esperanza,varianza y covarianza

Probabilidad y Estadıstica:Esperanza Matematica, Varianza yCovarianza

Dr. Juliho Castillo26 de septiembre de 2017

Universidad LaSalle Oaxaca

1

1 Definicion de Esperanza Matematica

2 Funciones de Variables Aleatorias

3 Algunos temas sobre esperanza matematica

4 Varianza y Desviacion Estandar

5 Covarianza

2

Definicion de EsperanzaMatematica

3

Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, laesperanza matematica se define como

E(X) =n∑

j=1xjP (X = xj) =:

∑xP (X = x), (1.1)

o de manera equivalente

E(X) =n∑

j=1xjf(xj) =:

∑xf(x), (1.2)

donde f(x) = P (X = x).

4

Para una v.a. discreta X que toma valores X1, ..., Xn, laesperanza matematica se define como

E(X) =n∑

j=1xjP (X = xj) =:

∑xP (X = x), (1.1)

o de manera equivalente

E(X) =n∑

j=1xjf(xj) =:

∑xf(x), (1.2)

donde f(x) = P (X = x).

4

Como un caso especial, cuando f(x) ≡ 1n, obtenemos la

media aritmetica:

E(X) =∑n

i=1 xi

n. (1.3)

5

Caso Discreto Numerable

En el caso en que X tome un cantidad (infinita) numerable devalores x1, x2, ..., definimos

E(X) =∞∑

i=1xif(xi),

siempre y cuando dicha serie converja.

6

Caso Continuo

Para una variable aleatoria continua X que tenga funcion dedensidad f(x), la esperanza de X se define como

E(X) =∫ ∞−∞

xf(x)dx (1.4)

siempre y cuando dicha integral converja.

7

La esperanza de X es llamada a menudo media de X y esdenotada por µx, o simplemente µ, cuando la variablealeatoria subyacente se sobreentiende.

8

La media o esperanza de X da un unico valor que representael promedio de los valores de X,y por esta razon decimos quees una medida de tendencia central.

9

La media o esperanza de X da un unico valor que representael promedio de los valores de X,y por esta razon decimos quees una medida de tendencia central.

9

Ejemplo 1.1.

Supongamos que un juego se juega con un dado unico que sesuponen justos. En este juego, un jugador gana $20 si un saleun 2; $40 con un 4; $30 con un 6; y no gana ni pierde concualquier otra cara. Encuentre la suma esperada de dinero queganarıa.

10

Ejemplo 1.2.

La funcion de densidad de una v.a. X esta dada por

f(x) =

12x 0 < x < 20 en otro caso

Encuentre el valor esperado de X.

11

Funciones de VariablesAleatorias

12

Sea X una v.a. discreta con funcion de probabilidad f(x).Entonces Y = g(X) es una v.a. discreta con funcion deprobabilidad

h(y) = P (g(X) = y) =∑

{x|g(x)=y}g(x)f(x) (2.1)

13

Entonces, en el caso discreto.

E (g(X)) =∑

x

g(x)f(x) (2.2)

De manera similar, en el caso continuo

E (g(X)) =∫ ∞−∞

g(x)f(x)dx. (2.3)

14

Entonces, en el caso discreto.

E (g(X)) =∑

x

g(x)f(x) (2.2)

De manera similar, en el caso continuo

E (g(X)) =∫ ∞−∞

g(x)f(x)dx. (2.3)

14

Ejemplo 2.1.

Si X es la v.a. del ejemplo 1.2, encuentre E (3X2 − 2X) .

15

Algunos temas sobre esperanzamatematica

16

Linealidad

Teorema 3.1.

Si c, d son constantes y X, Y son variables aleatorias, entonces

E (cX + dY ) = cE (X) + dE (Y ) (3.1)

17

Esperanza e independencia

Teorema 3.2.

Si X, Y son v.v.a.a. independientes, entonces

E (XY ) = E(X)E(Y ) (3.2)

18

Varianza y Desviacion Estandar

19

Ya vimos que la espereza matematica de una v.a. X es unamedida de tendencia central y que generaliza a la media µ.

Observacion: Por esta razon, de aquı en adelantedefiniremos

µ = µX = E(X).

20

Ya vimos que la espereza matematica de una v.a. X es unamedida de tendencia central y que generaliza a la media µ.

Observacion: Por esta razon, de aquı en adelantedefiniremos

µ = µX = E(X).

20

Otra cantidad de gran importancia es la varianza que sedefine como

σ2X = Var(X) = E

((X − µX)2

)(4.1)

Entonces, la desviacion estandar se definira como

σX =√

VarX (4.2)

21

Otra cantidad de gran importancia es la varianza que sedefine como

σ2X = Var(X) = E

((X − µX)2

)(4.1)

Entonces, la desviacion estandar se definira como

σX =√

VarX (4.2)

21

Observacion: Si la variable aleatoria X se sobreentiendedel contexto, omitiremos el subındice correspondiente, esdecir,

µ = µX , σ = σX , σ2 = σ2

X .

22

Observacion: Si la variable aleatoria X se sobreentiendedel contexto, omitiremos el subındice correspondiente, esdecir,

µ = µX , σ = σX , σ2 = σ2

X .

22

Si X es una v.a. discreta, la varianza esta dada por

σ2 = E((X − µ)2

)=∑

(x− µ)2 f(x), (4.3)

siempre y cuando esta suma converja.

23

En el caso de que todas las probabilidades sean iguales y lav.a. X sea finita tenemos

σ2 = (x1 − µ)2 + ...+ (xn − µ)2

n(4.4)

24

Si X es una v.a. continua con funcion de densidad f(x),entonces la varianza esta dada por

σ2 = E((X − µ)2

)=∫ ∞−∞

(x− µ)2 f(x)dx (4.5)

siempre y cuando la integral converja.

25

Tanto la varianza como la desviacion estandar es una medidade dispersion.

26

Ejemplo 4.1.

Encuentre la varianza y la desviacion estandar de la v.a. delejemplo 1.2.

27

Algunos teoremas sobre Varianza

σ2 = E(X2)− µ2 (4.6)

Var (cX) = c2 Var (X) (4.7)σ2 = mın

a

{E((X − a)2

)}(4.8)

Si X, Y son independientes

Var(X ± Y ) = Var(X) + Var(Y ) (4.9)

28

Variables Aleatorias Estandarizadas

Sea X una v.a. con media µ y desviacion estandar σ > 0.Diremos que la v.a. estandarizada asociada esta dada por

X∗ = X − µσ

. (4.10)

E (X∗) = 0, Var(X∗) = 1. (4.11)

29

Variables Aleatorias Estandarizadas

Sea X una v.a. con media µ y desviacion estandar σ > 0.Diremos que la v.a. estandarizada asociada esta dada por

X∗ = X − µσ

. (4.10)

E (X∗) = 0, Var(X∗) = 1. (4.11)

29

Covarianza

30

Los resultados dados anteriormente para una variable aleatoriapueden extenderse a dos variables.

31

µX = E(X) =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

xf(x, y)dxdy

µY = E(Y ) =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

yf(x, y)dxdy(5.1)

32

σ2X = E

((X − µX)2

)=∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x− µX)2f(x, y)dxdy

σ2Y = E

((Y − µY )2

)=∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(y − µY )2f(x, y)dxdy

(5.2)

33

Covarianza

σXY = Cov(X, Y ) = E ((X − µX)(Y − µY )) (5.3)

34

σXY =∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

(x− µX)(y − µY )f(x, y)dxdy (5.4)

35

Caso Discreto

µX =∑

x

∑y

xf(x, y)

µY =∑

x

∑y

yf(x, y)(5.5)

σXY =∑

x

∑y

(x− µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)

36

Caso Discreto

µX =∑

x

∑y

xf(x, y)

µY =∑

x

∑y

yf(x, y)(5.5)

σXY =∑

x

∑y

(x− µX)(y − µY )f(x, y) (5.6)

36

σXY = E(XY )− E(X)E(Y ) = E(XY )− µXµY (5.7)

Si X, Y son independientes, entonces

σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)

37

σXY = E(XY )− E(X)E(Y ) = E(XY )− µXµY (5.7)

Si X, Y son independientes, entonces

σXY = Cov(X, Y ) = 0 (5.8)

37

Var(X ± Y ) = Var(X)± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)

De manera equivalente,

σ2X±Y = σ2

X ± 2σXY + σ2Y (5.10)

38

Var(X ± Y ) = Var(X)± 2 Cov(X, Y ) + Var(Y ). (5.9)

De manera equivalente,

σ2X±Y = σ2

X ± 2σXY + σ2Y (5.10)

38

Coeficiente de correlacion

ρ = σXY

σXσY

(5.11)

39

Teorema 5.1.

|σXY | ≤ σXσY (5.12)

|ρ| ≤ 1. (5.13)

40

Teorema 5.1.

|σXY | ≤ σXσY (5.12)

|ρ| ≤ 1. (5.13)

40

Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

41

Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

41

Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

41

Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.1.

Sean X, Y variables aleatorias discretas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

2x+ y

42 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3

0 en otro caso.(5.14)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

42

Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Problema Resuelto 5.2.

Sean X, Y variables aleatorias continuas con densidad deprobabilidad conjunta

f(x, y) =

1

210(2x+ y) 2 < x < 6, 0 < y < 50 en otro caso.

(5.15)

Encuentre los siguientes estadısticos:

(a) E(X)(b) E(Y )(c) E(XY )(d) E(X2)

(e) E(Y 2)(f) Var(X)(g) Var(Y )(h) Cov(X, Y )

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Bibliografıa

M. Spiegel, L. Stephens; Estadıstica; Serie Schaum;McGraw-Hill/Interamericana Editores; 4a edicion; 2009.M. Spiegel, J. Schiller, R. Alu Srinivasan; Probability andStatistics; Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill; 4thEdition; 2013.

43