

Si se tiene un grupo de 30 clientes premium que no se conocen entre sí, calcule la pro-babilidad de que al menos dos de ellos compren sus pasajes por Internet.

110 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicios de la Unidad 3

33. Indicar, para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, los respectivos espacios muestrales: lanzar una moneda, jugar un partido de fútbol, jugar un partido de tenis, lan-zar un dado, lanzar dos dados.

34. Un experimento consiste en lanzar primero un dado para después lanzar una moneda, siempre y cuando el número del dado sea par. Si el resultado del dado es impar, la mo-neda se lanza dos veces. Determine el espacio muestral de este experimento.

35. Se lanzan dos dados, calcule la probabilidad de que la suma de los dos dados sea mayor a siete. Rpta: 0,4167

36. Un fabricante de teléfonos celulares acaba de lanzar dos modelos de smartphones económicos: el L720 y el L520. La probabilidad de que el modelo L720 tenga éxito es 0,70 y en el modelo L520 es 0,60. La probabilidad de que al menos uno de los modelos tenga éxito es 0,90. Determine la probabilidad de que se tenga éxito solo en uno de los modelos. Rpta: 0,5

37. En el presente año, la probabilidad de que una persona viaje a Miami es 0,40; a Máncora es 0,5 y Madrid es 0,37. Además, la probabilidad de viajar a Miami y Máncora es 0,15; a Miami y Madrid es 0,10 y de Máncora y Madrid es 0,12. Si la probabilidad de que la persona viaje a por lo menos a una ciudad es 0,95; calcule la probabilidad de que la persona viaje a una sola ciudad.

38. En un hogar hay diez personas y un encuestador necesita entrevistar a dos de ellas, sin importar el orden. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir a esas dos personas?

39. Al fin del ciclo, los 30 alumnos de una sección deben elegir a tres de ellos al azar para que organicen un “compartir”. ¿Cuántos grupos diferentes de tres personas se pueden ele-gir?

40. De 50 conductores, 9 nueve no tienen los papeles en regla. Si un policía escoge al azar a cinco conductores y les pide sus papeles,

a. Calcule la probabilidad de que elija a dos que no tengan los papeles en regla.

b. Calcule la probabilidad de que elija al menos un conductor sin papeles en regla.

41. En un lote de polos, hay 70 polos rojos, 150 blancos y 90 azules. Si extrae un polo al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el polo sea azul o blanco?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea azul?

42. Según el II Censo Universitario, en el año 2010, 63 900 alumnos ingresaron a las universi-dades públicas y 194 151 a las universidades privadas. De ellos, en las universidades pú-blicas, 28 798 ingresantes fueron mujeres, mientras que en las privadas lo fueron 98 942.

Si se elige al azar a una ingresante, calcule la probabilidad de que estudie en una univer-sidad privada.

Si se elige al azar a un ingresante de universidad privada, calcule la probabilidad de que sea mujer.

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 111

Notas importantes

43. En los Censos Nacionales 2007 ejecutados por el Instituto Nacional de Estadística e In-formática se preguntó a todos los peruanos por los servicios de comunicación con los que contaba su hogar y su área de residencia, obteniéndose los siguientes resultados:

Servicios con que los cuenta el hogar Urbano Rural Total

Hogares sin ningún tipo de servicio 1 682 454 1 468 889 3 151 343

Solo tienen teléfono fijo 480 831 6 170 487 001

Solo tienen teléfono celular 1 299 037 138 721 1 437 758

Solo tienen Internet 3 336 275 3 611

Solo tienen TV por cable 56 343 2 688 59 031

Tienen teléfono fijo y teléfono celular 506 759 2 912 509 671

Tienen teléfono fijo e Internet 15 684 31 15 715

Tienen teléfono fijo y TV por cable 117 733 186 117 919

Tienen teléfono celular e Internet 9 970 84 10 054

Tienen teléfono celular y TV por cable 204 563 1 981 206 544

Tienen Internet y TV por cable 1 288 19 1 307

Tienen teléfono fijo, teléfono celular e Internet 93 103 110 93 213

Tienen teléfono fijo, teléfono celular y TV por cable 326 181 468 326 649

Tienen teléfono fijo, Internet y TV por cable 19 732 9 19 741

Tienen teléfono celular, Internet y TV por cable 15 424 49 15 473

Los cuatro servicios 298 911 133 299 044

Total 5 131 349 1 622 725 6 754 074

a. Si se selecciona al azar un hogar de zona urbana, ¿cuál es la probabilidad de que tenga cuatro servicios?

b. Si se selecciona al azar un hogar con tres servicios, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona urbana?

c. Si se selecciona al azar un hogar de zona rural, ¿cuál es la probabilidad de que cuen-te con tres servicios por lo menos?

d. Si se selecciona al azar un hogar de zona urbana, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ningún servicio?

e. Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona urbana y los cuatro servicios?

f. Si se selecciona un hogar al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de zona rural o no cuente con servicio alguno?

44. En una empresa hay 150 trabajadores; 25 de los hombres y 35 de las mujeres realizan ac-tividades de responsabilidad social en la empresa. El total de mujeres en la empresa es de 57.

a. Si elegimos al azar a un trabajador hombre, calcule la probabilidad de que realice ac-tividades de responsabilidad social.

b. Si elegimos al azar a un trabajador que no realice actividades de responsabilidad so-cial, calcule la probabilidad de que sea mujer.

c. Si elegimos al azar a un trabajador que realice actividades de responsabilidad social y que sea mujer.

112 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

45. Para elegir a una persona entre tres se prepara una bolsa con dos bolas negras y una bola blanca. Los tres van sacando, por orden, una bola que no devuelven. Quien saque la bola blanca gana. ¿Quién lleva más ventaja: el primero, el segundo o el tercero?

46. En una empresa el 35% de los trabajadores son mujeres y el 65% son hombres. Un día ha llegado tarde a trabajar el 2% de las mujeres y el 4% de los hombres.

a. Si se elige, al azar, a un trabajador calcule la probabilidad de que haya llegado tarde.

b. Si se elige, al azar, a un trabajador que ha llegado tarde, calcule la probabilidad de que sea elegido una mujer.

47. Una empresa que fabrica polos mediante tres máquinas, A, B y C, producen el 25%, 30% y 45%, respectivamente, del total de los polos producidos en la fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 2%, 4% y 3% respectivamente.

a. Si se elige un polo al azar; calcule la probabilidad de que sea no defectuoso.

b. Tomamos, al azar, un polo y resulta ser defectuoso; calcule la probabilidad de haber sido producido por la máquina B.

48. Una persona postula a dos trabajos. La probabilidad de que sea aceptado en el primer trabajo es del 70% y que sea aceptado en el segundo es del 50%. Si ser aceptado en di-chos trabajos es independiente entre sí.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos sea aceptado en uno de los trabajos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que solamente sea aceptado en uno solo de los trabajos?

49. El pulpo Paul es un octópodo que ha sido empleado como oráculo para predecir los re-sultados de la selección alemana de fútbol en el Mundial de Fútbol 2010, acertando los ocho emparejamientos que se le propusieron, los siete partidos de Alemania en la Copa Mundial de Fútbol de 2010 y la final entre España y Holanda.

Antes de cada partido, a Paul se le presentaron dos contenedores idénticos con comida: uno de ellos estaba marcado con una bandera, usualmente la de Alemania y el otro con la bandera del equipo oponente. La elección de Paul se interpretaba como el equipo que lograría la victoria. Si el pulpo Paul, en realidad, escogió los contenedores al azar, calcule la probabilidad de acertar en los resultados de los ocho los partidos que le propusieron. Asuma independencia entre cada elección.

50. Una persona postula a dos trabajos. La probabilidad de que sea aceptado en el primer trabajo es del 70% y que sea aceptado en el segundo es del 50%. Si ser aceptado en di-chos trabajos es independiente entre sí.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos sea aceptado en uno de los trabajos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que solamente sea aceptado en uno de los trabajos?

51. Un joven estima, por experiencias pasadas, que en una gran fiesta la probabilidad de que en una chica acepte bailar con él es del 4%. Si en una fiesta saca a bailar a 40 chicas. Asuma independencia entre la decisión de una chica y otra. Calcule la probabilidad de que baile por lo menos con una de ellas.

Unidad 3. Teoría de Probabilidad 113

Notas importantes

52. Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

Afirmación V F

El teorema de Bayes determina la probabilidad de un determinado evento se deba a una causa específica

V F

La probabilidad condicional se refiere a hallar la probabilidad de un evento cono-ciendo cierta información (condición).

V F

Si 3,0BAP , entonces, se cumple que 7,0BAP C V F

Si 3,0BAP , entonces, se cumple que 7,0cBAP V F

Si dos eventos son independientes, entonces serán también mutuamente excluyen-tes

V F

Si dos eventos son independientes, entonces P A B P B V F

Si dos eventos son independientes entonces la ocurrencia de uno de ellos no influ-ye en la ocurrencia del otro evento

V F

Si APBAP esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes V F

Si APBAP esto implica que A y B son eventos independientes V F

Si 0BAP esto implica que A y B son eventos mutuamente excluyentes, si

P(B)>0 V F

El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles eventos de un experimento aleatorio

V F

En un experimento aleatorio nunca aparece un modelo definido de regularidad V F

En algunos casos especiales la probabilidad de un evento podría ser mayor que uno V F

Un evento es un subconjunto del experimento aleatorio. V F

Si dos eventos son mutuamente excluyentes entonces la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro

V F

El complemento del evento A no es mutuamente excluyente con el evento A V F

Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces P(A) + P(B) = 1 V F

114 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

53. Loy Toy es una red de librerías, con sucursales en los distritos de Santiago de Surco, San Borja y San Luis. Se ha observado que los libros que comercializa en las diferentes sucur-sales presentan fallas de compaginación, razón por la cual el gerente general está intere-sado en conocer las probabilidades de estas fallas en cada sucursal. También está intere-sado en conocer las probabilidades de la demanda por los libros que comercializa en las diferentes sucursales, con la finalidad de tomar decisiones administrativas.

El administrador de la agencia de San Borja ha observado que los libros de Literatura presentan fallas en la compaginación. Le hace la consulta a su asistente de ventas para obtener información acerca de la proporción de libros con este tipo de falla por sucursal. Los resultados obtenidos por el asistente para cada sucursal se presentan a continua-ción:

a. Coloque el título al gráfico N° 2:

b. Si se elige al azar un libro de Literatura que tiene fallas en la compaginación, ¿cuál es

la probabilidad de que sea de la sucursal de San Borja?

c. Si se eligen tres libros al azar y de manera independiente, ¿cuál es la probabilidad de

que ninguno tenga errores en la compaginación?

30%

45%

25%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

Surco San Borja San Luis

Po

rce

nta

je d

e li

bro

s

Sucursal

Gráfico N° 1: Distribución de los libros de Literatura por sucursal

Fuente: Librería Loy Toy

5% 12% 8%

95% 88% 92%

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Surco San Borja San Luis

Po

rce

nta

je d

e li

bro

s

Sucursal

Gráfico N° 2:

Error Sin errorFuente: Librería Loy Toy

Temario

Definición de variable aleatoria discreta y continua.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Función de densidad y función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua.

Valor esperado y varianza de variables aleatorias discretas y continuas.

Estudio de propiedades de las siguientes distribuciones: binomial, hipergeométrica, Poisson, uniforme, continua, normal, t-Student

Al finalizar la unidad 4, el alumno

aplica el concepto de variable aleatoria,

valor esperado y probabilidad

para la toma de decisiones en un trabajo de investigación.

Logro de la unidad 4

Unidad 4: Variables aleatorias

116 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Variable aleatoria

Se denomina variable aleatoria a una descripción numérica del resultado de un experi-mento.

Rango o recorrido de una variable aleatoria

Se llama rango o recorrido de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX, al conjunto de los valores reales que la variable aleatoria puede tomar.

Tipos de variable aleatoria

Una variable aleatoria es discreta si puede asumir un conjunto finito o infinito numera-ble de valores diferentes.

Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en un intervalo.

Caso Aerolínea Wayra

Indique el tipo de la variable aleatoria y su rango.

Variable aleatoria Tipo Rango

W = tiempo de vuelo de Lima a Cusco, en minutos

RX =

X = número de veces que un pasajero viaja al mes en avión

RX =

Y = número de pasajeros que piden pollo durante un viaje de 100 personas

RX =

Z = dinero gastado en las compras a bordo por una persona, en dólares

RX =

Evento (X = a)

El evento )( aX se define como )(/)( awXSwaX

La variable aleatoria atribuye a cada evento

un número que no es aleatorio o imprevisible,

sino fijo y predeterminado.

Lo que es aleatorio es el experimento

sobre cuyo espacio muestral se define la variable aleatoria.

Unidad 4. Variables aleatorias 117

Notas importantes

Variable aleatoria discreta

Una variable aleatoria discreta asume cada uno de los valores con cierta probabilidad que se denota P(X = x).

Por ejemplo: número de alumnos matriculados por curso, cantidad de preguntas correc-tamente contestadas en una evaluación de personal, cantidad de clientes que visitan un centro comercial en un día determinado.

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X se describe como una función de probabilidad representada por f(x) que asigna a cada valor de la variable aleatoria, la probabilidad de que X asuma ese valor, esto es:

f(x) = P(X = x)

Toda función de probabilidad debe cumplir que:

- f(x) 0

-

1

( ) 1n

ii

f x

Ejercicio 29

Sea S el espacio obtenido al lanzar una moneda dos veces y observar si sale cara (c) o se-llo (s) cada vez.

Completar los espacios en blanco.

El espacio muestral es S = (… , …), (… , …), (… , …), (… , …).

Sea X el número de caras obtenidas, luego el rango de la variable X es RX = … , …, ….

El evento (X = 0) = (…, …)

El evento (X = 1) = (…, …), (…, …)

El evento (X = 2) = (…, …)

Entonces, la probabilidad de cada evento es:

f(0) = P(……………..) = ……………………………………………..

f(1) = P(……………..) = ……………………………………………..

f(2) = P(……………..) = ……………………………………………..

118 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicio 30

Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado. Determine y grafique la función de probabilidad de la variable X.

Ejercicio 31

Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad.

Unidad 4. Variables aleatorias 119

Notas importantes

Ejercicio 32

Indique cuáles de las siguientes funciones puede ser función de probabilidad.

casootroen

xx

xf0

3216

,,

casootroen

xppCxf

xxx

0

2,1,0)1( 22

Ejemplo 19

Calcule a para que la siguiente función sea una función de probabilidad. Grafique f(x)

25,20,15,10 xaxxf

Solución

Tiene que cumplir dos condiciones:

La primera condición, f(x) > 0, se cumple cuando a es mayor que cero, puesto que x > 0.

La segunda condición,

1

( ) 1n

ii

f x , se cumple si 125201510 aaaa , esto se cum-

ple cuando 70a =1, luego a =1/70.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

f(x)

X

10 15 20 25

120 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejemplo 20

Sea X el número de lanzamientos de un dado hasta que salga el primer seis. Determine la función de probabilidad de la variable X y calcule )3( XP

Solución

Sea la variable aleatoria X:= número de lanzamientos de un dado hasta que salga el pri-mer seis.

El rango o recorrido de X es RX = 1, 2, 3,… = Z+.

f(1) = P(X = 1) = 1/6

f(2) = P(X = 2) = 5/6 x 1/6

f(3) = P(X = 3) = 5/6 x 5/6 x 1/6

Luego, la función de probabilidad de la variable X es:

,....,,; 3216

1

6

51

x

RxXPxf

5787,0216

25

36

5

6

11)3()2()1(1)3(1)3(

fffXPXP

Valor esperado de una variable aleatoria discreta

El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una distribución de probabilidad de X se denota E(X) o µX.

nn

n

i

iiX xfxxfxxfxxfxXE

...22

1

11

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Estimar la media del número de personas que no se presentan al vuelo.

El número de personas que no se presentan a un vuelo se modela con una variable alea-toria X con la siguiente función de probabilidad.

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0,20 0,25 0,22 0,15 0,10 0,05 a

Calcule e interprete la media de X.

Unidad 4. Variables aleatorias 121

Notas importantes

Valor esperado de una función de variable aleatoria discreta

Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es:

1 1 2 21

...n

i i n ni

E G X G x f x G x f x G x f x G x f x

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta

La varianza V(X) de una variable aleatoria discreta X con distribución de probabilidad f(x) se define por:

2 2

X

X Xx R

V X E X x f x

Se cumple 22V X E X E X

La varianza de la variable aleatoria X, V(X), también se denota por 2X , o simplemente

como 2 .

La desviación estándar de X es la raíz cuadra de la varianza de X.

Ejercicio 33

Se lanza un dado, sea la variable aleatoria X igual al número de la cara superior del dado. Calcule la media y desviación estándar de X.

Propiedades del valor esperado en variables aleatorias

Si X1 y X2 son dos variables aleatorias, y a1 y a2 son dos constantes, entonces:

11 aaE

22112211 XEaXEaXaXaE

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, . . ., an son n constantes, entonces:

nnnn XEaXEaXEaXaXaXaE 22112211

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias con la misma función de probabilidad, en-

tonces se cumple que iXE y, por lo tanto:

nXXXE n ...21

122 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Propiedades de la varianza en variables aleatorias

Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces 2 2 2Y Xa

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces:

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2n n n nV a X a X a X a V X a V X a V X

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes con la misma función de probabilidad, entonces se cumple que 2

iV X y, por lo tanto:

221 ... nXXXV n

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Comparar el grado de dispersión del número de cancelaciones en vuelos, tanto nacional e internacional.

La distribución de probabilidades de las variables X: número de cancelaciones en vuelo nacional e Y: número de cancelaciones en vuelo internacional se muestran a continua-ción:

x 1 2 3 4 5

f(x) 0,25 0,42 0,15 0,10 a

y 0 1 2 3 4

f(y) 0,27 0,37 0,18 0,12 b

La empresa implementará cambios en aquel tipo de vuelo, nacional o internacional, cu-yo número de cancelaciones sea más variable. ¿En qué tipo de vuelo se harán los cam-bios?

Unidad 4. Variables aleatorias 123

Notas importantes

Ejemplo 21

Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcular el valor esperado de X2

1,2, 3, 4, 5( )

0

axf x

en otro caso

Solución

Lo primero es determinar a, planteamos que

5

1

1ii

f x , de donde a = 1/15.

Nos piden

5

2 2 2 2 2 2 2

1

1 1 1 1 11 2 3 4 5 15

15 15 15 15 15i i

i

E X x f x

Ejemplo 22

Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad. Calcule la varianza de X.

1,2, 3, 4, 5( ) 15

0

x

f x

en otro caso

Solución

El esperado de X es

5

1

1 2 3 4 5 551 2 3 4 5

15 15 15 15 15 15i i

i

E X x f x

Se tiene que 2 15E X

Luego se tiene que 2

22 5515 1,556

15V X E X E X

124 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Distribuciones de probabilidad de variables discretas

Distribución binomial

Un experimento binomial consiste en una serie de n pruebas o ensayos, donde n se fija antes de realizar el experimento.

Entonces para n intentos y la probabilidad p de éxito en cualquier intento, la probabili-dad de tener x éxitos en los n intentos está dada por:

1n xn x

xf x P X x C p p

x = 0, 1, 2,..., n

La variable binomial cuenta el número de éxitos en n repeticiones semejantes e inde-pendientes con probabilidad de éxito constante.

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución binomial con parámetros n y p, se denota X~B (n, p)

Es simétrica si p = 0,5. Para valores de p < 0,5 la distribución tiene sesgo derecho y para valores p>0,5 tiene sesgo izquierdo, independientemente de los valores de n.

Para valores de n suficientemente grandes (n > 50), y sólo tomando en cuenta los valo-res relevantes de probabilidad, la distribución es prácticamente simétrica.

Media E X np

Varianza 2 1V X np p

En Excel 2010, use la función =DISTR.BINOM.N(Núm_éxito, Ensayos, Prob_éxito, acu-mulado)

Las pruebas son idénticas y cada una de ellos puede resultar en uno de dos

posibles resultados que denotan éxito o fracaso.

Las pruebas son independientes entre sí

por lo que el resultado de un intento en particular

no influye en el resultado de cualquier otro.

La probabilidad de éxito es constante

de una prueba a otra y la denotamos como p.

Unidad 4. Variables aleatorias 125

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Estimar la probabilidad de tener una emergencia médica durante el viaje.

La aerolínea sabe por experiencias pasadas que el 0,5% de los pasajeros tendrá alguna emergencia médica durante el vuelo.

Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que ningún pasajero tenga una emergencia médica durante el viaje. Asuma independencia entre un pasajero y otro.

La variable en estudio X es ………………….…………………………………….…………………………………..

El rango o recorrido de la variable X es …………………..…………………….………………..………..……

La distribución de la variable es …………………………………………………………..

Sus parámetros son ………………………..…………………………………….…..………..

La probabilidad pedida es f(………) = P(X…………) = ………………………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…)

Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que, como máximo, un pasa-jero tenga una emergencia médica durante el viaje.

La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…)

Si en un vuelo hay 120 pasajeros, calcule la probabilidad de que por lo menos dos pasa-jeros tengan una emergencia médica durante el viaje.

La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…)

Calcule el valor esperado del número de pasajeros que tengan una emergencia médica durante un viaje de 160 pasajeros.

El valor pedido es E(X) = …………………………..…………….......……… = ……………….

126 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Distribución hipergeométrica

Consideremos N elementos, de los cuales r son considerados éxitos y por lo tanto N - r como fracasos. Como en el caso de la distribución binomial estamos interesados en sa-ber la probabilidad de obtener x éxitos en una muestra de n elementos.

El experimento hipergeométrico consiste en extraer al azar y sin reposiciónn n elemen-tos de un conjunto de N elementos, r de los cuales son éxitos y N - r son fracasos.

La probabilidad de obtener de x éxitos en la muestra de n elementos es:

( ) , max0, ( ),... ,min , r N rx n x

Nn

C Cf x x n N r n r

C

El rango de X en la mayoría de los casos va de 0 a n, pero no siempre, por lo que se debe analizar en cada caso.

La variable hipergeométrica cuenta el número de éxitos en una muestra de tamaño n, tomada de una vez de una población de tamaño N donde hay r éxitos.

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución hipergeométrica con paráme-tros N, r y n y se denota X ~ H (n, r, N)

Media r

E X nN

Varianza 2 11

r r N nV X n

N N N

En Excel 2010, use la función =DISTR.HIPERGEOM.N(muestra_éxito, núm_de_muestra, población_éxito, núm_de_población, acumulado)

Unidad 4. Variables aleatorias 127

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

En un vuelo se van a servir 130 comidas. La oficina de control de calidad de los alimentos durante el vuelo selecciona al azar cinco de ellas para verificar que están en perfecto es-tado. Dentro de las 130 comidas, hay seis que no están en perfecto estado.

Calcule la probabilidad de que alguna de las comidas seleccionadas no estén en perfecto estado.

La variable en estudio X es ………………….…………………………………….…………………………………..

El rango o recorrido de la variable X es …………………..…………………….………………..………..……

La distribución de la variable es …………………………………………………………..

Sus parámetros son ………………………..…………………………………….…..………..

La probabilidad pedida es f(………) = P(X…………) = ………………………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…, …………..)

Calcule la probabilidad de detectar a dos de las comidas que no están en perfecto esta-do.

La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…, …………..)

Calcule la probabilidad de detectar menos de tres de las comidas que no están en per-fecto estado.

La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =………………………(………..…, ….………, ……..…, …….…, …………..)

Calcule el valor esperado del número de comidas que no están en perfecto estado que serán detectadas.

El valor pedido es E(X) = …………………………..…………….......……… = ……………….

128 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Distribución de Poisson

El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:

La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región específica es:

!x

exXPxf

x x = 0, 1, 2,...

x = número de éxitos por unidad de tiempo o región.

= número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región.

e = 2,71828…

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con parámetro y

se denota X~P().

Siempre es una distribución sesgada a la derecha. A medida que aumenta y tomando en cuenta sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende a hacerse simétrica.

Media: E X

Varianza: 2 V X

En Excel 2010, use la función =POISSON.DIST(x, media, acumulado)

El número de resultados que ocurre en un

intervalo o región de espacio cualquiera es

independiente del número que ocurre

en cualquier otro intervalo o región del

espacio disjunto.

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante el intervalo muy corto o región muy pequeña es proporcional a la longitud del

intervalo o al tamaño de la región

y no depende del número de resultados que ocurren fuera del

intervalo o región.

La probabilidad de que ocurra más de un

resultado en tal intervalo corto o caiga en tal región pequeña

es insignificante.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

f(x

)

X

Unidad 4. Variables aleatorias 129

Notas importantes

Caso Aerolínea Wayra

El número de llamadas hacia una azafata por los pasajeros durante un vuelo se modela con una variable Poisson con una media de 0,5 llamadas cada diez minutos.

Calcule la probabilidad de que una azafata no reciba llamadas durante un viaje de 50 minutos.

La variable en estudio X es ………………….…………………………………….…………………………………..

El rango o recorrido de la variable X es …………………..…………………….………………..………..……

La distribución de la variable es …………………………………………………………..

Sus parámetros son ………………………..…………………………………….…..………..

La probabilidad pedida es f(………) = P(X…………) = ………………………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…,)

Calcule la probabilidad de que una azafata reciba más de una llamada durante un viaje de 50 minutos.

La probabilidad pedida es P(X…………) = …………………………..…………….......……… = ……………….

¿Cuál sería la expresión en Excel que calcularía este problema?

En Excel 2010, use la función =…………………………………(………..…, ….………, ……..…)

Si una azafata ya recibió una llamada durante los primeros veinte minutos del viaje, cal-cule la probabilidad de que reciba dos llamadas más durante dicho viaje de 50 minutos.

Calcule la desviación estándar del número de llamadas hacia la azafata en un vuelo de dos horas.

130 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejemplo 23

Suponga que el número de llamadas que llegan a una central telefónica es 0,5 por mi-nuto en promedio.

Calcule la probabilidad de que en un minuto no lleguen llamadas

Solución

X:= número de llamadas / minuto = 0,5 llamadas / minuto

0.5 00,5

0 0,60650!

eP X

Calcule la probabilidad de que en un minuto lleguen más de tres llamadas

Solución

P(X > 3) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – (0,6065 + 0,3033 + 0,0758 + 0,0126) = 0,9982

Calcule la probabilidad de que en tres minutos lleguen menos de cinco llamadas

Solución

Y:= número de llamadas / 3 minutos = 1,5 llamadas / 3 minutos

P(Y < 5) = 0,2231 + 0,3347 + 0,2510 + 0,1255 + 0,0471 = 0,98142

Calcule la probabilidad de que en cinco minutos lleguen más de dos llamadas

Solución

W:= número de llamadas / 5 minutos = 2,5 llamadas / 5 minutos

P(W > 2) = 1 – P(W ≤ 2) = 1 – (0,0821 + 0,2052 + 0,2565) = 0,45652

Ejemplo 24

El administrador de un almacén ha observado que en promedio ingresan al estableci-miento 20 personas cada 30 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en seis minutos ingresen al almacén a lo más 5 clientes pero más de 3?

Solución

Lo primero es definir la variable adecuada, sea X:= número de personas que entren al establecimiento en un periodo de seis minutos.

Como nos dicen que la variable cuenta las llegadas por unidad de tiempo, se tiene que

X ~ P().

Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson.

Si en 30 minutos llegan en promedio 20 personas, entonces en 6 minutos llegarán, en

promedio, ,= 4 personas.

Se tiene que X ~ P( = 4)

Nos piden 4 4 4 54 4

3 5 4 5 0,35174! 5!

e eP X P X P X

Unidad 4. Variables aleatorias 131

Notas importantes

Ejemplo 25

Si se sabe que en cada 100 metros de longitud de un cable hay un promedio de 80 pun-tos por los cuales este puede ser seccionado. ¿Cuál es la probabilidad de que en un tramo de 13,5 metros se encuentren cinco puntos de seccionamiento?

Solución

Sea X:= número de puntos de seccionamiento. Como nos dicen que la variable cuenta

puntos por unidad de longitud, se tiene que X ~ P().

Luego, debemos determinar el valor de , para lo cual vamos a hacer una regla de tres simple, pues es una propiedad de la distribución Poisson.

Si en 100 metros hay en promedio 80 puntos de seccionamiento, entonces en 13,5 me-

tros hay, en promedio, ,= 10,8 puntos.

Se tiene que X ~ P( = 10,8)

Nos piden 10.8 510.8

5 0,0255!

eP X

Observe que si lambda sale un valor que no es entero, no se debe redondear a un en-tero.

132 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Variable aleatoria continua

Es una variable cuyo rango es un conjunto infinito no numerable de valores.

Por ejemplo: peso, en kilos, de una persona, tiempo en resolver la primera pregunta del examen parcial de un curso o volumen, en decibeles, en una discoteca a una hora de-terminada.

Función de densidad de una variable aleatoria continua

Se denomina función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria conti-nua a la función que satisface:

0f x para todo x R

1f x dx

Se tiene que b

a

P a X b f x dx

Ejercicio 34

Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

0 5( )

0

ax xf x

en otro caso

Determine el valor de a.

Unidad 4. Variables aleatorias 133

Notas importantes

Calcule la probabilidad de P(X < 4)

Calcule la probabilidad de P(2,0 < X < 4,5)

Ejemplo 26

Para cierto negocio por correo electrónico la proporción de los pedidos procesados en 24 horas tiene la función de densidad de probabilidad.

( ) 2(1 ) ; 0 1f x x x Compruebe si f(x) es una función de densidad.

Solución

Se debe comprobar que:

- 0f x para todo x R. Este se cumple pues para 0 1x , es ( ) 2(1 ) 0f x x

- 1f x dx

. Existen dos formas de responder esta pregunta.

Integrando la función de densidad f(x) y verificando que el área es igual a 1 y que cada f(x) sea positivo

Ahora debemos evaluar en 0 y en 1

2 22 1 1 2 0 0 1

Calculando el área del triángulo a partir de la gráfica y verificando que el área es igual a y que cada f(x) sea positivo.

1 2Área 1

2 2

b h

1

0

2

1

0

21

0

1

02

222)1(2 xx

xxdxxdxxf

134 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

¿Cuál es la probabilidad que al menos el 80% de los pedidos sean procesados dentro de 24 horas?

Solución

Existen dos formas de responder esta pregunta.

Integrando la función de densidad f(x) de 0,8 a 1.

1

2 2

0,82 1 2 1 1 2 0,8 0,8 0,04x

Calculando el área de triángulo desde 0,8 a 1.

1 0,8 2 1 0,8Área 0,04

2 2

b h

Observe que para la segunda forma de resolución, se usó la función de densidad para hallar la altura del triángulo.

Si el porcentaje de pedidos procesados en 24 horas es mayor al 80%, calcular la probabi-lidad de que sea mayor a 90%.

Solución

P(X > 0,9 / X > 0,8) = (0,1 x 0,2 / 2) / (0,2 x 0,4 / 2) = 0,25

Función de distribución acumulada de probabilidad

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X con función de densidad f(x) se define por:

F(x) = P(X x) para - < x < + Se tiene que:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)

P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)

dF xf x

dx

F(x) es una función que siempre está entre 0 y 1 (0 ≤ F(x) ≤ 1), pues es igual a una proba-bilidad.

F(x) es una función que nunca decrece, lim 0x

F x

y lim 1x

F x

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-2 -1 0 1 2 3 4 5

F(x)

Unidad 4. Variables aleatorias 135

Notas importantes

Ejercicio 35

Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad

( )

Determine y grafique la función de distribución acumulada de la variable aleatoria X.

Use la función de distribución acumulada de la variable X para calcular P(0,1 < X < 0,7)

Ejercicio 36

Marque la(s) gráfica(s) que pueden ser funciones de distribución acumulada.

136 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Ejercicio 37

Indique la(s) funciones que pueden ser función de distribución acumulada.

1 2

1 1 2

0 1

x

F x x x

x

2

1 2

1 1 2

0 1

x

F x x x

x

Ejemplo 27

Encuentre el rango intercuartil de X, si X es el tiempo de vida de un sistema es una va-riable aleatoria, en años, cuya función de distribución acumulada es:

2

0 5

251 5

x

F xx

x

Solución

Sea X:= tiempo, en años, de vida de un sistema. Para calcular el rango intercuartil, de-bemos hallar el cuartil 1 y el cuartil 3, para esto hay dos posibilidades: integrar la función de densidad f(x) o reemplazar en la función de distribución acumulada

Por definición de cuartil 3, el 75% de los datos es menor o igual a él, es decir P(X ≤ Q3) = 0,75, o lo que es lo mismo F(Q3) = 0,75

3 23

250,75 1F Q

Q de donde Q3 = 10.

Haciendo lo mismo para el cuartil 1. 1 21

250,25 1F Q

Q de donde Q1 = 5,77.

Luego el RIC = Q3 – Q1 = 4,23.

Si se sabe que el tiempo de vida de un dispositivo se encuentra en el cuarto superior, ¿cuál es la probabilidad que pertenezca al quinto superior?

Solución

Como nos dicen que “ya se sabe que está en el cuarto superior”, es una probabilidad condicional.

80

80 75

75

0,200,80

0,25

P X PP X P X P

P X P

Unidad 4. Variables aleatorias 137

Notas importantes

Valor esperado de una variable aleatoria continua

El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X o media de una variable aleatoria X se denota E(X).

X E X x f x dx

Valor esperado de una función de variable aleatoria continua

Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es:

E G X G x f x dx

Propiedades del valor esperado en variables aleatorias

E(b) = b

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, enton-ces:

1 1 2 2 1 1 2 2n n n nE a X a X a X a E X a E X a E X

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias con la misma función de densidad, enton-ces se cumple que iE X y, por lo tanto:

1 2 ... nE X X X n

Caso Aerolínea Wayra

El tiempo, en minutos, que se tarda una persona en ser atendido en el counter del aero-puerto se modela con una variable aleatoria X:

casootroen

xxk

xkx

xf

0

424

20

)(

Determine la media de la variable aleatoria X.

138 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria continua

22 2

X V X E X E X

La desviación estándar de X es la raíz cuadrada de la varianza de X.

Propiedades de la varianza en variables aleatorias

Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces 2 2 2Y Xa

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces:

2 2 21 1 2 2 1 1 2 2n n n nV a X a X a X a V X a V X a V X

Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes con la misma función de densidad, entonces se cumple que 2

iV X y, por lo tanto:

21 2 ... nV X X X n

Caso Aerolínea Wayra

El sobrepeso, en kilos, del equipaje de mano de un pasajero se modela con una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad:

caso otro 0

6 0 -6)(

xxkxf

Determine la desviación estándar de la variable aleatoria X.

Unidad 4. Variables aleatorias 139

Notas importantes

Distribuciones de probabilidad de variable continua

Distribución de probabilidad uniforme

Función de densidad

1

0

a x bf x b a

en otro caso

Se dice que X tiene una distribución uniforme y se denota X ~ U (a, b)

La función de distribución acumulada de una variable uniforme es:

0

1

x a

x aF x a x b

b a

x b

Media:

2

a b

Varianza:

2

12

b a

Caso Aerolínea Wayra

Objetivo específico: Determinar el número esperado de vuelos con retraso.

El tiempo en el que un avión llega a su destino con respecto a su hora programada se modela con una variable aleatoria uniforme de parámetros -10 y 10. De tal manera que los valores negativos indican que el avión llegó antes de la hora programada y los valo-res positivos indican que el avión llegó después de la hora programada.

140 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Calcule la probabilidad de que un avión llegue con un retraso mayor a cuatro minutos.

Calcule la probabilidad de que la diferencia entre la hora de llegada programada y la ho-ra de llegada sea mayor a cuatro minutos.

Use la función de distribución acumulada para calcular la probabilidad de que un avión llegue con un adelanto máximo de cinco minutos.

Si se escoge al azar 20 vuelos, calcule la probabilidad de que, como máximo, se tenga un vuelo con retraso mayor a ocho minutos.

Si se escoge al azar 100 vuelos, calcule el número esperado de viajes con retrasos mayo-res cuatro minutos.

Unidad 4. Variables aleatorias 141

Notas importantes

Ejemplo 28

En ciertos experimentos, el error cometido al determinar la densidad de una sustancia es una variable aleatoria cuya distribución es uniforme con a = -0,025 y b = 0,025.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que tal error esté entre 0,010 y 0,015?

Solución

Sea X:= error al determinar la densidad de una sustancia

La variable X ~ U(a = -0,025, b = 0,025) tiene la siguiente función de densidad

10,025 0,025

( ) 0,025 ( 0,025)

0

xf x

en otro caso

10,025 0,025

( ) 0,05

0

xf x

en otro caso

Nos piden ),,( 01500100 XP . Existen dos formas de calcular esta probabilidad:

integrando la función de densidad f(x) o calculándola a partir del área del rectángulo.

0,015

0,010

1 1(0,010 0,015) 0,015 0,010 0,10

0,050 0,050P X dx

b. ¿Cuál es el error esperado cometido?

Solución

La variable X ~ U(a = -0,025, b = 0,025) tiene el siguiente número esperado de errores

0,025+0,0250

2 2

a b

Ejemplo 29

La llegada de cada uno de los empleados a su centro de labores se produce indepen-dientemente, de acuerdo a la distribución uniforme en el intervalo comprendido entre las 8:00 y 8:25 am. De una muestra de 10 empleados, calcule la probabilidad de que cua-tro de ellos hayan llegado entre las 8:15 y 8:20 AM.

Solución

Sea X:= tiempo, en minutos, desde las 8 AM hasta la hora de llegada de los empleados al

centro de trabajo, luego XU (0, 25)

1( ) ; 0 25

25f x x

Se define la variable Y:= número de empleados que llegan al centro de trabajo entre 8:15 y 8:20 AM. Debe calcularse la probabilidad de éxito p de que un empleado llegue al centro de trabajo entre 8:15 y 8:20 AM esto es:

20 150,20

25p

Entonces Y B(10; 0,20) 10 10( ) (0,20) (0,80) , 0,1, ,10y yyf y C y

Se pide 10 4 64( 4) (4) (0,2) (0,80) 0,0881P Y f C

142 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Distribución de probabilidad normal

Función de densidad

21

2

x

f x e

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución normal con parámetros y .

Se denota X ~ N (, 2)

La función de densidad tiene forma de campana y es simétrica, por lo que las medidas de tendencia central coinciden.

El rango de la variable normal es toda la recta real, esto es, de – a + .

En Excel 2010, use la función =DISTR.NORM.N(x, media, desviación estándar, acumula-do) para calcular la probabilidad.

En Excel 2010, use la función =INV.NORM(Probabilidad, media, desviación estándar) para calcular el valor de la variable aleatoria.

Estandarización

Se toma como referencia una distribución normal estándar ( = 0 y 2 = 1). Se trabaja

con la distancia entre x y en función de la desviación estándar, tal como se muestra.

XZ

La utilidad de convertir cualquier variable normal en una normal estándar es que pode-mos usar solo una tabla para calcular cualquier probabilidad de una variable normal.

Unidad 4. Variables aleatorias 143

Notas importantes

Ejercicio 38

Si 2~ 0, 1Z N , calcular

P(Z < 1,12) =

P(Z > 0,45) =

P(0,23 < Z < 1,25) =

P(Z < -4) =

Tabla de la distribución normal estándar (Ver la tabla completa al final de esta guía)

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586

0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535

0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409

0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173

0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793

0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240

0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490

0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524

0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327

0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891

1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214

1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298

1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147

144 Estadística Descriptiva 201601

Notas importantes

Cálculo de probabilidad de una variable normal con una calculadora Casio

Ponga la calculadora en modo estadístico. Apriete MODE y luego, apriete STAT

Luego apriete SHIFT, STAT (1) y luego elija la opción DISTR. Aparecerá

una pantalla con P(, Q(, R( y t.

- P( calcula la probabilidad de que Z esté entre - y el valor que ingresa

- Q( calcula la probabilidad de que Z esté entre 0 y el valor que ingresa

- R( calcula la probabilidad de que Z esté entre el valor que ingresa y +.

Hallar c para que P(Z < c) = 0,67003

Hallar c para que P(Z > c) = 0,0250

Hallar c para que P(-c <Z < c) = 0,950