estabilidad iv tema 1 · distintos tipos de relaciones entre fuerzas y deformaciones. ... del...
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ESTABILIDAD IV
TEMA 1
ECUACIONES BASICAS DE LA ELASTICIDAD
TRIDIMENSIONAL
Dr. Bibiana Luccioni
Colaboración: Ing. Abel Jacinto
Ing. Sergio Gutiérrez
Ing. Facundo Isla
2016
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
1
INTRODUCCIÓN
La Teoría de la Elasticidad, comúnmente llamada Elasticidad en forma breve, es la
rama de la Mecánica de los Sólidos que trata los estados de tensión y deformación producidos
por fuerzas externas o cambios de temperatura en sólidos elásticos.
La Teoría de la Elasticidad permite analizar las tensiones, deformaciones y
desplazamientos de elementos estructurales (o elementos de máquinas) dentro del
comportamiento elástico, con el objeto de verificar la resistencia, rigidez y estabilidad. Difiere
de la Resistencia de Materiales en el tipo de elementos estudiados y en los métodos de análisis
utilizados.
A modo de ejemplo, en Resistencia de Materiales se estudian tensiones y
desplazamientos en sistemas estructurales formados por barras: reticulados o pórticos, rectos o
curvos. Sin embargo, hay otro tipo de elementos estructurales que no tienen forma de barras,
como es el caso de bloques, placas, cáscaras, diques y fundaciones. Para analizar este tipo de
elementos se recurre a la Teoría de la Elasticidad.
Por otro lado, los elementos tipo barra pueden estudiase, tanto dentro de la
Resistencia de Materiales, como dentro de la Teoría de la Elasticidad. La diferencia está en los
métodos de análisis empleados en cada caso. Cuando se estudia un elemento de este tipo
sometido a carga dentro del marco de la Resistencia de Materiales, deben hacerse ciertas
hipótesis respecto a las condiciones de deformación y a la distribución de tensiones. Estas
hipótesis permiten simplificar la solución matemática del problema pero, en general, conducen
inevitablemente a cierto grado de inexactitud en los resultados. En la Teoría de la Elasticidad,
en cambio, el estudio de elementos de barra no requiere ninguna hipótesis adicional. De esta
manera, los resultados obtenidos son más precisos y pueden ser utilizados para verificar la
aproximación de los resultados obtenidos mediante la Resistencia de Materiales.
A modo de ejemplo, cuando en Resistencia de Materiales se analiza el problema de
una viga recta bajo cargas transversales, se supone que una sección plana permanece plana
luego de la deformación. Esto conduce a una distribución lineal de las tensiones en la sección
transversal. En la Teoría de la Elasticidad, en cambio, se puede resolver el mismo problema sin
necesidad de esa hipótesis y se puede probar que, si la altura de la viga no es mucho menor que
la longitud, la distribución de tensiones se aparta bastante de la distribución lineal y la tensión
máxima resulta considerablemente mayor que la evaluada con la hipótesis de las secciones
planas.
Antes del siglo XX, los sistemas de barras se analizaban formalmente dentro del
campo de la Mecánica Estructural y no dentro de la Teoría de la Elasticidad. Ahora, en cambio,
muchos ingenieros utilizan una aplicación conjunta de ambas ramas de la Mecánica de los
Sólidos, lo que posibilita la obtención de soluciones para problemas elásticos complicados.
Aunque estas soluciones son aproximadas, son lo suficientemente precisas para aplicaciones
ingenieriles como el diseño. Un ejemplo claro de la utilización conjunta de la Mecánica
Estructural y de la Teoría de la Elasticidad es el Método de los Elementos Finitos desarrollado
en los últimos 40 años. Este método permite resolver problemas de la Teoría de la Elasticidad
discretizando el cuerpo en cuestión y luego aplicando el método de las fuerzas o el método de
los desplazamientos desarrollados en Mecánica Estructural.
En realidad, lo que se debe hacer en el diseño de elementos estructurales es aplicar
en cada caso, el método de solución que permita obtener la mejor solución a menor costo.
Para evaluar las tensiones, deformaciones y desplazamientos en un problema elástico
se deben derivar una serie de ecuaciones básicas y condiciones de borde. Sin embargo, si
durante este proceso de derivación se consideran todos los factores que intervienen en el
problema que se está analizando, los resultados obtenidos serán tan complicados que no tendrán
aplicación práctica. Es por ello que resulta conveniente hacer algunas hipótesis simplificativas
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básicas sobre las propiedades de los cuerpos estudiados y sobre el rango del estudio realizado.
De esta manera, se puede despreciar la influencia de ciertos factores de menor importancia con
el fin de simplificar las ecuaciones.
En este curso se trabaja en el marco de la Teoría de la Elasticidad Lineal de Sólidos
Isótropos y en pequeñas deformaciones. Las hipótesis son las siguientes:
a) Elasticidad lineal: Elasticidad es la propiedad de los cuerpos debido a la cual las
deformaciones producidas por las cargas desaparecen al retirar las cargas. La mayoría de
los materiales ingenieriles poseen, dentro de cierto rango, la propiedad de elasticidad. La
elasticidad significa que si las fuerzas que producen la deformación no superan cierto
límite, la deformación desaparece al retirar las cargas. En otras palabras, elasticidad es la
propiedad de los cuerpos de recuperar su estado al quitar las cargas.
En esta asignatura se supone que los cuerpos son perfectamente elásticos, es decir, que
recuperan su forma al dejar de actuar las cargas. La teoría de la elasticidad admite
distintos tipos de relaciones entre fuerzas y deformaciones. Sin embargo, en este curso,
se supone, además, que la relación entre tensiones y deformaciones es lineal. Por eso se
dice que se hace la hipótesis de elasticidad lineal. Bajo esta hipótesis, las constantes
elásticas no dependen de las magnitudes de las tensiones ni de las deformaciones. Para el
caso de un ensayo de tracción uniaxial de una barra de material elástico lineal como la de
la Fig.1, se obtiene una curva fuerza-alargamiento lineal como la que se muestra en la
misma figura. En este caso se trata de linealidad física o material. Cuando este
comportamiento no es lineal se tiene no linealidad material
Figura 1. Curva carga – desplazamiento de una barra de material elástico lineal.
b) Continuidad: El cuerpo es continuo, esto es, todo el volumen está ocupado por materia,
sin vacíos. Esta hipótesis permite representar las cantidades físicas del cuerpo, como
tensiones, deformaciones y desplazamientos, mediante funciones continuas de las
coordenadas espaciales. En realidad, todos los materiales ingenieriles están formados por
partículas elementales y no cumplen con esta hipótesis. Un ejemplo típico es el suelo. Sin
embargo, se puede aceptar que esta hipótesis no conduce a errores significativos cuando
las dimensiones de la pieza considerada son grandes con relación al tamaño de las
partículas y a la distancia entre partículas vecinas.
c) Homogeneidad: El material es homogéneo de modo que las propiedades elásticas son las
mismas en todo el cuerpo. Cualquier volumen elemental extraído del cuerpo tiene las
mismas propiedades elásticas que el resto del cuerpo. Bajo esta hipótesis, se puede
analizar un volumen elemental aislado del cuerpo y luego aplicar los resultados del
análisis a todo el cuerpo.
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d) Isotropía: El cuerpo es isótropo, es decir las propiedades elásticas son iguales en todas las
direcciones.
La mayoría de los materiales ingenieriles no satisfacen estas hipótesis
completamente. Por ejemplo, cuando se estudia en microscopio el acero estructural, se puede
ver que está constituido por distintos tipos de cristales con diversas orientaciones. Pareciera ser
que el material está lejos de ser homogéneo e isótropo. Sin embargo, como las dimensiones de
un cristal son mucho menores que las de las piezas generalmente estudiadas y, además, como
los cristales están orientados aleatoriamente, el comportamiento de una pieza de acero, en
promedio, parece justificar la hipótesis de homogeneidad e isotropía.
Hay otros casos, en cambio, en los cuales la hipótesis de isotropía puede conducir a
serios errores. Es el caso de los metales sometidos a grandes deformaciones previas que inducen
anisotropía en los mismos o el caso de la madera.
En muchas oportunidades se hace una hipótesis adicional para obtener ecuaciones
diferenciales lineales:
e) Los desplazamientos y las deformaciones son pequeños, lo cual significa que las
componentes de desplazamiento son pequeñas en relación con las dimensiones originales
y que las componentes de deformación son mucho menores que la unidad. Esto permite
formular las ecuaciones de equilibrio del cuerpo deformado utilizando las dimensiones y
ángulos del cuerpo indeformado y despreciar productos de pequeñas cantidades. Como
resultado de esta hipótesis se obtienen ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales
lineales.
Cuando esta hipótesis no se cumple se habla de no linealidad geométrica.
Problema: Analizar la validez de las hipótesis a) a d) en el caso del hormigón, hormigón
armado y suelos.
TENSIONES
FUERZAS EXTERNAS
En la Teoría de la Elasticidad se consideran fuerzas externas a aquellas fuerzas que
actúan sobre el cuerpo, es decir a las acciones. No se incluyen dentro de las fuerzas externas a
aquellas fuerzas normalmente denominadas reacciones que, en principio, salvo en problemas
triviales, no se conocen antes de resolver el problema. Las fuerzas externas que actúan en los
cuerpos pueden ser de dos tipos: fuerzas volumétricas o másicas y fuerzas de superficie.
a) Fuerzas volumétricas o másicas: Son aquellas fuerzas externas distribuidas en el volumen
del cuerpo, como el caso de las fuerzas gravitatorias o fuerzas de inercia en cuerpos en
movimiento.
Considérese un punto P en un sólido y considérese un volumen elemental V alrededor
del mismo. Supóngase que la fuerza elemental que actúa en V es Q
, entonces la fuerza
volumétrica promedio será VQ /
(ver Fig.2). Si se supone que las fuerzas
volumétricas están distribuidas en forma continua en el sólido considerado y se contrae
V hacia el punto P , la cantidad VQ /
tiende a cierto límite F
:
FV
QlimV
0
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Figura 2. Fuerzas volumétricas.
Esta cantidad vectorial F
es el vector de fuerzas volumétricas en P . Como V es
una cantidad escalar, Q
indica la dirección de F
. Las proyecciones de F
sobre los ejes x - y
- z se denotan con X , Y y Z respectivamente y son las denominadas componentes de fuerzas
volumétricas en P . Estas componentes son consideradas positivas o negativas según actúen en
la dirección positiva o negativa de los ejes correspondientes y tienen unidades [F/L3].
b) Fuerzas de superficie: En este caso se debe hacer una distinción cuidadosa entre
superficies exteriores y superficies interiores. Una superficie exterior es una superficie
cualquiera que forma parte de la superficie límite del cuerpo. Por ejemplo, la superficie que
limita la cavidad interna de un recipiente que contiene líquidos a alta presión es una
superficie externa. Las superficies internas, en cambio, son creadas por cortes imaginarios
del medio continuo.
En este punto, en el que se estudia la clasificación de las fuerzas externas, interesan
las fuerzas de superficie actuantes en superficies externas.
Las fuerzas externas de superficie son aquellas del tipo carga distribuida por unidad
de superficie, presión o presión hidrostática.
Considérese un punto P en una superficie externa de un sólido y considérese un área
elemental S alrededor del mismo. Supóngase que la fuerza elemental que actúa en S
es Q
, entonces la fuerza de superficie promedio será SQ /
. Si se supone que las
fuerzas de superficie están distribuidas en forma continua sobre la superficie del sólido
considerado y se contrae S hacia el punto P , la cantidad SQ /
tenderá a cierto límite
F
:
FS
QlimS
0
Esta cantidad vectorial F
es el vector de fuerzas de superficie en P . Como S es
una cantidad escalar, Q
indica la dirección de F
. Las proyecciones de F
sobre los ejes x - y
- z se denotan con X , Y y Z respectivamente y son las denominadas componentes de fuerzas
de superficie en P . Estas componentes son consideradas positivas o negativas según actúen en
la dirección positiva o negativa de los ejes correspondientes y tienen unidades [F/L2].
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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Figura 3. Fuerzas de superficie.
Problemas:
Pensar ejemplos de fuerzas másicas y de superficie en problemas reales.
Identificar las componentes de fuerzas másicas producidas por el peso propio
de un cuerpo.
¿Qué sucede con las fuerzas concentradas o distribuidas en una línea?.
Identificar cuáles son las fuerzas externas, de qué tipo son, y cuánto valen sus
componentes, en distintas estructuras y elementos estructurales.
VECTOR TENSION
Hasta ahora se ha tratado únicamente el tema de fuerzas externas. Bajo la acción de
fuerzas externas, se producirán fuerzas internas entre las distintas partes del cuerpo. Para
estudiar estas fuerzas se corta al cuerpo mediante una superficie imaginaria m - n.
Considérese un cuerpo en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas como el de la Fig. 4a.
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Figura 4. Definición de vector tensión.
A continuación, supóngase que se lo divide en dos partes A y B mediante una
sección m - n. Si se considera la parte A , se puede afirmar que está en equilibrio debido a las
fuerzas que actúan en ella y las actuantes en m - n (que representan las acciones de la parte B
sobre la A ). Normalmente, estas últimas se definen por su intensidad, es decir la fuerza por
unidad de área en la que actúan (vector tensión) y no están uniformemente distribuidas.
El vector tensión representa entonces la fuerza por unidad de área que hace la parte
B sobre la parte A en un determinado punto P y en una determinada área que está
caracterizada por su normal N
. Es un vector que tiene la dirección de la resultante de fuerzas
en esa área Q
y magnitud de fuerza por unidad de área. Se calcula como:
S
Q
dS
Qdp
S
N
0lim
N
z
N
y
N
x
N
p
p
p
p
Como por el punto P se pueden definir infinitas superficies caracterizadas por
normales N
distintas entre sí, se pueden definir infinitos vectores tensión en un mismo punto.
Esto muestra la necesidad de especificar la superficie en la cuál se está calculando el vector
tensión, que queda identificada mediante la dirección de la normal externa a la misma N
(vector unitario en la dirección de la normal externa, es decir, 1N
)
COMPONENTES DE TENSIÓN
Considérense ahora tres elementos de superficie normales a los ejes coordenados
pasando por un punto P como se muestra en la Fig. 5 (los planos se han desplazado levemente
para hacer más claro el dibujo). En correspondencia con esos tres planos se pueden definir tres
vectores tensión para el punto P : zyx ppp
,, que representan los vectores tensión en planos
normales a los ejes x - y - z respectivamente (ver Fig. 5).
Cada uno de esos vectores tensión tiene, además, tres componentes según cada uno
de los ejes coordenados como se indica a continuación.
Componentes
Vector tensión en un plano perpendicular al eje x: xp
pxx px
y pxz
Vector tensión en un plano perpendicular al eje y: yp
p yx p y
y p yz
Vector tensión en un plano perpendicular al eje z: zp
pzx pz
y pzz
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Figura 5. Vectores tensión en tres planos ortogonales.
Estas seis componentes se denominan componentes de tensión y suelen agruparse en
forma de matriz formando el denominado tensor de tensiones:
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
ppp
ppp
ppp
σ
O sea que las componentes del tensor de tensiones en un punto P representan las
componentes en la dirección de los ejes coordenados de los tres vectores tensión que actúan en
planos normales a los ejes coordenados en el punto.
En general, para las componentes de tensión se usa la siguiente notación:
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σ
Se adopta la letra para las tensiones normales (elementos de la diagonal) y para
las tensiones tangenciales. El primer subíndice indica la dirección de la perpendicular al plano
en el que actúa la tensión y el segundo la dirección de la componente.
El tensor de tensiones define completamente el estado de tensiones de un punto.
Convención de direcciones y signos:
Componente normal: Es positiva si es de tracción y negativa si es de compresión.
Componente tangencial: Cuando la normal saliente al plano considerado coincide con el sentido
positivo del eje de coordenadas, las componentes en dicho plano tienen signo positivo si sus
sentidos coinciden con los sentidos positivos de los otros ejes de coordenadas y negativo en
caso contrario.
Para definir un vector (por ejemplo fuerza) hacen falta tres componentes. Para definir
el estado tensional hacen falta nueve (o seis como se verá más adelante) componentes. El
concepto de tensión es más complejo que el de fuerza. El tensor de tensiones contiene más
información que el vector tensión. Un tensor difiere de un vector en la forma como cambian
sus componentes cuando cambia el sistema de referencia. Se verá más adelante que las
componentes de tensión no se transforman como fuerzas.
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Simetría del tensor de tensiones
Como se vio hasta ahora, para definir el estado tensional en un punto hacen falta tres
componentes de tensión normal y seis de tensión tangencial, nueve en total. Se demostrará ahora
que las componentes de tensión tangencial se pueden reducir a tres porque las componentes con
índices en posición inversa son iguales entre sí.
Para ello se analiza el equilibrio del elemento diferencial de dimensiones dx - dy - dz
de la Fig. 6 y se plantea el equilibrio de momentos respecto a ejes paralelos a los ejes
coordenados que pasan por el centro del prisma:
Figura 6. Prisma diferencial.
Momento respecto a:
Eje paralelo al eje x: 0 dydxdzdzdxdydA
yz
dA
zy yzzy
Eje paralelo al eje y: zxxz
Eje paralelo al eje z: yxxy
Por lo tanto el tensor de tensiones es simétrico.
Las seis cantidades x , y , z , yxxy , zxxz , yzzy son suficientes para
definir las tensiones que actúan en tres planos coordenados pasando por un punto.
No sólo los valores de las tensiones tangenciales son iguales según las ecuaciones
anteriores, sino que además quedan definidos los sentidos de cada una de ellas de acuerdo a la
convención de signos utilizada.
VECTOR TENSIÓN EN UN PLANO DE INCLINACIÓN CUALQUIERA
Supóngase el tetraedro diferencial de la Fig. 7 alrededor del punto O . Si las tensiones
varían en forma continua, las tensiones en el tetraedro aproximan las tensiones en O cuando
las dimensiones de tetraedro tienden a cero.
Supóngase un plano inclinado cualquiera, definido por la orientación de su normal
N
. Los ángulos que forma la normal al plano con los ejes coordenados son:
xN,
yN,
zN ,
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y los cosenos de esos ángulos son:
xNl ,coscos
yNm ,coscos
zNn ,coscos
y se denominan cosenos directores de la normal al plano.
Las componentes de la normal al plano resultan:
llxNNN x 1,cos
mmyNNN y 1,cos
nnzNNN z 1,cos
y son directamente los cosenos directores porque N
es un vector unitario.
Entonces el vector unitario normal al plano puede escribirse como:
n
m
l
N
Figura 7. Vector tensión en un plano cualquiera.
Su norma vale 1, esto es:
1222 nml
Se llama Np
al vector tensión en el plano de normal N
:
Nz
Ny
Nx
N
p
p
p
p
Sus componentes se pueden obtener mediante ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
Para ello, es necesario calcular las áreas donde actúan los vectores tensión:
ACBAArea
mAmCBAAreaCAOArea
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lAlCBAAreaBCOArea
nAnCBAAreaBAOArea
Se plantea entonces el equilibrio de fuerzas en la dirección de los ejes coordenados:
0 0 ApnAmAlAF N
xzxyxxx
nmlpF zxyxx
N
xx 0
nmlpF zyyxy
N
yy 0
nmlpF zyzxz
N
zz 0
Escrito en forma matricial:
n
m
l
NN
p
p
p
p
zyzxz
zyyxy
zxyxx
T
N
z
N
y
N
x
N
Esta última ecuación se denomina fórmula de Cauchy.
Comentario. ¿Para qué sirve conocer el vector tensión en una superficie de normal N
?.
Por ejemplo, para poder plantear condiciones de borde en un contorno sometido a fuerzas por
unidad de superficie. El vector tensión, que representa la resultante de las fuerzas internas,
debe ser igual a las fuerzas externas por unidad de superficie.
Ejemplo
Supóngase que se quiere encontrar el vector tensión en un plano perpendicular al eje x (OBC)
0
0
1
N
xz
xy
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
N
z
N
y
N
x
N
p
p
p
p
0
0
1
que son justamente las tensiones que actúan en un plano perpendicular al eje x.
TENSOR DE TENSIONES EN UN SISTEMA GIRADO RESPECTO AL SISTEMA
ORIGINAL
Supóngase que se conocen las componentes del tensor de tensiones en un sistema x
- y - z, y se quieren calcular las componentes en un sistema girado respecto a éste definido por
los ejes x’ - y’ - z’ como se indica en la Fig. 8.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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Figura 8. Tensor de tensiones en un sistema de coordenadas girado.
La rotación de los ejes queda definida por tres ángulos independientes que indican el
giro de un sistema respecto a otro. Existen distintas convenciones para definir esos ángulos.
Considérese en primer lugar un elemento de superficie normal a x´. (ver Fig. 9).
Los cosenos directores de la normal al plano están dados por
)´,cos(
)´,cos(
)´,cos(´
zx
yx
xx
N x
Figura 9. Vector tensión en la cara normal al eje x’.
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El vector tensión en ese plano puede calcularse usando la fórmula de Cauchy:
´' xTx Np
)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zxyxx
x
x
)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zyyxy
x
y
)´,cos()´,cos()´,cos(´ zxyxxxp zyzxz
x
z
De manera análoga podrían calcularse los vectores tensión en los dos otros planos
inclinados, normales a y’ y z’ respectivamente:
´' yTy Np
´' zTz Np
Condensando lo anterior y llamando:
)´,cos( xxaxx )´,cos( yxaxy )´,cos( zxaxz
xz
xy
xx
x
z
x
y
x
x
x
a
a
a
p
p
p
p ´
´
´
'
yz
yy
yx
y
z
y
y
y
x
y
a
a
a
p
p
p
p ´
´
´
'
zz
zy
zx
z
z
z
y
z
x
z
a
a
a
p
p
p
p ´
´
´
'
Pero las componentes de los vectores tensión en tres planos perpendiculares a los
nuevos ejes son las componentes de dichos vectores tensión referidas al sistema de coordenadas
original. Dicho de otra forma, son las proyecciones de dichos vectores en los ejes x - y - z, como
se indica en la Fig. 9. Para definir el tensor de tensiones en el sistema rotado, interesa conocer
las componentes en el nuevo sistema. Esto se puede calcular proyectando cada una de las
componentes en la dirección de los nuevos ejes:
'´
´
´
'''
'''
'''
´
´
´
'
' x
x
z
x
y
x
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zz
x
zzy
x
yzx
x
x
yz
x
zyy
x
yyx
x
x
xz
x
zxy
x
yxx
x
x
x
z
x
y
x
x
x pA
p
p
p
aaa
aaa
aaa
apapap
apapap
apapap
p
p
p
p
Con
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
aaa
aaa
aaa
A Matriz de rotación.
En realidad, los nueve elementos de esta matriz no son independientes entre sí porque
dependen de los tres ángulos usados para definir la rotación.
De manera análoga:
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'´
´
´
´
´
´
'
' y
y
z
y
y
y
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
y
z
y
y
y
x
y pA
p
p
p
aaa
aaa
aaa
p
p
p
p
'´
´
´
´
´
´
'
' z
z
z
z
y
z
x
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
z
z
y
z
x
z pA
p
p
p
aaa
aaa
aaa
p
p
p
p
El tensor de tensiones en el sistema rotado será
tt
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
t
tz
ty
tx
tt
z
tt
y
tt
x
tz
ty
tx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
AAA
aaa
aaa
aaa
A
p
p
p
Ap
Ap
Ap
p
p
p
ppp
ppp
ppp
'''
'''
'''
''
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
σ
tAA '
TENSIÓN NORMAL Y TENSIÓN TANGENCIAL EN UN PLANO DE NORMAL N
Para encontrar la tensión normal y tangencial en un plano de normal N
se debe
proyectar el vector tensión en la dirección de la normal al plano y de la tangente respectivamente
(ver Fig. 10).
Figura 10. Tensión normal y tangencial en un plano.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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La tensión normal es la proyección del vector sobre la normal, esto es:
),cos( Npp NNN
Recordando que el producto escalar (indicado por un punto) de los vectores tensión
y normal es:
),cos(
1
NpNpNp NNN
y teniendo en cuenta que el vector N
es unitario, la proyección del vector tensión sobre la
normal se puede escribir directamente como el producto escalar de dicho vector por el vector
N
npmplpNpNp N
z
N
y
N
x
tNNN
Introduciendo la fórmula de Cauchy, esta ecuación puede escribirse también como:
nmlnmlnmlNNNp yzzxxyzyx
ttNN 2 2 2222
La expresión de la tensión tangencial puede deducirse teniendo en cuenta que el
vector tensión es la resultante de la tensión normal y tangencial y que ambas son ortogonales.
Usando el teorema de Pitágoras:
22 NNNp
de donde:
22NNN p
DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓN Y TENSIONES PRINCIPALES
Se mencionó antes que, con la fórmula de Cauchy, se puede encontrar el vector
tensión Np
para cada uno de los infinitos planos de normal N
que pasan por un punto. Ese
vector puede descomponerse en la dirección normal al plano y en la dirección tangencial al
plano. Interesa determinar aquellos planos para los cuales Np
tiene la dirección de la normal
al plano ( 0N ) o, dicho de otra forma, aquellos planos para los cuales el vector tensión es
normal al plano. En esos planos la tensión normal N es máxima y la tensión tangencial N es
nula. Dichos planos se denominan planos principales de tensión y las normales a los mismos,
se llaman direcciones principales de tensión. Las tensiones normales que actúan en dichos
planos se denominan tensiones principales.
En resumen:
Los planos principales de tensión son planos en los cuales las tensiones normales
son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.
Las direcciones principales de tensión son las direcciones de las normales a los
planos en los cuales las tensiones normales son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.
Las tensiones principales son las tensiones normales máximas que ocurren en planos
donde se anulan las tensiones tangenciales.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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Figura 11. Tensiones principales y direcciones principales de tensión.
Supóngase que el plano inclinado de la Fig. 11 es un plano principal. Entonces el
vector tensión tiene la misma dirección que la normal al plano y la tensión normal N es
directamente la norma del vector tensión.
Si se designan:
N
a las direcciones principales de tensión N a las tensiones principales
El vector tensión se puede escribir
N
n
m
l
p
p
p
p NN
N
z
N
y
N
x
N
Pero, por la fórmula de Cauchy se tenía también que:
NpTN
Igualando ambas expresiones, se tiene:
0
0
NIN
NN
NN
NT
NT
NT
donde I es la matriz identidad de 3x3.
Sacando factor común:
0 NINT
Este es un sistema de ecuaciones que permitiría encontrar las tres componentes de
N . Pero no se conoce tampoco el valor de N . En realidad, se trata de un problema de
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autovalores. Una condición necesaria y suficiente para que este problema tenga solución N
distinta de la trivial es que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema sea nulo.
Esto es:
0 IN
El desarrollo del determinante conduce a la siguiente ecuación característica:
03.2
2
1
3 III
donde:
trI zyx 1
zzx
xzx
zzy
yzy
yyx
xyxI
2
det3 I
I1, I2 e I3 se denominan invariantes de tensión porque son independientes del sistema
de referencia. La ecuación característica es independiente del sistema de referencia.
Se puede demostrar que esta ecuación tiene tres raíces reales que resultan
independientes del sistema de referencia y que son justamente las tensiones principales que se
estaban buscando. Generalmente, por convención, las tensiones principales se denominan
321
Reemplazando cada uno de estos tres valores en la ecuación 0 NINT
, se obtienen las componentes de los 3 vectores N
correspondientes que indican las tres
direcciones principales y que son mutuamente ortogonales.
Si se conocen las tensiones principales y las direcciones principales de tensión queda
determinado el estado de tensiones en el punto.
Como las tensiones tangenciales son nulas en los planos principales, el tensor de
tensiones tiene la siguiente forma cuando se lo refiere a las direcciones principales de tensión:
3
2
1
00
00
00
Referidos a las direcciones principales, los invariantes de tensión resultan:
3211 I
1332212 I
3213 I
TENSIONES DE CORTE MÁXIMAS
De igual manera que existen planos en los que la tensión normal N es máxima y la
tensión tangencial N es nula, también existen algunos planos en los que N es máxima. En
esos planos la tensión normal no es necesariamente nula. Las normales a dichos planos se
denominan direcciones principales de corte. Se puede demostrar (se desarrolla en el Anexo)
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
17
que las direcciones principales de corte están giradas 45º respecto de las direcciones principales
de tensión y los valores de las tensiones máximas de corte están dados por
2
21max
,
2
32max
,
2
31
max
TENSOR DESVIADOR DE TENSIONES
Para algunos fines, resulta conveniente descomponer el tensor de tensiones en
una parte hidrostática pura (igual presión en todas las direcciones) y una parte desviadora que
indica cuánto se desvía el estado tensional del estado hidrostático. Se escribe entonces
desviadoraparte
cahidrostátiparte
m SI
33
1Izyx
m
Tensión media
S
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
m
m
m
zzyzx
yzyyx
xzxyx
00
00
00
Donde S es el tensor desviador de tensiones que se puede calcular como:
mIS
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
SSS
SSS
SSS
S
Al igual que para el caso del tensor de tensiones, existen ciertas direcciones para las
cuales las componentes de la diagonal del tensor desviador de tensiones son máximas y el resto
nulas. Estas direcciones se denominan direcciones principales del tensor desviador de tensiones.
El procedimiento utilizado para calcular las direcciones y tensiones desviadoras principales es
totalmente análogo al utilizado para calcular las tensiones principales y direcciones principales
de tensión.
Debe observarse que la suma de las componentes de la diagonal del tensor desviador
de tensiones es nula ( 01 zyx SSSJ ). Esto muestra que la presión hidrostática o la
presión media de un estado puramente desviador es nula.
Las direcciones principales del tensor desviador de tensiones coinciden con las del
tensor de tensiones porque ambos tensores se diferencian en un estado hidrostático que no
modifica las direcciones principales. Esto se puede ver claramente si se expresa el tensor de
tensiones en las direcciones principales de tensión:
3
2
1
00
00
00
Y ahora se calcula el tensor desviador de tensiones en esas direcciones:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
18
3
00
00
00321
3
2
1
m
m
m
m
S
Observando la forma del tensor desviador de tensiones en las direcciones principales
de tensión, con elementos nulos fuera de la diagonal, se puede concluir que las direcciones
principales de tensión son también direcciones principales del tensor desviador de tensiones.
Es decir que las direcciones principales de y S son coincidentes.
CUÁDRICA DE CAUCHY
Como ya se vio anteriormente, la tensión normal en un plano puede calcularse como:
npmplp zyx
N
Reemplazando las componentes del vector tensión por las calculadas mediante la
fórmula de Cauchy, resulta:
nlmnlmnml xzyzxyzyx
N 222222
Interesa ver cómo varía N cuando varía N
(normal al plano)
Considérese un vector en la dirección de N
cuya longitud r es inversamente
proporcional a la raíz cuadrada del valor absoluto de N
N
kr
k : constante
Las coordenadas del extremo de este vector serían
lrx mry nrz
Despejando de las ecuaciones anteriores
2
2
r
kN
r
xl
r
ym
r
zn
Reemplazando en la expresión de la tensión normal
2222
2
2
2
2
2
2
2
222r
zx
r
zy
r
yx
r
z
r
y
r
x
r
kxzyzxyzyx
Multiplicando ambos miembros por 2r
xzyzxyzyxk xzyzxyzyx 2222222
Esta es la ecuación de una cuádrica que se denomina cuádrica de Cauchy. A medida
que el plano de normal N
rota, el extremo del vector r
se mueve sobre una superficie de
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
19
segundo grado como esta. El vector tensión tiene la dirección de la normal a la cuádrica n
en
el punto definido por el extremo del vector r
y 2
2
2
2
OP
k
r
kN (ver Fig. 12).
Figura 12. Cuádrica de Cauchy
Siempre es posible encontrar ejes x - y - z tales que los productos cruzados se anulen.
Esos son justamente los ejes principales de tensión
ELIPSOIDE DE LAMÉ
Supóngase que se toman direcciones de referencia coincidentes con las direcciones
principales de tensión. Ver Figura 13.
Figura 13. Vector tensión en un plano de normal N
usando como ejes de referencia las direcciones
principales de tensión.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
20
La normal al plano es
n
m
l
N
y el tensor de tensiones referido a las direcciones
principales de tensión es
3
2
1
00
00
00
Aplicando la fórmula de Cauchy se obtiene
n
m
l
N
p
p
p
pT
3
2
1
3
2
1
00
00
00
lp 11 mp 22 np 33
de donde:
1
1
pl
2
2
pm
3
3
pn
Como N
es un vector unitario
1222 nml
Reemplazando l , m y n por los valores anteriores:
1
2
3
3
2
2
2
2
1
1
ppp
Esta es la ecuación de un elipsoide que se denomina Elipsoide de tensiones (Elipsoide
de Lamé). Sus semiejes son las tensiones principales (ver Fig. 14).
Cuando el plano de normal N
rota, el extremo del vector p se mueve sobre ese
elipsoide. Si dos de las tensiones son iguales se tiene un elipsoide de revolución. Si las tres
tensiones son iguales se tiene una esfera.
Figura 14. Elipsoide de Lamé.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
21
ECUACIONES DE EQUILIBRIO
Hasta ahora se vio cómo varían las tensiones en un punto al variar la inclinación del
plano considerado. Interesa saber ahora qué sucede cuando se pasa de un punto a otro del
espacio. ¿Cómo varían las tensiones?
Para ello se plantea el equilibrio de un prisma diferencial de caras paralelas a los
planos coordenados considerando la variación de las tensiones de una cara a otra del prisma. Se
supone que las tensiones varían en forma continua en el interior del cuerpo (ver Fig. 15).
Tensiones en las caras de normal negativa
Tensiones en las caras de normal positiva
Figura 15. Equilibrio de un prisma diferencial
Si se plantea el equilibrio de fuerzas en la dirección x , se tiene
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
22
0
0
Xdxdydzdxdydzz
dxdzdyy
dydzdxx
F
zxzx
zx
yx
yx
yxxx
xx
Simplificando resulta:
0
X
zyxzxyxx
Planteando, de manera análoga, el equilibrio de fuerzas en las otras dos direcciones
se llega a las tres ecuaciones de equilibrio:
0
0
0
Zyxz
Yzxy
Xzyx
yzxzz
zyxyy
zxyxx
en V
Estas ecuaciones se deben satisfacer en todos los puntos del volumen V del sólido.
En la superficie externa las tensiones deben estar en equilibrio con las fuerzas externas que
actúan en la superficie del cuerpo. Esto permite plantear las condiciones de borde en aquellas
partes de la frontera externa donde se conocen las fuerzas de superficie.
CONDICIONES DE BORDE
Sean ZYX ,, las componentes de las fuerzas por unidad de superficie actuantes en
la superficie externa S . En esa superficie se debe cumplir que:
Np N
Z
Y
X
en S
Desarrollando
nmlX zxyxx
nlmY zyxyy en S
mlnZ yzxzz
Donde nml ,, son los cosenos directores de la normal a la superficie.
Si se trata de encontrar el estado de tensiones de un cuerpo sometido a la acción de
las fuerzas dadas se deben resolver las ecuaciones diferenciales y la solución debe cumplir las
condiciones de borde en tensión. Pero son sólo tres ecuaciones con seis incógnitas, es decir no
son insuficientes.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
23
EXPRESION VECTORIAL DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE
TENSIONES
Como el tensor de tensiones es simétrico, sólo hacen falta definir seis de sus
componentes para definir el estado tensional. Muchas veces, a los fines de almacenar en forma
más eficiente las componentes de tensión y simplificar la notación, se ordena las componentes
de tensión en un vector como sigue:
xz
yz
xy
x
y
x
No existe una convención definida para el orden de las componentes dentro de este
vector. Se debe tener en cuenta, además, que las componentes de tensión forman un tensor de
rango dos o matriz, para el cual son válidas todas las operaciones definidas anteriormente.
Dichas operaciones no se pueden extrapolar directamente a la forma vectorial.
DEFORMACIONES
INTRODUCCIÓN
En general, cuando los puntos de un cuerpo se desplazan, dependiendo de cómo
varían los desplazamientos en el interior del cuerpo, se puede generar un movimiento de cuerpo
rígido (desplazamiento y giro sin deformación) y una deformación. En este punto se estudian
las deformaciones que están relacionadas con el cambio de distancia entre dos puntos. Para ello
se hacen las siguientes hipótesis:
Los desplazamientos son pequeños y varían en forma continua en el volumen del
cuerpo.
Las deformaciones son pequeñas.
DESPLAZAMIENTOS
Figura 16: Desplazamiento de un punto.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
24
El desplazamiento de un punto P que lo lleva a la posición P se puede definir
mediante el siguiente vector:
w
v
u
U
En general, ),,( zyxuu , ),,( zyxvv , ),,( zyxww .
DEFORMACIÓN EN UN PUNTO
La deformación está relacionada con el cambio de la distancia entre los puntos del
cuerpo. Para medir la deformación en un punto se estudia, entonces, cómo cambia la distancia
entre ese punto y un punto separado una longitud diferencial en una cierta dirección.
Considérese el segmento diferencial PQ de la Fig. 17 y supóngase que luego de la
deformación resulta en ''QP
Figura 17. Deformación de un segmento diferencial.
En la Fig. 17 se indican las coordenadas de los puntos P y Q antes y después de la
deformación.
Debido a la hipótesis de que los desplazamientos varían en forma continua, se puede
escribir que:
dzz
udy
y
udx
x
udu
dzz
vdy
y
vdx
x
vdv
dzz
wdy
y
wdx
x
wdw
La longitud del segmento PQ antes de la deformación está dada por:
2222dzdydxPQ
Si l , m y n son los cosenos directores de PQ
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
25
PQ
dxl
PQ
dym
PQ
dzn
Luego de la deformación la norma de ''QP vale:
222
2222''
dzz
wdy
y
wdx
x
wdzdz
z
vdy
y
vdx
x
vdydz
z
udy
y
udx
x
udx
dwdzdvdydudxQP
Si se llama a la deformación por unidad de longitud del segmento PQ , se puede
escribir:
222
222)1(''
dzz
wdy
y
wdx
x
wdzdz
z
vdy
y
vdx
x
vdydz
z
udy
y
udx
x
udx
PQQP
Dividiendo esta última expresión por 2
PQ y teniendo en cuenta las expresiones de
l , m y n anteriores, se llega a:
222
222
2
111
)1(
nz
wm
y
wl
x
wn
z
vm
y
vl
x
vn
z
um
y
ul
x
u
nz
wm
y
wl
x
wnn
z
vm
y
vl
x
vmn
z
um
y
ul
x
ul
Desarrollando:
nz
wm
y
wn
z
wl
x
wm
y
wl
x
wn
z
wm
y
wl
x
w
nz
vm
y
vn
z
v
x
vll
x
vm
y
vn
z
vm
y
vl
x
v
nz
um
y
un
z
u
x
ulm
y
u
x
uln
z
um
y
ul
x
u
121221
122121
21212121
2
222
2
2
22
22
2
2
2
Debido a la hipótesis de pequeñas deformaciones se pueden despreciar los productos
de derivadas y 2 . Resulta entonces:
y
wmn
x
wnl
z
vmn
x
vlm
z
unl
y
ulm
z
wn
y
vm
x
ul
222
TENSOR DE DEFORMACIONES
La ecuación anterior puede escribirse en forma más compacta como sigue:
222
22222 yzxzxy
zyx mn2
lnlmnml
Donde:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
26
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yzxzxy
zyx
Son las componentes de deformación que pueden acomodarse en un tensor,
denominado tensor de deformaciones, de la siguiente manera:
z
yzxz
yz
y
xy
xzxy
x
22
22
22
Este tensor es simétrico por definición.
Las componentes x , y y z se denominan deformaciones normales, mientras que
xy , xz y yz se denominan deformaciones angulares. Se verá más adelante que esta
denominación está relacioanda con la interpretación geométrica de las respectivas componentes
de deformación.
La ecuación que define la deformación del segmento PQ puede escribirse en forma
resumida como sigue:
NNt
donde ttnmlN indica la dirección del segmento. Esto implica que, conocido el tensor
de deformaciones, se puede calcular la deformación en cualquier dirección. Si el tensor de
deformaciones es nulo en todos los puntos de un cuerpo, el cuerpo experimenta un movimiento
de cuerpo rígido.
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS COMPONENTES DE DEFORMACIÓN
La ecuación NNt puede particularizarse para calcular la deformación en
la dirección de los ejes coordenados como sigue:
Eje x : 0,0,1 nml x
Eje y : 0,1,0 nml y
Eje z : 1,0,0 nml z
Esto significa que las deformaciones normales indican deformaciones específicas en
la dirección de los ejes coordenados.
A estas mismas conclusiones podría llegarse si se analiza la deformación de un
elemento diferencial de volumen en la dirección de los ejes coordenados. A modo de ejemplo,
considérese un elemento diferencial dx - dy en el plano x - y como el de la Fig. 18.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
27
Figura 18. Deformación específica en la dirección x.
La deformación específica en la dirección x está dada por:
x
f
x
u
dx
dxdxx
udx
l
ll
0
0
De manera análoga puede probarse para las otras direcciones.
Para interpretar el sentido geométrico de las deformaciones angulares considérese un
elemento diferencial dx - dy en el plano x - y como el que se ilustra en la Fig. 19.
Figura 19. Deformación angular en el plano x - y.
y
u
x
v
x
v
y
u
representa lo que cambia un ángulo originalmente recto en la dirección de los ejes x - y, por
efecto de la deformación. De manera que las deformaciones angulares representan las
distorsiones de los ángulos originalmente rectos en los planos correspondientes.
Adicionalmente, en la Fig. 20 se puede ver que el cambio de volumen por unidad de
volumen puede escribirse como:
z
w
y
v
x
u
dxdydz
dxdydzdzz
wdzdy
y
vdydx
x
udx
V
VV f
v
))()((
0
0
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
28
Figura 20. Deformación volumétrica.
TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN SISTEMA DE REFERENCIA GIRADO
El tensor de deformaciones, al igual que el tensor de tensiones, es un tensor de rango
dos. Sus componentes varían cuando cambia el sistema de referencia de la misma forma que
cambian las componentes del tensor de tensiones.
Considérense dos sistemas de referencia x - y - z y x´ - y´ - z´, este último girado
respecto al anterior. La orientación del sistema x´ - y´ - z´ respecto del sistema x - y - z queda
definida por la matriz de rotación:
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
aaa
aaa
aaa
A
cuyos elementos son los cosenos de los ángulos que forman los ejes x´ - y´ - z´ con los ejes x -
y - z. Esto es
)´,cos( xxaxx )´,cos( yxaxy )´,cos( zxaxz
)´,cos( xya yx )´,cos( yya yy )´,cos( zya yz
)´,cos( xzazx )´,cos( yzazy )´,cos( zzazz
El tensor de deformaciones en el sistema x´ - y´ - z´ se expresa como:
tAA
DEFORMACIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES DE
DEFORMACIÓN
Observando la ecuación NNt , se puede ver que la deformación específica
en un punto depende de la dirección considerada. Hay ciertas direcciones para las cuales esa
deformación es máxima. Esas direcciones se denominan direcciones principales de
deformación y en los planos normales a esas direcciones las deformaciones angulares son nulas.
El procedimiento para encontrar las deformaciones principales y las direcciones
principales de deformación es totalmente análogo al utilizado para calcular las tensiones
principales y las direcciones principales de tensión.
Se obtiene el siguiente problema de autovalores:
0 NIN
Donde N es la deformación específica en la dirección N .
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
29
La condición necesaria y suficiente para que esta ecuación tenga solución distinta de
la tribial es que:
0 IN
Desarrollando este determinante, se llega a la siguiente ecuación característica:
03.2
2
1
3 III
donde:
vzyx trI 1
z
xz
xz
x
z
yz
yz
y
y
xy
xy
x
I
2
2
2
2
2
22
det3 I
321 ,, III se denominan invariantes del tensor de deformaciones porque son
independientes del sistema de referencia. La ecuación característica es independiente del
sistema de referencia.
Se puede demostrar que esta ecuación tiene tres raíces reales que resultan
independientes del sistema de referencia y que son justamente las deformaciones principales
que se estaban buscando. Generalmente, por convención, las deformaciones principales se
denominan:
321
Reemplazando cada uno de estos tres valores en la ecuación 0 NIN ,
se obtienen las componentes de los tres vectores N
correspondientes que indican las tres
direcciones principales de deformación y que son mutuamente ortogonales.
Si se conocen las deformaciones principales y las direcciones principales de
deformación, queda determinado el estado de deformaciones en el punto.
Como las deformaciones angulares son nulas en los planos principales, el tensor de
deformaciones tiene la siguiente forma cuando se usan como ejes de referencia las direcciones
principales de deformación:
3
2
1
00
00
00
Referidos a las direcciones principales, los invariantes de deformación se pueden
escribir como:
3211 I
1332212 I
3213 I
TENSOR DESVIADOR DE DEFORMACIONES
Todo estado de deformación puede descomponerse en dos partes: una parte
relacionada con el cambio de volumen y una parte relacionada con el cambio de forma. Esta
descomposición es útil cuando se plantean las relaciones tensión-deformación porque en
muchos materiales estos dos tipos de deformaciones son originados por distintos tipos de
tensiones.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
30
Esta descomposición del tensor de deformaciones se expresa como:
desviadoraparte
avolumétricparte
v eI 3
3Izyxv Deformación volumétrica
322
232
223
300
03
0
003
22
22
22
v
z
yzxz
yzv
y
xy
xzxyv
x
v
v
v
z
yzxz
yz
y
xy
xzxy
x
La parte volumétrica 3
vI
representa un cambio de volumen sin cambio de forma.
Se tiene la misma deformación específica en todas las direcciones.
La parte desviadora de la deformación está dada por el tensor desviador de
deformaciones e que se puede calcular como:
3
vIe
322
232
223
v
z
yzxz
yzv
y
xy
xzxyv
x
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
eee
eee
eee
e
El tensor desviador de deformaciones produce el cambio de forma. La suma de los
elementos de la diagonal de este tensor es nula lo cual confirma que un estado de deformaciones
puramente desviador no produce deformaciones volumétricas. Es decir 0 zzyyxx eee .
EXPRESIÓN VECTORIAL DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE
DEFORMACIONES
De manera análoga al caso de las tensiones, y teniendo en cuenta la simetría del
tensor de deformaciones, Sus componentes se pueden almacenar en un vector de la siguiente
forma:
xz
yz
xy
x
x
x
Debe observarse que, en este caso, las componentes del vector no coinciden con las
del tensor. La diferencia aparece en el factor ½ de las deformaciones angulares. Es importante
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
31
tener en cuenta que todas las ecuaciones antes desarrolladas se refieren al tensor con el factor
½.
Por otro lado, como en el caso de las tensiones, no existe una única convención para
ordenar las componentes de deformación en el vector.
ECUACIONES CINEMÁTICAS
Las seis ecuaciones
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yzxzxy
zyx
que relacionan las componentes del tensor de deformaciones con derivadas de las componentes
de desplazamiento se denominan ecuaciones cinemáticas. De las mismas se puede deducir que
si los desplazamientos son funciones lineales de las coordenadas, se tiene un estado de
deformación homogéneo en el que la deformación en una dirección dada no varía de punto a
punto. Este estado de deformación se caracteriza porque los planos se mantienen planos, las
rectas paralelas permanencen paralelas y las esferas se convierten en elipsoides. En casos más
generales, la deformación varía sobre el volumen. Ejemplos de deformación no homogénea son
la flexión y torsión de vigas.
MOVIMIENTO DE CUERPO RÍGIDO
Se dice que un cuerpo sufre un movimiento de cuerpo rígido cuando el mismo se
desplaza sin deformarse. Una condición necesaria y suficiente para que un cuerpo se desplace
como cuerpo rígido es que todas las componentes del tensor de deformaciones se anulen
0 en todo el volumen del cuerpo.
En general, ese desplazamiento de cuerpo rígido se puede descomponer en una
traslación más una rotación como se ilustra en la Fig. 21.
Figura 21. Movimiento de cuerpo rígido.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
32
Considérense los puntos P y Q de la Fig. 22 separados una longitud diferencial. La
diferencia entre los desplazamientos de ambos puntos está dada por:
dzz
udy
y
udx
x
udu
dzz
vdy
y
vdx
x
vdv
dzz
wdy
y
wdx
x
wdw
Las expresiones anteriores se pueden escribir también como:
dzx
w
z
udy
x
v
y
udz
x
w
z
udy
x
v
y
udx
x
udu
2
1
2
1
2
1
2
1
dzy
w
z
vdx
y
u
x
vdz
y
w
z
vdy
y
vdx
y
u
x
vdv
2
1
2
1
2
1
2
1
dyz
v
y
wdx
z
u
x
wdz
z
wdy
z
v
y
wdx
z
u
x
wdw
2
1
2
1
2
1
2
1
Figura 22. Desplazamiento diferencial.
Esto también puede escribirse como:
dzdydzdydxdu yzxzxyx 2
1
2
1
dxdzdzdxdydv zxyzyxy 2
1
2
1
dydxdydxdzdw xyzyzxz 2
1
2
1
Donde zyx ,, son las components del vector rotación definidas como sigue:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
33
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
z
x
x
2
1
2
1
2
1
z
y
x
Las componentes zyx ,, indican el giro alrededor de los ejes respectivos.
Es decir, que el movimiento relativo entre los dos puntos P y Q se debe a la
deformación y a la rotación. El desplazamiento de cuerpo rígido no produce cambio en la
distancia entre dos puntos, ya que en ese caso todos los puntos se desplazan lo mismo.
Si las deformaciones son nulas, el movimiento puede expresarse como un
desplazamiento de cuerpo rígido dado por ooo wvu ,, que son constantes y una rotación de
cuerpo rígido como sigue:
zyuu yzo
xzvv zxo
yxww xyo
La Fig. 21 representa esquemáticamente un movimiento de cuerpo rígido en el plano
x - y.
ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
Si se conoce el campo de desplazamientos wvu ,, , se pueden determinar las seis
componentes de deformación xzyzxyzyx ,,,,, utilizando las ecuaciones cinemáticas.
Si se plantea el problema inverso, no ocurre lo mismo. Supóngase que se conocen las
seis componentes de deformación y se quieren calcular los tres desplazamientos wvu ,, . Para
ello habría que integrar las ecuaciones cinemáticas. Allí aparece el problema de que se tienen
seis ecuaciones con tres incógnitas. Es probable que si las deformaciones están fijadas
arbitrariamente, el problema planteado no tenga una solución única para los desplazamientos.
Esto llevaría a que la solución matemática conduzca a dos valores distintos para el
desplazamiento de un mismo punto. Como se está tratando materiales continuos esto no es
aceptable. Hay que asegurar que la solución resulte un campo de desplazamientos simplemente
valuado. Para ello, se observa que, en realidad, las seis ecuaciones cinemáticas no son
independientes entre sí. Si se las relaciona se llega a las condiciones que deben cumplir las
componentes de deformación para que se pueda encontrar un campo de desplazamientos
simplemente valuado. Esas condiciones se denominan condiciones de compatibilidad. Son seis
ecuaciones que representan condiciones suficientes para que el campo de desplazamiento sea
continuo en cuerpos simplemente conexos.
Estas condiciones pueden obtenerse relacionando las ecuaciones cinemáticas entre
sí. Si se derivan las ecuaciones cinemáticas
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yzxzxy
zyx
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
34
se llega a:
2
3
2
2
yx
u
y
x
2
3
2
2
xy
v
x
y
2
3
2
32
xy
v
yx
u
yx
xy
Es decir que
2
2
2
22
xyyx
yxxy
De la misma manera pueden obtenerse las cinco ecuaciones restantes para llegar a
escribir la seis ecuaciones de compatibilidad siguientes:
2
2
2
22
xyyx
yxxy
2
2
2
22
yzzy
zyyz
2
2
2
22
xzzx
zxxz
zyxxzy
xyxzyzx2
2
zxyyzx
xyyzxzy 2
2
xyzzyx
yzxzxyz2
2
Si se cumplen estas seis ecuaciones de compatibilidad se pueden integrar las
ecuaciones cinemáticas pero no se asegura la unicidad del campo de desplazamientos. Se
obtienen infinitos campos que difieren entre sí en movimientos de cuerpo rígido.
CONDICIONES DE BORDE CINEMÁTICAS
En la mayoría de los problemas de Ingeniería Civil, los elementos estudiados no
pueden moverse libremente como cuerpos rígidos sino que su movimiento de cuerpo rígido está
limitado por los vínculos del elemento que fijan condiciones que deben cumplir los
desplazamientos. Es decir que hay una cierta parte de la frontera uS en donde se conocen los
desplazamientos. Esto es:
ww
Svv
uu
u
en
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
35
En uS , como consecuencia de las restricciones de apoyo, aparecen reacciones. Estas
reacciones que, en general, no se conocen a priori, no se consideran en la solución del problema
sino que se calculan.
RELACIONES TENSIÓN-DEFORMACIÓN
INTRODUCCIÓN
El problema a resolver consiste en encontrar las tensiones, deformaciones y
desplazamientos en un elemento sometido a cargas externas. Si se hace un resumen de las
incógnitas y ecuaciones que se tienen en este problema:
INCÓGNITAS:
6 Componentes de tensión yzxzxyzyx ,,,,,
6 Componentes de deformación yzxzxyzyx ,,,,,
3 componentes de desplazamientos: wvu ,,
_________________________________________
Total de Incógnitas: 15
ECUACIONES
3 Ecuaciones de equilibrio
6 Ecuaciones cinemáticas
_________________________________________
Total de Ecuaciones: 9
Es claro que el número de ecuaciones disponible no es suficiente. Debe tenerse en
cuenta que por ahora no se ha considerado en ningún momento el material del elemento que se
está analizando. Justamente, las ecuaciones que están faltando son las que caracterizan el
comportamiento mecánico del material. Son las denominadas ecuaciones constitutivas que
establecen las relaciones entre tensiones y deformaciones resultantes de la constitución interna
del material.
LEY DE HOOKE GENERALIZADA
La forma más simple de la ecuaciones constitutivas o relaciones tensión-deformación
corresponde al comportamiento elástico lineal. Si se admite que el material tiene un
comportamiento elástico lineal como se mencionó al comienzo del curso, las tensiones están
relacionadas linealmente con las deformaciones. Las ecuaciones constitutivas correspondientes
se denominan Ley de Hooke generalizada que sería una generalización de la Ley de Hooke
uniaxial E para el caso en que se tienen seis componentes de tensión y seis de
deformación o sea al caso multiaxial.
Si además se hace la hipótesis de isotropía del material, la Ley de Hooke generalizada
se puede escribir en términos de dos constantes independientes como sigue:
zyxxE
1
zxyyE
1
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
36
yxzzE
1
GE
xyxy
xy
)1(2
GE
yzyz
yz
)1(2
GE
xzxz
xz
)1(2
Donde E es el módulo de Young o módulo de elasticidad, es el coeficiente de
Poisson y )1(2
E
G el módulo de corte.
Si se consideran las componentes de tensión y de deformación como componentes
de vectores, estas ecuaciones pueden expresarse como:
xz
yz
xy
z
y
x
C
xz
yz
xy
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
1
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
1
C
Donde 1C es la matriz de flexibilidad del material.
O también se puede escribir la relación inversa :
C
donde
2
2100000
02
210000
002
21000
0001
0001
0001
211
EC
es la matriz de rigidez del material.
También se puede escribir la Ley de Hooke generalizada de la siguiente forma,
desacoplando la parte hidrostática-volumétrica de la parte desviadora en los tensores de tensión
y deformación:
vm K Tensión media proporcional a la deformación volumétrica
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
37
eGS 2 Tensor desviador de tensiones proporcional al tensor desviador de
deformaciones
K es el módulo de compresibilidad volumétrico y puede expresarse en función de
las otras constantes elásticas como:
213
EK
Otra forma de escribir la Ley de Hooke generalizada es:
GIv 2
Donde y G (módulo de corte) son también llamadas constantes de Lamé:
2113
2
EGK
Observación:
Para materiales elásticos lineales isótropos las direcciones principales de tensión coinciden con
las direcciones principales de deformación. Esto se puede demostrar fácilmente si se analiza la
forma matricial de las relaciones tensión-deformación:
xz
yz
xy
z
y
x
C
xz
yz
xy
z
y
x
G
G
G
EEE
EEE
EEE
1
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
En las direcciones principales de tensión se tiene:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
38
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
100000
01
0000
001
000
0001
0001
0001
3
2
1
123
312
321
3
2
1
1
E
E
E
G
G
G
EEE
EEE
EEE
C
Las componentes de deformación angular resultan nulas y por tanto estas
direcciones son también direcciones principales de deformación.
Esto también se puede demostrar a partir de la expresión eGS 2 que muestra
que los tensores desviador de tensiones y desviador de deformaciones son proporcionales y, por
lo tanto, tienen las mismas direcciones principales. Como, a su vez, las direcciones principales
del tensor de tensiones coinciden con las del desviador de tensiones y las direcciones principales
del tensor de deformaciones coinciden con las del desviador de deformaciones, se puede
concluir que las direcciones principales de deformación coinciden con las direcciones
principales de tensión.
Esta conclusión sólo puede asegurarse en el caso de materiales lineales elásticos
isótropos y no puede extrapolarse a otro tipo de materiales con relaciones tensión-deformación
distintas.
SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
INTRODUCCIÓN
El problema a resolver consiste en encontrar las tensiones, deformaciones y
desplazamientos en un elemento bajo cargas y condiciones de apoyo conocidas.
Existen básicamente dos formas de abordar este tipo de problemas: analíticamente o
numéricamente.
Hay muy pocos problemas elásticos que se pueden resolver analíticamente. Muchas
veces se recurre a métodos semi-inversos en los que, en base a algún tipo de observación, se
propone parte de la solución y se busca el resto de manera que se satisfagan las ecuaciones
diferenciales del problema y las condiciones de borde. Dentro del Tema 1, se verán algunas
formas clásicas de abordar la solución analítica de problemas tridimensionales así como
principios que son de suma utilidad en la solución de problemas elásticos.
La solución numérica es siempre aproximada y se tratará en el Tema 3 en el que se
desarrollará la solución mediante el método de diferencias finitas y el método de elementos
finitos.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
39
RESUMEN DE ECUACIONES E INCÓGNITAS
Si se hace un resumen de las incógnitas y ecuaciones que se tienen en este problema:
INCÓGNITAS:
6 Componentes de tensión yzxzxyzyx ,,,,,
6 Componentes de deformación yzxzxyzyx ,,,,,
3 componentes de desplazamientos: wvu ,,
_________________________________________
Total de Incógnitas: 15
ECUACIONES
3 Ecuaciones de equilibrio
0
0
0
Zyxz
Yzxy
Xzyx
yzxzz
zyxyy
zxyxx
6 Ecuaciones cinemáticas
y
w
z
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
v
x
u
yzxzxy
zyx
6 Ecuaciones constitutivas
zyxxE
1
zxyyE
1
yxzzE
1
G
xy
xy
G
yz
yz
G
xz
xz
_________________________________________
Total de Ecuaciones: 15
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. Además, se debe observar
que se trata de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Esto es el resultado
de las hipótesis simplificativas realizadas al comienzo, en particular, de las hipótesis de
comportamiento elástico lineal y pequeñas deformaciones.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
40
En aquellos casos en que se resuelva el problema en tensiones o deformaciones se
deben usar también las seis ecuaciones de compatibilidad de deformaciones para asegurar que
el campo de desplazamiento sea simplemente valuado.
Se dispone además de las condiciones de borde del problema:
CONDICIONES DE BORDE
Estas condiciones se plantean siempre en la frontera externa de los cuerpos analizados y
permiten calcular las constantes de integración que surgen al resolver las ecuaciones
diferenciales del problema. La frontera externa S tiene una parte uS en donde se conocen los
desplazamientos y una parte S en donde se conocen las fuerzas externas por unidad de
superficie. Siempre se cumple que SSS u lo cual quiere decir que en la frontera externa
se conocen o los desplazamientos o las fuerzas externas por unidad de superficie.
Las condiciones de borde se resumen como sigue:
Condiciones de borde en desplazamientos:
ww
vv
uu
en uS
Condiciones de borde en tensiones:
FN en S
o escrito en forma desarrollada:
Xnml zxyxx
Ynlm zyxyy en S
Zmln yzxzz
ECUACIONES DE NAVIER
Este procedimiento consiste en resolver el problema en desplazamientos. Para ello
se busca escribir las ecuaciones de equilibrio:
0
0
0
Zyxz
Yzxy
Xzyx
yzxzz
zyxyy
zxyxx
en términos de desplazamientos.
Las tensiones pueden expresarse en función de las deformaciones a través de la Ley
de Hooke generalizada:
GIv 2
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
41
xzxz
yzyz
xy
xy
xy
zvz
yvy
xvx
G
G
GG
G
G
G
22
2
2
2
Si ahora se usan las ecuaciones cinemáticas, se pueden escribir las deformaciones en
términos de derivadas de los desplazamientos y llegar así a una relación entre tensiones y
derivadas de desplazamientos:
x
w
z
uG
y
w
z
vG
x
v
y
uG
z
wG
y
vG
x
uG
xz
yz
xy
vz
vy
vx
2
2
2
con z
w
y
v
x
uv
Estas ecuaciones se denominan Ecuaciones de Lamé. Si se reemplazan las mismas
en las ecuaciones de equilibrio, se obtiene para la 1ª ecuación:
022
2
22
2
2
2
2
X
zx
w
z
uG
yx
v
y
uG
x
uG
xv
Simplificando y teniendo en cuenta que:
zx
w
yx
v
x
u
x
v
22
2
2
se llega a :
0
2
2
2
2
2
2
2
Xz
u
y
u
x
uG
xG
u
v
Reemplazando uz
u
y
u
x
u 2
2
2
2
2
2
2
y procediendo de manera similar con las
otras dos ecuaciones, se llega a las siguientes tres ecuaciones que se denominan Ecuaciones de
Navier y que son las ecuaciones de equilibrio escritas en términos de desplazamientos
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
42
0
0
0
2
2
2
ZwGz
G
YvGy
G
XuGx
G
v
v
v
Estas son tres ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en términos de los
desplazamientos. Para resolver estas ecuaciones es necesario tener en cuenta las condiciones de
borde en uS y en S .
a)
ww
vv
uu
en uS b) FN en S
Para poder usar las condiciones b) en el problema planteado es necesario expresar las
tensiones en términos de los desplazamientos como se hizo al comienzo de este punto. Estas
ecuaciones pueden escribirse en forma sintética como sigue:
t
v
v
UUGI
GI
2
12
2
donde
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
U
En definitiva, parte de las condiciones de borde se expresan en términos de los
desplazamientos y parte en términos de derivadas de los desplazamientos.
Resumiendo: Las Ecuaciones de Navier son ecuaciones de equilibrio en términos de
desplazamientos. Se busca una solución en desplazamientos que además cumpla con todas las
condiciones de borde del problema. Con las ecuaciones cinemáticas se pueden hallar las
deformaciones y luego, con la Ley de Hooke generalizada, las tensiones.
ECUACIONES DE BELTRAMI MITCHELL
Este procedimiento consiste en intentar resolver el problema en tensiones. Si se
toman las ecuaciones de equilibrio, se las resuelve para encontrar las tensiones y luego las
deformaciones a través de la Ley de Hooke generalizada, la solución no será única. La solución
que corresponde a un campo de desplazamientos continuos es aquella solución que satisface,
además de las ecuaciones de equilibrio, las ecuaciones compatibilidad de deformaciones.
Se debe buscar entonces la solución (en tensiones) de las ecuaciones de equilibrio:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
43
0
0
0
Zyxz
Yzxy
Xzyx
yzxzz
zyxyy
zxyxx
que además satisfaga las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones:
2
2
2
22
xyyx
yxxy
2
2
2
22
yzzy
zyyz
2
2
2
22
xzzx
zxxz
zyxxzy
xyxzyzx2
2
zxyyzx
xyyzxzy 2
2
xyzzyx
yzxzxyz2
2
Para ello es necesario escribir estas últimas ecuaciones en términos de tensiones
usando la Ley de Hooke generalizada:
zyxxE
1
zxyyE
1
yxzzE
1
G
xy
xy
G
yz
yz
G
xz
xz
Reemplazando en la 2ª de las ecuaciones de compatibilidad se tiene:
zyyz
yzzy
2
2
2
2
2
zyG
E
yyyzzz
yzyxzzxy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
zyz
I
z
I
yz
yzzy
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
121 (1)
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
44
Teniendo en cuenta la 3ª y 2ª ecuación de equilibrio:
Yxyz
Zxzy
xyyzy
xzzyz
Derivando la primera de estas ecuaciones respecto a z y sumándola con la derivada
de la segunda respecto a y , se obtiene:
y
Y
yxz
Z
zxyzzy
xyxzyzyz
22
2
2
2
22
2 (2)
De la 1ª ecuación de equilibrio:
02
2
x
X
xzyx
xzxyx
Reemplazando en la ecuación (2), resulta
z
Z
y
Y
x
X
yzxzy
yzxyz
2
2
2
2
2
22
2
Reemplazando en la ecuación (1):
z
Z
y
Y
x
X
yzxz
I
y
I
yz
yzxzy
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
11
Llamando: 2
2
2
2
2
22
zyx
z
Z
y
Y
x
X
x
II
x
II x 11
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2 (3)
Se puede llegar a dos ecuaciones similares
z
Z
y
Y
x
X
y
II
y
II y 11
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
z
Z
y
Y
x
X
z
II
z
II z 11
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
Sumando las tres últimas ecuaciones y despejando, se obtiene:
z
Z
y
Y
x
XI
1
12
La ecuación (3) puede escribirse como:
z
Z
y
Y
x
XI
x
Ix 11 1
2
2
1
2
2
Reemplazando el valor de 1
2 I encontrado:
z
Z
y
Y
x
X
z
Z
y
Y
x
X
x
Ix
1
1
11
2
1
2
2
Reordenando esta ecuación y procediendo de manera similar con las otras ecuaciones
de compatibilidad, se llega a las 6 ecuaciones de compatibilidad escritas en términos de
tensiones:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
45
x
X
z
Z
y
Y
x
X
x
Ix
2
11
12
1
2
2
y
Y
z
Z
y
Y
x
X
y
Iy
2
11
12
1
2
2
z
Z
z
Z
y
Y
x
X
z
Iz
2
11
12
1
2
2
y
Y
x
X
yx
Ixy
1
2
2
1
1
z
Z
y
Y
zy
Iyz
1
2
2
1
1
z
Z
x
X
zx
Ixz
1
2
2
1
1
Estas seis ecuaciones se denominan ecuaciones de Beltrami Mitchell.
Además de las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de borde en S , las
tensiones deben cumplir las ecuaciones de Beltrami Mitchell. Como estas ecuaciones sólo
tienen derivadas segundas, si las fuerzas externas son tales que se pueden cumplir las
ecuaciones de equilibrio y las condiciones de borde con tensiones constantes o que varían
linealmente, estas ecuaciones de compatibilidad se satisfacen trivialmente y la solución hallada
con las ecuaciones de equilibrio es la solución de problema.
Una vez encontradas las tensiones que cumplen las ecuaciones de equilibrio, las
condiciones de borde en S y las ecuaciones de Beltrami Mitchell, se pueden hallar las
deformaciones con la Ley de Hooke generalizada y los desplazamientos, integrando las
ecuaciones cinemáticas. Aparecen allí constantes de integración de manera que se tienen
infinitas soluciones que difieren entre sí en movimientos de cuerpo rígido. Para encontrar la
solución es necesario usar las condiciones de borde en uS
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
La solución de un problema dado requiere obtener las componentes de tensión o los
desplazamientos que satisfacen el conjunto de ecuaciones diferenciales y las condiciones de
borde.
Si se elige, por ejemplo, trabajar con tensiones, se deben satisfacer las ecuaciones de
equilibrio, las ecuaciones de compatibilidad y las condiciones de borde.
Supóngase que es el tensor de tensiones determinado a partir de las fuerzas
volumétricas F y las fuerzas de superficie F .
Supóngase además que ' es el tensor de tensiones determinado a partir de las
fuerzas volumétricas 'F y las fuerzas de superficie 'F para el mismo elemento.
Entonces ' es el tensor de tensiones que está en equilibrio con las fuerzas
volumétricas F + 'F y las fuerzas de superficie F + 'F
Esto se cumple porque, tanto las ecuaciones diferenciales, como las condiciones de
borde son lineales.
Este principio se puede demostrar analizando, por ejemplo, las ecuaciones de
equilibrio:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
46
Si está en equilibrio con las fuerzas volumétricas F , se cumple la 1ª de las
ecuaciones de equilibrio:
0
X
zyxzxyxx
Si ' está en equilibrio con las fuerzas volumétricas 'F , la 1ª ecuación de
equilibrio se escribe:
0''''
X
zyx
zxyxx
Sumando ambas ecuaciones:
0'
'''
XX
zyx
zxzxyxyxxx
Se pueden escribir de manera similar el resto de las ecuaciones de equilibrio
Además, si cumple con las condiciones de borde en S
Xnml zxyxx
Y si ' cumple con las condiciones de borde en S
'''' Xnml zxyxx
Sumando estas últimas dos ecuaciones:
'''' XXnml zxzxyxyxxx
Se pueden escribir también, de manera similar, el resto de las condiciones de borde
en S .
Lo mismo ocurre con las ecuaciones de compatibilidad, de manera que '
satisface todas las ecuaciones y condiciones que determinan las tensiones debidas a las fuerzas
volumétricas F + 'F y las fuerzas de superficie F + 'F
Cuando se plantean las condiciones de borde en fuerzas no se distingue entre la
configuración inicial del borde y la configuración deformada. Esto vale sólo en el caso de
pequeñas deformaciones. Para el caso de grandes deformaciones, las ecuaciones diferenciales
del problema dejan de ser lineales y no vale el principio de superposición.
Tampoco vale el principio de superposición si el comportamiento del material no es
elástico lineal.
Cuando es aplicable, el principio de superposición resulta de suma utilidad en la
solución de problemas elásticos, ya que permite obtener la solución a un problema complejo
como suma de soluciones a problemas más simples.
ENERGÍA DE DEFORMACIÓN
El trabajo realizado para deformar un elemento de volumen y almacenado en él, se
denomina energía específica de deformación. Se supone que el elemento permanece elástico y
no se desarrolla energía cinética.
La ley de conservación de la energía establece que el trabajo no depende del orden
en que se aplican las fuerzas sino de sus magnitudes finales.
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
47
Si las fuerzas y las componentes de tensión aumentan simultáneamente en la misma
proporción, la energía por unidad de volumen es:
xzxzyzyzxyxyzzyyxxoW
2
1
La energía de deformación total se obtiene integrando sobre el volumen:
dxdydzWWV
o
Este es el trabajo realizado por las fuerzas internas durante la carga.
También puede escribirse: CWtt
o2
1
2
1
Se cumple que
oW
UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN
Interesa saber si un determinado problema planteado tiene solución o no y si esa
solución es única. Este problema tiene dos partes:
1)¿Se espera desde el punto de vista físico una respuesta única?
2)¿Tiene la formulación matemática del problema solución única?
Muchas veces el problema físico no tiene solución única. Ejemplo: Problema de
pandeo. Para encontrar la solución de ese tipo de problemas se recurre a la termodinámica.
La pregunta 2) es un problema que debe ser resuelto por las matemáticas.
Bajo las hipótesis de partida del curso, si un problema elástico tiene solución, esa
solución es única.
En lo que sigue se presenta la prueba de unicidad de la solución debida a Kirchhoff.
Es una prueba por el absurdo.
Considérese que existen dos soluciones:
Supóngase que ' es una solución para las fuerzas volumétricas F y las fuerzas
de superficie F y supóngase que " es también solución para las mismas fuerzas.
Entonces, por ejemplo:
0'''
X
zyx
zxyxx
y
0"""
X
zyx
zxyxx
Restando:
0
"'"'"'
zyx
zxzxyxyxxx
También:
Xnml zxyxx '''
y
Xnml zxyxx """
Restando:
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
48
0"'"'"' nml zxzxyxyxxx
De manera idéntica se puede proceder con el resto de las ecuaciones de equilibrio y
de las condiciones de borde en S . Entonces la distribución de tensiones ' - " corresponde
a fuerzas de volumen y fuerzas de superficie nulas y por tanto se concluye que el trabajo de las
fuerzas externas es nulo y la energía de deformación es nula:
0"'"'2
1 dVCdVWW
V
t
V
o
Pero como oW es siempre positiva, la integral solo se anula si oW es nula en todos
los puntos del volumen. Esto requiere que ' - " sea nulo en todo el volumen, o sea ' =
" y por lo tanto ' = " .
O sea que las dos soluciones ' y " son idénticas lo cual prueba la unicidad de
la solución.
PRINCIPIO DE SAINT VENANT
De acuerdo al principio de Saint Venant, las deformaciones producidas en un cuerpo
por la aplicación en una pequeña superficie de fuerzas estáticamente equivalentes a fuerza y
momento nulo, son despreciables a distancias grandes comparadas con las dimensiones lineales
de esa zona.
Este principio se usa mucho para simplificar la solución de problemas de mecánica
de los sólidos. En el caso de materiales elástico lineales se lo puede usar en combinación con
el principio de superposición para reemplazar un sistema de fuerzas por uno estáticamente
equivalente.
Ejemplo:
Sistema a resolver Fuerzas estáticamente Idénticas deformaciones
Nulas que en el sistema original
0
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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TEMA 1 - ANEXO
DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES DE CORTE
En general, interesa determinar las direcciones principales de corte y los valores de las
tensiones principales de corte. Una forma relativamente sencilla de encontrar las direcciones
principales de corte es encontrar la orientación de dichas direcciones respecto de las direcciones
principales de tensión, es decir, respecto de aquellas direcciones normales a los planos en los
cuales las tensiones normales son máximas y las tensiones tangenciales son nulas.
Considérense entonces el estado de tensiones en las direcciones principales de tensión
y un plano inclinado respecto a esas direcciones, identificado por su normal �⃗⃗� . Se busca
determinar, la orientación �⃗⃗� para la cual la tensión tangencial (𝜏𝑁) es máxima.
El vector tensión en el plano de normal (�⃗⃗� ) se
calcula utilizando la regla de Cauchy:
𝑝 𝑁 = {𝑝𝑁} = [𝜎] {𝑁} = [𝜎1 0 00 𝜎2 00 0 𝜎3
] {𝑁}
𝑝 𝑁 = {𝜎1 𝑙𝜎2 𝑚𝜎3 𝑛
} 𝐸𝑐. 𝐴1
El vector tensión tiene la siguiente norma:
‖𝑝 𝑁‖ = √𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 𝑚2 + 𝜎32 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴2
En general, su dirección no coincide con la normal al plano, sino que tiene una componente
normal al plano, la tensión normal, dada por:
𝜎𝑁 = {𝑝𝑁}𝑡 {𝑁} = 𝜎1 𝑙2 + 𝜎2 𝑚
2 + 𝜎3 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴3
y una componente tangencial al plano, la tensión tangencial, dada por:
𝜏𝑁 = √‖𝑝 𝑁‖2 − (𝜎𝑁)2 𝐸𝑐. 𝐴4
(𝜏𝑁)2 = ‖𝑝 𝑁‖2 − (𝜎𝑁)2
(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 𝑚2 + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙
2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 𝑛
2)2 𝐸𝑐. 𝐴5
A partir de las expresiones en Ec.A4 o Ec.A5, se pueden determinar las direcciones (�⃗⃗� ) para
las cuales la tensión tangencial es máxima. En otras palabras, se pueden determinar los cosenos
directores de la normal al plano: 𝑙, 𝑚 y 𝑛 para los cuales la tensión tangencial es máxima.
Con este fin se deben determinar los valores de l, m y n para los cuales:
�⃗⃗�
2
3
𝜎1 𝜎2
𝜎3 1
𝑝 𝑁
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑙= 0,
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑚= 0 y
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑛= 0
Estas derivadas resultan algo complicadas porque incluyen una raíz cuadrada. Se observa, sin
embargo, que:
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 2 𝜏𝑁
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑙
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑚= 2 𝜏𝑁
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑚
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑛= 2 𝜏𝑁
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑛
De tal manera que si 𝜏𝑁 ≠ 0 :
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 0 →
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑙= 0,
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑚= 0 →
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑚= 0, y
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑛= 0 →
𝜕𝜏𝑁
𝜕𝑛= 0,
Entonces, en lugar de buscar los valores de l, m y n para los cuales se anulan las derivadas de
𝜏𝑁, se pueden determinar los valores de l, m y n que hacen nulas las siguientes derivadas
parciales para 𝜏𝑁 ≠ 0.
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 0,
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑚= 0 y
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑛= 0 𝐸𝑐. 𝐴6, 𝐸𝑐. 𝐴7 y 𝐸𝑐. 𝐴8
Pero los cosenos directores no son independientes entre sí, porque el vector �⃗⃗� es un vector
unitario. Es decir que:
𝑙2 + 𝑚2 + 𝑛2 = 1
Esto permite disminuir el número de variables poniendo uno de los cosenos en función de los
otros dos. Existen distintas alternativas para ello y deben ser planteadas para obtener la solución
completa del problema planteado.
Planteo 1
Se considera 𝑛 en función de 𝑙 y 𝑚:
𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 𝐸𝑐. 𝐴9
Se reemplaza Ec.A9 en Ec.A5 y se obtiene:
(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 𝑚2 + 𝜎32 (1 − 𝑙2 − 𝑚2) − [𝜎1 𝑙
2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 (1 − 𝑙2 − 𝑚2)]2
(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 𝑚2 + 𝜎32 − 𝜎3
2 𝑙2 − 𝜎32 𝑚2 − (𝜎1 𝑙
2 + 𝜎2 𝑚2 + 𝜎3 − 𝜎3 𝑙
2 − 𝜎3 𝑚2)2
(𝜏𝑁)2 = (𝜎12 − 𝜎3
2) 𝑙2 + (𝜎22 − 𝜎3
2) 𝑚2 + 𝜎32 − [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3]
2
𝐸𝑐. 𝐴10
Se deriva Ec.A10 respecto de 𝑙 y respecto de 𝑚, y se iguala a cero.
Derivando respecto de 𝑙 se tiene:
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𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 2 (𝜎1
2 − 𝜎32) 𝑙 − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 2 𝑙 {(𝜎1
2 − 𝜎32) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] (𝜎1 − 𝜎3)} = 0
2 𝑙 {(𝜎1 − 𝜎3) (𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3] (𝜎1 − 𝜎3)} = 0
2 𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3]} = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴11
Derivando respecto de 𝑚 se tiene:
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑚= 2 (𝜎2
2 − 𝜎32) 𝑚 − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑚= 2 𝑚 {(𝜎2
2 − 𝜎32) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3] (𝜎2 − 𝜎3)} = 0
2 𝑚 {(𝜎2 − 𝜎3) (𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3] (𝜎2 − 𝜎3)} = 0
2 𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3]} = 0
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 + (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚
2 + 𝜎3]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴12
Las ecuaciones Ec.A11 y Ec.A12 son dos ecuaciones de segundo grado en l y m. Como tales,
tienen más de una solución en l y m. A continuación se analizan las distintas soluciones posibles.
Caso a:
Una solución posible de Ec.A11 es 𝑙 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A12, se puede
obtener 𝑚.
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) {(𝜎2 + 𝜎3) − 2 [(𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 + 𝜎3]} = 0
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [𝜎2 + 𝜎3 − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 − 2 𝜎3] = 0
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [𝜎2 − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2 − 𝜎3] = 0
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3) [(𝜎2 − 𝜎3) − 2 (𝜎2 − 𝜎3) 𝑚2] = 0
𝑚 (𝜎2 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑚2) = 0
Una solución de esta última ecuación sería 𝑚 = 0. Sin embargo, la solución 𝑙 = 𝑚 = 0 no
interesa, porque reemplazando en Ec.A10 daría 𝜏𝑁 = 0 , solución que no interesa ya que se
buscan los valores de l, m y n que hacen nulas las derivadas parciales de 𝜏𝑁2para 𝜏𝑁 ≠ 0.
Si 𝑚 ≠ 0, entonces debe ser (𝜎2 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑚2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴13
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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La expresión Ec.A13 debe ser válida para cualquier 𝜎2 y 𝜎3, entonces la única solución posible
es:
(1 − 2 𝑚2) = 0 → 𝑚 = ±1
√2
Reemplazando 𝑙 = 0 y 𝑚 = ±1
√2 en Ec.A9, se tiene
𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 → 𝑛2 = 1 − (±1
√2)2
= 1 −1
2=
1
2 → 𝑛 = ±
1
√2
Entonces los cosenos directores de la normal a un plano (a) en donde la tensión tangencial es
máxima son:
𝑙 = 0, 𝑚 = ±1
√2 y 𝑛 = ±
1
√2
Caso b:
De Ec.A12 se tiene que una solución posible es 𝑚 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A11
y se obtiene 𝑙. 𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) {(𝜎1 + 𝜎3) − 2 [(𝜎1 − 𝜎3) 𝑙
2 + 𝜎3]} = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [𝜎1 + 𝜎3 − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 − 2 𝜎3] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [𝜎1 − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2 − 𝜎3] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎3) [(𝜎1 − 𝜎3) − 2 (𝜎1 − 𝜎3) 𝑙2] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑙2) = 0
Se considera que 𝑙 ≠ 0 → (𝜎1 − 𝜎3)2 (1 − 2 𝑙2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴14
La expresión Ec.A14 debe ser válida para cualquier 𝜎1 y 𝜎3, entonces la única solución posible
es:
(1 − 2 𝑙2) = 0 → 𝑙 = ±1
√2
Reemplazando 𝑙 = ±1
√2 y 𝑚 = 0 en Ec.A9, se tiene
𝑛2 = 1 − 𝑙2 − 𝑚2 → 𝑛2 = 1 − (±1
√2)2
= 1 −1
2=
1
2 → 𝑛 = ±
1
√2
Entonces los cosenos directores del la normal a un plano (b) en donde la tensión tangencial es
máxima, son:
𝑙 = ±1
√2, 𝑚 = 0 y 𝑛 = ±
1
√2
Planteo 2
Se considera 𝑚 en función de 𝑙 y 𝑛:
𝑚2 = 1 − 𝑙2 − 𝑛2 𝐸𝑐. 𝐴15
Se reemplaza Ec.A15 en Ec.A5 y se obtiene:
(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 (1 − 𝑙2 − 𝑛2) + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙
2 + 𝜎2 (1 − 𝑙2 − 𝑛2) + 𝜎3 𝑛2)2
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
53
(𝜏𝑁)2 = 𝜎12 𝑙2 + 𝜎2
2 − 𝜎22 𝑙2 − 𝜎2
2 𝑛2 + 𝜎32 𝑛2 − (𝜎1 𝑙
2 + 𝜎2 − 𝜎2 𝑙2 − 𝜎2 𝑛
2 + 𝜎3 𝑛2)2
(𝜏𝑁)2 = (𝜎12 − 𝜎2
2) 𝑙2 + 𝜎22 + (𝜎3
2 − 𝜎22) 𝑛2 − [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2]2
𝐸𝑐. 𝐴16
Se deriva Ec.A16 respecto de 𝑙 y respecto de 𝑛, y se iguala a cero:
Derivando respecto de 𝑙 se obtiene
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 2 (𝜎1
2 − 𝜎22) 𝑙 − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑙= 2 𝑙 {(𝜎1
2 − 𝜎22) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] (𝜎1 − 𝜎2)} = 0
2 𝑙 {(𝜎1 − 𝜎2) (𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2] (𝜎1 − 𝜎2)} = 0
2 𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2]} = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴17
Derivando respecto de 𝑛 se obtiene
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑛= 2 (𝜎3
2 − 𝜎22) 𝑛 − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] 2 (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
𝜕(𝜏𝑁)2
𝜕𝑛= 2 𝑛 {(𝜎3
2 − 𝜎22) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙
2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛2] (𝜎3 − 𝜎2)} = 0
2 𝑛 {(𝜎3 − 𝜎2) (𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2] (𝜎3 − 𝜎2)} = 0
2 𝑛 (𝜎3 − 𝜎2) {(𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2]} = 0
𝑛 (𝜎3 − 𝜎2) {(𝜎3 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2 + (𝜎3 − 𝜎2) 𝑛
2]} = 0 𝐸𝑐. 𝐴18
Una solución posible de Ec.A17 es 𝑙 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A18 se obtienen
las mismas soluciones obtenidas en el Caso a del Planteo 1.
Caso c:
Una solución posible de Ec.A18 es 𝑛 = 0. Si se reemplaza esta solución en Ec.A17, se puede
obtener l.
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) {(𝜎1 + 𝜎2) − 2 [(𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 + 𝜎2]} = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [𝜎1 + 𝜎2 − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 − 2 𝜎2] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [𝜎1 − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2 − 𝜎2] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2) [(𝜎1 − 𝜎2) − 2 (𝜎1 − 𝜎2) 𝑙2] = 0
𝑙 (𝜎1 − 𝜎2)2 (1 − 2 𝑙2) = 0
Se considera que 𝑙 ≠ 0 → (𝜎1 − 𝜎2)2 (1 − 2 𝑙2) = 0 𝐸𝑐. 𝐴19
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
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La expresión Ec.A19 debe ser válida para cualquier 𝜎1 y 𝜎2, entonces la única solución posible
es:
(1 − 2 𝑙2) = 0 → 𝑙 = ±1
√2
Reemplazando 𝑙 = ±1
√2 y 𝑛 = 0 en Ec.A9, se tiene
𝑚2 = 1 − 𝑙2 − 𝑛2 → 𝑚2 = 1 − (±1
√2)2
= 1 −1
2=
1
2 → 𝑚 = ±
1
√2
Entonces los cosenos directores de la normal a un plano (c) en que la tensión tangencial es
máxima son:
𝑙 = ±1
√2, 𝑚 = ±
1
√2 y 𝑛 = 0
Tensiones Tangenciales Máximas
Determinados los cosenos directores de las normales a los planos en los cuales las
tensiones tangenciales son máximas, se pueden determinar dichas tensiones tangenciales
máximas reemplazando los cosenos directores encontrados para cada caso en la expresión
Ec.A5.
Caso a:
𝑙 = 0, 𝑚 = ±1
√2 y 𝑛 = ±
1
√2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 = 𝜎2
2 (±1
√2)2
+ 𝜎32 (±
1
√2)2
− (𝜎2 (±1
√2)2
+ 𝜎3 (±1
√2)2
)
2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 = 𝜎2
2 1
2+ 𝜎3
2 1
2− (𝜎2
1
2+ 𝜎3
1
2)2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 =
1
2 𝜎2
2 +1
2 𝜎3
2 −1
4 (𝜎2 + 𝜎3)
2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 =
1
2 𝜎2
2 +1
2 𝜎3
2 −1
4 𝜎2
2 −1
2 𝜎2 𝜎3 −
1
4 𝜎3
2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 =
1
4 𝜎2
2 +1
4 𝜎3
2 −1
2 𝜎2 𝜎3 =
1
4 (𝜎2
2 + 𝜎32 − 2 𝜎2 𝜎3)
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥2 =
1
4 (𝜎2 − 𝜎3)
2
(𝜏𝑁)𝑚á𝑥 = √1
4 (𝜎2 − 𝜎3)2 =
√(𝜎2 − 𝜎3)2
2 =
|𝜎2 − 𝜎3|
2= 𝜏𝑚á𝑥
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
55
La tensión tangencial máxima en el caso a, resulta:
𝜏𝑚á𝑥 =|𝜎2 − 𝜎3|
2 𝐸𝑐. 𝐴20
Caso b:
Se procede de manera similar al caso a y se obtiene la siguiente tensión tangencial máxima.
𝜏𝑚á𝑥 =|𝜎1 − 𝜎3|
2 𝐸𝑐. 𝐴21
Caso c:
Se procede de manera similar al caso a y se obtiene la siguiente tensión tangencial máxima.
𝜏𝑚á𝑥 =|𝜎1 − 𝜎2|
2 𝐸𝑐. 𝐴22
Estabilidad IV - 2016 | Ecuaciones básicas de la Elasticidad tridimensional
56
RESUMEN
TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS Y LOS PLANOS DONDE ACTÚAN
Caso a
Caso b
Caso c
En todos los casos el plano indicado donde actúa la tensión tangencial máxima, corresponde a
cosenos directores que tienen igual signo y son positivos. Los cosenos directores que tienen
igual signo y son negativos, corresponden a un plano paralelo al mencionado pero con normal
de sentido opuesto y donde, también el sentido de la tensión tangencial será opuesto. El plano
indicado en línea de trazo, corresponden a cosenos directores de signos cruzados.
𝑙 = 0
𝑚 = ±1
√2
𝑛 = ±1
√2
Cosenos directores:
𝜏𝑚á𝑥 =|σ2 − σ3|
2
2
3
45º
𝜎1
𝜎2
𝜎3 1
�⃗⃗�
𝜏𝑚á𝑥
Tensión tangencial:
𝑚 = 0
𝑛 = ±1
√2
Cosenos directores: Tensión tangencial:
𝜏𝑚á𝑥 =|σ1 − σ3|
2
𝑙 = ±1
√2
2
3
45º
𝜎1 𝜎2
𝜎3 1
�⃗⃗�
𝜏𝑚á𝑥
𝑛 = 0
𝑚 = ±1
√2
Cosenos directores:
𝑙 = ±1
√2
2
3
45º
𝜎1 𝜎2
𝜎3 1
�⃗⃗�
𝜏𝑚á𝑥
Tensión tangencial:
𝜏𝑚á𝑥 =|σ1 − σ2|
2
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